DISTRIBUCIN NORMAL

DISTRIBUCIN NORMALIntroduccinLa distribucin normal o distribucin gaussiana, es la mas importante de las distribuciones de probabilidad. Se trata del modelo continuo ms importante en estadstica , tanto por su aplicacin directa, veremos que muchas variables de inters general pueden describirse por dicho modelo.

HistoriaLa distribucin normal fue presentada por vez primera por Abraham de Moivre en un artculo del ao 1733, que fue reimpreso en la segunda edicin de su The Doctrine of Chances, de 1738, en el contexto de cierta aproximacin de la distribucin binominal para grandes valores de n. Su resultado fue ampliado por Laplace en su libro Teora analtica de las probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema de De Moivre Laplace.Distribucin Normal GeneralLa distribucin normal depende de los parmetros , , que son sus medidas y su desviacin tpica. El echo de que la variable X se distribuya con una distribucin normal de media y desviacin tpica se representa por:

Su funcin de densidad es :

Las caractersticas de dicha funcin sern :Primera derivada:

La segunda derivada es:

Igualando a cero la primera derivada obtenemos que y=0 para X= y para X=.Como la segunda derivada en X= es negativa, concluimos que la funcin de la densidad presenta un mximo en X=.

6Distribucin Normal Reducida(Tipificada)Si, a partir de una variable X que siga una distribucin Normal obtenemos una variable Z que sea:

su funcin de densidad vendr dada por la siguiente expresin:

donde dado que

As

luego

Comparando f(Z) con f(X) es fcil ver que la funcin de la densidad Z seria la de una distribucin normal que tenga por parmetros = 0, =1

EjemplosEl tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye segn una distribucin normal, con media de 5 das y desviacin tpica 1 da. Calcular el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 das.t1= -y t2= (7 -5)/1 = 2

En la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a un tiempo inferior a 7 das.). Esta probabilidad es 0,9772. Por lo tanto, el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 das es del 97,7%.Ejemplo 2La vida media de una lmpara, segn el fabricante, es de 68 meses, con una desviacin tpica de 5.Se supone que se distribuye segn una distribucin normalEn un lote de 10.000 lmparas.a)Cuntas lmparas superarn previsiblemente los 75 meses?. b) Cuntos lmparas se estropearn antes de 60 meses?a) t = (75 -68)/5 = 1,4 P (X > 75) = (t > 1,4) = 1 - P (t1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808 Luego, el 8,08% de las lmparas (808 lmparas) superarn los 75 meses

b) t = (60 -68)/5 = -1,6P (X60) = (t -1,6) = P (t> 1,6) = 1 - P (t 1,6) = 0,0548Luego, el 5,48% del lote (548 lmparas) no llegarn probablemente a durar 60 meses

bibliografiahttp://www.leondariobello.com/OA/distribucionnormal/http://www.ub.edu/stat/GrupsInnovacio/Statmedia/demo/Temas/Capitulo4/B0C4m1t4.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normalhttp://www.uv.es/ceaces/pdf/normal.pdfUNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARMENCAMPUS PRINCIPALDES CIENCIAS QUIMICAS Y PETROLERASINGENIERIA PETROLERA

TEMA: DISTRIBUCION NORMAL Y BINOMIAL

MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

MAESTRA: ELDA NOHELIA

ALUMNOS:LUIS MIGUEL BLANCAS ALGONSOMARTIN ADRIAN CERVERA CHI

SEMESTRE:3

CD DEL CARMEN, CAMPECHE, 04 DE SEPTIEMBRE DEL 2012

Dato histrico

El clculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemtico suizo Jacob Bernoulli (1654-1705). Bernoulli defini el proceso conocido por su nombre el cual establece las bases para el desarrollo y utilizacin de la distribucin binomial.

17La distribucin binomialLa distribucin de probabilidad binomial es un ejemplo de distribucin de probabilidad discreta. Esta formada por una serie de experimentos de Bernoulli. Los resutados de cada experimento son mutuamente excluyentes.Para contruirla necesitamos:1 - la cantidad de pruebas n 2 - la probabilidad de xitos p3 - utilizar la funcin matemtica.18

La funcin P(x=k)A continuacin vemos La funcin de probabilidad de la distribucin Binomial, tambin denominada Funcin de la distribucin de Bernoulli:

k - es el nmero de aciertos. n - es el nmero de experimentos. p - es la probabilidad de xito, como por ejemplo, que salga "cara" al lanzar la moneda.1-p - tambin se le denomina como q

19Ejemplo1 de la funcinF(x=k)

Cul es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?El nmero de aciertos k es 6. Esto es x=6El nmero de experimentos n son 10La probabilidad de xito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% 0.50La frmula quedara:

P (k = 6) = 0.205Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5% .

20Ejemplo 2 de la funcinF(x=k)

Cul es la probabilidad de obtener cuatro veces el nmero 3 al lanzar un dado ocho veces?El nmero de aciertos k es 4. Esto es x=4El nmero de experimentos n son 8La probabilidad de xito p (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0.1666)La frmula queda:P (k = 4) = 0.026Es decir, que la probabilidad de obtener cuatro veces el nmeros 3 al tirar un dado 8 veces es de 2.6%.

21Tabla de probabilidad binomialCmo utilizar la tabla de la distribucin Binomial?

Supongamos que lanzamos al aire una moneda trucada. Con esta moneda la probabilidad deobtener cara es del 30%. La probabilidad que salga cruz ser, pues, del 70%. Lanzamos lamoneda 10 veces de manera consecutiva. Si queremos calcular la probabilidad de queobservemos 6 caras o menos nos fijamos en la tabla: localizamos n=10, x=6, p=0.3 ybuscamos la interseccin: 0.989422Tabla de probabilidad binomial

23ReferenciasAnderson, S. (2006). Estadsticas para administracin y economa, ( 8tva ed.) Mxico: Thomson.

Newbold, P. (2003). Statistics for Business And Economics, (5ta. Ed.). New Jersey: Prentice Hall.

Bluman, A. G. (2007). Statistics. (6ta ed.). New York: Mc Graw Hil,New York.

http://karnak.upc.es/teaching/estad/MC/taules/com-usar-taules.pdf24