1

CAPITULO 4. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

4.1. Introducción

Se denomina ecuación diferencial ordinaria a toda ecuación en la que aparecen una o varias derivadas de una

función.

Cuando las derivada que aparecen en una ecuación diferencial son derivadas totales, la ecuación recibe el

nombre de ecuación diferencial ordinaria, si en esta ecuación existen derivadas parciales, la ecuación se

denomina ecuación diferencial parcial

Se denomina orden de una ecuación diferencial a la derivada en la ecuación que lo tenga mayor

Se llama grado de una ecuación diferencial a la potencia a que está elevada la derivada de mayor orden

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es una ecuación del tipo: F (x, y, y )́=0, por ejemplo

1grado3orden 0yxyyx

1grado1ordenyky'

4

Se entiende por solución de una ecuación diferencial una relación entre las variables dependiente e

independiente en la que no aparece ninguna derivada y que, al sustituirse en la ecuación dada, la reduce a

una identidad.

La solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden contiene una constante arbitraria se

denomina solución general

En los problemas de la física e ingeniería se requieren soluciones que satisfagan determinadas

condiciones. De estas condiciones se obtiene la información con la cual es posible asignar valores a las

constantes arbitrarias. Este tipo de solución, que satisface estas condiciones dadas, se denomina solución

particular, y las condiciones que satisface se denominan condiciones iniciales.

Así: Cx2

1y 2 es la solución general de la ecuación diferencial: y´=x. Supongamos la condición inicial

y(0) =1 , entonces C = 1 , por tanto la solución particular es : y = 1

212x

Veamos cuatro tipos principales de ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado. Variables

separadas, Homogéneas, Lineales, Exactas

2

4.2. Ecuaciones de variables separadas

Las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado contienen el término elevado a la

primera potencia, luego se pueden expresar en la forma

y,xFdx

dy

En muchos casos F(x , y ) se puede expresar como : F ( x , y ) = f(x) .g(y) . Entonces se puede poner

dxxfyg

dyygxf

dx

dy

Integrando se obtiene

Cdxxf

yg

yd

Ejercicios de aplicación

1. Integrar las siguientes ecuaciones de variables separadas

ycos

dx

dyxcos 22 , 22 y1

dx

dyx1

Para la primera

Cxtangytangxcos

dx

ycos

dy22

Para la segunda

22 11 x

dx

y

dy

Arco Tang y =Arco Tang x +C

4.3. Ecuaciones Homogéneas

Definición 1 La función M(x ,y) se dice homogénea de grado n si la suma de las potencias de x e y en

cada termino de M es n : Así : 322 y2yx3yxy)M(x, es homogénea de tercer grado.

3

Si una ecuación diferencial de primer orden se puede expresar en la forma

y,xN

y,xM

dx

dy

Siendo M y N funciones homogéneas del mismo grado, se dice que la ecuación es homogénea. Si en la

ecuación diferencial anterior siendo M y N funciones homogéneas de grado n , es posible dividirlas

entre y expresar el lado derecho como una función de una sola variable v , donde se ha realizado el

cambio y = v x . Por tanto se tiene

vfyx,N

yx,M

dx

dvxv

dx

dy

de donde se deduce

x

dxdv

vvf

1

que es una ecuación diferencial de variables separadas

Ejercicios de aplicación

2. Integrar la ecuación diferencial: yxdx

dyyx 22

Cambio: y = v x

dv

v

1

v

1

x

dx

v1

v

dx

dvxv

dx

dy32

CLvLv2

1xL

2

Deshaciendo el cambio: 2y2

2x

2

2

eCyy2

x

C

yL

3. Integrar la ecuación diferencial: 22

22

3yxx

y3xy

dx

dy

Ecuación diferencial homogénea

4

2

22

1

3

2

2

2

v1

v1vCxdv

v2v2

v31

x

dx

v31

v3v

dx

dvxv

Deshaciendo el cambio se obtiene: xyCyxyx22

4.4. Ecuaciones diferenciales lineales

Una ecuación diferencial de primer orden del tipo: xqyxpy se dice lineal, ya que tanto y’ como y

aparecen en forma lineal. Para resolverla multiplicamos la ecuación anterior por dxxp

e

dxxpdxxpdxxp

exqeyxpey

El primer miembro de esta ecuación es la derivada de dxxp

ey , luego se verifica

dxxpdxxpexqey

dx

d

La solución general será:

Cdxexqexydxxpdxxp

Ejercicios de aplicación

4. Integrar la ecuación diferencial: xe2yyx

x

eyx

2y

x

Solución general

C1xx

eCe

x

eey

2

xdxx

2xdxx

2

4.5. Ecuaciones diferenciales exactas

Una ecuación diferencial de primer orden: P( x ,y ) d x + Q( x , y) dy = 0 , es una diferencial exacta si

existe una función potencial U( x , y ) , tal que

5

d U = P d x + Q dy ( 1 )

Si esta función U(x, y) existe, entonces la ecuación se convierte en d U = 0, lo cual nos conduce a la

solución U (x , y ) = C .Sabemos

dyy

Udxx

UUd

al comparar con la expresión ( 1), se tiene

dyQdxPdyy

Udxx

UUd

de donde se obtiene

Qy

U,P

x

U

si suponemos que se verifica

yx

U

xy

U 22

se obtiene , finalmente :

x

Q

y

P

que es la condición para que la expresión : P( x ,y ) d x + Q( x , y) d y sea diferencial exacta .

Calculo de la función potencial: La condición vista anteriormente que es el teorema de Schwarz es una

condición necesaria para la existencia de función potencial. Veamos ahora que cuando se cumple esta

condición es posible obtener la función potencial. En efecto: de la relación

CdxPyx,UPx

U

Siendo C una constante de integración que es una función de la variable y , ya que al integrar respecto

a x la y desempeña el papel de una constante . Así pues se tiene

ydxPU (2)

6

El segundo miembro de la expresión (2) no depende de x, ya que su derivada respecto de x vale cero.

Luego se obtiene

1y CdyyΨyΦyΨdxy

PQyΦ

De donde la función potencial buscada será

1CdyyΨdxyx,Py,xU

Ejercicios de aplicación

5. Integrar la ecuación diferencial: 0dy2x4xy1dx2y4xy1 22

Es una diferencial exacta .Por tanto vamos a calcular la función U (x, y) = C

dy)x2yx4(1dxy2yx41dyy

Udxx

UUd 22

2

2

2x4xy1y

U

2y4xy1x

U

yΦxy2yx2xdxy2yx41y,xU 222

1y22 CyyΦyΦyx4x2x2yx41

y

U

La solución de la ecuación diferencial es: CCyxy2yx2x 1222

6. Integrar la ecuación diferencial: 0dyyx

xyxdxLy

2x

y 22

2

2

x

Q

yx

yx

y

P2

22

7

Calculo de la función potencial

yx

xyx

y

U

yLx2

y

x

U

22

2

2

yΦyLx2

ydxyL

x2

yU

2

2

2

De donde se deduce

CLyxy

dyxyΦyΦ

x

y

y

1

yx

xyx

y

Uy

22

Solución general de la ecuación diferencial: C1xyLx2

y2

4.6. Ecuaciones que se pueden transformar en exactas mediante el uso de factores

de integración

Sea la ecuación diferencial

P(x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 (3)

y supongamos que esta ecuación diferencial no es diferencial exacta . Se llama factor de integración a una

función que designamos por ),( yx esión

P( x, y ) d x +Q ( x , y ) d y = 0 (4)

Sea diferencial exacta. Obligando a que la expresión (4) sea diferencial exacta se tiene que verificar

Qρx

Pρy

de donde se deduce

QρQρPρPρ xxyy (5)

8

En la practica la integración de esta ecuación en derivadas parciales puede ser tan difícil como la

ecuación original. Luego solo podremos encontrar factores de integración en algunos casos. Veamos

algunos casos particulares de interés

El factor integrante depende solo de x. En este caso y

0 en la ecuación anterior de donde se obtiene

xFQ

QP

ρ

ρ xyx

Si el lado derecho de la ecuación es función de x, se obtiene una ecuación de variables separadas, por tanto

se verifica

dxxF

eCρ

El factor integrante depende solo de y. En este caso x

0 en la ecuación (5), de donde se obtiene

yFP

PQ

ρ

ρ yxy

El factor integrante depende de (x, y) . La ecuación diferencial tiene un factor integrante que depende de

(x, y) , yx,ufρ

En este caso se pone f(u)yx,ufρ siendo u = u (x , y ) , de donde se obtiene

f(u ) P d x + f(u) Q d y =0 (6 )

Obligando a que la ecuación (6) sea diferencial exacta, se tiene

xxyy QufQuufPufPuuf

de donde se obtiene

QuPu

PQ

uf

uf

xy

yx

Si tiene un factor integrante que depende de u, como el primer miembro depende de u, el segundo también

con lo cual se verifica

9

F(u)QuPu

PQ

uf

uf

xy

yx

Ejercicios de aplicación

7. Integrar la ecuación diferencial: 0dy6x3xydx6xyy 22

No es diferencial exacta. Calculo del factor integrante

yuy

dy

μ

dμ

y

1

dy

dμ

μ

1

La ecuación diferencial exacta será

yx6yx3y

u

yx6yx

u

dyyx6yx3dxyx6ydyy

udxx

udu

22

23

2223

yΨyx3xydxyx6dxyu 22323

De esta expresión se tiene

1CyΨyΨyx6yx3yx6yx3y

uy

2222

La integral general será: 223

1 yx3xyCC

4.7. Ecuación diferencial de Bernouilli

La ecuación diferencial de Bernouilli, es una ecuación del tipo

0yB(x)yA(x)y m , R

Para resolverla dividimos por y m , con lo cual se tiene

0xBy

1xA

y

y1mm

10

Realizamos el cambio 1my

1u

, a continuación derivamos respecto de x, con lo cual se tiene

0xBuxAu1m

1

que es una ecuación diferencial lineal . Finalmente se deshace el cambio se obtiene la solución general de la

ecuación primitiva

Ejercicios de aplicación

8. Resolver la ecuación diferencial: 0dydx2yxy 3

Esta ecuación diferencial se puede poner en la forma

0xy

x2

y

y34

Cambio uy

13 , con lo cual se obtiene:

2x3eC2

1u

Deshaciendo el cambio, se obtiene: 2x3

3eC

2

1

y

1

4.8. Ecuaciones de primer orden no lineales en y’

4.8.1. Ecuación de Lagrange. Es una ecuación de la forma

yΦyfxy

Derivando respecto a x, y haciendo y’ = p, se verifica

dx

dppΦ

dx

dppfxpfp

dx

dyyΦ

dx

dyyfxyfy ppyy

Pongamos ahora

11

px

1

dp

dx

1

dx

dpp

De donde se obtiene

p

p,p

px

1pΦ

x

1pfxpfp

que da lugar a la ecuación lineal

pfp

pΦx

pfp

pfx

pp,p

de esta ecuación se obtiene una solución de la forma : x C p . La solución general de la ecuación

diferencial en forma paramétrica será

pΦpfpCΨy

pCΨx

Caso particular: Si : p - f(p) = 0 , siendo p0 una raíz de esta ecuación , estando (p0) definida , se puede

comprobar que : 00 pΦxpy satisface la ecuación diferencial .Si esta solución no se obtiene de la

solución general para un valor particular de C , se dice entonces que es una solución singular .

Ejercicios de aplicación

9. Resolver la ecuación diferencial: 0yexy y2

Ecuación de Lagrange, para resolverla hacemos y´= p, a continuación derivamos respecto a x, por tanto

se tiene

2p2 pepxy

p

p

p

p2

p

2pp22

x

1ep2

x

1ep

x

1px2p

dx

dpep2

dx

dpep

dx

dppx2pp

se obtiene la ecuación lineal

12

p1

2pe

1p

x2x

p

p

Las ecuaciones paramétricas del haz integral son

1ppeC1p

py

1ppeC1p

1x

2p

2

2

2p

2

4.9. Ecuación diferencial de Clayrunt

Es un caso particular de la ecuación de Lagrange cuando f(y´) = y´ , se tiene: )Φ(yy'xy . Para

resolverla aplicamos el método anterior

Cy0ppΦxpppΦxp0 pp

La integral general es: y= C x+ (C)

Por otra parte de 0pΦx p pΦx p

, en este segundo caso la solución es

pΦx

pΦpΦpy

p

p

Estas ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de una integral de la ecuación de Clayrunt . Si se puede

eliminar el parámetro p , se obtiene una ecuación de la forma f ( x , y )= 0 Esta curva integral se llama

solución singular de la ecuación de Clayrunt . La envolvente de la familia: y = C x +(C) , se obtiene

eliminando C en el sistema

CΦx0

CΦxCy

y es la curva envolvente de la familia de rectas dadas por la integral general . Luego podemos decir

que a toda ecuación de Clayrunt corresponde siempre una integral general y una integral singular ,

obteniéndose la primera al reemplazar la derivada de la función por una constante arbitraria y

resultando la segunda de la eliminación de la constante entre dicha integral general y su derivada

respecto a la constante , la integral general representa la tangente a una curva , la solución singular da

la envolvente de aquellas rectas tangentes .

13

Ejercicios de aplicación

10. Integrar la ecuación diferencial: 1yxyy2

La integral general se obtiene haciendo y ´= C, por tanto la integral general es 1CxCy 2

La integral singular se obtiene calculando la envolvente de la integral general

14

xy

C2x0

1CxCy 22

4.10. Trayectorias ortogonales

Sea el haz de curvas: F( x , y , c ) =0 , de ecuación diferencial : ( ) .Se llama trayectoria de un

haz de curvas , a una curva que corta a todas las del haz bajo un mismo ángulo .Se trata de hallar

las trayectorias de ángulo , ya que la tangente a la curva y la tangente a la trayectoria forman un

ángulo

Fig.1

Sea tg y tg los coeficientes angulares de la curva del haz y de la trayectoria asociada respectivamente,

en el punto (x, y). Se tiene entonces

vtgβtg1

vtgβtgvβtgtgαy

14

Por tanto, si f(x, y, y´)=0 es la ecuación diferencial del haz dado, la de sus trayectorias isogonales de ángulo

v, será

0)vtgy1

tgvyy,f(x,

Si se trata de trayectorias ortogonales 2

πv , es decir ,

2

πβα , la relación entre y ́ e

1y resulta ser :

1y

1y

Por tanto, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales será: 0y

1,y,xf

4.11. Trayectorias ortogonales de ángulo en coordenadas polares

Si la ecuación diferencial de la familia de curvas es 0ρ,θ,ρf , la ecuación diferencial de la

familia de curvas ortogonales vendrá dada por la ecuación

0ρ

ρ,θ,ρf

2

Ejercicios de aplicación

11. Hallar las trayectorias ortogonales del haz de curvas: y m =C x

n

Cx

yn

m

Ecuación diferencial del haz de curvas: 0xnyxyym 1nnn1m

Dividiendo por 1m1n yex

, haciendo

y

1y , e integrando se obtiene

122 Cxmyndxxmdyyn

Que son cónicas con ejes los de coordenadas

122 Cxmyndxxmdyyn

15

12. Trayectorias ortogonales del haz de cardioides: =C (1+cos θ)

Cθcos1

ρ

Ecuación diferencial del haz de cardiodes: 0θsenρθcos1ρ

Ecuación diferencial del haz de trayectorias ortogonales

0θsenρθcos1ρ

ρ 2

dθ

θsen

θcos1

ρ

ρd

El haz de curvas será:

2

θcos

Cρ

2

Ejercicios resueltos

1. Integrar la ecuación diferencial: 1xayy3y 32

Cambio: y3 = Y Yyy3 2

1xYaY

Ca

e1x

a

eeCe1xexY

2

xaxaxadxadxa

La solución general será

2

xa3

a

1axaeCy

2.Integrar la ecuación diferencial: 1yx

2y , calculando la solución particular que pasa por el

punto P ( 1, -1)

16

Cx

1xCdx

x

1xCe1dxexy 2

2

2dxx

2

x

2

Solución particular: y = x -2 x2

3. Integrar la ecuación 0dyxy1dxyxy 232 , calculando previamente un factor integrante

dependiente de y

Calculo del factor integrante

2

y

y

1ρ

y

2

ρ

ρ

La ecuación diferencial exacta será 0dyxy

1dxyx

2

, de donde se obtiene

yΦyx2

xU

xy

1

y

U

yxx

U2

2

y

1yΦyΦxx

y

1y2

Integral general: Cy

1yx

2

x2

4. Resolver la ecuación diferencial 0dyxdxyyx 322 , sabiendo que admite un factor integrante

que depende del producto (x. y)

Sea: ρ=f (u), siendo u = x .y. Calculo del factor integrante

u

2

yx

2

yxyxyx

y2xx3

uf

uf323

22

222 yx

1

u

1uf

La nueva ecuación diferencial será

17

0dyy

xdx

x

1

y

122

Integral general: Cy

x

x

1

5. Resolver la ecuación diferencial: 23y1x

2

1

1x

yy

Ecuación de Bernouilli

01x2

1

1(xy

1

y

y 3

2

Cambio uy

1 . La ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación lineal

31x2

1

1x

uu

Solución general de la ecuación lineal: 1xC1x6

1u

4

Solución general de la ecuación diferencial:

1xC6

1x

y

14

7. Integrar la ecuación diferencial: 33y2x2xyy

Ecuación de Bernouilli

3

23x2

y

x2

y

y

Cambio 2y

1u . La ecuación dada se transforma en la ecuación lineal

3x4ux4u

Solución general de la ecuación lineal

18

2x22 eC2

1xu

Solución general de la ecuación diferencial dada: 2x22

2eC

2

1x

y

1

8. Integrar la ecuación diferencial: 1y3x2xyy 24

1yx3dx

dyyx2 24

0dyyx2dx1yx3 24

No es diferencial exacta. Calculo del factor integrante

2

x

x

1ρ

x

2

yx2

y2y2

ρ

ρ

La ecuación exacta será: 0dyx

y2dx

x

1

x

yx3

22

22

Integral general: Cx

1x

x

y 32

9. Integrar la ecuación diferencial: 0y1yxyxxy 222

La ecuación diferencial adopta la forma: dy1y1xdxyx 22

dy

y

1y

1x

dxx22

Integral general

Cy

1

y

1xL

2

10. Integrar la ecuación diferencial: 0y

b

xa

y

2

1

dx

dy

19

La ecuación diferencial es: 0dyyxa22dxxab2y2

No es diferencial exacta .Busquemos un factor integrante dependiente de x

2

x

xa

1ρ

xa

2

ρ

ρ

Ecuación diferencial exacta

0

dy

xa

y2dx

xa

b2

xa

y2

2

Integral general:

CxaLb2xa

y2

11. Integrar la ecuación diferencial: 01xy2xy1xx 22

1xx

1xy

1x

2y

2

Ecuación diferencial lineal:

Cdxe1xx

1xey 1x

dx2

21x

dx2

Integral general

yx

xx

C

1

1

12

12. Integrar la ecuación diferencial 042x4yyx 2 , determinando la solución particular que pasa

por el punto ( 1 , 1)

Ecuación diferencial lineal: x

4x2y

x

4y

Integral general: 1xxCCex

4x2ey 24

dxx

4dxx

4

Integral particular: 1xxy 24

13. Integrar la ecuación diferencial: 0ydy2xdx23xy 22

20

No es diferencial exacta .Busquemos un factor integrante que depende solo de x

xρx

1

ρ

ρx

La ecuación diferencial exacta será: 0dyyx2dxx2yx3 322

Integral general: Cxyx 223

14. Integrar la ecuación diferencial: 0dxydyxyyx 2

Hagamos el cambio: x= v y d x= v dy + y d v

dvydyvydyyvyyv 22

Simplificando se tiene

y

dy

v1

dv

1cv12 eey

Deshaciendo el cambio

Ceyy

xy2

15. Integrar la ecuación diferencial: 0xx

yy' 3

Ecuación diferencial lineal

Cexey x

dx3x

dx

5

x

x

Cy

4

21

16. Integrar la ecuación diferencial: 0xLyyy'x 2

Ecuación diferencial de Bernouilli

Lxyx

yy' 2

x

xL

xy

1

y

y'2

Cambio: u'y

y'u

y

12

Se llega a la ecuación diferencial lineal x

xLux

1u'

1xLxC

1y(x)1xLxCxu

17. Integrar la ecuación diferencial: 0yxy' 2

1

Ecuación diferencial de variables separadas

dxxy

dyyx

dx

dy

22

C4

xy

18. Integrar la ecuación diferencial: y'Logy'x2y

Ecuación diferencial de Lagrange: y’= p, se llega a la ecuación diferencial lineal

2

'p

p

1

p

1x2x

22

pLog2p

C2y

p

1

p

Cx

2

19. Integrar la ecuación diferencial: 3

y'y'xy

3

Ecuación diferencial de Clayrunt

Solución general:3C

3

1xCy

Integral singular: 2

3

x3

2y

20. Integrar la ecuación diferencial: y'log-1y'xy

Solución general: Clog1xCy

Integral singular: xlog2y

21. Integrar la ecuación diferencial: y'eyy'x

Solución general:CexCy

Integral singular: xxlogxy

22. Integrar la ecuación diferencial: (2 x-y2) d x+2 x y dy =0 mediante un factor integrante

Busquemos un factor integrante que depende de x

La ecuación diferencial 0dyx

y2dx

x

y

x

22

2

es exacta

Integral general

2

'x

x

1ρ

x

2

ρ

ρ

23

Cx

yxL2

2

24

25