funciones elementales. representaciÓn...

FUNCIONES ELEMENTALES. REPRESENTACIÓN GRÁFICA

1. Representa gráficamente las siguientes parábolas:

a) 32)( 2 ++= xxxf

1) ∪⇒>= cóncava01a

2) Eje de simetría: 12

2

2−=⇒

−=⇒−= xx

a

bx

3) Vértice )2,1( 23213)1(2)1()1(

12

−⇒

=+−=+−⋅+−=−=

−=V

fy

x

v

v

4) Puntos de corte con los ejes

Eje OX:

=++=

0

322

y

xxy

realsolución tieneno2

12420322 ⇒

−±−=⇒=++ xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX

Eje OY: 30

322

=⇒

=++=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )3,0(

5) Tabla de valores

x 4− 3− 2− 1− 0 1 2

y 11 6 3 2 3 6 11


b) 44)( 2 +−= xxxf



4

2=⇒=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,2( 04844)2(4)2()2(

22

Vfy

x

v

v⇒

=+−=+⋅−==

=


Eje OX:

=+−=

0

442

y

xxy

2

2

2

04

2

161640442

=

==±=−±=⇒=+−

x

x

xxx ⇒ El punto de corte con el eje OX es )0,2(

Eje OY: 40

442

=⇒

=+−=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 1− 0 1 2 3 4 5

y 9 4 1 0 1 4 9


c) 43)( 2 +−= xxxf


2) Eje de simetría: 5,12

3

2==⇒

−= xa

bx

3) Vértice

⇒

==+−=+

⋅−

=

=

==

4

7,

2

3

75,14

74

2

9

4

94

2

33

2

3

2

3

5,12

3

2 V

fy

x

v

v


Eje OX:

=+−=

0

432

y

xxy

realsolución tieneno 2

16930432 ⇒

−±=⇒=+− xxx ⇒ No hay puntos de corte con el eje OX

Eje OY: 40

432

=⇒

=+−=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 1− 0 1 2

3 2 3 4

y 8 4 2 4

7 2 4 8


d) 6)( 2 +−= xxf

� )(xf es la función 2xy −= trasladada verticalmente 6 unidades hacia arriba. 2xy −=

1) ∩⇒<−= convexa01a


0

2=⇒=

−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 4− 1− 0 1− 4−


e) 106)( 2 ++= xxxf



6

2−=⇒

−=⇒−= xx

a

bx

3) Vértice )1,3( 11018910)3(6)3()3(

32

−⇒

=+−=+−⋅+−=−=

−=V

fy

x

v

v


Eje OX:

=++=

0

1062

y

xxy


4036601062 ⇒


Eje OY: 100

1062

=⇒

=++=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 6− 5− 4− 3− 2− 1− 0

y 10 5 2 1 2 5 10


f) 5)( 2 += xxf

� )(xf es la función 2xy = trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba. 2xy =



0

2=⇒==⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

X 2− 1− 0 1 2

Y 4 1 0 1 4


g) xxxf 2)( 2 +−=



2

2=⇒=

−−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )1,1( 121)1(2)1()1(

12

Vfy

x

v

v⇒

=+−=⋅+−==

=


Eje OX:

=+−=

0

22

y

xxy

==

⇔=+−⋅⇔=+−2

00)2(022

x

xxxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,0( y )0,2(

Eje OY: 00

22

=⇒

=+−=

yx

xxy


5) Tabla de valores

X 1− 0 0 1 2 3 4

Y 8− 3− 0 1 0 3− 8−


h) 1)( 2 ++= xxxf



1

2

1

2−=⇒

−=⇒−= xx

a

bx

3) Vértice

−⇒

==+−=+

−+

−=

−=

−=−=

4

3,

2

1

75,04

31

2

1

4

11

2

1

2

1

2

1

5,02

1

2 V

fy

x

v

v


Eje OX:

=++=

0

12

y

xxy


411012 ⇒


Eje OY: 10

12

=⇒

=++=

yx

xxy


5) Tabla de valores

X 3− 2− 1− 2

1− 0 1 2

Y 7 3 1 4

3 1 3 7


i) 2)1(3)( −= xxf

� )(xf es la función 23xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.

23xy =



0

2=⇒==⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,0( 0

0V

y

x

v

v⇒

==

4) Tabla de valores

x 2− 1− 0 1 2

y 12 3 0 3 12


j) 96)( 2 −+−= xxxf



6

2=⇒

−−=⇒

−= xxa

bx

3) Vértice )0,3( 091899)3(6)3()3(

32

Vfy

x

v

v⇒

=−+−=−⋅+−==

=


Eje OX:

=−+−=

0

962

y

xxy

3

3

2

06

2

363660962

=

==

−±−=

−−±−=⇒=−+−

x

x

xxx ⇒ El punto de corte con el eje OX es )0,3(

Eje OY: 90

962

−=⇒

=−+−=

yx

xxy

El punto de corte con el eje OY es )9,0( −

5) Tabla de valores

X 0 1 2 3 4 5 6

Y 9− 4 1 0 1− 4− 9−


k) xxxf 5)( 2 −=


2) Eje de simetría 2

5

2=⇒

−= xa

bx

3) Vértice

−⇒

−=−=−=

⋅−

=

=

==

4

25,

2

5

25,64

25

2

25

4

25

2

55

2

5

2

5

5,22

5

2 V

fy

x

v

v


Eje OX:

=−=

0

52

y

xxy

==

⇔=−⋅⇔=−5

00)5(052

x

xxxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son )0,0( y )0,5(

Eje OY: 00

52

=⇒

=−=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 0 1 2 2

5 3 4 5

y 0 4− 6− 4

25− 6− 4− 0


2. Representa gráficamente las siguientes funciones racionales:

a) x

xf3

)( −=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• No corta a los ejes coordenados

• 0=x asíntota vertical

−∞=−

+∞=−

+

−

→

→

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0

• 0=y asíntota horizontal

=−

=−

−

+∞→

+

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0 1 5,1 3 6 6− 3− 5,1− 1− 5,0−


b) 1

3)(

−=

xxf )(xf→ es la función

xy

3= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha.

� x

y3=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

3lim

3lim

0

0


=

=

+

+∞→

−

−∞→

03

lim

03

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

y 5,0− 1− 5,1− 3− 6− 6 3 5,1 1 5,0


c) 41

3)( +

−=


xy

3= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y

verticalmente 4 unidades hacia arriba.

El estudio de la función x

y3= lo hemos hecho en el apartado b)

d) 42

1)(

−−=

xxf

• }2{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc

• Puntos corte con el eje OX

=−

=

042

1

yx

y realsolución tieneno 0

42

1⇒=

−⇒

x

Luego, no hay puntos de corte con el eje OX


• Puntos de corte con el eje OY

=−

=

042

1

xx

y

4

1

402

1 −=−⋅

=⇒ y

Luego, el punto de corte con el eje OY es

−4

1,0


+∞==

−∞==∞==

+→

−→

→

+

−

0

1)(lim

0

1)(lim

0

1)(lim

2

2

2xf

xfxf

x

x

x

≈

≈+

−

01,22

99,12


−

−∞→=

∞−= 0

1)(lim xf

x (la gráfica está por debajo de la asíntota)

+

+∞→=

∞+= 0

1)(lim

`xf

x (la gráfica está por encima de la asíntota)

• Tabla valores (damos valores a ambos lados de la asíntota vertical 2=x )

x 0 1 5,1 5,2 3 4

y 4

1− 2

1− 1− 1 2

1

4

1


e) 5

3)(

+=


xy

3= trasladada horizontalmente 5 unidades a la izquierda.

El estudio de la función x

y3= lo hemos hecho en el apartado b)

f) 13

53)(

+−−=x

xxf

•

−ℜ=3

1)( fDom

• Puntos corte con el eje OX

=+−

−=

013

53

yx

xy

3

5053 0

13

53 =⇒=−⇒=+−

−⇒ xx

x

x

Luego, el punto de corte con el eje OX es

0,

3

5

• Puntos de corte con el eje OY

=+−

−=

013

53

xx

xy

5−=⇒ y


Luego, el punto de corte con el eje OY es )5,0( −

• 3

1=x asíntota vertical

+∞=−=

−∞=−=

∞=−=

−→

+→

→+

−

0

4)(lim

0

4)(lim

0

4)(lim

3

1

3

1

3

1

xf

xf

xf

x

x

x

≈

≈

+

−

4,03

1

3,03

1

• 1−=y asíntota horizontal

−

−∞→−=⇒−=

+−⋅−−−⋅=⇒−= 1)(lim...01,1

1)100(3

5)100(3)(100 xfxfx

x (la gráfica está por debajo de la asíntota)

+

−∞→−=⇒−=

+⋅−−⋅=⇒= 1)(lim...98,0

1)100(3

5)100(3)(100 xfxfx

x(la gráfica está por encima de la asíntota)

• Tabla valores (damos valores a ambos lados de la asíntota vertical 3

1=x )

x 1− 0 25,0 5,0 1 2

y 2− 5− 17− 7 1

5

1−


2 −x

2

1+x

1

g) ⇒++

−=⇒+−= 2

1

3)(

1

12)(

xxf

x

xxf )(xf es la función

xy

3 −=

izquierda la a unidad 1 T.H.

arriba unidades 2 T.V.

3

22

12

−−−−

x

x

La función x

y3

−= la hemos representado en el apartado a)

h) ⇒+−

=⇒−+= 1

2

6)(

2

4)(

xxf

x

xxf )(xf es la función

xy

6 =

derecha la a unidades 2 T.H.

arriba unidad 1 T.V.

6

2

4

+−+

x

x

� x

y6=

• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



• 0=x es asíntota vertical

+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

6lim

6lim

0

0

• 0=y es asíntota horizontal

=

=

+

+∞→

−

−∞→

06

lim

06

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

X 6− 3− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 3 6

Y 1− 2− 3− 6− 12− 12 6 3 2 1


3. Representa gráficamente las siguientes funciones radicales:

a) xxf 4)( −=

• ),0[)( +∞=fDom

• Tabla de valores

x 0 4

1 1 4

Y 0 1− 2− 4−

Observa, además, que xxf 4)( −= es la simétrica de xy 4= respecto al eje OX.

A su vez, xy 4= proviene de la función xy = a la que se le ha efectuado una contracción horizontal.

b) 2112)( −−=−+−= xxxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la

derecha y verticalmente 2 unidades hacia abajo

� xy =

• ),0[)( +∞=fDom

• Tabla de valores X 0 1 4 9

Y 0 1 2 3


c) 42)( ++−= xxf )(xf→ es la función xy −= trasladada horizontalmente 2 unidades a la izquierda

y verticalmente 4 unidades hacia arriba

� xy −=

• ),0[)( +∞=fDom


Y 0 1− 2− 3−


d) 71)( +−= xxf )(xf→ es la función xy = trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha y

verticalmente 7 unidades hacia arriba

� xy =

• ),0[)( +∞=fDom


Y 0 1 2 3


4. Representa gráficamente las siguientes funciones exponenciales:

a) x

xf

=3

1)(

• ℜ=

= )3

1(

x

yDom

• ),0()3

1(Re +∞=

=x

yc

• Asíntota horizontal por la derecha 0=y ( +

+∞→= 0)(lim xf

x)

• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0(

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1

b) xxf 2)( =

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc


• No corta al eje OX

Punto de corte con el eje OY )1,0(

• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( +

−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

c) xxf 2)( −= )(xf→ es la simétrica de xy 2= respecto al eje OX

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc



−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8


d) x

xf−

=3

1)( )(xf→ es la simétrica de

x

y

=3

1 respecto al eje OY

� x

y

=3

1

• ℜ=

= )3

1(

x

yDom

• ),0()3

1(Re +∞=

=x

yc


+∞→= 0)(lim xf

x)


x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1


e) 13

1

3

11)( +

−=

−=xx

xf )(xf→ es la función x

y

−=3

1 trasladada verticalmente 1 unidad hacia

arriba e x

y

−=3

1es la simétrica de

x

y

=3

1respecto al eje OX

� x

y

=3

1

• ℜ=

= )3

1(

x

yDom

• ),0()3

1(Re +∞=

=x

yc


+∞→= 0)(lim xf

x)


x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 27 9 3 1 3

1

9

1

27

1


f) 12)( −= xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc



−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8


g) 54)( +−= xxf )(xf→ es la función xy 4−= trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba e xy 4−= es la simétrica de xy 4= respecto al eje OX

� xy 4=

• ℜ== )4( xyDom

• ),0()4(Re +∞== xyc



−∞→= 0)(lim xf

x)

x 2− 1− 0 1 2

y 16

1

4

1 1 4 16


h) 32)( 1 −−= +xxf )(xf→ es la función xy 2−= trasladada verticalmente 3 unidades hacia abajo y

horizontalmente 1 unidad a la izquierda

� xy 2−=

• ℜ=−= )2( xyDom

• )0,()2(Re −∞=−= xyc

• No corta al eje OX Punto ce corte con el eje OY )1,0( −

• Asíntota horizontal por la izquierda 0=y ( −

−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1− 4

1− 2

1− 1 2− 4− 8−


5. Representa gráficamente las siguientes funciones logarítmicas:

a) )3(log)( 2 −= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 3 unidad a la derecha

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re 2 xyc

• Punto de corte con el eje OX )0,1(

• No corta el eje OY

• Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=+→

)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

b) 1log)(3

1 −= xxf )(xf→ es la función xy3

1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo

� xy3

1log=

• ),0()log(3

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re3

1 xyc


No corta el eje OY


• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=

+→)(lim

0xf

x

x 9

1

3

1 1 3 9

y 2 1 0 1− 2−

c) 3)1(log)( 2 +−= xxf )(xf→ es la función xy 2log= trasladada horizontalmente 1 unidad a la derecha

y verticalmente 3 unidades hacia arriba

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom





)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3


d) 1)1(log)(3

1 −+= xxf )(xf→ es la función xy3

1log= trasladada verticalmente 1 unidad hacia abajo y


� xy3

1log=

• ),0()log(3

1 +∞== xyDom

• ℜ== )log(Re3

1 xyc



• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→

)(lim0

xfx

x 9

1

3

1 1 3 9

y 2 1 0 1− 2−


e) xxf 4log)( =

• ),0()log( 4 +∞== xyDom





)(lim0

xfx

x 16

1

4

1 1 4 16

y 2− 1− 0 1 2


f) xxf 2log)( −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OX

� xy 2log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom





)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3


g) 1)1(log)( 2 ++−= xxf )(xf→ es la función xy 2log−= trasladada verticalmente 1 unidad hacia arriba

y horizontalmente 1 unidad a la izquierda

� xy 2log−=

• ),0()log( 2 +∞=−= xyDom

• ℜ=−= )log(Re 2 xyc



• Asíntota vertical por la derecha 0=x +∞=+→

)(lim0

xfx

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3 2 1 0 1− 2− 3−

h) )(log)( 2 xxf −= )(xf→ es la simétrica de la función xy 2log= respecto al eje OY

• xy 2log=

),0()log( 2 +∞== xyDom

ℜ== )log(Re 2 xyc


Asíntota vertical por la derecha 0=x −∞=

+→)(lim

0xf

x

x 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

y 3− 2− 1− 0 1 2 3


6. Representa gráficamente las siguientes funciones trigonométricas:

Todas las funciones de este ejercicio se obtienen efectuando transformaciones a las funciones senxy = ,

xy cos= ò tgxy = .

� senxy =

• ℜ== )( senxyDom

• ]1,1[)(Re −== senxyc

• Periódica de periodo π2=T

x 0 2

π π

2

3π π2

y 0 1 0 1− 0

� xy cos=

• ℜ== )cos( xyDom

• ]1,1[)cos(Re −== xyc

• Periódica de periodo π2=T

x 0 2

π π

2

3π π2

y 1 0 1− 0 1 � tgxy =

•

Ζ∈+−ℜ== kktgxyDom ;

2)12()(π

• ℜ== )(Re tgxyc

• Periódica de periodo π=T

• 2

π−=x es asíntota vertical

−∞=

+∞=

+

−

−→

−→

tgx

tgx

x

x

2

2

lim

lim

π

π

2

π=x es asíntota vertical

−∞=

+∞=

+

−

→

→

tgx

tgx

x

x

2

2

lim

lim

π

π

x +

−2

π

4

π− 0 4

π

−

2

π

y ∞− 1− 0 1 ∞+


a) )()( π+= xsenxf senxy =→ trasladada horizontalmente π unidades a la izquierda.

b)

−−=2

)(π

xsenxf senxy −=→ trasladada horizontalmente 2

π a la derecha.

senxy −= es la simétrica de senxy = respecto al eje OX


d)

+=2

cos)(π

xxf xy cos=→ trasladada horizontalmente 2

π unidades a la izquierda

e)

+−=2

cos)(π

xxf es la simétrica de la función del apartado d) respecto al eje OX

f) →+

+−=

+−= 32

cos2

cos3)(ππ

xxxf es la función del apartado e) trasladada verticalmente 3

unidades hacia arriba.


l) 2cos)( += xxf xy cos=→ trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba

u)

−−=2

cos)(π

xxf es la simétrica de la función

−=2

cosπ

xy respecto al eje OX.

−=2

cosπ

xy xy cos=→ trasladada horizontalmente 2

π unidades a derecha.

i) →

−=2

)(π

xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 2

π a la derecha


j) →

+=4

)(π

xtgxf es la función tgxy = trasladada horizontalmente 4

π a la izquierda

m) →⋅= xsenxf 2)( Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica su

recorrido ]2,2[)(Re −=fc )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==

→⋅=]2,2[ Recorrido

2 2)(

πTxsenxf


o) →= )2( )( xsenxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una contracción horizontal (se modifica

su periodo ππ ==2

2T )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==


2)(πT

xsenxf

r) →

⋅=2

3)(x

senxf Se obtiene a partir de la función xseny = por una dilatación vertical (se modifica

su recorrido ]3,3[)(Re −=fc ) y una dilatación horizontal (se modifica su periodo ππ4

21

2 ==T )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==


4 2)(

πTxsenxf


s) 1 2)( −⋅= xsenxf

� xseny 2⋅= se obtiene a partir de xseny = por una dilatación vertical (se modifica su recorrido

( ]2,2[)2(Re −== senxyc )

� 1 2)( −⋅= xsenxf se obtiene a partir de xseny 2⋅= por una traslación vertical de 1 unidad hacia

abajo ( ]1,3[)(Re −=fc )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2

πTxseny

−==

→−⋅=]1,3[ Recorrido

21 2)(

πTxsenxf


n) →⋅= xxf cos2

1)( se obtiene a partir de la función xy cos= por una contracción vertical (se modifica

su )2

1,

2

1)(Re

−=fc

−==

→=]1,1[ Recorrido

2 cos

πTxy

−=

=→⋅=

2

1,

2

1 Recorrido

2

cos2

1)(

πT

xxf


p) →⋅= )3( cos2)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos= por una dilatación vertical (se modifica

su recorrido ]2,2[)(Re −=fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo 3

2 π=T )

−==

→=]1,1[ Recorrido

2 cos

πTxy

−=

=→⋅=

]2,2[ Recorrido3

2) 3cos(2)(

πT

xxf

q) →⋅−= )2( cos2

1)( xxf Se obtiene a partir de la función xy cos−= por una contracción vertical (se

modifica su recorrido

−=2

1,

2

1)(Re fc ) y una contracción horizontal (se modifica su periodo

ππ ==2

2 T )

−==

→−=]1,1[ Recorrido

2 cos

πTxy

−=

=→⋅−=

2

1,

2

1 Recorrido

) 2cos(2

1)(

πT

xxf

A su vez, xy cos−= es la simétrica de xy cos= respecto al eje OX.


7. Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) ℜ=⇒

≤<<−−

−≤−= )(

0

02 1

2 13

)(2

fDom

xsix

xsix

xsix

xf

• linealfunción 13 →−= xy

x •− 2 3− 4− y 7− 10− 11−

• linealfunción 1 →−= xy

x Ο− 2 1− Ο0

y 3 2 1

• (parábola) cuadráticafunción 2 →= xy

cóncava01 →>=a (0,0)Vértice→

x •0 1 2

y 0 1 4

b) ),3()0,()(

3 1

04 32

4 5

)( 2 +∞∪−∞=⇒

><≤−+−−

−<−= fDom

xsi

xsixx

xsi

xf

• constantefunción 4 si 5 →−<−= xy

• (parábola) cuadráticafunción 322 →+−−= xxy

convexa01 →<−=a

43213)1(2)1(

12

2

2Vértice2

=++−=+−⋅−−−=

−=−

=−=→

y

a

bx

Luego Vértice )4,1(−→

x •− 4 3− 2− 1− Ο0

y 5− 0 3 4 3

• constantefunción 3 si 1 →>= xy


c) )(

4 1

42

20 1

0

)(2

ℜ=⇒

≥<≤−<≤−

<

= fDom

xsi

xsix

xsix

xsix

xf

• linealfunción →= xy

x Ο0 1− 2−

y 0 1− 2−

• (parábola) cuadráticafunción 12 →−= xy

cóncava01 →>=a

)1,0( 1

02

0

2Vértice −⇒

−=

==−=→

ya

bx

x •0 1 Ο2 y 1− 0 3

• linealfunción →−= xy

x •2 3 Ο4 y 2− 3− 4−

• constantefunción 4 si 1 →≥= xy

d) ℜ=⇒

>

≤= )(

0 1

0 1)( fDom

xsix

xsixf

• constaantefunción 0 si 1 →≤= xy

• hipérbola 1 →=x

y

}0{)( −ℜ=fDom

No corta a los ejes coordenados


0=y asíntota horizontal

Tabla valores

x 5,0 1 2 4

y 2 1 5,0 25,0


e) }2{)(

5 1

51 2

1

1 1

)(

2

−ℜ=⇒

≥+

<<−

≤+−

= fDom

xsix

xsix

xsix

xf

• (parábola) cuadráticafunción 12 →+−= xy

convexa01 →<−=a

)1,0( 1

02

0

2Vértice ⇒

=

=−

=−=→

ya

bx

x •1 0 1− 2−

y 0 1 0 3−

• hipérbola 2

1 →−

=x

y

}2{)( −ℜ=fDom



Tabla valores

• linealfunción 1→+= xy

x •5 6 7

y 6 7 8

x Ο1 5,1 5,2 3 4 Ο5

y 1− 2− 2 1

5,0 3

1


f) }0{)(

1 2

10 ln

0 1

)( −ℜ=⇒

≥−<<

<

= fDom

xsix

xsix

xsix

xf

• hipérbola 1 →=x

y

}0{)( −ℜ=fDom

No corta a los ejes coordenados



Tabla valores

• xy ln=

),0()( +∞=fDom

0=x asíntota vertical por la derecha (

−∞=+→

)(lim0

xfx

)

Tabla valores

x +0 5,0 Ο1

y ∞− 7,0−≅ 0

• linealfunción 2→−= xy

x •1 2 3

y 1− 0 1

x 5,0− 1− 2− 4−

y 2− 1− 5,0− 25,0−


g) 34)( 2 −+−= xxxf

1º) Representamos la parábola: 342 −+−= xxy


2) Eje de simetría 22

4

2=

−−=⇒

−= xa

bx

3) Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(

22

Vfy

x

v

v⇒

=−+−=−⋅+−==

=


Eje OX:

=−+−=

0

342

y

xxy

==

⇔−

±−=−

−±−=⇔=−+−3

1

2

24

2

121640342

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje OX son

)0,1( y )0,3(

Eje OY: 30

342

−=⇒

=−+−=

yx

xxy


5) Tabla de valores

x 1− 0 1 2 3 4 5

y 8− 3− 0 1 0 3− 8−

2º) Representamos )(xf : Recuerda

≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


h) 45)( 2 −−= xxxf

1º) Representamos la parábola: 452 −−= xxy


2) Eje de simetría 5,22

5

2==⇒

−= xa

bx

3) Vértice

−⇒

−=−=−

⋅−

=

=

=

4

41,

2

5

25,104

414

2

55

2

5

2

5

5,22 V

fy

x

v

v


Eje OX:

=−−=

0

452

y

xxy

−≅−=

≅+=⇔±=

−+±=⇔=−−

7,02

415

7,52

415

2

415

2

162550452

x

xxxx ⇒ Los puntos de corte con el eje

OX son

+0,

2

415 y

−0,

2

415

Eje OY: 40

452

−=⇒

=−−=

yx

xxy



5) Tabla de valores

x 0 1 2 2

5 3 4 5

y 4− 8− 10− 4

41− 10− 8− 4−


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


i) xxf ln)( =

1º) Representamos la función logarítmica: xy ln=

• ),0()ln( +∞== xyDom

• Corta al eje OX en el punto )0,1(

• No corta al eje OY

• 0=x es asíntota vertical por la derecha ))(lim(0

−∞=+→

xfx


x +0 1 e 2e

y ∞− 0 1 2


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


j) 42)( −= xxf

1º) Representamos la función exponencial: 42 −= xy (que, a su vez, es la función xy 2= trasladada

verticalmente 4 unidades hacia abajo)

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc



−∞→= 0)(lim xf

x)

x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8



≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA

k) 1

2)(

−=

xxf

1º) Representamos la función 1

2

−=

xy , que a su vez, es la función

xy

2= trasladada horizontalmente 1

unidad a la derecha

� x

y2=


• }0{)( −ℜ=fDom

• }0{)(Re −ℜ=fc



+∞=

−∞=

+

−

→

→

x

x

x

x

2lim

2lim

0

0


=

=

+

+∞→

−

−∞→

02

lim

02

lim

x

x

x

x

• Tabla valores

x 4− 2− 1− 5,0− 5,0 1 2 4

y 5,0− 1− 2− 4− 4 2 1 5,0


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


8. Dadas las siguientes funciones:

a) 54)( 2 +−= xxxf

b) 34)( 2 −+−= xxxf

c)

≥+<≤

<≤−+

=3 12

30 1

02 2

1

)(

xsix

xsi

xsix

xf

d)

≥+

<<−

≤+

=

5 1

51 2

1

1 1

)(

2

xsix

xsix

xsix

xf

Represéntalas gráficamente y estudia: 1) Si son inyectivas, suprayectivas y biyectivas 2) Características principales ( dominio, recorrido, signo, puntos de corte con los ejes, simetría,

periodicidad, acotación, monotonía, máximos y mínimos relativos, curvatura y puntos de inflexión) 3) Continuidad. Halla su dominio de continuidad y clasifica sus discontinuidades (en caso de tenerlas).

a) 54)( 2 +−= xxxf

1)

• ∪⇒>= cóncava01a

• Eje de simetría 22

4

2=⇒=⇒

−= xxa

bx

• Vértice )1,2( 15)2(4)2()2(

22

Vfy

x

v

v⇒

=+⋅−==

=

• Puntos de corte con los ejes

FUNCIONES ELEMENTALES

Eje OX:

=+−=

0

542

y

xxy


201640542 ⇒

−±=⇐=+− xxx ⇒No hay puntos de corte con el eje OX

Eje OY: 50

542

=⇒

=+−=

yx

xxy



x 1− 0 1 2 3 4 5

y 10 5 2 1 2 5 10

� La función no es inyectiva, ya que hay valores distintos del dominio con la misma imagen, por ejemplo,

2)1( =f

2)3( =f

� La función tampoco es suprayectiva ya que ℜ≠+∞= ),1[)(Re fc

� Si no es inyectiva ni suprayectiva, obviamente, no es biyectiva.

2)

• ℜ=)( fDom

• ),1[)(Re +∞=fc


• Puntos de corte con el eje OX: No hay

Puntos de corte con el eje OY: )5,0(

• Signo de )(xf )( 0)( fDomxxf ∈∀>→

• No es simétrica

• No es periódica

• No tiene asíntotas

• )2,( si edecrecient nteestrictame es )( −∞∈xxf

),2( si creciente nteestrictame es )( +∞∈xxf

• Mínimo relativo y absoluto: )1,2(

No tiene máximos relativos ni absolutos.

• dominiosu en todo cóncava es )(xf

• No está acotada superiormente.

Está acotada inferiormente.

]1,( inferiores cotas de Conjunto −∞=

1 Ínfimo = .

1 absoluto Mínimo =

3) ℜ=dcontinuida de Dominio

b) 34)( 2 −+−= xxxf

1)

1º) Representamos la parábola: 342 −+−= xxy

• ∩⇒<−= convexa01a

• Eje de simetría 22

4

2=

−−=⇒

−= xa

bx

• Vértice )1,2( 13843)2(4)2()2(

22

Vfy

x

v

v⇒

=−+−=−⋅+−==

=

• Puntos de corte con los ejes

Eje OX:

=−+−=

0

342

y

xxy

=−

±−=−

−±−=⇐=−+−3

1

2

24

2

121640342 xxx ⇒ Puntos de corte con el eje OX )0,1(

)0,3(


Eje OY: 30

342

−=⇒

=−+−=

yx

xxy



x 1− 0 1 2 3 4 5

y 8− 3− 0 1 0 3− 8−


≥<−

=0 si

0 si

AA

AAA


0)1( =f

0)3( =f

� La función tampoco es suprayectiva ya que ℜ≠+∞= ),0[)(Re fc


2)

• ℜ=)( fDom

• ),0[)(Re +∞=fc

• Puntos de corte con el eje OX: )0,1( )0,3(


• Signo de )(xf )( 0)( fDomxxf ∈∀≥→


}3,1{ si 0)( −ℜ∈> xxf

3 ò 1 si 0)( === xxxf



• No tiene asíntotas

• )3,2()1,( si edecrecient nteestrictame es )( ∪−∞∈xxf

),3()2,1( si creciente nteestrictame es )( +∞∪∈xxf

• Mínimo relativo y absoluto: )0,1( y )0,3(


• )3,1( si convexa es )( ∈xxf

• ),3()1,( si cóncava es )( +∞∪−∞∈xxf




0 Ínfimo = .


c)

≥+<≤

<≤−+

=3 12

30 1

02 2

1

)(

xsix

xsi

xsix

xf

1)

• linealfunción 2

1 →+= xy

x •− 2 1− ο0

y 0 2

1 1

• constantefunción 30 si 1 →<≤= xy

• linealfunción 12 →+= xy

x •3 4 5

y 7 9 11



)3,0[ 1)( ∈∀= xxf

� La función tampoco es suprayectiva ya que ℜ≠)(Re fc


2)

• ),2[)( +∞−=fDom

• ),7[]1,0[)(Re +∞∪=fc

• Puntos de corte con el eje OX: )0,2(−


• Signo de )(xf )( 0)( fDomxxf ∈∀≥→

),2( si 0)( +∞−> xxf

2 si 0)( −== xxf



• )3,0( si constante es )( ∈xxf

),3()0,2( si crece )( +∞∪−∈xxf

• No tiene extremos relativos

Mínimo absoluto: )0,2(−

No tiene máximo absoluto.

• dominiosu en todo lineal es )(xf




0 Ínfimo = .


3)

),3()3,2[dcontinuida de Dominio +∞∪−=

3=x discontinuidad de de salto finito


d)

≥+

<<−

≤+

=

5 1

51 2

1

1 1

)(

2

xsix

xsix

xsix

xf

1)

• (parábola) cuadráticafunción 12 →+= xy

cóncava01 →>=a

)1,0( 1

02

0

2Vértice ⇒

=

==−=→

ya

bx

x •1 0 1− 2−

y 0 1 2 5

• hipérbola 2

1 →−

=x

y

}2{)( −ℜ=fDom



Tabla valores

• linealfunción 1→+= xy

x •5 6 7

y 6 7 8


1)1( =−f

1)1( =f

� La función tampoco es suprayectiva ya que ℜ≠)(Re fc


X Ο1 5,1 5,2 3 4 Ο5

Y 1− 2− 2 1

5,0 3

1

2)

• }2{)( −ℜ=fDom

•

+∞∪−−∞= ,3

1)1,()(Re fc

• Puntos de corte con el eje OX: No hay


• Signo de )(xf

),2(]1,( si 0)( +∞∪−∞∈> xxf

)2,1( si 0)( ∈< xxf




+∞=

−∞=

+

−

→

→

)(lim

)(lim

2

2

xf

xf

x

x

• )5,2()2,1()0,( si decrece )( ∪∪−∞∈xxf

),5()1,0( si crece )( +∞∪∈xxf

• Mínimo relativo: )1,0(

No tiene mínimo absoluto.


• )2,1( si convexa es )( ∈xxf

)1,2()1,( si cóncava es )( ∪−∞∈xxf

),5( si lineal es )( +∞∈xxf

• No está acotada (ni superior ni inferiormente)

3)

}5,2,1{dcontinuida de Dominio −ℜ=

2=x discontinuidad asintótica o de de salto infinito

1=x y 5=x discontinuidad de de salto finito

9. Dada la función 52)( 3 += −xxf halla )(1 xf − y represéntalas gráficamente en un mismo sistema de

referencia.

52)( 3 += −xxf )(xf→ es la función xy 2= trasladada verticalmente 5 unidades hacia arriba y

horizontalmente 3 unidades a la derecha

� xy 2=

• ℜ== )2( xyDom

• ),0()2(Re +∞== xyc



−∞→= 0)(lim xf

x)


x 3− 2− 1− 0 1 2 3

y 8

1

4

1

2

1 1 2 4 8

?)(¿ 1 xf −

� Primero comprobaremos que 52)( 3 += −xxf es inyectiva, es decir, ])()( si[ babfaf =⇒=

bababfaf baba =⇒−=−⇒=⇒+=+⇒= −−−− 33225252)()( 3333

Por tanto, )(xf es inyectiva y existe )(1 xf −

� Ahora calculamos )(1 xf −

1) 5252)( 33 +=⇒+= −− xx yxf

2) 52 3 += −yx

3) 3)5(log)5(log35252 2233 +−=⇒−=−⇒−=⇒+= −− xyxyxx yy

4) 3)5(log)( 21 +−=− xxf

� COMPROBACIÓN

xxxfxffxff xx =+−=+=+=+−== −−+−−− 555252]3)5([log)]([))(( )5(log33)5(log2

11 22o

xxfxffxff xxx =+−=+=+−+=+== −−−−−− 3332log3)552(log]52[)]([))(( 32

32

3111o

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y tercer

cuadrantes)

10. Dada la función 2)1(log)(2

1 ++= xxf halla )(1 xf − y represéntalas gráficamente en un mismo sistema de

referencia.

2)1(log)(2

1 ++= xxf )(xf→ es la función xy2

1log= trasladada verticalmente 2 unidades hacia arriba y


� xy2

1log=

• ),0()log( 2 +∞== xyDom





)(lim0

xfx

x 8 4 2 1 2

1

4

1

8

1

y 3− 2− 1− 0 1 2 3

?)(¿ 1 xf −

� Primero comprobaremos que 2)1(log)(2

1 ++= xxf es inyectiva, es decir, ])()( si[ babfaf =⇒=

bababababfaf =⇒+=+⇒+=+⇒++=++⇒= 11)1(log)1(log2)1(log2)1(log)()(2

1

2

1

2

1

2

1

Por tanto, )(xf es inyectiva y existe )(1 xf −

� Ahora calculamos )(1 xf −

1) 2)1(log2)1(log)(2

1

2

1 ++=⇒++= xyxxf

2) 2)1(log2

1 ++= yx

3) 12

1

2

112)1(log2)1(log

22

2

1

2

1 −

=⇒

=+⇒−=+⇒++=−− xx

yyxyyx

4) 12

1)(

21 −

=−

−x

xf

� COMPROBACIÓN

xxxfxffxffxx

=−+=−

=−

=

++==

+−++−−− 111

2

11

2

12)1(log)]([))((

)1(log22)1(log

2

1111 2

1

2

1

o

xxfxffxffxxx

=+−=+

=+

+−

=

−

==−−−

−− 2222

1log222

2

1log1

2

1)]([))((

2

2

1

2

2

1

211

o

Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta xy = (bisectriz del primer y tercer cuadrantes)

funciones elementales. representaciÓn...

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