FUNCIONES.

FUNCIONES

ELEMENTALES.

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

UNA FUNCIÓN f REAL DE VARIABLE REAL, es una correspondencia

entre dos conjuntos reales A y B, que asocia a cada elemento x de A un solo

elemento y de B. Y se simboliza por:

f : A B : x y = f (x)

A los elementos x A, se le denomina VARIABLE INDEPENDIENTE, y

a los elementos y B VARIABLE DEPENDIENTE.

La ECUACIÓN de la FUNCIÓN y = f(x), es la relación algebraica entre x e

y, donde:

Dominio de f = D f = { x A : existe y B tal que y = f(x) }

Imagen de f = R f = { y B : existe x A tal que y = f(x) }

Si x es tal que y = f (x), y es la IMAGEN de x, y x es la ANTIMAGEN de y

Si una función viene definida solamente por su ecuación y = f(x), el DOMINIO de f, será el conjunto más amplio de los números reales, para los cuales está definida f

Ejemplos:

1. 1, no es una función, pues para cada x mayor que 1,

tiene dos valores (por ejemplo 3 = 2).

Sin embargo:

1., si es una función, cuyo DOMINIO de f es:

Dom f = 1

f x x

f x f

f x x

,+

puesto que es el conjunto para el cual está definida la raíz cuadrada,

y el RECORRIDO o IMAGEN de f será:

Ima f = 0,+ .

Por ejemplo la IMAGEN de 3, es 3 3 1 2,

2.- Si : 1

f

f

2

2 2

0,10 0,100 : ( ) ,

la ANTIMAGEN de 9 = 3,+3 ya que ( 3) ( 3) 9 ( 3) ( 3)

x f x x

f f

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL

Dada una función real f (x), al conjunto de puntos del plano Cartesiano:

{ ( x , f(x) ) : x D f }

Se le denomina GRÁFICA de la función f.

Es decir, la GRÁFICA de una función son todos los puntos del plano

cartesiano, cuyas coordenadas son (x , f(x) ) “ ó ( x, y ) donde y = f(x) “.

El conjunto de la abscisas lo compone el Domino de f, y el conjunto de

las ordenadas el Recorrido de f

Ejemplo: 2La gráfica de la función ( ) 3 :f x x será

(-3, f(-3) ) = ( -3 , 0 )

Eje de ordenadas

Eje de abcisas

(-5, f(-5) ) = ( -3 , 4 )

(0, f(0) ) = ( 0 , 9 )

PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES

Una función f (x) es MONÓTONA CRECIENTE en un intervalo (a,b)

cuando para cada x, y (a,b) si x < y, entonces f (x) < f (y).

Una función f (x) es MONÓTONA DECRECIENTE en un intervalo

(a,b) cuando para cada x, y (a,b) si x < y, entonces f (x) > f (y).

Una función f (x) es MONÓTONA en un intervalo (a,b) cuando es

MONÓTONA CRECIENTE ó MONÓTONA DECRECIENTE.

Una función f (x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en un punto M,

cuando existe un intervalo (a,b) tal que M (a,b) y para cada x (a,M)

o (M,b) será f(x) < f(M)

Una función f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en un punto M, cuando

existe un intervalo (a,b) tal que M (a,b) y para cada x (a,M) o

(M,b) será f(x) > f(M)

Ejemplo. La siguiente función

Es monótona creciente en (0,2) y en (5,8) y monótona decreciente en (2,5).

Tiene un máximo relativo en x = 2, y x = 8, y tiene un mínimo relativo en x = 5.

PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES

Una función f (x) es PAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE OY,

cuando para cada x se cumple que f (x) = f (-x).

Una función f (x) es IMPAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN

DE COORDENADAS, cuando para cada x se cumple que f (x) = - f (-

x).Una función f (x) es CONTINUA en un intervalo, si su gráfica es

continua en dicho intervalos.

Los puntos en los que se interrumpe la gráfica, se denominan PUNTOS

de DISCONTINUIDAD.

Ejemplo.

La función

Es una función PAR

La función

Es una función IMPAR

Ejemplo. La siguiente función

Es continua en (-3,0) y en (0,1) y es discontinua en x = 0

FUNCIONES POLINÓMICAS ELEMENTALES.

Las funciones polinómicas son de la forma:

f (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0

Donde, a n , a n - 1 , … , a 2 , a 1 , a 0 son números reales.

La función f (x) = a, con a un número real, se denomina función

CONSTANTE.

La función f (x) = a x, con a un número real, se denomina

función LINEAL.

La función f (x) = a x + b, con a y b números reales, se denomina función

AFÍN.

La función f (x) = a x 2 + b x + c, con a, b y c números reales, se denomina función CUADRÁTICA.

Ejemplos Gráficos de funciones polinómicas

FUNCIONES RACIONALES ELEMENTALES.

Las funciones racionales son de la forma: P(x)f(x) = ------ con P(x) y Q(x) (grado(Q) 1) polinomios.

Q(x)

Estas funciones se define para todos los números reales que no se anule

el denominador.

Ejemplos:

f

g2

11. , tiene por DOMINIO: D = 1

12 3

2.- g , tiene por DOMINIO: D = 2,24

f xxx

xx

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.

Las funciones de proporcionalidad inversa, son funciones racionales de la

forma: kf(x) = ------ con k un número constante.

x

Estas funciones tiene por DOMINIO todos los números reales salvo el 0.

Ejemplo:

1La función ,

tiene GRÁFICA

una hiperbola equilatera.

f xx

por

TRASLACIÓN DE FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.

Las gráfica de la función de proporcionalidad inversa, de la forma: kf(x) = b + ------ con k un número constante.

x - a Es la traslación de la gráfica de la función k/x mediante el vector (a,b)

Ejemplo:

La función

1 2x 12 = ,

1 x 1

tiene GRÁFICA.

f xx

por

Hoja de cálculo, en la que se puede

variar a, b y k, de la función: kf(x) = b + ------

x - a

OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES.

Otras funciones elementales que estudiaremos en cursos posteriores son:

Las funciones exponenciales.

Las funciones logarítmicas.

Las funciones trigonométricas.

FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS

En ocasiones, nos interesa estudiar funciones definidas por intervalos.

Ejemplo:

La función

x+1 si 3 x<1

+1 si 1 x 2

x+2 si 2 x 5

tiene GRÁFICA.

f x

por

2

— —

—x

Mas ayuda del tema de la página

Matemática de DESCARTES del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)

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Matemática de GAUSS del

Ministerio de Educación y ciencia

(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)

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lasmatemáticas.es

Videos del profesor

Dr. Juan Medina Molina

(http://www.dmae.upct.es/~juan/m

atematicas.htm)

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Manuel Sada

(figuras de GeoGebra)

(http://docentes.educacion.navarra.es/

msadaall/geogebra/)

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