02 - esquema ecuación diferencial amii 2014
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ECUACIONES DIFERENCIALES
Recordar que:
dx
dy ydx. ydy =′⇒′=
ECUACIÓN
DIFERENCIAL
De Primer Orden
De Segundo Orden
De Variables Separables
Homogénea
Lineal
De Bernoulli
Homogénea
No Homogénea
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
- DE VARIABLES SEPARABLES- La estructura de una Ecuación de Variables Separables es:
Para resolverla:
- Separamos las variables acompañadas de los respectivosdiferenciales
- Integramos miembro a miembro:
- La solución general es:
EJEMPLOS:
a) 0=− ydx xdy
b)y
x=y
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- ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL
- La estructura de una Ecuación Diferencial Lineal es:
)()( xQ y x P dx
dy=+
Donde ( )xP y ( )xQ son funciones continuas que dependen de “x” o constantes
- Para resolverla se hacen las siguientes sustituciones:
C dxe xQveu dx x P dx x P
+∫
=∫
= ∫− )()(
).(
- La Solución es:vu y .=
EJEMPLOS:
a) x xydx
dy2=+ b) 1
1 2+=⋅+ xy
xdx
dy
- ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI
- La estructura de una Ecuación Diferencial de Bernoulli es:
n y xS y x Rdx
dy)()( =+ con 1n,0n ≠≠
donde ( )xR y ( )xS funciones continuas que dependen de “x” o constantes
- La idea es llevarla a una Ecuación Diferencial Lineal
n y xS y x R
dx
dy)()( =+ )x(Q=t)x(P+
dx
dt
- Procedimiento:
E. D. Lineal (en t)E. de Bernoulli
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Siendo la estructura de la Ecuación Diferencial de Bernoulli:
ny)x(Sy)x(R dx
dy=+
1. Multiplicamos ambos miembros por ny−
)x(Sy)x(R ydx
dy n1n=+
−− (1)
2. Efectuamos un cambio de variable
n1yt −
=
3. Hallamos ladx
dt teniendo en cuenta que t, es una función de x
dx
dyy)n1(
dx
dy
dy
dt
dx
dt n−−==
4. Dividimos ambos miembros por (1-n)
nydx
dy
dx
dt
)n1(
1 −=
−
5. Reemplazamos en (1), lo encontrado en 2) y 4)
)x(Sy)x(R ydx
dy n1n=+
−− (1)
)x(St)x(R dx
dt
)n1(
1=⋅+
−
6. Multiplicamos ambos miembros por (1-n), obtenemos una
Ecuación Diferencial Lineal (en t)
)x(S)n1(t)x(R )n1(dx
dt−=−+
→ )x(Q=t)x(P+dx
dt
donde )x(R )n1()x(P −= y )x(S)n1()x(Q −=
7. Por lo tanto, la solución de la EDL (en t), es:
t = u.v
donde C dxe xQveu dx x P dx x P
+∫
=∫
= ∫− )()(
).(
8. Para hallar la solución de la EDB, despejar “y” deny t −
=1
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EJEMPLOS: a) 5 y ydx
dy=− b) 211
yx
yxdx
dy−=−
- ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA
- La estructura de una Ecuación Diferencial Homogénea de
Primer Orden es:
);(
);(
2
1
y x f
y x f
dx
dy= donde f 1 y f 2 son funciones homogéneas de grado n.
- La idea es llevarla a una Ecuación Diferencial de VariablesSeparables:
);(
);(
2
1
y x f
y x f
dx
dy=
N(t) dt = M(x) dx
- Se hace el cambio de variable:
tx= de donde resulta que dtx+dxt=dy
- Sustituimos las expresiones anteriores en la EDH de Primer
orden dada
- Realizamos pasajes de términos para lograr separar las
variables.
- Resolvemos por el método de variables separables
- Despejamos “t”
- La solución es x.t=y
De Variables Separables (en t y en x)Homogénea
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EJEMPLOS: a) ( ) xdydx y x −=+ b) xydxdyx =−2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN CON
COEFICIENTES CONSTANTES
Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen por forma
general:
0=+′+′′ yc yb ya (HOMOGÉNEA)
d yc yb ya =+′+′′ (NO HOMOGÉNEA)
1) 0=+′+′′ yc yb ya (HOMOGÉNEA)
Para hallar la solución de esta ecuación homogénea se comienza planteando
la ecuación característica de la ecuación diferencial como sigue:
02=++ cba α α
Al resolverla puede suceder que:
I. Tenga dos soluciones reales distintas 21 α α y , en este caso la
solución de la ecuación diferencial homogénea es:
x x emem y 21
21
α α
+=
II. Tenga dos soluciones reales e iguales 21 α α = , en este caso la
solución de la ecuación diferencial homogénea es:
x x e xk ek y 21
21
α α
+=
III. No tenga soluciones reales, en este caso la ecuación diferencial no
tiene solución real.
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2) d yc yb ya =+′+′′ (NO HOMOGÉNEA)
SOLUCIÓN: y = solución de la homogénea +cd
• Raíces reales y distintasc
d ememy x x
++= αα 21
21
• Raíces reales e igualesc
d xek ek y
x x ++=
αα 11
21
EJEMPLOS:
a) y "- 2 y ' + y = 0
b) y' '+ y ' - 2 y = -10 sabiendo que y(0)=12 e y '(0)= -2