C AP i7: TJ L C 1 . E C U ACI O¡T¿TS DIFE]Itr¡üCiA¿ES OEDI¡\TARI.L:

Resolr.er Ia ecuacién diferenciai ,t;' : y -l *2',,J2..,,! .,

Solución: La ecuaciótt '!¡' :'il*r2y2, se ¡ruede cscribir ccrru, t'¡ -: - 12. Hacieurlo; : l?l' lJ ',

,sc riene que;' : -* y por lo tanto la ecrra,cióri *-:: ,'2 se transforma en -z'-'z: r). :J_ !t- a ,_que es una ecu¿¡,ción iineal cle prirrrer orden. A<lerrrtís, la ecuacil¡ti ii * , : -r2, tiene col:-:

solucióu

v cOll]o

Y corno It : y*2, tenernos ?J :sohrciones son:

e\

geueral scrá,

-L/2, se obtiene que t¡ : *(.Ce-"¿a - 11-tlz. Todas l¿u

U:*{Ce-zr,*71-1i23/:0.

z : t- J,i,i, - { "t ,i,,.:¿r]: c-, i, { *2r,d,*1

iJILJ):

"- " iC -- §2e-o * 2re" - 2r"): -r2 l2¡; * 2 + C

11z : -! se st,Eue c{Lre } : - y ci} consecueircia la soluciónyz1

-:t:2 ¿* 2t: -- 2 * Ce*¡'

2. Resolver la ecuación de Bernorüi dad'a por 3ir - 23tari r':Z',fr)'

Solucién: Enestecaso,p(r) : -2tan r. q(:i)-.2 y n:f,. Laecuación yt-Zytanr:2.,fo/

se puede escribir como j7z *')'¡st¡2tan:r:2 (Sienipre *" ,l C). t{aciendo e: g1l2' sr

sigue que y : 22, luego g' : 22zt ,cou io qui: 1a ecuación dada se convierte en z'--(tartr)z : --

cuya solur:ión es:

z:,tl'ra¡r¡d¿ ic* l¿-f ran.r'dr¿rl : ' l"* ["orr¿rl :tanr r q .

L- J I cosrl J I cosr

y como , -- grl2 , se ct;nchrSre que ia s,¿iución generai de la, ccuación propuesta es

/ c \2 ¿U: (tan, *;#J u rarnl¡iért r7 -- ltatr ): + C secr)'

Como g : 0 es tarnbiérr solucién de la ecuación dada y ella no se puede otrtener a partir 'xla últirna explesión pnra algún valor de C. se dice que es tna saht,r:'ión s'ing'ular.

3. Elncontrar todas 1as soluciorres de la ecuación diferencial * : y + y'.ds

Solución: En este caso, tenemos uila cruación de Bernoulli con n : 3. Haciendo el cambio i¿

variable u * rJl-- 3 : U_2 , se obtiene ia ecuación diferencial (satisfecha por u ) ff + Zr, : -:Esta es una ecuacién lineal y un factor integrani,e es p(r) : expil 2dr) -- a'2". La soluciól

generai es dada por

-e2" + C n2t 1:lte -I.e'"

1.)

jI

Idoz:-

,LJ

c

\áNIAS

3ne corno

.,- q ñ;v!'

' Y112. se

rr)z : 1.

partir de

:arnbio de.-)., _ o

t sohición

- .3 ECIIACLON jIIFfIF.EIJCIAL DE R{ÜÜAI'I

Ejercicios

- Resoiver las sigriierttes c¡:uaci¿lnes dif'ex:nci¡tjes'

11I :J - i, )

J jr:,,

.,i nt,,",- ¡.',,t1'!211 - ;J'U -

1.; !:il

.Ii,)il - -- ¡t" 2¡'ln r' ,r:dui

_- -j

--,

rl:r x'!¡ * rJys'

i l' ':- itiutr I -''.r. rj y...-.. SCff29'

6. { + yt¿r,n :r -} ;,¡3 sen r : 0.

7. :l bzlts l- :rg) - ].

S. f,yzclr - r(,2r3 * Y'¡d'u : Ü

1.

2

3.

+.

P"esolvel l¿r ecuacirin diferencial r7¡2{t:11' * y) - a2' tr1'espuesta: 31(r'):

1.13. Ecuaciórr difev:encial de Riccati

-*. ,ritrd ecnación <iiferencial de Riccatl tod¿l ecuaciÓn de la for"ma

¡¡ : pyr)liZ * q(r:),.¡ r r(r),

-"..: -e p. g y 7'son firnciones ct¡nt'inuas {'lu un inlelvaio a'i¡ierto I'

6:egración de Ia ecuación de Riccati, La integr::rción cie rlicha ecua,ción difertilcial se rccluce

r -, ie una ecuación de Bernouili si se cor:r¡ce irna sr¡1ución parlicrilar. En efecto, supollgamos

L :- - :,ia ¿e anternari¡ una soiución parilr:ular 3'i (r) de la ecuación cie Riccati" Si hacerno:: ?S{.r) -:

: -- - !-tít:), la micva func..ión rlesconocirla z.(r) r,eriflca lii c'cuaciór:, diferencial

z' + ¡¡\ - p{n)lz* gr)2 + {tlr)(z* i¡r) * r(r)

: -r¡fo que yi == pl*)y? * q(r)yi + r(r). nos queda

7' : p(r)22 +- l2uúr'lp(x) + q{:r:'¡l z,

r -.: :j u¡a ecn¿ición clifel:encial ele Berncrilli. Dichra ecrtación se l,retlsfbrm¿i err tlna liiir:al con i:i

,:-,i¡ r1e vari¿r¡le ,-, : ;. Es decir qurr, la ecuación de lliccati se tra,rmfornla r.lirr:crlarletltr,t: '.ru tin¿

-: -,¡:ón <iiÍ'erencii:,1 iineai mc<.liante el ca,rnbio cle v¿rriabb d;r.iu poi: y: lJ, ,L'

fimpios

Laecuacióririiferenci¡rl { -1)'].2+(2x'_ 1'\u:r_' 1" esulraccuacióncie Riccati qiretielr:

conro r-ina solrrción partir:ular ay: l. Con el cambio de variable a:7+ l' t" sigue que

.iu tLt

#: - ,F 1' poi' ta,nto la ecr.ración d¿lrla se reciuce a

-,t /-+-,ii+

,lc- :,7{t-__l .-V r3 2r

,r2 ,/ 1\

:)ri2r-"('-;) =:"-1

Todas las

o lambién

CAI}ÍT'UT,O1.ECUACIONESDIFEREftCTALESORDI¡üARIAS

l¿ misnla que se recluce a

!!-*r,- -r.dr

queesunaecuaciónclifererrci¿rilirrealquetien'ecomosolrrcióngeneraltrl

-'r in - I c'rd.tl : i - :t *Ce'u: e l(- -.LJJ

- se slgue qln' 1uY

1..-liU - ¡ ' . , /'t--..r" I *fr+'L'e

Ejercicics

Resolver cacia una, d'e las eclraciones dil'erenciales que

particuiar de la correspondiente ecuación'

se i.ndical,' La funcién .q1 es una sr:iución

1. #:""+ (r+ 2,*)u+u';1-

gr(z) - - r"".

Z. U' : t7*r *2rzcass) - (1 *4rcos r)a +2g2casr; uÁr): r"

P*: *rr* r: * l'2) * (zn * 7)a - Y2; tn(i): -n'

,§'+:rtlf -2*2?.t+t::t: r* 1; :Vr(r): r-l'

4 - ("rn ¡)u2 + ' ,-¡ cos2 r : o: wk) :d,r " scll J cus 2'

?)' : sec2 r - (tan r)t¡ + l¡2; aÁr\ : La*r'

Cy ) 7 , r L , ' 1

fr- r', - i, *7- u¡t: atlr) = ; +tattr.

y, : *e.*',!i2 +zt:(e,' - 1)U+ 7+2t:2 -'i2e*' , At{r) : r.a-*'

Respuestar U\fr):JT;+C

diferenciales de PrimerL.LA. Integración de algunas ecllaciones

orden dadas en forma imPlícita

Consideremos ahora una ccuación ciifcrenciai rle primer orden que no est¿l darla en forma normal:

es decir una ecuación ct: la forlnaFlr,u,y') : a'

ycomode u-*7+diferencia,l da,ria es

,t],

4.

\).

t,.

7.

8.

!919sen f;

Supr:ngarnos que F(2,'g,3tl) mirada comr3 una función de rres Yariables indepenilientes' sea continua

en cierta región A d; ftí ; que tenga rleri'adas parciales cie primer orden contintras'