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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y DE PRIMER GRADO
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Si la ecuación diferencial puede reducirse a la forma
la solución general se obtiene por integración directa
donde es una constante arbitraria.
Ejemplos
1.- Determinar la solución general de
2.- Determine la solución general de la ecuación
dividiendo entre se obtiene
integrando término a término
se tiene
después de simplificar se tiene la solución en forma implícita
3.- Determine la solución general y la curva particular que pasa por el punto de la ecuación diferencial
dividir por para obtener
integrando se llega a
sustituyendo el punto en esta solución obtenemos
La solución particular que pasa por el punto es por tanto
4.- Hallar la solución particular de la ecuación que satisface la condición inicial .
después de separar las variables la ecuación se escribe
integrando se obtiene la solución general
haciendo se tiene
la solución particular resulta
y en forma explícita se escribe
5.- Hallar la solución particular de la ecuación que satisface las
condiciones iniciales .
Haciendo se obtiene
La solución requerida es
Problema.- Hallar una curva que pase por el punto de modo que la pendiente de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto, aumentada en 3 unidades.
la curva debe pasar por el punto entonces
que en forma explícita se escribe
Ecuaciones diferenciales reducibles a variables separables
Una ecuación de la forma siempre puede reducirse al tipo de variables separables haciendo la sustitución:
En efecto, de esta expresión se obtiene
y al sustituir en la ecuación inicial dada se llega a
o bien, después de separar las variables y
podemos escribir la solución general en la forma
y se vuelve a las variables originales sustituyendo en la solución así obtenida.
Ejemplos
1.- Resolver la ecuación diferencial
Haciendo la sustitución se obtiene y de ahí . Sustituyendo en la ecuación inicial
de donde
separando las variables e integrando
Para integrar el primer miembro se hace la sustitución
transformándose en
es decir,
Haciendo se obtiene la solución en forma implícita
2.- Resolver la ecuación diferencial
Se escribe en la forma normal
haciendo
sustituyendo, y en la ecuación en la forma normal, se tiene
separando las variables
e integrando
se tiene la solución
volviendo a las variables originales
Ecuaciones de la forma
La transformación , reduce una ecuación de este tipo a la forma de separación de
variables. Sea , sustituyendo y en la ecuación original escrita
en la forma normal
se tiene
separando las variables se obtiene
Ejercicios
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
6.-
Ecuaciones diferenciales con coeficientes homogéneos (homogéneas)
Se dice que una ecuación de la forma
es homogénea siempre que la función no dependa de y separadamente, sino
solamente de sus razones ó , por lo tanto, las ecuaciones con coeficientes
homogéneos (homogéneas) son de la forma:
Por ejemplo:
(a) La ecuación es homogénea
(b) La ecuación también es homogénea
(c) La ecuación no es homogénea
Funciones homogéneas
Definición.-
Se dice que es una función homogénea de grado , si para algún número real , .
Ejemplo
(a)
La función es homogénea de grado 1
(b)
La función es homogénea de grado .
(c)
La función no es homogénea ya que
(d)
La función es homogénea de grado cero
Con frecuencia se puede reconocer si una función es homogénea examinando el grado de cada término, por ejemplo:
(a) La función es homogénea de grado 4
(b) La función no es homogénea
Si es una función homogénea de grado es posible escribir
y
donde y son ambas de grado cero.
Ejemplo
es homogénea de grado 2
Entonces
Por su forma una ecuación homogénea puede simplificarse introduciendo una nueva
variable, , entonces
La ecuación diferencial homogénea
se transforma en
de donde se obtiene
resolviendo esta ecuación y remplazando obtenemos la solución de la ecuación
original.
Ejemplos.-
1.- Resuelva la ecuación diferencial
Se escribe en la forma
y se comprueba que es homogénea, haciendo se tiene
la ecuación se transforma en
separando las variables
la solución general se escribe
Eliminando logaritmos
Sustituyendo y simplificando
la solución se puede escribir en forma explícita como
2.- Resolver la ecuación diferencial
Se escribe en la forma normal para comprobar que es homogénea
Haciendo , y la ecuación se convierte en
separando las variables se tiene,
e integrando
se tiene la solución
eliminando los logaritmos
sustituyendo , obtenemos
y de ahí se tiene la solución
que se puede escribir en forma explícita como
3.- Resuelva la ecuación diferencial
Se escribe en la forma
que se transforma en
separando las variables
e integrando
volviendo a las variables originales, se obtiene
que también puede escribirse en la forma
4.- Resolver la ecuación diferencial
Separando las variables e integrando se obtiene
haciendo se llega a
de donde se puede resolver para la variable dependiente
Ejercicios.-
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Para el ejercicio 5 se requiere una integral no elemental (a menos que se intercambien la variable independiente y la variable dependiente), en efecto, escribimos la ecuación en la forma normal
Haciendo , , y la ecuación se transforma en
Separando las variables
para integrar el primer miembro se escribe primero
la primera de estas integrales no es elemental por lo que se utiliza la fórmula:
el resultado de la integración es
entonces se tiene
y volviendo a la variables originales
se tiene la solución
Ecuaciones diferenciales con coeficientes lineales no homogéneos
Son de la forma
cuando la ecuación se escribe como
que es claramente homogénea. Si buscamos una traslación de ejes de la forma y , donde h y k son constantes, que cambie por
y por . Tal transformación existe si el sistema
tiene una solución, lo cual se garantiza por la condición , que equivale a decir que las rectas descritas por el sistema se cruzan. Si satisface el sistema entonces la sustitución , transforma la ecuación en una ecuación diferencial homogénea
Ejemplo 1.- Resolver la ecuación diferencial
En este ejemplo se tiene , por lo tanto se sugiere la transformación , donde h y k satisfacen el sistema
que tiene la solución entonces
sustituyendo en la ecuación original tenemos
haciendo , y la ecuación se transforma en
separando las variables e integrando
sustituyendo
haciendo y
se tiene finalmente
Ejemplo 2.- Resolver la ecuación
Se verifica que , entonces se resuelve el sistema
que tiene solución ; se hace , , , en la ecuación original para obtener
haciendo , y la ecuación se transforma en
Ejercicios
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS
Si el primer miembro de la ecuación
es una diferencial total, entonces existe una función u(x,y) tal que
y
entonces, podemos construir la solución integrando M(x,y) respecto a x
donde la constante de integración podría ser una función sólo de , derivando la función así obtenida respecto a y e igualando a N(x,y) se tiene
como la constante de integración C(y) depende sólo de y, su derivada se puede escribir como una derivada ordinaria, es decir
(3’)
y al derivar ambos miembros respecto a x llegamos a
que es la condición necesaria y suficiente para que una expresión diferencial seauna diferencial total, resolviendo para la derivada de C(y) de (3’), e integrando se obtiene
finalmente podemos escribir la solución (2) como
Ejemplo.- Demuestre que la ecuación diferencial
es exacta y determine la solución general.
Se comprueba que es exacta, entonces
Como se tiene
de donde se obtiene
e integrando
No añadimos constante de integración dado que es cualquier función tal que
la función está totalmente determinada y la solución general se
escribe
Para una ecuación diferencial exacta
La solución se puede obtener por integración
Resolver la ecuación diferencial
Se cumple que entonces
Resolver la ecuación diferencial
La integral general tiene la forma
Otro método
El punto inicial se toma el origen de coordenadas, e integrando en la trayectoria indicada
Que es de la misma forma que en el método anterior
Ejercicios.-
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
FACTOR INTEGRANTE (I)
En algunos casos, si el primer miembro de la ecuación
no es una diferencial total, es posible encontrar una función , tal que al multiplicar la ecuación por esta, transforma al primer miembro en una diferencial total.
La función se llama factor integrante.
Ejemplo.-
Multiplicando por
se obtiene
que es una diferencial total, integrando se tiene
Según la definición de factor integrante
Hemos obtenido una ecuación en derivadas parciales para hallar el factor integrante, consideremos los casos más sencillos.
1.- El factor integrante es función sólo de x, , entonces y se tiene
Para que exista un factor integrante no dependiente de y es necesario y suficiente que el segundo miembro de esta expresión dependa solamente de x; se encuentra por cuadratura.
Ejemplo.-
Resolver la ecuación diferencial
Entonces
Multiplicando la ecuación por el factor integrante y reacomodando la expresión se tiene
que es una diferencial total
la solución se escribe
2.- Si el factor integrante depende solamente de y , ahora , y se tiene
Si el segundo miembro de esta ecuación depende solamente de y, se tiene un factor integrante que es función sólo de y, .
Ejemplo.-
Resolver la ecuación diferencial
,
al aplicar el factor se obtiene la ecuación
la cual se puede verificar que es una ecuación diferencial exacta y puede escribirse como
Ejercicios.-
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
FACTOR INTEGRANTE (II)
3.- El factor integrante es de la forma , donde
y
y
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial
Si tiene un factor integrante de la forma .
Entonces se comprueba que , por tanto
Aplicando el factor integrante a la ecuación diferencial inicial, se obtiene la ecuación diferencial exacta
¿Tiene la ecuación un factor integrante de la forma ?
,
,
,
entonces, la ecuación diferencial tiene un factor integrante de la forma ; aplicando el factor y reacomodando la ecuación se tiene
la primera fracción se integra
y para la segunda fracción se escribe
la solución se escribe finalmente
Ejemplo.- Demuestre que si la expresión es función de ,
entonces la ecuación tiene un factor de integración que es función de .
Factores de integración de la forma
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial
Entonces ; aplicando el factor a la ecuación inicial, se obtiene la ecuación diferencial exacta
ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN
Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a una ecuación lineal con respecto a la función desconocida y a su derivada. La ecuación lineal tiene la forma
(1)
donde y son funciones continuas de x en el intervalo en que se requiere integrar la ecuación (1). Si , la ecuación (1) se llama lineal homogénea. En la ecuación lineal homogénea las variables se separan:
e integrando, obtenemos
(2)
Para integrar la ecuación lineal no homogénea (1), se aplica el método de variación de la constante: primeramente se integra la ecuación homogénea correspondiente cuya solución general es de la forma (2) y luego probamos satisfacer la ecuación no homogénea considerando C como función de x, es decir , se realiza la sustitución
donde es una nueva función desconocida de x. Calculando la derivada
y sustituyéndola en la ecuación no homogénea inicial (1) se obtiene
o bien
De donde, integrando, se halla
Y por lo tanto
(3)
La solución general de la ecuación lineal no homogénea es igual a la suma de la solución general de la ecuación homogénea correspondiente
y de la solución particular de la ecuación no homogénea
A veces se escribe la solución general en la forma
en ejemplos concretos es más sencillo repetir cada vez todas las etapas expuestas arriba.
Ejemplo .-
1.- Resuelva la ecuación diferencial lineal
Integramos la ecuación homogénea correspondiente
Consideramos a C como función de x; entonces
y sustituyendo en la ecuación inicial obtenemos
por tanto la solución general es:
2.- Resuelva la ecuación diferencial lineal
Integramos la ecuación homogénea correspondiente
Variamos la constante
Sustituyendo en la ecuación inicial, obtenemos
,
La solución general es por lo tanto:
Determine la solución general de:
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-
Ecuación de Bernoulli
Muchas ecuaciones diferenciales pueden ser reducidas a ecuaciones lineales mediante un cambio de variables, por ejemplo, la ecuación de Bernoulli, que tiene la forma
o bien
Con el cambio de variables , se reduce a una ecuación lineal. Derivando
se obtiene
que al sustituir en la ecuación de Bernoulli nos permite obtener la ecuación lineal
Ejemplo.- Resolver la ecuación diferencial
Primeramente la escribimos como
Haciendo se tiene
al sustituir en la ecuación de Bernoulli la transforma en la ecuación lineal
;
La solución de la ecuación de Bernoulli se escribe
Ejercicios.-
1.-
2.-
3.-
4.-
5.-