Ecuacion TrascendentePublicado pormauricioUnaecuacin trascendentees una igualdad entre dos expresiones matemticas en las que aparecen una o ms incgnitas relacionadas mediante operaciones matemticas, que no son nicamente algebraicas, y cuya solucin no puede obtenerse empleando solo las herramientas propias del lgebra.El trmino trascendente se refiere a que la ecuacin o su resolucin va ms all del lgebra;trasciende el lgebra.Una ecuacin f(x)=g(x) es trascendente, sipor lo menos una de las funciones no es algebraica. Son ejemplos de estasecuaciones, las exponenciales, logartmicas, trigonomtricas, hiperblicas. Engeneral, las ecuaciones trascendentes slo pueden resolverse en formaaproximadaLas soluciones de muchas ecuaciones trascendentes se han obtenido tradicionalmente (antes de la aparicin de los ordenadores) por mtodos numricos, aproximando la solucin mediante iteraciones sucesivas.Teorema generalizado del binomio (Newton)Isaac Newtongeneraliz la frmula para tomar otros exponentes, considerando una serie infinita:(3)Donderpuede ser cualquiernmero real(en particular,rpuede ser cualquier nmero real, no necesariamente positivo ni entero), y los coeficientes estn dados por:

(elk=0 es un producto vaco y por lo tanto, igual a 1; en el caso dek= 1 es igual ar, ya que los otros factores (r1), etc., no aparecen en ese caso).Una forma til pero no obvia para la potencia recproca:

La suma en (3) converge y la igualdad es verdadera siempre que los nmeros reales o complejosxeysean suficientemente cercanos, en el sentido de que elvalor absoluto|x/y| sea menor a uno.

La frmula del binomio de NewtonSe trata de una frmula que sirve para obtener la potencia n-sima de un binomio usando los nmeros combinatorios:(a+b)n= (n0)anb0+ (n1)an-1b1+ (n2)an-2b2+ .... + (nn-1)a1bn-1+ (nn)a0bndonde (nk) representa elnmero combinatorio"nsobrek" .

La curva catenaria

Esttica. ElasticidadMomento de una fuerzaMedida del mdulode elasticidadFlexin de una vigaPandeo de una barraMedida del mdulode cizallamientoCatenariaFormulacin discretaCatenaria simtricaReferenciasProcedimiento del punto medio

Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compaas elctricas para llevar la corriente de alta tensin entre las centrales elctricas y los centros de consumo. La catenaria como lacicloideson dos curvas importantes en la Fsica y en las Matemticas.La curva que describe un cable que est fijo por sus dos extremos y no est sometido a otras fuerzas distintas que su propiopesoes una catenaria. La catenaria se confundi al principio con la parbola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultneamente con Leibniz y Huygens.Formulacin discretaSea una cadena de bolitas metlicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hayNbolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitudLy de masa despreciable.

Cada bolita estar, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.La condicin de equilibrio para la bolitaide masamse expresa

Todas las componentes horizontales de la tensin del hilo son iguales, y la denominaremosTx.Tx=Tcos0= Tcosi= Tcosi+1=TcosN+1Dividiendo la segunda ecuacin porTxtenemos la siguiente relacin entre el nguloiy el nguloi+1

A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolitamgy la componente horizontalTxde la tensin del hilo, le denominaremos parmetro. La relacin de recurrencia se escribe para cada bolitai=1... N.tan1=tan0-tan2=tan1-tan3=tan2-...............tani=tani-1-.............tanN-1=tanN-2-tanN=tanN-1-Sumando miembro a miembro obtenemos el nguloNen funcin del ngulo inicial0.tanN=tan0-NSi los extremos del hilo estn a la misma altura, por razn de simetra tendremos quetan0=-tanNPor tanto,tan0=N/2Sumando miembro a miembro la relacin de recurrencia hasta el trminoi, obtenemos el nguloien funcin del ngulo inicial0.tani=tan0-i=(N-2i)/2El nguloique forma el hilo con la horizontal en la posicin de cada una de las bolitas, el ngulo inicial0y el finalNse calculan mediante la siguiente frmula

Las coordenadas (xi, yi) de la bolitaise obtendrn sumando las proyeccionesdcosjydsenj, j=0...i-1,sobre el eje X y sobre el eje Y respectivamente, siendodla distancia entre dos bolitas consecutivasd=L/(N+1)

ActividadesPara representar el estado de equilibrio de un hilo de longitud dadaL, de masa despreciable en el que se han fijadoNbolitas equidistantes, se introduce en el applet El nmero de bolitas, un nmero comprendido entre 3 y 20. El valor del parmetro, un nmero comprendido entre 0.5 y 2.0 que representa el cociente entre el peso de cada bolitamgy la componente horizontalTxde la tensin del hilo.Una vez introducidos los datos se pulsa el botn tituladoDibuja.

Catenaria simtricaConsideremos un cable de longitudLsujeto por sus dos extremos que estn situados a la misma altura y que distanauno del otro. Seala densidad del cable (masa por unidad de longitud).

En la figura, se representa las fuerzas que actan sobre una porcinsde cable que tiene como extremo el punto ms bajo A: el peso, la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el extremo izquierdo A de dicho segmento, la fuerza que ejerce la parte derecha del cable sobre el extremo derecho P del segmentos.La condicin de equilibrio se escribeTcos=T0Tsen=gsO bien,

Derivando con respecto dex, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencialds2=dx2+dy2 (1)Integrando esta ecuacin, teniendo en cuenta que parax=a/2, (en el punto ms bajo A de la curva)dy/dx=0.

Integrando de nuevo, con la condicin de que parax=a/2,y=-h.

Como la catenaria es simtrica parax=a,y=0, por lo que la flechahvale.

La ecuacin de la catenaria es, finalmente (2)La longitud de la catenaria es (3)Las figuras, son una superposicin de las imgenes generadas por los dos applets de esta pgina que muestran como la aproximacin discreta y continua coinciden cuando el parmetroes grande y difieren cuandoes pequeo. El parmetro=mg/Txes el cociente entre el peso de cada bolita y la componente horizontal de la tensin del hilo, que es la misma en cada una de las bolitas.

Ejemplo

En la figura, se muestra una catenaria simtrica de longitudL, cuya "luz" esay la "flecha"h.Para dibujar la catenaria1. Se resuelve la ecuacin trascendente (3)

2. Se representa la catenaria

3. Se calcula el mnimo o la "flecha"h

Sea la longitud del cableL=1.0, y la "luz"a=0.5. Resolvemos por cualquier procedimiento numrico la ecuacin trascendente, cuya solucin es=4.354, y a continuacin calculamosh=0.4Si cambiamos la "luz"a=0.8, obtenemos=1.478, yh=0.27ActividadesSe introduceLa "luz"a, actuando en la barra de desplazamiento tituladaPosicinSe pulsa el botn tituladoDibuja Se calcula el parmetro, resolviendo la ecuacin trascendente por el procedimiento del punto medio. Se representa la catenaria simtrica Se calcula la "flecha"h, y se proporciona su valor