ecuaciones difeneciales de lineales ,bernoulli,riccati

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA

FACULTAD DE INGENIERA EN INDUSTRIAS

ALIMENTARIAS

TRABAJO ENCARGADO Profesor: Ing. RIVERA ROJAS, Humberto H. Curso: ANLISIS MATEMTICO PARA INGENIERA Alumno: CALDERON PINO, Joseferik.

TINGO MARIA PERU 2015

1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN.

1. Resolver

Solucin:

( ) [ ( ) ( ) ]

( ) ( )

[ ]

[ ]

[( ) ]

( )

Solucin

( ) [ ( ) ( ) ]

( ) ( )

[ ]

[ ]

( )

( )

3) Integrar la ecuacin diferencial y = 2y + x

Es una ecuacin diferencial lineal: y 2y = x

La resolveremos por el mtodo de variacin de parmetros:

Paso 1.- Resolvemos la ecuacin homognea: y 2y = 0

y = 2y

= 2y

= 2dx ln |y| = 2x + C y =

Luego la solucin general de la homognea es y = K

La solucin particular para K = 1 es up(x) = e2x

Paso 2.- Supongamos que la solucin general de la ecuacin diferencial es

y = K(x) (x) = K(x)e2x

Derivando: y = K(x)e2x + K(x)2e2x resultado que sustituimos en la

ecuacin diferencial para obtener el valor de K(x)

K(x)e2x + K(x)2e2x 2K(x)e2x = x K(x)e2x = x

K(x)=xe-2x K(x)=

(

)

Nos queda que: k(x)

(

)

Por lo que: y = K(x)e2x =*

(

) + luego la

solucin general lineal es :

y(x) =

(

)

4) Integrar la ecuacin diferencial: y cos x + y sen x = 1

Es una ecuacin diferencial lineal: y + y tan x = sec x

Resolvemos la homognea:

y = y tan x dy y = tan xdx ln |y| = ln | cos | + ln C y = C cos x

La solucin particular para C = 1 es up(x) = cos x

Consideramos que la solucin generales y = K(x)up(x) = K(x) cos x

Derivando y sustituyendo:

y = K(x) cos xK(x) sen x K(x) cos xK(x) sen x+K(x) cos x tan x = sec x

K(x) cos x = sec x K(x) = sec2 x K(x) = tan x + D

Luego la solucin general queda:

y = K(x) cos x y = (tan x + D) cos x y = sen x + D cos x

5) Integrar la ecuacin diferencial: xy= y + x3

Es una ecuacin diferencial lineal: y

Resolvemos la homognea:

y

La solucin particular para C = 1 es up(x) = x Consideramos que la solucin general es y = K(x)up(x) = K(x)x Derivando y sustituyendo:

y = K (x)x+K(x) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Luego la solucion general queda:

y= ( ) (

)

Resuelve los siguientes problemas de valores iniciales

mediante la frmula de variacin de las constantes:

(6) x + 3x = e3t , x(1) = 5

(7) x

,x(2) = 0

(8) x = cosh(t)x + ( ) , x(0) = 1

Solucin: (6)

La solucin general de la ecuacin homognea, xt +3x = 0,

es

xh (t) = C e3 tC R .

Variando la constante, x(t) = C(t) e3t, y volviendo a la ecuacin completa obtenemos

(Ct 3C) e3t + 3C e3t = e3t C(t) = t + K , K R .

Por tanto, la solucin general de la ecuacin completa es

x(t) = (t + K) e3t , K R .

Imponiendo la condicin inicial x(1) = 5 concluimos que

(1 + K) e3 = 5 K = 5e3 1 ,

Luego

X(t) = (t + 5e3 1) e3t .

7) Resolviendo la ecuacin homognea (que tiene sus variables se- paradas) obtenemos (t) = Ct con C R. Sustituyendo entonces la expresin x(t) = C(t)t en la ecuacin completa llegamos a

( )

( )

( ) (

)

Entonces la solucin general de la ecuacin completa es:

[ (

) ] (

)

Por consiguente , la solucin buscada es :

( ) (

)

8) La solucin general de la ecuacin homognea es

xh(t) = C ( ) , C R .

Si variamos la constante y ensayamos en la ecuacin completa con

x(t) = C(t) ( )(t) obtenemos

(Ct + C cosh(t)) ( ) (t) = C cosh(t) ( ) (t) + ( )

Ct 1 C(t) = t + K , K R .

Por tanto

x(t) = (t + K) esenh(t) , K R .

Al imponer finalmente x(0) = 1 obtenemos K = 1 y, en consecuen- cia, la nica solucin de nuestro problema de valores iniciales es

x(t) = (t + 1) ( ) .

9) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

( )

Solucin:

A la ecuacin diferencial dada expresamos en la forma:

( ) ( ) Separando las variables

, integrando se tiene

, donde tenemos

( )( ) |

|

10) ( )

Solucin:

( )

.separando variable.

, integrando

, De donde se tiene:

(

)

Cuando x ; y

( )

( )

2. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

1.

Solucin

[

]

[

]

[

]

* (

) +

(

)

2.

( )

Solucin

( )

(

)

(

)

(

)

( )

[ ( ) ]

[ ( ) ]

[

]

[ (

) ] (

)

3.

Solucin:

[ ( ) ]

[ ]

[ ( ) ]

Por lo tanto:

4.

( )

( )

( )

( )

( )

* ( )

+

*

( )

+

[

( )

]

5. ( )

Solucin

(

)

*

( )

+

* ( )

+

* (

)+

6.

Solucin:

Multiplicando por

[

]

[ ]

Solucin

+

[

]

( ) [ ( ) ]

[ ]

*

+

8. (

)

Solucin

La Ec. se expresa as:

Remplazando se tiene

Ec. Lineal en z la

solucin es

*

( ) +

[ ] simplif

[

]

9.

( )

Solucin

( )

( ) [ ( )( ) ]

( ) [ (

)( ) ]

[( ( ) ]

*( )

( )

+

10.

Solucin

[ ]

( ) [ ( ) ]

[ ]

3. ECUACION DIFRENCIAL DE RICCATI

1 .

( )

Solucin

( )

( )

( )

( )

Remplazando se

tiene

[

(

) ]

[

]

(

)

2.

Solucin:

; derivando

; Reemplazamos y e y en la ecuacin original

( ) ( )

; Que es la forma de la E.D. de BERNOULLI, con n=2

() Reemplazando en la E.D Bernoulli, se tiene la siguiente ecuacin:

Encontramos el Factor Integrante

3..

Solucin

( ) * ( )

+

*

+

[ ]

( ) ( )

4..

( )

SOLUCION

Paso 1: Realizar el cambio de variable

Hacer las sustituciones correspondientes

(

)

(

)

Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener la ecuacin lineal.

Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante

( ) ( )

Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de

variable

5. ( )

solucion


Hacer las sustituciones correspondientes

(

)

(

)

Paso 2: Resolver las operaciones y reducir trminos semejantes para obtener la ecuacin separable,

Paso 3: Integrar miembro a miembro para obtener:

Revertir el cambio de variable

6. ( ) Paso 1: Realizar el cambio de variable

Hacer las sustituciones correspondientes:

(

)

(

)

Paso 2: Resolver las operaciones y reducir trminos semejantes para obtener la ecuacin lineal:


( ) ( )

Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de variable

no es una integral elemental

NOTA: se acostumbra, cuando la integral ( ) no es

elemental, escribir como ( )

donde x0 es una

constante as:

7. ( )



(

)

(

)

Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes


( ) ( )


8.

( )



(

)

(

)

Paso 3: Identificar ( ) , ( ) y calcular el factor integrante

( )

( )


( )



(

) (

)

Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener la ecuacin lineal;

( ) Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante ( ) ( )

Resolver la ecuacin lineal "z" y revertir el cambio de variable:

10. Paso 1: Realizar el cambio de variable.

;

;

Hacemos sustituciones correspondientes

(

)

(

)

Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener la ecuacin lineal. Paso 3 integrando mienbro a miembro

z al revirtir el cambio de variable obtenemos:

ecuaciones difeneciales de lineales ,bernoulli,riccati

Documents