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Querétaro
Identificación
Asignatura/submódulo: CÁLCULO INTEGRAL Plantel : QUERÉTARO
Profesor (es): Ing. Angélica Vidales Rangel, Martín Vásquez Labrada, David Calderón Rivera
Periodo Escolar: AGOSTO-DICIEMBRE 2017
Academia/ Módulo: MATEMÁTICAS
Semestre: QUINTO
Horas/semana: 5
Competencias: Disciplinares ( X ) Profesionales ( ) 5 Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Competencias Genéricas:
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de
distintos equipos de trabajo.
Resultado de Aprendizaje: Que el estudiante analice e interprete la relaciones entre las variables de problemas de la vida cotidiana
relacionados con áreas, volúmenes, etc., que impliquen variaciones en procesos infinitos y los resuelva aplicando
el teorema fundamental del cálculo.
Tema Integrador: Uso de la tecnología utilizando software para elaborar gráficas y conocer sus comportamientos en cuanto al análisis de área y volumen
Competencias a aplicar por el docente (según acuerdo 447): 1.Organiza su información continua a lo largo de su trayectoria profesional 2. Domina y estructura saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo. 3 Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios. 4 Lleva a la práctica los procesos de enseñanza y aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional. 5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo.
6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo
Dimensiones de la Competencia
Conceptual: Interpreta:
• Las aproximaciones, fórmulas de anti diferenciación, las integrales inmediatas, integración por sustitución, por partes, fracciones parciales.
Define:
• Antiderivada, integrales inmediatas.
Procedimental: Calcula:
• Aproximaciones, antiderivada, integrales inmediatas, la integración por sustitución, por partes, fracciones parciales, áreas bajo la curva.
• Aplica el cálculo integral para resolver problemas relacionados con otras disciplinas
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• Integral definida
• Integrales de funciones trascendentes: trigonométricas, racionales, por partes y aplicaciones de la integral.
Investiga
Trabaja en equipo
Practica la lectura
Actitudinal: Se relaciona respetuosamente con la comunidad escolar y practica el autorespeto. Limpieza: Realiza con pulcritud su trabajo Responsabilidad: Entrega el trabajo en fechas indicadas y apegado a los requerimientos Se compromete con el trabajo en equipo y se ajusta a los principios filosóficos del trabajo colaborativo.
Actividades de Aprendizaje
Tiempo Programado: 75 Horas Tiempo Real:
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Fase I Apertura
Competencias a desarrollar (habilidad,
conocimiento y actitud)
Actividad / Transversalidad
Producto de Aprendizaje
Ponderación Actividad que realiza
el docente (Enseñanza)
No. de sesiones
Actividad que realiza el alumno
(Aprendizaje)
El material didáctico a
utilizar en cada clase.
8.2 Aporta puntos
de vista con
apertura y
considera los de
otras personas de
manera reflexiva.
8.3 Asume una
actitud
constructiva,
congruente con
los conocimientos
y habilidades con
los que cuenta
dentro de
distintos equipos
de trabajo.
1Presenta competencias a desarrollar, objetivos de aprendizaje y forma de trabajo. 1 sesión
Toma notas de la forma de trabajo
Planeación Cuaderno de apuntes
Apuntes NA
2 Explica y guía la actividad CONSTRUYE-T Alcanzar mis metas Ficha 51 1 sesión
Atiende las indicaciones del profesor y participa en la actividad propuesta
Material que indique la ficha de aplicación
Preguntas contestadas en cuaderno
NA
3 Comenta la importancia de la lectura y proporciona a los estudiantes la lectura a realizar en el parcial 1 sesión
Atiende a la indicación del profesor y elabora el reporte de lectura
Lectura en material didáctico
Reporte de lectura escrito a mano
5%
4 Realiza evaluación diagnostica para detectar conocimientos previos. 1 Sesión
Responde al examen de evaluación diagnóstica
Examen Examen resuelto
NA
5 Da la retroalimentación de la evaluación diagnóstica. 1 sesión
Toma en cuenta la retroalimentación y realiza las correcciones pertinentes en su examen
Examen calificado Correcciones de examen
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Fase II Desarrollo
Competencias a desarrollar (habilidad,
conocimiento y actitud)
Actividad/ transversalidad
Producto de Aprendizaje
Ponderación Actividad que realiza
el docente (Enseñanza)
No. de sesiones
Actividad que realiza el alumno
(Aprendizaje)
El material didáctico a
utilizar en cada clase.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. DISCIPLINARES 5 Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
1 Pide al alumno realizar una investigación electrónica en fuentes de información confiable: leyes de exponentes, binomos, factorización 1 sesión
Realiza investigación de conceptos de los temas que se piden
Páginas de internet recomendada o videos
Reporte de investigación escrita
5%
2 A través de la lluvia de ideas hace la revisión de los temas que se investigaron 1 sesión
Participa en la lluvia de ideas de acuerdo a la información que se investigó para poder determinar los conceptos de geometría
Pizarrón plumones, cuaderno de apuntes
Apunte en el cuaderno
NA
3 De acuerdo con los conceptos explica algunos temas de álgebra elementales para cálculo 1 sesión
Toma nota de los diversos tipos de sucesiones.
Pizarrón plumones, cuaderno de apuntes
Apunte en el cuaderno
NA
4 Forma equipos de trabajo y pide resolver los ejercicios los grupos1,2 y 3 2 sesiones
En equipos resuelven los problemas propuestos
Material didáctico
Ejercicios resueltos en el cuaderno
5 %
5 Pide al alumno investigar y elaborar un formulario de derivadas 1 sesión
Realiza la investigación y elabora formulario
Bibliografía recomendada
Apunte en el cuaderno
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8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. DISCIPLINARES 5 Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
6. Realiza una plenaria para poder recordar el tema de derivadas 1 sesión
Participa en la lluvia de ideas y toma apuntes
Investigación, plumones, pizarrón
Apuntes en el cuaderno
NA
7. Indica al alumno resolver por parejas los ejercicios del grupo 4 1 sesión
En parejas realiza la actividad propuesta
Material didáctico
Ejercicios resueltos en el cuaderno
10%
8 Proporciona el examen. 1 sesión
Contesta el examen que se proporcionó
Examen escrito
Examen contestado pegado en el cuaderno
30%
9 Realiza la retroalimentación de la evaluación 1 sesión
Toma las notas necesarias para saber lo que tiene que mejorar
Pizarrón, Plumones
Apuntes en el cuaderno
NA
10 Mediante la exposición explica el concepto de diferencial 1 sesiones
Toma apuntes del tema
Pizarrón Plumones Internet cañón computadora
Apuntes en el cuaderno
NA
11 Proporciona al alumno los ejercicios del grupo 5: diferencial 1 sesión
Resuelve la actividad asignada
Material didáctico
Ejercicios resueltos en el cuaderno
5%
12 Explica el concepto de antiderivada 1 sesión
Toma apuntes del tema
Pizarrón Plumones Internet cañón computadora
Apuntes en el cuaderno
NA
13 Proporciona al alumno los ejercicios del grupo 6: antiderivadas. 2 sesiones
De forma individual responde los ejercicios de la actividad asignada
Material didáctico
Ejercicios resueltos en el cuaderno
5%
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8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. DISCIPLINARES 5 Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
14 Pide al alumno investigar el concepto de integral
1 sesión
Realiza investigación de integral
Bibliografía sugerida o internet
Investigación en cuaderno
NA
15 En plenaria explica el tema de integrales básicas 1 sesión
Toma nota (video o fotos) de la explicación del tema
Pizarrón plumones, cuaderno de apuntes
Apunte en el cuaderno
NA
16 Proporciona el material y guía al alumno para realizar los ejercicios del grupo 7: integrales 1 sesión
De forma individual resuelve las actividades que se asignan
Material didáctico
Ejercicios resueltos en el cuaderno
5%
17 Proporciona el examen. 1 sesión
Contesta el examen que se proporcionó
Examen escrito
Examen contestado pegado en el cuaderno
30%
18 El docente realiza la revisión de las actividades del parcial y exámenes 1 sesión
Recibe la evaluación correspondiente al parcial
Actividades realizadas y exámenes
Calificación NA
SEGUNDO PARCIAL
19 Proporciona al alumno el material para realizar la lectura y reporte 1 sesión
Atiende a la indicación del profesor y elabora el reporte de lectura
Lectura en material didáctico
Reporte de lectura escrito a mano
5%
20 Pide al alumno elaborar investigación de los integración de funciones trascendentes y elaborar un formulario 1 sesión
Investiga en fuentes de información confiables
Fuentes bibliográficas o internet
Formulario NA
21 Explica diversos ejemplos de funciones trascendentes 1 sesión
Atiende a la explicación, toma apunte, fotos o video de la explicación
Pizarrón Plumones software, internet, cañón computadora
Apuntes en el cuaderno
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8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. DISCIPLINARES 5 Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
22 Proporciona a los alumnos el material para realizar los ejercicios del grupo 8. 2 sesiones
Resuelve en equipos de 3 los ejercicios propuestos en el material didáctico
Material didáctico
Ejercicios resueltos
10%
23 Proporciona el examen. 1 sesión
Contesta el examen que se proporcionó
Examen escrito
Examen contestado pegado en el cuaderno
15%
24 Realiza la retroalimentación de la evaluación 1 sesión
Toma las notas necesarias para saber lo que tiene que mejorar
Pizarrón, Plumones
Apuntes en el cuaderno
NA
25 A través de la exposición se explica el tema de integración por sustitución o cambio de variable 2 sesiones
Atiende a la explicación, toma apunte, fotos o video de la explicación
Pizarrón Plumones software, internet, cañón computadora
Apuntes en el cuaderno
NA
26 Proporciona a los alumnos el material para realizar ejercicios del grupo 9: integrales por sustitución 2 sesiones
De manera individual resuelve los ejercicios del grupo indicado
Material didáctico
Ejercicios resueltos
5%
27 Proporciona el examen. 1 sesión
Contesta el examen que se proporcionó
Examen escrito
Examen contestado pegado en el cuaderno
15%
28 Realiza la retroalimentación de la evaluación 1 sesión
Toma las notas necesarias para saber lo que tiene que mejorar
Pizarrón, Plumones
Apuntes en el cuaderno
NA
29 A través de ejemplos explica la integración por partes 2 sesiones
Atiende a la explicación, toma apunte, fotos o video de la explicación
Pizarrón Plumones software, internet, cañón computadora
Apuntes en el cuaderno
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8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. DISCIPLINARES 5 Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
30 Da indicaciones al alumno para que en equipos de 3 personas se resuelvan los ejercicios del grupo 10 2 sesiones
En equipos resuelve los ejercicios del grupo indicado.
Material didáctico
Ejercicios resueltos
10%
31 Proporciona el examen. 1 sesión
Contesta el examen que se proporcionó
Examen escrito
Examen contestado pegado en el cuaderno
15%
32 Realiza la retroalimentación de la evaluación 1 sesión
Toma las notas necesarias para saber lo que tiene que mejorar
Pizarrón, Plumones
Apuntes en el cuaderno
NA
33 A través de la exposición se explica el tema integración por fracciones parciales 2 sesiones
Atiende a la explicación, toma apunte, fotos o video de la explicación
Pizarrón Plumones software, internet, cañón computadora
Apuntes en el cuaderno
NA
34 Da indicaciones al alumno para que en equipos de 3 personas se resuelvan los ejercicios del grupo 10 2 sesiones
En equipos resuelve los ejercicios del grupo indicado.
Material didáctico
Ejercicios resueltos
10%
35 Proporciona el examen. 1 sesión
Contesta el examen que se proporcionó
Examen escrito
Examen contestado pegado en el cuaderno
15%
36 El docente realiza la revisión de las actividades del parcial y exámenes 1 sesión
Recibe la evaluación correspondiente al parcial
Actividades realizadas y exámenes
Calificación
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8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. DISCIPLINARES 5 Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
TERCER PARCIAL
37 Proporciona material para lectura que se va a realizar. 1 sesión
Atiende a la indicación del profesor y elabora el reporte de lectura
Lectura en material didáctico
Reporte de lectura escrito a mano
5%
38 Pide en equipos realizar una investigación a cerca de los diversas aplicaciones de la integral 1 sesiones
Realiza investigación de las aplicaciones de la integral y concepto de integral definida
Bibliografía, páginas de internet recomendada, videos
Reporte de investigación escrita
NA
39 En plenaria se hablan de las diversas aplicaciones del cálculo y se explica el concepto integral definida 2 sesiones
Toma las notas necesarias para saber lo que tiene que mejorar
Pizarrón, Plumones
Apuntes en el cuaderno
NA
40 Pide dar solución a los ejercicios del grupo 12 en parejas 1 sesión
En parejas resuelve los ejercicios propuestos
Material didáctico
Ejercicios resueltos
5%
41 Explica con ayuda de software el área entre dos curvas 2 sesiones
Atiende a la explicación, toma apunte, fotos o video de la explicación
Pizarrón Plumones software, internet, cañón computadora
Apuntes en el cuaderno
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42 Pide dar solución a los ejercicios del grupo 13 en parejas 1 sesión
En parejas resuelve los ejercicios propuestos
Material didáctico
Ejercicios resueltos
10%
43 Proporciona el examen. 1 sesión
Contesta el examen que se proporcionó
Examen escrito
Examen contestado pegado en el cuaderno
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8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. DISCIPLINARES 5 Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
44 Realiza la retroalimentación de la evaluación 1 sesión
Toma las notas necesarias para saber lo que tiene que mejorar
Pizarrón, Plumones
Apuntes en el cuaderno
NA
45 Explica con ayuda de software los sólidos en revolución 2 sesiones
Atiende a la explicación, toma apunte, fotos o video de la explicación
Pizarrón Plumones software, internet, cañón computadora
Apuntes en el cuaderno
NA
46 Proporciona a los alumnos el material para realizar los ejercicios del grupo 14 2 sesiones
Resuelve en parejas los ejercicios propuestos en el material didáctico
Material didáctico software
Ejercicios resueltos
10%
47 Proporciona el examen. 1 sesión
Contesta el examen que se proporcionó
Examen escrito
Examen contestado pegado en el cuaderno
30%
48 Realiza la retroalimentación de la evaluación 1 sesión
Toma las notas necesarias para saber lo que tiene que mejorar
Pizarrón, Plumones
Apuntes en el cuaderno
NA
49 A través de varios ejemplos explica las aplicaciones de la integral en física. 2 sesiones
Atiende a la explicación, toma apunte, fotos o video de la explicación
Pizarrón Plumones software, internet, cañón computadora
Apuntes en el cuaderno
NA
50 Proporciona a los alumnos el material para realizar los ejercicios del grupo 15 1 sesión
Resuelve los ejercicios propuestos en el material didáctico
Material didáctico
Ejercicios resueltos
10%
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Fase III Cierre
Competencias a desarrollar (habilidad,
conocimiento y actitud)
Actividad/transversalidad
Producto de Aprendizaje
Ponderación Actividad que realiza
el docente (Enseñanza)
No. de sesiones
Actividad que realiza el alumno
(Aprendizaje)
El material didáctico a
utilizar en cada clase.
1.- En equipos de máximo 3 personas recopilar conocimientos previos de los 3 parciales en donde van a reconocer elementos de la Integral definida. Elaborar el diseño y operaciones en donde plasmarán los cálculos de cuánta pintura se utilizará para una rampa de skate. Referencia bibliografica. 1. cincinato.org/rollers/planos-de-skate-parks.php. 2. documentos.arq.com.mx. 3. http://garciawall.wordpress.cpm/category/diseno-de-rampas/ Autoevaluacion- Heteroevaluación. 2 El docente realiza la revisión de las actividades del parcial y exámenes
Recibe la evaluación correspondiente al parcial
Actividades realizadas y exámenes
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1 sesión
3 Realiza una retroalimentación del curso en general y hace la revisión del cumplimiento de competencias 1 sesión
Participa en la retroalimentación comentando los puntos que le parecieron importantes.
Actividades realizadas.
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Se cumplieron las actividades programadas: SI ( ) NO ( )
Registra los cambios realizados:
*EN CASO DE REALIZAR CAMBIOS VER REGISTRO DE LOS MISMOS EN ANEXO*
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Elementos de Apoyo (Recursos)
Equipo de apoyo Bibliografía
▪ Proyector ▪ Calculadora ▪ Computadora ▪ Formulario Material ▪ Cartulinas ▪ Colores ▪ Escuadras ▪ Material impreso. (Libros de texto, cuadernillos de
apuntes, copias y ejercicios). ▪ Software para graficar.
Malditas matemáticas www.librosmaravillosos.com Carlo Frabetti
Salazar L.;Bahena H.; Vega F. (2007) Cálculo integral. México
Conamat. Matemáticas simplificadas. México: PEARSON
Sánchez O.;García R.; Pérez S.E,;et al, (2016) Cálculo Integral Bachillerato Tecnológico. México. KeepReading
www.symbolab.com https://www.youtube.com/watch?v=6Px CKZR8sO
Evaluación
Criterios: Examen de conocimientos 60% Productos 40%
Instrumento: Escala estimativa para problemarios Lista de cotejo para reporte de lectura Exámenes
Porcentaje de aprobación a lograr: 85%
Fecha de validación: 09/08/17
Fecha de Vo. Bo de Servicios Docentes. 07/08/17
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ANEXOS PRIMER PARCIAL
Docente:
EJERCICIO DIAGNÓSTICO CÁLCULO INTEGRAL FECHA:
SEMESTRE Y
ESPECIALIDAD: ACIERTOS:
ALUMNO: (Apellido, Nombre)
CALIFICACIÓN:
1. ¿Puedes trazar cuatro líneas rectas, sin levantar la punta del lápiz del papel, que pasen por los
nueve puntos de la ilustración?
2. ¿Con cuánta rapidez puedes multiplicar estos números? y ¿cuál es el resultado?
256 x 3 x 45 x 3961 x 77 x 488 x 2809 x 0
3.- Completa la siguiente multiplicación :
4 □
X □ 3
□ □ □
□ □
5 □ 8
4.- Dada la siguiente fracción 24
56 , encontrar la fracción equivalente:
a) 3
7
b) 2
7
c) 2
3
d) 1
3
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5.- El resultado de la operación (2
3) (
9
5) (
5
4) 𝑒𝑠 ∶
a) 24
54
b) 2
3
c) 3
2
d) 108
50
6.-Si sustituimos ⃝ por 6 y Δ por 8, ¿cuánto vale ⃝ + ⃝ x Δ ? ……
a) 36
b) 48
c) 54
d) 96
7.- Un tinaco de 6,000 litros se puede llenar usando las llaves A, B o C. Trabajando solas, la llave A
lo llena en 5 horas, la llave B en 6 horas y la llave C en 30 horas. Si se ponen a trabajar juntas las
tres llaves, ¿qué cantidad de litros de agua habrá en el tinaco asadas 2 horas?
a) 2,000
b) 2,240
c) 2,400
d) 4,800
8.- Un panadero desea dividir una pieza de pan que mide 88 x 72 x 16 cm en cubos del mayor
tamaño posible sin desperdiciar pan. ¿Cuántos centímetros deben medir los lados de cada pieza?
a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
9.- Se necesita empacar latas de alimentos en cajas rectangulares; sus formas y medidas se
muestran en la siguiente figura:
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Si se considera a π = 3.14 y 1 pulgada = 2.5 cm, ¿cuántas latas caben en cada caja si estas se
llenan a su máxima capacidad?
a) 20 a 30
b) 160 a 170
c) 480 a 490
d) 610 a 620
10.- Relaciona las columnas y escribe en los paréntesis el inciso que corresponda a cada definición
o expresión algebraica o trigonométrica. A terminar, comparte tus respuestas con el grupo
( ) Ecuación de una hipérbola a) Tangente
( ) ax2 + bx + c = 0 b) 𝑥2
𝑏2 +𝑦2
𝑎2 = 1
( ) Si a ≠ b, entonces … c) Coseno
( ) 𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶 d) a2 + b2 = c2
( ) Teorema de Pitágoras e) 𝑎 > 𝑏 o a< 𝑏
( ) Ecuación de una circunferencia con centro en el origen
f) Ecuación general
( ) Ecuación de una elipse g) ley de senos
( ) 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 h) x2 + y2 = r2
i) Máximo local
k) ley de cosenos
11.- Deriva lo siguiente:
11.1) 𝑑
𝑑𝑚 (𝑎 +
𝑥3
𝑏) =
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11.2) 𝑑
𝑑𝛽√1 − 2𝛽3 =
11.3) 𝑑
𝑑𝑥(𝑥8) =
11.4 ) 𝑑
𝑑𝑠( 𝑠3 − 9)7 =
11.5) y = 1- 3x
LECTURA PARA ELABOARAR REPORTE 1.
APLICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS EN LA VIDA COTIDIANA Ramón Garduño Juárez
Instituto de Ciencias Físicas UNAM Los resultados de la evaluación 2012 de los exámenes del Programa para la Evaluación Internacional o PSA, patrocinado por la Organización para la Cooperación y Desarrollos Económicos (OCDE) muestran que México ocupó el lugar 53 de 65 países evaluados. Por medio de este examen, la OCDE intenta evaluar el conocimiento y habilidades de los alumnos con edades de 15 años en el mundo. Más de 510,000 estudiantes de 65 países tomaron el examen que cubrió matemáticas, lectura, y ciencia, con un enfoque principal en las matemáticas. Los resultados reflejan cuales sistemas educativos se desempeñan mejor y cuales mejoran más rápido.
Después de haber leído esta noticia me pregunté si habría alguna forma de mejorar la enseñanza de las matemáticas en México, además de eliminar el miedo que provoca su aprendizaje, y recordé la película llamada “Con ganas de triunfar”. Esta película es la historia biográfica real de un profesor de preparatoria en Los Ángeles, California de nombre Jaime Escalante Gutiérrez que ayudo a 18 estudiantes de origen mexicano para que aprobaran el examen de colocación en matemática requerido para su ingreso a la universidad, a pesar de que al principio muchos de ellos no tenían la menor idea de los principios fundamentales como la multiplicación de fracciones. Esta película demuestra que con ganas jamás habrá imposibles., En uno de los diálogos podemos escuchar que Jaime Escalante se dirige a sus estudiantes diciendo: “ No hay viajes gratis y no hay excusas. Ustedes ya tienen varios hechos en su contra. Su nombre y so complexión. Debido a esto, hay mucha gente en este mundo que supone que saben menos de lo que aparentan. Las matemáticas son igualitarias… Cuando van a buscar un empleo, la persona que les dará ese empleo no quiere escuchar cuáles son sus problemas, y tampoco yo… Esa persona no quiere escuchar lo que saben.” En otro diálogo les dice: “¿Sabían ustedes que ni los griegos ni los romanos fueron capaces de usar el concepto del cero? Fueron sus ancestros, los mayas, los que definieron el valor del cero. La ausencia de valor… De verdad, burros, ¡las matemáticas están en su sangre!”
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Con esta frase en la mente decidí escribir estas líneas acerca de la importancia de las matemáticas en la vida diaria, con el afán de convencer a los lectores de perder el miedo a aprender matemáticas. Desafortunadamente, muy poca gente sabe de la a gran importancia que tienen los métodos matemáticos por su aplicación a otros campos del saber, tanto científicos como populares. Así, no es fácil darse cuenta de que acciones cotidianas como extraer dinero de un cajero automático, sacar un billete de metro o comprar una bebida en una máquina expendedora no serían posibles si no hubiese detrás un soporte matemático que facilitara su diseño y uso. Las aplicaciones matemáticas influyen en todos los campos de la vida, entre los cuales podemos mencionar al periodismo, la publicidad, la política, las ciencias biológicas, economía y música. Periodismo En el periodismo con mucha frecuencia se utilizan estadísticas y porcentajes para avalar una noticia o para obtener toda la información de ésta antes de hacerla pública. Podemos presenciar esto en cualquier informativo, periódico, o internet, ya que suele ser un forma muy eficaz y clara de mostrar la idea que quiere transmitir. Muchas veces este ejercicio no es del todo correcto ya que depende de la calidad moral de los editores. En televisión también se utilizan los principios de geometría y manejo del espacio, por ejemplo en diseño de escenarios, perspectiva y en el cálculo del tiempo por toma o por guion Publicidad En la mercadotecnia es imprescindible hacer estudios ante de sacar a la venta algún producto determinado o la hora de intentar venderlo. Con estos estudios estadísticos se logra descubrir que clase de público es más propenso a la compra del producto para así poder enfocar las campañas publicitarias. Los estudios estadísticos pertinentes garantizan el éxito de las campañas, ya que permiten minimizar los riesgos. Para conseguir avales es indispensable defender la inversión mediante datos estadísticos. También se tiene que analizar las estadísticas para calcular los presupuestaos que se deben gastar en una campaña de marketing o de un estudio del producto. Política Desde el inicio de una campaña política hasta la formación de un gobierno es vital la utilización de estudios estadísticos. Las campañas políticas son estudiadas para entender el tipo de público hacia el que hay que enfocarlas y cómo enfocarlas. Las matemáticas influyen sobre la toma de decisiones gubernamentales. Sus posibles consecuencias son analizadas mediante estadísticas con el fin de evitar los posibles contratiempos. En ciencias políticas, la estadística permite representar de una forma ordenada y organizada mucha información que analiza profundamente para tomar decisiones acordes a la realidad del país. Además es imprescindible para reconocer las futuras tendencias de los ciudadanos. La estadística es uno de los recursos matemáticos que más aparecen en sectores como el periodismo, la publicidad o política.
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Ciencias Biológicas Las matemáticas han resultado especialmente útiles en la Biología. La enorme complejidad que caracteriza a los sistemas biológicos había sido un freno para expresar las leyes que rigen su comportamiento como se hace con sistemas físicos y químicos. Sin embargo, la aparición de ordenadores y maquinaria computarizada han permitido estudiar muchísimos procesos biológicos. En la actualidad, los estudios de procesos dinámicos biológicos mediante técnicas físico-matemáticas están muy extendidos y abarcan todas las áreas de la biología. Desde esta perspectiva, líneas de investigación prometedoras se realizan en campos tan diversos como la respuesta inmune, las interacciones genéticas en el desarrollo temprano, los ritmos circadianos, la regulación metabólica, la quimiotaxis, las pauta epidérmicas, la evolución prebiótica, las estructuras biomoleculares, las dinámicas de poblaciones y ecosistemas, las redes catalíticas, la diferenciación celular y la morfogénesis, la autorregulación genética, los ritmos fisiológicos, la actividad cerebral, las correlaciones existentes en las bases neucleotídicas del ADN Incluso en la ecología las matemáticas están presentes Los modelos matemáticos nos permiten evaluar el comportamiento de presas y depredadores, o bien modelar varios atributos de una especie y el papel que ésta juega para mantener un equilibrio sustentable, de tal manera que se puedan encontrar, por ejemplo las características que prevalecerán en el futuro evolutivo de las especies de una selva. Economía En la economía es imprescindible el cálculo delos máximos y mínimos de las gráficas que representen las rentas, precios o costos para destilar su información. Podemos utilizar el cálculo de la rentabilidad de bienes a través de sus costes, los cuales no deben ser superiores a los presupuestos. En la Bolsa de Valores, los precios pueden subir y bajar aleatoriamente, resultando muy difícil su predicción, pero sus cambios pueden describirse fácilmente mediante las variaciones porcentuales se pueden relacionar daros como flujos o valores en un mes, un trimestre o un año con los correspondientes a meses, trimestres o años anteriores, como por ejemplo, los cambios del producto interno bruto. Son de gran utilidad las funciones y sus representaciones gráficas muy utilizadas por los economistas por ser elementos visuales rápidos y sencillos de entender.
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ACTIVIDAD CONSTRUYE-T ACTIVIDAD: “Alcanzar mis metas” FICHA: 51 Recuperado de: file:///C:/Users/Angelica/Downloads/51_Alcanzar_mis_metas_1_1.3_1.3.8_do_e_1.pdf
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RÚBRICA GLOBAL CÁLCULO INTEGRAL PRIMER PARCIAL
NOMBRE:________________________________________________ GRUPO:________________
DOCENTE:________________________________________________
ACT/FASE 10-9% 8-7% 6-4% 3-0% %
APERTURA
Reporte de
lectura
a)El reporte tiene el cuadro de identificación completo
b) La redacción del reporte es adecuada
c) El reporte presenta claramente introducción, desarrollo y conclusión
d) El reporte se entrega limpio, sin errores y sin faltas de ortografía
a) Falta un dato en el cuadro de identificación
b) La redacción del reporte no es muy coherente
c) El reporte presenta introducción, desarrollo y conclusión
d) El reporte no está muy limpio, y tiene 1 falta de ortografía
a)Faltan dos datos en el cuadro de identificación
b) La redacción del reporte es buena sólo en algunos párrafos
c) El reporte presenta de forma poco clara introducción, desarrollo y conclusión
d) La investigación se entrega limpia , con algunos errores y algunas faltas de ortografía
a)No tiene el cuadro de identificación
b) La redacción del reporte no es coherente
c) El reporte presenta no presenta introducción, desarrollo y conclusión
d) El reporte no se entrega limpia, tiene muchos errores y faltas de ortografía
Práctica de
Ejercicios
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
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Práctica de
Ejercicios
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
Problemario La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
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Problemario La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
Práctica de
ejercicios
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto.
La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto.
La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto.
La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
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EXAMENES
ACT/FASE 10-9% 8-7% 6-4% 3-0% %
DESARROLLO
1er examen
Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto con proceso de solución legible
Más del 40% y menos del 70% del examen resuelto con proceso de solución legible
Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
2 examen
Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto con proceso de solución legible
Más del 40% y menos del 70% del examen resuelto con proceso de solución legible
Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
TOTAL
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SEGUNDO PARCIAL
LECTURA
MATEMÁTICAS PARA LA VIDA COTIDIANA
Teresa Guerrero Madrid
La contratación de matemáticos en empresas muy diversas está en auge. Sus
conocimientos se aplican en campos como la gestión de datos, la seguridad, la medicina,
la meteorología o el espacio.
En la película Una mente maravillosa, el brillante matemático estadounidense John Nash
(interpretado por Russell Crowe) está en un bar con sus compañeros de la Universidad
de Princeton cuando se le ocurre un plan para intentar ligar con un grupo de chicas entre
las que destaca una rubia que llama la atención de todos ellos. La estrategia que traza e
matemática aplicada pura. Está basada en la denominada teoría de juegos, un área que
permite estudiar y predecir el comportamiento de los individuos involucrados en una
situación a partir de las interacciones entre ellos, sus estrategias y los conflictos de
interés. El propio Nash, galardonado con el Premio Nobel de Economía en 1994,
contribuyó decisivamente a esta rama de las matemáticas con sus investigaciones.
La teoría de los juegos fue desarrollada inicialmente como una herramienta para ayudar a
comprender aspectos relacionados con la economía, pero sus usos se han ido
extendiendo a otros campos, como la psicología, biología o sociología. ES por ello un
ejemplo de cómo las matemáticas, que siempre han servido para explicar y comprender
el mundo, están siendo aplicadas a infinidad de área y cada vez tienen un mayor peso en
la economía. Los matemáticos, que tradicionalmente no solían tener mucho contacto con
la realidad, forman parte de plantillas de empresas muy diversas.
Hace años que los matemáticos trabajan conjuntamente con médicos en hospitales para
desarrollar modelos que permitan predecir cómo se desarrollan las células madre o cómo
se produce un tumor. Según señala De León, está área se encuentra ahora en pleno
desarrollo. “El modelo matemático te da herramientas para combatir el tumor porque te
dice cómo se desarrolla” explica Philio Maini, uno de los expertos invitados, estudia los
tumores cancerígenos (su crecimiento y curación) y los patrones de formación del
desarrollo temprano de embriones.
El español Diego Córdoba, por su parte, es investigador teórico y a través de sus
estudios para describir la dinámica de los fluidos, intenta predecir cómo se mueven las
olas del mar o los frentes de aires. Uno de sus objetivos es predecir el comportamiento
de un temporal o cuando se va a producir un tornado.
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Pero los matemáticos no sólo son contratados por sus conocimientos en su área, sino por
su estructura mental: “la carrera de matemáticas entrena el cerebro para resolver
problemas”, señala Córdoba, afirma que empresas de ámbitos diversos valoran su
capacidad de organización y para plantear diversas formas de resolver un problema.
La minería de datos es el campo con más salidas para los matemáticos, capaces de
gestionarlos e interpretarlos: “Lo que las empresas quieren ahora es un big data” dice
Manuel de León. “En los últimos años han surgido muchas formas de generar millones y
millones datos. Pero en bruto no sirven de nada. Hay que tratarlos, hurgar en ellos para
buscar patrones y extraer la información interesante”, señala.
La seguridad de esos datos es una manera de las grandes preocupaciones: “La Agencia
Nacional de Seguridad de EEUU (NSA) presume de ser la primera contratadora de
matemáticos en el país”, afirma De León, que recuerda que “de la misma forma que hay
gente que crea seguridad, hay personas que trabajan para romperla”. Son muchas las
conclusiones que se pueden extraer del análisis de los datos que vamos dejando en
servicios o redes sociales, por lo que pese a las ventajas que tienen, considera que los
ciudadanos deberíamos ser más cautos con lo que compartimos con los demás.
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RÚBRICA GLOBAL CÁLCULO INTEGRAL SEGUNDO PARCIAL
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DOCENTE:________________________________________________
ACT/FASE 10-9% 8-7% 6-4% 3-0% %
APERTURA
Reporte de
lectura
a)El reporte tiene el cuadro de identificación completo
b) La redacción del reporte es adecuada
c) El reporte presenta claramente introducción, desarrollo y conclusión
d) El reporte se entrega limpio, sin errores y sin faltas de ortografía
a) Falta un dato en el cuadro de identificación
b) La redacción del reporte no es muy coherente
c) El reporte presenta introducción, desarrollo y conclusión
d) El reporte no está muy limpio, y tiene 1 falta de ortografía
a)Faltan dos datos en el cuadro de identificación b) La redacción del reporte es buena sólo en algunos párrafos c) El reporte presenta de forma poco clara introducción, desarrollo y conclusión d) La investigación se entrega limpia , con algunos errores y algunas faltas de ortografía
a)No tiene el cuadro de identificación
b) La redacción del reporte no es coherente
c) El reporte presenta no presenta introducción, desarrollo y conclusión
d) El reporte no se entrega limpia, tiene muchos errores y faltas de ortografía
Práctica de
Ejercicios
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
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Práctica de
ejercicios
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
Actividad
Academia Nal.
a)Comprende la situación que va a resolver y contesta todas las preguntas propuestas b) Establece un plan de acción adecuado y contesta las preguntas propuestas adecuadamente c)Ejecuta el plan de acción, y realiza todas las operaciones de forma adecuada d) Reflexiona la solución y argumenta lo aprendido adecuadamente e) Entrega el trabajo en tiempo y con todos los requisitos establecidos f) Entrega el trabajo con orden y limpieza
a)Comprende la situación que va a resolver y contesta la mayoría de las preguntas propuestas b) Establece un plan de acción pero falta contestar alguna de las preguntas. c)Ejecuta el plan de acción, y realiza casi todas las operaciones de forma adecuada d) Reflexiona la solución y hay poca claridad en la argumentación de lo aprendido e) Entrega el trabajo en tiempo y con casi todos los requisitos establecidos f) Entrega el trabajo con orden y poca limpieza
a)Comprende la situación que va a resolver y contesta casi todas las preguntas propuestas b) Establece un plan de acción y no contesta las preguntas que se proponen c)Ejecuta el plan de acción, y realiza algunas de las operaciones de forma adecuada d) Reflexiona la solución y no argumenta lo aprendido adecuadamente e) Entrega el trabajo en tiempo faltan algunos requisitos establecidos f) Entrega el trabajo poco orden y poca limpieza
a)Comprende poco de la situación que va a resolver y contesta todas las preguntas inadecuadamente b) Establece un plan de acción poco adecuado y no contesta las preguntas propuestas adecuadamente c)No ejecuta el plan de acción, ni realiza todas las operaciones necesarias d) No reflexiona la situación y la conclusión de aprendizaje no es adecuada. e) Entrega el trabajo en tiempo y con todos los requisitos establecidos f) Entrega el trabajo desorden y sucio
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Problemario La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
Práctica de
ejercicios
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
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Problemario La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
EXAMENES
ACT/FASE 10-9% 8-7% 6-4% 3-0% %
DESARROLLO
1er examen
Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto con proceso de solución legible
Más del 40% y menos del 70% del examen resuelto con proceso de solución legible
Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
2do examen Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto con proceso de solución legible
Más del 40% y menos del 70% del examen resuelto con proceso de solución legible
Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
3er examen Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto con proceso de solución legible
Más del 40% y menos del 70% del examen resuelto con proceso de solución legible
Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
4to examen Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto con proceso de solución legible
Más del 40% y menos del 70% del examen resuelto con proceso de solución legible
Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
TOTAL
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TERCER PARCIAL
LECTURA
EL CLUB DE LA SEÑORA MATEMÁTICA Javier Rodrigo Hitos
Como de costumbre, el trajín en el club de la señora Matemática era infernal. Un sinfín de
discípulos de la señora se hacinaba en las distintas salas concéntricas que conformaban
el club, afanándose en modelar el material que les llegaba para fabricar ejemplos, crear
teorías, demostrar conjeturas,… La señora Matemática gestionaba el club desde tiempo
inmemorial. Ni todos sus discípulos juntos hubieran podido calcular su edad. Aunque
algunos de ellos llevaban mucho tiempo con ella, ninguno sabía cuál era su verdadero
nombre. Casi todos la llamaban la señora Matemática, aunque para algunos era
simplemente la señora. Los más cariñosos la llamaban “la mamma”, aunque nunca faltaba
quien se refería a ella como “la gran putana”.
Aunque todos la consideraban como el auténtico motor del club, la señora Matemática no
se dejaba ver mucho por él. Ella prefería delegar el trabajo sucio en su discípulo más fiel,
aunque no el más aventajado: Sal Sal era el encargado de la puerta. Su misión era recibir
a todas las funciones, conjuntos, espacios, … que se acercaban al club, y asignarles sala.
No solía rechazar a nadie, su lema era: “Todo es aprovechable para la señora
Matemática. Lo que no es suficientemente suave y armonioso para demostrar teoremas,
es suficientemente patológico para buscar contraejemplos”. Ya se encargarán los
discípulos de las salas, por desgracia con más talento que yo, de buscar utilidad a lo que
les mando, solía añadir. Ese día, el flujo en el club era particularmente intenso, lo que
estaba llevando a Sal al borde del colapso.
Aún así aguantaba a pie firme sin perder la compostura, haciendo gala de su gran
profesionalidad. Observémosle trabajar: - Identifíquese - Función - Descríbase - Tengo un
salto en un punto, pero soy perfectamente integrable, no se vaya usted a creer. - Eso ya
lo valoraré yo, no me maree, señora. No concentrará toda la energía en un punto, ¿no?
No será por casualidad doña Delta de Dirac… - ¡No por favor, mi salto es finito! ¡No me
confunda! He oído rumores de que la tal Delta ni siquiera es función. Yo soy una función
integrable Lebesgue, Riemann y todo lo que me echen. - Sí, pero no es continua. Anda,
vaya a la segunda sala: funciones integrables pero no continuas. ¡Eh!, ahí no entre. Le he
dicho la segunda. Con salto no se puede entrar en la tercera, no se empeñe. Reservada
para las continuas, ya sabe. A ver, siguiente, identifíquese. - Función - Descríbase - Yo
soy absolutamente derivable en absolutamente todos mis puntos. - Absolutamente,
absolutamente… A ver si va a ser el valor absoluto. Vuélvase que le vea. Siempre me
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quieren engañar, tiene usted un pico en el cero. Pase a la tercera, funciones continuas
pero no derivables. Ni se le ocurra pasar más adentro, ó suave, suave le echo a la calle.
¿Quién va ahora? - Función. Yo tengo saltos en todos los puntos, ahora cero, ahora uno,
ahora cero, ahora uno. Creo que no soy nada, ni siquiera integrable. No soy nadie, ahora
cero, ahora uno, ahora cero, ahora uno. - (Joder, qué cosas más raras me vienen hoy).
Efectivamente, no es ni integrable Riemann, con lo fácil que es. Puede venir bien para
contraejemplos, vaya a ese círculo aislado a la izquierda. Aunque yo de usted me pasaría
antes por el discípulo sicoanalista. El que trata los problemas de identidad, ya sabe.
¿queda alguien más? - Yo soy función, sin saltos, pero con muchos picos, picos en todos
los puntos. Estoy muy mal. ¿No tendrá algo suelto? - (Qué miedo…) Siga a la anterior, es
usted un contraejemplo andante. Pásese antes por la unidad de toxicomanía. Vamos, si
quiere, no se enfade. - Yo soy una función muy suavecita, mira qué curvas. Y se repiten
hasta el infinito… - Oiga, no se acerque tanto, que corra el aire. (La verdad es que es un
pibón de función. Qué pena que tenga el periodo…). Pase hasta el fondo, al círculo
central. Usted tiene todas las condiciones para formar parte de un bello teorema. ¿Quiere
pasar algo que no sea función? - Yo soy un espacio, topológico para más señas. Pero
tengo un problema en mi interior, una especie de almorrana sangrante. Tengo un
subespacio de mayor dimensión que yo mismo. ¿Me lo podrían extirpar? - Esto sí que no
me lo creo. Tengo que consultar mis libros, esto no es posible. La verdad es que no
entiendo mucho de teoría de la dimensión. No sé a quién puede interesar todas estas
teorías inaplicables… ¡A sí, existes! Pero de extirpación nada, en el subespacio está tu
gracia. Pasa a la sala de espacios topológicos raros para discípulos onanistas. Y no se te
ocurra desviarte a la unidad quirúrgica. Parece que hoy no viene nadie más… - Sí,
estamos aquí, lo que pasa es que no nos ves porque somos fraccionarios. Saluda, curva
de Koch. Di hola, triángulo de Sierpinski. Me presento, soy el conjunto de Cantor. Aquí mi
marido, el conjunto de Julia. Traemos el caos. Déjanos entrar y verás cómo
revolucionamos todo. ¡Abajo el orden, viva Mandelbrot! Y así hasta el infinito. El club de la
señora Matemática era lo más parecido al paraíso y lo más parecido al infierno. Porque la
señora Matemática podía darte mucha belleza, pero te pedía también mucho a cambio.
Eso lo sabía bien quien conseguía entrar en sus aposentos. Pero lo sabía aún mejor
quien sólo podía quedarse a las puertas. CO
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RÚBRICA GLOBAL CÁLCULO INTEGRAL TERCER PARCIAL
NOMBRE:________________________________________________ GRUPO:________________
DOCENTE:________________________________________________
ACT/FASE 10-9% 8-7% 6-4% 3-0% %
APERTURA
Reporte de
lectura
a)El reporte tiene el cuadro de identificación completo
b) La redacción del reporte es adecuada
c) El reporte presenta claramente introducción, desarrollo y conclusión
d) El reporte se entrega limpio, sin errores y sin faltas de ortografía
a) Falta un dato en el cuadro de identificación
b) La redacción del reporte no es muy coherente
c) El reporte presenta introducción, desarrollo y conclusión
d) El reporte no está muy limpio, y tiene 1 falta de ortografía
a)Faltan dos datos en el cuadro de identificación b) La redacción del reporte es buena sólo en algunos párrafos c) El reporte presenta de forma poco clara introducción, desarrollo y conclusión d) La investigación se entrega limpia , con algunos errores y algunas faltas de ortografía
a)No tiene el cuadro de identificación
b) La redacción del reporte no es coherente
c) El reporte presenta no presenta introducción, desarrollo y conclusión
d) El reporte no se entrega limpia, tiene muchos errores y faltas de ortografía
Práctica de
Ejercicios
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
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Práctica de
ejercicios
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
Práctica de
ejercicios
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
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Práctica de
ejercicios
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.
b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo
La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.
La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.
EXAMENES
ACT/FASE 10-9% 8-7% 6-4% 3-0% %
DESARROLLO
1er examen
Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto con proceso de solución legible
Más del 40% y menos del 70% del examen resuelto con proceso de solución legible
Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
2 examen
Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto con proceso de solución legible
Más del 40% y menos del 70% del examen resuelto con proceso de solución legible
Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible
TOTAL
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REGLAMENTO DE CLASE.
DISCIPLINA
1. La entrada a clase debe ser puntual se te darán 5 min de tolerancia.
2. No se permite comer en el salón de clase
3. Solo se puede tomar agua dentro del salón de clase
4. Es OBLIGATORIO tener todo el material necesario para clase, (cuaderno de apuntes y cuaderno
de trabajo engargolado)
5. Debes cumplir con el 80% de asistencias en el semestre, de lo contrario tu calificación será
reprobatoria a pesar de que se entreguen todos los trabajos y apruebes los exámenes.
6. Los justificantes se deben presentar la clase siguiente en que el alumno falto para poder hacer
la revisión de trabajos y no retrasarnos.
7. No se permite el uso del celular ni computadora personal durante las clases (a menos que sea
indicado por el docente)
8. No se aceptara sacar copias a las actividades.
ENTREGA DE TRABAJOS
1. Todos los trabajos del cuadernillo se realizaran durante la hora de clase, por ello es importante
traerlo todos los días de clase.
2. Las actividades que se realicen se deben entregar limpias y los resultados marcados con un
cuadro en color rojo.
3. Se debe contar con el cuadernillo de trabajo de lo contrario no se revisarán las actividades.
4. Si se detectan realizando copias entre compañeros se reprueba el parcial de forma automática.
EXAMENES PARCIALES
1. Para tener derecho a examen parcial, es necesario: tener contestadas y calificadas todas las
actividades del parcial.
2. No exceder el número de faltas permitidas por parcial.
3. Si no se presenta el examen parcial la calificación será reprobatoria.
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INDICE
MODULO 1: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL
1. REPASO ALGEBRA
2. DERIVADAS Y DIFERENCIALES
3. ANTIDERIVADA
4. INTEGRALES INMEDIATAS
MODULO 2: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRASCENDENTES
6. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
7. INTEGRACIÓN POR PARTES
8. INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
MODULO 3: APLICACIONES DE LA INTEGRAL
9. INTEGRAL DEFINIDA
10. ÁREA BAJO LA CURVA Y ENTRE DOS CURVAS
11. VOLUMEN DE SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN
12. APLICACIONES EN FISICA
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REPASO ALGEBRA
LEYES DE EXPONENTES
REGLA (ley) Ejemplo Todo número elevado a la potencia 1 el resultado es el mismo número
nn 1 771
Todo número elevado la potencia cero el resultado es 1
10 n 180
Los exponentes negativos, indican un recíproco n
n
aa
1
25
1
5
15
2
2
En la multiplicación los exponentes se suman
mnmn aaa 1024444 532 532 xxx
En la división los exponentes se restan nm
n
m
aa
a 2555
5 2
2
4
4
4
8
xx
x
En la potencia los exponentes se multiplican
mnnm aa 6422 623
623 xx
En la raíz los exponentes se dividen n
m
n m aa 8244 32
3
2 3 GRUPO 1: POTENCIAS INSTRUCCIONES: Simplificar al máximo las siguientes expresiones sin dejar exponentes negativos
1. 233524 32 nmnm 2. 432232 xyzxzzxy
3. cba
cba45
222
63
7
4.
yx
xm
ny
xm
xy
mn3
233
5
2 5.
2
3
323 3
3
5
a
bcbca
c
ab
6.
5
3
6
b
a
7.
24
3
3
a
cb
ca
cab
8. 233
3222
)(
)()(
ba
baab
9. 63
753
ba
ba
10. 222235 dabcdabc 11. 222ax
12.
2
2
4
7
m
13.
322
3
25 zyx
xyz
yx
14. 5
3
5
2
5
4
xxx
15. 4
1
25
n
n
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INSTRUCCIONES. Escribe las siguientes expresiones en forma de radical o en forma de exponente,
según sea el caso.
1. 2
1
3a 2. abc5 3. a3
4. 5x
5. 31
26m 6. 4
3225 ba
7. 2
3
2
1
3 b 8. 4
3
yxm 9. 3 23x
BINOMIOS ELEVADOS A POTENCIAS
BINOMIO CONJUGADO
CARACTERISTICAS El primero y el segundo término son iguales en todo pero el signo es diferente. En el resultado hay dos términos
SOLUCIÓN 1. Se eleva al cuadrado el primer término 2. Se deja el signo NEGATIVO 3. Se eleva al cuadrado el segundo término
EJEMPLOS:
33
5
2
7
2
5
2
7
2
55
15
5
1
yxyx
xx
BINOMIO AL CUADRADO
CARACTERÍSTICAS El primero y el segundo término son iguales en todo. Se encuentra un binomio en un paréntesis y esta elevado al cuadrado. En el resultado SIEMPRE hay tres términos
SOLUCIÓN: (x+5)(x+5)= 1. Se eleva al cuadrado el primer término x2
2. Se deja el signo que está en el paréntesis x2 + 3. Se multiplica DOS veces el primero por el segundo termino x2 + 2(x)(5) 4. Signo positivo SIEMPRE x2 + 2(x)(5) + 5.Se eleva al cuadrado el segundo término x2 + 2(x)(5) + 25= x2 + 10x + 25
EJEMPLOS
))(( baba
)43)(43(
25)5(5
22
2
yxyx
xxx
2)())(( bababa
22222
22
1616416)4)(2(24)42(
16816)4)((2)4(4
yxyxyyxxyx
xxxxxx
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33
242
25
12
5
1
)2(
yxyx
qpn
BINOMIO CON TÉRMINO COMÚN (a+c)(a-d)
CARACTERÍSTICAS. Aparece el mismo término en los dos paréntesis y recibe el nombre de término común. En el resultado siempre hay tres términos
SOLUCIÓN. 1. Se eleva al cuadrado el primer término. 2. Se deja el signo del número mayor. 3.Se suman o restan los segundos términos de cada paréntesis y se multiplican por el término común. NOTA: Los números se suman cuando en los paréntesis son los mismos signos. Se restan cuando son signos diferentes.
4.Se multiplican los segundos términos
EJEMPLOS
GRUPO 2: POTENCIAS DE BINOMIOS
INSTRUCCIONES: Desarrolla las siguientes potencias de binomios.
1. 2)8( x 2.
2)13( ax 3. 412 x 4. 523 y
5. 442 yx 6. 2)2( yx 7. 61 x 8. 343 yx
9. 2)3( a 10. 335 ba
11.
2
3
1
4
5
x
12. 354 2yx
13. 314 m 14. 223 )2( baa 15. 62 5yx 16. 525 nm
17. 332 yx 18. 2)8( amn 19. 332 x
20.
2
32
32
2
yx
)5)(8(
)2)(6(
)5(4
xx
xx
xx
2x
(x+5)(x-2)
2x
xx 32
1032 xx
84)2)(6(
209)5(4
2
2
xxxx
xxxx403)5)(8( 2 xxxx
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FACTORIZACIÓN
Se entiende por factorizar la manera de expresar una suma o diferencia de términos como el producto
de sus factores. En el cuadro que se muestra a continuación se presentan algunas de las formas más
comunes de factorización, así como la manera de identificar cada uno de sus tipos.
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GRUPO 3. Factorización INSTRUCCIONES: Factoriza las siguientes expresiones
1. x1812 2. 92 x 3. xaax 22 1510 4. 2092 xx
5. 232 xx 6. 1442 x 7. 24102 xx 8. 812 x
9. x824 10. 1272 xx 11. 6173 2 xx 12. 562 xx
13. 1582 xx 14. 12 x 15. 34 147 xx 16. 683 2 xx
17. 1892 2 xx 18. xx 44 2 19. 162 x 20. yxxy 284
21. ayax 63 22. 362 x 23. x155 24. 672 xx
25. 492 x 26. 10133 2 xx 27. xxy 22 28. aax 189
29. 23 69 xx 30. 652 xx 31. 4154 2 xx 32. 56162 xx
33. 642 x 34. 1002 x 35. 22 yxxy 36. xx 26 2
37. 443 2 xx 38. 24 x 39. 1072 xx 40. 652 xx
41. 54 1111 xx 42. 1282 xx 43.
225 x
44. 122 xx
45. bxb 33 46. 252 x 47. 1892 xx 48. 30112 xx
49. 442 xx 50. 22 1009 yx 51. 323 68 yxyx 52. 64 3681 yx
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DERIVADAS
GRUPO 4: Derivadas INSTRUCCIONES: Obtener la derivada de las siguientes funciones.
1. 525 24 xxxy 2. xxxxf sin46ln 3 3. 232 xxy
4. xexxxy 2245ln3
5. 32923 xexy x
6. 83 xey
7.
8
6 2
x
xxf
8. xxxy 62 23
9. 23ln5 xxy
10. 32cos3 xxy 11. 1352 xxy 12. 48ln xy
13. 8tan4 xexf x
14.
3
23ln
x
xy
15. 487 4ln4cos5
2
xxey xx
16. 27tan 2 xxxy 17. 12sin52 xxexf x
18. 37ln xy
19.
1
22
x
xxf
20. 1cos62 4 33 xxxy
21. 7
2csc37
23
xxxy
22. 43ln xy 23. 61 22 xxy
24. 2
12
x
xxy
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DIFERENCIALES
La derivada de una función f(x) en el punto 0x se define como el cociente del incremento de la variable
dependiente entre el incremento de la variable independiente cuando este último tiende a cero. Tales
incrementos se establecen como las diferencias, donde )( 0xfyo
Por lo tanto para valores donde el incremento en x muy cercanos a cero se puede establecer que
x
yxf
)('
Para el incremento se utiliza )()( xfxxfy
Para el diferencial se utiliza: xxfdy )('
Determina el diferencial y el incremento de la función xxxf 22)( para x=1 cuando dx=0.01.
Primero se calcula el incremento de la función
0302.0
10302.1
1)1(201.1)01.1(2
)1()01.1(
)1()01.01(
22
y
y
y
Entonces
ffy
ffy
Calculamos la diferencial de la función:
03.0
)01(.)1)1(4
)14(
14)('
:tan
2)( 2
dy
dy
xxdy
xxf
toloPor
xxxf
EJEMPLOS
Determinar el diferencial e incremento de la función xxxxf 104)( 23 para x=2 y dx=0.02
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GRUPO 5: DIFERENCIAL.
INSTRUCCIONES: Para cada una de las siguientes funciones determina el diferencial y el
incremento de acuerdo a los datos que se presentan.
FUNCION PUNTO INCREMENTO
1 2
1)(
x
xxf
x=5 1.0x
2 52)( 3 xxf x=2 001.0x
3 9)( xxf x=7 004.0x
4 3)( 2 xxf x=3 12.0x
5 22 52)( xxxf x=2 01.0x
6 42 58)( xxxf x=3 1.0x
7 94)( 2 rrg r=2 02.0x
8 52ln)( xxf
x=3 01.0x
9 )2()( senf 0 1.0
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
NTR
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ANTIDERIVADA
La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en
encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.
Para encontrar la antiderivada de una función de la forma de un término nbxxg )( se realiza el
proceso inverso al de la derivación, es decir
1)(
1
n
xbxG
n
Una función tiene más de una antiderivada. De hecho es una familia de funciones que difieren debido
al término independiente. Esto se debe a que tanto F(x) como F(x)+C, donde C es una constante,
tienen la misma derivada f ’(x)
Ejemplo
Encuentra la integral de ∫ x3dx
El valor de n = 3 ∫ x3dx = 𝑥3+1
3+1+ 𝑐 =
𝑥4
4+ 𝑐.
Encuentra la integral de ∫1
𝑥4 𝑑𝑥
Lo primero que se hace es expresar la función con un exponente negativo para poder aplicar la
fórmula (3).
∫1
𝑥4 𝑑𝑥 = ∫ x- 4 dx
Aplicando la fórmula tenemos: ∫ x- 4 dx= 𝑥−4+1
−4+1+ 𝑐 =
𝑥−3
−3+ 𝑐
Determina la integral ∫ √𝑥43 dx
Expresamos la integral utilizando la forma de exponente fraccionario. ∫ √𝑥43 dx = ∫ 𝑥4
3 dx
Procedemos a realizar la integral ∫ 𝑥4
3 dx = 𝑥
43
+1
4
3 +1
+ 𝑐 = 𝑥
73
7
3
+ 𝑐
Como el exponente es fraccionario, procedemos ahora a expresarlo en forma de radical en su
forma más simple.
𝑥
73
7
3
+ 𝑐 = 3 √𝑥73
7+ 𝑐 =
3 √𝑥6𝑥3
7=
3 √𝑥63√𝑥3
7=
3𝑥2 √𝑥3
7 + c
CO
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EJEMPLOS
5875)( 34 xxxxf
5234)( 5 xxxf
x
xxxxf
4
45)(
36
53)( xxf considera F(1)=8
537 84
75)( xxxxf
54)( 2 xxf considera F(0)=5
CO
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GRUPO 6 ANTIDERIVADAS
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas utilizando la antiderivada de funciones
polinomiales para su solución.
1.58)( 3 xxf 7.
7)( xxf 13 22)( 5
2
35 xxxxf
2. 10243)( 247 xxxxf 8. 3
2
9)( xxf 14 332 43
1)( xxxxf
3. 3
3 3
3)(
x
xxf 9.
324 2 xxy 15343
2
28)( xxxxf
4.
33)( xxxh 10.xxy 49 4 16.
22
3
3 6344)( xxxxxf
5. 2/72 473 xxxy 11.
2
24 547)(
x
xxxf
17. 325410)( 34 xxxxxf
6.)1()( 22 xxxf
12. 3
4 3 6)(
xxxf
18. x
xxxxf
3
325410)(
34
Encuentra la antiderivada específica utilizando la condición inicial dada:
1. 34)( xxf , considera que F(0)=2
2. 26)(2
xx
xxg , considera que G(4)=1
3. 3 72)( xxh , considera que H(1)=0
4. 2/52 26)( xxxxg , considera que G(0)=1
5. 2
2 3
2)(
xx
xxf ,considera que F(0)=1
6. 3252)( 2
1
2 xxxxg considera que G(0)=7
7. 356)( 2 xxxg considera que F(-1)=4
8. 3 42)( xxg considera que 5
3)1( G
9. )23()( 22 xxxxf considera que F(0)=2
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INTEGRAL INDEFINIDA
La integración es el proceso de encontrar una función que antes había sido una derivada. Las
integrales indefinidas de una función f(x) permite encontrar las fórmulas para ello y se define como
la familia de antiderivadas de f(x) que difieren entre sí como una constante y se denota como:
CxFdxxf )()(
El símbolo de integral representa el límite de una suma infinita de áreas de rectángulos cuyos
anchos son infinitamente pequeños, lo cual es representado por el diferencial dx. La integral
indefinida permite contar las fórmulas para evitar hacer esa suma infinita de áreas.
EJEMPLOS
dxxx 854
3 34
dx
x
xx
2
652
dxx
xx5
34
4
55
5
3
dxx
xx8
53 3 54
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GRUPO 7 INTEGRAL INDEFINIDA
INSTRUCCIONES. Resuelve las siguientes integrales utilizando la fórmula adecuada, los procedimientos deben estar en el cuaderno.
1. dxx 4
2.
dxx
xx
)2(
)65( 2
3.
dxxx
x34
326
3
4 dxx 3
4
5
dxx
xx
259 2
6
dxxxx 54 3
2
1
7 dxx 5
8
dx
x
xx 47 3
9
dxexx
x
34 291
10
dxx 3
1
11
dxx
xx 3
4
5 3
12
dxx
xx 225
3
23 44
13 dxx 2
1
14
dxx
xx 3
4
5 3
15
dxx
xx 2
3
2
5
14
2
3
16
dxx2
23
17
dx
x
xx
2
442
18 dxxxx 182 2
19
dxxxx 439 25
4
20
dxx
x
x2
9
3
3 2
4
5
21
dxxx
32
3
243
22
dxxxxx 3234 3
54
23
dxxxxx 253 422
24
dxx
xxx 4
3
233 2
3
54
4
25
dxxx
xx
25
34
3
2
1
5
34
26
dxxxxx 3345 23
2
27
dxx
xxx 67
3
62
49
28
dxxxxx 65
7
65
7
5 3 47374
29
dxxxxx 3345 23
2
30
dxxxxx 663
53
3
2 3 75454
31
dxxxxx
5
2349 32
32
dxxxxx 742
33
3
1 3 54231
33
dxx
xxx 1
3
42
325
4
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34
dxxx
xx
752
38
3
5 4
3
53
4
35
dxxxxxx 3623
2
52
74
36.
dxxx )2(
37
dxx 23 )123(
38.
dxx 2)34(
39
dxxx
x
5 35
2
1
5
33
40 dxxx 2)25(
41
dx
x
x
5
)5( 2
42
dxxxx 5 2
3
2
4
3
43
dxxxxx
x
x 5 3
2
19
5
33
44 dxxx 2)25( 45. dxx 23 )82(
46
dx
x
xx
3
962
47
dx
x
xxx
3
96 23
48
dx
x
xx
1
122
49 dxxx
x
5 3
2
9
5
44
50
dx
x
xx
4
2
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INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRASCENDENTES
La integración de funciones trascendentes contempla funciones trigonométricas, racionales y
exponenciales. Al integrar este tipo de funciones se debe saber identificar y ordenar bien las partes
que componen cada fórmula.
Para poder realizar la fórmula se realiza de la siguiente manera:
1. Identificar el argumento y y su diferencial du
2. Comparar el diferencial del argumento con el diferencial del integrando. Si hace falta una
constante, agregarla conservando la equivalencia en ambas partes
3. Una vez contemplado el diferencial, aplicar la fórmula de la integración.
Cuduu cossin
Cuduu sincos
Cuduu tansec2
Cuduu cotcsc2
Cuduuu csccotcsc
Cuduuu sectansec
Cuuduu tanseclnsec
Cuduu coslntan
Csenuduu lncot
Cuuduu cotcsclncsc
Cedue uu
Ca
adua
uu ln
Cuu
du ln
EJEMPLOS RESUELTOS
∫ 3𝑥2 cos 7𝑥3
Solución: Elegimos u= 7x2
Obtenemos du = 21x2dx ; despejamos x2 dx = 𝑑𝑢
21
Cambiamos la variable. ∫ 3𝑥2 cos (7𝑥3) = 3 ∫ cos 𝑢𝑑𝑢
21
= 3
21∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢
Integramos, = 3
21sen 𝑢 + 𝑐
Modificamos la variable = 3
21sen (7𝑥3) +𝑐 =
1
7sen (7𝑥3) +𝑐
Realiza la integral siguiente: ∫ 23𝑥𝑑𝑥
CO
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Solución
Utilizamos el cambio de variable u = 3x du = 3 dx
Despejamos dx 𝑑𝑢
3= 𝑑𝑥
Realizamos cambio de variable ∫ 23𝑥𝑑𝑥 = ∫ 2𝑢 𝑑𝑢
3 =
1
3∫ 2
𝑢𝑑𝑢
= 23𝑥
3 ln 2+ 𝑐
Realiza la integral ∫𝑥𝑑𝑥
7𝑥2−3
Solución
Elección del cambio de variable. u = 7x2 - 3, du = 14x dx
Despejamos convenientemente x dx:
𝑑𝑢
14= 𝑥 𝑑𝑥
1
14∫
𝑑𝑢
𝑢=
1
14𝑙𝑛|𝑢| + 𝑐
= 1
14𝑙𝑛|7𝑥2 − 3| + 𝑐
EJEMPLOS
dxx5cos2 dxx5tan
4
3
dxxx 34 43 2
dxxe x 445 2
dxx
x
75
32
CO
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GRUPO 8 INTEGRACIÓN FUNCIONES TRASCENDENTES
INSTRUCCIONES: Resuelve las integrales por métodos de sustitución.
1 dxxsen137 14 dxxe x2
24 dxxe x25
4
3
2 dxx4cos 15 dxe x 52
25 dxx x 54 2
53
3 dxx)94tan( 16 dxex x32
26
23
2
6
9
xx
xdxx
4 dxx )617cot(4 17 dxx 729
27 dxex x 422 3
7
2
5 dxx)51csc( 18 dxex x24
28
dxxx )43cos(7
2 32
6 3x
dx 19
dxex xx 2422 3
412 29 dxxxxx )63tan()( 243
7 dxx 43tan
20 5x
dx
30 dx
xsen
2
)3(
8 dxx 35csc2 2
18 dxxx )35(csc4 22
31
dxxxsenx )84()2( 2
9 dxxxsen 2
7
4
5
3
19
dx
xx
x
23
132
32 52x
xdx
10 dxxx )2cot( 2
20 dxxe x 35
3
4 33
dxxxx 563cos)33( 2
11 dxx )1211sec(8
21 dxxsec4
34 14 3
2
x
dxx
12 14 3
2
x
dxx
22
dx
xx
x
28
182
35
dxx 4
5
3tan
4
1
13 dxx x 52
75
3
23
dx
e
xx 12
7
36 dxxe x 52 2
4
CO
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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Las fórmulas básicas de integración permiten integrar directamente diversos tipos de funciones.
Sin embargo, existen funciones que no es posible integrar sólo aplicando las fórmulas por lo que
es necesario utilizar algún método para transformar la función original en una más sencilla para
luego aplicar las fórmulas básicas.
Las recomendaciones para aplicar este método son:
Observar la función que se va a integrar e identificar alguna fórmula para resolverlo
Identificar la parte de la función que se va a integrar y sustituirla con la nueva variable.
Si no es posible hacerlo, se utiliza un método de factorización
Se realiza el cambio de variable
Una vez que se integra es necesario regresar al cambio de variable.
EJEMPLOS
dxxx 62 )59(3 dxxx
3
2csc
3
2tan
4
3 25
dxx 537 dxxxsen 3cos37
dxx
x
73
2
2 dxxe x 3sec23tan
dxxe x245 dxex xx 123 2
)63(
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GRUPO 9 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE VARIABLE)
INSTRUCCIONES: Resolver las siguientes integrales realizando el cambio de variable adecuado.
1 dxxx
732 42 11
dxee xx 722 2
21
434
5
x
dx
2 dtt
9625
12 dxee xx 333 4
22
3
2cos1
2
x
dxxsen
3 dxx 47
13
dx
x
x
13
43
2
23 dxxx )3(csc)3(cot
4
3 2
4 dxxx 84 2
14 dxxxsen )3(cos)3(2 4
24
45
5cos
xsen
dxx
5
dtr
472
4
3 15
dxxx )5(cot)5(csc 82
25
dxxx
5
3
32 47
4
3
2
6
dxx
x52 33
2 16
dxxsenx3
)4(1)4cos( 26
dxxx 3cot33csc2
7 dhhh 3
232 2 17 dxxxsen )cos()(7 2
27
dx
x
xx
2sec1
2tan2sec
8 dyyy
1132 535
18
22 63
32(
xx
dxx
28 dxxx 63
7
4 2
9
3 19x
dx 19
dxxxx 362 32
29
72 337
4
x
xdx
10
4 2 153
2
x
xdx
20
dxee xx
7
32
7
36
7
5 30
dxxx 6
532 652
1.
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INTEGRACIÓN POR PARTES
La integración por partes es uno de los métodos más utilizados en el cálculo integral, tiene como
base identificar adecuadamente a u y dv. Una de las maneras más sencillas de poder identificar
dichos elementos es a través de la aplicación de la palabra LIATE
L Logarítmicas
I Inversas
A Algebraicas
T Trigonométricas
E Exponenciales
Una vez que se identifica u se deriva y dv se integra, para posteriormente utilizar la fórmula de
integración por partes:
duvvu
Con lo que logramos hacer una integral más sencilla y de esta manera resolver por los métodos
más sencillos.
EJEMPLOS RESUELTOS
Realizar la integral de ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥
Es importante para seleccionar u y dv seguir la siguiente sugerencia, con la palabra ILATE que
significa Inversa, logarítmica, algebraica, trigonométrica y exponencial. Por lo que en el ejemplo,
acomodando primero va la logarítmica y después la algebraica de tal forma que:
∫ ln 𝑥 𝑥 𝑑𝑥
Donde u = ln x du = 1
𝑥𝑑𝑥
v = 𝑥2
2 dv = x dx como vemos de deriva u y se integra dv
Aplicamos la fórmula de integración por partes y sustituimos los elementos seleccionados
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 = 𝑥2
2 ln x - ∫
𝑥2
2 1
𝑥𝑑𝑥
= 𝑥2 ln 𝑥
2 -
1
2∫ 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑥2 ln 𝑥
2−
1
2
𝑥2
2
= 𝑥2 ln 𝑥
2−
𝑥2
4+ 𝑐
Resuelve la integral ∫ 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥
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De acuerdo a ILATE primero va la algebraica y después la exponencial, como se presenta la
integral, por lo tanto la selección es la siguiente:
u = x dv = 𝑒𝑥𝑑𝑥
Derivamos u e integramos dv
du = dx ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥
𝑣 = 𝑒𝑥
Aplicamos la fórmula de integración por partes y sustituimos los elementos seleccionados
∫ 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥
Y el resultado es = 𝑥 𝑒𝑥- 𝑒𝑥 + 𝑐 = 𝑒𝑥(𝑥 − 1) + 𝑐
EJEMPLOS
dxxx 34ln3 dxxx 5cos2 2
dxex x32 dxxe x23
xdxsenx5
2
2
3
dxxx 3
3
5ln
4
3
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GRUPO 10 INTEGRACIÓN POR PARTES
INSTRUCCIONES: Resolver las siguientes integrales por partes.
1. dxxx 4ln
11. dxex x5
21. dxx
13
ln2
2. dxex x33 12. dxex x5
22.
dx
x
5
34ln
3. dxxx sin3 13.
dxxx 4sin2 23. dx
x
13
ln2
4. dxex x22
14. dxxx ln2
24.
dxex
x
33
5. dxxx 3cos2
15. dxxx 7sin7
25. dxex
x2
1
25
6. dxex x4
3
1
16. dxex x32
26. dxex x532
7. dxex x2
4
1
17. dxxx 3ln
27. dxex x42
3
2
8. dxxx cos5 18. dxxx )ln( 34
28. dxxx5
3cos
3
1 2
9. dxex x3
2
3
19. dxxsenx )2(3
1
29. dxxsenx5
2
4
5
10. dxxx )ln(2 63
20. dxex x343
30. dxxsenx5
23
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INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
El método de integración por fracciones parciales se utiliza cuando la función que se va a integrar
es una función racional propia.
)(
)(
xq
xp
donde el grado de )()( xqxp
Para la solución de este tipo de integrales se sugieren los siguientes pasos:
Factorizar el denominador de la función si es necesario.
Separar los factores con base en el número de denominadores.
Calcular el valor de las variables A, B, C,… y sustituir en cada una de las fracciones.
Integrar por separado cada una de las fracciones.
EJEMPLOS
dx
xx
x
)3)(5(
23
dx
xxx
x
2110
4323
dx
xx
x
96
322
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
NTR
OLA
DA
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GRUPO 11 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES
INSTRUCCIONES: Resolver las integrales por método de fracciones parciales
1
dx
xx
x
5
322
11
dx
xx
x256
8
21
dx
xx
x
56
42
2
dx
xx
x
)1)(5(
2
12
dx
xx
x
127
42
22
dx
xx
x
)1)(5(
2
3
dx
xx
x
32
52
13
dx
xx
x
1452
23 )2)(4( xx
dx
4
dx
xx
x
54
22
14
dx
xx
x
962
24 dx
xx
x
107
32
5
dx
xx
x
)1)(3(
5
15
dx
x
x2)2(
3
25 dx
xx
x
158
32
6
dx
xx
x
168
42
16
dx
xx
x
1235
542
26
dx
xxx
x
2
423
7
dx
xx
x
209
272
17
dx
xx
x
712
92
27
dx
xxx
x
2
4723
2
8
dx
x
x
49
232
18
dx
xx
x
920
232
28
dx
xxx
x
)2)(7)(5(
23
9
dx
xx
x
44
132
19
dx
xx
x
6
1842
29
dx
xx
xx
16
1283653
2
10
dx
xx
x
103
132
20
dx
x
x
9
152
30
dx
xx
xx
9
27183
2
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
NTR
OLA
DA
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INTEGRAL DEFINIDA
Si una función f(x) está definida en un intervalo [a,b], entonces se habla de una integral definida. Para
el cálculo más sencillo de las integrales definidas es necesario el teorema fundamental del cálculo,
el cual indica que para calcularlas es necesario realizar la integral y posteriormente evaluar la integral
que se obtiene.
)()()( aFbFdxxf
b
a
EJEMPLOS RESUELTOS
Determinar el valor de la siguiente integral ∫ (𝑥 + 3)𝑑𝑥5
2
Solución
Realizamos la integral y obtenemos la diferencia de F(5) – F(2):
∫ (𝑥 + 3)𝑑𝑥5
2= |
𝑥2
2+ 3x| 5
2=
52
2+ 3(5) − (
22
2− 3(2)) =
39
2
Calcula la integral ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥𝜋/2
0
∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥𝜋/2
0= |− cos 𝑥| 𝜋/2
0
Evaluamos la función:
= -cos π/2 – (- cos 0) = 0 + 1
Se utiliza el ángulo en radianes.
Calcula la integral ∫ 𝑒𝑥5
1𝑑𝑥
∫ 𝑒𝑥5
1𝑑𝑥 = |𝑒𝑥| 5
1= 𝑒5 − 𝑒1 = 148.41 − 2.71 = 145.7
Calcular la integral ∫𝑑𝑥
𝑥
5
1
∫𝑑𝑥
𝑥
5
1= |ln|𝑥|| 5
1= ln 5 − ln 1 = 1.609
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
NTR
OLA
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EJEMPLOS
2
1
12 dxx
3
1
32 )2( dxxx
1
2
2 13 dxxx
2
4
3
dxsenx
1
0
2 43 dxxx
3
13
5dx
x
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
NTR
OLA
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GRUPO 12 INTEGRAL DEFINIDA INSTRUCCIONES: Resolver las integrales definidas.
1
2
1
2 5 dxx
11
dxxxx
1
1
23 )13(
21 dxsenx
0
2
2
2
1
2 dxxx
12
1
1
2 32 dxx 22
0
2
2)3(x
dx
3
4
2
48 dxx
13
2
2
223 dxx 23 dxx
0
3cos4
4
4
1
2 dxx
14
2
3
2 13 dxxx 24 dxxx
4
0
2 45
5
2
1
2 2 dxxx
15
5
0
22 dxx 25 dxx
x
0
1
2 4
64
6
2
0
22 dxx
16
10
1
12 dxx 26 dxxx
x
3
0)3)(4(
19
7
dxxx
2
1
2 294
17
4
2
2 82 dxxx 27 dxxx
0
cos
8
dxx9
0
4
18
6
23x
dx 28 dx
xx
x
3
5
2 )44(
9 6
2
3
4dx
x
19
2
1
2 )32( dxxx 29 dxxx
3
1
2 12
10
dxx
x
3
2
2 1
20
2
0
3)3( dxx 30 dxsenx
2
3
2
3
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
NTR
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ÁREA BAJO LA CURVA Y ENTRE DOS CURVAS
Una de las aplicaciones de la integral definida se encuentra en el cálculo de área bajo la curva o entre dos curvas. Para determinar el área bajo la curva de una función continua en un intervalo [a,b] se utiliza la expresión:
dxxfA
b
a
)( entonces )()( aFbFA
Para determinar el área entre dos funciones continuas f(x) y g(x) en un intervalo [a,b] se utiliza la
expresión
dxxgxfA
b
a
)]()([ una vez integrando )()( aFbFA
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
NTR
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GRUPO 13 ÁREA BAJO LA CURVA Y ENTRE DOS CURVAS
INSTRUCCIONES: Encuentra el área entre las curvas que se dan, utiliza algún software para poder graficar.
1. 3)( 3 xxf en el intervalo de [-1,3]
2. 2)( xxf en el intervalo de [-4,4]
3. 5)( xxf en el intervalo de [2,8]
4. 32)( 2 xxxf en el intervalo de [-1,3]
5. 56)( 2 xxxf en el intervalo de [-6,-2]
6. 78)( 2 xxxf en el intervalo de [4,10]
7. 1cos2)( xxf en el intervalo de ,0
8. 4)3()( 2 xxf en el intervalo de 6,2
9. 2)( xxf
y 1)( xf
10. 3)( 3 xxf en el intervalo de [-1,2]
11. 32)( 2 xxf y 5)( xf
12. 4)( 2 xxf y la línea xxf 2)(
13. 21)( xxf y la curva xxf 3)(
14. 24 xxy y el eje X.
15. xxxxf 86)( 23 y el eje X
16. 652 xxy y la recta y = 2x.
17. 32)( 2 xxxf y la recta y = x-3
18. 14)( 2 xxxf y la curva 7)( 2 xxg
19. 72)( 2 xxxf y la curva 5)( 2 xxf
20. 34)( senxxf en el intervalo ,0
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
NTR
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VOLUMEN DE SOLIDOS EN REVOLUCIÓN
Un volumen en revolución es un sólido que se crea al hacer girar una región plana alrededor de
un eje. Si se gira un triángulo rectángulo se forma un cono, por lo tanto se pueden generar un sin
número de volúmenes a partir de figuras planas.
En el cálculo de un volumen en revolución se utiliza el mismo concepto que en el cálculo de áreas.
A continuación se describe el método de discos que se representa con la siguiente expresión:
Rotación en eje horizontal
dxxfV
b
a
2])([
Rotación en eje vertical
dyyfV
d
c
2])([
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
NTR
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GRUPO 14 SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN
INSTRUCCIONES. Determina el volumen que se obtiene al hacer girar las siguientes funciones sobre
el eje indicado, para cada ejercicio es necesario que te apoyes de algún software y realices las
gráficas de las funciones que se dan..
1. y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje X al girar alrededor de este eje.
2. La parte de la parábola xy 122 , que intercepta la recta x = 3, al girar alrededor del eje Y
3. 22)( xxf y xy alrededor del eje X
4. 22 xxy y 2 xy . Al girar alrededor del eje X
5. 2)( xxf y xy alrededor del eje X
6. 24)( xxxf y 0 yx alrededor del eje X
7. 01786)( 2 yxxxf y 054 yx alrededor del eje X
8. 22)( xxf y 4y alrededor del eje X
9. 1622 yx y 0y 8y alrededor del eje Y
10. 22xy 1y 2y alrededor del eje Y
11. 22xy 1y 2y alrededor del eje Y
12. Alrededor del eje X 32 xy en el intervalo [4,8]
13. Alrededor del eje X xy 32 en el intervalo [2,5]
14. Alrededor del eje X 42 xy en el intervalo [-4,4]
15. Alrededor del eje Y 3 xy en el intervalo [3,7]
16. xy 0y 3y alrededor del eje X
17. xy 4 0y 4 xy alrededor del eje X
18. 2xy 0y 5y alrededor del eje Y
19. 2xy 24 xy alrededor del eje Y
20. xy ln xy 5 0y alrededor del eje X
CO
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RE
SA
NO
CO
NTR
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APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN FISICA
En las aplicaciones de física recordemos que dada una función a(t) que define la función de
aceleración de un objeto se tiene que :
dttatv )()(
Donde la velocidad se define como la integral de la aceleración de un objeto
dttvts )()(
Donde la posición se define como la integral de la velocidad de un objeto
EJEMPLOS
La aceleración de un objeto está dada por 452)( 2 ttta m/seg.
a) Determina la velocidad del objeto cuando han pasado 8seg considera v(3) =4
b) La posición cuando han pasado 6 seg considera x(2)= 5
CO
PIA
IMP
RE
SA
NO
CO
NTR
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GRUPO 15 APLICACIONES EN FÍSICA
INSTRUCCIONES. Resuelve cada uno de los siguientes planteamientos utilizando integrales.
1. La velocidad de un objeto está dada por tttv 73)( 2 m/seg.; encontrar su ecuación de posición. Considera que el x (3) = 65m.
2. La aceleración de un objeto está dada por ttta 473)( 2 m/seg.2; utiliza la integral para encontrar su ecuación de velocidad. Considera que v (3) = 7 m/seg.
3. La aceleración de un objeto está dada por 23)( 2 ttta m/seg. c) Determina la velocidad del objeto cuando han pasado 8seg considera v(2) =6 d) La posición cuando han pasado 6 seg considera x(1)= 3
4. La aceleración de un objeto está dada por t
ttta
3
127)(
2
m/seg.2; utiliza la integral para encontrar su ecuación de velocidad. Considera que v (4) = 9 m/seg.
5. La ecuación de la aceleración de una partícula en movimiento está definida con la siguiente
función 126)( tta en donde a se mide en m/s2 y t en segundos. Si v(2)= 4m/seg y s(0) = 1,
determina: a) La ecuación de la función velocidad b) La velocidad de la partícula a los 3 segundos. c) La ecuación de la función posición de la partícula d) La posición después de 3 segundos.
CO
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