libro representación gráfica de funciones

iii

Morelia, Michoacn. Mxico

iv

Cubierta de CIE-CONALEP

Colaboracin: Coordinacin de Innovacin Educativa, CIE/QFB - UMSNH

Sistema Nacional de Educacin a Distancia, SINED

Coordinadora: Silvia Ochoa Hernndez Eduardo Ochoa Hernndez

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas por la ley, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblico.

2011 CONALEPMICH/CIE. Mxico

Ediciones CONALEPMICH

lvaro Obregn 144, Morelia.

http://www.conalepmich.edu.mx/

Registro: MAT32011-A

Impreso en_____________

Impreso en Mxico Printed in Mxico

v

Para los muchos

estudiantes de CONALEP que suean

mirando en la tecnologa el espritu de las matemticas.

Hay formas y formas a la hora de promocionar y difundir los servicios y actividades de la biblioteca. Estamos ante una sociedad donde prima lo audiovisual (fotografas, vdeos..) sobre lo textual (trpticos, carteles) y donde la biblioteca est muriendo por falta de educacin.

vi

El mundo est impregnado de matemticas, convertida en lugar comn en una era tecnolgica como la actual, es una expresin vlida para todas las pocas humanas, tan consustanciados estn el contar y el comparar con las especficas actividades del hombre: pensar, hablar y fabricar instrumentos.

J. Rey Pastor. Historia de la Matemtica

vii

Prefacio ix

Primera Parte RELACIONES Y FUNCIONES

1.1. Relaciones y funciones 1 1.2. Aplicacin de pares ordenados 3 1.3. Representacin del lugar geomtrico 27 1.4. Problemario 32 1.5. Autoevaluacin 35 1.6. Conclusin 37 1.7. Soluciones del problemario 38 1.8. Soluciones de autoevaluacin 49 Referencias y notas. 51

Segunda parte LA RECTA EN EL PLANO CARTESIANO

2.1. Determinacin grfica de la recta 1 2.2. Determinacin de las ecuaciones de la recta 32 2.3. Problemario 59 2.4. Autoevaluacin 62 2.5. Conclusiones 63 2.6. Soluciones del problemario 64 2.7. Soluciones de autoevaluacin 68 Referencias 69

Tercera parte

CIRCUNFERENCIA

3.1. La circunferencia como lugar geomtrico 1 3.2. Ecuaciones de la circunferencia 10 3.3. Aplicaciones 40 3.4. Problemario 43 3.5. Autoevaluacin 46 3.6. Conclusin 50 3.7. Soluciones del problemario 51 3.8. Soluciones de autoevaluacin 60 Referencias 61

viii

Cuarta parte PARBOLA

4.1. La parbola como lugar geomtrico 1 4.2. Ecuaciones de la parbola 4 4.3. Aplicaciones 19 4.4. Problemario 23 4.5. Autoevaluacin 25 4.6. Conclusin 26 4.7. Soluciones del problemario 26 4.8. Soluciones de autoevaluacin 28 Referencias 29

Quinta parte ELIPSE

5.1. La elipse como lugar geomtrico 1 5.2. Tipos de elipse 2 5.3. Ecuaciones de la elipse 5 5.4. Aplicaciones 32 5.5. Problemario 36 5.6. Autoevaluacin 38 5.7. Conclusin 39 5.8. Soluciones del problemario 40 5.9. Soluciones de autoevaluacin 42 Referencias 43

Sexta parte

HIPRBOLA 6.1. La hiprbola como lugar geomtrico 1 6.2. Ecuacin de la hiprbola 4 6.3. Aplicaciones 34 6.4. Problemario 37 6.5. Autoevaluacin 38 6.6. Conclusin 39 6.7. Soluciones del problemario 40 6.8. Soluciones de autoevaluacin 42 Referencias 43

ix

Hoy nos encontramos ante una encrucijada entre las herramientas informticas y un nuevo orden de redes sociales que presionan por soluciones; podemos llegar por primera vez al nuevo tiempo, uno ms incierto y de carcter tecnolgico de innovacin constante. La educacin es parte de nuestro mundo y a nuestra sociedad le corresponde juzgar si est a la altura de su tiempo. Este sencillo libro, expresa el intento de una institucin y sus hombres por hacer de l un medio para hablar entre generaciones, para atar las ideas que amenazan con evaporarse, para romper las paredes del aula a muchos ms ciudadanos y para democratizar la actividad de ctedra en pginas que representan la actitud del espritu CONALEP. Con el apoyo del Sistema Nacional de Educacin a Distancia (SINED) para generar los contenidos para formar profesores escritores, con la inventiva de la Coordinacin de Innovacin Educativa/QFB de la Universidad Michoacana y la clara meta del CONALEPMICH por ser una institucin que produce su propia visin de las profundidades de su programa educativo medio superior. En una primera fase mayo agosto de 2011, forman profesores del sistema CONALEP con el fin de producir una cultura de obras literarias que permitan apoyar las necesidades de conocimiento de estudiantes, formar profesores como escribas de su ctedra. Si estas pginas ayudan a convencer que la educacin no es hacer ms fcil algo, sino fundamentalmente producir un cambio reflexivo en el desafo cognitivo dentro del pensamiento cientfico tcnico. Esto es prueba de que la comunidad docente, autoridades y sindicato son capaces de sumar para un futuro comn.

Eduardo Ochoa Hdez., 2011.

x

Mtro. Leonel Godoy Rangel Gobernador Constitucional del Estado de Michoacn

Mtra. Graciela Carmina Andrade Garca Pelez

Secretaria de Educacin

Dr. Rogelio Sosa Pulido Subsecretario de Educacin Media Superior y Superior

Lic. Ana Mara Martnez Cabello

Directora de Educacin Media Superior

Mtro. Wilfrido Perea Curiel Director General del Sistema Conalep

Mtro. Vctor Manuel Lagunas Ramrez

Titular de la Oficina de Servicios Federales en Apoyo a la Educacin en Michoacn

Lic. Antonio Ortiz Garcilazo

Director General del Conalep Michoacn

Ing. Jos Gilberto Dvalos Pantoja Secretario General del SUTACONALEPMICH

Dr. Salvador Jara Guerrero

Rector de la Universidad Michoacana de San Nicols de Hidalgo

M.C. Lourdes Galeana de la O Directora General del SINED

Ing. Eduardo Ochoa Hernndez

Coordinador de Innovacin Educativa (CIE/QFB)

CONALEP-2011 [Representacin grfica de funciones]

i


1

1.1. Relaciones y funciones

Funcin: Es una relacin entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer

conjunto le corresponde uno del segundo conjunto1,2,3, estos conjuntos se llaman

dominio y contradominio. El gran matemtico Euler4, llamado por Laplace como El

maestro de todos nosotros5, es quien introduce el trmino en el vocabulario

matemtico, parecindose al concepto de frmula, trmino relacionado con variables y

constantes. La definicin moderna se le atribuye al alemn Peter Dirichlet6; quien

introduce el concepto de funcin como una expresin, una regla o ley que define una

relacin entre una variable (variable independiente) y otra variable (variable

dependiente).

Si observamos a nuestro alrededor, y tratamos de definir lo que ocurre, podramos

hacerlo en trminos matemticos, tal vez quedar definido mediante los siguientes

axiomas7:

a) Todo evento en la naturaleza puede ser representado mediante ecuaciones o

funciones y viceversa, toda ecuacin o funcin puede ser la representacin de algn

evento en la naturaleza.

b) Todo evento en la naturaleza tiene patrones.

Desde la antigedad el hombre ha intentado buscar estas relaciones, comenz

colocando marcas en relacin con el nmero de aos o de animales que posea. Hern

de Alejandra en el siglo II D.C. encontr una frmula que calcula el rea de un

tringulo en funcin de sus lados. Tratando de no malinterpretar a Platn8, podra

decirse que lleg a la conclusin de que los nmeros son el lenguaje para expresar las

ideas, tal vez aventurndonos, pero sin poder afirmarlo, podramos pensar que ya

tenan una nocin de lo que es una funcin, de la misma forma se podra afirmar que


2

los mayas, egipcios9 o chinos, entre otras civilizaciones, ya manejaban el concepto o

solamente uno cercano a l, el de relacin.

Galileo10 al relacionar el movimiento de los cuerpos celestes en funcin de su posicin,

pretendi relacionar los conceptos, formulando leyes, as dio un gran paso hacia la

concepcin de lo que es una funcin. Poco despus de Galileo, Descartes muestra la

relacin que existe entre una grfica y una ecuacin y viceversa. Sin embargo, la

definicin de funcin se ha ido modificando con el tiempo, desde la construccin de

tablas de races y potencias hasta como se emplea ahora. Se considera que Leibniz

introduce este trmino, seguido por Bernoulli11, quien en septiembre de 1694 escribe

una carta en respuesta a Leibniz; lo que describe como funcin en el sentido ms

actual:

una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y

constantes12

En 1748 el concepto de funcin tom nfasis gracias a la publicacin introduction in

analysin infinitorum de Euler, donde define funcin como

una funcin de una cantidad variable es una expresin analtica compuesta, como

cualquiera que lo sea de dicha cantidad y de nmeros o cantidades constantes13

As se da el crdito a Euler de precisar el concepto de funcin y del estudio de

funciones elementales. Sin embargo, es Peter Dirichlet quien introduce el concepto

moderno de funcin.


3

1.2. Aplicacin de pares ordenados

Producto cartesiano

Comencemos por definir el producto cartesiano de dos conjuntos, como el conjunto

formado por todas las parejas ordenas, tales que como primer elemento de las parejas

se tome cada uno de los elementos del primer conjunto y como segundo elemento de

las parejas ordenadas cada uno de los elementos del segundo conjunto14.

Por ejemplo: sean A= {1,2,3} y B={a,b}, A B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Observe que por ser un conjunto se coloca entre llaves { } y se separan sus

elementos que estn formados por seis nuevas parejas ordenas, por comas; es decir,

formamos un producto cartesiano de seis parejas.

Si calculamos B A tendremos que: BA= {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}

Obsrvese que en el producto cartesiano no se presenta la propiedad conmutativa.

En el producto cartesiano15, al conjunto de todos los primeros elementos de las

parejas ordenadas se le llama dominio, y al conjunto formado por los segundos

elementos de todas las parejas ordenadas se llama contradominio o codominio

(tambin llamado impropiamente rango).

Una relacin15 es un subconjunto de un producto cartesiano que asocia a los

elementos del dominio con los del contradominio. En nuestra vida cotidiana hacemos

uso de varias relaciones, por ejemplo, cuando de acuerdo al apellido de los alumnos

les asignamos un nmero natural para hacer la lista de asistencia, as podra quedar un

ejemplo de ella:

A={(1,Diego Barragn), (2,Emilio Cendejas), (3,Santiago Guijosa),

(4, Gabriel Hernndez),}


4

En esta relacin el dominio es un subconjunto de los nmeros naturales:

Dom={1,2,3,4,n} donde n representa el nmero del ltimo alumno. El contradominio

est formado por el nombre del alumno al que se le asign un nmero en la lista, el

contradominio se forma pues, con el nombre y apellido paterno de los alumnos y la

imagen es igual al contradominio.

Otro ejemplo puede ser, la relacin que existe entre el color de la luz del semforo de

trnsito y el estado de movimiento de un vehculo en la va pblica:

H= {(rojo, alto), (mbar, disminucin), (verde, siga)}

En esta relacin el dominio es un subconjunto de los colores existentes y el

contradominio es el estado de movimiento de un vehculo.

Ejemplo 1. Sean A={1,2,3} y B={1,2,3,4}, obtener el producto cartesiano A B

Solucin

AB={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),

(3,2),(3,3),(3,4)} (ver grfica nmero 1)

El dominio correspondiente es:

Dominio ={1,2,3} y el contradominio ={1,2,3,4}

Ejemplo 2. Sean A={1,2,3} y B={1,2,3,4}, obtener el producto cartesiano B A

Solucin

B A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),

(4,1),(4,2),(4,3)} Ver figura 2

Dominio={1,2,3,4} y el contradominio ={1,2,3}

Ntese que el producto cartesiano no es conmutativo.


5

De lo anterior, podemos concluir que el producto cartesiano entre dos conjuntos es una

operacin que asigna a cada elemento del primer conjunto con todos y cada uno de los

elementos del segundo conjunto, formando un nuevo conjunto, el conjunto de las

parejas ordenadas, dicho conjunto puede ser representado grficamente como

veremos a continuacin:

Grfica de una relacin

Es conveniente tener una representacin grfica de las relaciones, nos ayuda a ver

objetivamente cmo se comportan las variables, esto se puede hacer representando en

el eje horizontal los valores de las variables independientes (x) y en el eje vertical (y)

los valores de las variables dependientes, como se muestra a continuacin:

Fig. 1. Producto A B Fig. 2. Producto B A

Cuando tenemos una expresin algebraica a la que le asignamos diferentes valores a

una literal, la expresin tomar determinados valores, por ejemplo la expresin x2-2x

la llamamos y, y escribimos y=x2-2x, si le damos valores a la letra x, que llamaremos

variable independiente (x =-2, x=-1, x=0, x=1, x=2, x=3 etc.) la expresin y, la

nombraremos variable dependiente, tomar los valores: si x =-2, y=8, para x =-1,

y=3, para x =0, y=0, para x =1, y=-1,para x =2, y=0, para x =3, y=3, etc.,

escribiremos las parejas ordenadas colocando como primer elemento al valor de la


6

variable independiente x y su segundo elemento el valor correspondiente de la variable

dependiente y, nos quedar como sigue: {(-2,8),(-1,3),(0,0),(1,-1),(2,0),(3,3)}.

En la expresin y=x2-2x, a la x se le llama variable independiente porque es a la

variable que nosotros le asignamos valores de manera arbitraria, la variable y tambin

cambia dependiendo del valor que le asignemos a x, por lo que recibe el nombre de

variable dependiente. Graficando la relacin anterior, tenemos:

Fig. 3. La relacin y=x2-2x

Si suponemos que estamos trabajando con el conjunto de los nmero enteros(Z)16, el

dominio de la relacin anterior estar formado por todo Z y el rango est formado por

todos aquellos valores que cumplan con la relacin y=x2-2x, tambin estn en Z,

rango={0,-1,3,8,15}. Si trabajamos con los nmeros reales en RR, la grfica

quedar representada por todos los puntos que satisfagan a la relacin y=x2-2x y la

grfica se traza con una lnea continua.


7

Fig. 4. Grfica de la relacin y=x2-2x.

El dominio de la relacin y=x2-2x es R, el contradomio est en R, la imagen se obtiene

despejando x y analizando qu valores reales puede tomar y, esto es:

y=x2-2x

x2-2x +1= y+1 completando el trinomio a cuadrado perfecto

(x-1)2=y+1 factorizando el trinomio cuadrado perfecto

x-1 = sacando raz cuadrada en ambos lados

x= +1 despejando x

para que x sea un valor real el radicando

y+1 0, esto es y-1 por lo que el contradominio es {yR/y-1}.

Definiremos ahora una funcin14, como una relacin en la que a cada elemento del

dominio le corresponde una y solo una imagen o conjunto de parejas ordenadas,

donde no existen dos diferentes que tengan el mismo primer elemento.

Si A={(a,1),(b,2),(c,3),(d,2)} los primeros elementos a, b, c y d son diferentes entre

s, respecto a los segundos no se tiene esa limitacin, no importa que el elemento 2


8

se encuentre en la segunda y cuarta pareja, por lo tanto, se puede decir que es una

funcin si no existen dos parejas ordenadas distintas que tengan el mismo primer

elemento. Para identificar si una relacin es una funcin, podemos trazar rectas

verticales paralelas al eje Y, y si al menos una corta a la grfica de la relacin en ms

de un punto, se dice que es una relacin, dicho de otra manera, si solo cortan en un

punto la grfica de la relacin representa una funcin.

Fig. 5. Grfica de una recta inclinada.

Observe que para cada valor de x solo existir un valor de y, por lo tanto es una

funcin. Lo mismo pasa en las dos grficas siguientes:

Fig. 6. Grfica de una funcin. Fig. 7. Grfica de una funcin.


9

Ms adelante se hablar de algunas de estas funciones, cmo obtener su grfica y su

ecuacin. La siguiente grfica (fig.8) nos permite afirmar que no es la grfica de una

funcin, ya que si trazamos una recta paralela al eje Y, la corta en dos lugares

distintos, eso es que dos parejas ordenadas diferentes tienen el mismo primer valor.

NOTA14,15: Toda funcin es una relacin, pero no toda relacin es una funcin.

Fig. 8. Grfica de una relacin.

Ejemplo 3. Escribe el resultado del siguiente producto cartesiano y traza su grfica

AXB, si A={1,2,3},B={2,3}

Solucin

A B= {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)}

Observe que el nmero de pares ordenados, se puede calcular

multiplicando el nmero de elementos del conjunto A por el nmero

de elementos del conjunto B, esto es, 3 2=6 elementos

correspondientes a las seis parejas ordenadas obtenidas.

Su grfica se muestra a continuacin:


10

Fig. 9. Grfica del producto cartesiano A B.

Ejemplo 4. Calculemos el producto CD, si C= {rojo, azul} y D= {amarillo, verde, negro}

Solucin

C D={(rojo, amarillo),( rojo, verde),( rojo, negro),

(azul, amarillo),( azul, verde),( azul, negro)}

Fig. 10. Producto cartesiano C .


11

Observe que para hacer la grfica, el eje de las abscisas

corresponde a los elementos del conjunto C y el eje de las

ordenadas corresponde al conjunto D.

Ejemplo 5. Hallar el producto EF, si E= {x / 1


12

Solucin

Partiendo de la ecuacin:

5 3 10

5 3 10 0

5 10 3

5 10

3

5 10

3 3

x y

x y

x y

xy

xy

Por lo que el dominio de la funcin x y el contradominio es

y , por lo tanto es una funcin, siendo su grfica la siguiente

lnea recta:

Fig. 12. De la ecuacin 5x-3y=10.

Ejemplo 7. Hallar si la siguiente relacin es una funcin, encuentra el dominio y contradomio, y

traza su grfica: {(x,y)/x,y 8x2-19y2=64}


13

Solucin

Dominio={x/

}

Tambin puede escribirse Dominio= {x/- }

Para encontrar el contradominio despejamos y

y=

y= elevando al cuadrado

19y2=8x

2-64

19y2+64=8x

2

x=

Podemos observar que no tiene denominador indeterminado y que y

puede tomar cualquier valor real, ya que si y es negativa o

positiva al elevar al cuadrado su valor es positivo, por lo tanto

2 2

2 2

2 2

2

2

2

8 19 64

8 19 64 0 Igualando a cero

8 64 19 Despejando a y

8 64

19

8 64

19

Para que exista una solucin real el radicando

debe de ser mayor o igual que cero.

x y

x y

x y

xy

xy


14

el contradominio es el conjunto de los nmero reales y es una

relacin.

Fig. 13. Grfica de

2

8 64

19

xy

Ejemplo 8. Hallar si la siguiente relacin es una funcin, encuentra el dominio y contradomio, y

traza su grfica: {(x,y)/x,y x2-16x-12=0}

Solucin

x2-16x-12=y

x2-16x+64=y+12+64

(x-8)2=y+76

x-8 = sacando raz en ambos miembros

x= investiguemos los valores donde y+76

Contradominio son las y mayores o iguales que 76, y[-76,

Para encontrar el dominio analicemos y=x2-16x-12 y podemos

observar que y existe para cualquier valor de x, por lo tanto:

Dom x y es una funcin.


15

Fig. 14. Grfica de y=x2-16x-12.

Ejemplo 9. Indica si la siguiente relacin es una funcin, encuentra el dominio y contradomio, y

traza su grfica: {(x,y)/x,y y2+8x-32=0}

Solucin

y2+8x-32=0 para encontrar el dominio despejamos y

y= analizando 32-8x 0

x 4 o x(

Para encontrar el contradominio despejamos x

y2=32-8x

y=

y= analizando el radicando 4-x 0

x


16

x(- La grfica que representa es una parbola horizontal que

abre a la izquierda y es una relacin.

Fig. 15. Grfica de y= .

Ejemplo 10. Determinemos el dominio y el contradominio de la siguiente funcin:

( ) 1 f x x

Solucin

En las funciones polinomiales su dominio y contradominio queda

definido por todos los nmeros reales, ya que al sustituir el

valor de x en la funcin polinomial, se obtiene un nmero real.

Por lo que el dominio y contradominio de la funcin f(x)=x+1 son

todos los nmeros reales, esto es:

Dom={x/xR} y Rango={y/yR}

Tambin podemos notarlo cuando observamos que no tiene denominador

por lo que no existen indeterminaciones de la funcin, y decimos

funcin, ya que al observar la grfica y seguir la regla de la

recta vertical lo podemos concluir.


17

Fig. 16. Grfica de f(x)=x+1.

Ejemplo 11. Encontrar el dominio y el contradominio de la siguiente funcin:2

( ) x

f xx x

Solucin

En una Funcin racional17

, su dominio queda definido por

los valores numricos que corresponden a Q(x) , ya que se debe

de considerar que el denominador debe de ser distinto de cero,

porque de lo contrario no se obtendra un nmero real, simplemente

el dominio omite las races de Q(x).

Manipulando la ecuacin, factorizando el denominador y

simplificando tendremos:

2( )

( )( 1)

1( )

1

xf x

x x

xf x

x x

f xx


18

Considerando que f(x) no est definida cuando el denominador es

cero, por lo que el dominio es el conjunto de las x tales que x 1

El contradominio se puede obtener haciendo

Despejando x y observando los valores reales que puede tomar y

tendremos:

Y (x-1)=1

(x-1)=

x=

+1 obsrvese que y debe ser distinto de cero para

que existan valores reales de x, por lo que se

puede concluir que y 0

Entonces el Contradominio={y / y 0}

Fig. 17. Grfica f(x)=

.


19

Ejemplo 12. Calcular el dominio y el contradominio de la siguiente funcin:

2( )

1f x

x

Solucin

Tenemos una funcin racional, analicemos el denominador de

ntese que debe ser la condicionalidad estricta, es

Decir, debe ser mayor que 0, ms no igual, ya que ten-

dramos una indeterminacin o divisin entre cero.

Resolviendo:

x + 1 > 0

x > -1

Por lo que el dominio son todas las x que pertenecen a los nmeros

reales que son mayores que -1

{x/x x>-1} x(-1,+ )18

Para obtener el contradominio despejamos la x y observamos qu

valores reales puede tomar la y para que x exista,


20

( )

=

elevando al cuadrado en ambos miembros tenemos:

Por lo que el contradominio son todas las y que pertenecen a los

nmeros reales tales que y debe ser distinta de 0 (y 0).

Si hacemos una tabla de valores podemos obtener la grfica,

recuerde que x>-1

x y Una observacin muy importante es que

-0.9 6.32 debemos considerar los dos signos de la

0 2 raz.

3 1

8 2/3

Fig. 18. Grfica de y=

.


21

Ejemplo 13. Calcular el dominio y el contradominio de la siguiente funcin:2 3 2y x x

Solucin

Analizando el radicando x2-3x+2 0

Factorizando (x-1)(x-2) 0

Tenemos que considerar dos casos:

Caso I

Cuando los dos factores son positivos

x-1 0 y x-2 0

x1 y x2 eso se cumple cuando x2

Caso II

x-1 0 y x-2 0

x 1 y x 2, esto se cumple para x1

Uniendo las dos soluciones de cada caso tendremos que

x(- o 2x1

Para calcular el contradominio despejamos x y observamos qu

valores reales puede tomar y

y2=x

2-3x+2


22

y2-2=x

2-3x completando el trinomio cuadrado perfecto

y2-2+

=x

2-3x+

reduciendo y factorizando

y2+

=(x-

sacando raz cuadrada

=x-

x=

Contradominio=

Fig. 19. Grfica de y=+ .

Grfica de y= cuando solo consideramos la riz positiva,

queda al lector terminar la grfica cuando se consideran los dos

signos de la raz.


23

Plano cartesiano

Si dibujamos en un plano dos rectas perpendiculares entre s, quedan delimitadas

cuatro regiones, las cuales reciben el nombre de cuadrantes y se denotan mediante

nmeros romanos I, II, III y IV, como se especifica en la figura. Las rectas se llaman

ejes coordenadas y su punto de interseccin se llama origen y se denota por O.

Fig. 20. Cuadrantes en el plano cartesiano.

El eje horizontal, el eje X recibe el nombre de eje de las abscisas, y el perpendicular a

este el eje Y, eje de las ordenadas. El plano y los ejes coordenados se llaman plano

cartesiano en honor a Ren Descartes, el precursor de la geometra analtica.

Fig. 21. Plano cartesiano.


24

Los ejes X y Y son considerados como rectas reales, con el cero ubicado en el origen, y

con la misma escala. En su posicin usual, el eje X es horizontal y su direccin positiva

es hacia la derecha con respecto al origen, por lo que los nmeros positivos quedan en

el extremo derecho y los negativos en el izquierdo; en tanto, que el eje Y es vertical,

su direccin positiva es hacia arriba y los nmeros negativos quedan abajo. Las

coordenadas de puntos ubicados en el plano cartesiano:

Fig. 22. Localizacin de puntos en el plano cartesiano.

Ejemplo 14. Localiza en el sistemas de ejes de coordenadas los siguientes puntos: A (2,5), B(-1,4),

C(2,-5), D(3,-1), E(0,2), F(-6,-4), G(-5,0)

Solucin

Fig. 23. Puntos en el plano cartesiano.


25

Ejemplo 15. Dibuja el polgono cuyos vrtices son: A (2,4), B(-3,5), C(-4,-4), D(0,-4), E(4,-5) y

F(3,0)

Solucin

Fig. 24. Polgono en el plano cartesiano.

Ejemplo 16. Encuentra las coordenadas de los puntos sealados en el siguiente plano cartesiano:

Fig. 25. Puntos en el plano cartesiano


26

Solucin

Coordenadas de los puntos:

P1(-2,5)

P2(2,4)

P3(3,3)

P4(1,1)

P5(-1,2)

P6(4,-3)

P7(3,-4)

P8(2,-2)

P9(-2,-4)

P10(-3,-2)

P11(-5,-1)


27

1.3. Representacin del lugar geomtrico

Anlisis de ecuaciones

Cuando se conoce una ecuacin, es importante pasar a representar su lugar

geomtrico, es conveniente previamente conocer algunas propiedades, tales como

1. Determinar si la recta o curva es o no simtrica respecto a los ejes y al origen.

2. Determinar los puntos de interseccin con los ejes, o si no los hay.

3. Determinar el dominio y la imagen (tambin llamado extensin).

4. Determinar si tiene asntotas horizontales o verticales.

5. Hacer la grfica.

Comencemos con el punto nmero uno:

Simetra respecto al eje de las X: si se sustituye en la ecuacin y por y, y la

ecuacin no se altera, entonces la curva es simtrica respecto al eje de las X, por lo

tanto, basta con observar si los exponentes de la y en todos los trminos tienen

exponente par.

Simetra respecto al eje Y: Si se sustituye en la ecuacin x por x , y la ecuacin no

se altera, entonces la curva es simtrica respecto al eje de las Y, por lo tanto basta con

observar si los exponentes de la x en todos los trminos tienen exponente par.

Simetra respecto al origen: Es suficiente con observar que los exponentes de x y de y

tengan exponente par, o bien, que cumplan con tener simetra respecto a los dos ejes.

Interseccin con el eje de las X: Sustituimos y=0 y resolvemos la ecuacin,

encontramos as la abscisa del punto que interseca al eje X, si no hay solucin real

significa que no tiene interseccin con el eje X.


28

Interseccin con el eje de las Y: Sustituimos x=0 y resolvemos la ecuacin,

encontramos as la ordenada del punto que interseca al eje Y, si no hay solucin real

significa que no tiene interseccin con el eje Y.

Extensin: Dominio y contradominio

Respecto a x: Para encontrar el dominio se despeja la y y se determinan los valores

reales que puede tomar la x, de manera que sea posible obtener un valor real para y.

Respecto a y: Para encontrar el contradominio se despeja la x y se determinan los

valores reales que puede tomar la y, de manera que sea posible obtener un valor real

para x.

Asntotas: Es la recta que no es tocada por un punto por ms que se aproxime a ella,

hay asntotas de cualquier posicin, pero se har nfasis en las asntotas horizontales y

en las verticales.

Asntotas verticales: Se despeja y, y se observa la x, si aparece en el denominador se

iguala a cero y los valores que hacen cero el denominador, son las abscisas

correspondientes a las ecuaciones de las asntotas verticales.

Asntotas horizontales: Se despeja x y se observa la y, si aparece en el denominador

se iguala a cero y los valores que hacen cero el denominador, son las ordenadas

correspondientes a las ecuaciones de las asntotas horizontales.

Ejemplo 17. Discutir la ecuacin x2+y

2-9=0 y graficarla


29

Solucin

Simetra respecto al eje X: como y tiene exponente par, se dice

que existe simetra respecto a x (o hacer tambin la sustitucin

de x por x)

Respecto al origen: todos los trminos tienen exponente par, por

lo tanto es simtrica respecto al origen. Ntese que existe

simetra respecto al eje X y respecto al eje Y, entonces existe

simetra respecto al origen.

Intersecciones:

Con eje X: hacemos y=0

x2+y

2-9=0

x2+(0)

2-9=0

x2=9

x=

x=

Por lo tanto la curva corta el eje X en dos puntos (-3,0) y (3,0)

Con eje Y: hacemos x=0

x2+y

2-9=0

(0)2+y

2-9=0

y2=9

y=

y

por lo tanto la curva corta al eje Y en dos puntos (0,-3) y (0,3).


30

Extensin:

Respecto a x: (dominio) despejamos y

x2+y

2-9=0

y2=9-x

2

y=

para que yR 9-x20; -x2-9

(-1) -x2-9(-1) multiplicando por -1 ambos miembros

x29 recuerde que se invierte la desigualdad

-3x3 o bien x[-3,3]

Respecto a y: (imagen)despejamos x

x2+y

2-9=0

x2=9-y

2

x=

para que yR 9-y20

-y2-9

(-1)-y2-9(-1)

y29

-3y3 o y[-3,3]

Asntotas:


31

Horizontales: ya tenemos despejado x; x= , si observamos,

no tiene denominador con y, por lo que la curva no tiene asntotas

horizontales.

Verticales: ya tenemos despejado y; y= , si observamos,

tampoco tiene denominador con x, por lo que la curva no tiene

asntotas verticales.

Grfica: podemos usar la ecuacin y= , damos valores a la

variable independiente x, que pertenezcan al intervalo que se

obtuvo para su extensin

x y

-2

-1 =

1 =

2

Fig. 26. x2+y

2-9=0.

Recordemos que la curva es simtrica respecto a los 2 ejes y al

origen, tracemos los puntos de interseccin con los ejes.

La curva trazada corresponde a una circunferencia con centro en el

origen C(0,0) y radio r=3.


32

1.4. Problemario

Dado los siguientes conjuntos, obtener el producto cartesiano que se indica:

1.1. Si A={a,e,i,o,u} y B={2,4,5}, A B

1.2. Si C={10,15,20} y D={15,20,25}, D C

1.3. Si E={Juan, Pedro} y F={Mara, Diana, Karla}, F E

1.4. Si G={2,4,6,8} y H={1,3,5}, G H

1.5. Si I={0,1} J={-3,-5,-6}, J I

1.6. Si K={x/5


33

2. Identificar si las relaciones son funciones, encontrar su dominio, su contradominio y

hacer su grfica.

2.1. y=

+5

2.2. y=5

2.3. x=4

2.4. y=3x+2

2.5. x2+8y=0

3. Determine el dominio y contradominio de las siguientes relaciones:

4. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano:

A(3,2), B(-1,3), C(0,1), D(1,2), E(4,-1), F(2,3), G(3,0),

H(4,4), J(-3,0), K(5,3)L(0,-4), M(-4,-3), N(3,-3), P(5,0)

O(0,0)

2

3.1. ( ) 32

13.2. y

2

3.3. ( ) 3 1

3.4. 1 2

23.5. ( )

5

13.6. ( )

2

53.7. ( )

25

3.8. ( )

3.9. ( ) 9

13.10. ( )

3

xf x

x

f x x

y x

f xx

f xx

f xx

f x x

f x x

f xx


34

5. Ubica los pares ordenados en el plano cartesiano, une los puntos e identifica el polgono

irregular obtenido.

5.1. A(-2,2), B(-1,-2), C(2,-2)

5.2. A(-2,-2), B(-1,1), C(3,1), D(3,-1), E(1,-3)

5.3. A(1,-1), B(2,2), C(5,3), D(7,1), E(6,-2), F(3,-3)

5.4 A(-4,-2), B(0,-2), C(2,1), D(-2,1)

6. Identificar cules de las grficas siguientes representan una funcin y cul es una

relacin (sugerencia: usa la recta vertical paralela al eje de las Y).

6.1.

6.2.

6.3.


35

6.4.

7. Discute las siguientes ecuaciones, indicando: si la recta o curva es simtrica respecto de

los ejes y/o del origen, las intersecciones con los ejes si las tiene, su dominio y

contradominio, las asntotas verticales y horizontales si las tiene, bosqueja su grfica

(puedes hacer una tabla de valores).

7.1. y=3x-7

7.2. y2-12x=0

7.3. x2+6y=0

7.4. 4x2+9y

2=36

7.5. 16x2-9y

2-144=0

1.5. Autoevaluacin

1. Contesta correctamente lo siguiente:

1.1. Cul es la funcin que se expresa como el cociente de dos funciones

polinomiales?

1.2. Qu es el dominio de una funcin?


36

1.3. Quin introduce el concepto moderno de funcin?

1.4. Qu es una relacin?

1.5. Qu es el contradominio de una funcin?

1.6. Qu es una funcin?

1.7. Es conmutativo el producto cartesiano?

2. Obtener el producto cartesiano B A, si A={2,4,6} y B={3,5,7}

3. En el siguiente plano cartesiano indique el nmero de cuadrante, el nombre de cada uno

de sus ejes y localice los siguientes puntos colocando la letra que le corresponde:

A(0,0),B(3,0),C(2,3),D(0,4),E(-4,3),F(-5,0),G(-3,2),H(0,-3)

I (3,-2)

4. Encuentra el dominio y el contradominio de la ecuacin siguiente e indica si representa

una relacin o una funcin:

5 2y x


37

5. Indica si la grfica siguiente representa una funcin o una relacin. Utiliza la regla de la

recta vertical paralela al eje Y.

6. Discute la ecuacin x2+y

2-36=0 indicando lo siguiente:

a) Simetra respecto del eje X

b) Simetra respecto del eje Y

c) Simetra respecto del origen

d) Interseccin con el eje X

e) Interseccin con el eje Y

f) Su dominio

g) Su contradominio

h) Si tiene asntotas verticales

i) Si tiene asntotas horizontales

j) Grafcala

k) Indica si representa una relacin o una funcin.

1.6. Conclusin

En este captulo vimos que una funcin es una relacin donde no hay dos parejas

distintas de puntos o coordenadas que tengan el mismo primer valor, se vieron

algunos ejemplos de funciones, sus grficas, su dominio y contradominio, pero hay una


38

gran variedad de funciones que se aplican en economa, como la funcin de costos,

crecimiento de poblaciones, funciones logartmicas, trigonomtricas, por mencionar

algunas. Existe todo un estudio sobre las funciones y tuviste un pequeo acercamiento

a ellas, en los cursos posteriores profundizars ms en sus propiedades, clasificacin y

aplicaciones.

1.7. Soluciones del problemario

1.1. A B={ (a,2),(a,4),(a,5), (e,2),(e,4),(e,5),

(i,2),(i,4),(i,5), (o,2),(o,4),(o,5),

(u,2),(u,4),(u,5)}

1.2. C D={ (10,15),(10,20),(10,25),(15,15),(15,20),(15,25),

(20,15),(20,20),(20,25)}

1.3. F E={(Mara, Juan),(Mara, Pedro),

(Diana, Juan),(Diana, Pedro),

(Karla, Juan),(Karla, Pedro)}

1.4. G H={(2,1),(2,3),(2,5), (4,1),(4,3),(4,5),

(6,1),(6,3),(6,5),(8,1),(8,3),(8,5)}

1.5. J I={(-3,0),(-3,1),(-5,0),(-5,1),(-6,0),(-6,1)}

1.6. K L ={(6,1),(6,2),(6,3), (7,1),(7,2),(7,3)}

1.7. M={-2.-1} y N={1,2}

N M={(1,-2),(1,-1),(2,-2),(2,-1)}

1.8. O={-3,-2,-1,0,1,2} y P={-1,0}

O P={(-3,-1),(-3,0),(-2,-1),(-2,0),(-1,-1),(-1,0),

(0,-1),(0,0),(1,-1),(1,0),(2,-1),(2,0)}

1.9. Q R={(adenina, timina),(adenina, uracilo),(citosina, timina),


39

(citosina, uracilo)}

1.10. S T={(3,2),(3,4),(5,2),(5,4),(7,2),(7,4),(11,2),(11,4)}

1.11. A={H2SO4}={H1,H2,S,O1,O2,O3,O4}

B={H2O}={H1,H2,O}

{(H1,H1),(H1,H2),(H1,O),(H2,H1),(H2,H2),(H2,O),

(S,H1),(S,H2),(S,O),(O,H1),(O,H2),(O,O),

(O2,H1),(O2,H2),(O2,O), (O3,H1),(O3,H2),(O3,O),

(O4,H1),(O4,H2),(H4,O)}

Nota: en este ejemplo, si se pudiera diferenciar cada hidrgeno de

cada oxgeno se le pondra un subndice, no debe leerse como

cantidad.

Recordemos en teora de conjuntos que los elementos que los

conforman no se repiten, por lo que

A={H,S,O} y B={H,O}

A B={(H,H),(H,O),(S,H),(S,O),(O,H),(O,O)}

2.1. y=

+5

Dominio= o x(- )

Contradominio= o y(- )

S es funcin


40

2.2. y=5

Dominio= o x(- )

Contradominio=[5] o y=5

S es funcin

2.3. x=4

Dominio=[4] o x=4

Contradominio= o x(- )

No es funcin es relacin

2.4. y=3x +2

Dominio= o x(- )


S es funcin


41

2.5. x2+8y=0

Dominio= o x(- )

Contradominio y(-

S es funcin

3.1. f(x)=3-

Dominio= o x(- )


3.2. y=

Dominio= o x(- )



42

3.3. f(x)=3x-1

Dominio= o x(- )


3.4. y=

Dominio={x/x

}


3.5. f(x)=

Dominio=

Contradominio=

Ver grfica

3.6. f(x)=

Dominio=

Contradominio=


43

3.7. f(x)=

Dominio= lase todos los reales, menos el -5 y el 5

Contradominio:

3.8. f(x)=

Dominio={x/x


3.9. f(x)=

Dominio={x/x


3.10. f(x)=

Dominio={x/x


44

4. A(3,2), B(-1,3), C(0,1), D(1,2), E(4,-1), F(2,3), G(3,0),

H(4,4), J(-3,0), K(5,3)L(0,-4), M(-4,-3), N(3,-3), P(5,0),

O(0,0).

5.1. Es un tringulo escaleno.

5.2. Es un pentgono irregular.


45

5.3. Es un hexgono irregular.

5.4. Es un cuadriltero.

6.1. Es relacin

6.2. Es funcin

6.3. Es funcin

6.4. Es relacin

7.1. Como el exponente de y es impar no hay simetra respecto del

eje X, como el exponente de x es impar no hay simetra respecto

del eje Y, por lo tanto, no existe simetra respecto del origen.

Interseccin con eje X (7/3,0)

Interseccin con eje Y (0,-7)

Dominio (-

Contradomio(-

No hay asntotas verticales ni horizontales


46

7.2. Como el exponente de y es impar, s hay simetra respecto al

eje X, como el exponente de x es impar, no hay simetra respecto

al eje Y, por lo tanto no existe simetra respecto del origen.

Interseccin eje X; en x=0

Interseccin eje Y; en y=0

Dominio={x/x

Contradominio=

Asntotas: no hay horizontales ni verticales.

7.3.

No existe simetra respecto a x.

S existe simetra respecto a y.

No existe simetra respecto al origen.

Interseccin con eje X: x=0


47

Interseccin con eje Y: y=0

Dominio=

Contradominio={y/y

No existen asntotas verticales ni horizontales.

7.4.

Existe simetra respecto al eje X y eje Y, por lo tanto respecto

del origen de coordenadas.

Interseccin con eje X: (-3,0) y (3,0)

Interseccin con eje Y: (0,2) y (0,-2)

Dominio x[-3,3] lase intervalo cerrado de -3 a 3

Contradominio y[-2,2]

No existen asntotas verticales ni horizontales.

7.5.

Existe simetra respecto al eje X y eje Y, por lo tanto respecto

del origen.

Intersecciones con eje X: (-3,0),(3,0)


48

Intersecciones con eje Y: no existen.

Dominio: {x/-3

Contradominio=

No existen asntotas horizontales ni verticales

Nota: Ms adelante se ver que tiene dos asntotas que cruzan por

el origen de coordenadas.

Grfica: corresponde a una hiprbola

y=


49

1.8. Soluciones de autoevaluacin

1.1. Funcin racional 1.2. El conjunto de todos los valores posibles de x 1.3. Peter Dirichlet 1.4. Es un conjunto de pares ordenados 1.5. Es el conjunto de todos los valores posibles de y 1.6. Es una relaicion donde no hay dos pares distintos, que tengan el mismo primer

valor. 1.7. No

2. B A={(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,4),(5,6),(7,2),(7,4),(7,6)}

3.

4.

Dominio=

Contradominio=

Es una funcin.

5. Es una relacin.

6.


50

a) Simetra respecto del eje X: si existe

b) Simetra respecto del eje Y: si existe

c) Simetra respecto del origen: si existe

d) Interseccin con el eje X: (-6,0) y (6,0)

e) Interseccin con el eje Y: (0,6) y (-6,0)

f) Su dominio: x(-

g) Su contradominio: y(-

h) Si tiene asntotas verticales: no tiene

i) Si tiene asntotas horizontales: no tiene

j) Grafcala: una circunferencia con centro en el origen y radio 6

k) Indica si representa una relacin o una funcin: relacin


51

Referencias y notas.

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2 A. Bak Thor,Lichtenberg Jonas (1972). Functions of one several variables. Barcelona: Revert. Recuperado

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3 Prawda W. Juan (1995). Mtodos y modelos de investigacin de operaciones. Mxico: Limusa. Recuparado

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4 Biografas y Vidas (2011). Leonhard Euler. Biografas y Vidas . Recuparado 15 de junio de 201, de

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5 Bradley, Robert E. & Sandifer, Charles Edward (2007). Leonhard Euler: life, work and legacy. Netherlands

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&sa=X&oi=book_result&ct=book-

thumbnail&resnum=3&ved=0CDcQ6wEwAg#v=onepage&q=Introduction%20to%20analysis%20of%20the

%20infinite&f=false

6 Enciclopedia Britnica. Recuperado el 16 de junio de 2011, de

http://www.britannica.com/EBchecked/topic/165066/Peter-Gustav-Lejeune-Dirichlet

7 Axioma: proposicin tan obvia, clara y sencilla que se admite sin demostrar.

8 Hidalgo de la Vega, Mara Jos, et al. (1988). Historia de la Grecia antigua. Salamanca: Universidad de

Salamanca. Recuperado el 16 de junio de 2011, de

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9 Barradas, Ignacio (2005). Las matemticas del antiguo Egipto. Buenos Aires: Argenpress. Recuperado el 16

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10

James Holton, Gerald Brush, & Stephen G. (1996). Introduccin a los conceptos y teoras de las ciencias

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52

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14

Guerra T. Manuel (1994). Geometra analtica. Mxico: McGraw-Hill

15

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16

Z=conjunto de los nmeros enteros {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,} 17

Funcin expresada como el cociente de dos funciones polinomiales P(x)/Q(x) donde Q(x)0 18

( ) notacin de intervalos abiertos por los dos extremos


i


1

2.1. Determinacin grfica de la recta

La recta

Pitgoras, filsofo, astrnomo, fsico y matemtico, domin el pensamiento de su

tiempo, su enseanza era la doctrina mstica, segn la cual todo era

nmero1.Conocido entre otras muchas cosas por el teorema que lleva su nombre, el

teorema de Pitgoras: el cuadrado de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual

a la suma de los cuadrados de los otros dos lados2.

Este teorema se usa para deducir la frmula de distancia entre dos puntos

cualesquiera del plano. Comencemos por los casos particulares cuando los puntos se

encuentran en un segmento horizontal o vertical.

Distancia entre dos puntos

Situados en un segmento horizontal.

Sean P(x1,y1) y Q(x2,y1) dos puntos cualesquiera en el plano con la misma ordenada

y1, esto es, que estn en un segmento horizontal, si lo que queremos es calcular la

distancia entre dos puntos, restamos sus abscisas x2 y x1 esto es:

Distancia =x2-x1 o =x1-x2

Ntese que en ambas formas se obtiene la distancia, pero con signos diferentes, si

consideramos la distancia entre dos puntos como una magnitud positiva, la distancia

se expresa como el valor absoluto3 de la diferencia de sus abscisas, esto es:

= |x2-x1|=|x1-x2|

Representando los puntos P, Q y el segmento grficamente tendremos:


2

Ejemplo 1. Calcular la distancia entre los puntos A (1,4) y B (5,4).

Solucin

El segmento es horizontal ya que tienen la misma ordenada

4, usando la frmula4 tenemos:

=|x2-x1|

=|5-1|

=|4|

= 4

Tambin podra ser

=|x1-x2|

=|1-5|

=|-4|

=4

Como se pudo comprobar, es indistinto cul de los dos puntos

elijas como (x1,y1) y cul (x2,y2).


3

Ejemplo 2. Calcular la distancia entre los puntos C (-5,3) y D(3,3).

Solucin

La distancia entre los puntos C y D es:

Distancia =|x2-x1| o bien =|x1-x2|

=|3-(-5)| =|-5-3|

=|3+5| =|-5-3|

=|8| =|-8|

= 8 = 8

Ejemplo 3. Una cuerda de guitarra se hace vibrar y se desea calcular la longitud de onda

entre 2 de sus crestas cuyas coordenadas son los puntos A(10mm, 2mm) y B(15mm, 2mm).

Solucin

Nota: en una onda estacionaria, la distancia entre dos puntos

idnticos cualesquiera, como las crestas se llama longitud de onda

y se le representa con la letra griega .


4

=|x2-x1|=|15mm-10mm|=5mm

Distancia entre dos puntos situados en un segmento vertical

Sean P(x1,y1) y Q(x1,y2) dos puntos cualesquiera en el plano con la misma abscisa x1,

esto es, estn en un segmento vertical.

Para calcular la distancia entre dos puntos, restamos sus ordenadas, es decir:

Distancia =|y2-y1| o =|y1-y2|


5

Ejemplo 4. Calcular la distancia entre los puntos E(5,2) y F(5,8).

Solucin

Usando la frmula

=|y2-y1|=|y1-y2|

=|8-2|=|6|=6

=|2-8|=|-6|=6

Ejemplo 5. Calcular la distancia entre los puntos G(-4,2) y H(-4,6).

Solucin

Usando la frmula

|y2-y1|=|y1-y2|

=|6-2|=|4|=4

=|2-6|=|-4|=4

Distancia entre dos puntos situados en un segmento inclinado

Consideremos un segmento que no es horizontal ni vertical, es decir, inclinado,

consideremos el segmento en el primer cuadrante (solo por comodidad, pero es lo

mismo en cualquier cuadrante). Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos cualesquiera.


6

Obsrvese que se forma el tringulo PQR si trazamos las proyecciones de P y Q sobre

los ejes.

Ntese que se forma el tringulo rectngulo PQR, si trazamos las proyecciones de P

y Q sobre los ejes.

Calculamos la distancia horizontal y la vertical , lo hacemos de la misma forma

vista anteriormente =|x2-x1| y distancia =|y2-y1|, observe que es la

hipotenusa del tringulo rectngulo PQR, aplicando el teorema de Pitgoras tenemos:

2 2 2( ) ( ) ( )PQ PR QR


7

2 22

2 1 2 1( )PQ x x y y Note que cualquier nmero elevado al

2 2 2

2 1 2 1( ) ( ) ( )PQ x x y y cuadrado es positivo, podemos cambiar

2 2 21 2 2 1

( ) ( ) ( )PQ x x y y los valores absolutos por parntesis

2 2 22 1 2 1

( ) ( ) ( )PQ x x y y sacando raz cuadrada en ambos

miembros.

2 22 1 2 1

( ) ( )PQ x x y y Es la frmula para calcular la distancia entre

dos puntos cualesquiera, situados en el

plano cartesiano.

Ejemplo 6. Calcular la distancia entre los puntos A(2,3) y B(5,8).

Solucin

Cualesquiera de los puntos puede ser el punto (x1,y1) o

(x2,y2), en nuestro ejemplo tomaremos A(x1,y1) y B(x2,y2)

2 2

2 1 2 1

2 2

2 2

( - ) ( - )

(5 - 2) (8 - 3)

(3) (5)

9 25

34

AB x x y y

AB

AB

AB

AB

Es conveniente dejar el

resultado as, ya que la raz

es inexacta e irreducible.

34


8

Ejemplo 7. Calcular la distancia entre los puntos M (1,1) y N(4,5).

Solucin

2 2

2 1 2 1

2 2

2 2

( ) ( )

(4 1) (5 1)

(3) (4)

9 16

25

5

MN x x y y

MN

MN

MN

MN

MN

Ejemplo 8. Calcular la distancia entre los puntos C(

y D(

.

Solucin


9

2 2

2 2

1 7 35

2 2 4

9 11

2 4

81 121

2 16

445

16

445

16

445

4

CD

CD

CD

CD

CD

CD

Ejemplo 9. Calcular el permetro del tringulo cuyos vrtices son los puntos A(2,3), B(5,5)

y C(3,9).

Solucin

El permetro de un tringulo es igual a la suma de sus lados,

as que comenzaremos por calcular las distancias de los 3

lados del tringulo.

Calculemos la distancia de

= 3

= 3

= 4


10

= 3=3.60

Calculemos la distancia

= 3

= 4

= 4

=

=2 reduciendo la raz

=4.47

Calculemos la distancia

= 3 3

=

= 3

= 3 =6.08

El permetro del tringulo ABC es

P= 3+2 3 = 14.16

Ntese que el tringulo es escaleno ya que sus tres lados

tienen medidas distintas.

Ejemplo 10. Calcular el permetro del cuadriltero que pasa por los puntos P(-3,-5),

Q(3,-2), R(2,4), S(-2,2).


11

Solucin

Calculemos primeramente las medidas de los segmentos

= 3 3

= 3 3

= 3

= 3

=3

=6.70

= 3 4

= 4

=

= 3

= 3

=6.08

= 4

=

= 4 4

= 4

=

=4.47


12

= 3

= 3

=

= 4

=

=7.07

El permetro del cuadriltero es igual a la suma de sus lados

=6.70+6.08+4.47+7.07=24.32

Ejemplo 11. Comprueba que el tringulo formado por los vrtices A (1,1), B(6,1), C(6,4)

es un tringulo rectngulo.

Solucin

Calculemos las longitudes de sus tres lados:


13

=

=

=

=5

= 4

= 3

=

= 3

= 4

= 3

=

= 34

Si los lados cumplen con el teorema de Pitgoras5 entonces el

tringulo es rectngulo:

Hipotenusa2=cateto

2 + cateto

2

( 34)2= (5)2+(3)2

34 = 25 + 9

34 34 con lo que queda comprobado que el

tringulo es rectngulo.


14

Ejemplo 12. Prueba analticamente si las coordenadas (0,1), (0,5) y ( 12,3)A B C

corresponden a un tringulo equiltero.

Solucin

Considerando que una de las caractersticas del tringulo

equiltero es que los tres lados son iguales, determinamos

las tres distancias de sus lados , y AB BC AC .

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

(0 0) (5 1) (0) (4) 0 16 16 4

( 12 0) (3 5) ( 12) ( 2) 12 4 16 4

( 12 0) (3 1) ( 12) (2) 12 4 16 4

AB

BC

AC

Considerando las distancias de los segmentos AB BC AC se

cumple la condicin de los tres lados iguales, por lo que se

prueba que los puntos del ABC son vrtices de un tringulo

equiltero.

(0,1)A

(0,5)B

( 12,3)C


15

Ejemplo 13. Comprueba que el tringulo formado por los vrtices A(1,1), B(5,-2),

C (-3,-2) es un tringulo issceles.

Solucin

Considerando que por definicin el tringulo issceles debe

de presentar dos lados iguales, por lo que debemos de

calcular primeramente las distancias de los segmentos

, y AB BC CA .

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

(5 1) ( 2 1) (4) ( 3) 16 9 25 5

( 3 5) ( 2 ( 2)) ( 8) (0) 64 8

( 3 1) ( 2 1) ( 4) ( 3) 16 9 25 5

AB u

BC u

CA u

El ABC s es un tringulo issceles, ya que cumple la

condicin de presentar dos lados iguales AB CA .


16

Ejemplo 14. Determinar el rea del tringulo rectngulo PQR cuyas coordenadas son

P (-3,-2), Q(1,2) y R(1,-2).

Solucin

Recordemos que para calcular el rea de un tringulo 2

bxhA

ubicamos las coordenadas del tringulo rectngulo en el plano

cartesiano, para identificar los segmentos que forman la base

y la altura.(tambin podemos descartar el lado mayor, que

representa la hipotenusa del tringulo rectngulo).

En la grfica observamos que la base la forma la longitud del

segmento PR y la altura es la longitud del segmento QR ,

calculemos ambas longitudes de los segmentos (o calcule las 3

longitudes de los lados del tringulo y descarte la mayor que

es la hipotensa).


17

2 2

2 2

2 2

(1 ( 3)) ( 2 ( 2))

(1 3) ( 2 2)

(4) (0)

16

4

PR

PR

PR

PR

PR

2 2

2 2

(1 1) ( 2 2)

(0) ( 4)

16

4

La base es el segmento =4u

La altura es el segmento =4u

(4El rea es

2

QR

QR

QR

QR u

PR

QR

bxhA 2

)(4 ) 168

2 2

u uu

Ejemplo 15. Calcular el rea de un crculo cuyo radio est dado por el segmento de

coordenadas P(-1,-2) y Q(2,-1).

Solucin

Calculemos el radio, que es la

distancia de Q a P.

dPQ=

dPQ=

dPQ=

dPQ= 3

dPQ=


18

usemos =3.14 y sustituiremos en A= r2

A=(3.14)( )2

A= (3.14)(10u)

A=31.4 u2

Ejemplo 16. Si la longitud de un segmento es 3 y las coordenadas de uno de sus

extremos son B(6,5), indicar la abscisa del otro extremo si su ordenada es 2.

Solucin

Si llamamos A al otro punto en el extremo del segmento, sus

coordenadas sern A(2,y), conocemos = 3 y B(6,5)

Usando la frmula de distancia entre dos puntos tenemos:

=

3 =

3 = 4

32= 16 + (5-y)2 elevando al cuadrado ambos miembros

32-16= (5-y)2 despejando

16=(5-y)2 sacando raz cuadrada en ambos

= miembros

4 =5-y

resolviendo la ecuacin

y= 5 4

y1= 5+4 =9 y2=5-4=1


19

Existen dos soluciones

A(2,1) y A(2,9)

Ejemplo 17. La distancia entre dos genes6 ligados

7 es de 10 u.m

8. Uno de los genes se

encuentra localizado en el punto de coordenadas B (10,6) y hay dos genes a la misma

distancia cuya abscisa es 2. Encontrar las coordenadas de los dos genes A y A

Solucin

10=

10=

10= 4 elevando al cuadrado ambos miembros

100=64 +(y-6)2

100-64=(y-6)2

36=(y-6)2 sacando raz

cuadrada en ambos

miembros

3 =

(y-6)

y1=12

y2=0

A(2,0) Y A(2,12)

Para calcular las coordenadas del punto medio Pm (x,y) de un segmento A(x1,y1),B(x2,y2)

usaremos las frmulas:


20

,

Pendiente

Si tratamos de describir el movimiento de un cuerpo, podemos hacer una grfica

posicin contra tiempo; la variacin de la posicin respecto del tiempo

es la

velocidad, lo que se obtiene es la pendiente de la grfica de dicho movimiento; esta es

una de muchas otras aplicaciones, aqu se muestra un ejemplo de la fsica, sin

embargo, es muy utilizada en economa, probabilidad, ptica, etc., prximamente en

tus cursos de clculo diferencial la retomars ya que es muy importante.

Comencemos por definir lo que es la pendiente de una recta, una recta puede tener

infinitas posiciones, pero cuando no est horizontal o vertical decimos que est

inclinada, esta medida de su inclinacin la llamamos pendiente. La inclinacin de la

recta que llamaremos se da como una medida del ngulo que forma la recta respecto

de la horizontal (eje X en el extremo positivo), recordemos que un ngulo es

considerado positivo medido en el sentido contrario a las manecillas del reloj9, observe

las figuras siguientes:


21

La inclinacin de una recta es una medida de su ngulo de inclinacin. Si la recta es

horizontal tiene una inclinacin de 0 o de 180 y si es vertical su inclinacin es de

90. La pendiente de una recta es la tangente de su ngulo de inclinacin10, aqu es

importante hacer una pausa y aclarar que no es lo mismo la pendiente de una recta

que la inclinacin, ya que la pendiente es la tangente del ngulo de inclinacin y el

ngulo es la inclinacin de la recta.

Denotaremos con la letra minscula m a la pendiente de una recta y por la definicin

anterior podemos expresarla mediante la expresin:

m=tan

A continuacin describiremos las distintas formas de calcular la pendiente de una

recta, una de ellas es cuando tenemos trazada la recta en un plano cartesiano,

podemos usar un transportador, medir el ngulo de inclinacin y usar la calculadora

cientfica para calcular su tangente, esto es en la tecla tan o bien usar una tabla de

funciones trigonomtricas.

Por ejemplo si tenemos la grfica de una recta, usamos el trasportador y medimos el

ngulo de inclinacin:

usando el transportador

Por definicin m=tan

m=tan 45

m=1 la pendiente de la recta cuya inclinacin es 45 vale 1.

Otra forma de obtener la pendiente de una recta es cuando conocemos dos puntos por

los que pasa la recta, sean A(x1,y1) y B(x2,y2) dos puntos cualesquiera situados en una

recta inclinada.


22

En el tringulo AQB calculemos m=tan

Ntese que es un segmento vertical y su magnitud es y2-y1

y que es un segmento horizontal cuya magnitud es x2-x1

Sustituyendo lo anterior en m tendremos:

m=tan =

que es la frmula para calcular la pendiente cuando se

conocen dos puntos de la recta, apliqumosla en los

ejercicios siguientes:


23

Ejemplo18. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(2,3) y Q(5,7).

Solucin

Usando la frmula y sustituyendo:

Ejemplo 19. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos R(

y

Q(5 ,7).

Solucin

Usando la frmula para la pendiente cuando conocemos dos

puntos que pertenecen a la recta:

m=

m=

m=

3R ,2

2


24

Ejemplo 20. Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos M(-4,-5) y N(2,3).

Solucin

Usando la frmula y sustituyendo:

=

=

Ejemplo 21. Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos P(5,-3) y Q(-5,7)

Solucin

Recuerde que cualquiera de los puntos P o Q puede ser el

punto uno o dos, usando la frmula y sustituyendo:

Observe la inclinacin de la

recta cuando la pendiente es

negativa.


25

Ejemplo 22. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos A(5,7) y B(5,4).

Solucin

Usando la frmula

m=

m=3

Cuando sucede que nos queda una divisin entre cero, debemos

observar que tenemos una recta vertical, ya que sus abscisas son

iguales, por lo que el ngulo de inclinacin de la recta es

y por definicin m=tan , esto, es m=tan 90 que queda si

buscamos en las tablas de funciones matemticas, por lo que

podemos concluir que

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad

De lo anterior podemos hacer la siguiente deduccin: si dos rectas tienen la misma

inclinacin ( ) son paralelas y como la pendiente es la tangente del ngulo de

inclinacin, entonces las pendientes de dichas rectas son iguales, lo anterior puede

quedar sintetizado de la siguiente manera:

Si dos rectas son paralelas entonces sus pendientes son iguales


26

Estas condiciones son llamadas de paralelismo11.

Las condiciones de perpendicularidad se pueden escribir mediante la siguiente

expresin: Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual

a - 1, esto es si una es la recproca y de signo contrario de la otra, escrito de otra

forma sera as:

Esto es si

o

Cuando se conocen las pendientes de dos rectas que se cortan, el ngulo que se

forma cuando se cortan se puede calcular mediante la expresin:


27

tan =

Donde m2 es la pendiente final y m1 la de la recta inicial esto es en el sentido positivo

del ngulo, vea figura siguiente:

Ejemplo 23. Sean A (-1,1) y B(5,7) dos puntos que pasan por la recta , y D(3,2) y

E(-3,9) los puntos que pertenecen a la recta .

Solucin

Es conveniente comenzar por hacer la grfica, ya que debemos

considerar el sentido positivo del ngulo.


28

Calculemos mAB=

mDE=

mAB=

mDE=

= -

m1=1 m2= -

de acuerdo a la figura

Sustituyendo en la frmula para calcular el ngulo que se forma cuando dos rectas se cortan

tan =

tan =

tan =

tan =

tan = 13 Buscar en tablas el valor del ngulo cuya

tangente sea 13

= tan-1(13) En tu calculadora escribe shift tan (13)=

= 85.60 inv tan 13, o segunda funcin tan (13)

= 85 36 teclea DMS o para convertir a grados

minutos y segundos.

Ntese que una vez encontrado el ngulo se pueden conocer

los otros tres ngulos, ya que el opuesto a su vrtice es

igual y los otros dos son el suplemento de , ya que son dos

ngulos adyacentes12, por lo que valdrn 180-8536=9424


29

Ejemplo 24. Calcular la medida de los ngulos interiores del tringulo ABC cuyos

vrtices son las coordenadas A(-2,1), B(3,2) y C(0,6).

Solucin

Comencemos por hacer la grfica:

Obsrvese que los ngulos estn siendo considerados en

sentido positivo, esto es, en sentido contrario a las

manecillas del reloj.

Seguiremos con el clculo de las pendientes, as que usaremos

la frmula para calcular la pendiente cuando conocemos dos

puntos que pertenecen a la recta:

mAB=

=

mBC=

mCA=

Para calcular usaremos la frmula:

tan =

aqu m1=mAB y m2=mAC


30

tan

(

)(

)

tan

(

)

3

De la misma forma calculemos

tan =

aqu m1=mBC y m2=mAB

tan

(

)(

)

(

)=6426

se puede calcular de la misma forma, o bien, a 180 restar

lo que queda de ya que la suma de los tres ngulos

interiores de un tringulo vale13 180

3 4 4

Queda por demostrar que con el otro mtodo es lo mismo,

verifcalo.


31

Ejemplo 25. Calcular el rea del tringulo cuyos vrtices son los puntos A(1,1), B(4,4) y

C(0,6).

Solucin

Podemos usar cualquiera de los tres lados como base, usemos

.

Calculando la distancia entre los puntos A y B

dAB= 4 4 =

Si consideramos como la altura del tringulo, tendremos

que calcularla; para ello calculamos primero la distancia

entre los puntos A y C, que es la hipotenusa del APC:

dAC= =

Calculemos ahora el ngulo formado entre las rectas y

que llamaremos

d = 26AC

d = 18AB


32

tan =

=

=

(

)=5618

Usemos ahora la funcin trigonomtrica seno14 de

sen =

sen 5618=

sen 5618

4 4

Recordemos que lo que queremos calcular es el rea del

tringulo, ya tenemos la base , y la altura 4 4

A=

( )

recordemos que el rea se mide en

unidades cuadradas.

2.2. Determinacin de las ecuaciones de la recta

En la naturaleza podemos encontrar muchos fenmenos que tienen una relacin lineal;

la temperatura y la presin son lineales, la luz viaja en lnea recta, un tipo de

movimiento es el rectilneo uniforme, se pueden hacer anlisis de un circuito

electrnico por medio de la recta de carga15. En economa se puede analizar un

mercado con las rectas de la oferta y la demanda. Cuando representamos una relacin

de proporcionalidad directa entre dos variables su representacin grfica es una lnea

recta. Tambin es usada la lnea recta en el modelado, diseo y construccin, como

estos hay muchos ejemplos ms en ciencias interesantes como la astronoma,


33

estadstica, biologa celular, incluso en historia encontramos relaciones lineales del

espacio tiempo.

Desde diferentes enfoques podemos visualizar a la lnea recta:

1) Desde uno de los postulados de Euclides: dados dos puntos diferentes pasa una

y solo una recta.

2) Como una ecuacin

3) Como un lugar geomtrico donde los puntos tienen la misma pendiente

La abordaremos desde el punto 3, y comenzaremos definiendo a la lnea recta como el

lugar geomtrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera

P(x,y) y P1(x1,y1) del lugar, el valor de la pendiente m calculado a partir de la frmula

m=

, con x1 x2

resulta siempre constante.

De acuerdo con esto, si despejamos tendremos:

y-y1 =m(x-x1)

Esta forma es conocida como forma punto pendiente ya que son esos dos los

elementos que se conocen de ella, dicho resultado est expresado en el siguiente

teorema16:

Teorema: la recta que pasa por el punto dado P1(x1,y1) y tiene la pendiente dada m,

tiene por ecuacin: y-y1 =m(x-x1).

Comencemos a resolver algunos ejemplos:

Ejemplo 26. Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por A(1,1) y cuyo ngulo de

inclinacin es =45.

Solucin

Recordemos que la pendiente es la tangente del ngulo de

inclinacin, por lo que m=tan 45=1, as con la pendiente


34

calculada y el punto dado A(1,1) usamos la siguiente

ecuacin:

y-y1 =m(x-x1)

y-1 =1(x-1)

y-1 = x -1

0 = x-y

x-y=0 ecuacin de la recta

Ejemplo 27. Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por el punto A(5,3) y que tiene una

pendiente con valor de 3.

Solucin

Tenemos un punto que es A (5,3) y lo consideramos como

(x1,y1),tambin conocemos la pendiente m=3, utilizamos la

frmula:

y-y1 =m(x-x1)

y-3 = 3(x-5)

y-3 = 3x -15

3x-y-12=0 Ecuacin de la recta

Ecuacin de la recta dados dos puntos


35

Un caso particular de la ecuacin de la recta es cuando se conocen dos de sus puntos:

Teorema: La recta que pasa por los dos puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) tiene por ecuacin

Ntese que se realiza en la ecuacin el clculo de la pendiente, el lector deber elegir

entre hacer aparte dicho clculo, y con un punto y la pendiente obtener la ecuacin de

la recta, o en la ecuacin anterior elegir cul es el punto uno y dos, y sustituirlos.

Veamos algunos ejemplos donde la apliquemos.

Ejemplo 28. Encontrar la ecuacin de la recta que pasa por C(-3,-2) y D(2,5).

Solucin

Sustituyendo los dos puntos en

tenemos:

y-(-2)=

3

y + 2 =

3 despejando el 5

5(y + 2)=7(x+3)

5y + 10= 7x + 21

7x-5y+11=0 Ecuacin de la recta


36

Nota: Otra forma sera calcular la pendiente con la frmula

m=

, y usar uno de los puntos, se obtiene el mismo

resultado, queda como reto al lector verificarlo.

Ejemplo 29. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A(4,1) y es paralela a la recta que

pasa por los puntos C(1,1) y D(3,3).

Solucin

Llamaremos a la recta que pasa por CD y a la recta que

pasa por el punto A (4,1).

Como las pendientes son iguales, as que comencemos por

calcular la pendiente m1.

m1=

m2=1

sustituyendo en

A(4,1) y m2, tenemos:

y-1 = 1(x-4)


37

x-y-3=0 Ecuacin de la recta

Ejemplo 30. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por A (2,1) y que es perpendicular

con la recta que pasa por E(-1,1) y F(3,4).

Solucin

Comenzaremos calculando mEF

mEF=

como las rectas son perpendiculares, entonces:

mA= -

por las condiciones de perpendicularidad

con esta pendiente y el punto por donde pasa la recta

,A(2,1) tenemos al sustituir en la ecuacin de la recta de

la forma punto pendiente:

y-1=

(x-2)

3y-3=-4x+8

4x+3y-11=0 Ecuacin de la recta buscada


38

Ejemplo 31. Hallar la ecuacin de la mediatriz del segmento cuyos extremos son los

puntos G (2,-3) y H(6,2).

Solucin

Recordemos que una mediatriz es una recta perpendicular que

pasa por el punto medio de un segmento.

Calculemos las coordenadas del punto medio del segmento

x=

y=

x=

4 y=

Punto medio (4,

Calculemos ahora la pendiente del segmento

mGH=

mmediatriz=-


39

usando la frmula punto

pendiente tenemos:

y-(-

=-

4

5(y+

= -4(x-4)

5y +

=-4x+16

4x+5y-

Todo por 2 8x+10y-27=0 Ecuacin de la recta

Ejemplo 32. Sean A(-3,-3), B(4,-2) y C(1,5) los vrtices de un tringulo, hallar la ecuacin

de la mediana del lado AB:

Solucin

Recordemos que la mediana es un segmento de recta que va del

punto medio al vrtice de su lado opuesto.

Comencemos por encontrar las coordenadas del punto medio de

:

A(-3,-3) y B(4,-2)

x=

y=

x=

y=

Punto medio (

,


40

Ahora hay que encontrar la ecuacin de la recta que pasa por

este punto medio y por el vrtice C(1,5).

Calculemos primero la pendiente:

m=

As tenemos un punto que puede ser C(1,5) y m=15

Sustituyendo en

y-5= 15(x-1)

y-5=15x-15

15x-y-10=0 Ecuacin de la mediana

La grfica es muy importante hacerla desde el inicio del

ejercicio, ya que nos ubica cules puntos son los que deben

considerarse.


41

Ejemplo 33. Sea el tringulo PQR con P (-3,2), Q(0,-3) y R(4,5), hallar la ecuacin de la

altura del lado PQ.

Solucin

Recordemos que una altura es el segmento perpendicular que va

del vrtice al lado opuesto o a su prolongacin.

Para encontrar la ecuacin de la altura tenemos ya un punto

R(4,5) y al ser perpendicular con el lado opuesto la

pendiente ser inversa y de signo contrario que la pendiente

que se obtenga del lado PQ, calculemos mPQ

=

mR=

con esta pendiente y el punto R(4,5)

y-5 =

4

5y-25=3x-12

3x-5y+13=0 Ecuacin de la altura


42

Ejemplo 34. Hallar la ecuacin de la recta que tiene una pendiente m=

y que pasa por

el punto de interseccin de las rectas : 7x+4y=13 y : 5x-2y=19.

Solucin

Recordemos que al resolver un sistema de ecuaciones

geomtricamente estamos encontrando el punto de interseccin

o punto comn de las dos rectas, algunos mtodos que se

vieron en cursos anteriores pueden ser aplicados; el mtodo

de igualacin, sustitucin, reduccin o determinantes;

nosotros usaremos el mtodo de igualacin que consiste en

despejar la misma variable de ambas ecuaciones e igualar los

resultados.

{ 4 3

x=

x=

Igualando

Despejando 5(13-4y)=7(19+2y)

65-20y=133+14y

65-133=14y+20y

-68=34y

-

= y

y=-2


43

Sustituyendo y=-2 en cualesquiera de los despejes de x,

tenemos:

x=

x=

3

Se concluye que el punto de interseccin de las rectas 1 y 2

es (3,-2) y conocemos la pendiente de la recta 3 m=

sustituyendo en

y-(-2)=

3

3y+6 = 2x-6

2x-3y-12=0 ecuacin de


44

Te preguntars cmo se trazaron las grficas de las rectas hasta ahora, una forma

prctica es identificar dnde cortan a los ejes, y ver qu condiciones se cumplen ah,

esto es cuando cortan al eje X y=0, y cuando cortan al eje Y x=0, veamos un ejemplo:

Ejemplo 35. Indicar las intersecciones de la recta 4x+5y+20=0 con los ejes de

coordenadas.

Solucin

Hacemos y=0 en la ecuacin 4x+5(0)+20=0

4x=-20

X=-5 (-5,0) son las coordenadas

donde corta al eje X

Hacemos x=0 en la ecuacin 4(0)+5y+20=0

5y=-20

y=-4 (0,-4) son las

coordenadas donde corta al eje Y


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Ecuacin de la recta forma pendiente ordenada al origen

Hemos visto algunos ejemplos de cmo obtener la ecuacin de la recta cuando se

conocen un punto y la pendiente y dos pun

libro representación gráfica de funciones

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