UNIVERSIDAD NACIONAL DE ANCASH

“SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

TEMA:

ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI Y RICCATI

ÁREA:

MATEMÁTICA II

ALUMNOS:

- ESPEJO RODRÍGUEZ Luis Antonio 122.0904.392

- SILVA CARRANZA Ana Virginia 122.0904.378

- CALLER DEPAZ Ruth Andrea 122.0904.359

- MEDINA MAGUIÑA Marco Antonio 122.0904.366

FACULTAD:

INGENIERÍA CIVIL

CICLO:

2013-II

PERÚ-HUARAZ

2014

ÍNDICE:

ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

- Definición

- Métodos de solución

- Ejercicios resueltos

ECUACIONES DIFERENCIALES DE RICCOTI

- Definición

- Integración

- Ejercicios resueltos

BIBLIOGRAFÍA

WEBGRAFÍA

ECUACIONES DIFERENCIALES DE BERNOULLI

Algunas veces al hacer un cambio de variable se logra transformar una ecuación diferencial

en lineal. Otra situación semejante se presenta para la ecuación de Bernoulli.

DEFINICIÓN

Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

donde y son funciones reales y continuas en un intervalo y es una

constante real diferente de 0 y 1 se conoce como ecuación de Bernoulli

Observación: cuando la ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación separable y

cuando se trata de una ecuación lineal.

TEOREMA

La ecuación de Bernoulli

(1.12)

se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución .

Demostración:

Al dividir la ecuación (1.12) por 𝑦𝑛, resulta

(1.13)

Usando la regla de la cadena, calculemos y’ a partir de la sustitución u= 𝑦1−𝑛

Sustituyendo en la ecuación (1.13), esta se transforma en 1

1 − 𝑛

𝑑𝑢

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑢 = 𝑄(𝑥)

𝑑𝑢

𝑑𝑥+ (1 − 𝑛)𝑃(𝑥)𝑢 = 𝑄(𝑥)(1 − 𝑛)

La cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.

Luego se procede a resolver la ecuación lineal de primer orden por el método de factor

integrando

𝜇(𝑥) = 𝑒∫(1−𝑛)𝑃(𝑥)𝑑𝑥

Y se obtiene que

𝑦 =1 − 𝑛

𝜇(𝑥)∫ 𝑄(𝑥) 𝜇(𝑥)𝑑𝑥

Demostración:

Al reducir una ecuación de Bernoulli se obtiene una ecuación lineal de la forma

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ (1 − 𝑛)𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)(1 − 𝑛)

Multiplicamos la ecuación por 𝜇(𝑥) = 𝑒(1−𝑛) ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥

𝑒∫(1−𝑛)𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃(𝑥)𝑒(1−𝑛) ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑦 = 𝑒(1−𝑛) ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑄(𝑥)(1 − 𝑛)

𝑑[𝑒(1−𝑛) ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑦]

𝑑𝑥= 𝑒(1−𝑛) ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑄(𝑥)(1 − 𝑛)

Integrando la ecuación obtenemos

𝑒(1−𝑛) ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑦 = (1 − 𝑛) ∫ 𝑒(1−𝑛) ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑄(𝑥)𝑑𝑥

𝑦 =1 − 𝑛

𝑒(1−𝑛) ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥∫ 𝑒(1−𝑛) ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑄(𝑥)𝑑𝑥

𝑦 =1 − 𝑛

𝜇(𝑥)∫ 𝜇(𝑥)𝑄(𝑥) 𝑑𝑥

Ejemplo:

Resolver 2𝑥3𝑦′ = 𝑦(𝑦2 + 3𝑥2)

i) Llevamos la ecuación a la forma de Bernoulli

2𝑥3𝑦′ = 𝑦3 + 3𝑥2𝑦

2𝑥3𝑑𝑦

𝑑𝑥− 3𝑥2𝑦 = 𝑦3

Dividimos por 2𝑥3

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

3𝑥2

2𝑥3𝑦 =

1

2𝑥3𝑦3

𝑑𝑦

𝑑𝑥−

3

2𝑥𝑦 =

1

2𝑥3𝑦3

De donde obtenemos que

𝑃(𝑥) = −3

2𝑥; 𝑄(𝑥) =

1

2𝑥3; 𝑛 = 3

ii) Hacemos el cambio de variable 𝑢 = 𝑦1−𝑛 = 𝑦−2

Derivando obtenemos que 𝑑𝑢 = −2𝑦−1𝑑𝑦 𝑑𝑢

𝑑𝑦=

𝑑𝑢

𝑑𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦= −2𝑦−3

𝑑𝑢

𝑑𝑥= −2𝑦−3

𝑑𝑦

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

1

2𝑦3

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Multiplicamos la ecuación por 𝑦−3

𝑦−3 𝑑𝑦

𝑑𝑥−

3

2𝑥 𝑦−2 =

1

2𝑥3

Reemplazando (u)

𝑦−3 (−1

2𝑦3

𝑑𝑢

𝑑𝑥) −

3

2𝑥 𝑢 =

1

2𝑥3

(−1

2)

𝑑𝑢

𝑑𝑥−

3

2𝑥 𝑢 =

1

2𝑥3

Multiplicando por (-2) 𝑑𝑢

𝑑𝑥+ 3𝑥−1 𝑢 = −𝑥−3

𝑃(𝑥) = 3𝑥−1; 𝑄(𝑥) = −𝑥−3

iii) Al obtener una ecuación diferencial lineal la resolvemos mediante el método de

factor integrante

𝜇(𝑥) = 𝑒∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒∫ 3𝑥−1𝑑𝑥 = 𝑒3𝐿𝑛𝑥 = 𝑒𝐿𝑛𝑥3= 𝑥3

Luego usando la fórmula

𝑢 =1

𝜇(𝑥)∫ 𝜇(𝑥)𝑄(𝑥) 𝑑𝑥

Obtenemos

𝑢 =1

𝑥3∫ 𝑥3(−𝑥−3) 𝑑𝑥

𝑢 =1

𝑥3(−𝑥 + 𝑐)

Reemplazando 𝑢 = 𝑦−2

𝑦−2 = −𝑥−2 + 𝑐𝑥−3

𝑦 = √1

−𝑥−2 + 𝑐𝑥−3

𝑦 = √𝑥3

𝑐 − 𝑥

Ejemplo:

Resuelva la ecuación 𝑦3

Solución

Ésta es una ecuación de Bernoulli con 𝑛 = 3, P(x)=-5y .Q(x)= - 5𝑥

2 Para resolverla primero

dividamos por 𝑦3

Ahora efectuemos la transformación u=𝑦−2. Puesto que 𝑑𝑢

𝑑𝑥= −2𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥, la ecuación se

transforma en

Simplificando obtenemos la ecuación lineal

Cuya solución es

y al sustituir u=𝑦−2se obtiene la solución de la ecuación original

Observación: en esta solución no está incluida la solución y=0, que se perdió durante el

proceso de dividir por 𝑦3. Es decir, se trata de una solución singular.

Ejemplo:

Resolver

8𝑥𝑦′ − 𝑦 =𝑦3

√𝑥 + 1

En la forma de Bernoulli 𝑦′ −𝑦

8𝑥=

𝑦3

8𝑥√𝑥+1

𝑛 = 3; 𝑃(𝑥) = −1

8𝑥; 𝑄(𝑥) =

1

8𝑥√𝑥 + 1

𝜇 = 𝑦1−𝑛; 𝑦2 =1

𝜇→ 2𝑦𝑦′ = −

𝜇′

𝜇2

8𝑥(−𝜇′

1

√𝜇. 2. 𝜇2

) −1

√𝜇=

1

√𝜇3√𝑥 + 1

−4𝑥(𝜇′

√𝜇3) −

1

√𝜇=

1

√𝜇3√𝑥 + 1

−4𝑥𝜇′ − 𝜇 =1

√𝑥 + 1

4𝑥𝜇′ + 𝜇 = −1

√𝑥 + 1 𝜇′ + 𝜇 (

1

4𝑥) = −

1

4𝑥√𝑥 + 1

𝑦 =𝑒− ∫ 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥

√(1 − 𝑛) ∫ 𝑄(𝑥). 𝑒(1−𝑛) ∫ 𝑃(𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝑐𝑛−1

𝑦 =𝑒∫

18𝑥

𝑑𝑥

√−2 ∫𝑒−2 ∫ −

18𝑥

𝑑𝑥

8𝑥√𝑥 + 1𝑑𝑥 + 𝑐

=𝑥

18

√−14 ∫

𝑥14

𝑥√𝑥 + 1𝑑𝑥 + 𝑐

𝑦 =2𝑥

18

√− ∫𝑑𝑥

𝑥3/4√𝑥 + 1+ 𝑐

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE RICCATI

DEFINICIÓN

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden,

inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati,

con el fin de analizar la hidrodinámica. En 1724 publicó una investigación multilateral de la

ecuación, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuación de RiccAti. La investigación

de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibnitz, Golbach, Juan,

Nicolás y Daniel Bernolli, y posteriormente, a Eule.

Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:

METODOS DE SOLUCIÓN

PRIMERA SOLUCION:

Llevar la ecuación de RICATTI a una ecuación de BERNOULLI para luego resolverla. Esta

transformación se consigue mediante la sustitución:

Realizando operaciones

Agrupando términos

La cual corresponde a una ecuación de Bernoulli.

SEGUNDA SOLUCIÓN

Llevar la ecuación de RICATTI a una ecuación lineal para luego resolverla. Esta transformación

se consigue mediante la sustitución:

Si 𝑦 = 𝜑(𝑥) + 𝑧−1 entonces 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝜑´(𝑥) − 𝑧−2 𝑑𝑧

𝑑𝑥 , reemplazando en la ecuación de Riccati,

se tiene:

Realizando las operaciones

Agrupando términos

Pero como 𝜑´(𝑥) es una solución particular, se tiene que

Luego la ecuación se reduce

De donde

Que es la ecuación lineal a resolver.

EJERCICIOS:

Resolver 𝑦′ =2𝑐𝑜𝑠2(𝑥)−𝑠𝑒𝑛2(𝑥)+𝑦2

2cos (𝑥)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑦2

2𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑦(𝑜) = −1

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1

𝑧 𝑧 =

1

𝑦−𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑧′

𝑧2

Al sustituir en la ecuación

𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑧′

𝑧2=

2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1𝑧)2

2𝑐𝑜𝑠𝑥

Resolviendo

− 𝑧′

𝑧2=

2𝑠𝑒𝑛𝑥 (1𝑧) +

1𝑧2

2𝑐𝑜𝑠𝑥=

𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥(

1

𝑧) +

1

2𝑐𝑜𝑠𝑥(

1

𝑧2)

Por lo tanto

𝑧′ = −𝑠𝑒𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑧) −

1

2𝑐𝑜𝑠𝑥

𝜇(𝑥) = 𝑒∫𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑒−ln (𝑐𝑜𝑠𝑥) =

1

𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑠𝑒𝑐𝑥

Entonces

𝑧 =−

12 ∫ 𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐

𝜇(𝑥)= 𝑐𝑜𝑠𝑥(−

1

2𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐)

𝑧 = −1

2𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑥

Se va a la función principal

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1

−12 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑠𝑥

La condición lineal 𝑦(𝑜) = −1 , implica 1

𝑐= −1 o c=-1

Por lo tanto

𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 1

−12 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

Resolver:

𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑦𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑦2

𝑦 = −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑧

𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑧′

Reemplazando en la ecuación

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 + 𝑧′ = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥 + (−𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑧)𝑐𝑜𝑡𝑥 + (−𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑧)2

Resolviendo

𝑧′ = −𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 𝑧𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 𝑧2 − 2𝑐𝑡𝑔𝑥(𝑧)

𝑧′ = 𝑧2 − 𝑐𝑡𝑔𝑥(𝑧) Ecuación de Bernoulli

𝑧 + 𝑐𝑡𝑔𝑥(𝑧) = 𝑧2

𝑧 =𝑒− ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥

(−1 ∫ 𝑒− ∫ 𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑥 + 𝑘)′

𝑧 =−𝑒−𝑙𝑛𝑠𝑒𝑛𝑥

∫ 𝑒−𝑙𝑛𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 + 𝑘=

1

𝑠𝑒𝑛𝑥(

1

∫𝑑𝑥

𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐾)

𝑧 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥(1

ln(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥) + 𝑘)

Reemplazando

𝑦 = −𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥

ln(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥−𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥)+𝑘

BIBLIOGRAFÍA

EDUARDO ESPINOZA R. “Análisis matemático IV”

B. DEIDOVICH “Análisis matemático II”

WEBGRAFÍA

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Riccati

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_de_Bernoulli

http://canek.uam.mx/Ecuaciones/Teoria/2.PrimerOrden/ImpBernoulli.pdf

http://jacobi.fis.ucm.es/metodos/Apuntes/edi-ag.pdf