ecuación diferencial de transferencia de calor y sus aplicaciones en ingeniería

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE CALOR

El calor transferido tiene una dirección así como también magnitud. La tasa de conducción de calor en

una dirección especificada es proporcional al gradiente de temperatura, el cual es el cambio en la temperatura

por unidad de longitud en esa dirección, sea en el sistema cartesiano, cilíndrico o esférico.


La conducción de calor en un medio, en general, ocurre en tres dimensiones y depende del tiempo. Esto es, la

temperatura es un campo escalar de la forma, T = T (x,y,z,t)

lo que significa que la temperatura en un medio varía con la posición y con el tiempo.


Entonces, la conducción de calor en un medio se le denomina en estado estable o estacionario, si la temperatura no cambia

con el tiempo, y se le llama en estado transitorio o transiente si cambia con el tiempo; por otra parte, se le denomina

unidimensional, si su transferencia es significativa en una dirección del sistema donde se haga el análisis.


La temperatura pues puede entonces variar en cualquiera dirección del sistema coordenado elegido para el estudio,

convenientemente y según la geometría del sistema a considerar, esto es porque ya en la práctica ingenieril, se conoce y se ha probado lo útil de escoger esas particulares suposiciones

a los problemas prácticos.


A manera de recordatorio podemos observar la descripción de las coordenadas espaciales de un punto en los tres sistemas de

coordenadas, ya estudiados en el tema de transferencia de masa por difusión.


El flujo de calor es una magnitud vectorial, así como los son los flux de masa difusivos y convectivos ya estudiados, razón por la

cual puede escribirse en notación de vectores, pero lo más importante de esto, es la forma en que puede entonces

expresarse tales flujos en forma diferencial, haciendo caso de la ya conocida LEY DE FOURIER.


Estas expresiones representan los flujos de calor a través de las paredes de un cuerpo o elemento diferencial colocado en el

sistema cartesiano. Por otro lado, dentro de un cuerpo puede estar ocurriendo un proceso de generación de energía, por

unidad de volumen, tal es el caso por ejemplo, de considerar un volumen de control tipo reactor nuclear, donde resultaría obvio

porque hay generación de energía si la superficie de control fuera las paredes del mismo. En cualquier caso, esta generación

puede evaluarse como:


En caso de que sea uniforma la generación de energía en el volumen de control, el término dentro de la integral se hace

constante sale de ella, haciendo simple los cálculos, y llamando a dicho término, tasa de generación uniforme o constante de

calor por unidad de volumen del sistema.

Tal es el caso de una resistencia eléctrica de calentamiento en un material homogéneo.


Consideremos un cuerpo homogéneo, libre de efectos de movimiento y circulación de flujos a su alrededor, ubicado en el sistema cartesiano, y

admitiendo que la temperatura es un campo escalar, en ese mismo sistema de coordenadas.


El flujo de calor expresado en las caras de salida del elemento, puede expresarse según el teorema del valor medio, de la siguiente forma:

Éstas expresiones determinan la tasa de salida en las caras de la superficie de control, y muy fácil demostrarlo a partir del teorema mencionado.


Dentro del medio puede también existir una fuente de energía térmica asociada, con una tasa de generación de energía, que

puede describirse así:


Además, pueden existir en el medio, cambios en su energía térmica almacenada o su energía interna, y si tales cambios ocurren de manera que los efectos de calor latente son despreciables por no existir cambio de fase,

entonces éste término correspondiente a energía almacenada puede expresarse como:

En ésta ecuación el triple producto de la densidad, calor específico y tasa de cambio de la temperatura en el tiempo, se le denomina tasa de cambio de

energía térmica sensible del medio por unidad de volumen del sistema.


Si se expresa la ley de conservación de la energía en su forma más

elemental, ENERGÍA QUE ENTRA MENOS LA ENERGÍA QUE SALE MÁS LA

ENERGÍA QUE SE GENERA MENOS LA ENERGÍA QUE SE CONSUME ES IGUAL A

LA ENERGÍA QUE SE ACUMULA, se obtiene la siguiente ecuación diferencial,

susceptible a reducción:


Haciendo las sustituciones respectivas, y reordenando adecuadamente los términos:

finalmente, obtenemos la ecuación en coordenadas cartesianas:

RESUMEN DE LA ECUACIONES EN LOS TRES TIPOS DE COORDENADAS MÁS COMUNES

CARTESIANAS

CILÍNDRICAS

ESFÉRICAS

ecuación diferencial de transferencia de calor y sus aplicaciones en ingeniería

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