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Procesamiento Digital de Señales:

Ecuaciones Diferenciales y en Diferencias

2

Objetivo

Exponer las relaciones de la transformada de Laplace con las ecuaciones diferenciales y lineales de orden n junto con las ecuaciones en diferencias.

Interpretar el significado físico de la Transformada de Laplace y sus propiedades, y contextualizarlo respecto a las señales discretas.

Representar las funciones racionales en el plano S e introducir el concepto de estabilidad.

El alumno deberá entender las las diversas propiedades de la transformada de Laplace con particular atención en las interpretaciones físicas respectivas y aplicarlas a los sistemas discretos.

Al finalizar esta unidad el alumno deberá ser capaz de manejar las transformaciones y poder definir sistemas en base a estas mismas.

Antecedentes

Ecuaciones Diferenciales

Ecuación Diferencial

Se dice que una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables independientes, es una ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales se utilizan en la descripción matemática de sistemas físicos en el dominio del tiempo.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en función de:

– TIPO.

– ORDEN.

– GRADO.

– LINEALIDAD.

Clasificación de las ec. diferenciales

Clasificación por tipo

Si una ecuación diferencial contiene sólo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias:

dydx

+2y=ex d

2y

dx2

−dydx

+3y=0 dxdt

+dydt

=2x+ y

Clasificación por tipo…

Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial.

Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales:

∂2u

∂ x2 +

∂2u

∂ y2 =0 ∂

2u

∂ x2=∂

2u

∂ t2

−∂u∂ t

∂u∂ x

=−∂ v∂ y

Clasificación según el orden

El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.

La ecuación:

Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.

xeydx

dy

dx

yd

22

3

2

2

Clasificación según el orden…

Una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden se puede expresar mediante la forma general:

F (x, y, y´, y´´, . . ., y(n)) = 0

Donde F es una función de valores reales de n+2 variables x, y, y´, y´´, ..., y(n).

Clasificación según el orden…

Es posible despejar de una ecuación diferencial ordinaria en forma única la derivada superior y(n) en términos de las n+1 variables restantes.

La ecuación diferencial:

Donde f es una función continua de valores reales, se denomina forma normal.

).,..´´,´,,,( )( 1 n

n

n

yyyyxfdx

yd

Clasificación según el grado

El grado de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el exponente de la mayor derivada contenida en la ecuación.

La ecuación:

Es una ecuación diferencial ordinaria de grado uno.

xeydx

dy

dx

yd

22

3

2

2

Clasificación según el grado ...

Para la ecuación:

Para clasificarla es necesario que el exponente de la variable dependiente sea un número entero, por lo que la ecuación se debe reescribir como:

Ecuación diferencial ordinaria de grado dos.

Adh(t )

dt= Cq a√2gh

( A dh(t )dt )

2

= C q2 a2

(2gh )

Clasificación según la linealidad

Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si está formada por la suma de términos lineales, definidos estos como:

● La variable dependiente y todas sus derivadas son de grado 1 (e.g.: y, y´, y´´, . . ., y(n).)

● No hay productos de las variables dependientes● No hay funciones trascendentes (e.g. cos, log, ) en

relación con las variables dependientes

an( x )dn ydxn

+an−1 ( x )d n−1 ydxn−1

+. ..+a2 ( x )d2 ydx2

+a1( x )dydx

+a0( x ) y=g( x )


En las ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo orden (n=1 y n=2):

y

se puede observar las características de una ecuación diferencial lineal:

– La variable dependiente y y todas sus derivadas y´, y´´, . . ., y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada término en que interviene y es 1.

– Los coeficientes a0, a1, …, an de y´, y´´, . . ., y(n) dependen sólo de la variable independiente x.

– No hay funciones trascendentes

)()()( xgyxadx

dyxa 01 )()()()( xgyxa

dx

dyxa

dx

ydxa 012

2

2

Las siguientes ecuaciones diferenciales son NO lineales:

El coeficiente de y´ depende de y

Función Trascendente (no lineal) en y

Potencia de y diferente de grado 1

(1− y ) y ´ +2y=ex

d2 ydx2

+ln y=0

d5 ydx5

+3y3=2x


Clasificación según la homogeneidad

Una ecuación diferencial es homogénea si la variable dependiente y sus derivadas están en todos y cada uno de los términos de la ecuación; de lo contrario se dice que la ecuación diferencial es NO homogénea

Homogénea

No Homogénea

an( x )dn ydxn

+an−1 ( x )d n−1 ydxn−1

+. ..+a2 ( x )d2 ydx2

+a1( x )dydx

+a0( x ) y=0

M⋅d2 x

dt 2 + b⋅dxdt

= F (t )

Clasificación ecuaciones diferenciales

Determine el orden, grado, linealidad y homogeneidad de las siguientes ecuaciones:

Ld 2 qdt 2

+Rdqdt

+1C

q=v (t)

( A dh(t)dt )

2

= Cq2 a2(2gh)

a2∂2u

∂ x2=∂

2u

∂ t2


Orden=1, Grado=2, No lineal (Grado>1) y Homogénea

Ld 2 qdt 2

+Rdqdt

+1C

q=v (t)

( A dh(t)dt )

2

= Cq2 a2(2gh)

a2∂2u

∂ x2=∂

2u

∂ t2




Orden=2, Grado=1, Lineal y NO Homogénea

Ld 2 qdt 2

+Rdqdt

+1C

q=v (t)

( A dh(t)dt )

2

= Cq2 a2(2gh)

a2∂2u

∂ x2=∂

2u

∂ t2




Orden=2, Grado=1, Lineal y NO Homogénea

Orden=2, Grado=1, Lineal y Homogénea

Ld 2 qdt 2

+Rdqdt

+1C

q=v (t)

( A dh(t)dt )

2

= Cq2 a2(2gh)

a2∂2u

∂ x2=∂

2u

∂ t2


Una ecuación diferencial de orden n es de la forma:

en la cual los coeficientes son variables.

Si los coeficientes an(t), an-1(t), ... , a1(t), a0(t) son constantes, la expresión resultante será una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes:

an( t )d n y

dtn +an−1( t )dn−1 y

dtn−1 +.. .+a2( t )d 2 y

dt 2 +a1( t )dydt

+a0( t ) y=b0 x ( t )

an

dn y

dtn +an−1

d n−1 y

dtn−1 +. ..+a2

d2 y

dt 2 +a1

dydt

+a0 y=b0 x( t )

Ecuaciones diferenciales lineales

(and n

dtn+an−1

dn−1

dtn−1+.. .+a2

d 2

dt2+a1

ddt

+a0) y = b0 x( t )


El término que hace no homogénea a una ecuación diferencial es de suma importancia en los sistemas de control ya que b0x(t) representa la entrada que se le aplica al sistema y la interacción entrada-salida produce la salida y(t)

(and n

dtn+an−1

dn−1

dtn−1+.. .+a2

d 2

dt2+a1

ddt

+a0) y = b0 x( t )


Entrada


(and n

dtn+an−1

dn−1

dtn−1+.. .+a2

d 2

dt2+a1

ddt

+a0) y = b0 x( t )


EntradaSalida



(and n

dtn+an−1

dn−1

dtn−1+.. .+a2

d 2

dt2+a1

ddt

+a0) y = b0 x( t )


EntradaSalida Sistema g(t)

El término g(t) representa al sistema y corresponde a la descripción matemática de las características físicas de un determinado proceso físico.

Resolver una ecuación diferencial supone determinar una expresión para la variable dependiente y(t) libre de derivadas

(and n

dtn+an−1

dn−1

dtn−1+.. .+a2

d 2

dt2+a1

ddt

+a0) y = b0 x( t )


Sistema g(t)

La transformada de Laplace convierte una función g(t) definida para tiempos mayores o iguales a cero en una función G(s) propia del dominio s mediante la integral impropia:

De esta forma, si la integral existe, se dice que G(s) es la transformada de Laplace de la función g(t). El factor s es el número complejo s = σ + jω, por lo cual la función G(s) puede representarse en el plano complejo

Solución de ec. diferenciales lineales

L {g( t)} =∫0

∞

g( t)e−st dt = G (s)

Plano s

Si un sistema g(t) es lineal, su correspondiente función racional polinomial G(s) , denominada función de transferencia, tendrá la forma:


G(s)= K(bm sm+bm−1 sm−1+...+b1 s+b0)

(an sn+an−1 sn−1+...+a1 s+a0)e−T

σ

jω

Plano s



G(s)= K(bm sm+bm−1 sm−1+...+b1 s+b0)


σ

jω

Polinomio del numerador de grado m

Plano s



G(s)= K(bm sm+bm−1 sm−1+...+b1 s+b0)


σ

jω

Polinomio del numerador de grado m

Polinomio del denominador de grado n

Plano s


Con K como constante del sistema y T el atraso en el tiempo (en caso de que el sistema no reaccione instantáneamente a una entrada)


G(s)= K(bm sm+bm−1 sm−1+...+b1 s+b0)


σ

jω

La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial de orden n en una ecuación algebraica de grado equivalente al orden de la ecuación diferencial, por lo que los polinomios del numerador y denominador de G(s) pueden representarse por medio de sus respectivas raíces:

A las raíces del polinomio numerador se les llama ceros, representados por círculos en el plano s, mientras a las raíces del denominador se les denomina polos y son representados por cruces.


G(s)= K(s+z0)(s+z1) ...

(s+p0)(s+ p1) ...

Ec. diferenciales lineales

Un problema típico

• Dada una señal de entrada x(t), ¿Cual es la señal de salida del sistema y(t) después de pasar por él?

Recurrimos a las transformaciones para evitarnos complicaciones

• Si tenemos un filtro pasa bajos de primer orden con un resistor R y un capacitor C:

• El sistema se describe mediante la ec. diferencial:

RCy' ( t )+y( t )=x ( t )

Un problema típico

Recurrimos a las transformaciones para evitarnos la integración de la respuesta del sistema

Convolución

• Operador matemático (*) que combina 2 funciones de entrada, e.g.: x(t) y h(t) para producir una tercera: y(t)

• La cual expresa la magnitud del traslape de la función x(t) y la función h(t) a medida que una señal se recorre sobre la otra.

dhtxthtxty )()()()()(

Suavizado

Convolución

Delta de Dirac (t)

Convolución con la delta de Dirac (t)

• La convolución de una señal con la delta de Dirac (t) produce simplemente la misma señal a la salida

• La convolución con una delta recorrida (t-) produce un corriemiento (retardo) de la señal original (x(t-)).

(t-)

Convolución como operador de retardo

Propiedades de la Convolución

• Debido a que la convolution es un operador lineal, entonces posee las típicas propiedades lineales:

– Conmutatividad

– Asociatividad

– Distributividad

– Multiplicación escalar

Resolviendo usando la convolución

• El filtro pasa bajos de primer orden:

• El sistema se describe por su respuesta al impulso:

• Solución: Convolución con la respuesta al impulso x(t)

• La Convolución es tardada y costosa para calcularse.

• Sugerencias de salidas y(t).

Resolviendo usando la convolución

Transformada de Laplace

Transformada de Laplace

• Definición:

• En comparación con la de Fourier:

• Diferencias:– Integral de 0 a to for Laplace (sistemas causales)

• f(t) para t<0 no se toma en consideración

– -s = (+j) en lugar de sólo - j (señales no períódicas)

L[ f ( t ) ]=F (s )=∫0

∞f ( t )e−st dt

F (ω )=∫−∞

∞f ( t )e− jωt dt

• Similar a la transformada de Fourier :– Aditividad y multiplicación escalar

– Convolución

– Derivación

t

sFsFdτ(ττ)f(tf0

2121 )()()

)()()]()([ 2121 sbFsaFtbftafL

)0()()(

fssFtfdt

dL

Propiedades : Transformada de Laplace

Función de Transferencia H(s)

• Definición– H(s) = Y(s) / X(s)

• Relaciona la salida de un sistema linear (o alguna de sus partes) a la entrada.

• Describe como un sistema lineal responde a un impulso.

• Todas las operaciones lineales se puede aplicar – Escala, suma, multiplicación.

H(s)X(s) Y(s)

Regresando al circuito RC

RC y( t)+y (t )=x (t)

Entrada H(s)Entrada Respuesta del sistema

Concepto intuitivo de estabilidad

En el dominio del tiempo se dice que un sistema g(t) es estable si existe el límite cuando t→∞:

Considerando sistemas representados por g(t) con coeficientes de magnitud A y definidos para tiempos mayores o iguales que cero se tienen lo siguientes casos:

limt →∞

g(t) ≠ ∞


1) Para el Sistema:

g(t)=A

σ

jω

t

xG(s)= As


1) Para el Sistema:

g(t)=A

σ

jω

t

xG(s)= As

limt →∞

g (t ) = A


2) Para el Sistema:

g(t)=At

σ

jω

t

xxG(s)= As2


2) Para el Sistema:

g(t)=At

σ

jω

t

xxG(s)= As2

limt →∞

g (t ) = ∞


3) Para el Sistema:

g(t)=A e- a t

σ

jω

t

xG(s)= As+a

−a


3) Para el Sistema:

g(t)=A e- a t

σ

jω

t

xG(s)= As+a

−a

limt →∞

g (t ) = 0


4) Para el Sistema:

g(t)=A e a t

σ

jω

t

xG(s)= As−a

a


4) Para el Sistema:

g(t)=A e a t

σ

jω

t

xG(s)= As−a

a

limt →∞

g (t ) = ∞


5) Para el Sistema:

g(t)=A sen ωt

σ

jω

xG(s)= A ω

s2+ω2

j ω

x − jω

t→


5) Para el Sistema:

g(t)=A sen ωt

σ

jω

xG(s)= A ω

s2+ω2

j ω

x − jω

t→

Sistemamarginalmente

estable


6) Para el Sistema:

g(t)=A cos ωt

σ

jω

xG(s)= A s

s2+ω2

j ω

x − jω

t→

O


6) Para el Sistema:

g(t)=A cos ωt

σ

jω

xG(s)= A s

s2+ω2

j ω

x − jω

t→

O

Sistemamarginalmente

estable


7) Para el Sistema:

g(t)=Ae- a t sen ωt

σ

jω

xG(s)= A ω

(s+a)2+ω2

−a j ω

x −a − j ω

t→

−a


7) Para el Sistema:

g(t)=Ae- a t sen ωt

σ

jω

xG(s)= A ω

(s+a)2+ω2

−a j ω

x −a − j ω

t→

Sistemaestable

−a

Regresando a la solución de Ec. diferenciales

Dado un sistema g(t) lineal, su correspondiente función racional polinomial G(s) o función de transferencia, tendrá la forma:

Misma que puede representarse de la forma:

Dejando claro los ceros (raíces del polinomio numerador ) y los polos ( raíces del denominador ).

G(s)= K(bm sm+bm−1 sm−1+...+b1 s+b0)

(an sn+an−1 sn−1+...+a1 s+a0)

G(s)= K(s+z0)(s+z1) ...

(s+p0)(s+ p1) ...

Estabilidad

El concepto de estabilidad se puede visualizar

fácilmente en el dominio del plano complejo s.

● Un sistema es estable si todos sus polos están a la izquierda del eje jω o bien, si existe un polo simple en el origen; cualquier otra combinación de polos hará que el sistema se considere inestable.

σ

jω

Estabilidad




● Un sistema inestable tiene cuando menos un polo a la derecha del eje jω, si tiene polos complejos repetidos dos o más veces en el eje jω, o más de un polo origen.

σ

jω

Estabilidad




● Un sistema inestable tiene cuando menos un polo a la derecha del eje jω, si tiene polos complejos repetidos dos o más veces en el eje jω, o más de un polo origen.

● Un sistema es marginalmente estable si tiene polos complejos conjugados simples en el eje jω (i.e. Parte real = 0)

σ

jω

Nombre: f(t) F(s)

Impulso

Escalón

Rampa

Exponencial

Seno

1

s

1

2

1

s

as 1

22 s

1)( tf

ttf )(

atetf )(

)sin()( ttf

00

01)(

t

ttf

Seno Amortiguado

22)(

as)sin()( tetf at

Polos

0

0 (doble)

n/a

-a

-i,i

-a-i,-a+i

Estabilidad

Polos:

• Componente real negativa:

• Señal con decaimiento exponencial

• Componente real positiva:

• La señal crece exponencialmente

• Si su parte imaginaria 0:

• La señal oscila con una frecuencia

Estabilidad

Efecto de los polos en la Estabilidad

Región Inestable

Ecuaciones en Diferencias

Modelo de cantidadcantidad en tiempo discreto:

n = 0,1,2,3,4… (entre 0 y 1 no hay tiempo)

Valor de y(n) cantidad en el tiempo n

Valor inicial y(0) cantidad en el instante 0

Introducción: Ec. de Diferencias

n-1 n n+1

y(n-1) y(n) y(n+1)

Valores

INSTANTES

Modelo de cantidadcantidad en tiempo discreto:

• La cantidad se duplica:

y(n) = 2y(n-1) ↔ y(n+1) = 2y(n)

• La cantidad se reduce a la mitad:

y(n) = ½ y(n-1) , y(n+1) = ½ y(n)

• La cantidad aumenta un 10%:

y(n) = y(n-1) + 0.1 y(n-1), y(n+1) = 1.1 y(n)


Orden de la ecuación en diferencias:

• y(n+1)=2y(n) → orden 1

• y(n)-3y(n-1)=0 → orden 1

Determinamos la magnitud de la diferencia

• y(n+1)-3y(n-1)=0 →

• y(n+1)=5y(n-2) →

• y(n+m)+y(n+m-1)-3y(n+m-2)+…+5y(n)=0 →


orden 2

orden m

orden 3

Tipo de Ecuaciones de diferencias:

1) Ecuación HOMOGÉNEA

y(n+1)-2y(n)=0

y(n+2)+y(n)-2y(n-1)=0

y(n)=3y(n-1)

2) Ecuación COMPLETA

y(n+1)-2y(n)=3

y(n+1)-2y(n)=3n+2

y(n+1)-2y(n)=2n


Forma general de una recurrencia lineal:

Xn = an1Xn1 + an2Xn2 + … anmXnm + a0

Los coeficientes ai no dependen de n, en este caso

se dice que la ecuación tiene coeficientes constantes

● Una ecuación de primer orden se representaría entonces por:

Xn+1 = a Xn



● La solución de la ecuación de primer orden

Xn+1 = a Xn

Se obtiene mediante :

Xn+1 = a Xn = a(a Xn1) = … = a(a(a...X0)))

Xn = anX0



Xn = anX0



Xn = anX0

Solución no homogenea :

Xn+1 = aXn+ b


● Una ecuación general de segundo orden se puede escribir como:

Xn+2 + a Xn+1 + b Xn = 0Su solución se obtiene mediante :

Xn = c1 λ1n + c2 λ2

n

con λ1 y λ2 como soluciones de:

λ2 + aλ +b = 0



El comportamiento dependerá de los valores que tomen λ1 y λ2 :

Solución de la Ecuación Homogénea:● Grado 1

y(n+1)-2y(n)=0

x - 2 = 0 (ec. característica) → x=2

Solución:

y(n) = c 2n


Solución de la Ecuación Homogénea:● Grado 2 y(n+2)-2y(n)+3y(n-1)=0

x2 – 2x + 3 = 0 (ec. característica)

Solución:

i) Dos raíces reales distintas: s1, s2 → y(k) = c1sn1+c2s

n2

ii) Una raíz doble: s → y(n) = c1 sn + c2 k sn

iii) Dos raíces complejas conjugadas: s1=a+jb, s2=a-jb


y(n) = c1rncos(αn+c2)r = √(a2+b2)α = arctg(b/a)

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