Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 4 Teora ElectromagnticaEcuacin de Laplace Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 1 ECUACIN DE LAPLACE 4.4Solucin de la Ecuacin de Laplace en Coordenadas Cilndricas. Sienalgunasituacinsepresentaciertasimetracilndricaconvienetenerlasolucindela EcuacindeLaplaceentrminosdelascoordenadascilndricasparaajustarlaalascondicionesde fronteras particulares del problema. La Ecuacin de Laplace en coordenadas cilndricas es: ( ) . 0zV Vr1rVrr r1z , , r V222222=++ |.|

\|= (111) conVfuncinder,,z.Comenzaremosporobtenerlasolucingeneralendondeslosetiene dependencia radial, para luego tratar el caso en donde no se tiene dependencia en la coordenada Z, y finalmente donde se tiene dependencia en las tres coordenadas. 4.4.1Dependencia Radial. Cuandoslosetienedependenciaenlavariableradialdelascoordenadascilndricas,la Ecuacin de Laplace se reduce a: . 0dr) r ( dVrdrd= |.|

\|(112) Para determinar la solucin general de V(r), integramos, obteniendo: . Adr) r ( dVr0= Dividiendo entre r e integrando de nuevo, tenemos que el potencia elctrico es: . B ln(r) A ) r ( V0 0+ =(113) Ejemplo6.Determinarelpotencialparacualquierdistanciaradialrentredoscilindroscoaxialesde radios R1 y R2 (R1 < R2), que se encuentran a potenciales V1 y V2, respectivamente. Solucin 6. Las condiciones de frontera son: (a)En la superficie del cilindro de radio R1 el potencial es: . V ) R r ( V1 1= = (114) Captulo 4Jorge Eduardo Aguilar Rosas Ecuacin de Laplace Teora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 2 (b)En la superficie del cilindro de radio R2 el potencial es: . V ) R r ( V2 2= = (115) Aplicando la condicin de frontera indicada en (a), tenemos la relacin: ; B ) ln(R A V0 1 0 1+ = y al considerar la condicin sealada en el punto (b), . B ) ln(R A V0 2 0 2+ = A partir de estas dos ecuaciones se tiene que las constantes son: ,) R / R ln(V VA1 21 20= ;) R / R ln() R ln( V ) R ln( VB1 21 2 2 10= por lo que el potencial se puede escribir como: ( ).) R / R ln() R ln( V ) R ln( V ) r ln( V V) r ( V1 21 2 2 1 1 2 + = (116) 4.4.2Dependencia Radial y Angular. Cuando no se tiene dependencia en la coordenada Z, la Ecuacin de Laplace toma la forma: ( ) . 0Vr1rVrr r1, r V2222=+ |.|

\|= (117) Considerandocomosolucinmedianteelmtododeseparacindevariables,conelpotencialenla forma: ( ) ( ) ( ), f r f , r V2 1 = (118) al sustituir en la Ecuacin de Laplace, y dividir entre ella, tenemos: ( )( )( )( ), ndf df r1drr dfrdrdr rf1 22222211= =||.|

\| siendo n2 una constante de separacin. Con esto la ecuacin separada para la variable , es: Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 4 Teora ElectromagnticaEcuacin de Laplace Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 3 ( )( ) , 0 f ndf d 22222= +(119) con solucin: ( ) ( ) ( ), n sen D n cos C De Ce fn -i in2 + = + = (120) mientras que la parte de la ecuacin dependiente de la coordenada r queda como: ( )( ) . 0 r f ndrr dfrdrdr12 1= ||.|

\|(121) Para n 0, si se propone como solucin una funcin f1(r) = rp, al sustituir en la ecuacin se tiene una ecuacin cuadrtica para p, con soluciones: ; n p y, n p2 1 = = de tal manera que la solucin general para la parte radial, con n 0, es: ( ) . r B r A r f-nnnn 1+ = (122) Si n =0, la ecuacin para la parte radial resulta: ( ), 0drr dfrdrd 10=||.|

\| la cual, al integrar directamente, tiene como solucin (ver ec. 113): ( ) ( ) . ' B r ln ' A r f0 0 10+ = Mientras que la ecuacin correspondiente a la parte angular (ec. 119), para n = 0, es: ( ), 0df d 2202= con solucin: ( ) . ' ' B ' ' A r f0 0 20+ = Por lo tanto, la solucin general de la Ecuacin de Laplace, independiente de la coordenada Z, es: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]. n sen D n cos C r B r A r ln D C r ln B A , r V1 = nn n-nnnn 0 0 0 0 + + + + + + = (123) Ejemplo 7. Un cilindro de material dielctrico, con permitividad elctrica y radio R, se coloca en una regin del espacio en donde se tiene originalmente un campo uniforme E0, de manera que el eje del cilindroquedaperpendicularaladireccindelcampo.Determinarelcampoelctrico,tantoenel interior como en el exterior del cilindro. Captulo 4Jorge Eduardo Aguilar Rosas Ecuacin de Laplace Teora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 4 Solucin 7. En este caso debemos de proponer una solucin para el interior: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ], n sen D n cos C r B r A r ln ' D ' C r ln B A , r V1 = nn nn -nnn 0 0 0 0 i + + + + + + = (124) y otra para el exterior: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]. n sen D n cos C r B r A r ln D C r ln B A , r V1 = nn n-nnnn 0 0 0 0 e + + + + + + = (125) Lascondicionesquedebendesatisfacerseparadeterminarlosvaloresdeloscoeficientes son: (a)Alconsiderar al campo externo para cuando r tiende a ser muy grande, prcticamente debe de ser igual al campo elctrico uniforme original, ( ) ,E r0 0 ei E E = = o en trminos del potencial: ( ) ( ) , V cos r E V x E r V0 0 0 0 e+ = + = (126) siendo V0 una constante, que representa a un potencial de referencia. (b)El potencial debe ser finito en el interior. (c)Enlafronteraentrelosdosmedios(enr=R),sedebedetenerlacontinuidadenlas componentes interna y externa del campo elctrico tangentes a la superficie, esto es: ( ) ( ); R r E R r Eet it= = = (127) Esta condicin se puede escribir en funcin de los potenciales considerando que el negativo de la componente angular del gradiente corresponde a la direccin tangente a la superficie, de tal forma que la condicin 127 queda como: ;V V R = reR = ri||.|

\|= |.|

\|(128) (d)Enlafronteraentrelosdosmedios(enr=R),tambinsedebetenercontinuidadenlas componentes del desplazamiento elctrico normales a la superficie, esta condicin escrita en trminos de los campo elctricos es: ( ) ( ). R r E R r Een 0 in= = = (129) Esta condicin se puede escribir en funcin de los potenciales considerando que el negativo de la componente radial del gradiente corresponde a la direccin normal a la superficie, de tal forma que la condicin 129 queda expresada como: .rVrV R = re0R = ri|.|

\| = |.|

\| (130) Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 4 Teora ElectromagnticaEcuacin de Laplace Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 5 De la condicin 126 para el potencial en el exterior, tenemos: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]( ) { } ,V cos r E lim n sen D n cos C r B r A r ln D C r ln B A lim r V0 0 r1 = nn nn -nnn 0 0 0 0 r e+ =)` + + + + + + = de donde se tienen los valores para los coeficientes: , 0 D, 0 C, 0 B, V A0000 0==== n, toda para0 D A y 2, n para0 C A, E C An nn n0 1 1= = = quedando la expresin para el potencial en el exterior como: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]. n sen D n cos C r B cos r E V , r V=1 nn nn -n 0 0 e + + = (131) Delacondicinqueelpotencialelctricoseafinitoenelinterior,cuandortiendeacerose tiene: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ], finita cantidad n sen D n cos C r B r A r ln ' D ' C r ln B A lim 0 r V1 = nn nn -nnn 0 0 0 0 0 r i=)` + + + + + + = se tienen los valores de los coeficientes: n, toda para0 D B C B, 0 D', 0 Bn n n n00= = == con esto la expresin para el potencial elctrico en el interior queda como: ( ) ( ) ( ) [ ]. n sen D n cos C r A ' C A , r V1 = nn nnn 0 0 i + + + = (132) Al aplicar las condiciones de frontera de la superficie esfrica, de la ecuacin 128, obtenemos: Captulo 4Jorge Eduardo Aguilar Rosas Ecuacin de Laplace Teora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 6 ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ], n cos D n sen C R A n ' Cn cos D n sen C R nB Rsen E1 = nn nnn 01 = nn nn -n 0 + + = + + dedonde,alagruparentrminosdelasfuncionessenoycosenoden,quesonlinealmente independientes, se derivan las relaciones: ; 1 n paraR D A R D B y , 2 n paraR C A R C B, R C A R C B R E, 0 ' Cnn nn -n nnn nn -n n1 111 1 00 = = = =(133) y de la ecuacin 130, tenemos: ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] , n sen D n cos C R A n n sen D n cos C R nB cos E=1 nn n1 - nn=1 nn n1 - n -n 0 0((

+ =((

+ + de donde se obtienen las relaciones: . 1 n paraR D A R D B y , 2 n paraR C A R C B, C A R C B E1 n-n n1 -n-n n 01 n-n n1 -n-n n 01 121 1 0 0 0 = = = (134) A partir de las relaciones indicadas en 133 y 134 se obtienen los valores para las constantes: . 1 n para0 D A D B y , 2 n para0 C A C B,2E C A, R E C Bn n n nn n n n000 1 100 20 1 1 = = = = + = + = Conesto,lasfuncionesdepotencialelctricoresultantesparaelinterioryelexteriorson, respectivamente: ( ) ( ), cos r2E A , r V000 0 i + = (135) ( ) ( ) ( ); cos r R E cos r E V , r V100 20 0 0 e + + = (136) Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 4 Teora ElectromagnticaEcuacin de Laplace Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 7 dedondeseobtienenlasexpresionesparaelcampoelctricoenelinterioryelexterior, respectivamente, considerando a r cos = x: ,2E000 ii E + = (137) ( ) ( ) [ ].sen cosrREE22000 0 e + + + = r i E (138) Es decir que el campo elctrico es uniforme en el interior, mientras que el campo en el exterior es el campouniformeoriginalmsuncampoasociadoconlapolarizacindelmaterial.Enlafigura9se muestran las lneas de campo elctrico y las lneas equipotenciales correspondientes. X/R Y/R Figura 9. Lneas de campo y equipotenciales en el interior y exterior de un cilindro dielctrico. 4.4.3Dependencia en las Tres Coordenadas Cilndricas. La Ecuacin de Laplace en funcin de las coordenadas cilndricas es: ( ) . 0zV Vr1rVrr r1z , , r V222222=++ |.|

\|= (139) Considerandocomosolucinmedianteelmtododeseparacindevariables,conelpotencialenla forma: Captulo 4Jorge Eduardo Aguilar Rosas Ecuacin de Laplace Teora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 8 ( ) ( ) ( ) ( ), z f f r f z , , r V3 2 1 = (140) al sustituir en la Ecuacin de Laplace tenemos: ( )( )( )( )( )( ),dzz f dz f1df df r1drr dfrdrdr rf1 223232222211 ==+ |.|

\| (141) siendo 2 una constante de separacin. La parte de la ecuacin que corresponde a la coordenada Z: ( )( ) , 0 z fdzz f d 32232= (142) tiene como solucin: ( ) . Be Ae z fz - z3 + =(143) Porotraparte,lostrminosdelaecuacincorrespondientesalascoordenadasry,sepueden escribir como: ( )( )( )( ), ndf df1rdrr dfrdrdr fr 222222 2 11= = + |.|

\| (144) siendon2unasegundaconstantedeseparacin.Conestolasecuacionesseparadasparacada variable son, para : ( )( ) , 0 f ndf d 22222= + (145) con solucin: ( ) ( ) ( ); n sen D n cos C De Ce fn -i in2 + = + = (146) y para r, se tiene la ecuacin: ( )( ) ( ) , 0 r f n rdrr dfrdrdr12 2 2 1= + |.|

\| (147.a) conocida como la Ecuacin de Bessel, que en ocasiones es escrita en la forma: ( ) ( )( ) ( ) . 0 r f n rdrr dfrdrr f dr12 2 2 12122= + +(147.b) LasolucindelaEcuacindeBesseltienecomosolucingeneralunacombinacinlinealdelas funciones de Bessel, Jn(r), y las funciones de Neumann, Nn(r), ( ) ( ) ( ) [ ]. r N F r J E r fnn n n n 1 + =(148) Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 4 Teora ElectromagnticaEcuacin de Laplace Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 9 Las funciones de Bessel se pueden expresar en forma de serie: ( )( )( ),2r! s n ! s1r J0 = s2s + n sn |.|

\|+=(149.a) o de manera integral: ( ) ( ) ( ) . d rsen n cos1r J0n} =(149.b) Las funciones de Bessel oscilan pero no son peridicas, mientras que su amplitud decrece como r-1/2. La figura 10 muestra la grfica de algunas de las funciones de Bessel. Las funciones de Bessel con n negativo son dependientes de las funciones con n positivo, y satisfacen la relacin de recurrencia: ( ) ( ) ( ) entero. n con , r J 1 r Jnnn - =(150) Otra relacin de recurrencia en trminos de derivadas de las funciones es: ( ) [ ]( ). r J rdrr J r d 1 + nn - n-n = (151) Figura 10. Grfica de las funciones de Bessel: J0(r) a J2(r). Cuando se trabaja con las funciones de Bessel para ajustar a las funciones a las condiciones defrontera,supongamosenunradioR,losvaloresenloscualeslasfuncionessonceroson importantes. En la tabla III se muestran algunos de los valores de r para los cuales las funciones de Bessel J0(r) a J5(r) se anulan. Las funciones de Bessel son ortogonales, y esto se expresa considerando a las funciones con unargumentodenp,lap-simarazdellafuncinn-simadeBessel,como,Jn(npr/R),detal manera que: Captulo 4Jorge Eduardo Aguilar Rosas Ecuacin de Laplace Teora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 10 ( ) [ ] . q = p si J2R, q p si 0rdrRrJRrJ2np 1 + n2nqnR0npn||.|

\|=||.|

\| ||.|

\| }(152) Nmero de cero J0(r)J1(r)J2(r)J3(r)J4(r)J5(r) 12.40483.83175.13566.38027.58838.7715 25.52017.01568.41729.761011.064712.3386 38.653710.173511.619813.015214.272515.7002 411.791513.323714.796016.223517.616018.9801 514.930916.470617.959819.409420.826922.2178 Tabla III. Ceros de funciones de Bessel. Porotraparte,lasfuncionesdeNeumannestndefinidasentrminosdelasfuncionesde Bessel, para n entero, como: ( )( )( )( ).nr J1nr J 1r Nn -nnn ((

= (153.a) Sustituyendo a las funciones de Bessel en forma de serie (ecuacin 149.a), se tiene a las funciones de Neumann ( ) ( )( )( )( ) ( ) [ ]( ),2r! s! 1 s nn s F s F2r! n s ! s1 2rln r J 21r N0 = s1 - n0 = sn + 2s n + 2s sn n(((|.|

\| + + |.|

\|+

|.|

\|= (153.b) siendo ( ) ,i1i + s1s F=1 i|.|

\| = (154) la funcin Digamma, con la constante de Euler-Macheroni, cuyo valor es de 0.577215664901... . En laecuacin153.bseponedemanifiestoladependencialogartmicadelasfuncionesdeNeumann, por lo que cualquier problema que tenga una condicin para que la solucin sea finita en el origen har que los trminos de las funciones de Neumann en la solucin 148 desaparezcan. La figura 11 muestra algunas de las funciones de Neumann. La solucin general de la Ecuacin de Laplace en coordenadas cilndricas es entonces: ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]. r N F r J E n sen D n cos C Be Ae z , , r Vnn n n n n nz - z + + + = (155) Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 4 Teora ElectromagnticaEcuacin de Laplace Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 11 Figura 11. Grfica de las funciones de Neumann N0(r) a N2(r). Ejemplo 8. Determinar el potencial elctrico en el interior de un cilindro de radio R y longitud L, el cual tiene un potencial V0 en la tapa superior, y cero en el resto de la superficie. Solucin8.Lascondicionesdefronteraenestecasoserefierenalpotencialenlastapasyella superficie lateral, dadas por: (a)En z = 0, el potencial elctrico es: ( ) , 0 0 , , r V = (156) (b)En z = L, el potencial elctrico es: ( ) , V L , , r V0= (157) (c)En r = R, el potencial elctrico es: ( ) , 0 z , , R V = (158) (d)Adems,elpotencialelctricodebedeserfinitoparacualquierpuntoenelinterior,loque significa que los trminos de las funciones de Neumann no deben aparecer. Al aplicar la condicin de frontera 156 a la parte correspondiente a la variable Z de la solucin tenemos que , A B = por lo que la dependencia en esta variable se puede rescribir como: ( ) ( ) ( ). z Asenh 2 e e A z fz - z3 = = La condicin para el potencial en la superficie cilndrica, corresponde a una condicin para los valores del argumento, R, tal que las funciones de Bessel sean nulas, esto es que ,Rnmnm= siendo nm la m-sima raz de la n-sima funcin de Bessel. El aspecto de la solucin de la Ecuacin de Laplace hasta este punto es: Captulo 4Jorge Eduardo Aguilar Rosas Ecuacin de Laplace Teora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 12 ( ) ( ) ( ) [ ]. n sen D n cos CRzsenhRrJ z , , r V0 = n 1 = mnm nmnm nmn + |.|

\| |.|

\| = (159) La aplicacin de la condicin de frontera para z = L (ec. 157), conduce a la expresin: ( ) ( ) ( ) [ ] , V n sen D n cos CRLsenhRrJ L , , r V00 = n 1 = mnm nmnm nmn= + |.|

\| |.|

\| = (160) a partir de la cual se determinan los valores para los coeficientes Cnm y Dnm, de la siguiente manera. Multiplicando por ( )p cos eintegrandoendesde0hasta2,dadalaindependencialinealdelasfuncionesarmnicas,solo queda el trmino del cos(n ) con n = p del lado izquierdo; mientras que del lado derecho la integracin es nula, por lo que los valores de los coeficientes de las funciones cos(n) son nulos, excepto para n = 0, los que no se tienen determinados an. De manera anloga, al multiplicar por ( )p sen e integrar, resulta que todos los coeficientes de las funciones sen(n) son nulos. Entonces, la forma de la solucin, bajo la condicin para z = L, es: . VRLsenhRrJ C01 = m0m 0m0 0m=||.|

\| ||.|

\| (161) Multiplicando por ||.|

\| RrrJ0q0 e integrando en r desde 0 hasta R, dada la independencia lineal de las funciones de Bessel (ec. 152), se tiene los valores de los coeficientes ( ) [ ]. drRrrJRLsenh J RV 2CR00m00m 20m 1200m}|.|

\| |.|

\| = (162) Para evaluar la integral consideramos la relacin de recurrencia 151 con n = -1, ( )( ) [ ].drr rJ dr rJ1 -0 = LafuncindeBesselconn=-1,seescribeentrminosdeladen=1apartirdelarelacinde recurrencia 150, ( ) ( ), r J r J1 1 - =Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 4 Teora ElectromagnticaEcuacin de Laplace Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 13 de tal manera que la integral de la ecuacin 162 resulta: ( )( ) [ ]( ) [ ]( ). JR u uJR duduu uJ d R du u uJRdrRrrJ0m 10m20 120m0120m0020mR00m00m0m0m||.|

\|=||.|

\|=||.|

\|=||.|

\|=||.|

\| }} } Por lo tanto los coeficientes son: ( );RLsenh JV 2C0m0m 1 0m00m||.|

\| = y el potencial elctrico: ( )( ).RzsenhRrJRLsenh JV 2z , , r V1 = m0m 0m00m0m 1 0m0||.|

\| ||.|

\| ||.|

\| = (163) La solucin no depende de la coordenada , como es de esperarse dada la simetra alrededor del eje Z.Lafigura12muestralagrficadelaslneasequipotenciales,considerandosololosprimeros5 ceros de la funcin de Bessel J 0(r), con L = 2, y R = 1. Figura 12. Grfica de lneas equipotenciales en el cilindro.