(teorÍa) distribución normal

Probabilidades

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD CONTINUA

Distribución de probabilidad normal

La distribución más importante de probabilidad para describir una variable aleatoria

continua es la distribución de probabilidad normal. Esta tiene un gran variedad de

aplicaciones practicas en las que las variables aleatorias son altura y peso de personas

puntuaciones de examen, mediciones científicas, precipitaciones, etc.

También se utiliza en inferencia estadística, que es el tema principal, en estas aplicaciones

la distribución de probabilidad normal permite tener una descripción de los resultados

probables obtenidos mediante el muestreo.

Curva Normal

La forma de la distribución de probabilidad normal es la curva acampanada de la de la figura 1.

La función de densidad de probabilidad que la define es la siguiente:

1 Sandra Cecilia Loaiza Chumacero - Lic. En Estadística

Función de densidad de probabilidad normal

Media Varianza Desviación estándar

Función de densidad de probabilidad normal


Probabilidades

Hay ciertas observaciones por hacer acerca de las características de la distribución de la probabilidad normal.

1.- La familia completa de distribuciones de probabilidad normal se diferencia por µ y su desviación estándar σ.

2.- El punto mas alto de la curva normal es la media, que también es la mediana y la moda de

la distribución.

3.- La media de la distribución puede ser cualquier valor numérico: negativo, cero o positivo, La

Variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞).

4.- La distribución de probabilidad normal es simétrica, y su forma a la izquierda de la media es una imagen peculiar de la forma de la derecha de la media. Las colas, es decir los extremos o los lados de la curva se prolongan al infinito en ambas direcciones, nunca tocan el eje horizontal.

5.- La desviación estándar determina el ancho de la curva. A valores mayores de la desviación estándar se tienen curvas mas anchas y bajas, que muestran una mayor dispersión de los datos.

A continuación vemos dos distribuciones normales


Probabilidades

6.- Las probabilidades para la variable aleatoria normal están dadas por áreas bajo la curva. El área total bajo la curva para la distribución de probabilidad normal es 1 (esto se cumple para todas las distribuciones continuas de probabilidad). Debido a que la distribución es simétrica, el área total bajo la curva a la izquierda de la media es 0.50 y el área total bajo la curva a la derecha es 0.50.

7.- El porcentaje de valores en algunos intervalos de uso común son: cubren respectivamente el 68.26%, 95.44% y 99.74% de área.

Áreas bajo la curva de cualquier distribución de probabilidad normal


Probabilidades

Distribución normal estandarizada N (Z, 0,1)

Todas las variables con distribución normal N (X, pueden transformase en otra distribución normal mas simple con y , N , a esta distribución de llama normal estandarizada o normal reducida.

Como otras variables aleatorias continuas, los cálculos de probabilidad con cualquier distribución normal se llevan a cabo determinando las áreas bajo la grafica de la función de densidad de probabilidad. Así para determinar la probabilidad de que una variable aleatoria normal este dentro de un intervalo especifico, debemos calcular el área bajo la curva normal en ese intervalo. Para la distribución de probabilidad normal estándar se han determinado las áreas bajo la curva norma, y se muestra en tablas que se pueden usar para calcular probabilidades.

Búsqueda en la tab la de va lor de Z

Unidades y déc imas en la co lumna de la i zqu ierda .Centés imas en la f i la de arr iba .

P(Z ≤ a)

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)


Probabilidades

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )


Probabilidades

Nos encontramos con e l caso inverso a los anter iores, conocemos e l va lor de la probabi l idad y se trata de hal lar e l va lor de la absc isa. Ahora tenemos que buscar en la tabla e l valor que más se aproxime a K .

P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

p = K

Para ca lcu lar la var iab le X nos vamos a la fórmula de la t ip i f icac ión.

Ejemplos:

1.- ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre 0 y -2.03?


Probabilidades

P ( -2.03< z< 0) = P ( 0 < z< 2.03) = 0.4788

Puntuación Z

probabilidad menor igual que

Probabilidad mayor que Z

Probabilidad entre los dos valores de Z

0 0.5 0.5 0.47882173-2.03 0.02117827 0.97882173

2.- ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z esté entre -2.03 y 2.03?

En el ejemplo 1, vimos que la probabilidad de que z estuviera entre 0 y 2.03= 0.47882

La misma área hay entre 0 y -2.03, por lo tanto:


Probabilidades

P (-2.03< z< 2.03) =

P (-2.03< z< 0) +P (0 < z< 2.03)

P (-2.03< z< 2.03) = 0.4788 + 0.4788

P (-2.03< z< 2.03) = 0.95764

Puntuación Z




2.03 0.97882173 0.02117827 0.478821730 0.5 0.5 0.47882173

-2.03 0.02117827 0.97882173 0.957643461

3.- ¿Cuál es la probabilidad de que un valor de z sea mayor a 1.25?

La probabilidad de 0 < z < +¥ = 0.500

La probabilidad de 0 < z < 1.25 = 0.39435

La probabilidad de z > 1.25 = 0.500 - 0.39435= 0.10565


Probabilidades

Puntuación Z




1.25 0.894350226 0.105649774 0.3943502260 0.5 0.5

0.105649774

4.- Hallar P( -0.34 < z < ¥ )

P(0 < z <0.34) = 0.13307 = P(-0.34 < z < 0) P (0 < z < ¥ ) = 0.50000 P( -0.34 < z < ¥) =0.13307 + 0.50000 = 0.63307

Puntuación Z




0 0.5 0.5 0.133071736-0.34 0.366928264 0.633071736

0 0.5 0.5 0.50.633071736

5.- Hallar P( 0.34 < z < 2.30)


Probabilidades

P (0< z <0.34) = 0.13307P (0 < z < 2.30) = 0.4893

P (0.34 < z < 2.30) = 0.48930 - 0.13307 = 0.35623

Puntuación Z




2.3 0.98927589 0.01072411 0.3562041540.34 0.633071736 0.366928264

Determinación de probabilidades para cualquier

Distribución Normal

La razón de haber descrito antes con tanto detalle la distribución normal estándar es que

todas las probabilidades de todas las distribuciones normales se determinan con la

distribución normal estándar. Esto es, cuando nos encontramos con una distribución


Probabilidades

normal con media µy desviación estándar σ, resolvemos las interrogantes acerca de una

distribución convirtiéndola primero a una distribución normal estándar.

Para determinar la probabilidad se utiliza la tabla Z. La formula que se usa para pasar de

cualquier variable aleatoria normal X, con media µ y desviación estándar σ, a la

distribución normal estándar es la siguiente:

Ejemplo:

Las notas de 188 estudiantes de magister de la Universidad Católica se distribuyen

normalmente con media 82.5 y 12.55 de desviación estándar.

a) Determine la probabilidad que un estudiante elegido tenga una nota entre 85 y 90

puntos?

Solución:


La distribución normal estandarizada


La distribución normal estandarizada


Probabilidades

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

b) Un estudiante tenga una nota mayor que 100 P(X>100),

Los estudiantes con notas mayores de 100 puntos den tener al menos una nota de 100.5 puntos. P(X>100.5)

Estandarizando

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

Aproximación normal a la Distribución Binomial

Por teorema

p= probabilidad de éxitoq = probabilidad de fracaso


0.20 0.60

Probabilidades

La distribución binomial que da las funciones esperadas para 0,1,2,…….,n éxitos en n experimentos tiene como media y desviación típica .

Ejemplo:

a) ¿Cuántos estudiantes tienen una nota entre 85 y 90 puntos? Sol.Conociendo la probabilidad P y el número de elementos de la población N, el número de estudiantes con nota entre 85 y 90 puntos esta dado por:

=188(0.1465) = 27.542

b) Los estudiantes con notas mayores de 100 puntos

=188(0.5764) = 108.3632

Recuerde que en una distribución de probabilidad continua las probabilidades se calculan como áreas bajo la curva de la función de densidad de probabilidad. En consecuencia, la probabilidad que tiene un solo valor de la variable aleatoria es cero. Por tanto, para aproximar la probabilidad binomial de 12 éxitos se calcula el área correspondiente bajo la curva normal entre 11.5 y 12.5.

Al 0.5 que se suma y se resta al 12 se le conoce como factor de corrección por continuidad. Este factor se introduce debido a que se está usando una distribución continua para aproximar una distribución discreta. Así, P(X = 12) de una distribución binomial discreta se aproxima mediante P(11.5≤ X≤ 12.5) en la distribución normal continua.

Distribuciones de probabilidad continua con Excel

Excel permite calcular las probabilidades de varias distribuciones de probabilidad continuas. Entre las que se encuentran las distribuciones de probabilidad normal y exponencial. En este apéndice, se describe cómo usar Excel para calcular probabilidades en cualquier distribución normal.


Probabilidades

El procedimiento para la exponencial y para las otras distribuciones continuas es semejante al descrito aquí para la distribución normal.

La función de Excel DISTR.NORM. suministra probabilidades acumuladas de una distribución normal. La forma general de la función es DISTR.NORM (x,media,desv_estándar,acum).

En el cuarto argumento se especifica VERDADERO si se desea una probabilidad acumulada. De esta manera, para calcular la probabilidad acumulada de que la duración de un neumático sea menor o igual que 40 000 millas se ingresará la fórmula siguiente en cualquier celda de la hoja de cálculo Excel:

= DISTR.NORM(40000,36500,5000,VERDADERO)

En este momento, en la celda en que se ingresó la fórmula aparecerá 0.7580, indicando que la probabilidad de que la duración del neumático sea 40 000 millas es 0.7580. Por tanto, la probabilidad de que un neumático dure más de 40 000 millas es 1 - 0.7580 = 0.2420.

La función de Excel DISTR.NORM.INV. usa un cálculo inverso para hallar el valor de x que corresponde a una probabilidad acumulada dada. Por ejemplo, si se desea hallar la duración que Grear debe ofrecer en su garantía de manera que no más de 10% de los neumáticos sean aptos para solicitar la garantía. Se ingresará en cualquier celda de la hoja de cálculo de Excel la fórmula siguiente:

=DISTR.NORM.INV(0.1,36500,5000)

En este momento, en la celda en la que se ingresó la fórmula aparecerá 30092, indicando que la probabilidad de que un neumático dure 30 092 millas es 0.10.


(teorÍa) distribución normal

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