7/23/2019 Grado 8. Guia 3-Factorizacion

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Área: Matemáticas Octavo Tema: Factorización. Guía N° 3Profesor: Luis H. Cuesta Perea Fecha de Entrega: _________________

FACTORIZACIÓNIndicadores de desempeño:

• Aplica los diferentes casos de factorización para reducir expresiones algebraicas.

• Factoriza trinomios cuadrados perfectos.

FACTORIZACION DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO En esta sección y en las siguientes será necesario hallar la raíz cuadrada deexpresiones algebraicas. Como ya sabemos que  xy y x 24

22= , entonces para

evitar el uso de las barras de valor absoluto supondremos que las letras siemprerepresentan números reales positivos; por lo tanto: 22

4 y x =2xy

EXPERIENCIADesarrolla los siguientes productos notables:

(3x2 + 2y)2 = (7a - 3b)2 =

(4z - 5 )2 =2

35

3

2   

   +m =

¿Qué se obtiene al desarrollar el cuadrado de un binomio?

Comprueba si las siguientes igualdades son ciertas y explica por qué.9x4 + 12x2y + 4y2 = (3x2 + 2y)2 49a2 - 42ab + 9b2 = (7a - 3b)2

16z2 - 8 5 z + 5 = (4z - 5 )2 2

3365

3

225

3

20

9

4   

   +=++ mmm

Como vemos, todo TRINOMIO CUADRADO PERFECTO es idéntico al CUADRADO

DE UN BINOMIO. Dicho en otras palabras:La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado de unbinomio. 

Pero, ¿cómo sabemos cuándo un trinomio es cuadrado perfecto? Para contestar la preguntamiremos de nuevo los trinomios 9x4 + 12x2y + 4y2 y 49a2 - 42ab + 9b2:

El análisis anterior nospermite concluir que todotrinomio cuadradoperfecto posee dos

características:1. DOS de sustérminos son POSITIVOSy poseen RAÍZCUADRADA POSITIVA.

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2. El otro término puede ser positivo o negativo y es igual a DOS VECES (O EL DOBLE)de las raíces cuadradas de los otros dos términos.

APRENDAMOS:FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO• Todo TRINOMIO CUADRADO PERFECTO es idéntico a un BINOMIO AL

CUADRADO.• Los dos términos que forman el binomio son las raíces cuadradaspositivas de dos de términos del trinomio.

• El signo del binomio coincide con el signo que antecede al doble productode las dos cuadradas obtenidas.

Ejemplo 1: Factoricemos en Q el polinomio 16x2 - 40x + 25Solución: En primer lugar, chequeemos si el polinomio tiene algún factor común. El M.C.D.de 16, 40 y 25 es 1; por lo tanto, no hay factor común numérico. Tampoco hay factor comúnliteral porque Ia única letra es x y ésta no aparece en el tercer término.

• Ahora bien, el polinomio es un trinomio. ¿Será un trinomio cuadrado perfecto?

Veamos:16x2 es el cuadrado de 4x; 25 es el cuadrado de 540x es el doble producto de 4x por 5: 2(4x) (5) = 40x

• Por lo tanto:16x2 - 40x + 25 = (4x - 5)2 o 16x2 - 40x + 25 = ( 5 - 4x )2

• Pregunta: ¿ Es este trinomio factorizable en Z?.

Ejemplo 2: Factoricemos en Q el polinomio 16m4 + 56m2n3 + 49n6

Solución:• ¿Tiene el polinomio algún factor común? Podemos comprobar que NO.• ¿Es el polinomio un trinomio cuadrado perfecto? Veamos si cumple con las

condiciones:16m4 es el cuadrado de 4m2; 49n6 es el cuadrado de 7n3

56m2n3 es el doble producto de 4m2 por 7n3: 2(4m2) (7n3) = 56m2n3

• Por lo tanto:16m4 + 56m2n3 + 49n6 = (4m2 + 7n3)2

Ejemplo 3: Factoricemos en Q el polinomio 36t + ta2 - 1 2atSolución: Un primer examen del polinomio nos muestra que tiene un factor común: t. Por lotanto:

36t + ta2 - 12at = t( 36 + a2 - 12a)

•

¿Será posible factorizar el polinomio que nos quedó dentro del paréntesis? Como esun trinomio, anos si es trinomio cuadrado perfecto. Veamos:36 s el cuadrado de 6; a2 es el cuadrado de a12a es el doble producto de 6 por a: 2(6) (a) = 12a

• Por te tanto:36 + a2 - 12a = (6 - a)2 y 36t + ta2 - 12at = t(6 - a)2

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TALLER

En los ejercicios 1 a 8 indica cuáles de los polinomios dados son trinomios cuadrados

perfectos:1) x2 + 5x +9 2) a4 + 14a2 + 49 3) m6 – 4m3n2 + 4n4 

4) z4 – 5z2 + 6 5) p4 – 2 5 p2 + 5 6) x6 + 6x3 - 9

7) a10 + 2a5b4 + b8 8) x4 + 4x + 4

En los ejercicios 9 a 18, completa el término que falta para que el trinomio sea cuadrado

perfecto:

9) a2 + 4ab + ___ 10) m6 + ___ + 64 11) 16m2 + 40mn2 + ___ 

12) p4 - ___ + q2 13) 81x2 - 18xy + ___ 14) 16t2 + ___ + 49

15) ___ + 4xy + y2 16) 25z2 + 30yz + ___ 17) ___ - 80a + 16

18) x2 – 2 3 x + ___ 

En los ejercicios 19 a 30, factorizar los polinomios dados en el conjunto Q:19) 15a2 + 40ab + 16b2 20) 100 + 121m2 + 220m 21) x2y2 + 81 - 18xy

22) 12pq + 4q2 + 9p2 23) 5a2 + 10a + 5 24) 2x2 - 28x + 98

25)  24a2 - 24a + 6 26) 9ay2 + 6ay + a 27) (x + 1)2 - 4(x + 1) + 4

28) (m + n)2 + 6(p + q)(m + n) + 9(p + q)2 29) 20a5b - 120a3b4 + 180ab7

30) 12x3y2a - 2x5ya - 18xy3a

DIVIERTETE MIENTRAS PIENSASQué debemos colocar en el :: ¿>, <, ó = ?

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