distribuciÓn de cortantes por torsiÓn

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

EVALUACIÓN DE CRITERIOS DE DISTRIBUCIÓN DEL CORTANTE POR TORSIÓN SÍSMICA ESTÁTICA

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE

INGENIERO CIVIL

P R E S E N T A

CARLO MAGNO CISNEROS ALVAREZ

DIRECTOR DE TESIS: DR. JOSÉ ALBERTO ESCOBAR SÁNCHEZ

Mayo 2003

C O N T E N I D O 1. Introducción

2. Antecedentes

2.1. Distribución de cortantes por torsión

3. Diseño por torsión sísmica estática

4. Conceptos de excentricidad estática para calcular momentos torsionantes de entrepiso

4.1. Excentricidad de piso

4.2. Excentricidad de entrepiso

5. Procedimientos para distribuir las fuerzas sísmicas por torsión

5.1. Procedimiento de Rosenblueth y Esteva

5.2. Procedimiento de Ávila

5.3. Procedimiento de Goel y Chopra

5.4. Procedimiento de Bazán y Meli

5.5. Procedimiento Simplificado de Diseño 6. Aplicación

6.1. Cálculo del momento torsionante con la excentricidad de piso 6.2. Cálculo del momento torsionante con la excentricidad de entrepiso

6.3. Cálculo con el procedimiento de Rosenblueth y Esteva

6.4. Cálculo con el procedimiento de Ávila

6.5. Cálculo con el procedimiento de Goel y Chopra

6.6. Cálculo con el procedimiento de Bazán y Meli

6.7. Cálculo con el Procedimiento Simplificado de Diseño

2

7. Discusión de resultados

8. Conclusiones y recomendaciones

3

1. INTRODUCCIÓN

Una de las principales causas de daño por sismo en estructuras asimétricas son las producidas por la torsión (Zapata, 1993). Este fenómeno se debe principalmente a la distribución asimétrica de las masas, las rigideces y las resistencias de los elementos que deben soportar las fuerzas laterales producidas por un sismo. Una gran mayoría de los métodos existentes de diseño por torsión sísmica incluyen una gran precisión en los cálculos para obtener los cortantes de diseño, pero caen en la complejidad para poderse aplicar de manera práctica. Anteriormente, una vez que se distribuían los cortantes por torsión entre los elementos resistentes, se llevaban a cabo sus análisis correspondientes mediante modelos matemáticos planos, práctica que resulta laboriosa y compleja. Por otro lado, actualmente es muy común en los despachos de cálculo contar con programas de análisis estructural capaces de analizar modelos estructurales tridimensionales. Ante esta situación surge la necesidad de aprovechar la existencia de este tipo de programas para incluir, dentro del análisis de las estructuras, el efecto de la torsión sísmica. Para ello, es necesario desarrollar métodos de diseño por torsión de estructuras que, con ayuda de programas comerciales de análisis estructural, incluyan este efecto. En este trabajo se evalúan diferentes métodos para distribuir las fuerzas cortantes por torsión sísmica en edificios de varios pisos. Se hace énfasis, muy particularmente, en métodos que han sido desarrollados para ser aplicados utilizando programas comerciales de análisis estructural. Como ejemplo se estudia un edificio de 5 pisos que ha sido diseñado por torsión sísmica estática. Los resultados de los métodos evaluados se comparan con los obtenidos al aplicar el método tradicional y se discute sobre sus ventajas y desventajas. Esta discusión se lleva a cabo desde diferentes puntos de vista. Fundamentalmente se busca establecer cuál procedimiento es capaz de determinar las fuerzas de diseño en los elementos estructurales de los edificios, debido a la torsión, de manera práctica y sin perder precisión en los cálculos.

4

2. ANTECEDENTES

2.1 DISTRIBUCIÓN DE CORTANTES POR TORSIÓN El efecto de torsión en cada entrepiso de una estructura se genera por el momento torsionante debido a la fuerza cortante sísmica multiplicada por la excentricidad estática ( ) que es considerada como la distancia entre el centro de masas (CM) y el centro de torsión (CT) Figura 2.1

se

En edificios de varios pisos las fuerzas cortantes son la acumulación de las fuerzas sísmicas arriba del piso considerado. Estas fuerzas cortantes no actúan en el CM, sino en el centro de cortantes (CV), excepto en el piso superior en donde coincide el CV con el CM. El centro de rigidez o centro de torsión (CT) es el punto de giro del entrepiso y depende de la rigidez estructural de los elementos resistentes y de su posición con respecto al CT. Cuando el CT coincide con el CV, el desplazamiento relativo de los entrepisos provocado por la fuerza cortante sísmica será únicamente de traslación, de lo contrario existirá rotación debido a una excentricidad estructural.

CT

es

Y

XV xi

kxj

kxj

CV

Figura 2.1. Entrepiso i de una estructura donde la fuerza cortante sísmica actúa en el CV

5

De la figura 2.1 La fuerza sísmica en cada elemento resistente j es:

xjxjxjkV ∆= (2.1)

xj

xj

xj kV

=∆∴ (2.2)

Donde es la rigidez del elemento resistente j y es su desplazamiento. xjk xj∆Para todos los elementos resistentes del entrepiso:

xjxjxjxi kFV ∆Σ=Σ= (2.3)

xj

xixj k

VΣ

=∆∴ (2.4)

Pero por considerar al entrepiso como diafragma rígido:

xj

xi

xj

X

kV

kF

j

Σ= (2.5)

por lo tanto se obtiene el cortante directo del entrepiso

xixj

xjX V

kk

Fj Σ= (2.6)

Por otro lado, para calcular el momento torsionante, se considera el desplazamiento del entrepiso i de la estructura debido a la aplicación de la fuerza cortante sísmica en el CV Figura 2.2

6

esy

αθ

α

V xi

CT

Y

r

∆Y

∆

FYT

∆X

.FXT

X

esx

V yi

CV

yjt

xjt

Figura. 2.2 Desplazamiento del entrepiso i debido a la fuerza cortante sísmica aplicada en el CV

El momento por torsión debido a la cortante sísmica y a la excentricidad estructural en ambas direcciones es:

syxiTX eVM = (2.7)

sxyiTY eVM = (2.8) La fuerza en cada elemento resistente en las dos direcciones es:

xxjXT kFj

∆= (2.9)

yyjYT kF

j∆= (2.10)

Por trigonometría:

(2.11) αcos∆=∆ x

(2.12) αseny ∆=∆

7

Sustituyendo las ecuaciones 2.11 y 2.12 en 2.9 y 2.10 se tiene:

αcos∆= xjXT kFj

(2.13)

αsenkF yjYTj

∆= (2.14)

Pero, si θ es pequeño:

ry

jt=αcos (2.15)

rx

sen jt=α (2.16)

Ahora se sustituyen las ecuaciones 2.15 y 2.16 en 2.13 y 2.14:

ry

kF jt

xjXTj∆= (2.17)

rx

kF jt

yjYTj∆= (2.18)

Pero:

rθ=∆ (2.19)

Sustituyendo la ecuación 2.19 en 2.17 y 2.18 se tiene:

jtxjXT ykFj

θ= (2.20)

jtyjYT xkF

jθ= (2.21)

El momento de torsión de cada una de estas fuerzas con respecto al CT de entrepiso es:

jtXTxiyFM

j= (2.22)

jtYTyi

xFMj

= (2.23)

Sustituyendo las ecuaciones 2.20 y 2.21 en 2.22 y 2.23 se obtiene:

8

2jtxjxi ykM θ= (2.24)

2jtyjyi xkM θ= (2.25)

El momento de torsión interno será:

22jtyjjtxjyixiT xkykMMM θθ +=+= (2.26)

En general, para todos los elementos resistentes del entrepiso:

( )2222jtyjjtxjjtyjjtxjT xkykxkykM ∑+∑=∑+∑= θθθ (2.27)

De donde, el giro del entrepiso será:

( )22jtyjjtxj

T

xkykM

∑+∑=θ (2.28)

Sustituyendo la ecuación 2.28 en 2.20 y 2.21 se obtiene el cortante por torsión para la dirección X en el j-ésimo elemento resistente como:

( ) jtxjjtyjjtxj

TXxjXT yk

xkykMykF

j 22 ∑+∑== θ (2.29)

Para la dirección Y

( ) jtyjjtyjjtxj

TYyjYT xk

xkykMxkF

j 22 ∑+∑== θ (2.30)

Finalmente, el cortante sísmico de diseño en el j-ésimo elemento resistente del i-ésimo entrepiso será la suma del cortante directo más el cortante por torsión, esto es:

( ) jtxjjtyjjtxj

TXxi

xj

xjXTXi yk

xkykMV

kk

FFVxjj 22 ∑+∑

+∑

=+= (2.31)

( ) jtyjjtyjjtxj

TYyi

yj

yjYTYi xk

xkykMV

kk

FFVyjj 22 ∑+∑

+∑

=+= (2.32)

9

3. DISEÑO POR TORSIÓN SÍSMICA ESTÁTICA

La mayoría de los reglamentos de diseño por sismo utilizan excentricidades de diseño para calcular los efectos de torsión que se presentan en las estructuras, ya que existen incertidumbres sobre la posición exacta del CM y el CT, debido a la diferencia de llegada de las ondas sísmicas a los apoyos de las estructuras, en las propiedades de los materiales de construcción, diferencias de acoplamiento entre la estructura y el suelo de desplante. Por lo que, para el RCDF en el párrafo 8.6 de las Normas Técnicas Complementarias pora Diseño por Sismo (NTCDS, 2001) especifica que el momento torsionante será igual a la fuerza cortante de entrepiso multiplicada por la excentricidad de diseño, que para cada sistema resistente resulte más desfavorable entre:

beed s βα +=1 (3.1)

beed s βδ −=2 (3.2) Donde, para el RCDF, α=1.5 y δ=1.0, son los factores de amplificación dinámica, ß=0.1 es el factor de excentricidad accidental y se representa como un porcentaje de b, donde es la máxima dimensión en planta medida perpendicularmente a la dirección que se este analizando.

b

Se puede observar que el efecto de torsión, está en función del cortante directo, de la excentricidad estructural o estática, de los factores de amplificación dinámica y de la posición de cada elemento con respecto a CT (ec.3.9). Los efectos de la torsión accidental se incluyen mediante un momento torsionante que se obtiene de suponer que la fuerza cortante que actúa en el entrepiso se desplaza de su posición original una cierta cantidad. Así, es necesario hacer un análisis de la estructura para cada posición del CM desplazado de su posición nominal una cantidad ( Escobar et al, 2002).

bβ±

También se debe tener presente que los dos componentes horizontales ortogonales del movimiento del terreno, ocurren simultáneamente, aunque no es probable que ambos tengan a la vez su máxima intensidad. El párrafo 8.8 de la NTCDS, 2001 considera estos conceptos estipulando que cada sección crítica de un edificio debe resistir la suma vectorial de los efectos (desplazamientos y fuerzas internas) de un componente del movimiento del terreno con 0.3 de los del otro, en adición a las fuerzas gravitatorias.

10

El RCDF, permite llevar a cabo un análisis estático de las estructuras, como alternativa, siempre y cuando dichas estructuras no rebasen los 60m de altura. Las solicitaciones que se obtienen con éste análisis difieren de las que resultan de un análisis dinámico. Para considerar los efectos dinámicos en un análisis estático se utiliza un factor de amplificación dinámica de la excentricidad estática, que la corrige dentro de ciertos límites (ecs.3.1 y 3.2) Para el cálculo de las fuerzas de diseño en los elementos resistentes del i-ésimo entrepiso, con el RCDF, primero se calcula el cortante directo de diseño Vd . Este será proporcional a la rigidez lateral, k

j

j, de los elementos y está en función de la fuerza cortante total Vi del entrepiso para cada una de las direcciones ortogonales de la estructura, esto es:

ij

jj V

kk

VdΣ

= (3.3)

La fuerza cortante producida por la torsión sísmica se obtiene del momento torsionante originado por la aplicación de la cortante de entrepiso multiplicada por una excentricidad de diseño . ied (3.4) ( beVedVM siitj 1.05.11 +== )

)( beVedVM siitj 1.02 −== (3.5) Las fuerzas cortantes de diseño debidas a la torsión del entrepiso (ecs. 2.29 y 2.30) se obtienen de la distribución del momento torsionante de acuerdo con la contribución de los elementos resistentes a la rigidez torsional, Kθ, del mismo, esto es:

iijtj

j edVK

xkVt

θ

= (3.6)

Donde

( )22jtyjjtxj xkykK +Σ=θ (3.7)

Son las coordenadas del j-ésimo elemento resistente, con respecto al CT en las direcciones ortogonales X,Y respectivamente. Considerando los efectos anteriores, es posible analizar las estructuras de edificios tomando en cuenta únicamente la traslación de los entrepisos.

jtjt xy ;

11

Así, de acuerdo con las ecuaciones 3.3 y 3.6, el diseño por torsión del j-ésimo elemento resistente de un entrepiso debe incluir un cortante directo Vdi y un cortante por torsión Vti, esto es:

jjj VtVdVT ±= (3.8)

Sustituyendo las ecuaciones 3.3 y 3.6 en la ecuación 3.8 se obtiene el cortante total que deberán resistir los elementos estructurales:

iijtj

ij

jj edV

Kxk

Vk

kVT

θ

±Σ

= (3.9)

Aplicándose el cortante total obtenido en la ecuación anterior (3.9) a los elementos resistentes de la estructura mediante un análisis en el plano, se podrá encontrar las fuerzas para el diseño sísmico de los elementos estructurales.

12

4. CONCEPTOS DE EXCENTRICIDAD ESTÁTICA PARA CALCULAR MOMENTOS TORSIONANTES DE ENTREPISO

Existen dos alternativas para calcular el momento torsionante denominadas excentricidad de piso y excentricidad de entrepiso. Ambas excentricidades permiten obtener el mismo resultado del momento torsionante. En este capítulo se abordarán las definiciones de excentricidad de piso y de entrepiso para calcular momentos torsionantes en el diseño por torsión sísmica estática en edificios de varios niveles.

4.1 EXCENTRICIDAD DE PISO Esta definición utiliza la excentricidad de piso junto con las fuerzas sísmicas estáticas para calcular el momento torsionante. Entonces el momento torsionante de entrepiso se obtiene sumando las torsiones de piso arriba del piso considerado. En esta definición la excentricidad de piso se considera como la distancia entre el CM y el CT del piso. Las coordenadas del CM se calcula como:

∑∑=

i

jim P

yPx (4.1)

∑∑=

i

jim P

xPy (4.2)

Donde Pi son las cargas verticales en el piso y xj, yj son sus coordenadas con respecto a un sistema de referencia. Las coordenadas del CT de piso se calculan como:

( )i

jjjt Fy

xVdyVdyx ∑ −−= 1 (4.3)

13

( )i

jjjt Fx

yVdxVdxy ∑ −−= 1 (4.4)

Donde: xj, yj son las coordenadas de los elementos resistentes. La excentricidad de piso está dada como:

(4.5) tmsx xxe −=

tmsy yye −= (4.6)

La torsión de piso se determina como:

sii eFT = (4.7) Entonces el momento torsionante se obtiene por:

∑=n

iit TM (4.8)

Donde i es el piso y n es el número de pisos. Los pisos son considerados de la siguiente manera:

Figura 4.1. Estructura con pisos acotados

14

4.2 EXCENTRICIDAD DE ENTREPISO En esta definición, el momento torsionante es obtenido directamente como el producto de la fuerza cortante y la excentricidad de entrepiso. En esta definición la excentricidad de entrepiso es considerada como la distancia entre el CV y el CT de entrepiso.

Las coordenadas del CV se obtienen como:

y

myiv V

xFx ∑= (4.9)

x

mxiv V

yFy ∑= (4.10)

Donde son las fuerzas sísmicas, son las coordenadas del CM y

son las fuerzas cortantes del entrepiso. yixi FF , mm yx ,

yx VV ,

Las coordenadas del CT de entrepiso se calculan como:

VyxVdy

x jjt∑= )(

(4.11)

VxyVdx

y jjt∑= )(

(4.12)

Donde Vdx,, Vdy son los cortantes directos de entrepiso, Vy, Vx son las fuerzas cortantes de entrepiso.

Obtenidas las coordenadas del CT de entrepiso y del CV, se procede a calcular la excentricidad de entrepiso como:

tvsy yye −= (4.13)

tvsx xxe −= (4.14)

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Ahora se calcula el momento torsionante que es obtenido multiplicando la fuerza cortante de entrepiso por la excentricidad de entrepiso:

sit eVM = (4.15)

El entrepiso es considerado de la siguiente manera:

Figura 4.2. Estructura con entrepisos acotados

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5. PROCEDIMIENTOS PARA DISTRIBUIR LAS FUERZAS SÍSMICAS POR TORSIÓN

5.1 PROCEDIMIENTO DE ROSENBLUETH Y ESTEVA Para distribuir las fuerzas cortantes por torsión, Rosenblueth y Esteva (1962) proponen el siguiente procedimiento:

1. Calcular las coordenadas del CM con las ecuaciones 4.1 y 4.2

2. Realizar un análisis sísmico estático de la estructura para calcular la fuerza

cortante sísmica en cada entrepiso. La fuerza cortante sísmica es obtenida como la suma de las fuerzas sísmicas Fi aplicadas en los CM de los pisos arriba del entrepiso que se analiza.

3. Calcular las coordenadas del CV con las ecuaciones 4.9 y 4.10.

4. Calcular las rigideces de los elementos resistentes en ambas direcciones y en

todos los entrepisos.

5. Determinar la posición del CT en cada entrepiso como:

∑∑=

yj

jyjt k

xkx (5.1)

∑∑=

xj

jxjt k

yky (5.2)

Donde son las rigideces de los elementos resistente en dirección X y Y respectivamete.

yjxj kk ,

6. Calcular los cortantes directos en cada dirección de análisis con la ecuación

3.3.

7. Determinar las excentricidades estructurales con las ecuaciones 4.13 y 4.14.

8. Obtener las excentricidades de diseño con las ecuaciones 3.1 y 3.2

17

9. Calcular los momentos torsionantes con las ecuaciones 3.4 y 3.5.

10. Calcular los cortantes por torsión con la ecuación 3.6 en ambas direcciones de

análisis.

11. Calcular el cortante total para cada elemento resistente con la ecuación 3.9.

12. Calcular los efectos de torsión en la dirección contraria al análisis.

ty

jtxj

tM

Kyk

Vyθ

= (5.3)

tx

jtyj

tM

Kxk

Vxθ

= (5.4)

Donde son los momentos torsionantes más desfavorables en la dirección ortogonal.

tytx MM ,

13. Para cada elemento resistente se calcula los cortantes debidos al 100 por

ciento de las fuerzas sísmicas en la dirección X, más 30 por ciento de las fuerzas sísmicas en la dirección Y y viceversa. Rige el mayor de los resultados.

;30.0 ti ViVTV +=′ V (5.5) ti ViVT +=′′ 30.0

5.2 PROCEDIMIENTO DE ÁVILA Para evaluar los efectos de torsión, Ávila (1991) propone el siguiente método:

1. Mediante un análisis de cargas obtener las coordenadas del CM en todos los

pisos de la estructura con la ecuación 4.1 y 4.2

2. Determinan las fuerzas sísmicas , que actúan sobre cada unos de los puntos donde se concentraron las masas, por medio de un análisis sísmico estático.

iF

18

3. Calcular los cortantes directos en los elementos estructurales. Esto se puede hacer aplicando estáticamente las fuerzas sísmicas calculadas en el paso anterior en los CM de cada uno de los pisos del modelo tridimensional de la estructura, impidiendo los giros de las losas alrededor de un eje vertical.

4. Calcular las coordenadas del CT de piso con las ecuaciones 4.3 y 4.4

5. Calcular la excentricidad estructural de piso con las ecuaciones 4.5 y 4.6

6. Calcular las excentricidades de diseño en ambas direcciones con las

ecuaciones 3.1 y 3.2, dónde b debe tener el signo que resulte de obtener , según la dirección del sismo.

se

7. Conocidas las coordenadas de los CT y las excentricidades de diseño en

ambas direcciones, calcular las coordenadas de los nuevos centros de masa desplazados ( ) para incluir los efectos de torsión según lo especifican las NTCDS.

mm yx ** ,

[ bexedxx sxttm 1.05.111* ++=+= ]

]

(5.6)

[ bexedxx sxttm 1.022* −+=+= (5.7)

[ ]beyedyy syttm 1.05.111

* ++=+= (5.8)

[ ]beyedyy syttm 1.022* −+=+= (5.9)

8. Realizar los cambios necesarios en el archivo de datos de las coordenadas de los CM del modelo tridimensional de la estructura, por los nuevos centros de masa desplazados calculados en el paso anterior.

9. Para cada dirección se realizan dos análisis sísmicos de tipo estático, uno

para cada juego de centros de masa (desplazados por las excentricidades de diseño) permitiendo traslación y rotación de los entrepisos, Esto es, se llevan a cabo seis análisis estáticos, y de todas las respuestas (desplazamientos y elementos mecánicos) se toma la condición más desfavorable para el diseño sísmico de los elementos resistentes de la estructura.

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5.3 PROCEDIMIENTO DE GOEL Y CHOPRA Para considerar el cortante total en el diseño por torsión, Goel y Chopra (1993) sugieren los siguientes pasos:

1. Calcular las coordenadas del CM de cada uno de los pisos de la estructura con la ecuación 4.1 y 4.2.

2. Calcular mediante un análisis sísmico estático las fuerzas sísmicas

horizontales . Fi

3. Para cada una de las direcciones ortogonales de la estructura, aplicar las fuerzas calculadas en el análisis sísmico estático en los CM de cada uno de los pisos del modelo tridimensional, impidiendo los giros de las losas alrededor de un eje vertical. A los resultados obtenidos de este análisis se le denominará r1.

4. Realizar un análisis de la estructura similar al anterior para cada una de sus

direcciones pero ahora permitiendo el giro de las losas alrededor de un eje vertical. A los resultados obtenidos de este análisis se les denominará r2.

5. Realizar dos análisis de la estructura similar al anterior, pero ahora aplicando

un momento torsionante debido a la excentricidad accidental en cada uno de los pisos. A los resultados obtenidos de estos análisis se le denominará r3, esto es:

iT bVM β±= (5.10)

6. Realizar dos combinaciones en cada dirección con los tres análisis como sigue:

( ) 3211 rrrra ++−= αα (5.11) ( ) 3211 rrrrb −+−= δδ (5.12)

Para el RCDF2001, α=1.5, y δ=1.0, entonces, las ecuaciones anteriores quedan:

325.115.0 rrrra ++−= (5.13) 32 rrrb −= (5.14)

20

7. De las dos ecuaciones anteriores en las direcciones ortogonales, elegir los

valores máximos de las fuerzas y desplazamientos. De estas dos respuestas tomar la condición más desfavorable.

5.4 PROCEDIMIENTO DE BAZÁN Y MELI Para calcular las cortantes de diseño, Bazán y Meli (2000) proponen el siguiente método.

1. Calcular las coordenadas del CM de todos los pisos de la estructura con las

ecuaciones 4.1 y 4.2

2. Calcular la fuerza sísmica horizontal mediante un análisis sísmico estático. Fi

3. Obtener las coordenadas del CV para cada entrepiso, así como su línea de acción en planta por equilibrio estático, con las ecuaciones 4.9 y 4.10.

4. Calcular las rigideces de entrepiso de los elementos resistentes en ambas

direcciones.

5. Determinar la posición del CT de entrepiso con las ecuaciones 5.1 y 5.2

6. Calcular los cocientes del cortante directo y por torsión para cada dirección como:

xj

xj

kk

cdΣ

= (5.15)

θkyk

ct jtxj= y; θkxk

ct jtyj= (5.16)

7. Calcular la excentricidad estructural con las ecuaciones 4.13 y 4.14.

21

8. Determinar las excentricidades de diseño como:

+=

ss e

beed 1.05.11 (5.17)

−=

ss e

beed 1.00.12 (5.18)

El signo de que resulte de las ecuaciones 4.13 y 4.14 debe incluirse en las ecuaciones 5.17 y 5.18.

se

9. Calcular los momentos por torsión utilizando las ecuaciones 5.17 y 5.18

11 edVM it = (5.19)

22 edVM it = (5.20)

10. Calcular los cortantes directos utilizando la fuerza cortante de entrepiso y la ecuación 5.15 de la siguiente forma:

icdVVd = (5.21)

11. Calcular los cortantes por torsión utilizando las ecuaciones 5.16, 5.19 y 5.20 de la siguiente manera:

11 tctMVt = (5.22)

22 tctMVt = (5.23)

12. La fuerza cortante sísmica que debe ser resistida por los elementos

resistentes de la estructura es la suma del cortante directo más el cortante por torsión, por lo que se debe utilizar la ecuación (3.8)

13. Calcular los efectos de torsión en la dirección contraria al análisis.

0tt ctMVj = (5.24)

Donde es el momento torsionante más desfavorable en la dirección ortogonal.

0tM

22

14. La combinación de los efectos bidireccionales se realiza con el 100 por ciento

de la dirección del sismo con 30 por ciento en dirección ortogonal utizando la ecuación (5.5)

5.5 PROCEDIMIENTO SIMPLIFICADO DE DISEÑO Para simplificar el diseño por torsión sísmica estática, Escobar, et al.,2002 proponen el siguiente procedimiento.

1. Calcular las coordenadas de los CM de cada uno de los pisos de la estructura con las ecuaciones 4.1 y 4.2.

2. Calcular las fuerzas sísmicas horizontales por medio de un análisis sísmico

estático.

3. Obtener las coordenadas del CV en cada entrepiso, así como su línea de acción en planta por equilibrio estático con las ecuaciones 4.9 y 4.10.

4. Calcular los cortantes directos en los elementos estructurales. Esto se hace

aplicando las fuerzas sísmicas obtenidas anteriormente en los CM en cada uno de los pisos de un modelo tridimensional de la estructura permitiendo el desplazamiento y restringiendo los giros de las losas alrededor del eje vertical.

5. Calcular las coordenadas de los CT de entrepiso con los cortantes directos

utilizando las ecuaciones 4.11 y 4.12.

6. Calcular la excentricidad estructural con las coordenadas del CV y del CT de

cada uno de los entrepisos con las ecuaciones 4.13 y 4.14

7. Calcular la excentricidad normalizada con la siguiente ecuación:

bee s /= (5.25)

8. Clasificar los elementos resistentes como rígidos si están localizados del

mismo lado del CT con respecto al CV, y como elementos flexibles en caso contrario

23

9. Calcular la posición xjt, y yjt, relativa al CT, del j-ésimo elemento resistente normalizada con la siguiente ecuación:

ζ y ζ (5.26) bx jtj /= by jtj /=

10. Calcular el radio de giro normalizado. Este parámetro se puede calcular para

cada una de las direcciones X y Y de la estructura como:

∑∑+∑

=xjxj

yjjtyjjjtxj

xixi dVd

dyVddxxVdb1

/// 22

ρ (5.27)

∑∑+∑

=yjyj

yijtyjijtxi

yiyi dVd

dyVddxxVdb1

/// 22

ρ (5.28)

Donde son las dimensiones máximas en planta del entrepiso, perpendiculares a la dirección de la excitación sísmica; Vd y son los cortantes directos del j-ésimo elemento resistente y los desplazamientos relativos del entrepiso correspondientes obtenidos del análisis estático tridimensional, realizado para obtener los cortantes directos en los elementos resistentes.

yixi bb ;

yjxj Vd, yjxj dd ,

11. Calcular los factores de amplificación por torsión FAT de los elementos

resistentes del i-ésimo entrepiso utilizando las siguientes ecuaciones:

)(2

1 ej

jFATf αβρ

ζ++= (5.29)

)(2

1 ej

jFATr δβρ

ζ−+= (5.30)

Para el caso del RCDF2001, α=1.5, β=0.1 y δ=1.0, se tiene que:

)5.11.0(2

1 ej

jFATf ++=ρ

ζ (5.31)

)1.0(2

1 ej

jFATr −+=ρ

ζ (5.32)

12. Corregir los cortantes directos calculados en el paso 4 con los factores de amplificación por torsión FAT calculados en el paso anterior. Estos cortantes corregidos serán los que deberán resistir los elementos resistentes al considerar la torsión sísmica:

24

( )jjj VdFATfVT = (5.33) ( )jjj VdFATrVT = (5.34)

6. APLICACIÓN Se considera el edificio estudiado por Bazán y Meli (2000), las fuerzas sísmicas se obtienen mediante un análisis sísmico estático y se presentan en el apéndice A, tablas 2 y 3.

Figura 6.1 Edificio con sistemas resistentes ortogonales (X,Y)

25

6.1 CÁLCULO DEL MOMENTO TORSIONANTE CON LA EXCENTRICIDAD DE PISO

Tabla 6.1. Cálculo de los momentos torsionantes con la excentricidad de piso en dirección X

NIVEL my (m)

ty (m)

se (m)

xF (ton)

xT (ton)

txM (ton-m)

5 3.75 4.73 -0.98 23.77 -23.25 -23.25

4 5.50 7.17 -1.67 25.75 -43.08 -66.33

3 5.50 5.47 0.03 24.76 0.67 -65.66

2 5.50 5.82 -0.32 17.33 -5.56 -71.22

1 6.30 5.82 0.48 11.89 5.72 -65.50

Tabla 6.2. Cálculo de los momentos torsionantes con la excentricidad de piso en dirección Y

NIVEL mx (m)

tx (m)

se (m)

yF

(ton) yT

(ton) tyM

(ton-m)

5 6.75 5.78 0.97 47.54 46.21 46.21

4 9.20 11.84 -2.64 51.50 -136.12 -89.91

3 9.20 8.07 1.13 49.52 56.01 -33.90

2 9.20 8.66 0.54 34.67 18.72 -15.18

1 8.50 8.62 -0.12 23.77 -2.76 -17.93

26

6.2 CÁLCULO DEL MOMENTO TORSIONANTE CON LA EXCENTRICIDAD DE ENTREPISO

Tabla 6.3. Cálculo de los momentos torsionantes con la excentricidad de entrepiso en dirección X

NIVEL viy (m)

tiy (m)

se (m)

xV (ton)

txM (ton)

5 3.75 4.73 -0.98 23.77 -23.25

4 4.66 6.00 -1.34 49.52 -66.66

3 4.94 5.82 -0.88 74.28 -65.37

2 5.05 5.82 -0.78 91.61 -71.27

1 5.19 5.82 -0.63 103.50 -65.52

Tabla 6.4. Cálculo de los momentos torsionantes con la excentricidad de entrepiso en dirección Y

NIVEL vix (m)

tix (m)

se (m)

yV

(ton) tyM

(ton-m)

5 6.75 5.88 0.97 47.54 46.21

4 8.02 8.93 -0.91 99.04 -89.93

3 8.42 8.64 -0.23 148.56 -33.87

2 8.56 8.65 -0.08 183.23 -15.21

1 8.56 8.64 -0.09 207.00 -17.80

27

6.3 CÁLCULO CON EL PROCEDIMIENTO DE ROSENBLUETH Y ESTEVA

Tabla 6.5. Cortantes totales obtenidos en dirección X

EFECTOS DE Vx

(ton)

EFECTOS DE Vy

(ton) TORSIÓN

NIVEL EJE jxk (ton/m)

jy

(m) jjx yk jty

(m) jtjx yk 2

jtjx yk Vd

1Vt 2Vt

TOTAL

VT

TORSIÓN Vyt

V’ V”

1X 1200 0 0 -4.73 -5672.73 26816.53 6.48 0.48 0.05 6.96 1.22 7.33 3.31 2X 800 3.5 2800 -1.23 -981.82 1204.96 4.32 0.08 0.01 4.41 0.21 4.47 1.53 3X 2400 7.5 18000 2.77 6654.55 18451.24 12.97 0.56 0.06 12.91 1.43 13.34 5.30

5

Σ 4400 20800

yt=4.73m 46472.73 23.77

1X 1200 0 0 -6.00 -7200 43200 13.51 0.55 0.04 14.05 1.19 14.41 5.40

2X 800 3.5 2800 -2.50 -2000 5000 9.00 0.15 0.01 9.16 0.33 9.25 3.08

3X 800 7.5 6000 1.50 1200 1800 9.00 0.09 0.01 9.00 0.20 9.06 2.90

4X 1600 11 17600 5.00 8000 40000 18.01 0.61 0.05 17.96 1.32 18.36 6.71 4

Σ 4400 26400

yt=6.00m 90000 49.52

1X 2000 0 0 -5.82 -11647.06 67827 21.85 0.89 0.08 22.74 1.71 23.25 8.53 2X 1200 3.5 4200 -2.32 -2788.235 6479 13.11 0.21 0.02 13.32 0.41 13.44 4.41 3X 1200 7.5 9000 1.68 2011.765 3373 13.11 0.15 0.01 13.12 0.30 13.21 4.23 4X 2400 11 26400 5.18 12423.53 64310 26.22 0.95 0.09 26.30 1.83 26.85 9.72

3

Σ 6800 39600

yt=5.82m 141988 74.28 1X 2000 0 0 -5.82 -11647.059 67826.99 26.94 1.02 0.15 27.97 1.91 28.54 10.30 2X 1200 3.5 4200 -2.32 -2788.2353 6478.55 16.17 0.24 0.04 16.41 0.46 16.55 5.38 3X 1200 7.5 9000 1.68 2011.76471 3372.66 16.17 0.18 0.03 16.19 0.33 16.29 5.19 4X 2400 11 26400 5.18 12423.5294 64310.03 32.33 1.09 0.16 32.49 2.04 33.10 11.78

2

Σ 6800 39600

yt=5.82m 141988 91.61 1X 2000 0 0 -5.82 -11647.059 67827 30.44 1.05 0.24 31.49 2.17 32.14 11.62 2X 1200 3.5 4200 -2.32 -2788.2353 6479 18.26 0.25 0.06 18.52 0.52 18.67 6.07 3X 1200 7.5 9000 1.68 2011.76471 3373 18.26 0.18 0.04 18.31 0.38 18.42 5.87 4X 2400 11 26400 5.18 12423.5294 64310 36.53 1.12 0.26 36.79 2.32 37.48 13.35

1

Σ 6800 39600

yt=5.82m 141988 103.50

28

Tabla 6.6. Cortantes totales obtenidos en dirección Y

EFECTOS DE Vy

(ton)

EFECTOS DE Vx

(ton) TORSIÓN

NIVEL EJE jyk

(ton/m) jx

(m) jjy xk jtx

(m) jtjy xk 2

jtjy xk

Vd 1Vt 2Vt

TOTAL

VT

TORSIÓN Vxt V’ V”

1Y 7400 0 0 -5.78 -42758.65 247067.82 26.45 9.17 1.24 27.69 3.63 28.78 11.94 2Y 400 6.5 2600 0.72 288.72 208.40 1.43 0.06 0.01 1.49 0.02 1.50 0.47 3Y 5500 13.5 74250 7.72 42469.92 327944.46 19.66 9.11 1.23 28.77 3.60 29.85 12.24

5

Σ 13300 76850

xt=5.78m 575220.68 1Y 10800 0 0 -8.93 -96466.02 861638.23 51.92 15.91 5.15 67.83 7.35 70.03 27.70 2Y 600 6.5 3900 -2.43 -1459.223 3548.89 2.88 0.24 0.08 3.13 0.11 3.16 1.05 3Y 600 13.5 8100 4.57 2740.7767 12519.76 2.88 0.45 0.15 3.03 0.21 3.09 1.12 4Y 8600 20 172000 11.07 95184.466 1053497.97 41.35 15.69 5.08 46.43 7.25 48.61 21.18

4

Σ 20600 184000

xt=8..93m 1931204.85 99.04 1Y 12800 0 0 -8.64 -110644.1 956415 80.57 16.27 12.43 96.85 8.45 99.38 37.51 2Y 600 6.5 3900 -2.14 -1286.441 2758 3.78 0.19 0.14 3.97 0.10 4.00 1.29 3Y 600 13.5 8100 4.86 2913.559 14148 3.78 0.43 0.33 4.10 0.22 4.17 1.45 4Y 9600 20 192000 11.36 109016.9 1237989 60.43 16.04 12.25 72.68 8.33 75.18 30.13

3

Σ 23600 204000

xt=8.64m 2211310 148.56 1Y 12800 0 0 -8.64 -110644.07 956415 99.38 18.13 16.63 117.51 9.71 120.43 44.97 2Y 600 6.5 3900 -2.14 -1286.4407 2758 4.66 0.21 0.19 4.87 0.11 4.90 1.57 3Y 600 13.5 8100 4.86 2913.55932 14148 4.66 0.48 0.44 5.10 0.26 5.17 1.78 4Y 9600 20 192000 11.36 109016.949 1237989 74.53 17.87 16.38 90.92 9.57 93.79 36.84

2

Σ 23600 204000

xt=8.64m 2211310 183.23 1Y 12800 0 0 -8.64 -110644.07 956415 112.27 20.63 18.69 132.90 9.95 135.89 49.82 2Y 600 6.5 3900 -2.14 -1286.4407 2758 5.26 0.24 0.22 5.50 0.12 5.54 1.77 3Y 600 13.5 8100 4.86 2913.55932 14148 5.26 0.54 0.49 5.75 0.26 5.83 1.99 4Y 9600 20 192000 11.36 109016.949 1237989 84.20 20.33 18.41 102.61 9.81 105.56 40.59

1

Σ 23600 204000

xt=8.64m 2211310 207.00

29

Tabla 6.7. Excentricidades estáticas, de diseño y momentos torsionantes en dirección X

NIVEL xV (ton)

vy (m)

ty (m)

b (m)

se (m)

1ed (m)

2ed (m)

1tM (ton-m)

2tM (ton-m)

tyM

(ton-m)

5 23.77 3.75 4.73 7.5 0.98 2.22 0.23 52.77 5.47 133.59

4 49.52 4.66 6.00 11 1.34 3.11 0.24 154.01 11.88 333.27

3 74.28 4.94 5.82 11 0.88 2.42 -0.22 179.76 -16.34 346.14

2 91.61 5.05 5.82 11 0.77 2.26 -0.33 206.58 -30.23 385.70

1 103.5 5.19 5.82 11 0.63 2.05 -0.47 211.66 -48.65 438.84 Tabla 6.8. Excentricidades estáticas, de diseño y momentos torsionantes en dirección Y

NIVEL yV

(ton) vx

(m) tx

(m) b

(m) se

(m) 1ed

(m) 2ed

(m) 1tM

(ton-m) 2tM

(ton-m) txM

(ton-m)

5 47.54 6.75 5.78 13.5 0.97 2.81 -0.38 133.59 18.07 52.77

4 99.04 8.02 8.93 20 0.91 3.37 -1.09 333.27 -107.95 154.01

3 148.56 8.42 8.64 20 0.22 2.33 -1.78 346.14 -264.44 179.76

2 183.23 8.57 8.64 20 0.07 2.11 -1.93 386.62 -353.63 206.58

1 207.00 8.56 8.64 20 0.08 2.12 -1.92 438.84 -397.44 211.66

30

6.4 CÁLCULO CON EL PROCEDIMIENTO DE ÁVILA

El procedimiento de Ávila se basa principalmente en el cambio de posición de los CM desplazados por las excentricidades de diseño, en la tabla 6.9 se presentan los cálculos necesarios para obtener las nuevas posiciones de los CM . En las tablas 6.11 y 6.12 se muestran los cortantes obtenidos aplicando las fuerzas sísmicas en los nuevos CM calculados con las excentricidades de diseño. Tabla 6.9. Excentricidades estáticas y de diseño

SISMO EN X SISMO EN Y NIVEL mx

(m) my

(m) tx

(m) ty

(m) se (m)

b (m)

1ed (m)

2ed (m)

se (m)

b (m)

1ed (m)

2ed (m)

5 6.75 3.75 5.78 4.73 -0.98 -7.5 -2.22 -0.23 0.97 13.5 2.81 -0.38

4 9.2 5.5 11.76 7.17 -1.67 -11 -3.61 -0.57 -2.56 -20 -5.84 -0.56

3 9.2 5.5 8.07 5.47 0.03 11 1.15 -1.07 1.13 20 3.695 -0.87

2 9.2 5.5 8.66 5.82 -0.32 -11 -1.58 0.78 0.54 20 2.81 -1.46

1 8.5 6.3 8.62 5.82 0.48 11 1.82 -0.62 -0.12 -20 -2.18 1.88

Tabla 6.10. Cooordenadas de los nuevos CM

1ed 2ed NIVEL

1* mx (m)

1* my (m)

2* mx (m)

2* my (m)

5 8.59 2.51 5.40 4.50

4 5.92 3.57 11.20 6.60

3 11.77 6.62 7.20 4.40

2 11.47 4.24 7.20 6.60

1 6.44 7.63 10.50 5.20

31

Tabla 6.11. Cortantes totales obtenidos con el procedimiento de Ávila en dirección X

NIVEL

5 4 3 2 1 EXCENTRICIDAD EJE V

(ton) V

(ton) V

(ton) V

(ton) V

(ton)

1X 6.66 13.76 22.16 27.32 30.80

2X 4.35 9.08 13.20 16.24 18.36

3X 12.78 8.96 13.04 16.12 18.20 1ed

4X 17.72 25.88 31.92 36.12

1X 6.51 13.56 21.96 27.04 30.56

2X 4.32 9.00 13.12 16.20 18.28

3X 12.96 9.00 13.08 16.16 18.24 2ed

4X 17.96 26.08 32.24 36.40

Tabla 6.12. Cortantes totales obtenidos con el procedimiento de Ávila en dirección Y

NIVEL

5 4 3 2 1 EXCENTRICIDAD EJE V

(ton) V

(ton) V

(ton) V

(ton) V

(ton)

1Y 23.07 56.04 80.36 96.68 110.72

2Y 1.47 2.96 3.76 4.64 5.24

3Y 22.98 2.76 3.80 4.72 5.32 1ed

4Y 37.28 60.68 77.20 85.76

1Y 26.97 53.12 82.92 103.00 115.12

2Y 1.44 2.92 3.80 4.72 5.28

3Y 19.44 2.84 3.72 4.56 5.20 2ed

4Y 40.16 58.08 70.96 81.40

32

6.5 CÁLCULO CON EL PROCEDIMIENTO DE GOEL Y CHOPRA

Con este procedimiento se realizan tres análisis tridimensionales de la estructura con diferentes condiciones de carga y grados de libertad para cada dirección ortogonal (X, Y). Posteriormente se hacen dos combinaciones con éstos tres análisis, y de los cortantes obtenidos, se escojen los más desfavorables como se muestra en la tabla 6.13 y 6.14. Tabla 6.13. Cortantes totales obtenidos con el procedimiento de Goel y Chopra en dirección X

NIVEL EJE r1 (ton)

r2 (ton)

r3 (ton)

ar (ton)

br (ton)

VT (ton)

1X 6.48 6.57 0.06 6.68 6.51 6.68

2X 4.32 4.32 0.01 4.33 4.31 4.33 5 3X 12.96 12.87 -0.06 12.77 12.93 12.93

1X 13.52 13.64 0.08 13.78 13.56 13.78

2X 9.00 9.04 0.02 9.08 9.02 9.08

3X 9.00 0.01 9.01 8.99 9.01 4

4X 18.00 17.88 -0.08 17.74 17.96 17.96

1X 21.84 22.04 0.20 22.34 21.84 22.34

2X 13.12 13.16 0.04 13.22 13.12 13.22

3X 13.12 13.08 -0.03 13.03 13.11 13.11 3

4X 26.20 26.04 -0.20 25.76 26.24 26.24

1X 26.96 27.12 0.24 27.44 26.88 27.44

2X 16.16 16.20 0.04 16.26 16.16 16.26

3X 16.16 16.12 -0.04 16.06 16.16 16.16 2

4X 32.32 32.12 -0.28 31.74 32.40 32.40

1X 30.44 30.64 0.32 31.06 30.32 31.06

2X 18.28 18.32 0.08 18.42 18.24 18.42

3X 18.28 18.24 -0.04 18.18 18.28 18.28 1

4X 36.52 36.32 -0.32 35.90 36.64 36.64

9.00

33

Tabla 6.14. Cortantes totales obtenidos con el procedimiento d eGoel y Chopra en dirección Y

NIVEL EJE r1 (ton)

r2 (ton)

r3 (ton)

ar (ton)

br (ton)

VT (ton)

1Y 26.45 25.14 2.04 26.53 23.10 26.53

2Y 1.43 1.47 -0.01 1.48 1.48 1.48 5 3Y 19.66 20.97 -2.04 19.56 23.01 23.01

1Y 51.92 54.04 3.96 59.06 50.08 59.06

2Y 2.88 2.92 0.04 2.98 2.88 2.98

3Y 2.88 2.84 -0.12 2.70 2.96 2.96 4

4Y 41.36 39.24 -3.92 34.26 43.06 43.06

1Y 80.56 81.40 6.68 88.50 74.72 88.50

2Y 3.80 3.80 0.08 3.88 3.72 3.88

3Y 3.80 3.76 -0.16 3.58 3.92 3.92 3

4Y 60.44 59.60 -6.60 52.58 66.20 66.20

1Y 99.36 99.72 8.44 108.34 91.28 108.34

2Y 4.68 4.68 0.08 4.76 4.60 4.76

3Y 4.68 4.64 -0.24 4.38 4.88 4.88 2

4Y 74.52 74.16 -8.32 65.66 82.48 82.48

1Y 112.28 112.80 10.88 123.94 101.92 123.94

2Y 5.28 5.28 0.12 5.40 5.16 5.40

3Y 5.28 5.24 -0.28 4.94 5.52 5.52 1

4Y 84.20 83.68 -10.72 72.70 94.40 94.40

34

6.6 CÁLCULO CON EL PROCEDIMIENTO DE BAZÁN Y MELI

El procedimiento propuesto por Bazán y Meli (2000), es semejante al de Rosenblueth y Esteva, solo que aquí se realizan modificaciones a las ecuaciones para calcular la excentricidad estructural y para obtener los cortantes directos y por torsión. Tabla 6.15. Coordenadas de los CT en dirección X

NIVEL EJE jxk

(ton/m) jy

(m) jjx yk jty

(m) jtjx yk 2

jtjx yk dc tc

1X 1200 0 0 -4.73 -5672.73 26816.53 0.272727 -0.009225 2X 800 3.5 2800 -1.23 -981.82 1204.96 0.181818 -0.001597 3X 2400 7.5 18000 2.77 6654.55 18451.24 0.545455 0.010822

5

Σ 4400 20800

yt=4.73m 46472.73 1X 1200 0 0 -6.00 -7200.00 43200.00 0.272727 -0.0035622 2X 800 3.5 2800 -2.50 -2000.00 5000.00 0.181818 -0.0009895 3X 800 7.5 6000 1.50 1200.00 1800.00 0.181818 0.00059371 4X 1600 11 17600 5.00 8000.00 40000.00 0.363636 0.00395804

4

Σ 4400 26400

yt=6.00m 90000.00 1X 2000 0 0 -5.82 -11647.06 67826.99 0.294118 -0.0049492 2X 1200 3.5 4200 -2.32 -2788.24 6478.55 0.176471 -0.0011848 3X 1200 7.5 9000 1.68 2011.76 3372.66 0.176471 0.00085487 4X 2400 11 26400 5.18 12423.53 64310.03 0.352941 0.0052792

3

Σ 6800 39600

yt=5.82m 141988.24 1X 2000 0 0 -5.82 -11647.059 67826.99 0.29412 -0.0049492 2X 1200 3.5 4200 -2.32 -2788.24 6478.55 0.17647 -0.0011848 3X 1200 7.5 9000 1.68 2011.76 3372.66 0.17647 0.00085487 4X 2400 11 26400 5.18 12423.53 64310.03 0.35294 0.0052792

2

Σ 6800 39600

yt=5.82m 141988.24 1X 2000 0 0 -5.82 -11647.06 67826.99 0.29412 -0.0049492 2X 1200 3.5 4200 -2.32 -2788.24 6478.55 0.17647 -0.0011848 3X 1200 7.5 9000 1.68 2011.76 3372.66 0.17647 0.00085487 4X 2400 11 26400 5.18 12423.53 64310.03 0.35294 0.0052792

1

Σ 6800 39600

yt=5.82m 141988.24

35

Tabla 6.16. Cálculo de las excentricidades de diseño y momentos torsionantes en dirección X

NIVEL xV (ton)

vy (m)

ty (m)

b (m)

se (m)

1ed (m)

2ed (m)

1tM (ton-m)

2tM (ton-m)

0tM (ton)

5 23.77 3.75 4.73 7.5 -0.98 -2.22 -0.23 -52.77 -5.47 133.59

4 49.52 4.66 6.00 11 -1.34 -3.11 -0.24 -154.01 -11.88 -333.27

3 74.28 4.94 5.82 11 -0.88 -2.42 0.22 -179.76 16.34 -346.14

2 91.61 5.05 5.82 11 -0.77 -2.255 0.33 -206.58 30.23 -386.62

1 103.5 5.19 5.82 11 -0.63 -2.045 0.47 -211.66 48.65 -438.84

Tabla 6.17. Cálculo de los cortantes totales obtenidos con el procedimiento de Bazán y Meli en dirección X

NIVEL EJE Vd (ton)

1Vt (ton)

2Vt (ton)

VT (ton)

Vyt (ton)

V’ (ton)

V” (ton)

1X 6.48 0.487 0.050 6.97 -1.171 7.321 3.262

2X 4.32 0.084 0.009 4.41 -0.203 4.467 1.525 5

3X 12.97 -0.571 -0.059 12.91 1.374 13.318 5.246

1X 13.51 0.549 0.042 14.05 -1.187 14.410 5.403

2X 9.00 0.152 0.012 9.16 -0.330 9.255 3.077

3X 9.00 -0.091 -0.007 9.00 0.198 9.056 2.897 4

4X 18.01 -0.610 -0.047 17.96 1.319 18.356 6.707

1X 21.847 0.890 -0.081 22.74 -1.713 23.251 8.534

2X 13.108 0.213 -0.019 13.32 -0.410 13.444 4.406

3X 13.108 -0.154 0.014 13.12 0.296 13.211 4.233 3

4X 26.216 -0.949 0.086 26.30 1.827 26.851 9.718

1X 26.944 1.022 -0.150 27.97 -1.909 28.539 10.299

2X 16.167 0.245 -0.036 16.41 -0.457 16.548 5.380

3X 16.167 -0.177 0.026 16.19 0.330 16.291 5.187 2

4X 32.333 -1.091 0.160 32.49 2.036 33.103 11.784

1X 30.441 1.048 -0.241 31.49 -2.172 32.140 11.619

2X 18.265 0.251 -0.058 18.52 -0.520 18.672 6.075

3X 18.265 -0.181 0.042 18.31 0.375 18.419 5.867 1

4X 36.529 -1.117 0.257 36.79 2.317 37.481 13.353

36

Tabla 6.18. Coordenadas de los CT en dirección Y

NIVEL EJE jyk

(ton/m) jx

(m) jjy xk jtx

(m) jtjy xk 2

jtjy xk dc tc

1Y 7400 0 0 -5.78 -42758.65 247067.82 0.556391 -0.068778 2Y 400 6.5 2600 0.72 288.72 208.40 0.030075 0.000464 3Y 5500 13.5 74250 7.72 42469.92 327944.46 0.413534 0.068313

5

Σ 13300 76850

xt=5.78m 575220.68 1Y 10800 0 0 -8.93 -96466.02 861638.23 0.524272 -0.047727 2Y 600 6.5 3900 -2.43 -1459.22 3548.89 0.029126 -0.000722 3Y 600 13.5 8100 4.57 2740.78 12519.76 0.029126 0.00135601 4Y 8600 20 172000 11.07 95184.47 1053497.97 0.417476 0.04709293

4

Σ 20600 184000

xt=8.93m 1931204.85 1Y 12800 0 0 -8.64 -110644.07 956414.82 0.542373 -0.0470166 2Y 600 6.5 3900 -2.14 -1286.44 2758.22 0.025424 -0.0005467 3Y 600 13.5 8100 4.86 2913.56 14148.05 0.025424 0.00123807 4Y 9600 20 192000 11.36 109016.95 1237989.08 0.406780 0.04632517

3

Σ 23600 204000

xt=8.64m 2211310.17 1Y 12800 0 0 -8.64 -110644.07 956414.82 0.54237 -0.0470166 2Y 600 6.5 3900 -2.14 -1286.44 2758.22 0.02542 -0.0005467 3Y 600 13.5 8100 4.86 2913.56 14148.05 0.02542 0.00123807 4Y 9600 20 192000 11.36 109016.95 1237989.08 0.40678 0.04632517

2

Σ 23600 204000

xt=8.64m 2211310.17 1Y 12800 0 0 -8.64 -110644.07 956414.82 0.54237 -0.0470166 2Y 600 6.5 3900 -2.14 -1286.44 2758.22 0.02542 -0.0005467 3Y 600 13.5 8100 4.86 2913.56 14148.05 0.02542 0.00123807 4Y 9600 20 192000 11.36 109016.95 1237989.08 0.40678 0.04632517

1

Σ 23600 204000

xt=8.64m 2211310.17

37

Tabla 6.19. Cálculo de las excentricidades de diseño y momentos torsionantes en dirección Y

NIVEL yV

(ton) vx

(m) tx

(m) b (m)

se (m)

1ed (m)

2ed (m)

1tM (ton-m)

2tM (ton-m)

0tM (ton-m)

5 47.54 6.75 5.78 13.5 0.97 2.81 -0.38 133.59 -18.07 -52.77

4 99.04 8.02 8.93 20 -0.91 -3.37 1.09 -333.27 107.95 -154.01

3 148.56 8.42 8.64 20 -0.22 -2.33 1.78 -346.14 264.44 -179.76

2 183.23 8.57 8.64 20 -0.07 -2.11 1.93 -386.62 353.63 -206.58

1 207 8.56 8.64 20 -0.08 -2.12 1.92 -438.84 397.44 -211.66

Tabla 6.20. Cálculo de los cortantes totales obtenidos con el procedimiento de Bazán y Meli en dirección Y

NIVEL EJE Vd (ton)

1Vt (ton)

2Vt (ton)

VT (ton)

Vxt (ton)

V’ (ton)

V” (ton)

1Y 26.45 -9.19 1.24 27.69 -3.63 28.78 11.94

2Y 1.43 0.06 -0.01 1.49 0.02 1.50 0.47 5

3Y 19.66 9.13 -1.23 28.79 3.60 29.87 12.24

1Y 51.924 15.906 -5.152 67.83 -7.350 70.035 27.699

2Y 2.885 0.241 -0.078 3.13 -0.111 3.159 1.049

3Y 2.885 -0.452 0.146 3.03 0.209 3.094 1.118 4

4Y 41.347 -15.695 5.084 46.43 7.253 48.606 21.182

1Y 80.575 16.275 -12.433 96.85 -8.452 99.385 37.506

2Y 3.777 0.189 -0.145 3.97 -0.098 3.996 1.288

3Y 3.777 -0.429 0.327 4.10 0.223 4.171 1.454 3

4Y 60.431 -16.035 12.250 72.68 8.327 75.180 30.132

1Y 99.379 18.134 -16.627 117.51 -9.713 120.427 44.967

2Y 4.658 0.211 -0.193 4.87 -0.113 4.903 1.574

3Y 4.658 -0.478 0.438 5.10 0.256 5.173 1.785 2

4Y 74.534 -17.868 16.382 90.92 9.570 93.787 36.845

1Y 112.271 20.633 -18.686 132.90 -9.951 135.889 49.823

2Y 5.263 0.240 -0.217 5.50 -0.116 5.538 1.767

3Y 5.263 -0.543 0.492 5.75 0.262 5.833 1.988 1

4Y 84.203 -20.329 18.411 102.61 9.805 105.556 40.590

38

6.7 CÁLCULO CON EL PROCEDIMIENTO SIMPLIFICADO DE DISEÑO

El Procedimiento Simplificado de Diseño por torsión sísmica estática utiliza factores de amplificación por torsión como una alternativa que pudiera ser aplicada para reducir la cantidad de pasos que utiliza el procedimiento tradicional. Además que éste pueda ser aplicado utilizando programas comerciales de análisis estructural. En las tablas 6.22 y 6.23 se muestran los FAT para obtener los cotantes totales. Tabla 6.21. Cálculo de las excentricidades estructurales en dirección X

NIVEL vx (m)

vy (m)

tx (m)

ty (m)

sxe (m)

sye

(m)

5 6.75 3.75 5.78 4.73 0.98 0.97

4 8.02 4.66 8.93 6.00 1.34 0.91

3 8.42 4.94 8.64 5.82 0.88 0.22

2 8.56 5.05 8.64 5.82 0.77 0.08

1 8.56 5.19 8.64 5.82 0.63 0.08

39

Tabla 6.22. Cálculo de los cortantes totales obtenidos con el PSD en dirección X

NIVEL EJE CLASIFICACIÓN Vd (ton)

FAT

VT (ton)

1X FLEXIBLE 6.48 1.075 6.97

2X FLEXIBLE 4.32 1.020 4.41 5

3X RÍGIDO 12.97 0.995 12.91

1X FLEXIBLE 13.51 1.041 14.06

2X FLEXIBLE 9.0 1.017 9.15

3X RÍGIDO 9.0 0.999 8.99 4

4X RÍGIDO 18.01 0.997 17.96

1X FLEXIBLE 21.85 1.041 22.75

2X FLEXIBLE 13.11 1.016 13.32

3X RÍGIDO 13.11 1.001 13.12 3

4X RÍGIDO 26.22 1.003 26.30

1X FLEXIBLE 26.94 1.038 27.96

2X FLEXIBLE 16.17 1.015 16.41

3X RÍGIDO 16.17 1.002 16.20 2

4X RÍGIDO 32.33 1.005 32.49

1X FLEXIBLE 30.44 1.034 31.48

2X FLEXIBLE 18.26 1.014 18.52

3X RÍGIDO 18.26 1.002 18.30 1

4X RÍGIDO 36.53 1.007 36.79

40

Tabla 6.23. Cálculo de los cortantes totales obtenidos con el PSD en dirección Y

NIVEL EJE CLASIFICACIÓN Vd (ton)

FAT

VT (ton)

1Y FLEXIBLE 26.45 1.047 27.69

2Y FLEXIBLE 1.43 1.043 1.49 5

3Y RÍGIDO 19.66 1.465 28.80

1Y FLEXIBLE 51.92 1.308 67.91

2Y FLEXIBLE 2.88 1.084 3.12

3Y RÍGIDO 2.88 1.050 3.02 4

4Y RÍGIDO 41.35 1.122 46.40

1Y FLEXIBLE 80.57 1.202 96.85

2Y FLEXIBLE 3.78 1.050 3.97

3Y RÍGIDO 3.78 1.087 4.11 3

4Y RÍGIDO 60.43 1.203 72.70

1Y FLEXIBLE 99.38 1.184 117.67

2Y FLEXIBLE 4.66 1.048 4.88

3Y RÍGIDO 4.66 1.094 5.10 2

4Y RÍGIDO 74.56 1.219 90.89

1Y FLEXIBLE 112.27 1.184 132.93

2Y FLEXIBLE 5.26 1.046 5.50

3Y RÍGIDO 5.26 1.094 5.76 1

4Y RÍGIDO 84.20 1.219 102.64

41

7. DISCUSIÓN DE RESULTADOS Se muestran en las tablas 7.1 y 7.2 los momentos torsionantes obtenidos con las dos excentricidades estudiadas y se demuestra que ambas proporcionan prácticamente los mismos resultados, su variación se debe al uso de pocos decimales. En las tablas 7.3 y 7.5 se presentan los resultados de los cortantes totales en cada uno de los elementos resistentes obtenidos, aplicando los procedimientos propuestos en este trabajo. Se muestran en las tablas 7.4, 7.6 y en las gráficas correspondientes los errores relativos en porcentaje al procedimiento de Rosenblueth y Esteva. Se encontró que con los procedimientos de Ávila y de Goel y Chopra en dirección X en todos los niveles el error relativo más desfavorable se presenta en el elemento resistente 1X. Mientras que en dirección Y en el nivel 5 el error relativo más crítico con 20% se presenta en el elemento resistente 3Y. Esto significa que subvalúa los elementos resistenes. En los niveles 4, 3, 2 y 1, la tendencia del error relativo se presenta en los elementos resistentes 1Y y 4Y. Por otro lado con los procedimientos de Bazán y Meli y el PSD el error relativo no llega al 1% en las dos direcciones. En la tabla 7.7 se muestran los elementos mecánicos obtenidos con los procedimientos de Rosenblueth y Esteva y el PSD en algunos elementos estructurales demostrándose que los cortantes y momentos flexionantes obtenidos son casi idénticos. Se puede observar que los valores obtenidos de los cortantes totales con los procedimientos estudiados en este trabajo son similares entre sí. Las diferencias observadas se atribuyen a las operaciones aritméticas que intervienen en los cálculos.

42

Tabla 7.1. Comparación de los momentos torsionantes calculados con las dos excentricidades en dirección X

MOMENTO TORSIONANTE NIVEL

EXCENTRICIDAD DE PISO EXCENTRICIDAD DE ENTREPISO

5 -23.25 -23.25

4 -66.33 -66.66

3 -65.66 -65.37

2 -71.22 -71.27

1 -65.50 -65.52

Tabla 7.2. Comparación de los momentos torsionantes calculados con las dos excentricidades en dirección Y

MOMENTO TORSIONANTE NIVEL

EXCENTRICIDAD DE PISO EXCENTRICIDAD DE ENTREPISO

5 46.21 46.21

4 -89.91 -89.93

3 -33.90 -33.87

2 -15.18 -15.21

1 -17.93 -17.80

43

Tabla 7.3. Cortantes totales obtenidos con los procedimientos en dirección X

NIVEL EJE ROSENBLUETH Y

ESTEVA (ton)

BAZÁN Y MELI (ton)

JORGE ÁVILA (ton)

GOEL Y CHOPRA

(ton)

PSD (ton)

1X 6.96 6.96 6.66 6.68 6.96

2X 4.40 4.40 4.35 4.33 4.40 5

3X 12.91 12.91 12.96 12.93 12.91

1X 14.05 14.05 13.76 13.78 14.06

2X 9.16 9.16 9.08 9.08 9.15

3X 9.00 9.00 9.00 9.01 8.99 4

4X 17.96 17.96 17.96 17.96 17.96

1X 22.74 22.74 22.16 22.34 22.73

2X 13.32 13.32 13.20 13.22 13.32

3X 13.12 13.12 13.09 13.11 13.12 3

4X 26.30 26.30 26.08 26.24 26.30

1X 27.97 27.97 27.33 27.44 27.96

2X 16.41 16.41 16.26 16.26 16.41

3X 16.19 16.19 16.16 16.16 16.20 2

4X 32.49 32.49 32.24 32.40 32.49

1X 31.49 31.49 30.80 31.06 31.48

2X 18.52 18.52 18.36 18.42 18.52

3X 18.31 18.31 18.24 18.28 18.30 1

4X 36.79 36.79 36.40 36.64 36.79

44

Tabla 7.4. Errores relativos al procedimiento de Rosenblueth y Esteva en los cortantes totales en dirección X

NIVEL EJE BAZÁN Y MELI (%)

JORGE ÁVILA (%)

GOEL Y CHOPRA

(%)

PSD (%)

1X 0.00 4.31 4.02 0.00

2X 0.00 1.14 1.59 0.00 5

3X 0.00 -0.39 -0.15 0.00

1X 0.00 2.06 1.92 -0.07

2X 0.00 0.87 0.87 0.11

3X 0.00 0.00 -0.11 0.11 4

4X 0.00 0.00 0.00 0.00

1X 0.00 2.55 1.76 0.04

2X 0.00 0.90 0.75 0.00

3X 0.00 0.30 0.08 0.00 3

4X 0.00 0.46 -0.15 0.00

1X 0.00 2.32 1.89 0.04

2X 0.00 1.04 0.91 0.00

3X 0.00 0.19 0.19 -0.06 2

4X 0.00 0.77 0.28 0.00

1X 0.00 2.19 1.37 0.03

2X 0.00 0.86 0.54 0.00

3X 0.00 0.38 0.16 0.05 1

4X 0.00 1.06 0.41 0.00

45

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

1X 2X 3X

ELEMENTO RESISTENTE

ERRO

R RE

LATI

VO (%

)

Jorge Àvila Bazàn-Meli Goel-Chopra PSD

Gráfica 7.1. Errores relativos. Dirección X. Nivel 5

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

1X 2X 3X 4X

ELEMENTO RESISTENTE

ERRO

R RE

LATI

VO (%

)



46



-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

1X 2X 3X 4X

ELEMENTO RESISTENTE

ERRO

R RE

LATI

VO (%

)


-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

1X 2X 3X 4X

ELEMENTO RESISTENTE

ERRO

R RE

LATI

VO (%

)


47

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

1X 2X 3X 4X

ELEMENTO RESISTENE

ERRO

R RE

LATI

VO (%

)



48

Tabla 7.5. Cortantes totales obtenidos con los procedimientos en dirección Y

NIVEL EJE

ROSENBLUETH

ES A BAZÁN Y MELI JORGE ÁVILA GOEL Y PSD Y

TEV(ton)

(ton) (ton) CHOPRA (ton) (ton)

2Y 1.49 1.49 1.47 1.48 1.49

3Y 28.77 28.77 22.98 23.01 28.79

1Y 67.83 67.83 56.04 59.06 67.91

2Y 3.13 3.13 2.96 2.98 3.12

3Y 3.03 3.03 2.85 2.96 3.02

4Y 46.43 46.43 40.16 43.06 46.40

1Y 96.85 96.85 82.93 88.50 96.85

2Y 3.97 3.97 3.81 3.88 3.97

3Y 4.10 4.10 3.80 3.92 4.11

4Y 72.68 72.68 60.72 66.20 72.70

1Y 117.51 117.51 103.00 108.34 117.67

2Y 4.87 4.87 4.72 4.76 4.88

3Y 5.10 5.10 4.74 4.88 5.10

4Y 90.92 90.92 77.25 82.48 90.89

1Y 132.92 132.92 115.12 123.94 132.93

2Y 5.50 5.50 5.29 5.40 5.50

3Y 5.75 5.75 5.32 5.52 5.76

4Y 02.61 85.81 94.40

1Y 27.69 27.69 26.88 26.53 27.69 5

4

3

2

1

1 102.61 102.64

49

Tabla 7.6. Errores relativos al procedimiento de Rosenblueth y Esteva en los cortantes totales en dirección Y

NIVEL EJE BAZÁN Y MELI JORGE ÁVILA GOEL Y PSD (%) (%) CHOPRA

(%) (%)

2Y 0.00 1.34 0.67 0.00

3Y 0.00 20.13 20.02 -0.07

1Y 0.00 17.38 12.93 -0.12

2Y 0.00 5.43 4.79 0.32

3Y 0.00 6.27 2.31 0.33

4Y 0.00 13.50 7.26 0.06

1Y 0.00 14.38 8.62 0.00

2Y 0.00 4.28 2.27 0.00

3Y 0.00 7.32 4.39 -0.24

4Y 0.00 16.51 8.92 -0.03

1Y 0.00 12.35 7.80 -0.14

2Y 0.00 3.08 2.26 -0.21

3Y 0.00 7.45 4.31 0.00

4Y 0.00 15.09 9.28 0.03

1Y 0.00 13.39 6.76 -0.01

2Y 0.00 4.00 1.82 0.00

3Y 0.00 7.48 4.00 -0.17

4Y 0.00 16.42 8.00 -0.03

1Y 0.00 3.68 4.19 0.00

5

4

3

2

1

50

-2.00

3.00

8.00

13.00

18.00

23.00

1Y 2Y 3YELEMENTO RESISTENTE

ERRO

R RE

LATI

VO (%

)


Gráfica 7.6. Errores relativos. Dirección Y. Nivel 5


-3.00

2.00

7.00

12.00

17.00

22.00

1Y 2Y 3Y 4Y

ELEMENTO RESISTENTE

ERRO

R RE

LATI

VO (%

)


51

-3.00

2.00

7.00

12.00

17.00

22.00

1Y 2Y 3Y 4Y

ELEMENTO RESISTENTE

ERRO

R RE

LATI

VO (%

)




-3.00

2.00

7.00

12.00

17.00

1Y 2Y 3Y 4Y

ELEMENTO RESISTENTE

ERRO

R RE

LATI

VO (%

)


22.00

52


-3.00

2.00

7.00

12.00

17.00

22.00

1Y 2Y 3Y 4Y

ELEMENTO RESISTENTE

ERRO

R RE

LATI

VO (%

)


abla 7.7. Elementos mecánicos en algunos elementos estructurales del edificio estudiado T

SISMO EN X SISMO EN Y V

(ton) M inf M sup

(ton-m) V

(ton) M inf M sup

(ton) PROCEDIMIENTO NIVEL ELEMENTO

(ton-m) (ton-m)

1.47 2.21 2.20 9.59 14.45 14.32 ROSENBLUETH Y

1.46 2.20 2.20 9.59 14.44 14.36 PSD

7.87 15.71 15.78 33.23 69.40 63.50 ROSEN H Y E

BLUETSTEVA

7.87 15.71 15.77 33.23 68.80 64.10 PSD

3.33 5.0 4.99 1.03 1.54 1.53 ROSEN H Y E

BLUETSTEVA

3.33 5.0 4.99 1.03 1.55 1.53 PSD

ESTEVA 5 2X3Y

3 2X3Y

1 1X1Y

53

8. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Se evaluaron y compararon diferentes procedimientos para distribuir el cortante por

e discute sobre las ventajas y desventajas de cada uno de los procedimientos en su

demás de considerar la precisión de los valores obtenidos, también se tomó en

os procedimientos aquí estudiados se enfocaron al uso de programas comerciales

ambién se evaluaron las dos definiciones de excentricidad estática que se conocen

e definió también como es considerado el piso y el entrepiso para poder aplicar los

ara los procedimientos de Rosenblueth y Esteva y Bazán y Meli, después de

on el procedimiento de Ávila al igual que con los procedimientos de Rosenblueth y

demás es necesario realizar tres análisis de la estructura para cada dirección

on el procedimiento de Goel y Chopra no es necesario calcular la posición del CT,

torsión en edificios de varios niveles. Para ello fue necesario describir las bases teóricas del método de diseño por torsión sísmica estática. Saplicación desde el punto de vista práctico. Para esto fue necesario desarrollar cada uno de los procedimientos. Acuenta la cantidad de cálculos que se requieren para realizar el análisis y la complejidad para aplicar el procedimiento. Lde análisis estructural. Ty se demostró que ambas proporcionan los mismos valores del momento torsionante. Sprocedimientos Pdistribuir los cortantes por torsión en los elementos resistentes es necesario realizar un análisis en el plano de cada uno de ellos, aplicándoles las fuerzas cortantes totales calculadas para encontrar los elementos mecánicos de diseño. CEsteva y Bazán y Meli es necesario considerar el signo de la excentricidad en los cálculos, esta práctia resulta confusa y se puede aplicar erróneamente. Aortogonal, un análisis para obtener cortantes directos y otro más por cada CM desplazado. Cpero es necesario realizar tres análisis de la estructura en cada dirección ortogonal

54

con diferentes cargas y diferentes grados de libertad, y de todas las respuestas se llevan a cabo dos combinaciones de estas, esto hace al procedimiento laborioso y complejo. Con los procedimientos de Goel y Chopra, Ávila y el PSD se permiten conocer las fuerzas de diseño en los elementos estructurales desde su aplicación. Con el PSD propuesto es suficiente un análisis de la estructura para cada dirección ortogonal. Las fuerzas de diseño se obtienen corrigiendo los elementos mecánicos producidos por el cortante directo multiplicándolos por su correspondiente factor de amplificación por torsión FAT. Por último se puede apreciar que los procedimientos de Bazán y Meli y el PSD propuesto, proporcionan prácticamente los mismos resultados que con el procedimiento de Rosenblueth y Esteva. Sin embargo el PSD desde el punto de vista práctico ofrece ventajas desde su aplicación.

55

REFERENCIAS Arean F., De Buen O., Esteva L., Gutiérrez A., Olagaray C., De Pablo F., Robles F., y Ruíz D., (1976), “Diseño estructural, capítulos I, II y III”, Facultad de Ingeniería, UNAM. Ávila J.A., (1991), “Comentarios y ejemplos a las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo, DDF”, Series del Instituto de Ingeniería, ES-7, UNAM, México Bazán E., y R. Meli., (2001), “Diseño sísmico de edificios”, Editorial Limusa, México. Damy J., (1988), “Comentarios al inciso 8.6 de las Normas Técnicas Complementarias para Diseño por Sismo.”, Ingeniería Sísmica, No. 66-99. Escobar J.A., Gómez R., y Páez A., (1999), “Evaluación de criterios de diseño por torsión”, Informe del proyecto 9530 para la Dirección General de Obras del Gobierno del Distrito Federal, Instituto de Ingeniería, UNAM. Escobar J.A., Mendoza J.A., y Gómez R., (2002), “ Procedimiento Simplificado para diseño por torsión sísmica estática”, XIII Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, Puebla, Pue., oct-nov. Goel R.K., y Chopra A.K.,(1992) “Seismic code analysis of buildings without locating centers of rigidity”, ASCE Journal of Structural Engineering, Vol 119, No. 10, 3039-3055. Meli R. (2001), “Diseño estructural”, Editorial Limusa. México. Rosenblueth E., y Esteva L., (1962), “Diseño sísmico de edificios”, Folleto complementario al Reglamento de Construcciones para del Distrito Federal, México D.F., México. Tso W.K., “Static eccentricity concept for torsional moment estimations”, ASCE Journal of Structural Engineering, Vol 16, mayo. 1199-1212 Zapata A.U., (1993), “Comportamiento en torsión de estructuras de cortante de varios niveles”. Tesis de Maestría. UNAM.

56

APÉNDICES APÉNDICE A

TablaA1. Coordenadas de los CM y de los elementos resistentes en el edificio de la figura 6.1

a) Centros de masas b) Posición de los elementos resistentes

NIVEL mx (m)

my (m)

5 6.75 3.75

4 9.20 5.50

3 9.20 5.50

2 9.20 5.50

1 8.50 6.30

EJE jy (m)

EJE jx (m)

1X 0.0 1Y 0.0

2X 3.5 2Y 6.5

3X 7.5 3Y 13.5

4X 11.0 4Y 20.0

Tabla A2. Análisis sísmico estático del edificio de la fiura 6.1. Dirección X

NIVEL ih iW iihW iF iV my mi yF mi yFΣ vy

5 16 90 1440 23.77 23.77 3.75 89.14 89.14 3.75

4 13 120 1560 25.75 49.52 5.50 141.63 230.77 4.66

3 10 150 1500 24.76 74.28 5.50 136.18 366.95 4.94

2 7 150 1050 17.33 91.61 5.50 95.32 462.26 5.05

1 4 180 720 11.89 103.50 6.30 74.91 537.17 5.19

Σ 690 6270 Tabla A3. Análisis sísmico estático del edificio de la fiura 6.1. Dirección Y

NIVEL ih iW iihW iF iV mx mi xF mi xFΣ vx

5 16 90 1440 23.77 23.77 6.75 320.90 320.90 6.75

4 13 120 1560 25.75 49.52 9.20 473.80 794.70 8.02

3 10 150 1500 24.76 74.28 9.20 455.58 1250.28 8.42

2 7 150 1050 17.33 91.61 9.20 318.96 1569.25 8.56

1 4 180 720 11.89 103.50 8.50 202.05 1771.29 8.56

Σ 690 6270

57

Tabla A4. Cortantes directos en dirección X

NIVEL 1X 2X 3X 4X

5 6.48 4.32 12.97

4 13.51 9.00 9.00 18.01

3 21.85 13.11 13.11 26.22

2 26.94 16.17 16.17 32.33

1 30.44 18.26 18.26 36.53

Tabla A5. Cortantes directos en dirección Y

Tabla A6. Rigideces en ton/m de los elementos resistentes en dirección X

NIVEL 1X 2X 3X 4X

5 1200 800 1200

4 1200 800 800 1600

2000 1200 1200 2400

2 2000 1200 1200 2400

1 2000 1200 1200 2400

3

Tabla A7. Rigideces en ton/m de los elementos resistentes en dirección Y

NIVEL 1Y 2Y 3Y 4Y

5 26.45 1.43 19.66

4 51.92 2.88 2.88 41.35

3 80.57 3.78 3.78 60.43

2 99.38 4.66 4.66 74.56

112.27 5.26 5.26 84.20 1

NIVEL 1Y 2Y 3Y 4Y

5 7400 400 5500

4 10800 600 600 8600

3 12800 600 600 9600

2 12800 600 600 9600

1 12800 600 600 9600

58

APÉNDICE B. Cálculo del momento torsionante con la excentricidad de piso DIRECCIÓN X Paso 1. Obtención de los cortantes directos en los elementos resistentes (Apéndice A, tablas A4 y A5) Paso 2. Cálculo de las coordenadas del CT de piso

my

my

my

my

my

t

t

t

t

t

82.589.11

)11)(33.3253.36()5.7)(17.1626.18()5.3)(17.1626.18()0)(24.2644.30(

82.533.17

)11)(22.2633.32()5.7)(11.1317.16()5.3)(11.1317.16()0)(85.2194.26(

47.576.24

)11)(01.1822.26()5.7)(911.13()5.3)(911.13()0)(51.1385.21(

17.775.25

)11)(01.18()5.7)(97.129()5.3)(32.49()0)(48.651.13(

73.477.23

)5.7)(97.12()5.3)(32.4()0)(48.6(

1

2

3

4

5

=−+−+−+−

=

=−+−+−+−

=

=−+−+−+−

=

=+−+−+−

=

=++

=

Paso 3. Cálculo de la excentricidad de piso

meme

mememe

sx

sx

sx

sx

sx

48.082.530.632.082.550.5

03.047.550.567.117.750.598.073.475.3

1

2

3

4

5

=−=−=−=

=−=−=−=−=−=

Paso 4. Cálculo de la torsión de piso

mtTmtT

mtTmtTmtT

x

x

x

x

x

−==−−=−=

−==−−=−=−−=−=

72.5)48.0)(89.11(56.5)32.0)(33.17(

67.0)03.0)(76.24(08.43)67.1)(75.25(25.23)98.0)(77.23(

1

2

3

4

5

59

Paso 5. Cálculo del momento torsionante

mtMmtM

mtMmtM

mtM

tx

tx

tx

tx

tx

−−=+−=−−=−+−=

−−=+−=−−=−+−=

−−=

50.6572.522.7122.71)56.5(66.65

66.6567.033.6633.66)08.43(29.23

25.23

1

2

3

4

5

DIRECCIÓN Y Paso 1. Obtención de los cortantes directos en los elementos resistentes (Apéndice A, tablas A4 y A5) Paso 2. Cálculo de las coordenadas del CT de piso

aso 3. Cálculo de la excentricidad de piso

Paso 4. Cálculo de la torsión de piso

mx

mx

mx

mx

mx

t

t

t

t

t

62.877.23

)20)(56.7420.84()5.13)(66.426.5()5.6)(66.426.5()0)(38.9927.112(

66.867.34

)20)(43.6056.74()5.13)(78.366.4()5.6)(78.366.4()0)(57.8038.99(

07.852.49

)20)(35.4143.60()5.13)(88.278.03()5.6)(88.278.3()0)(92.5157.80(

84.1150.51

)20)(35.41()5.13)(66.1988.2()5.6)(43.188.2()0)(45.2692.51(

78.554.47

)5.13)(66.19()5.6)(43.1()0)(45.26(

1

2

3

4

5

=−+−+−+−

=

=−+−+−+−

=

=−+−+−+−

=

=+−+−+−

=

=++

=

P

me

me

me

meme

sy

sy

sy

sy

sy

12.062.850.8

54.066.820.913.107.820.9

64.284.1120.9

97.078.575.6

1

2

3

4

5

−=−=

=−=

=−=

−=−=

=−=

60

mtT

mtTmtT

mtTmtT

y

y

y

y

y

−−=−=

−==

−==

−−=−=

−==

76.2)12.0)(77.23(

72.18)54.0)(67.34(01.56)13.1)(52.49(

12.136)56.2)(50.51(

21.46)97.0)(54.47(

1

2

3

4

5

aso 5. Cálculo del momento torsionante de entrepiso

PÉNDICE C. Cálculo del momento torsionante con la excentricidad de

IRECCIÓN X

aso 1. Obtención de los cortantes directos en los elementos resistentes (Apéndice

aso 2. Cálculo de las coordenadas del CT de entrepiso

P

mtM

mtM

mtM

mtMmtM

ty

ty

ty

ty

ty

−−=−+−=

−−=+−=

−−=+−=

−−=−+=

−=

93.17)76.2(18.15

18.1572.1890.3390.3301.5691.89

91.89)12.136(21.46

21.46

1

2

3

4

5

Aentrepiso D PA, tablas A4 y A5) P

my

my

my

my

my

t

t

t

t

t

82.550.103

)11)(53.36()5.7)(26.18()5.3)(26.18()0)(44.30(

82.561.91

)11)(33.32()5.7)(17.16()5.3)(17.16()0)(94.26(

82.529.74

)11)(22.26()5.7)(11.13()5.3)(11.13()0)(85.21(

00.652.49

)11)(01.18()5.7)(0.9()5.3)(0.9()0)(51.13(

73.477.23

)5.7)(97.12()5.3)(32.4()0)(48.6(

1

2

3

4

5

=+++

=

=+++

=

=+++

=

=+++

=

=++

=

aso 3. Cálculo de las coordenadas del CV P

61

my

my

my

my

my

v

v

v

v

v

19.550.103

)89.11)(30.6()33.17)(50.5()76.24)(50.5()75.25)(50.5()77.23)(75.3(

05.561.91

)33.17)(50.5()76.24)(50.5()75.25)(50.5()77.23)(75.3(

94.428.74

)76.24)(50.5()75.25)(50.5()77.23)(75.3(

66.452.49

)75.25)(50.5()77.23)(75.3(

75.377.23

)77.23)(75.3(

1

2

3

4

5

=++++

=

=+++

=

=++

=

=+

=

==

aso 4. Cálculo de la excentricidad de entrepiso

Paso 5. Cálculo del momento torsionante

IRECCIÓN Y

P

mememememe

sx

sx

sx

sx

sx

63.082.519.578.082.505.588.082.594.434.100.666.498.073.475.3

1

2

3

4

5

−=−=−=−=−=−=−=−=−=−=

mtMmtMmtMmtMmtM

tx

tx

tx

tx

tx

−−=−=−−=−=−−=−=−−=−=−−=−=

52.65)63.0)(50.103(27.71)77.0)(61.91(66.65)88.0)(28.74(36.66)34.1)(52.49(25.23)98.0)(77.23(

1

2

3

4

5

D

62

Paso 1. Obtención de los cortantes directos en los elementos resistentes (Apéndice

aso 2. Cálculo de las coordenadas del CT de entrepiso

A, tablas A4 y A5) P

mx

mx

mx

mx

mx

t

t

t

t

t

64.800.207

)20)(20.84()5.13)(26.5()5.6)(26.5()0)(27.112(

65.823.183

)20)(53.74()5.13)(66.4()5.6)(66.4()0)(38.99(

64.856.148

)20)(43.60()5.13)(78.3()5.6)(78.3()0)(57.80(

93.803.99

)20)(35.41()5.13)(88.2()5.6)(88.2()0)(92.51(

78.554.47

)5.13)(66.19()5.6)(43.1()0)(45.26(

1

2

3

4

5

=+++

=

=+++

=

=+++

=

=+++

=

=++

=

aso 3. Cálculo de las coordenadas del CV

P

mx

mx

mx

mx

mx

v

v

v

v

v

56.800.207

)77.23)(50.8()67.34)(20.9()52.49)(20.9()50.51)(20.9()54.47)(75.6(

56.823.183

)67.34)(20.9()52.49)(20.9()50.51)(20.9()54.47)(75.6(

42.856.148

)52.49)(20.9()50.51)(20.9()54.47)(75.6(

02.804.99

)50.51)(20.9()54.47)(75.6(

75.654.47

)54.47)(75.6(

1

2

3

4

5

=++++

=

=+++

=

=++

=

=+

=

==

Paso 4. Cálculo de la excentricidad de entrepiso

63

me

meme

meme

cy

cy

cy

cy

cy

09.064.856.8

08.065.856.823.064.842.8

91.093.802.8

97.078.575.6

1

2

3

4

5

−=−=

−=−=

−=−=

−=−=

=−=

aso 5. Cálculo del momento torsionante

PÉNDICE D. Cálculo con el procedimiento de Rosenblueth y Estva

P

mtMmtMmtM

mtMmtM

tx

tx

tx

tx

tx

−−=−×=−−=−×=−−=−×=−−=−×=

−=×=

80.1709.000.20721.1508.023.18387.3322.056.148

93.8991.004.9921.4697.054.47

1

2

3

4

5

A

aso 1. Realizar un análisis sísmico estático (Apéndice A, tablas A2 y A3)

aso 2. Cálculo de las coordenadas del CV (Apéndice A, tablas A2 y A3)

P P

myv 75.377.23

)75.3)(77.23(5 == ∑

mxv 75.654.47

)75.6)(54.47(5 == ∑

aso 3. Obtención de las rigideces de entrepiso (Apéndice A, tablas A6 y A7)

aso 4. Cálculo de las coordenadas del CT de entrepiso (tablas 6.5 y 6.6)

P P

myt 73.4440020800

5 ==

mxt 78.51330076850

5 ==

aso 5. Cálculo de los cortantes directos P

64

tVd

tVd

tVd

X

X

X

97.124400

)2400)(77.23(

32.44400

)800)(77.23(

48.64400

)1200)(77.23(

3

2

1

==

==

==

tVd

tVd

tVd

Y

Y

Y

66.1913300

)5500)(54.47(

43.113300

)400)(54.47(

45.2613300

)7400)(54.47(

3

2

1

==

==

==

Paso 6. Cálculo de la excentricidad estructural de entrepiso

aso 7. Cálculo de las excentricidades de diseño

aso 8. Cálculo del momento torsionante

aso 9. Cálculo del cortante por torsión

mesx 98.075.373.4 =−= mesy 97.078.575.6 =−=

P

med

md

x

x

23.0)5.7(1.098.0

22.2)5.7(1.0)98.0(5.1

2

1

=−=

=+=

m

med

y

y

38.0)5.13(1.097.0

81.2)5.13(1.0)97.0(5.1

2

1

−=−=

=+=

ed

e

P

mtM

mt

x

x

t

t

−==

−==

47.5)23.0)(77.23(

77.52)22.2)(77.23(

2

1

mtM

mtM

y

y

t

t

−−=−=

−==

07.18)38.0)(54.47(

59.133)81.2)(54.47(

2

1

M

P

tVt

tVt

X

X

05.0)47.5(40.621693

73.5672

48.0)77.52(40.621693

73.5672

1

1

==

==

t

tVt

Y

Y

24.1)07.18(40.62169365.42758

17.9)59.133(40.62169365.42758

1

1

==

==

Vt

tVt

tVt

X

X

01.0)47.5(40.621693

82.981

08.0)77.52(40.621693

82.981

2

2

==

==

t

tVt

Y

Y

01.0)07.18(40.621693

72.288

06.0)59.133(40.621693

72.288

2

2

==

==

Vt

65

tVt

tVt

X

X

06.0)47.5(40.621693

55.6654

56.0)77.52(40.621693

55.6654

3

3

==

==

t

tVt

Y

Y

23.1)07.18(40.62169392.42469

11.9)59.133(40.62169392.42469

3

3

==

==

Vt

Paso 10. Cálculo de la fuerza cortante sísmica que debe ser soportada por los

aso 11. Cálculo de los efectos de torsión en dirección contraria al análisis

elementos resistentes de la estructura

tVTtVTtT

X

X

X

91.1206.097.1240.408.032.496.648.048.6

3

2

1

=−==+==+=

ttVT

tVT

Y

Y

Y

77.2811.966.1949.106.043.1

69.2724.145.26

3

2

1

=+==+==+=

VT

V

P

tVy

tVy

tVy

Xt

Xt

Xt

43.1)59.133(40.621693

55.6654

21.0)59.133(40.621693

82.981

22.1)59.133(40.621693

73.5672

3

2

1

==

==

==

tVx

tVx

tVx

Yt

Yt

Yt

60.3)77.52(40.62169392.42469

02.0)77.52(40.621693

72.288

63.3)77.52(40.62169365.42758

3

2

1

==

==

==

aso 12. Cálculo de los efectos bidireccionales

P

tVtVt

X

X

X

34.13)43.1(30.091.1247.4)21.0(30.041.434.7)22.1(30.096.6

3

2

1

=+=′=+=′=+=′

tVtV

tV

Y

Y

Y

85.29)60.3(30.077.2850.1)02.0(30.049.1

78.28)63.3(30.069.27

3

2

1

=+=′=+=′=+=′V

tVtVtV

X

X

X

30.543.1)91.12(30.05.121.0)41.4(30.031.322.1)96.6(30.0

3

2

1

=+=′′=+=′′=+=′′

ttV

tV

Y

Y

Y

24.1260.3)77.28(30.047.002.0)49.1(30.0

94.1163.3)69.27(30.0

3

2

1

=+=′′=+=′′=+=′′

V

66

APÉNDICE E. Cálculo con el procedimiento de Ávila

Paso 1. Obtención de las coordenadas de los CM en todos los pisos (Apéndice A,

aso 2. Realizar un análisis sísmico estático (Apéndice A, tablas A2 y A3)

aso 3. Obtención de los cortantes directos de entrepiso (Apéndice A, tablas A4

aso 4. Cálculos de las coordenadas del CT de piso

tabla A1) P Py A5) P

myt 73.477.23

)5.7)(97.12()3)(32.4()0)(48.6(5 =

++= 5.

mxt 78.554.47

)5.13)(66.19()5.6)(43.1()0)(45.26(5 =

++=

Paso 5. Cálculo de la excentricidad de piso

Paso 6. Cálculo de las excentricidades de diseño

Paso 7. Cálculo de las coordenadas de los nuevos CM

aso 8. Realizar los cambios necesarios en los archivos de datos por los nuevos

Paso 9. Realizar dos análisis sísmicos de tipo estático en cada dirección, uno para cada CM desplazado por las excentricidades de diseño, permitiendo

me

me

sx

sy

97.078.575.6

98.073.475.3

=−=

−=−=

med

md

y

y

23.0)5.7(1.098.0

22.2)5.7(1.0)98.0(5.1

2

1

−=−+−=

−=−+−=

med

med

x

x

38.0)5.13(1.097.0

81.2)5.13(1.0)97.0(5.1

2

1

−=−=

=+=e

mymy

m

m

50.423.073.451.222.273.4

2*

1*

=−=

=−=

mxmx

m

m

40.538.078.559.881.278.5

2*

1*

=−=

=+=

PCM del modelo tridimensional de la estructura.

67

traslación y rotación de los entrepisos, y elegir la condición más desfavorable para el diseño de los elementos resistentes.

Tabla E1. Cortantes totales en los elementos resistentes en dirección X

VT

EXCENTRICIDAD EJE 1X 6.66

2X 4.35 1ed 3X 12.78

1X 6.51

2X 4.32

3X 12.96 2ed

Tabla E2. Cortantes totales en los elementos resistentes en dirección Y

VT

EXCENTRICIDAD EJE 1Y 23.07

2Y 1.47 1ed 3Y 22.98

26.97

2ed 3Y 19.44

1Y

2Y 1.44

PÉNDICE F. Cálculo con el procedimiento de Goel y Chopra

A

68

Tabla F1. Cortantes totales en los elementos resistentes en dirección X

VT

EJE ar br

1X 68.606.0)57.6(5.1)48.6(5.0 =++− 51.606.057.6 =− 68.6

33.401.0)2.4(5.1)32.4(5.0 =++− 3 31.401.032.4 =− 33.4

3X 77.1206.0)87.12(5.1)96.12(5.0 =−+− 9.1206.087.12 =+ 3 93.12

2X

Tabla F2. Cortantes totales en los elementos resistentes en dirección Y

VT

EJE ar br

1Y 53.2604.2)14.25(5.1)45.26(5.0 =++− 10.2304.214.25 =− 53.26

48.101.0)7.1(5.1)43.1(5.0 =−+− 4 48.101.047.1 =+ 48.1

3Y 56.1904.2)97.20(5.1)66.19(5.0 =−+− 01.2304.297.20 =+ 01.23

2Y

PÉNDICE G. Cálculo con el procedimiento Bazán y Meli

A

69

Paso 1. Calcular las coordenadas del CM en todos los entrepisos (Apéndice A, tabla

) Paso 2. Realizar una análisis sísmico estático (Apéndice A, tablas A2 y A3)


1

P

m75.3)75.3)(77.23(=∑ yv 77.235 =

mxv 75.654.47

)75.6)(54.47(5 == ∑

aso 4. Obtención de las rigideces de entrepiso (Apéndice A, tablas A6 y A7)

Paso 5. Cálculo del CT de entrepiso

P

m73.4440020800

= yt5 =

mxt 78.51330076850

5 ==

Paso 6. Cálculo de los cocientes del cortante directo y por torsión

545455.044002400

181818.04400800

272727.04400

3

2

1

==

==

==

X

X

X

cd

cd

413534.0133005500

030075.013300

400

556391.013300

3

2

1

==

==

==

Y

Y

Y

cd

cd

cd1200cd 7400

010704.040.621693

55.6654

001579.040.621693

82.981

009125.040.62169373.5672

3

2

1

==

−=−

=

−=−

=

X

X

X

ct

ct

ct

068313.040.62169392.42469

000464.040.621693

72.288

68778.040.62169365.42758

3

2

1

==

==

−=−

=

Y

Y

Y

ct

ct

ct

Paso 7. Cálculo de la excentricidad estructural de entrepiso

70

mesx 98.073.475.3 −=−=

mesy 97.078.575.6 =−=

Paso 8. Cálculo de las excentricidades de diseño

medx

23.098.0

)5.7(1.00.198.0

)5.7(1.0

2 −=

−−−=

med

med

y

y

38.088.0

)5.13(1.00.197.0

81.288.0

)5.13(1.05.197.0

2

1

−=

+=

=

+=

Paso 9. Cálculo de los momentos por torsión

Paso 10. Cálculo de los cortantes

Paso 11. Cálculo de los cortante

aso 12. Cálculo de la fuerza cortante sísmica que debe ser resistida por los

medx

22.298.0

5.198.01 −=

−+−=

mtx

x

t −−=−= 47.5)23.0)(77.23(2 mtM

mtM

y

y

t

t

−−=−=

−==

07.18)38.0)(54.47(

59.133)81.2)(54.47(

2

1

directos

mtM t −−=−= 77.52)22.2)(77.23(1

M

tVd

td

X

X

97.12)77.23)(545455.0(

48.6)77.23)(272727.0(

3

2

==

==

tVdtVdtVd

Y

Y

Y

66.19)54.47)(413534.0(43.1)54.47)(030075.0(45.26)54.47)(556391.0(

3

2

1

======

s por torsión

Vtd

X

32.4)77.23)(181818.0(1

== V

Vtt

X

05.0)47.5)(0092125.0(1

=−=

tt

X

48.0)77.52)(009125.0(

1

=−=

tVttVt

Y

Y

24.1)07.18)(068778.0(19.9)59.133)(068778.0(

1

1

=−−=−=−=

t8

V

tVtVt

X

X

01.0)47.5)(001579.0(0.0)77.52)(001579.0(

2

2

=−−==−−=

tVttVt

Y

Y

01.0)07.18)(0004.0(06.0)59.133)(000464.0(

2

2

−=−===

06.0)47.5)(010704.0(57.0)77.52)(010704.0(

4

3

−=−=−=−=

X

X

tVt

tVttVt

Y

Y

23.1)07.18)(068313.0(11.9)59.133)(068313.0(

3

3

=−===

V

Pelementos resistentes de la estructura

71

tVT X

X

91.1206.097.123

2

=−=

tVTtVT

t

Y

Y

77.2811.966.1949.106.043.1

3

2

=+==+=tT

tVT X

40.408.032.496.648.048.61

=+==+=

VT Y 69.2724.145.261 =+=

V

Paso 13. Cálculo de los efectos de torsión en dirección contraria al análisis

aso 14. Cálculo de los efectos bidireccionales

tVy

ty

Xt

Xt

43.1)59.133)(010704.0(

22.1)59.133)(009125.0(

3

2

==

−=−=

tVxt

tVx

Yt

Yt

60.3)77.52)(068313.0(02.0

63.3)77.52)(068778.0(

3

2

==

−=−= ty

V Xt

21.0)59.133)(001579.0(1

−=−= VxYt

)77.52)(000464.0(1

==V

P

tV

t

t

X

X

34.1343.13.091.12

47.421.03.00

33.7

3

2

=+=′

=−+

=

tV

tV

tV

Y

Y

Y

87.2960.33.079.28

50.102.03.049.1

78.2863.33.069.27

3

2

1

=+=′

=+=′

=−+=′

V 22.13.096.6 −+=′

VX

4.41

=′

tV

t

tV

X

X

X

30.543.1)91.12(3.0

53.121.0)40.4(3.0

31.322.1)96.6(3.0

3

2

1

=+=′′

=−+=′′

=−+=′′

tV

tV

tV

Y

Y

Y

24.1260.3)79.28(3.0

47.002.0)49.1(3.0

94.1163.3)69.27(3.0

3

2

1

=+=′′

=+=′′

=−+=′′

V

PÉNDICE H. Cálculo con el Procedimiento Simplificado de Diseño

A

72

Paso 1. Obtención de las coordenadas del CM en todos los entrepisos (Apéndice A, bla A1)


ta Paso 2. Realizar un análisis sísmico estático (Apéndice A, tablas A2 y A3) P

m75.3)75.3)(77.23(=∑ yv 77.235 =

mxv 75.654.47

)75.6)(54.47(5 == ∑

Paso 4. Obtención de los cortantes directos de entrepiso (Apéndice A, tablas A4 y

5) A Paso 5. Cálculo de las coordenadas del CT de entrepiso

mt 73.477.23

)5 =

y 5.7)(97.12()5.3)(32.4()0)(48.6( ++=

mxt 78.554.47

)5.13)(66.19()5.6)(43.1()0)(45.26(5 =

++=

Paso 6. Cálculo de la excentricidad estructural

Paso 7. Cálculo de la excentricidad estructural normalizada

esx 75.373.4 =−= m98.0mesy 97.078.575.6 =−=

98.0 mex 131.05.7==

mey 072.05.13

97.0==

Paso 8. Clasificar los elementos resistentes en rígidos o flexibles (Tablas 6.22 y 6.23)

73

T Paso 9. Cálculo de la posición relativa de los elementos resistentes respecto al C

631.073.4==ζ 428.078.5

==ζ 5.71X 5.131Y

164.05.7

230.12 ==Xζ 053.0

5.1372.0

2 ==Yζ

369.05.7

770.23 ==Xζ 572.0

5.1372.7

3 ==Yζ

Paso 10. Cálculo del radio de giro normalizado

585.144005.7

==xρ

40.6216931

506.013300

40.6216935.13

1==yρ

Paso 11. Cálculo de los factores de amplificación por torsión de los elementos resistentes

512.21X ( )[ ] 074.1131.05.11.0631.01 =++=FATf

( )[ ] 019.1131.05.11.0512.2164.012 =++=XFATf

( ) 995.0131.01.0512.2369.013 =−+=XFATr

( ) 047.1072.01.0256.0428.011 =−+=YFATr

( )[ ]

( )[ ] 465.1072.05.11.0256.0572.01

043.1072.05.11.0256.0053.01

3

2

=++=

=++=

Y

Y

FATf

FATf

aso 12. Cálculo de la fuerza cortante sísmica que debe ser resistida por los lementos resistentes de la estructura

Pe

74

tVT X 96.6)074.1)(48.6(1 ==

tVTtT

X

X

91.12)995.0)(97.12(40.4)019.1)(32.4(

3

2

====

tVtV

tV

YT

YT

YT

79.28)465.1)(66.19(49.1)043.1)(43.1(

69.27)047.1)(45.26(

3

2

1

======

V

75

distribuciÓn de cortantes por torsiÓn

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