LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

Miriam ViolaSubgrupo 16

Virgen del Rocío

TEOREMAS

La distribución normal se basa en 2 teoremas:› Teorema del Límite Central› Ley de los Grandes Números

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL

Este teorema dice que si calculamos las medias de todas las posibles muestras obtenidas de una población y lo representamos en una gráfica, vamos a obtener una curva normal, es decir, que la mayoría de las medias se van a encontrar alrededor de la media real.

También dice que el tamaño de la muestra es importante, ya que cuanto mayor sea la muestra, mayor tendencia tendrá para distribuirse normalmente.

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS

Esta ley dice que cuanto mayor sea N, la muestra se aproximará más a la distribución normal.

CURVA NORMAL

La curva normal es por tanto un modelo matemático que nos permite comparar valores mediante unas tablas, pero para ello hay que tipificar los valores; “normalizarlos”.

TIPIFICACIÓN VALORES

Para poder tipificar los valores tenemos que:› Tener una distribución normal› La muestra tiene que ser mínimo de 100

La fórmula que usamos para tipificar es la siguiente:

TABLAS

EJERCICIO 1: ESCALA DE AUTOESTIMA

EJERCICIO 1: ESCALA DE AUTOESTIMA

¿CUÁL ES LA PROBABILIDAD DE QUE UNA DESTINATARIA DE ASISTENCIA SELECCIONADA AL AZAR OBTENGA UNA PUNTUACIÓN DE 10.5 O MENOS EN LA ESCALA DE AUTOESTIMA?

En primer lugar sacamos los datos:› N= 500› Escala de autoestima de 0 a 20› Sigue distribución normal› Media autoestima = 8› D. E = 2

EJERCICIO 1: ESCALA AUTOESTIMA

Una vez sacados los datos, calculamos el porcentaje de mujeres que se encuentran entre las puntuaciones 10.5 y 8; para ello aplicamos la fórmula para tipificar:

El valor que hemos obtenido, 1.25, es el valor tipificado, y es el que tenemos que comparar en las tablas.

EJERCICIO 1 Para buscar el valor en la

tabla, vemos que hay dos columnas, B y C. En este caso nos vamos a fijar en la columna B, puesto que los valores que nos piden están de la media hacia abajo, hasta la Z; la parte superior:

EJERCICIO 1: ESCALA AUTOESTIMA

Al buscar nuestro valor en la tabla y fijarnos en la columna B, nos da 0.3944, que en porcentaje sería 39.44%. Este sería el porcentaje de mujeres que se encuentran entre las puntuaciones 8-10.5

De 8 hacia abajo sería el 50%, ya que 8 es la media.

Así que en total sería= 50+39.44 = 89.44% El 89.44% tendrán una puntuación de 10.5

o menos en la escala de autoestima

EJERCICIO 2: ALTURA DE ADOLESCENTES ANDALUCIA

EJERCICIO 2

¿QUÉ PORCENTAJE DE NIÑOS TIENEN UNA TALLA MENOR DE 150 CM?

Primero sacamos los datos:› Distribución normal› Media= 140 cm› D. E = 5 cm

EJERCICIO 2 En primer lugar calculamos el

porcentaje de niños que se encontrarían entre los 140-150 cm, y para ello aplicamos la fórmula:

El resultado obtenido lo comparamos como hemos hecho anteriormente en las tablas. En este caso también nos fijamos en la columna B porque los valores también se encuentran en la misma zona de la curva:

EJERCICIO 2

Al buscar el valor en la columna B obtenemos el resultado: 0.4772, que al pasarlo a porcentaje sería el 47.72%. Esto sería el porcentaje de niños que se encuentran entre las estaturas de 140-150 cm.

A esto le sumamos el 50%, que correspondería a los niños de estaturas inferiores a 140 cm.

Por lo que en total serían el 97.72%. El 97.72% de los niños tendrán una altura

menor a 150 cm.

EJERCICIO 2 ¿QUÉ PORCENTAJE DE NIÑOS TIENEN

UNA TALLA POR ENCIMA DE 150 CM?

Para calcularlo aplicamos la fórmula:

En este caso nos vamos a fijar en la columna c, puesto que los valores que nos piden se encuentran en la parte superior:

EJERCICIO 2

Al buscar el valor en la columna C de la tabla obtenemos el resultado: 0.0228, lo que sería el 2.28%.

El 2.28% de los niños tendrán una altura superior a 1150 cm.

EJERCICIO 2 ¿CUÁL ES EL PORCENTAJE DE NIÑOS CON

UNA TALLA COMPRENDIDA ENTRE 137.25 Y 145.50?

Primero calculamos el porcentaje de 137.25 hasta 140 y para ello aplicamos la fórmula:

Nos fijamos en la columna B, porque el valor está en el área comprendida entre la media y la Z y nos da 20.88%.

EJERCICIO 2 Luego calculamos el porcentaje de 140 a

145.50, aplicando también la fórmula:

Nos fijamos en este caso también en la columna B por el mismo motivo y obtenemos el porcentaje de 36.43%.

Sumamos los dos porcentaje y obtenemos el total de 57.31%

El 57.31% de los niños tendrán una altura comprendida entre 137.25 y 145.50 cm

EJERCICIO 3: GLUCEMIA BASAL

EJERCICIO 3

CALCULA LA PROPORCIÓN DE DIABÉTICOS CON UNA GLUCEMIA BASAL INFERIOR O IGUAL A 120

Primero sacamos los datos:› Distribución normal› Media = 106› D.E = 8

EJERCICIO 3

Calculamos el porcentaje de 120 a 106 con la fórmula:

Buscamos el valor en la tabla y nos fijamos en la columna B por los motivos antes dichos y obtenemos 0.4599 = 45.99%

A esto le sumamos el 50% que corresponde al porcentaje de los diabéticos con una glucemia inferior a 106, ya que 106 es la media.

Por lo tanto, el total sería: 95.99% El 95.99% de los diabéticos tendrán una glucemia igual

o inferior a 120.

EJERCICIO 3 LA PROPORCIÓN DE DIABÉTICOS CON

UNA GLUCEMIA BASAL COMPRENDIDA ENTRE 106 Y 110 MG POR ML

Calculamos el porcentaje de 106 a 110 aplicando la fórmula:

Buscamos el dato en la tabla y nos fijamos en la columna B porque está a la derecha y obtenemos 0.1915, lo que sería el 19.15%.

El 19.15% de los diabéticos tendrán una glucemia comprendida entre 106-110

EJERCICIO 3 LA PROPORCIÓN DE DIABÉTICOS CON UNA

GLUCEMIA BASAL MAYOR DE 120 MG POR 100 ML

Calculamos el porcentaje de 120 hacia delante aplicando la fórmula:

Como es de 120 hacia delante, es decir, los valores que estamos buscando están de Z hacia delante, nos fijamos en la columna C y obtenemos: 0.0401, lo que sería el 40.01%.

El 40.01% de los diabéticos tendrán una glucemia mayor a 120

EJERCICIO 3

EL NIVEL DE GLUCEMIA BASAL TAL QUE POR DEBAJO DE ÉL ESTÁN EL 25% DE LOS DIABÉTICOS, ES DECIR, EL PRIMER CUARTIL

Este ejercicio se hace de manera distinta al resto. En primer lugar, como nos están diciendo que es

el 25%, sabemos que sería 0.25. Este valor sería el que aparece en la tabla, así que tenemos que buscar qué Z se corresponde al 0.25.

Tendríamos que fijarnos en la columna C, puesto que nos dicen que los valores se encuentran por debajo de Z.

EJERCICIO 3

Buscamos el valor 0.25 en la columna C, pero vemos que no hay un valor exacto, así que cogemos la Z que corresponde al valor superior a 0.25 y el inferior a 0.25 que serían: -0.67 y -0.68 y hacemos la media: -0.675.

Entonces -0.675 sería la Z que estamos buscando. Como ya tenemos Z y el problema nos da la D.E y la media, podemos despejar de la fórmula la X que sería el valor de la glucemia.

EJERCICIO 3

Por tanto, el valor de glucemia, tal que por debajo de él se encuentra el 25% de los diabéticos es 100.6