DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES DE UNA V

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Si una variable aleatoria slo toma valores enteros, es decir, un nmero finito de valores o infinito numerable diremos que es discreta , si tericamente puede tomar todos los valores de un intervalo de R, diremos que es continua.

Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria continua.

Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 sandias de una plantacin y pesarlas. La ley que asocia a cada sanda su peso es una variable aleatoria continua.

DISTRIBUCIN DE PROBABILIDADES DE UNA V.A. CONTINUAA diferencia de las distribuciones de probabilidad discretas que se han visto, las variables aleatorias continuas pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado.

Ej: La produccin de telas en una fbrica se cuenta en rollos, cada rollo puede tener una longitud entre 48 y 52 m, puede decirse entonces que la V.A. LONGITUD DEL ROLLO puede tomar cualquier valor en el intervalo [48, 52]

No puede preguntarse entonces: Cul es la probabilidad de que un rollo tenga 50 m de longitud?, sino Cul es la probabilidad de que un rollo tenga entre 49 y 51 m de longitud?.

Las variables aleatorias continuas se representan graficamente como curvas, formadas por infinitos puntos (uno para cada valor de la V.A.), cuyas coordenadas son x (el valor de la V.A.) y f(x) (funcin de densidad de probabilidad para x), f(x) no es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor x , sino es tan solo la altura de la curva en el valor x.

Se demuestra matemticamente que la probabilidad de que una V.A. tome un valor cualquiera dentro de un intervalo dado es igual al rea entre la curva de la funcin f(x) y el intervalo mencionado.

DISTRIBUCIN NORMALLa distribucin de probabilidades Normal, es la distribucin de probabilidades continua, ms importante.La grfica de esta distribucin es la de una campana, la funcin de densidad de probabilidad que la define es :

CARACTERSTICAS:1. La curva normal tiene forma de campana.2. Cada distribucin normal especfica se distingue por su media y su desviacin estndar .

3. La media, mediana y moda de la distribucin normal son iguales y se localizan en el centro, justo debajo del pico.

4. La media de la distribucin puede ser cualquier valor numrico: negativo, cero o positivo.

5. La distribucin normal es simtrica respecto a su media.

6. La distribucin normal es asinttica - la curva se acerca cada vez ms al eje x pero en realidad nunca llega a tocarlo.

7. La desviacin estndar determina el ancho de la curva, a mayor desviacin estndar se tienen curvas mas anchas y bajas.

8. las distribuciones normales son una familia.

9. Como en todas las distribuciones continuas, el rea entre la curva y el eje X es igual a 1.

DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR

Se dice que una v.a. que tiene distribucin normal con media cero y desviacin estndar uno tiene distribucin normal estndar de probabilidad.Esta distribucin es la nica para la cual se han tabulado tablas , en las cuales se puede leer las reas (las probabilidades), bajo esta curva.1. Se usa la letra z para representar esta variable aleatoria especial.

2. Los valores de z van desde 3.9 hasta 3.9 (aproximadamente), esto cubre prcticamente todos los valores probables, un valor de z 3.9 puede ocurrir, pero su probabilidad es muy pequea.

DETERMINACIN DE PROBABILIDADES PARA CUALQUIER DISTRIBUCIN NORMALLas probabilidades de cualquier otra distribucin normal se calculan a travs de la distribucin normal estndar.

Para ello hay que encontrar el z equivalente al valor de la variable aleatoria normal , mediante la frmula:

Luego se usa la tabla normal estndar para encontrar la probabilidad deseada para el z hallado..Ejemplo:Para una variable que tiene distribucin normal con media 30 y desviacin estndar 5, el z equivalente a un valor de la variable 28, sera:

EJERCICIOS:

1. Las piezas de pan de centeno distribuidas a las tiendas locales por una panadera

tienen una longitud media de 30 cm y una desviacin estndar de 2 cm. Suponiendo

que las longitudes estn normalmente distribuidas.Qu porcentaje de las piezas

tienen:a) Una longitud menor que 25.5 cmb) Entre 29.3 y 33.5 cm de longitud.c) Ms de 31.7 cm de longitud.

2. Una mquina despachadora de refrescos est regulada para servir un promedio de 200 ml por vaso. Si la cantidad de refresco es normalmente distribuida con una desviacin estndar igual a 15 ml.

a) Qu porcentaje de los vasos contendr ms de 224 ml?

b) Cul es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 ml?

3. Un abogado se traslada diariamente de su casa en los suburbios, a su oficina en el centro de la ciudad. En promedio el viaje le toma 24 minutos con una desviacin estndar de 3.8 minutos. Asuma que la distribucin de los tiempos de traslado est normalmente distribuida.a) Cul es la probabilidad de que un traslado le tome al menos media hora?

b) Si la oficina abre a las 9.00 a.m. Y l sale de su casa a las 8:45 a.m. diariamente.Qu porcentaje de las veces llega tarde a su trabajo?4. El consumo medio diario de agua de un animal de laboratorio es de 16 gramos con una desviacin estndar de 2 gramos, suponga que este consumo presenta una distribucin normal.

i) Cul es la probabilidad de que, si se selecciona un animal al azar, consuma:

a) Menos de 15 gramos

b) Entre 15,50 y 16,25 gramos

c) Ms de 16.50 gramos

ii) Si se tiene una muestra de 65 animales, cuntos se espera que consuman entre 15,50 y 16,25 gramos? (Utilice la probabilidad del punto b).

5. El monto de las facturas que emite diariamente un restaurante sigue una distribucin normal con promedio =80 soles y variancia 2=100 soles2.

a) Cul es la probabilidad que el restaurante emita facturas entre 75 y 105 soles?

b) Si al 25% de clientes que gasta menos se los considera clientes austeros. Al 25% que gasta ms se los considera clientes generosos y al resto se los considera clientes promedio, encuentre el monto de las facturas que clasifican los clientes en dichas categoras

c) Si la factura del cliente es menos que 75 soles la propina esperad del cliente es 1 sol; si el monto de la factura del cliente est entre 75 y 105 la propina esperada sera 5 soles y si la factura del cliente es mayor a 105 soles la propina esperada sera 10 soles. Cul ser la propina promedio de todos los clientes atendidos por el restaurante durante el da?

6. En una poblacin de 1000 estudiantes, las puntuaciones de una prueba de inteligencia (CI) se distribuyen normalmente con media 100 puntos y desviacin estndar de 10 puntos.

a) Cuntos alumnos obtuvieron entre 75 y 125 puntos?

b) Cul es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga un CI de 90 puntos o menos?

c) Si se diera una beca a los 50 estudiantes con mayores CI, Cul es el puntaje mnimo que debera establecerse para otorgar la beca?7. La vida til de una computadora marca ABC sigue una distribucin normal con promedio de 10000 horas y una desviacin estndar de 1000 horas. Cuantificar la probabilidad que para una computadora que acabamos de comprar:

a) Su vida til sea mayor a las 12000 horas

R: 0.023

b) La vida til est entre 8000 y 11000 horas

R: 0.818

8. El capital diario que necesita un hotel para funcionar sigue una distribucin normal con promedio S/ 20000 y desviacin estndar S/1000. Cul ser el monto mnimo que usted recomendara entregar a la administracin del hotel para que la probabilidad que el hotel se quede sin dinero suficiente durante en da cualquiera sea slo 0.01? R: 22330

Nota: Observe que cualquiera que sea la cantidad entregada a la Administracin, sta se quedar sin dinero si los gastos de ese da son mayores a dicha cantidad, y el problema limita la probabilidad de que eso ocurra a solo 0.01.

EMBED Equation.3

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_1264263652.unknown

_1264259123.unknown

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