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SISTEMA DE

GESTIÓN DE

LA CALIDAD

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PLANEACION DIDACTICA DOCENTES FEPD-004

V 06 ELABORACIÓN DE PLANEACION DIDÁCTICA PP-PPA-EPD-06

PQ-ESMP-05

Querétaro

Identificación

Asignatura/submódulo: CÁLCULO INTEGRAL Plantel : QUERÉTARO

Profesor (es): Ing. Angélica Vidales Rangel, Martín Vásquez Labrada, David Calderón Rivera

Periodo Escolar: AGOSTO-DICIEMBRE 2017

Academia/ Módulo: MATEMÁTICAS

Semestre: QUINTO

Horas/semana: 5

Competencias: Disciplinares ( X ) Profesionales ( ) 5 Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias Genéricas:

8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de

distintos equipos de trabajo.

Resultado de Aprendizaje: Que el estudiante analice e interprete la relaciones entre las variables de problemas de la vida cotidiana

relacionados con áreas, volúmenes, etc., que impliquen variaciones en procesos infinitos y los resuelva aplicando

el teorema fundamental del cálculo.

Tema Integrador: Uso de la tecnología utilizando software para elaborar gráficas y conocer sus comportamientos en cuanto al análisis de área y volumen

Competencias a aplicar por el docente (según acuerdo 447): 1.Organiza su información continua a lo largo de su trayectoria profesional 2. Domina y estructura saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo. 3 Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios. 4 Lleva a la práctica los procesos de enseñanza y aprendizaje de manera efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional. 5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque formativo.

6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo

Dimensiones de la Competencia

Conceptual: Interpreta:

• Las aproximaciones, fórmulas de anti diferenciación, las integrales inmediatas, integración por sustitución, por partes, fracciones parciales.

Define:

• Antiderivada, integrales inmediatas.

Procedimental: Calcula:

• Aproximaciones, antiderivada, integrales inmediatas, la integración por sustitución, por partes, fracciones parciales, áreas bajo la curva.

• Aplica el cálculo integral para resolver problemas relacionados con otras disciplinas

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• Integral definida

• Integrales de funciones trascendentes: trigonométricas, racionales, por partes y aplicaciones de la integral.

Investiga

Trabaja en equipo

Practica la lectura

Actitudinal: Se relaciona respetuosamente con la comunidad escolar y practica el autorespeto. Limpieza: Realiza con pulcritud su trabajo Responsabilidad: Entrega el trabajo en fechas indicadas y apegado a los requerimientos Se compromete con el trabajo en equipo y se ajusta a los principios filosóficos del trabajo colaborativo.

Actividades de Aprendizaje

Tiempo Programado: 75 Horas Tiempo Real:

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Fase I Apertura

Competencias a desarrollar (habilidad,

conocimiento y actitud)

Actividad / Transversalidad

Producto de Aprendizaje

Ponderación Actividad que realiza

el docente (Enseñanza)

No. de sesiones

Actividad que realiza el alumno

(Aprendizaje)

El material didáctico a

utilizar en cada clase.

8.2 Aporta puntos

de vista con

apertura y

considera los de

otras personas de

manera reflexiva.

8.3 Asume una

actitud

constructiva,

congruente con

los conocimientos

y habilidades con

los que cuenta

dentro de

distintos equipos

de trabajo.

1Presenta competencias a desarrollar, objetivos de aprendizaje y forma de trabajo. 1 sesión

Toma notas de la forma de trabajo

Planeación Cuaderno de apuntes

Apuntes NA

2 Explica y guía la actividad CONSTRUYE-T Alcanzar mis metas Ficha 51 1 sesión

Atiende las indicaciones del profesor y participa en la actividad propuesta

Material que indique la ficha de aplicación

Preguntas contestadas en cuaderno

NA

3 Comenta la importancia de la lectura y proporciona a los estudiantes la lectura a realizar en el parcial 1 sesión

Atiende a la indicación del profesor y elabora el reporte de lectura

Lectura en material didáctico

Reporte de lectura escrito a mano

5%

4 Realiza evaluación diagnostica para detectar conocimientos previos. 1 Sesión

Responde al examen de evaluación diagnóstica

Examen Examen resuelto

NA

5 Da la retroalimentación de la evaluación diagnóstica. 1 sesión

Toma en cuenta la retroalimentación y realiza las correcciones pertinentes en su examen

Examen calificado Correcciones de examen

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Fase II Desarrollo



Actividad/ transversalidad




No. de sesiones


(Aprendizaje)



8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. DISCIPLINARES 5 Analiza la relación entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

1 Pide al alumno realizar una investigación electrónica en fuentes de información confiable: leyes de exponentes, binomos, factorización 1 sesión

Realiza investigación de conceptos de los temas que se piden

Páginas de internet recomendada o videos

Reporte de investigación escrita

5%

2 A través de la lluvia de ideas hace la revisión de los temas que se investigaron 1 sesión

Participa en la lluvia de ideas de acuerdo a la información que se investigó para poder determinar los conceptos de geometría

Pizarrón plumones, cuaderno de apuntes

Apunte en el cuaderno

NA

3 De acuerdo con los conceptos explica algunos temas de álgebra elementales para cálculo 1 sesión

Toma nota de los diversos tipos de sucesiones.



NA

4 Forma equipos de trabajo y pide resolver los ejercicios los grupos1,2 y 3 2 sesiones

En equipos resuelven los problemas propuestos

Material didáctico

Ejercicios resueltos en el cuaderno

5 %

5 Pide al alumno investigar y elaborar un formulario de derivadas 1 sesión

Realiza la investigación y elabora formulario

Bibliografía recomendada


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6. Realiza una plenaria para poder recordar el tema de derivadas 1 sesión

Participa en la lluvia de ideas y toma apuntes

Investigación, plumones, pizarrón

Apuntes en el cuaderno

NA

7. Indica al alumno resolver por parejas los ejercicios del grupo 4 1 sesión

En parejas realiza la actividad propuesta

Material didáctico


10%

8 Proporciona el examen. 1 sesión

Contesta el examen que se proporcionó

Examen escrito

Examen contestado pegado en el cuaderno

30%

9 Realiza la retroalimentación de la evaluación 1 sesión

Toma las notas necesarias para saber lo que tiene que mejorar

Pizarrón, Plumones


NA

10 Mediante la exposición explica el concepto de diferencial 1 sesiones

Toma apuntes del tema

Pizarrón Plumones Internet cañón computadora


NA

11 Proporciona al alumno los ejercicios del grupo 5: diferencial 1 sesión

Resuelve la actividad asignada

Material didáctico


5%

12 Explica el concepto de antiderivada 1 sesión

Toma apuntes del tema

Pizarrón Plumones Internet cañón computadora


NA

13 Proporciona al alumno los ejercicios del grupo 6: antiderivadas. 2 sesiones

De forma individual responde los ejercicios de la actividad asignada

Material didáctico


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14 Pide al alumno investigar el concepto de integral

1 sesión

Realiza investigación de integral

Bibliografía sugerida o internet

Investigación en cuaderno

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15 En plenaria explica el tema de integrales básicas 1 sesión

Toma nota (video o fotos) de la explicación del tema



NA

16 Proporciona el material y guía al alumno para realizar los ejercicios del grupo 7: integrales 1 sesión

De forma individual resuelve las actividades que se asignan

Material didáctico


5%



Examen escrito


30%

18 El docente realiza la revisión de las actividades del parcial y exámenes 1 sesión

Recibe la evaluación correspondiente al parcial

Actividades realizadas y exámenes

Calificación NA

SEGUNDO PARCIAL

19 Proporciona al alumno el material para realizar la lectura y reporte 1 sesión




5%

20 Pide al alumno elaborar investigación de los integración de funciones trascendentes y elaborar un formulario 1 sesión

Investiga en fuentes de información confiables

Fuentes bibliográficas o internet

Formulario NA

21 Explica diversos ejemplos de funciones trascendentes 1 sesión

Atiende a la explicación, toma apunte, fotos o video de la explicación

Pizarrón Plumones software, internet, cañón computadora


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22 Proporciona a los alumnos el material para realizar los ejercicios del grupo 8. 2 sesiones

Resuelve en equipos de 3 los ejercicios propuestos en el material didáctico

Material didáctico

Ejercicios resueltos

10%



Examen escrito


15%



Pizarrón, Plumones


NA

25 A través de la exposición se explica el tema de integración por sustitución o cambio de variable 2 sesiones




NA

26 Proporciona a los alumnos el material para realizar ejercicios del grupo 9: integrales por sustitución 2 sesiones

De manera individual resuelve los ejercicios del grupo indicado

Material didáctico


5%



Examen escrito


15%



Pizarrón, Plumones


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29 A través de ejemplos explica la integración por partes 2 sesiones




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30 Da indicaciones al alumno para que en equipos de 3 personas se resuelvan los ejercicios del grupo 10 2 sesiones

En equipos resuelve los ejercicios del grupo indicado.

Material didáctico


10%



Examen escrito


15%



Pizarrón, Plumones


NA

33 A través de la exposición se explica el tema integración por fracciones parciales 2 sesiones




NA

34 Da indicaciones al alumno para que en equipos de 3 personas se resuelvan los ejercicios del grupo 10 2 sesiones

En equipos resuelve los ejercicios del grupo indicado.

Material didáctico


10%



Examen escrito


15%

36 El docente realiza la revisión de las actividades del parcial y exámenes 1 sesión



Calificación

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TERCER PARCIAL

37 Proporciona material para lectura que se va a realizar. 1 sesión




5%

38 Pide en equipos realizar una investigación a cerca de los diversas aplicaciones de la integral 1 sesiones

Realiza investigación de las aplicaciones de la integral y concepto de integral definida

Bibliografía, páginas de internet recomendada, videos

Reporte de investigación escrita

NA

39 En plenaria se hablan de las diversas aplicaciones del cálculo y se explica el concepto integral definida 2 sesiones


Pizarrón, Plumones


NA

40 Pide dar solución a los ejercicios del grupo 12 en parejas 1 sesión

En parejas resuelve los ejercicios propuestos

Material didáctico


5%

41 Explica con ayuda de software el área entre dos curvas 2 sesiones




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42 Pide dar solución a los ejercicios del grupo 13 en parejas 1 sesión

En parejas resuelve los ejercicios propuestos

Material didáctico


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Examen escrito


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Pizarrón, Plumones


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45 Explica con ayuda de software los sólidos en revolución 2 sesiones




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46 Proporciona a los alumnos el material para realizar los ejercicios del grupo 14 2 sesiones

Resuelve en parejas los ejercicios propuestos en el material didáctico

Material didáctico software


10%



Examen escrito


30%



Pizarrón, Plumones


NA

49 A través de varios ejemplos explica las aplicaciones de la integral en física. 2 sesiones




NA

50 Proporciona a los alumnos el material para realizar los ejercicios del grupo 15 1 sesión

Resuelve los ejercicios propuestos en el material didáctico

Material didáctico


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Fase III Cierre



Actividad/transversalidad




No. de sesiones


(Aprendizaje)



1.- En equipos de máximo 3 personas recopilar conocimientos previos de los 3 parciales en donde van a reconocer elementos de la Integral definida. Elaborar el diseño y operaciones en donde plasmarán los cálculos de cuánta pintura se utilizará para una rampa de skate. Referencia bibliografica. 1. cincinato.org/rollers/planos-de-skate-parks.php. 2. documentos.arq.com.mx. 3. http://garciawall.wordpress.cpm/category/diseno-de-rampas/ Autoevaluacion- Heteroevaluación. 2 El docente realiza la revisión de las actividades del parcial y exámenes



Calificación NA

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1 sesión

3 Realiza una retroalimentación del curso en general y hace la revisión del cumplimiento de competencias 1 sesión

Participa en la retroalimentación comentando los puntos que le parecieron importantes.

Actividades realizadas.

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Se cumplieron las actividades programadas: SI ( ) NO ( )

Registra los cambios realizados:

*EN CASO DE REALIZAR CAMBIOS VER REGISTRO DE LOS MISMOS EN ANEXO*

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Elementos de Apoyo (Recursos)

Equipo de apoyo Bibliografía

▪ Proyector ▪ Calculadora ▪ Computadora ▪ Formulario Material ▪ Cartulinas ▪ Colores ▪ Escuadras ▪ Material impreso. (Libros de texto, cuadernillos de

apuntes, copias y ejercicios). ▪ Software para graficar.

Malditas matemáticas www.librosmaravillosos.com Carlo Frabetti

Salazar L.;Bahena H.; Vega F. (2007) Cálculo integral. México

Conamat. Matemáticas simplificadas. México: PEARSON

Sánchez O.;García R.; Pérez S.E,;et al, (2016) Cálculo Integral Bachillerato Tecnológico. México. KeepReading

www.symbolab.com https://www.youtube.com/watch?v=6Px CKZR8sO

Evaluación

Criterios: Examen de conocimientos 60% Productos 40%

Instrumento: Escala estimativa para problemarios Lista de cotejo para reporte de lectura Exámenes

Porcentaje de aprobación a lograr: 85%

Fecha de validación: 09/08/17

Fecha de Vo. Bo de Servicios Docentes. 07/08/17

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ANEXOS PRIMER PARCIAL

Docente:

EJERCICIO DIAGNÓSTICO CÁLCULO INTEGRAL FECHA:

SEMESTRE Y

ESPECIALIDAD: ACIERTOS:

ALUMNO: (Apellido, Nombre)

CALIFICACIÓN:

1. ¿Puedes trazar cuatro líneas rectas, sin levantar la punta del lápiz del papel, que pasen por los

nueve puntos de la ilustración?

2. ¿Con cuánta rapidez puedes multiplicar estos números? y ¿cuál es el resultado?

256 x 3 x 45 x 3961 x 77 x 488 x 2809 x 0

3.- Completa la siguiente multiplicación :

4 □

X □ 3

□ □ □

□ □

5 □ 8

4.- Dada la siguiente fracción 24

56 , encontrar la fracción equivalente:

a) 3

7

b) 2

7

c) 2

3

d) 1

3

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5.- El resultado de la operación (2

3) (

9

5) (

5

4) 𝑒𝑠 ∶

a) 24

54

b) 2

3

c) 3

2

d) 108

50

6.-Si sustituimos ⃝ por 6 y Δ por 8, ¿cuánto vale ⃝ + ⃝ x Δ ? ……

a) 36

b) 48

c) 54

d) 96

7.- Un tinaco de 6,000 litros se puede llenar usando las llaves A, B o C. Trabajando solas, la llave A

lo llena en 5 horas, la llave B en 6 horas y la llave C en 30 horas. Si se ponen a trabajar juntas las

tres llaves, ¿qué cantidad de litros de agua habrá en el tinaco asadas 2 horas?

a) 2,000

b) 2,240

c) 2,400

d) 4,800

8.- Un panadero desea dividir una pieza de pan que mide 88 x 72 x 16 cm en cubos del mayor

tamaño posible sin desperdiciar pan. ¿Cuántos centímetros deben medir los lados de cada pieza?

a) 2

b) 4

c) 8

d) 16

9.- Se necesita empacar latas de alimentos en cajas rectangulares; sus formas y medidas se

muestran en la siguiente figura:

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Si se considera a π = 3.14 y 1 pulgada = 2.5 cm, ¿cuántas latas caben en cada caja si estas se

llenan a su máxima capacidad?

a) 20 a 30

b) 160 a 170

c) 480 a 490

d) 610 a 620

10.- Relaciona las columnas y escribe en los paréntesis el inciso que corresponda a cada definición

o expresión algebraica o trigonométrica. A terminar, comparte tus respuestas con el grupo

( ) Ecuación de una hipérbola a) Tangente

( ) ax2 + bx + c = 0 b) 𝑥2

𝑏2 +𝑦2

𝑎2 = 1

( ) Si a ≠ b, entonces … c) Coseno

( ) 𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝐴=

𝑏

𝑠𝑒𝑛 𝐵=

𝑐

𝑠𝑒𝑛 𝐶 d) a2 + b2 = c2

( ) Teorema de Pitágoras e) 𝑎 > 𝑏 o a< 𝑏

( ) Ecuación de una circunferencia con centro en el origen

f) Ecuación general

( ) Ecuación de una elipse g) ley de senos

( ) 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 h) x2 + y2 = r2

i) Máximo local

k) ley de cosenos

11.- Deriva lo siguiente:

11.1) 𝑑

𝑑𝑚 (𝑎 +

𝑥3

𝑏) =

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11.2) 𝑑

𝑑𝛽√1 − 2𝛽3 =

11.3) 𝑑

𝑑𝑥(𝑥8) =

11.4 ) 𝑑

𝑑𝑠( 𝑠3 − 9)7 =

11.5) y = 1- 3x

LECTURA PARA ELABOARAR REPORTE 1.

APLICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS EN LA VIDA COTIDIANA Ramón Garduño Juárez

Instituto de Ciencias Físicas UNAM Los resultados de la evaluación 2012 de los exámenes del Programa para la Evaluación Internacional o PSA, patrocinado por la Organización para la Cooperación y Desarrollos Económicos (OCDE) muestran que México ocupó el lugar 53 de 65 países evaluados. Por medio de este examen, la OCDE intenta evaluar el conocimiento y habilidades de los alumnos con edades de 15 años en el mundo. Más de 510,000 estudiantes de 65 países tomaron el examen que cubrió matemáticas, lectura, y ciencia, con un enfoque principal en las matemáticas. Los resultados reflejan cuales sistemas educativos se desempeñan mejor y cuales mejoran más rápido.

Después de haber leído esta noticia me pregunté si habría alguna forma de mejorar la enseñanza de las matemáticas en México, además de eliminar el miedo que provoca su aprendizaje, y recordé la película llamada “Con ganas de triunfar”. Esta película es la historia biográfica real de un profesor de preparatoria en Los Ángeles, California de nombre Jaime Escalante Gutiérrez que ayudo a 18 estudiantes de origen mexicano para que aprobaran el examen de colocación en matemática requerido para su ingreso a la universidad, a pesar de que al principio muchos de ellos no tenían la menor idea de los principios fundamentales como la multiplicación de fracciones. Esta película demuestra que con ganas jamás habrá imposibles., En uno de los diálogos podemos escuchar que Jaime Escalante se dirige a sus estudiantes diciendo: “ No hay viajes gratis y no hay excusas. Ustedes ya tienen varios hechos en su contra. Su nombre y so complexión. Debido a esto, hay mucha gente en este mundo que supone que saben menos de lo que aparentan. Las matemáticas son igualitarias… Cuando van a buscar un empleo, la persona que les dará ese empleo no quiere escuchar cuáles son sus problemas, y tampoco yo… Esa persona no quiere escuchar lo que saben.” En otro diálogo les dice: “¿Sabían ustedes que ni los griegos ni los romanos fueron capaces de usar el concepto del cero? Fueron sus ancestros, los mayas, los que definieron el valor del cero. La ausencia de valor… De verdad, burros, ¡las matemáticas están en su sangre!”

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Con esta frase en la mente decidí escribir estas líneas acerca de la importancia de las matemáticas en la vida diaria, con el afán de convencer a los lectores de perder el miedo a aprender matemáticas. Desafortunadamente, muy poca gente sabe de la a gran importancia que tienen los métodos matemáticos por su aplicación a otros campos del saber, tanto científicos como populares. Así, no es fácil darse cuenta de que acciones cotidianas como extraer dinero de un cajero automático, sacar un billete de metro o comprar una bebida en una máquina expendedora no serían posibles si no hubiese detrás un soporte matemático que facilitara su diseño y uso. Las aplicaciones matemáticas influyen en todos los campos de la vida, entre los cuales podemos mencionar al periodismo, la publicidad, la política, las ciencias biológicas, economía y música. Periodismo En el periodismo con mucha frecuencia se utilizan estadísticas y porcentajes para avalar una noticia o para obtener toda la información de ésta antes de hacerla pública. Podemos presenciar esto en cualquier informativo, periódico, o internet, ya que suele ser un forma muy eficaz y clara de mostrar la idea que quiere transmitir. Muchas veces este ejercicio no es del todo correcto ya que depende de la calidad moral de los editores. En televisión también se utilizan los principios de geometría y manejo del espacio, por ejemplo en diseño de escenarios, perspectiva y en el cálculo del tiempo por toma o por guion Publicidad En la mercadotecnia es imprescindible hacer estudios ante de sacar a la venta algún producto determinado o la hora de intentar venderlo. Con estos estudios estadísticos se logra descubrir que clase de público es más propenso a la compra del producto para así poder enfocar las campañas publicitarias. Los estudios estadísticos pertinentes garantizan el éxito de las campañas, ya que permiten minimizar los riesgos. Para conseguir avales es indispensable defender la inversión mediante datos estadísticos. También se tiene que analizar las estadísticas para calcular los presupuestaos que se deben gastar en una campaña de marketing o de un estudio del producto. Política Desde el inicio de una campaña política hasta la formación de un gobierno es vital la utilización de estudios estadísticos. Las campañas políticas son estudiadas para entender el tipo de público hacia el que hay que enfocarlas y cómo enfocarlas. Las matemáticas influyen sobre la toma de decisiones gubernamentales. Sus posibles consecuencias son analizadas mediante estadísticas con el fin de evitar los posibles contratiempos. En ciencias políticas, la estadística permite representar de una forma ordenada y organizada mucha información que analiza profundamente para tomar decisiones acordes a la realidad del país. Además es imprescindible para reconocer las futuras tendencias de los ciudadanos. La estadística es uno de los recursos matemáticos que más aparecen en sectores como el periodismo, la publicidad o política.

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Ciencias Biológicas Las matemáticas han resultado especialmente útiles en la Biología. La enorme complejidad que caracteriza a los sistemas biológicos había sido un freno para expresar las leyes que rigen su comportamiento como se hace con sistemas físicos y químicos. Sin embargo, la aparición de ordenadores y maquinaria computarizada han permitido estudiar muchísimos procesos biológicos. En la actualidad, los estudios de procesos dinámicos biológicos mediante técnicas físico-matemáticas están muy extendidos y abarcan todas las áreas de la biología. Desde esta perspectiva, líneas de investigación prometedoras se realizan en campos tan diversos como la respuesta inmune, las interacciones genéticas en el desarrollo temprano, los ritmos circadianos, la regulación metabólica, la quimiotaxis, las pauta epidérmicas, la evolución prebiótica, las estructuras biomoleculares, las dinámicas de poblaciones y ecosistemas, las redes catalíticas, la diferenciación celular y la morfogénesis, la autorregulación genética, los ritmos fisiológicos, la actividad cerebral, las correlaciones existentes en las bases neucleotídicas del ADN Incluso en la ecología las matemáticas están presentes Los modelos matemáticos nos permiten evaluar el comportamiento de presas y depredadores, o bien modelar varios atributos de una especie y el papel que ésta juega para mantener un equilibrio sustentable, de tal manera que se puedan encontrar, por ejemplo las características que prevalecerán en el futuro evolutivo de las especies de una selva. Economía En la economía es imprescindible el cálculo delos máximos y mínimos de las gráficas que representen las rentas, precios o costos para destilar su información. Podemos utilizar el cálculo de la rentabilidad de bienes a través de sus costes, los cuales no deben ser superiores a los presupuestos. En la Bolsa de Valores, los precios pueden subir y bajar aleatoriamente, resultando muy difícil su predicción, pero sus cambios pueden describirse fácilmente mediante las variaciones porcentuales se pueden relacionar daros como flujos o valores en un mes, un trimestre o un año con los correspondientes a meses, trimestres o años anteriores, como por ejemplo, los cambios del producto interno bruto. Son de gran utilidad las funciones y sus representaciones gráficas muy utilizadas por los economistas por ser elementos visuales rápidos y sencillos de entender.

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ACTIVIDAD CONSTRUYE-T ACTIVIDAD: “Alcanzar mis metas” FICHA: 51 Recuperado de: file:///C:/Users/Angelica/Downloads/51_Alcanzar_mis_metas_1_1.3_1.3.8_do_e_1.pdf

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RÚBRICA GLOBAL CÁLCULO INTEGRAL PRIMER PARCIAL

NOMBRE:________________________________________________ GRUPO:________________

DOCENTE:________________________________________________

ACT/FASE 10-9% 8-7% 6-4% 3-0% %

APERTURA

Reporte de

lectura

a)El reporte tiene el cuadro de identificación completo

b) La redacción del reporte es adecuada

c) El reporte presenta claramente introducción, desarrollo y conclusión

d) El reporte se entrega limpio, sin errores y sin faltas de ortografía

a) Falta un dato en el cuadro de identificación

b) La redacción del reporte no es muy coherente

c) El reporte presenta introducción, desarrollo y conclusión

d) El reporte no está muy limpio, y tiene 1 falta de ortografía

a)Faltan dos datos en el cuadro de identificación

b) La redacción del reporte es buena sólo en algunos párrafos

c) El reporte presenta de forma poco clara introducción, desarrollo y conclusión

d) La investigación se entrega limpia , con algunos errores y algunas faltas de ortografía

a)No tiene el cuadro de identificación

b) La redacción del reporte no es coherente

c) El reporte presenta no presenta introducción, desarrollo y conclusión

d) El reporte no se entrega limpia, tiene muchos errores y faltas de ortografía

Práctica de

Ejercicios

La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.

b)Se entregan de forma clara, organizados y en tiempo

La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo

La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia pero sin representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados parcialmente y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan de forma no muy clara desorganizados y fuera de tiempo.

La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto. La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.

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Práctica de

Ejercicios






Problemario La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto. La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.





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Práctica de

ejercicios

La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto.

La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos desarrollados y sin errores matemáticos significativos.


La forma en que resolvió los ejercicios demuestra total entendimiento del concepto.

La respuesta evidencia la estrategia coherente con representaciones adecuadas, procedimientos parcialmente desarrollados y con algunos errores matemáticos significativos. b)Se entregan de forma clara, poco organizados y en tiempo


La forma en que resolvió los ejercicios no demuestra entendimiento del concepto.

La respuesta evidencia una falta de estrategia con representaciones inadecuadas, sin procedimientos y con errores matemáticos significativos. b) Se entregan sin claridad desorganizados y fuera de tiempo.

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EXAMENES

ACT/FASE 10-9% 8-7% 6-4% 3-0% %

DESARROLLO

1er examen

Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible

Más del 70% y menos del 90% del examen resuelto con proceso de solución legible


Menos del 30% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible

2 examen





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SEGUNDO PARCIAL

LECTURA

MATEMÁTICAS PARA LA VIDA COTIDIANA

Teresa Guerrero Madrid

La contratación de matemáticos en empresas muy diversas está en auge. Sus

conocimientos se aplican en campos como la gestión de datos, la seguridad, la medicina,

la meteorología o el espacio.

En la película Una mente maravillosa, el brillante matemático estadounidense John Nash

(interpretado por Russell Crowe) está en un bar con sus compañeros de la Universidad

de Princeton cuando se le ocurre un plan para intentar ligar con un grupo de chicas entre

las que destaca una rubia que llama la atención de todos ellos. La estrategia que traza e

matemática aplicada pura. Está basada en la denominada teoría de juegos, un área que

permite estudiar y predecir el comportamiento de los individuos involucrados en una

situación a partir de las interacciones entre ellos, sus estrategias y los conflictos de

interés. El propio Nash, galardonado con el Premio Nobel de Economía en 1994,

contribuyó decisivamente a esta rama de las matemáticas con sus investigaciones.

La teoría de los juegos fue desarrollada inicialmente como una herramienta para ayudar a

comprender aspectos relacionados con la economía, pero sus usos se han ido

extendiendo a otros campos, como la psicología, biología o sociología. ES por ello un

ejemplo de cómo las matemáticas, que siempre han servido para explicar y comprender

el mundo, están siendo aplicadas a infinidad de área y cada vez tienen un mayor peso en

la economía. Los matemáticos, que tradicionalmente no solían tener mucho contacto con

la realidad, forman parte de plantillas de empresas muy diversas.

Hace años que los matemáticos trabajan conjuntamente con médicos en hospitales para

desarrollar modelos que permitan predecir cómo se desarrollan las células madre o cómo

se produce un tumor. Según señala De León, está área se encuentra ahora en pleno

desarrollo. “El modelo matemático te da herramientas para combatir el tumor porque te

dice cómo se desarrolla” explica Philio Maini, uno de los expertos invitados, estudia los

tumores cancerígenos (su crecimiento y curación) y los patrones de formación del

desarrollo temprano de embriones.

El español Diego Córdoba, por su parte, es investigador teórico y a través de sus

estudios para describir la dinámica de los fluidos, intenta predecir cómo se mueven las

olas del mar o los frentes de aires. Uno de sus objetivos es predecir el comportamiento

de un temporal o cuando se va a producir un tornado.

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Pero los matemáticos no sólo son contratados por sus conocimientos en su área, sino por

su estructura mental: “la carrera de matemáticas entrena el cerebro para resolver

problemas”, señala Córdoba, afirma que empresas de ámbitos diversos valoran su

capacidad de organización y para plantear diversas formas de resolver un problema.

La minería de datos es el campo con más salidas para los matemáticos, capaces de

gestionarlos e interpretarlos: “Lo que las empresas quieren ahora es un big data” dice

Manuel de León. “En los últimos años han surgido muchas formas de generar millones y

millones datos. Pero en bruto no sirven de nada. Hay que tratarlos, hurgar en ellos para

buscar patrones y extraer la información interesante”, señala.

La seguridad de esos datos es una manera de las grandes preocupaciones: “La Agencia

Nacional de Seguridad de EEUU (NSA) presume de ser la primera contratadora de

matemáticos en el país”, afirma De León, que recuerda que “de la misma forma que hay

gente que crea seguridad, hay personas que trabajan para romperla”. Son muchas las

conclusiones que se pueden extraer del análisis de los datos que vamos dejando en

servicios o redes sociales, por lo que pese a las ventajas que tienen, considera que los

ciudadanos deberíamos ser más cautos con lo que compartimos con los demás.

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RÚBRICA GLOBAL CÁLCULO INTEGRAL SEGUNDO PARCIAL

NOMBRE:________________________________________________ GRUPO:________________

DOCENTE:________________________________________________

ACT/FASE 10-9% 8-7% 6-4% 3-0% %

APERTURA

Reporte de

lectura









a)Faltan dos datos en el cuadro de identificación b) La redacción del reporte es buena sólo en algunos párrafos c) El reporte presenta de forma poco clara introducción, desarrollo y conclusión d) La investigación se entrega limpia , con algunos errores y algunas faltas de ortografía





Práctica de

Ejercicios






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Práctica de

ejercicios






Actividad

Academia Nal.

a)Comprende la situación que va a resolver y contesta todas las preguntas propuestas b) Establece un plan de acción adecuado y contesta las preguntas propuestas adecuadamente c)Ejecuta el plan de acción, y realiza todas las operaciones de forma adecuada d) Reflexiona la solución y argumenta lo aprendido adecuadamente e) Entrega el trabajo en tiempo y con todos los requisitos establecidos f) Entrega el trabajo con orden y limpieza

a)Comprende la situación que va a resolver y contesta la mayoría de las preguntas propuestas b) Establece un plan de acción pero falta contestar alguna de las preguntas. c)Ejecuta el plan de acción, y realiza casi todas las operaciones de forma adecuada d) Reflexiona la solución y hay poca claridad en la argumentación de lo aprendido e) Entrega el trabajo en tiempo y con casi todos los requisitos establecidos f) Entrega el trabajo con orden y poca limpieza

a)Comprende la situación que va a resolver y contesta casi todas las preguntas propuestas b) Establece un plan de acción y no contesta las preguntas que se proponen c)Ejecuta el plan de acción, y realiza algunas de las operaciones de forma adecuada d) Reflexiona la solución y no argumenta lo aprendido adecuadamente e) Entrega el trabajo en tiempo faltan algunos requisitos establecidos f) Entrega el trabajo poco orden y poca limpieza

a)Comprende poco de la situación que va a resolver y contesta todas las preguntas inadecuadamente b) Establece un plan de acción poco adecuado y no contesta las preguntas propuestas adecuadamente c)No ejecuta el plan de acción, ni realiza todas las operaciones necesarias d) No reflexiona la situación y la conclusión de aprendizaje no es adecuada. e) Entrega el trabajo en tiempo y con todos los requisitos establecidos f) Entrega el trabajo desorden y sucio

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EXAMENES

ACT/FASE 10-9% 8-7% 6-4% 3-0% %

DESARROLLO

1er examen





2do examen Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible




3er examen Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible




4to examen Más del 90% del examen resuelto correctamente con proceso de solución legible




TOTAL

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TERCER PARCIAL

LECTURA

EL CLUB DE LA SEÑORA MATEMÁTICA Javier Rodrigo Hitos

Como de costumbre, el trajín en el club de la señora Matemática era infernal. Un sinfín de

discípulos de la señora se hacinaba en las distintas salas concéntricas que conformaban

el club, afanándose en modelar el material que les llegaba para fabricar ejemplos, crear

teorías, demostrar conjeturas,… La señora Matemática gestionaba el club desde tiempo

inmemorial. Ni todos sus discípulos juntos hubieran podido calcular su edad. Aunque

algunos de ellos llevaban mucho tiempo con ella, ninguno sabía cuál era su verdadero

nombre. Casi todos la llamaban la señora Matemática, aunque para algunos era

simplemente la señora. Los más cariñosos la llamaban “la mamma”, aunque nunca faltaba

quien se refería a ella como “la gran putana”.

Aunque todos la consideraban como el auténtico motor del club, la señora Matemática no

se dejaba ver mucho por él. Ella prefería delegar el trabajo sucio en su discípulo más fiel,

aunque no el más aventajado: Sal Sal era el encargado de la puerta. Su misión era recibir

a todas las funciones, conjuntos, espacios, … que se acercaban al club, y asignarles sala.

No solía rechazar a nadie, su lema era: “Todo es aprovechable para la señora

Matemática. Lo que no es suficientemente suave y armonioso para demostrar teoremas,

es suficientemente patológico para buscar contraejemplos”. Ya se encargarán los

discípulos de las salas, por desgracia con más talento que yo, de buscar utilidad a lo que

les mando, solía añadir. Ese día, el flujo en el club era particularmente intenso, lo que

estaba llevando a Sal al borde del colapso.

Aún así aguantaba a pie firme sin perder la compostura, haciendo gala de su gran

profesionalidad. Observémosle trabajar: - Identifíquese - Función - Descríbase - Tengo un

salto en un punto, pero soy perfectamente integrable, no se vaya usted a creer. - Eso ya

lo valoraré yo, no me maree, señora. No concentrará toda la energía en un punto, ¿no?

No será por casualidad doña Delta de Dirac… - ¡No por favor, mi salto es finito! ¡No me

confunda! He oído rumores de que la tal Delta ni siquiera es función. Yo soy una función

integrable Lebesgue, Riemann y todo lo que me echen. - Sí, pero no es continua. Anda,

vaya a la segunda sala: funciones integrables pero no continuas. ¡Eh!, ahí no entre. Le he

dicho la segunda. Con salto no se puede entrar en la tercera, no se empeñe. Reservada

para las continuas, ya sabe. A ver, siguiente, identifíquese. - Función - Descríbase - Yo

soy absolutamente derivable en absolutamente todos mis puntos. - Absolutamente,

absolutamente… A ver si va a ser el valor absoluto. Vuélvase que le vea. Siempre me

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quieren engañar, tiene usted un pico en el cero. Pase a la tercera, funciones continuas

pero no derivables. Ni se le ocurra pasar más adentro, ó suave, suave le echo a la calle.

¿Quién va ahora? - Función. Yo tengo saltos en todos los puntos, ahora cero, ahora uno,

ahora cero, ahora uno. Creo que no soy nada, ni siquiera integrable. No soy nadie, ahora

cero, ahora uno, ahora cero, ahora uno. - (Joder, qué cosas más raras me vienen hoy).

Efectivamente, no es ni integrable Riemann, con lo fácil que es. Puede venir bien para

contraejemplos, vaya a ese círculo aislado a la izquierda. Aunque yo de usted me pasaría

antes por el discípulo sicoanalista. El que trata los problemas de identidad, ya sabe.

¿queda alguien más? - Yo soy función, sin saltos, pero con muchos picos, picos en todos

los puntos. Estoy muy mal. ¿No tendrá algo suelto? - (Qué miedo…) Siga a la anterior, es

usted un contraejemplo andante. Pásese antes por la unidad de toxicomanía. Vamos, si

quiere, no se enfade. - Yo soy una función muy suavecita, mira qué curvas. Y se repiten

hasta el infinito… - Oiga, no se acerque tanto, que corra el aire. (La verdad es que es un

pibón de función. Qué pena que tenga el periodo…). Pase hasta el fondo, al círculo

central. Usted tiene todas las condiciones para formar parte de un bello teorema. ¿Quiere

pasar algo que no sea función? - Yo soy un espacio, topológico para más señas. Pero

tengo un problema en mi interior, una especie de almorrana sangrante. Tengo un

subespacio de mayor dimensión que yo mismo. ¿Me lo podrían extirpar? - Esto sí que no

me lo creo. Tengo que consultar mis libros, esto no es posible. La verdad es que no

entiendo mucho de teoría de la dimensión. No sé a quién puede interesar todas estas

teorías inaplicables… ¡A sí, existes! Pero de extirpación nada, en el subespacio está tu

gracia. Pasa a la sala de espacios topológicos raros para discípulos onanistas. Y no se te

ocurra desviarte a la unidad quirúrgica. Parece que hoy no viene nadie más… - Sí,

estamos aquí, lo que pasa es que no nos ves porque somos fraccionarios. Saluda, curva

de Koch. Di hola, triángulo de Sierpinski. Me presento, soy el conjunto de Cantor. Aquí mi

marido, el conjunto de Julia. Traemos el caos. Déjanos entrar y verás cómo

revolucionamos todo. ¡Abajo el orden, viva Mandelbrot! Y así hasta el infinito. El club de la

señora Matemática era lo más parecido al paraíso y lo más parecido al infierno. Porque la

señora Matemática podía darte mucha belleza, pero te pedía también mucho a cambio.

Eso lo sabía bien quien conseguía entrar en sus aposentos. Pero lo sabía aún mejor

quien sólo podía quedarse a las puertas. CO

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RÚBRICA GLOBAL CÁLCULO INTEGRAL TERCER PARCIAL

NOMBRE:________________________________________________ GRUPO:________________

DOCENTE:________________________________________________

ACT/FASE 10-9% 8-7% 6-4% 3-0% %

APERTURA

Reporte de

lectura









a)Faltan dos datos en el cuadro de identificación b) La redacción del reporte es buena sólo en algunos párrafos c) El reporte presenta de forma poco clara introducción, desarrollo y conclusión d) La investigación se entrega limpia , con algunos errores y algunas faltas de ortografía





Práctica de

Ejercicios






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Práctica de

ejercicios






EXAMENES

ACT/FASE 10-9% 8-7% 6-4% 3-0% %

DESARROLLO

1er examen





2 examen





TOTAL

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Cálculo Integral Página 2

Martin Vázquez Labrada – Angélica Vidales Rangel

Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Querétaro CUADERNILLO DE TRABAJO DE GEOMETRÍA ANALITICA


REGLAMENTO DE CLASE.

DISCIPLINA

1. La entrada a clase debe ser puntual se te darán 5 min de tolerancia.

2. No se permite comer en el salón de clase

3. Solo se puede tomar agua dentro del salón de clase

4. Es OBLIGATORIO tener todo el material necesario para clase, (cuaderno de apuntes y cuaderno

de trabajo engargolado)

5. Debes cumplir con el 80% de asistencias en el semestre, de lo contrario tu calificación será

reprobatoria a pesar de que se entreguen todos los trabajos y apruebes los exámenes.

6. Los justificantes se deben presentar la clase siguiente en que el alumno falto para poder hacer

la revisión de trabajos y no retrasarnos.

7. No se permite el uso del celular ni computadora personal durante las clases (a menos que sea

indicado por el docente)

8. No se aceptara sacar copias a las actividades.

ENTREGA DE TRABAJOS

1. Todos los trabajos del cuadernillo se realizaran durante la hora de clase, por ello es importante

traerlo todos los días de clase.

2. Las actividades que se realicen se deben entregar limpias y los resultados marcados con un

cuadro en color rojo.

3. Se debe contar con el cuadernillo de trabajo de lo contrario no se revisarán las actividades.

4. Si se detectan realizando copias entre compañeros se reprueba el parcial de forma automática.

EXAMENES PARCIALES

1. Para tener derecho a examen parcial, es necesario: tener contestadas y calificadas todas las

actividades del parcial.

2. No exceder el número de faltas permitidas por parcial.

3. Si no se presenta el examen parcial la calificación será reprobatoria.

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INDICE

MODULO 1: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRAL

1. REPASO ALGEBRA

2. DERIVADAS Y DIFERENCIALES

3. ANTIDERIVADA

4. INTEGRALES INMEDIATAS

MODULO 2: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

5. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRASCENDENTES

6. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN

7. INTEGRACIÓN POR PARTES

8. INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

MODULO 3: APLICACIONES DE LA INTEGRAL

9. INTEGRAL DEFINIDA

10. ÁREA BAJO LA CURVA Y ENTRE DOS CURVAS

11. VOLUMEN DE SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN

12. APLICACIONES EN FISICA

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REPASO ALGEBRA

LEYES DE EXPONENTES

REGLA (ley) Ejemplo Todo número elevado a la potencia 1 el resultado es el mismo número

nn 1 771

Todo número elevado la potencia cero el resultado es 1

10 n 180

Los exponentes negativos, indican un recíproco n

n

aa

1

25

1

5

15

2

2

En la multiplicación los exponentes se suman

mnmn aaa 1024444 532 532 xxx

En la división los exponentes se restan nm

n

m

aa

a 2555

5 2

2

4

4

4

8

xx

x

En la potencia los exponentes se multiplican

mnnm aa 6422 623

623 xx

En la raíz los exponentes se dividen n

m

n m aa 8244 32

3

2 3 GRUPO 1: POTENCIAS INSTRUCCIONES: Simplificar al máximo las siguientes expresiones sin dejar exponentes negativos

1. 233524 32 nmnm 2. 432232 xyzxzzxy

3. cba

cba45

222

63

7

4.

yx

xm

ny

xm

xy

mn3

233

5

2 5.

2

3

323 3

3

5

a

bcbca

c

ab

6.

5

3

6

b

a

7.

24

3

3

a

cb

ca

cab

8. 233

3222

)(

)()(

ba

baab

9. 63

753

ba

ba

10. 222235 dabcdabc 11. 222ax

12.

2

2

4

7

m

13.

322

3

25 zyx

xyz

yx

14. 5

3

5

2

5

4

xxx

15. 4

1

25

n

n

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INSTRUCCIONES. Escribe las siguientes expresiones en forma de radical o en forma de exponente,

según sea el caso.

1. 2

1

3a 2. abc5 3. a3

4. 5x

5. 31

26m 6. 4

3225 ba

7. 2

3

2

1

3 b 8. 4

3

yxm 9. 3 23x

BINOMIOS ELEVADOS A POTENCIAS

BINOMIO CONJUGADO

CARACTERISTICAS El primero y el segundo término son iguales en todo pero el signo es diferente. En el resultado hay dos términos

SOLUCIÓN 1. Se eleva al cuadrado el primer término 2. Se deja el signo NEGATIVO 3. Se eleva al cuadrado el segundo término

EJEMPLOS:

33

5

2

7

2

5

2

7

2

55

15

5

1

yxyx

xx

BINOMIO AL CUADRADO

CARACTERÍSTICAS El primero y el segundo término son iguales en todo. Se encuentra un binomio en un paréntesis y esta elevado al cuadrado. En el resultado SIEMPRE hay tres términos

SOLUCIÓN: (x+5)(x+5)= 1. Se eleva al cuadrado el primer término x2

2. Se deja el signo que está en el paréntesis x2 + 3. Se multiplica DOS veces el primero por el segundo termino x2 + 2(x)(5) 4. Signo positivo SIEMPRE x2 + 2(x)(5) + 5.Se eleva al cuadrado el segundo término x2 + 2(x)(5) + 25= x2 + 10x + 25

EJEMPLOS

))(( baba

)43)(43(

25)5(5

22

2

yxyx

xxx

2)())(( bababa

22222

22

1616416)4)(2(24)42(

16816)4)((2)4(4

yxyxyyxxyx

xxxxxx

CO

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33

242

25

12

5

1

)2(

yxyx

qpn

BINOMIO CON TÉRMINO COMÚN (a+c)(a-d)

CARACTERÍSTICAS. Aparece el mismo término en los dos paréntesis y recibe el nombre de término común. En el resultado siempre hay tres términos

SOLUCIÓN. 1. Se eleva al cuadrado el primer término. 2. Se deja el signo del número mayor. 3.Se suman o restan los segundos términos de cada paréntesis y se multiplican por el término común. NOTA: Los números se suman cuando en los paréntesis son los mismos signos. Se restan cuando son signos diferentes.

4.Se multiplican los segundos términos

EJEMPLOS

GRUPO 2: POTENCIAS DE BINOMIOS

INSTRUCCIONES: Desarrolla las siguientes potencias de binomios.

1. 2)8( x 2.

2)13( ax 3. 412 x 4. 523 y

5. 442 yx 6. 2)2( yx 7. 61 x 8. 343 yx

9. 2)3( a 10. 335 ba

11.

2

3

1

4

5

x

12. 354 2yx

13. 314 m 14. 223 )2( baa 15. 62 5yx 16. 525 nm

17. 332 yx 18. 2)8( amn 19. 332 x

20.

2

32

32

2

yx

)5)(8(

)2)(6(

)5(4

xx

xx

xx

2x

(x+5)(x-2)

2x

xx 32

1032 xx

84)2)(6(

209)5(4

2

2

xxxx

xxxx403)5)(8( 2 xxxx

CO

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FACTORIZACIÓN

Se entiende por factorizar la manera de expresar una suma o diferencia de términos como el producto

de sus factores. En el cuadro que se muestra a continuación se presentan algunas de las formas más

comunes de factorización, así como la manera de identificar cada uno de sus tipos.

CO

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GRUPO 3. Factorización INSTRUCCIONES: Factoriza las siguientes expresiones

1. x1812 2. 92 x 3. xaax 22 1510 4. 2092 xx

5. 232 xx 6. 1442 x 7. 24102 xx 8. 812 x

9. x824 10. 1272 xx 11. 6173 2 xx 12. 562 xx

13. 1582 xx 14. 12 x 15. 34 147 xx 16. 683 2 xx

17. 1892 2 xx 18. xx 44 2 19. 162 x 20. yxxy 284

21. ayax 63 22. 362 x 23. x155 24. 672 xx

25. 492 x 26. 10133 2 xx 27. xxy 22 28. aax 189

29. 23 69 xx 30. 652 xx 31. 4154 2 xx 32. 56162 xx

33. 642 x 34. 1002 x 35. 22 yxxy 36. xx 26 2

37. 443 2 xx 38. 24 x 39. 1072 xx 40. 652 xx

41. 54 1111 xx 42. 1282 xx 43.

225 x

44. 122 xx

45. bxb 33 46. 252 x 47. 1892 xx 48. 30112 xx

49. 442 xx 50. 22 1009 yx 51. 323 68 yxyx 52. 64 3681 yx

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





DERIVADAS

GRUPO 4: Derivadas INSTRUCCIONES: Obtener la derivada de las siguientes funciones.

1. 525 24 xxxy 2. xxxxf sin46ln 3 3. 232 xxy

4. xexxxy 2245ln3

5. 32923 xexy x

6. 83 xey

7.

8

6 2

x

xxf

8. xxxy 62 23

9. 23ln5 xxy

10. 32cos3 xxy 11. 1352 xxy 12. 48ln xy

13. 8tan4 xexf x

14.

3

23ln

x

xy

15. 487 4ln4cos5

2

xxey xx

16. 27tan 2 xxxy 17. 12sin52 xxexf x

18. 37ln xy

19.

1

22

x

xxf

20. 1cos62 4 33 xxxy

21. 7

2csc37

23

xxxy

22. 43ln xy 23. 61 22 xxy

24. 2

12

x

xxy

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





DIFERENCIALES

La derivada de una función f(x) en el punto 0x se define como el cociente del incremento de la variable

dependiente entre el incremento de la variable independiente cuando este último tiende a cero. Tales

incrementos se establecen como las diferencias, donde )( 0xfyo

Por lo tanto para valores donde el incremento en x muy cercanos a cero se puede establecer que

x

yxf

)('

Para el incremento se utiliza )()( xfxxfy

Para el diferencial se utiliza: xxfdy )('

Determina el diferencial y el incremento de la función xxxf 22)( para x=1 cuando dx=0.01.

Primero se calcula el incremento de la función

0302.0

10302.1

1)1(201.1)01.1(2

)1()01.1(

)1()01.01(

22

y

y

y

Entonces

ffy

ffy

Calculamos la diferencial de la función:

03.0

)01(.)1)1(4

)14(

14)('

:tan

2)( 2

dy

dy

xxdy

xxf

toloPor

xxxf

EJEMPLOS

Determinar el diferencial e incremento de la función xxxxf 104)( 23 para x=2 y dx=0.02

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





GRUPO 5: DIFERENCIAL.

INSTRUCCIONES: Para cada una de las siguientes funciones determina el diferencial y el

incremento de acuerdo a los datos que se presentan.

FUNCION PUNTO INCREMENTO

1 2

1)(

x

xxf

x=5 1.0x

2 52)( 3 xxf x=2 001.0x

3 9)( xxf x=7 004.0x

4 3)( 2 xxf x=3 12.0x

5 22 52)( xxxf x=2 01.0x

6 42 58)( xxxf x=3 1.0x

7 94)( 2 rrg r=2 02.0x

8 52ln)( xxf

x=3 01.0x

9 )2()( senf 0 1.0

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





ANTIDERIVADA

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en

encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Para encontrar la antiderivada de una función de la forma de un término nbxxg )( se realiza el

proceso inverso al de la derivación, es decir

1)(

1

n

xbxG

n

Una función tiene más de una antiderivada. De hecho es una familia de funciones que difieren debido

al término independiente. Esto se debe a que tanto F(x) como F(x)+C, donde C es una constante,

tienen la misma derivada f ’(x)

Ejemplo

Encuentra la integral de ∫ x3dx

El valor de n = 3 ∫ x3dx = 𝑥3+1

3+1+ 𝑐 =

𝑥4

4+ 𝑐.

Encuentra la integral de ∫1

𝑥4 𝑑𝑥

Lo primero que se hace es expresar la función con un exponente negativo para poder aplicar la

fórmula (3).

∫1

𝑥4 𝑑𝑥 = ∫ x- 4 dx

Aplicando la fórmula tenemos: ∫ x- 4 dx= 𝑥−4+1

−4+1+ 𝑐 =

𝑥−3

−3+ 𝑐

Determina la integral ∫ √𝑥43 dx

Expresamos la integral utilizando la forma de exponente fraccionario. ∫ √𝑥43 dx = ∫ 𝑥4

3 dx

Procedemos a realizar la integral ∫ 𝑥4

3 dx = 𝑥

43

+1

4

3 +1

+ 𝑐 = 𝑥

73

7

3

+ 𝑐

Como el exponente es fraccionario, procedemos ahora a expresarlo en forma de radical en su

forma más simple.

𝑥

73

7

3

+ 𝑐 = 3 √𝑥73

7+ 𝑐 =

3 √𝑥6𝑥3

7=

3 √𝑥63√𝑥3

7=

3𝑥2 √𝑥3

7 + c

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





EJEMPLOS

5875)( 34 xxxxf

5234)( 5 xxxf

x

xxxxf

4

45)(

36

53)( xxf considera F(1)=8

537 84

75)( xxxxf

54)( 2 xxf considera F(0)=5

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





GRUPO 6 ANTIDERIVADAS

INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas utilizando la antiderivada de funciones

polinomiales para su solución.

1.58)( 3 xxf 7.

7)( xxf 13 22)( 5

2

35 xxxxf

2. 10243)( 247 xxxxf 8. 3

2

9)( xxf 14 332 43

1)( xxxxf

3. 3

3 3

3)(

x

xxf 9.

324 2 xxy 15343

2

28)( xxxxf

4.

33)( xxxh 10.xxy 49 4 16.

22

3

3 6344)( xxxxxf

5. 2/72 473 xxxy 11.

2

24 547)(

x

xxxf

17. 325410)( 34 xxxxxf

6.)1()( 22 xxxf

12. 3

4 3 6)(

xxxf

18. x

xxxxf

3

325410)(

34

Encuentra la antiderivada específica utilizando la condición inicial dada:

1. 34)( xxf , considera que F(0)=2

2. 26)(2

xx

xxg , considera que G(4)=1

3. 3 72)( xxh , considera que H(1)=0

4. 2/52 26)( xxxxg , considera que G(0)=1

5. 2

2 3

2)(

xx

xxf ,considera que F(0)=1

6. 3252)( 2

1

2 xxxxg considera que G(0)=7

7. 356)( 2 xxxg considera que F(-1)=4

8. 3 42)( xxg considera que 5

3)1( G

9. )23()( 22 xxxxf considera que F(0)=2

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





INTEGRAL INDEFINIDA

La integración es el proceso de encontrar una función que antes había sido una derivada. Las

integrales indefinidas de una función f(x) permite encontrar las fórmulas para ello y se define como

la familia de antiderivadas de f(x) que difieren entre sí como una constante y se denota como:

CxFdxxf )()(

El símbolo de integral representa el límite de una suma infinita de áreas de rectángulos cuyos

anchos son infinitamente pequeños, lo cual es representado por el diferencial dx. La integral

indefinida permite contar las fórmulas para evitar hacer esa suma infinita de áreas.

EJEMPLOS

dxxx 854

3 34

dx

x

xx

2

652

dxx

xx5

34

4

55

5

3

dxx

xx8

53 3 54

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





GRUPO 7 INTEGRAL INDEFINIDA

INSTRUCCIONES. Resuelve las siguientes integrales utilizando la fórmula adecuada, los procedimientos deben estar en el cuaderno.

1. dxx 4

2.

dxx

xx

)2(

)65( 2

3.

dxxx

x34

326

3

4 dxx 3

4

5

dxx

xx

259 2

6

dxxxx 54 3

2

1

7 dxx 5

8

dx

x

xx 47 3

9

dxexx

x

34 291

10

dxx 3

1

11

dxx

xx 3

4

5 3

12

dxx

xx 225

3

23 44

13 dxx 2

1

14

dxx

xx 3

4

5 3

15

dxx

xx 2

3

2

5

14

2

3

16

dxx2

23

17

dx

x

xx

2

442

18 dxxxx 182 2

19

dxxxx 439 25

4

20

dxx

x

x2

9

3

3 2

4

5

21

dxxx

32

3

243

22

dxxxxx 3234 3

54

23

dxxxxx 253 422

24

dxx

xxx 4

3

233 2

3

54

4

25

dxxx

xx

25

34

3

2

1

5

34

26

dxxxxx 3345 23

2

27

dxx

xxx 67

3

62

49

28

dxxxxx 65

7

65

7

5 3 47374

29

dxxxxx 3345 23

2

30

dxxxxx 663

53

3

2 3 75454

31

dxxxxx

5

2349 32

32

dxxxxx 742

33

3

1 3 54231

33

dxx

xxx 1

3

42

325

4

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





34

dxxx

xx

752

38

3

5 4

3

53

4

35

dxxxxxx 3623

2

52

74

36.

dxxx )2(

37

dxx 23 )123(

38.

dxx 2)34(

39

dxxx

x

5 35

2

1

5

33

40 dxxx 2)25(

41

dx

x

x

5

)5( 2

42

dxxxx 5 2

3

2

4

3

43

dxxxxx

x

x 5 3

2

19

5

33

44 dxxx 2)25( 45. dxx 23 )82(

46

dx

x

xx

3

962

47

dx

x

xxx

3

96 23

48

dx

x

xx

1

122

49 dxxx

x

5 3

2

9

5

44

50

dx

x

xx

4

2

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRASCENDENTES

La integración de funciones trascendentes contempla funciones trigonométricas, racionales y

exponenciales. Al integrar este tipo de funciones se debe saber identificar y ordenar bien las partes

que componen cada fórmula.

Para poder realizar la fórmula se realiza de la siguiente manera:

1. Identificar el argumento y y su diferencial du

2. Comparar el diferencial del argumento con el diferencial del integrando. Si hace falta una

constante, agregarla conservando la equivalencia en ambas partes

3. Una vez contemplado el diferencial, aplicar la fórmula de la integración.

Cuduu cossin

Cuduu sincos

Cuduu tansec2

Cuduu cotcsc2

Cuduuu csccotcsc

Cuduuu sectansec

Cuuduu tanseclnsec

Cuduu coslntan

Csenuduu lncot

Cuuduu cotcsclncsc

Cedue uu

Ca

adua

uu ln

Cuu

du ln

EJEMPLOS RESUELTOS

∫ 3𝑥2 cos 7𝑥3

Solución: Elegimos u= 7x2

Obtenemos du = 21x2dx ; despejamos x2 dx = 𝑑𝑢

21

Cambiamos la variable. ∫ 3𝑥2 cos (7𝑥3) = 3 ∫ cos 𝑢𝑑𝑢

21

= 3

21∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢

Integramos, = 3

21sen 𝑢 + 𝑐

Modificamos la variable = 3

21sen (7𝑥3) +𝑐 =

1

7sen (7𝑥3) +𝑐

Realiza la integral siguiente: ∫ 23𝑥𝑑𝑥

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





Solución

Utilizamos el cambio de variable u = 3x du = 3 dx

Despejamos dx 𝑑𝑢

3= 𝑑𝑥

Realizamos cambio de variable ∫ 23𝑥𝑑𝑥 = ∫ 2𝑢 𝑑𝑢

3 =

1

3∫ 2

𝑢𝑑𝑢

= 23𝑥

3 ln 2+ 𝑐

Realiza la integral ∫𝑥𝑑𝑥

7𝑥2−3

Solución

Elección del cambio de variable. u = 7x2 - 3, du = 14x dx

Despejamos convenientemente x dx:

𝑑𝑢

14= 𝑥 𝑑𝑥

1

14∫

𝑑𝑢

𝑢=

1

14𝑙𝑛|𝑢| + 𝑐

= 1

14𝑙𝑛|7𝑥2 − 3| + 𝑐

EJEMPLOS

dxx5cos2 dxx5tan

4

3

dxxx 34 43 2

dxxe x 445 2

dxx

x

75

32

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





GRUPO 8 INTEGRACIÓN FUNCIONES TRASCENDENTES

INSTRUCCIONES: Resuelve las integrales por métodos de sustitución.

1 dxxsen137 14 dxxe x2

24 dxxe x25

4

3

2 dxx4cos 15 dxe x 52

25 dxx x 54 2

53

3 dxx)94tan( 16 dxex x32

26

23

2

6

9

xx

xdxx

4 dxx )617cot(4 17 dxx 729

27 dxex x 422 3

7

2

5 dxx)51csc( 18 dxex x24

28

dxxx )43cos(7

2 32

6 3x

dx 19

dxex xx 2422 3

412 29 dxxxxx )63tan()( 243

7 dxx 43tan

20 5x

dx

30 dx

xsen

2

)3(

8 dxx 35csc2 2

18 dxxx )35(csc4 22

31

dxxxsenx )84()2( 2

9 dxxxsen 2

7

4

5

3

19

dx

xx

x

23

132

32 52x

xdx

10 dxxx )2cot( 2

20 dxxe x 35

3

4 33

dxxxx 563cos)33( 2

11 dxx )1211sec(8

21 dxxsec4

34 14 3

2

x

dxx

12 14 3

2

x

dxx

22

dx

xx

x

28

182

35

dxx 4

5

3tan

4

1

13 dxx x 52

75

3

23

dx

e

xx 12

7

36 dxxe x 52 2

4

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

Las fórmulas básicas de integración permiten integrar directamente diversos tipos de funciones.

Sin embargo, existen funciones que no es posible integrar sólo aplicando las fórmulas por lo que

es necesario utilizar algún método para transformar la función original en una más sencilla para

luego aplicar las fórmulas básicas.

Las recomendaciones para aplicar este método son:

Observar la función que se va a integrar e identificar alguna fórmula para resolverlo

Identificar la parte de la función que se va a integrar y sustituirla con la nueva variable.

Si no es posible hacerlo, se utiliza un método de factorización

Se realiza el cambio de variable

Una vez que se integra es necesario regresar al cambio de variable.

EJEMPLOS

dxxx 62 )59(3 dxxx

3

2csc

3

2tan

4

3 25

dxx 537 dxxxsen 3cos37

dxx

x

73

2

2 dxxe x 3sec23tan

dxxe x245 dxex xx 123 2

)63(

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





GRUPO 9 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN (CAMBIO DE VARIABLE)

INSTRUCCIONES: Resolver las siguientes integrales realizando el cambio de variable adecuado.

1 dxxx

732 42 11

dxee xx 722 2

21

434

5

x

dx

2 dtt

9625

12 dxee xx 333 4

22

3

2cos1

2

x

dxxsen

3 dxx 47

13

dx

x

x

13

43

2

23 dxxx )3(csc)3(cot

4

3 2

4 dxxx 84 2

14 dxxxsen )3(cos)3(2 4

24

45

5cos

xsen

dxx

5

dtr

472

4

3 15

dxxx )5(cot)5(csc 82

25

dxxx

5

3

32 47

4

3

2

6

dxx

x52 33

2 16

dxxsenx3

)4(1)4cos( 26

dxxx 3cot33csc2

7 dhhh 3

232 2 17 dxxxsen )cos()(7 2

27

dx

x

xx

2sec1

2tan2sec

8 dyyy

1132 535

18

22 63

32(

xx

dxx

28 dxxx 63

7

4 2

9

3 19x

dx 19

dxxxx 362 32

29

72 337

4

x

xdx

10

4 2 153

2

x

xdx

20

dxee xx

7

32

7

36

7

5 30

dxxx 6

532 652

1.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





INTEGRACIÓN POR PARTES

La integración por partes es uno de los métodos más utilizados en el cálculo integral, tiene como

base identificar adecuadamente a u y dv. Una de las maneras más sencillas de poder identificar

dichos elementos es a través de la aplicación de la palabra LIATE

L Logarítmicas

I Inversas

A Algebraicas

T Trigonométricas

E Exponenciales

Una vez que se identifica u se deriva y dv se integra, para posteriormente utilizar la fórmula de

integración por partes:

duvvu

Con lo que logramos hacer una integral más sencilla y de esta manera resolver por los métodos

más sencillos.

EJEMPLOS RESUELTOS

Realizar la integral de ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥

Es importante para seleccionar u y dv seguir la siguiente sugerencia, con la palabra ILATE que

significa Inversa, logarítmica, algebraica, trigonométrica y exponencial. Por lo que en el ejemplo,

acomodando primero va la logarítmica y después la algebraica de tal forma que:

∫ ln 𝑥 𝑥 𝑑𝑥

Donde u = ln x du = 1

𝑥𝑑𝑥

v = 𝑥2

2 dv = x dx como vemos de deriva u y se integra dv

Aplicamos la fórmula de integración por partes y sustituimos los elementos seleccionados

∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 = 𝑥2

2 ln x - ∫

𝑥2

2 1

𝑥𝑑𝑥

= 𝑥2 ln 𝑥

2 -

1

2∫ 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥2 ln 𝑥

2−

1

2

𝑥2

2

= 𝑥2 ln 𝑥

2−

𝑥2

4+ 𝑐

Resuelve la integral ∫ 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





De acuerdo a ILATE primero va la algebraica y después la exponencial, como se presenta la

integral, por lo tanto la selección es la siguiente:

u = x dv = 𝑒𝑥𝑑𝑥

Derivamos u e integramos dv

du = dx ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥

𝑣 = 𝑒𝑥

Aplicamos la fórmula de integración por partes y sustituimos los elementos seleccionados

∫ 𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥

Y el resultado es = 𝑥 𝑒𝑥- 𝑒𝑥 + 𝑐 = 𝑒𝑥(𝑥 − 1) + 𝑐

EJEMPLOS

dxxx 34ln3 dxxx 5cos2 2

dxex x32 dxxe x23

xdxsenx5

2

2

3

dxxx 3

3

5ln

4

3

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





GRUPO 10 INTEGRACIÓN POR PARTES

INSTRUCCIONES: Resolver las siguientes integrales por partes.

1. dxxx 4ln

11. dxex x5

21. dxx

13

ln2

2. dxex x33 12. dxex x5

22.

dx

x

5

34ln

3. dxxx sin3 13.

dxxx 4sin2 23. dx

x

13

ln2

4. dxex x22

14. dxxx ln2

24.

dxex

x

33

5. dxxx 3cos2

15. dxxx 7sin7

25. dxex

x2

1

25

6. dxex x4

3

1

16. dxex x32

26. dxex x532

7. dxex x2

4

1

17. dxxx 3ln

27. dxex x42

3

2

8. dxxx cos5 18. dxxx )ln( 34

28. dxxx5

3cos

3

1 2

9. dxex x3

2

3

19. dxxsenx )2(3

1

29. dxxsenx5

2

4

5

10. dxxx )ln(2 63

20. dxex x343

30. dxxsenx5

23

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

El método de integración por fracciones parciales se utiliza cuando la función que se va a integrar

es una función racional propia.

)(

)(

xq

xp

donde el grado de )()( xqxp

Para la solución de este tipo de integrales se sugieren los siguientes pasos:

Factorizar el denominador de la función si es necesario.

Separar los factores con base en el número de denominadores.

Calcular el valor de las variables A, B, C,… y sustituir en cada una de las fracciones.

Integrar por separado cada una de las fracciones.

EJEMPLOS

dx

xx

x

)3)(5(

23

dx

xxx

x

2110

4323

dx

xx

x

96

322

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





GRUPO 11 INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

INSTRUCCIONES: Resolver las integrales por método de fracciones parciales

1

dx

xx

x

5

322

11

dx

xx

x256

8

21

dx

xx

x

56

42

2

dx

xx

x

)1)(5(

2

12

dx

xx

x

127

42

22

dx

xx

x

)1)(5(

2

3

dx

xx

x

32

52

13

dx

xx

x

1452

23 )2)(4( xx

dx

4

dx

xx

x

54

22

14

dx

xx

x

962

24 dx

xx

x

107

32

5

dx

xx

x

)1)(3(

5

15

dx

x

x2)2(

3

25 dx

xx

x

158

32

6

dx

xx

x

168

42

16

dx

xx

x

1235

542

26

dx

xxx

x

2

423

7

dx

xx

x

209

272

17

dx

xx

x

712

92

27

dx

xxx

x

2

4723

2

8

dx

x

x

49

232

18

dx

xx

x

920

232

28

dx

xxx

x

)2)(7)(5(

23

9

dx

xx

x

44

132

19

dx

xx

x

6

1842

29

dx

xx

xx

16

1283653

2

10

dx

xx

x

103

132

20

dx

x

x

9

152

30

dx

xx

xx

9

27183

2

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





INTEGRAL DEFINIDA

Si una función f(x) está definida en un intervalo [a,b], entonces se habla de una integral definida. Para

el cálculo más sencillo de las integrales definidas es necesario el teorema fundamental del cálculo,

el cual indica que para calcularlas es necesario realizar la integral y posteriormente evaluar la integral

que se obtiene.

)()()( aFbFdxxf

b

a

EJEMPLOS RESUELTOS

Determinar el valor de la siguiente integral ∫ (𝑥 + 3)𝑑𝑥5

2

Solución

Realizamos la integral y obtenemos la diferencia de F(5) – F(2):

∫ (𝑥 + 3)𝑑𝑥5

2= |

𝑥2

2+ 3x| 5

2=

52

2+ 3(5) − (

22

2− 3(2)) =

39

2

Calcula la integral ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥𝜋/2

0

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥𝜋/2

0= |− cos 𝑥| 𝜋/2

0

Evaluamos la función:

= -cos π/2 – (- cos 0) = 0 + 1

Se utiliza el ángulo en radianes.

Calcula la integral ∫ 𝑒𝑥5

1𝑑𝑥

∫ 𝑒𝑥5

1𝑑𝑥 = |𝑒𝑥| 5

1= 𝑒5 − 𝑒1 = 148.41 − 2.71 = 145.7

Calcular la integral ∫𝑑𝑥

𝑥

5

1

∫𝑑𝑥

𝑥

5

1= |ln|𝑥|| 5

1= ln 5 − ln 1 = 1.609

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





EJEMPLOS

2

1

12 dxx

3

1

32 )2( dxxx

1

2

2 13 dxxx

2

4

3

dxsenx

1

0

2 43 dxxx

3

13

5dx

x

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





GRUPO 12 INTEGRAL DEFINIDA INSTRUCCIONES: Resolver las integrales definidas.

1

2

1

2 5 dxx

11

dxxxx

1

1

23 )13(

21 dxsenx

0

2

2

2

1

2 dxxx

12

1

1

2 32 dxx 22

0

2

2)3(x

dx

3

4

2

48 dxx

13

2

2

223 dxx 23 dxx

0

3cos4

4

4

1

2 dxx

14

2

3

2 13 dxxx 24 dxxx

4

0

2 45

5

2

1

2 2 dxxx

15

5

0

22 dxx 25 dxx

x

0

1

2 4

64

6

2

0

22 dxx

16

10

1

12 dxx 26 dxxx

x

3

0)3)(4(

19

7

dxxx

2

1

2 294

17

4

2

2 82 dxxx 27 dxxx

0

cos

8

dxx9

0

4

18

6

23x

dx 28 dx

xx

x

3

5

2 )44(

9 6

2

3

4dx

x

19

2

1

2 )32( dxxx 29 dxxx

3

1

2 12

10

dxx

x

3

2

2 1

20

2

0

3)3( dxx 30 dxsenx

2

3

2

3

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





ÁREA BAJO LA CURVA Y ENTRE DOS CURVAS

Una de las aplicaciones de la integral definida se encuentra en el cálculo de área bajo la curva o entre dos curvas. Para determinar el área bajo la curva de una función continua en un intervalo [a,b] se utiliza la expresión:

dxxfA

b

a

)( entonces )()( aFbFA

Para determinar el área entre dos funciones continuas f(x) y g(x) en un intervalo [a,b] se utiliza la

expresión

dxxgxfA

b

a

)]()([ una vez integrando )()( aFbFA

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





GRUPO 13 ÁREA BAJO LA CURVA Y ENTRE DOS CURVAS

INSTRUCCIONES: Encuentra el área entre las curvas que se dan, utiliza algún software para poder graficar.

1. 3)( 3 xxf en el intervalo de [-1,3]

2. 2)( xxf en el intervalo de [-4,4]

3. 5)( xxf en el intervalo de [2,8]

4. 32)( 2 xxxf en el intervalo de [-1,3]

5. 56)( 2 xxxf en el intervalo de [-6,-2]

6. 78)( 2 xxxf en el intervalo de [4,10]

7. 1cos2)( xxf en el intervalo de ,0

8. 4)3()( 2 xxf en el intervalo de 6,2

9. 2)( xxf

y 1)( xf

10. 3)( 3 xxf en el intervalo de [-1,2]

11. 32)( 2 xxf y 5)( xf

12. 4)( 2 xxf y la línea xxf 2)(

13. 21)( xxf y la curva xxf 3)(

14. 24 xxy y el eje X.

15. xxxxf 86)( 23 y el eje X

16. 652 xxy y la recta y = 2x.

17. 32)( 2 xxxf y la recta y = x-3

18. 14)( 2 xxxf y la curva 7)( 2 xxg

19. 72)( 2 xxxf y la curva 5)( 2 xxf

20. 34)( senxxf en el intervalo ,0

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





VOLUMEN DE SOLIDOS EN REVOLUCIÓN

Un volumen en revolución es un sólido que se crea al hacer girar una región plana alrededor de

un eje. Si se gira un triángulo rectángulo se forma un cono, por lo tanto se pueden generar un sin

número de volúmenes a partir de figuras planas.

En el cálculo de un volumen en revolución se utiliza el mismo concepto que en el cálculo de áreas.

A continuación se describe el método de discos que se representa con la siguiente expresión:

Rotación en eje horizontal

dxxfV

b

a

2])([

Rotación en eje vertical

dyyfV

d

c

2])([

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





GRUPO 14 SÓLIDOS EN REVOLUCIÓN

INSTRUCCIONES. Determina el volumen que se obtiene al hacer girar las siguientes funciones sobre

el eje indicado, para cada ejercicio es necesario que te apoyes de algún software y realices las

gráficas de las funciones que se dan..

1. y = 2, x = 1 y x = 4, y el eje X al girar alrededor de este eje.

2. La parte de la parábola xy 122 , que intercepta la recta x = 3, al girar alrededor del eje Y

3. 22)( xxf y xy alrededor del eje X

4. 22 xxy y 2 xy . Al girar alrededor del eje X

5. 2)( xxf y xy alrededor del eje X

6. 24)( xxxf y 0 yx alrededor del eje X

7. 01786)( 2 yxxxf y 054 yx alrededor del eje X

8. 22)( xxf y 4y alrededor del eje X

9. 1622 yx y 0y 8y alrededor del eje Y

10. 22xy 1y 2y alrededor del eje Y


12. Alrededor del eje X 32 xy en el intervalo [4,8]

13. Alrededor del eje X xy 32 en el intervalo [2,5]

14. Alrededor del eje X 42 xy en el intervalo [-4,4]

15. Alrededor del eje Y 3 xy en el intervalo [3,7]

16. xy 0y 3y alrededor del eje X

17. xy 4 0y 4 xy alrededor del eje X


19. 2xy 24 xy alrededor del eje Y

20. xy ln xy 5 0y alrededor del eje X

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN FISICA

En las aplicaciones de física recordemos que dada una función a(t) que define la función de

aceleración de un objeto se tiene que :

dttatv )()(

Donde la velocidad se define como la integral de la aceleración de un objeto

dttvts )()(

Donde la posición se define como la integral de la velocidad de un objeto

EJEMPLOS

La aceleración de un objeto está dada por 452)( 2 ttta m/seg.

a) Determina la velocidad del objeto cuando han pasado 8seg considera v(3) =4

b) La posición cuando han pasado 6 seg considera x(2)= 5

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA





GRUPO 15 APLICACIONES EN FÍSICA

INSTRUCCIONES. Resuelve cada uno de los siguientes planteamientos utilizando integrales.

1. La velocidad de un objeto está dada por tttv 73)( 2 m/seg.; encontrar su ecuación de posición. Considera que el x (3) = 65m.

2. La aceleración de un objeto está dada por ttta 473)( 2 m/seg.2; utiliza la integral para encontrar su ecuación de velocidad. Considera que v (3) = 7 m/seg.

3. La aceleración de un objeto está dada por 23)( 2 ttta m/seg. c) Determina la velocidad del objeto cuando han pasado 8seg considera v(2) =6 d) La posición cuando han pasado 6 seg considera x(1)= 3

4. La aceleración de un objeto está dada por t

ttta

3

127)(

2

m/seg.2; utiliza la integral para encontrar su ecuación de velocidad. Considera que v (4) = 9 m/seg.

5. La ecuación de la aceleración de una partícula en movimiento está definida con la siguiente

función 126)( tta en donde a se mide en m/s2 y t en segundos. Si v(2)= 4m/seg y s(0) = 1,

determina: a) La ecuación de la función velocidad b) La velocidad de la partícula a los 3 segundos. c) La ecuación de la función posición de la partícula d) La posición después de 3 segundos.

CO

PIA

IMP

RE

SA

NO

CO

NTR

OLA

DA

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