introducción ¿qué es una ecuación diferencial? toda ecuación que establece la dependencia de...
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IntroducciónIntroducción
¿¿Qué esQué es una ecuación diferencial? una ecuación diferencial?
Toda ecuación que establece la dependencia Toda ecuación que establece la dependencia de una variable respecto a otra u otras de una variable respecto a otra u otras mediante derivadas es una ecuación mediante derivadas es una ecuación diferencialdiferencial
Ejemplos de ecuaciones diferencialesEjemplos de ecuaciones diferenciales
2) 2) La rapidez con que un cuerpo se calienta es La rapidez con que un cuerpo se calienta es proporcional a la diferencia entre la proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo temperatura del cuerpo T(t)T(t) y la temperatura y la temperatura del ambiente del ambiente TTaa
Donde Donde KK es el coeficiente dde transmisión de es el coeficiente dde transmisión de calor que depende del materialcalor que depende del material
)( TTKdt
dTa
Clasificación GeneralClasificación General
EDO de primer orden.- La forma general es
F(x,y,y’)=0
A la forma
y’=f(x,y)
Se le denomina resuelta respecto a la derivada.
También aparecen en la forma:
dydx fx,y
Solución de una EDSolución de una ED
La Solución General, también llamada integral general de la ED de la forma F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0, es la función y=f(x,c) que satisface dicha ecuación.
Ejemplo.- Es fácil ver que las funciones
son soluciones de la ecuación del ejemplo (4).
La solución general es en realidad una familia de funciones parametrizadas por la constante desconocida c. Para cada valor particular de la constante c se obtiene una Solución Particular de la ED
22 ccxy
Solución de una EDSolución de una ED
Tarea: a) Para el ejemplo (2). Verificar que la solución general de la ED es:
b) Si K=0.1°C/seg. ¿Cuánto tiempo tardará en enfriarse una taza de café hirviendo si la temperatura ambiente es de Ta=15°C ?
Ktaa eTTTtT )()( 0
Métodos de Solución AnalíticaMétodos de Solución Analítica
NO existe un método general para resolver ED’s, es decir, dada una ecuación diferencial no tenemos un procedimiento para hallar su solución analítica.
Sin embargo, en algunos casos particulares bien identificados sí se tienen procedimientos para calcular dicha solución.
Métodos de Solución AnalíticaMétodos de Solución Analítica
El único método entonces consiste en saber Identificar el tipo de ED que se quiere resolver.
Si es un caso conocido. Aplicar el procedimiento correspondiente
Si no es un caso conocido, intentar algún cambio de variable que la transforme en un caso conocido
Separación de variablesSeparación de variables
La idea más simple de los procedimientos de solución es reescribir la ecuación como una ecuación de variables separadas:
Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función exclusivamente de x.
Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:
dxxgdyyf )()(
x
x
y
ydxxgdyyf
00
)()(
Separación de variablesSeparación de variables
La ED de la forma
Se denomina ED de variables separables, ya que es inmediata su reescritura como una ED con variables separadas:
dyxgyfdxxgyf )()()()( 2211
dxxg
xgdy
yf
yf
)(
)(
)(
)(
2
1
1
2
Separación de variablesSeparación de variables
Ejemplo: Resolver la ecuación
Solución: Separando variables
ydy = -xdx
integrando
Reescribiendo x2+y2 = c2
dydx xy .
1
22
22c
xy
ED Lineales de 1ED Lineales de 1erer orden orden
Las ED de la forma
Se denominan ED Lineales.
Se resuelven usando variación de la constante c de la solución para el caso Homogéneo (q(x)=0), es decir,
donde
xqy)x(pdxdy
dx)x(p
e)x(c)x(y
1
dx)x(p
cdxe)x(q)x(c
ED Lineales de 1ED Lineales de 1erer orden orden
Ejemplo: La ecuación del circuito RC serie
Es una ED lineal de primer orden, por lo tanto, su solución es
Donde
Si Vs(t)=1, se obtiene:
Por lo tanto
)(1
)(1)(
tVRC
tvRCdt
tdvs
RC
tdt
e)t(ce)t(c)t(vRC1
1RC
t
sRC1 cdte)t(V)t(c
1RC
t
ce)t(c
RC
t
1ec1)t(v
ED exactasED exactas
La ecuación de la forma
tiene de la forma de una diferencial exacta du(x,y) = 0
y por consiguiente la solución: u(x,y) = c
si cumple la condición de Euler:
En tal caso
y la función u(x,y) se puede obtener integrando M respecto a x:
y se puede determinar c(y) derivando
x)y,x(N
y)y,x(M
0dy)y,x(Ndx)y,x(M
y)y,x(u
)y,x(N,x
)y,x(u)y,x(M
)y(cdx)y,x(M)y,x(u
ED exactasED exactas
Ejemplo: La siguiente ED
Es exacta puesto que
Integrando respecto a x
Es decir,
Derivando respecto a y
De donde
Finalmente la solución general es
0dy)3yx(dx)1yx( 2
x
yx
y
yx
)3()1( 2
)()1(),( ycdxyxyxu
)(),( 2
2
ycxxyyxu x
3)(' 2
yxycxy
u
12 )3()( cdyyyc
Teorema de existencia y unicidadTeorema de existencia y unicidad
Ejemplo: ¿Son ED exactas?
xxyy 22' 2
0)()()()( 2211 dyygxfdxygxf
0)()( 323 dyyyxdxxyx