trabajo funciones elementales

F U NCIONES E LE M ENTALES

NOMBRE Y APELLIDOS: Álvaro Peña

PUNT U ACIONES:

EJERCICIO 1 :

EJERCICIO 2 :

EJERCICIO 3 :

EJERCICIO 4 :

EJERCICIO 5 :

FINAL:

EJERCICIO 1 : (1 Punto/Apartado) Calcula el dominio de las siguientes funciones:

1) f ( x )=log ( 1−x2

x )El valor de

1−x2

xdebeser mayor que 0 , yaqueestá dentro deun logarítmo .

(−∞ ,−1 ) −1 (−1,0 ) 0 (0,1 ) 1 (1 ,∞ )+ 0 - ¿? + 0 -Sí No No No Sí No No

Dom ( f (x))=(−∞ ,−1 )∪ (0,1 ).

2) f ( x )=log (x2+2x+1 )

El valor de x2+2 x+1debe ser mayorque 0 , ya queestá dentro deun logarítmo .(−∞ ,−1 ) −1 (−1 ,∞ )

+ 0 +Sí No Sí

Dom ( f (x))=(−∞ ,−1 )∪ (−1 ,∞).

3) f ( x )= 3√ x+1

ex2−x−6−1Elúnico requisitoque debecumplir esta funciónes queel deominador no sea0.El denominador se hace0cuando : ex2− x−6=1=e0→x2−x−6=0→x=3 ,−2

Dom ( f (x))=R−{3 ,−2 }.

Álvaro Peña -1- 1ºBachillerato

4) f ( x )= 3√ x−2x3−1

Elúnico requisitoque debecumplir esta funciónes queel deominador no sea0.El denominador se hace0cuando : x3=1→x=1Dom ( f (x))=R−{1}

5) f ( x )=√−x2+3x−2

x2+1

El valor de−x2+3 x−2

x2+1debe ser mayor o igual que 0 , yaqueestá dentro deunaraiz cuadrada .

(−∞ ,1 ) 1 (1,2 ) 2 (2 ,∞ )- 0 + 0 -

No Sí Sí Sí No

Dom ( f (x))=[1,2].

6) f ( x )=√ 1−xx2+3 x

El valor de1−x

x2+3 xdebe sermayor o igualque0 , yaque está dentrodeunaraiz cuadrada.

(−∞ ,−3 ) −3 (−3,0 ) 0 (0,1 ) 1 (1 ,∞ )+ ¿? - ¿? + 0 -Sí No No No Sí Sí No

Dom ( f (x))=(−∞ ,−3 )∪(0,1].


EJERCICIO 2 : (1.5 Puntos/Apartado) Define y representa las siguientes funciones:

1) f ( x )=|−2x2+8 x−6|

Cuando x∈ (−∞,1 )∪ (3 ,∞ ) , la función es 2x2−8x+6 .Cuando x∈ [1,3 ] , la función es −2 x2+8x−6 .

2) f ( x )=2|x+1|−|3−x|

Cuando x∈ (−∞,−1 ) , la función es −2x−2−3+x=−x−5.Cuando x∈[−1,3] , la función es 2 x+2−3+x=3x−1 .Cuando x∈ (3 ,∞ ) , la función es 2 x+2+3−x=x+5 .


3) f ( x )=|2 x+3|x+3

Cuando x∈ (−∞,−1.5 ) , la función es −2 x−3x+3

.

Cuando x∈¿ , la función es 2x+3x+3

.


EJERCICIO 3 : (0.75 Puntos/Apartado) Se consideran las funciones:

f ( x )=√x2+1 y g ( x )= xx−2

Halla:

a) ( f og)(x )

( f og ) ( x )=f (g ( x ) )=f ( xx−2 )=√( x

x−2 )2

+1=√ x2

x2−4 x+4+1=√2+ 4 x−4

x2−4 x+4

b) (go f )(x )

(go f ) ( x )=g ( f ( x ) )=g (√ x2+1 )= √ x2+1

√x2+1+2=1−

2

√ x2+1+2=1−

2 (√ x2+1−2 )x2+1−4

c) f−1(x)

f−1 (x )→x=√ y2+1→x2= y2+1→ y2=x2−1→ y=√ x2−1=f−1 ( x )

d) g−1(x )


g−1 ( x )→x= yy−2

→ y−2= yx→1− 2

y=1

x→

2y= x−1

x→ y= 2 x

x−1=2+ 2

x−1=g−1 ( x )EJERCICIO 4 :

(1 Punto/Apartado) Representa las siguientes funciones y realiza su estudio:

1) f ( x )=−( x+2 )2+1

1. Tipo de función:

Función algebraica cuadrática.

2. Dominio:

Dom ( f (x))=R−{3}

3. Puntos de corte con los ejes:

Eje x:x2+4 x+3=0→x=1 y 3La función corta al eje x en los puntos (-1,0) y (-3,0).

Eje y:y=−22+1=−3La función corta al eje y en el punto (0 ,−3 ).

4. Asíntotas:

No tiene.

5. Continuidad:

La función es continua en todo su dominio.

6. Periodicidad:

No tiene.

7. Simetría:

No tiene simetría ni par ni impar. Es simétrica con respecto a x=-2.

8. Monotonía. Extremos relativos:

Cuando x∈ (−∞,−2 ) , la función es creciente ( ).↗Cuando x∈(−2 ,∞) , la función es decreciente ( ).↘Máximo relativo en (-2,1).No tiene mínimos relativos.

9. Curvatura. Puntos de inflexión:

Para todo el dom inio, la función es cóncava (∩).No tiene puntos de inflexión.


10. Recorrido:

ℑ ( f (x ))=(−∞ ,1).


2) f ( x )= 4−2xx−3

1. Tipo de fu nción :

Función algebraica racional de proporcionalidad inversa.

2. Domini o :

Dom ( f (x))=R−{3}

3. Puntos de corte con los eje s :

Eje x:4−2 x=0→x=2La función corta al eje x en el punto (2,0).

Eje y:

y= 4−3

=−43

La función corta al eje y en el punto (0 ,−43 ).

4. Asíntota s :

Asíntota vertical: x=3. Asíntota horizontal: y=-2

5. Contin u id a d :

Continua ∀ x∈R−{3}

6. Periodicidad :

No es periódica.

7. Simetría :

Con respecto al punto (3,-2).

8. M o not on ía. Extremos r e lativos :

La función es creciente en todo su dominio.No tiene ni máximos ni mínimos relativos.

9. Curvatura. Puntos de in f lexión :

Cuando x∈ (−∞,3 ) , la función es convexa (∪ ).Cuando x∈ (3 ,∞ ) , la función es cóncava (∩ ).No tiene puntos de inflexión.

10. Recorrid o :


ℑ ( f (x ))=R−{−2 }


3) f ( x )=( 32 )

x−1

+2


Función trascendental exponencial

2. Domini o :

Dom ( f (x))=R


Eje x:

−2=( 32 )

x−1

La función no corta al eje x.Eje y:

y=23+2=8

3

La función corta al eje y en el punto (0 , 83 ).

4. Asíntota s :

Asíntota horizontal: y=2.Asíntota vertical: no tiene.


Continua ∀ x∈R

6. Periodicidad :

No tiene.

7. Simetría :

No tiene.


La función es creciente (↗) para todos los valores reales de x.No tiene ni máximos ni mínimos.


La función es convexa (U) en todo su dominio.No tiene puntos de inflexión.

10. Recorrid o :


ℑ ( f (x ))=(2 ,∞)


4) f ( x )=log 12

( x+1 )−3


Función trascendental logarítmica.

2. Domini o :

Dom ( f (x))=(−1 ,∞)


Eje x:

3=log 12

(x+1 )→x=18−1=−7

8

La función corta al eje x en el punto (−78

,0)Eje y:

y=log 12

(1 )−3→ y=−3

La función corta al eje y en el punto (0 ,−3 ).

4. Asíntota s :

x=−1


La función es continua para todo el dominio de f (x).

6. Periodicidad :

No tiene.

7. Simetría :

No tiene.


La función es decreciente (↘) para todos el dominio de la función.No tiene ni máximos ni mínimos.


La función es convexa en todo su dominio.No tiene puntos de inflexión.

9. Recorrid o :

ℑ ( f (x ))=R


5) f ( x )=2sin (2 x−π )−1


Función trigonométrica: Seno

2. Domini o :

Dom ( f (x))=R


Eje x:

1=2sin (2 x−π )→ 12=sin (∝)→α=¿ π

6y

5π6

¿

Si∝=π6; x=7π

12+π ×k ;(k∈Z)

La función corta al eje x en el punto ( 7π12

+π ×k ,0)Eje y:y=2sin (π )−1→ y=−1La función corta al eje y en el punto (0 ,−1 ).

4. Asíntota s :

No tiene.


Continua ∀ x∈R

6. Periodicidad :

Es una función periódica de periodo π .

7. Simetría :

No tiene.


Creciente: x=(3 π12

+π ×k ,9 π12

+π ×k ), donde k∈Z

Decreciente: x=(−3 π12

+π ×k ,3 π12

+π ×k ), donde k∈Z

Máximos: ( 9 π12

+π ×k ,1) , dondek∈Z

Mínimos: ( 3π12

+π ×k ,−3), donde k∈Z



La función es cóncava (∩) cuando: x=( π2 +π×k ,π+π ×k ), donde k∈Z

La función es convexa (U) cuando: x=(π ×k ,π2

+π ×k ) ,donde k∈Z

Puntos de inflexión: ( π2 ×k ,−1), donde k∈Z

10. Recorrid o :

ℑ ( f (x ))=[−3,1 ]


EJERCICIO 5 : (2 Puntos/Apartado) Representa las siguientes funciones definidas a trozos justificando tus respuestas:

1) f ( x )={ 3

|( x−2 )2−1|2x−3

si x ≤0

si0<x ≤4si x>4 }


2) f ( x )={ 1+2x−2

−x+6−( x−7 )2+1

si x≤3

si3<x ≤6si x>6 }


3) f ( x )={ 3x+1x+1

1+ log 12

( x+1 )

x+3

si x←1

si−1<x≤3si x>3 }


4) f ( x )={ −( x+1 )2+32 x−4x−3

log2 ( x−3 )+2

si x<0

si0≤ x<5si x≥5 }


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