representaciÓn grÁfica de funciones

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES

Por Aida

Pasos a seguir

• Dominio• Simetrías• Periodicidad• Puntos de corte con los ejes• Asíntotas y ramas infinitas• Crecimiento y decrecimiento• Extremos relativos (máximos y mínimos)• Curvatura• Puntos de inflexión

Estudio del dominio• Las funciones polinómicas están definidas para todos los

valores de x.• Las funciones racionales no están definidas en los puntos

que anulan el denominador.• Las funciones radicales de índice par no están definidas en

los valores que hacen negativo el radicando.• Las funciones exponenciales están definidas para todos los

valores de x.• Las funciones logarítmicas no están definidas para los

valores menores o iguales que cero. • Las funciones trigonométricas (seno y coseno) están

definidas en todo R.

Puntos de corte con los ejes

• CON EL EJE X:Hacemos y = 0Despejamos x:

(a,0)

• CON EL EJE Y:Hacemos x = 0Despejamos y:

(0,a)

Estudio de las asíntotas

TIPOS DEASÍNTOTAS

HORIZONTALES OBLÍCUASVERTICALES

Asíntotas verticales:

Asíntotas horizontales:

Asíntotas oblícuas:

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

• Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) si f’(x) > 0

• Una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) si f’(x) < 0

Igualamos la primera derivada a cero (obteniendo los valores donde puede cambiar de signo), y partimos el dominio con los puntos que salen para estudiar el signo de la derivada.

Crecimiento y decrecimiento

• Una función f(x) es creciente en un intervalo (a,b) si f’(x)>0

• Una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) si f’(x) < 0

• En los máximos y mínimos relativos, la recta tangente a la curva es horizontal y, por tanto, de pendiente nula. Por tanto: Si una función tiene máximos o mínimos relativos y es derivable en esos puntos, entonces su derivada se anula en estos puntos

Curvatura

• Una curva es cóncava (o cóncava hacia arriba) en un punto cuando, al trazar la tangente en ese punto, la curva queda por encima de la recta tangente.

• Una curva es convexa (o cóncava hacia abajo) en un punto cuando, al trazar la tangente en ese punto, la curva queda por debajo de la recta tangente.

Puntos de inflexión

• Puntos de inflexión de una curva son los puntos en que cambia el sentido de la curvatura pasando de cóncava a convexa o de convexa a cóncava. En los puntos de inflexión la tangente atraviesa la curva.

• Si f tiene un punto de inflexión en x = a, entonces f'' (a)=0.

Ejemplo 1º:

D(f)=R, por ser una función polinómica.

Puntos de corte con los ejes:

Ramas infinitas:

43 23 xxy

4,0440·300

0,20,11,20120430..

23

223

yyxYeje

yxxxxxyXejeCP

43lim 23 xxx

43lim 23 xxx

;

Crecimiento:

Extremos relativos:

2,0023063' 2 xxxxxxxf

01'0, f

01'2,0 f

03',2 f

f crece

f decrece

f crece

40;00'' ff

02;02'' ff

máximo en (0,4)

mínimo en (2,0)

401066 ,.I.Pxxx''f

66 xx''f

Curvatura:

001 ''f,

convexa

021 ''f,

cóncava

Representación:

Ejemplo 2º:



Ramas infinitas:

1003643lim 234 xxxx

1003643lim 234 xxxx

1003643 234 xxxy

100,01000

??010036430..

234

yxYeje

xxxyXejeCP

Crecimiento:

Extremos relativos:

3,2,00721212' 23 xxxxxxxf

04'3, f

01'0,3 f

01'2,0 f

03',2 f

f decrece

f crece

f decrece

f crece

722436 2 xxx''f

893;03'' ff

1000;00'' ff

362;02'' ff

mínimo en (-3,-89)

máximo en (0,100)

mínimo en (2,36)

Ejemplo 3º:



Ramas infinitas:

34 43 xxy

0,000

3/4,00430..

34

yxYeje

xxxxyXejeCP

34 43lim xxx

34 43lim xxx

Crecimiento:

Extremos relativos:

1,001212' 23 xxxxxf

01'0, f

05010 ,'f,

02',1 f

f crece

f crece

f decrece

xxx''f 2436 2

00;00'' ff

11;01'' ff

no hay extremo relativo en (0,0)

máximo en (1,1)

Ejemplo 4º:


Asíntotas:

2

752

x

xxy

2RfD (excluimos del dominio los valores de x que anulan el denominador)

5'3,02/70

sin0750..

2

yxYeje

soluciónxxyXejeCP

2..

0

21

2

75lim

0

21

2

75lim

2

2

2

2

xenVA

x

xx

x

xx

x

x

2

75lim

2

x

xxx

no hay A.H.

12

75lim2

75

lim2

2

2

xx

xx

xx

xx

mxx

32

73

2

275lim

2

75lim lim

222

x

x

x

xxxxx

x

xxn

xxx

Asíntota oblícua: y = x - 3

Crecimiento:

Extremos relativos:

1,302

34

2

1·75252'

2

2

2

2

xx

x

xx

x

xxxxxf

02'1, f

05,1'2,1 f

05,2'3,2 f

04',3 f

f crece

f decrece

f decrece

f crece

31;01'' ff

13;03'' ff

máximo en (1,-3)

mínimo en (3,1)

4

22

2

2234242

x

x··xxxxx''f

Ejemplo 5º:


Asíntotas:

A.V. no hay porque no hay puntos fuera del dominio.

12

3

x

xy

RfD (el denominador no se anula nunca)

0,000

0,0000..

3

yxYeje

xxyXejeCP

1

lim2

3

x

xx

no hay A.H.

Asíntota oblícua: y = x

1lim1lim3

32

3

xx

x

xx

x

mxx

01

lim1

lim2

33

2

3

x

xxxx

x

xn

xx

Crecimiento:

Representación:

00

1

3

1

21322

22

22

322

x

x

xx

x

x·xxxx'f

010 'f,

010 'f,

f crece

f crece

Curvatura:

42

224223

1

213164

x

x·x·xxx·xxx''f

00''f P. I. en (0,0)

010 ''f,

010 ''f,

f convexa

f cóncava

Ejemplo 6º:


Asíntotas:

Asíntota oblícua: no hay.

xx

xy

2

12

2

2,0RfD (excluimos del dominio los valores de x que anulan el denominador)

DomxYeje

soluciónxyXejeCP

0

sin010..

2

0..

0

1

2

1lim

0

1

2

1lim

2

2

0

2

2

0

xenVA

xx

x

xx

x

x

x

1..12

1lim

2

2

yenHA

xx

xx

2

0

1

2

10

1

2

1

2

2

2

2

2

2

xen.V.A

xxx

lim

xxx

lim

x

x

Crecimiento:

Extremos relativos:

02621 'f',

010621 'f,'

0506200 ''f',

012620 'f,'

032 'f,

f decrece

f crece

f crece

f decrece

f decrece

62,1,62,002

222

2

22122'

22

2

22

22

xx

xx

xx

xx

xxxxxxf

31;01'' ff

13;03'' ff

máximo en (1,-3)

mínimo en (3,1)

Ejemplo 7º:



Crecimiento:

Asíntotas: no hay.

Dominio:

xxxy 96 23

0,000·90·600

0,30,03,00960..

23

23

yyxYeje

yxxxxyXejeCP

xxxx

96lim 23

xxxlimx

96 23

Ramas infinitas:

3,109123' 2 xxxxxf

00'1, f

02'3,1 f

04',3 f

f crece

f decrece

f crece

Curvatura:

Puntos de inflexión:

Extremos relativos:

41;01'' ff

03;03'' ff

máximo en (1,4)

mínimo en (3,0)

20126'' xxxf

00''2, f

03'',2 f

f convexa

f cóncava

2,2..22 IPf

Ejemplo 8º:


Asíntotas:

Asíntota oblícua: y = x + 9

Dominio:

1

82

x

xxy

1RfD(excluimos del dominio los valores de x que anulan el denominador)

0,000

0,8,0,08,00750..

2

yxYeje

xxxxyXejeCP

1..

0

9

1

8lim

0

9

1

8lim

2

1

2

1

xenVA

x

xx

x

xx

x

x

1

8lim

2

x

xxx

no hay A.H.

18

lim1

8

lim2

2

2

xx

xx

xx

xx

mxx

91

8lim

2

xx

xxn

x

Crecimiento:

Extremos relativos:

Curvatura:

4,201

82'

2

2

xxx

xxxf

03'2, f

00'1,2 f

02'4,1 f

05',4 f

f crece

f decrece

f decrece

f crece

42;02'' ff

16404 f;''f

máximo en (-2,4)

mínimo en (4,16)

3118

xx''f

..01

18''

3InoP

xxf

00''1, f

03'',1 f

f convexa

f cóncava

Ejemplo 9º:


Asíntotas:

Asíntotas oblícuas:

Dominio:

xxy 102

,100,10,00102 fDxxxx

(excluimos del dominio los valores de x que hacen negativo el radicando)

0,000

0,10,0,010,00..

yxYeje

xxyXejeCP

A.V. no hay, por estar definida en los extremos del dominio.

xfxlim no hay A.H.

110

lim2

x

xxm

x 510lim 2

xxxnx

110

lim2

x

xxm

x 510lim 2

xxxn

x

;

; y = x – 5 en ;

; y = - x + 5 en

Crecimiento:

Extremos relativos: no hay.

Curvatura:

fDxxx

xxf

50

10

5'

2

01'0, f

011',10 f

f decrece

f crece

..01010

25''

22InoP

xxxxxf

01''0, f

011'',10 f

f convexa

f convexa

Ejemplo 10º:


Asíntotas:

Asíntotas oblícuas: no hay.

Dominio:

2xey

RfD (porque el exponente es una función polinómica)

1,0100

sin0..

fxYeje

soluciónyXejeCP

A.V. no hay, por estar definida en los extremos del dominio.

0lim xfx

A.H.: y = 0

Crecimiento:

Extremos relativos:

Curvatura:

Puntos de inflexión:

máximo en (0,1)

002'2

xxexf x

02'0, f

01',0 f

f crece

f decrece

10;00'' ff

2

2;

2

2024''

22 xxexxf x

e

e

e

e,

2

2;,

2

2P.I.:

04''2

2, f

00''

2

2,

2

2f

04'',

2

2f

f cóncava

f convexa

f cóncava

Ejemplo 11º:


Asíntotas:

Asíntotas oblícuas no hay:

Dominio:

9ln 2 xy

,33,3,3092 fDxxx

fDxYeje

yxxyXejeCP

0

10,00,1010;100..

3..9lnlim 2

3

xenVAx

x

3..9lnlim 2

3

xenVAx

x

xfxlim A.H.: no

hay

0

9lnlim;0

9lnlim

22

x

xm

x

xm

xx

Crecimiento:

Extremos relativos: no hay.

Curvatura:

fDxx

xxf

00

9

2'

2

04'3, f

04',3 f

f decrece

f crece

..09

182''

22

2

InoPx

xxf

04''3, f

04'',3 f

f convexa

f convexa

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