DISTRIBUCIN NORMAL

DISTRIBUCIN NORMALEs una distribucin terica de variable continua Es el modelo de probabilidad de mayor uso para las variablesEs una curva simtrica en forma de campanaNos permite determinar si una muestra est perfectamente distribuida.Todas sus medidas de tendencia central son idnticasLa variable aleatoria asociada tiene un intervalo infinito - < x < + Puede expresarse en la forma general o estandarizada.

FUNCIN DE PROBABILIDAD DE DISTRIBUCIN NORMAL La variable aleatoria continua X tiene distribucin normal con media y varianza 2 si la funcin de probabilidad es:

: Media 2 : Varianza : 3.1416 e : 2.71828 : Desviacin estndar x : Valor en el eje horizontal- < x < + DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDARSi transformamos la variable original X ~ N(, 2) entonces la variable aleatoria continua se dice tiene distribucin normal estndar, con media = 0 y 2 =1 esta transformacin constituye la estandarizacin de la CURVA NORMAL ESTANDARIZADA O TIPIFICADA de 0 a z y su funcin de probabilidad es: - < x < +

USO DE TABLA DE LA DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR tabla

Si P(z -a) = 1 P(z a) Si P(z > -a ) = P(z a)

Si P(a < z b) = P(z b) P(z a) Si P(-b 9,1) = P(S2 > 36.4) = 0.05 P(S2 > 9,1) = 0.05DISTRIBUCIN t-de STUDENTSea Z una variable aleatoria N(0, 1) y sea Y una variable aleatoria que tiene una distribucin X2 con v grados de libertad, y si z e Y son independientes, entonces la variable aleatoria: Se dice que tiene una distribucin t-student con v grados de libertad y su funcin de densidad est dada por:

Grfica de la funcin de densidad de la variable aleatoria T

Caractersticas de la distribucin tCada curva t(v) tiene forma acampanada con centro en 0Cada curva t(v) es ms dispersa que la curva normal estndarLa distribucin t no tiene media cuando v=1 y la varianza no existe cuando v=1 o 2La = 0 si v>1 y 2 = v /v-2 si v>2 Conforme aumenta v, la dispersin de la curva t(v) disminuye.

Ejercicios utilizando la tabla t-student1. Si v =10, hallar el valor crtico de t para el cual el valor del rea a la izquierda sea 0.995 P(T t0.995 ) = 3,169 1- 0.995 = 0.005

2. Si v = 9, hallar el valor crtico de t para el cual el valor del rea a la derecha sea 0.05 P(T > t0.05 ) Entonces si rea es > 0,05 entonces 1 0,05 = 0,95, por lo tanto:P(T > t0.95 ) = 1,83

3. Si v = 12, hallar el valor crtico de t para el cual el valor del rea a la derecha sea 0,025 P(T>= t0.025 ) = 2,179

4. Hallar la probabilidad de: P( T 1.356) si v =12 P(T 1.356) = 1 P(T 1.356) = 1 0,90 = 0,10

5. Hallar la probabilidad de P(T< 2.764) si v=10P(T< 2.764) = 0,99 es decir 1- 0.01 = 0.99

7. . Hallar la probabilidad de P (-1.812 T 2.228) si v = 10 P (-1.812 T 2.228) = P(T 2.228 ) P(T -1.812) = P(T 2.228 ) - [ 1 P(T 1.812) ] = 0.975 - [ 1- 0.95 ] = 0.975 0.050 = 0,925

Distribucin muestral asociada a la distribucin tSi la variable aleatoria X se distribuye normalmente, entonces el siguiente estadstico tiene una distribucin t con n - 1 grados de libertad

Los grados de libertad n - 1 estn directamente relacionados con el tamao de la muestra n.

A medida que el tamao de la muestra y los grados de libertad se incrementan, S se vuelve una mejor estimacin de .

Ejercicio 1El gerente de una planta de alimentos asegura que el peso promedio del producto que elabora es de 100 g. Un inspector toma una caja de 10 paquetes del producto y al pesarlos la desviacin estndar muestral es de 5 grs Cul es la probabilidad de que un cliente encuentre una caja con un peso promedio menor a 95grs?

SOLUCIN:

100 - 95 t= ----------------- = 3.162 5/10 P( < 95) = P(t< 3.162) CON 10 1 = 9 g.l.P( < 95) = 0.995 = 95 n = 10 s= 5x = 100

Ejercicio 2El promedio de la longitud de los tornillos fabricados en una fbrica es de 20 mm. con una desviacin de 1mm. Calcular la probabilidad de que en una muestra de 25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20,5mm. SOLUCIN:n = 25 s = 1 x = 20,5 =20P(< 20.5) 20,5 20Estandarizamos = t = ------ ---------- = 2.5 1/5

P(< 20.5) = P(t < 2.5) con n-1 g.l. es decir 25 1 = 24 g.l. P(< 20.5) = 0.99

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20,5 mm. Es de 0. 99