diseños experimentales de bloques incompletos y aplicaciones en

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA ÁREA ACADÉMICA DE INGENIERÍA

DISEÑOS EXPERIMENTALES DE BLOQUES INCOMPLETOS Y APLICACIONES EN LA

INDUSTRIA

MONOGRAFÍA

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO INDUSTRIAL

PRESENTA:

P.L.I.I. ISIDRO JESÚS GONZÁLEZ HERNÁNDEZ

DIRECTOR: DRA. MIRIAM M. ÁLVAREZ SUÁREZ

Pachuca de Soto, Hgo. Octubre 2006

DEDICATORIAS

A UAEH:

Estoy orgulloso de ser parte de esta gran institución la que me brindo los elementos

suficientes para mi formación académica, la cual forma egresados competitivos y

eficientes a nivel Nacional.

A MIS PROFESORES:

Por su amistad, conocimientos y experiencias que me han brindaron a lo largo de mi

formación profesional, los cuales han contribuido en mi desarrollo personal y

profesional.

A MI ASESORA:

Por el apoyo, paciencia y tiempo que me dedico para realizar este trabajo y agradecerle

su confianza.

I

ÍNDICE

Página

INTRODUCCIÓN 1

JUSTIFICACIÓN 4

OBJETIVO GENERAL Y ESPECÍFICOS

7

DEFINICIONES DEFINICIONES DE PRINCIPALES CONCEPTOS

8

CAPÍTULO 1 DISEÑO DE EXPERIMENTOS 13

1.1 Introducción 13

1.2 Tipos de variabilidad 16

1.3 Planificación de un experimento 18

1.4 Resumen de los principales conceptos 25

1.5 Principios básicos en el diseño de

experimentos

30

1.6 Algunos diseños experimentales clásicos 32

1.6.1 Diseño completamente aleatorizado 33

1.6.2 Diseño en bloques o con un factor bloque 33

1.6.3 Diseños con dos o más factores bloque 34

1.6.4 Diseños con dos o más factores 35

1.6.5 Diseños factoriales a dos niveles 36

CAPÍTULO 2 DISEÑO DE BLOQUES INCOMPLETOS 38


II

2.2 Bloques incompletos de tratamientos para

reducir el tamaño de los bloques

39

2.3 Diseños de bloques incompletos

balanceados (BIB)

42

2.4 Cómo aleatorizar los diseños de bloques

incompletos

43

2.5 Análisis de diseños BIB 45

2.6 Diseño renglón-columna para dos criterios

de bloque

55

2.7 Reducción del tamaño de experimento con

diseños parciales balanceados (BIPB)

58

CAPÍTULO 3 DISEÑO DE BLOQUES INCOMPLETOS: DISEÑOS RESOLUBLES Y CÍCLICOS

64


3.2 Diseños resolubles para ayudar a manejar

el experimento

65

3.3 Diseños resolubles renglón-columna para

dos criterios de bloque

70

3.4 Los diseños cíclicos simplifican la

construcción del diseño

75

3.5 Diseños α para diseños resolubles

versátiles a partir de una construcción

cíclica

78

CAPÍTULO 4 APLICACIÓN A LA INDUSTRIA DE DISEÑOS DE BLOQUES INCOMPLETOS Y SU

85

III

EFICIENCIA FRENTE A OTROS DISEÑOS.


4.2 Eficiencia de los diseños de bloques

incompletos

86

4.3

Aplicaciones de Diseños Experimentales de

Bloques Incompletos en el sector industrial

87

Apéndice 1A.1 Algunos diseños de bloques incompletos

balanceados.

100

Apéndice 1A.2 Algunos diseños de cuadrados latinos

incompletos.

102

Apéndice 1A.3 Estimaciones de mínimos cuadrados para

diseño BIB.

105

Apéndice 2A.1 Planes para diseños cíclicos.

108

Apéndice 2A.2 Arreglos para diseños α 109

CONCLUSIONES 110

BIBLIOGRAFÍA 116

IV

ÍNDICE DE TABLAS Página Tabla 1

Diferencia entre ambos tipos de bloqueo anidados y

jerarquerizados.

35

Tabla 2.1 Análisis de varianza para un diseño de bloque

incompleto balanceado.

48

Tabla 2.2 Conversión porcentual del metilglucósidos con

acetileno a acetileno a alta presión, en un diseño de

bloque incompleto balanceado.

50

Tabla 2.3 Análisis de varianza para la conversión porcentual de

metilglucósidos, en un diseño de bloque incompleto

balanceado.

51

Tabla 2.4 Estimaciones de mínimos cuadrados de las

medias de presión para la conversión porcentual

de multiglucósidos, en un diseño de bloques

incompletos balanceado.

52

Tabla 2.5 Análisis intrabloques para un diseño de bloques

renglón-columna incompleto balanceado con

tratamientos ortogonales por renglones.

58

Tabla 3.1 Análisis intrabloques para un diseño de bloques

incompleto balanceado resoluble.

69

V

Tabla 3.2

Análisis intrabloques para un diseño de bloques

incompleto renglón-columna anidado.

73

Tabla 4.1 Pureza observada de un producto químico en un factorial 23 parcialmente confundido.

90

Tabla 4.2 Coeficientes para contrastes en un diseño de

tratamiento factorial 23.

91

Tabla 4.3 Cálculos para los efectos factoriales no confundidos

con bloques.

91

Tabla 4.4 Los contrastes confundidos AB, AC, y BC calculados

con los totales de todas las observaciones de

tratamientos.

92

Tabla 4.5 Diferencia calculada para cada par de bloques.

92

Tabla 4.6 Análisis de varianza para la pureza de un producto

químico en un factorial 23 parcialmente confundido.

93

Tabla 4.7 Conversión porcentual del metilglucósidos con acetileno a acetileno a alta presión, en un diseño de bloque completo aleatorizado.

98

Tabla 4.8 Análisis de varianza para la conversión porcentual de metilglucósidos, en un diseño de bloque completo aleatorizado.

98

VI

ÍNDICE DE CUADROS Página Cuadro 1 Diseño de bloques incompletos con cuatro

tratamientos en bloques de tres unidades.

40

Cuadro 2 Diseño de bloques renglón-columna incompleto balanceado de 4 X 7.

56

Cuadro 3 Diseño de bloques incompleto parcialmente balanceado con seis tratamientos en bloques de cuatro unidades.

60

Cuadro 4 Primeros y segundos asociados para los seis tratamientos en el diseño de bloques parcialmente balanceado del cuadrado 1.3

61

Cuadro 5 Diseño de bloques incompleto balanceado resoluble para evaluar productos alimenticios.

67

Cuadro 6 Diseño de bloques incompleto renglón columna anidado de 3 x 3 para las muestras de la población de insectos.

72

Cuadro 7 Diseño cíclico para seis tratamientos en bloques de tres unidades.

76

Cuadro 8 Diseño cíclico generado a partir de los bloques iniciales.

78

Cuadro 9 Diseño α para 12 tratamientos en tres grupos de réplicas.

81

Cuadro 10 Ilustración de bloques contiguos en replicas.

83

Cuadro 11 Diseño renglón-columna latinizado.

84

1

INTRODUCCIÓN

Hace casi ochenta años el trabajo pionero de Sir Ronald Fisher mostró cómo

los métodos estadísticos y en particular el diseño de experimentos podían ayudar

a solventar el problema de cómo descubrir y entender las complejas relaciones

que pueden existir entre varias variables y más aún, alcanzar este objetivo a

pesar de que los datos están contaminados con error experimental. Desde que

se comenzaron a utilizar en agricultura y biología, estas técnicas se han seguido

desarrollando y su uso se ha generalizado a las ciencias físicas, sociales, la

ingeniería y la industria.

Más recientemente, su efecto catalítico en los procesos de investigación y

aprendizaje, ha demostrado el importante papel que ha jugado en la revolución

industrial, en calidad y productividad, liderada por Japón.

Los experimentos en la industria moderna son más complicados, porque son

muchos los factores que son susceptibles de controlarse y que afectan a la

calidad de los productos, de aquí que son muchas las combinaciones de dichos

factores que se deben probar para obtener resultados válidos y consistentes.

El diseño estadístico de experimentos permite optimizar la información

generada acerca del sistema, en relación a los objetivos planteados. En otras

palabras, el diseño de experimentos es la aplicación del método científico para

generar conocimiento acerca de un sistema o proceso.

El diseño de experimentos ha sido consolidado poco a poco en la industria

actual como un conjunto de herramientas estadísticas y de ingeniería, que

permiten lograr la máxima eficiencia de los procesos con el mínimo costo.

INTRODUCCIÓN

2

Con el diseño de experimentos se pueden resolver problemas como los

siguientes:

• Desarrollar productos que sean resistentes a diferentes condiciones de

uso.

• Encontrar las condiciones de proceso que dan por resultado valores

óptimos de las características de calidad del producto.

• Elegir entre diferentes materiales, métodos de producción o proveedores,

con el fin de mejorar la calidad y reducir costos.

• Estudiar la relación que existe entre los diferentes factores que intervienen

en un proceso y las características de calidad del producto. Este es el

problema general que resuelve el diseño de experimentos.

Generalizando, los modelos de diseños de experimentos son modelos

estadísticos que podemos aplicar para:

• Determinar qué variables tienen mayor influencia en los valores de

respuesta,

• Determinar el mejor valor de las variables para tener un valor cercano al

valor de respuesta deseado y,

• Determinar el mejor valor de las variables para que el valor de la

respuesta tenga la menor variabilidad.

Los pormenores de cálculo para el análisis estadístico de los distintos diseños

experimentales varían de un diseño a otro, aunque muchos procedimientos

estadísticos usados en el análisis son comunes a la mayoría de los diseños

INTRODUCCIÓN

3

existentes. Esto se debe a que los procedimientos mismos generalmente se

relacionan con los diseños del tratamiento específico, cada uno de los cuales

puede aparecer en varias configuraciones del diseño experimental.

La intención de esta Monografía es la de introducir algunos procedimientos

útiles para diversos estudios en los que no es posible considerar una réplica

completa de todos los tratamientos y se hace necesario bloquizar unidades

experimentales. Los Diseños de Bloques Incompletos ofrecen una solución

que nos permite disminuir la varianza del error y proporciona comparaciones más

precisas entre tratamientos de lo que es posible con un diseño de bloques

completos.

En el Capítulo 1 se exponen las ideas generales del diseño de experimentos,

el Capítulo 2 contiene los conceptos básicos de los diseños de bloques

incompletos, el Capítulo 3 se ha dedicado a los diseños de bloques incompletos

resolubles y cíclicos y en el Capítulo 4 se presentan algunos ejemplos de

aplicaciones de los diseños de bloques incompletos a la industria y su eficiencia

frente a los diseños de bloques completos. En cada uno de los Capítulos se

incluyen ejemplos de aplicaciones a problemas industriales. Por último se

ofrecen algunas conclusiones y recomendaciones para el uso de estos diseños

tan útiles en los problemas de la industria.

4

JUSTIFICACIÓN

En el campo de la industria es práctica común realizar pruebas o

experimentos con la intención de que al hacer cambios en los materiales,

métodos o condiciones de operación de un proceso se puedan detectar, resolver

o minimizar los problemas de calidad.

El diseño experimental es el arreglo de unidades experimentales utilizado

para controlar el error experimental, a la vez que acomoda los tratamientos.

Existe en la literatura una amplia variedad de arreglos diseñados para controlar

el error experimental y se observa una tendencia natural a diseñar los

experimentos de acuerdo con diseños ya existentes. No obstante, desarrollar un

diseño de experimentos que satisfaga la demanda del experimento que se está

realizando no es tarea fácil, aunque debe ser el objetivo principal de cualquier

estudio.

El logro de la máxima información, precisión y exactitud en los resultados,

junto con el uso más eficiente de los recursos existentes, es un principio a seguir

en la elección del diseño adecuado del experimento.

La asociación entre la asignación de tratamientos y el diseño experimental se

puede realizar en dos contextos diferentes: sin bloques y con bloques. Por todos

es conocido que el incorporar bloques o tratamientos replicados en un

experimento, provoca una mejor estimación del error experimental además de

reducirlo; sin embargo, a veces esto no es posible.

El número de bloques en un estudio de investigación afecta la precisión de

las estimaciones de las medias de los tratamientos y la potencia de las pruebas

estadísticas para detectar las diferencias entre las medias de los grupos en

tratamiento. Sin embargo, el costo de conducir estudios de investigación

restringe las réplicas a un número razonable. Luego, el número de bloques o de

JUSTIFICACIÓN

5

réplicas está determinado por las restricciones prácticas que se pueden asignar

al problema.

Es importante destacar, que a pesar de lo anteriormente expuesto, el

investigador debe estar consciente que al reducir el número de tratamientos por

bloque o el número de réplicas por tratamiento, estará influyendo directamente el

valor de la varianza del error experimental (σ2), en el tamaño de la diferencia

entre dos medias de tratamiento, en el nivel de significación de la prueba (α) y en

la potencia de la prueba ( 1 – β).

Existen fórmulas para calcular el número de réplicas necesarias para valores

de σ2, α, β y la diferencia de medias a detectar, sin embargo, son estimaciones y

aproximaciones. Con frecuencia se determinan con base en las estimaciones de

la varianza obtenidas en estudios previos del mismo tipo y no a las del estudio

real que se usarán para calcular los intervalos de confianza y las pruebas de

hipótesis.

La réplica de un experimento proporciona los datos para estimar la varianza

del error experimental. La bloquización proporciona un medio para reducir el

error experimental. Sin embargo, las réplicas y la bloquización por sí solos no

garantizan estimaciones válidas de la varianza del error experimental o de las

comparaciones entre tratamientos.

Fisher, 1926, señaló que la sola aleatorización proporciona estimaciones

válidas de la varianza del error para los métodos de inferencia estadística

justificados para la estimación y pruebas de hipótesis en el experimento. La

aleatorización es la asignación aleatoria de los tratamientos a las unidades

experimentales.

La eficiencia relativa mide la efectividad de la bloquización para reducir la

varianza del error experimental en el diseño de experimentos. En la práctica la

JUSTIFICACIÓN

6

eficiencia relativa se mide para determinar la eficiencia del diseño usado en

realidad respecto a otro más sencillo que pudo usarse pero no se hizo.

La varianza de la media de un tratamiento es una medida de la precisión de

las medias de tratamiento estimadas. Esta precisión se controla mediante la

magnitud de σ2 y el número de réplicas, que en cierto grado están bajo el control

del investigador, ya que éste puede aumentar la precisión en la estimación de la

media, aumentando el número de réplicas. Sin embargo, esto aumentaría el

costo de la investigación. Hay otra forma de incrementar la precisión del

experimento reduciendo σ2 a través de varias actividades de control local, como

la bloquización.

La importancia que tiene la bloquización en el diseño de experimentos sobre

todo en la industria, donde las condiciones de replicación no son fáciles y en la

mayoría de los casos, imposible, es lo que nos impulsó a escoger este tema para la

realización de esta monografía sobre los “diseños de bloques incompletos” para

estudiar con sencillez, claridad y profundidad el diseño de experimentos y

específicamente, los diseños de bloques incompletos, incluyendo las técnicas y las

estrategias necesarias para planear y analizar adecuadamente las pruebas

experimentales, y conocer mejor la realidad del objeto de estudio y se mejore en

forma eficaz el desempeño de productos y procesos.

En ella se desarrollan temas tan importantes como: elementos de inferencia

estadística, experimentos con un solo factor, diseños en bloques, diseños

factoriales, planeación de un experimento, así como la eficiencia de los mismos

para el tratamiento de casos particulares.

La explicación de cada técnica se apoya en casos reales y se resuelven

ejemplos que ayudan a una mejor comprensión de cuándo y cómo aplicarla.

Por todo lo anterior, esta monografía es un valioso instrumento que permitirá al

lector adquirir algunos conocimientos que le conducirán a un desempeño

profesional exitoso.

7

OBJETIVO GENERAL Y ESPECÍFICOS

Objetivo General de la presente monografía es el siguiente:

“Realizar una presentación de las bases teóricas y prácticas de los diseños

experimentales de bloques incompletos tanto balanceados como parcialmente

balanceados y sus posibles aplicaciones en la industria”

Objetivos Específicos son los siguientes:

Conceptualizar las bases fundamentales del Diseño de

Experimentos y su importancia en la investigación.

Definir los conceptos generales y específicos de utilización de los

diseños de bloques incompletos balanceados (DBIB) y diseños de

bloques incompletos parcialmente balanceados (DBIPB).

Aplicación a la industria de Diseños de Bloques Incompletos y su

eficiencia frente a otros diseños.

Manejar el software SPSS para su posible utilización a problemas

industriales.

8

DEFINICIONES DE LOS PRINCIPALES CONCEPTOS Nota: Los conceptos se presentan en forma como aparecen en el trabajo

Estadística: Rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y

analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de

experimentos y la toma de decisiones.

Experimento: Es un cambio en las condiciones de operación de un sistema o

proceso, que se hace con el objetivo de medir el efecto de tal cambio sobre una

o varias propiedades del producto. Dicho experimento permite aumentar el

conocimiento acerca del mismo.

Diseño de experimentos: Consiste en planear un conjunto de pruebas

experimentales, de tal manera que los datos generados puedan analizarse

estadísticamente, para obtener conclusiones válidas y objetivas acerca del

sistema o proceso.

Diseño experimental: Es el arreglo de las unidades experimentales utilizado

para controlar el error experimental, a la vez que acomoda los tratamientos.

Unidad experimental: Es la entidad física o sujeto expuesto al tratamiento

independientemente de otras unidades.

2) son los objetos, individuos, intervalos de espacio o tiempo sobre los que

se experimenta.

Tamaño del Experimento: es el número total de observaciones recogidas en el

diseño.

Tratamiento: Son el conjunto de circunstancias creadas para el experimento, en

respuesta a la hipótesis de investigación y son el centro de la misma.

DEFINICIÓN DE LOS PRINCIPALES CONCEPTOS

9

2) Es una combinación específica de los niveles de los factores en estudio.

Son, por tanto, las condiciones experimentales que se desean comparar en

el experimento. En un diseño con un único factor son los distintos niveles

del factor y en un diseño con varios factores son las distintas combinaciones

de niveles de los factores.

Variable: Que puede variar, que está sujeta a variación.

2) Mat. Que se puede hacer variar a voluntad.

Variable de interés o respuesta: es la variable que se desea estudiar y

controlar su variabilidad.

Observación experimental: es cada medición de la variable respuesta.

Diseño equilibrado o balanceado: es el diseño en el que todos los tratamientos

son asignados a un número igual de unidades experimentales.

Error experimental: Describe la variación entre las unidades experimentales

tratadas de manera idéntica e independiente.

Varianza: es el promedio de los cuadrados de las desviaciones, 2_)( xxi − de cada

elemento, xi, respecto a la media, _x :

Bloqueo: Bloquear es controlar en forma adecuada a todos los factores que

puedan afectar la respuesta observada.

Factor: son las variables independientes que pueden influir en la variabilidad de

la variable de interés.


10

Factor bloque: es un factor en el que no se está interesado en conocer su

influencia en la respuesta pero se supone que ésta existe y se quiere controlar

para disminuir la variabilidad residual.

Factor tratamiento: es un factor del que interesa conocer su influencia en la

respuesta.

Aleatorio, a: Dependiente de un proceso fortuito.

2) Mat. Que depende al azar, sometido a leyes de probabilidad. Variable,

función aleatoria, cuyo valor es aleatorio.

Aleatorización: Consiste en hacer corridas experimentales en orden aleatorio y

con material seleccionado también aleatoriamente.

Permutación: Las permutaciones son las distintas formas en que se pueden

ordenar los n elementos de un conjunto.

Interacción de factores: existe interacción entre dos factores FI y FJ si el efecto

de algún nivel de FI cambia al cambiar de nivel en FJ. Esta definición puede

hacerse de forma simétrica y se puede generalizar a interacciones de orden tres

o superior.

Niveles: cada uno de los resultados de un factor. Según sean elegidos por el

experimentador o elegidos al azar de una amplia población se denominan

factores de efectos fijos o factores de efectos aleatorios.

Frecuencia: Repetición de un acto o suceso.

2) Tecn. Número de observaciones estadísticas correspondientes a un

suceso dado.

3) Mat. en estadística, el número de veces que ocurre un cierto suceso.

También se denomina frecuencia absoluta, en contraposición con la


11

frecuencia relativa, que consiste en la proporción de veces que ocurre

dicho suceso con relación al número de veces que podría haber ocurrido.

Réplica: Estd. Repetición independiente del experimento básico. Dicho de otra

manera más especifica, cada tratamiento se aplica de manera independiente a

dos o más unidades experimentales.

Correlación: f. relación reciproca o mutua entre dos o más cosas.

2) ling. Conjunto de dos series de fonemas opuestas por un mismo rasgo

distintivo.

3) Relación que se establece entre ellas.

4) Existencia de mayor o menor dependencia mutua entre dos variables

aleatorias.

5) En estadística, relación entre las dos variables de una distribución

bidimensional. Se mide mediante el coeficiente de correlación, p.

Estocástico: adj. Que se debe al azar, que remite al azar.

2) Mat. Que remite al campo de cálculo de probabilidades.

Proceso estocástico: proceso en el que un sistema cambia de forma aleatoria

entre diferentes estados, a intervalos regulares o irregulares.

Ortogonalidad de factores: dos factores FI y FJ con I y J niveles,

respectivamente, son ortogonales si en cada nivel i de FI el número de

observaciones de los J niveles de FJ están en las mismas proporciones. Esta

propiedad permite separar los efectos simples de los factores en estudio.

Parámetro: Mat. Letra que designa en una ecuación una magnitud dada, pero a

la que se pueden atribuir valores diferentes.


12

2) Estd. Número que se obtiene a partir de los datos de una distribución

estadística y que sirve para sintetizar alguna característica relevante de la

misma.

Sesgo: de sesgo II) adj. torcido, cortado o situado oblicuamente.

2) fig. grave o torcido en el semblante.

Sesgado: de sesgo II) adj. p. us. Término estadístico que significa falto de

simetría con respecto a la distribución normal.

13

CAPÍTULO 1 DISEÑO DE EXPERIMENTOS

1.1 Introducción.

Los modelos de “Diseño de experimentos” (DOE en inglés) son modelos

estadísticos clásicos cuyo objetivo es averiguar si determinados factores influyen

en la variable de interés y, si existe influencia de algún factor, cuantificarla.

Ejemplos donde habría que utilizar estos modelos son los siguientes:

En el rendimiento de un determinado tipo de máquinas (unidades

producidas por día) se desea estudiar la influencia del trabajador que la

maneja y la marca de la máquina.

Se quiere estudiar la influencia del tipo de pila eléctrica y de la marca en la

duración de las pilas.

Una compañía telefónica está interesada en conocer la influencia de

varios factores en la variable de interés “la duración de una llamada

telefónica”. Los factores que se consideran son los siguientes: hora a la

que se produce la llamada; día de la semana en que se realiza la llamada;

zona de la ciudad desde la que se hace la llamada; sexo del que realiza la

llamada; tipo de teléfono (público o privado) desde el que se realiza la

llamada.

CAPITULO 1. DISEÑO DE EXPERIMENTOS

14

Una compañía de software está interesada en estudiar la variable

“porcentaje que se comprime un fichero al utilizar un programa que

comprime ficheros” teniendo en cuenta el tipo de programa utilizado y el

tipo de fichero que se comprime.

Se quiere estudiar el rendimiento de los alumnos en una asignatura y,

para ello, se desean controlar diferentes factores: profesor que imparte la

asignatura; método de enseñanza; sexo del alumno.

1.2 Metodología al Diseño de Experimentos.

La metodología del diseño de experimentos se basa en la experimentación. Es

conocido que si se repite un experimento, en condiciones indistinguibles, los

resultados presentan variabilidad que puede ser grande o pequeña. Si la

experimentación se realiza en un laboratorio donde la mayoría de las causas de

variabilidad están muy controladas, el error experimental será pequeño y habrá

poca variación en los resultados del experimento. Pero si se experimenta en

procesos industriales o administrativos, la variabilidad es grande en la mayoría de

los casos.

El objetivo del diseño de experimentos es estudiar si utilizar un determinado

tratamiento produce una mejora en el proceso o no. Para ello se debe experimentar

utilizando el tratamiento y no utilizándolo. Si la variabilidad experimental es grande,

sólo se detectará la influencia del uso del tratamiento cuando éste produzca

grandes cambios en relación con el error de observación.

La metodología del Diseño de Experimentos estudia cómo variar las

condiciones habituales de realización de un proceso empírico para aumentar la

probabilidad de detectar cambios significativos en la respuesta, de esta forma se

obtiene un mayor conocimiento del comportamiento del proceso de interés.

Para que la metodología de diseño de experimentos sea eficaz es fundamental

que el experimento esté bien diseñado.


15

Un experimento se realiza por alguno de los siguientes motivos:

• Determinar las principales causas de variación en la respuesta.

• Encontrar las condiciones experimentales con las que se consigue un valor

extremo en la variable de interés o respuesta.

• Comparar las respuestas en diferentes niveles de observación de variables

controladas.

• Obtener un modelo estadístico-matemático que permita hacer predicciones

de respuestas futuras.

La utilización de los modelos de diseño de experimentos se basa en la

experimentación y en el análisis de los resultados que se obtienen en un

experimento bien planificado. En muy pocas ocasiones es posible utilizar estos

métodos a partir de datos disponibles o datos históricos, aunque también se puede

aprender de los estudios realizados a partir de datos recogidos por observación, de

forma aleatoria y no planificada. En el análisis estadístico de datos históricos se

pueden cometer diferentes errores, los más comunes son los siguientes:

• Inconsistencia de los datos. Los procesos cambian con el tiempo, se

producen cambios en el personal (cambios de personas, mejoras del

personal por procesos de aprendizaje, motivación), cambios en las

máquinas (reposiciones, reparaciones, envejecimiento). Estos cambios

tienen influencia en los datos recogidos, lo que hace que los datos

históricos sean poco fiables, sobre todo si se han recogido en un amplio

espacio de tiempo.

• Variables con fuerte correlación. Puede ocurrir que en el proceso existan

dos o más variables altamente correlacionadas que pueden llevar a

situaciones confusas. Por ejemplo, en el proceso hay dos variables X1 y X2

fuertemente correlacionadas que influyen en la respuesta, pero si en los

datos que se tienen aumentan al mismo tiempo el valor de las dos


16

variables no es posible distinguir si la influencia es debida a una u otra o a

ambas variables (confusión de los efectos). Otra situación problemática se

presenta si solo se dispone de datos de una variable (por ejemplo de X1 y

no de X2), lo que puede llevar a pensar que la variable influyente es la X1

cuando, en realidad, la variable influyente es la X2 (variable oculta).

• El rango de las variables controladas es limitado. Si el rango de una de las

variables importantes e influyentes en el proceso es pequeño, no se puede

saber su influencia fuera de ese rango y puede quedar oculta su relación

con la variable de interés o los cambios que se producen en la relación

fuera del rango observado. Esto suele ocurrir cuando se utilizan los datos

recogidos al trabajar el proceso en condiciones normales y no se

experimenta (cambiando las condiciones de funcionamiento) para

observar el comportamiento del proceso en situaciones nuevas.

1.3 Tipos de variabilidad.

Uno de los principales objetivos de los modelos estadísticos y, en particular, de

los modelos de diseño de experimentos, es controlar la variabilidad de un proceso

estocástico que puede tener diferente origen. De hecho, los resultados de cualquier

experimento están sometidos a tres tipos de variabilidad cuyas características son

las siguientes:

Variabilidad sistemática y planificada.

Esta variabilidad viene originada por la posible dispersión de los resultados

debida a diferencias sistemáticas entre las distintas condiciones

experimentales impuestas en el diseño por expreso deseo del

experimentador. Es el tipo de variabilidad que se intenta identificar con el

diseño estadístico.


17

Cuando este tipo de variabilidad está presente y tiene un tamaño importante,

se espera que las respuestas tiendan a agruparse formando grupos

(clusters).

Es deseable que exista esta variabilidad y que sea identificada y

cuantificada por el modelo.

Variabilidad típica de la naturaleza del problema y del experimento.

Es la variabilidad debida al ruido aleatorio. Este término incluye, entre otros,

a la componente de variabilidad no planificada denominada error de medida.

Es una variabilidad impredecible e inevitable.

Esta variabilidad es la causante de que si en un laboratorio se toman

medidas repetidas de un mismo objeto ocurra que, en muchos casos, la

segunda medida no sea igual a la primera y, más aún, no se puede predecir

sin error el valor de la tercera. Sin embargo, bajo el aparente caos, existe un

patrón regular de comportamiento en esas medidas: todas ellas tenderán a

fluctuar en torno a un valor central y siguiendo un modelo de probabilidad

que será importante estimar.

Esta variabilidad es inevitable pero, si el experimento ha sido bien

planificado, es posible estimar (medir) su valor, lo que es de gran

importancia para obtener conclusiones y poder hacer predicciones.

Es una variabilidad que va a estar siempre presente pero que es tolerable.

Variabilidad sistemática y no planificada.

Esta variabilidad produce una variación sistemática en los resultados y es

debida a causas desconocidas y no planificadas. En otras palabras, los

resultados están siendo sesgados sistemáticamente por causas


18

desconocidas. La presencia de esta variabilidad supone la principal causa

de conclusiones erróneas y estudios incorrectos al ajustar un modelo

estadístico.

Como se estudiará posteriormente, existen dos estrategias básicas para

tratar de evitar la presencia de este tipo de variabilidad: la aleatorización y la

técnica de bloques.

Este tipo de variabilidad debe de intentar evitarse y su presencia lleva a

conclusiones erróneas.

1.4 Planificación de un experimento.

La experimentación forma parte natural de la mayoría de las investigaciones

científicas e industriales, en muchas de las cuales, los resultados del proceso de

interés se ven afectados por la presencia de distintos factores, cuya influencia

puede estar oculta por la variabilidad de los resultados muéstrales. Es fundamental

conocer los factores que influyen realmente y estimar esta influencia. Para

conseguir ésto es necesario experimentar, variar las condiciones que afectan a las

unidades experimentales y observar la variable respuesta. Del análisis y estudio de

la información recogida se obtienen las conclusiones.

La forma tradicional que se utilizaba en la experimentación, para el estudio de

estos problemas, se basaba en estudiar los factores uno a uno, ésto es, variar los

niveles de un factor permaneciendo fijos los demás. Esta metodología presenta

grandes inconvenientes:

Es necesario un gran número de pruebas.

Las conclusiones obtenidas en el estudio de cada factor tiene un campo de

validez muy restringido.

No es posible estudiar la existencia de interacción entre los factores.

Es inviable, en muchos casos, por problemas de tiempo o costo.


19

Las técnicas de diseño de experimentos se basan en estudiar

simultáneamente los efectos de todos los factores de interés, son más eficaces y

proporcionan mejores resultados con un menor coste.

A continuación se enumeran las etapas que deben seguirse para una correcta

planificación de un diseño experimental, etapas que deben ser ejecutadas de forma

secuencial. También se introducen algunos conceptos básicos en el estudio de los

modelos de diseño de experimentos.

Las etapas a seguir en el desarrollo de un problema de diseño de experimentos

son las siguientes:

1. Definir los objetivos del experimento.

2. Identificar todas las posibles fuentes de variación, incluyendo:

— factores tratamiento y sus niveles,

— unidades experimentales,

— factores nuisance (molestos): factores bloque, factores ruido y

covariables.

3. Elegir una regla de asignación de las unidades experimentales a las

condiciones de estudio (tratamientos).

4. Especificar las medidas con que se trabajará (la respuesta), el

procedimiento experimental y anticiparse a las posibles dificultades.

5. Ejecutar un experimento piloto.

6. Especificar el modelo.

7. Esquematizar los pasos del análisis.

8. Determinar el tamaño muestral.

9. Revisar las decisiones anteriores. Modificarlas si se considera necesario.

Las etapas del listado anterior no son independientes y en un determinado

momento puede ser necesario volver atrás y modificar decisiones tomadas en

algún paso previo.


20

A continuación se hace una breve descripción de las decisiones que hay que

tomar en cada una de las etapas enumeradas. Sólo después de haber tomado

estas decisiones se procederá a realizar el experimento.

1. Definir los objetivos del experimento.

Se debe hacer una lista completa de las preguntas concretas a las que debe

dar respuesta el experimento. Es importante indicar solamente cuestiones

fundamentales ya que tratar de abordar problemas colaterales puede complicar

innecesariamente el experimento.

Una vez elaborada la lista de objetivos, puede ser útil esquematizar el tipo de

conclusiones que se espera obtener en el posterior análisis de datos.

Normalmente la lista de objetivos es refinada a medida que se van ejecutando

las etapas del diseño de experimentos.

2. Identificar todas las posibles fuentes de variación.

Una fuente de variación es cualquier “cosa” que pueda generar variabilidad en

la respuesta. Es recomendable hacer una lista de todas las posibles fuentes de

variación del problema, distinguiendo aquellas que, a priori, generarán una mayor

variabilidad. Se distinguen dos tipos:

• Factores tratamiento: son aquellas fuentes cuyo efecto sobre la respuesta

es de particular interés para el experimentador.

• Factores “nuisance”: son aquellas fuentes que no son de interés directo

pero que se contemplan en el diseño para reducir la variabilidad no

planificada.


21

A continuación se precisan más estos importantes conceptos.

I Factores y sus niveles.

Se denomina factor tratamiento a cualquier variable de interés para el

experimentador cuyo posible efecto sobre la respuesta se quiere estudiar.

Los niveles de un factor tratamiento son los tipos o grados específicos del

factor que se tendrán en cuenta en la realización del experimento.

Los factores tratamiento pueden ser cualitativos o cuantitativos.

Ejemplos de factores cualitativos y sus niveles respectivos son los siguientes:

proveedor (diferentes proveedores de una materia prima),

tipo de máquina (diferentes tipos o marcas de máquinas),

trabajador (los trabajadores encargados de hacer una tarea),

tipo de procesador (los procesadores de los que se quiere comparar su

velocidad de ejecución),

un aditivo químico (diferentes tipos de aditivos químicos),

el sexo (hombre y mujer),

un método de enseñanza (un número determinado de métodos de

enseñanza cuyos resultados se quieren comparar).

Ejemplos de factores cuantitativos son los siguientes:

tamaño de memoria (diferentes tamaños de memoria de ordenadores),

droga (distintas cantidades de la droga),

la temperatura (conjuntos de temperaturas seleccionadas en unos rangos de

interés).

Debe tenerse en cuenta que en el tratamiento matemático de los modelos de

diseño de experimento, los factores cuantitativos son tratados como cualitativos y


22

sus niveles son elegidos equiespaciados o se codifican. Por lo general, un factor no

suele tener más de cuatro niveles.

Cuando en un experimento se trabaja con más de un factor, se denomina:

Tratamiento a cada una de las combinaciones de niveles de los distintos

factores.

Observación es una medida en las condiciones determinadas por uno de los

tratamientos.

Experimento factorial es el diseño de experimentos en que existen

observaciones de todos los posibles tratamientos.

II Unidades experimentales.

Son el material donde evaluar la variable respuesta y al que se le aplican los

distintos niveles de los factores tratamiento.

Ejemplos de unidades experimentales son:

• en informática, ordenadores, páginas web, buscadores de internet,

• en agricultura, parcelas de tierra,

• en medicina, individuos humanos o animales,

• en industria, lotes de material, trabajadores, máquinas.

Cuando un experimento se ejecuta sobre un período de tiempo de modo que

las observaciones se recogen secuencialmente en instantes de tiempo

determinados, entonces los propios instantes de tiempo pueden considerarse

unidades experimentales.

Es muy importante que las unidades experimentales sean representativas de la

población sobre la que se han fijado los objetivos del estudio. Por ejemplo, si se

utilizan los estudiantes universitarios de un país como unidades experimentales, las


23

conclusiones del experimento no son extrapolables a toda la población adulta del

país.

III Factores “nuisance”: bloques, factores ruido y covariables.

En cualquier experimento, además de los factores tratamiento cuyo efecto

sobre la respuesta se quiere evaluar, también influyen otros factores, de escaso

interés en el estudio, pero cuya influencia sobre la respuesta puede aumentar

significativamente la variabilidad no planificada. Con el fin de controlar esta

influencia pueden incluirse en el diseño nuevos factores que, atendiendo a su

naturaleza, pueden ser de diversos tipos.

Factor bloque. En algunos casos el factor nuisance puede ser fijado en

distintos niveles, de modo que es posible controlar su efecto a esos niveles.

Entonces la forma de actuar es mantener constante el nivel del factor para un

grupo de unidades experimentales, se cambia a otro nivel para otro grupo y así

sucesivamente. Estos factores se denominan factores de bloqueo (factores-bloque)

y las unidades experimentales evaluadas en un mismo nivel del bloqueo se dice

que pertenecen al mismo bloque. Incluso cuando el factor nuisance no es medible,

a veces es posible agrupar las unidades experimentales en bloques de unidades

similares: parcelas de tierra contiguas o períodos de tiempo próximos

probablemente conduzcan a unidades experimentales más parecidas que parcelas

o períodos distantes.

Desde un punto de vista matemático el tratamiento que se hace de los factores-

bloque es el mismo que el de los factores-tratamiento en los que no hay

interacción, pero su concepto dentro del modelo de diseño de experimentos es

diferente. Un factor-tratamiento es un factor en el que se está interesado en

conocer su influencia en la variable respuesta y un factor-bloque es un factor en el

que no se está interesado en conocer su influencia pero se incorpora al diseño del

experimento para disminuir la variabilidad residual del modelo.


24

Covariable. Si el factor nuisance es una propiedad cuantitativa de las unidades

experimentales que puede ser medida antes de realizar el experimento (el tamaño

de un fichero informático, la presión sanguínea de un paciente en un experimento

médico o la acidez de una parcela de tierra en un experimento agrícola). El factor

se denomina covariable y juega un papel importante en el análisis estadístico.

Ruido. Si el experimentador está interesado en la variabilidad de la respuesta

cuando se modifican las condiciones experimentales, entonces los factores

nuisance son incluidos deliberadamente en el experimento y no se aísla su efecto

por medio de bloques. Se habla entonces de factores ruido.

En resumen, las posibles fuentes de variación de un experimento son:

Fuente Tipo

Debida a las condiciones de interés

(Factores tratamiento)

Planificada y sistemática

Debida al resto de condiciones

controladas

(Factores “nuisance”)

Planificada y sistemática

Debida a condiciones no controladas

(error de medida, material experimental, ...

)

No planificada, pero ¿sistemática?

3. Elegir una regla de asignación de las unidades experimentales a las condiciones de estudio (“tratamientos”).

La regla de asignación o diseño experimental especifica qué unidades

experimentales se observarán bajo cada tratamiento. Hay diferentes posibilidades:

• diseño factorial o no,

• anidamiento,

• asignación al azar en determinados niveles de observación,

• el orden de asignación, etc.


25

En la práctica, existen una serie de diseños estándar que se utilizan en la

mayoría de los casos.

4. Especificar las medidas que se realizarán (la “respuesta”), el procedimiento experimental y anticiparse a las posibles dificultades.

Variable respuesta o variable de interés. Los datos que se recogen en un

experimento son medidas de una variable denominada variable respuesta o

variable de interés.

Es importante precisar de antemano cuál es la variable respuesta y en qué

unidades se mide. Naturalmente, la respuesta está condicionada por los objetivos

del experimento. Por ejemplo, si se desea detectar una diferencia de 5 g. en la

respuesta de dos tratamientos no es apropiado tomar medidas con una precisión

próxima al gramo.

A menudo aparecen dificultades imprevistas en la toma de datos. Es

conveniente anticiparse a estos imprevistos pensando detenidamente en los

problemas que se pueden presentar o ejecutando un pequeño experimento piloto.

Enumerar estos problemas permite en ocasiones descubrir nuevas fuentes de

variación o simplificar el procedimiento experimental antes de comenzar.

También se debe especificar con claridad la forma en que se realizarán las

mediciones: instrumentos de medida, tiempo en el que se harán las mediciones,

etc.


26

5. Ejecutar un experimento piloto.

Un experimento piloto es un experimento que utiliza un número pequeño de

observaciones. El objetivo de su ejecución es ayudar a completar y chequear la

lista de acciones a realizar. Las ventajas que proporciona la realización de un

pequeño experimento piloto son las siguientes:

• permite practicar la técnica experimental elegida e identificar problemas no

esperados en el proceso de recogida de datos,

• si el experimento piloto tiene un tamaño suficientemente grande puede

ayudar a seleccionar un modelo adecuado al experimento principal,

• los errores experimentales observados en el experimento piloto pueden

ayudar a calcular el número de observaciones que se precisan en el

experimento principal.

6. Especificar el modelo.

El modelo matemático especificado debe indicar la relación que se supone que

existe entre la variable respuesta y las principales fuentes de variación identificadas

en el paso 2. Es fundamental que el modelo elegido se ajuste a la realidad con la

mayor precisión posible.

El modelo más habitual es el modelo lineal:

En este modelo la respuesta viene dada por una combinación lineal de términos

que representan las principales fuentes de variación planificada más un término

residual debido a las fuentes de variación no planificada. Los modelos que se

estudian en este texto se ajustan a esta forma general. El experimento piloto puede

ayudar a comprobar si el modelo se ajusta razonablemente bien a la realidad.


27

Los modelos de diseño de experimentos, según sean los factores incluidos en

el mismo, se pueden clasificar en: modelo de efectos fijos, modelo de efectos

aleatorios y modelos mixtos. A continuación se precisan estas definiciones.

Factor de efectos fijos es un factor en el que los niveles han sido

seleccionados por el experimentador. Es apropiado cuando el interés se centra en

comparar el efecto sobre la respuesta de esos niveles específicos.

Ejemplo: un empresario está interesado en comparar el rendimiento de tres

máquinas del mismo tipo que tiene en su empresa.

Factor de efectos aleatorios es un factor del que sólo se incluyen en el

experimento una muestra aleatoria simple de todos los posibles niveles del mismo.

Evidentemente se utilizan estos factores cuando tienen un número muy grande de

niveles y no es razonable o posible trabajar con todos ellos. En este caso se está

interesado en examinar la variabilidad de la respuesta debida a la población entera

de niveles del factor.

Ejemplo: una cadena de hipermercados que tiene en plantilla 300 trabajadores

de caja está interesada en estudiar la influencia del factor trabajador en la variable

“tiempo en el cobro a un cliente”.

Modelo de efectos fijos es un modelo en el que todos los factores son factores

de efectos fijos.

Modelo de efectos aleatorios es un modelo en el que todos los factores son

factores de efectos aleatorios.

Modelo mixto es un modelo en el que hay factores de efectos fijos y factores

de efectos aleatorios.


28

7. Esquematizar los pasos del análisis estadístico.

El análisis estadístico a realizar depende de:

• los objetivos indicados en la etapa 1,

• el diseño seleccionado en la etapa 3,

• el modelo asociado que se especificó en la etapa 5.

Se deben esquematizar los pasos del análisis a realizar que deben incluir:

• estimaciones que hay que calcular,

• contrastes a realizar,

• intervalos de confianza que se calcularán

• diagnosis y crítica del grado de ajuste del modelo a la realidad.

8. Determinar el tamaño muestral.

Calcular el número de observaciones que se deben tomar para alcanzar los

objetivos del experimento.

Existen, dependiendo del modelo, algunas fórmulas para determinar este

tamaño. Todas ellas sin embargo requieren el conocimiento del tamaño de la

variabilidad no planificada (no sistemática y sistemática, si es el caso) y estimarlo a

priori no es fácil, siendo aconsejable sobreestimarla. Normalmente se estima a

partir del experimento piloto y en base a experiencias previas en trabajos con

diseños experimentales semejantes.

9. Revisar las decisiones anteriores. Modificar si es necesario.

De todas las etapas enumeradas, el proceso de recolección de datos suele ser

la tarea que mayor tiempo consume, pero es importante realizar una planificación


29

previa, detallando los pasos anteriores, lo que garantizará que los datos sean

utilizados de la forma más eficiente posible.

Es fundamental tener en cuenta que:

“Ningún método de análisis estadístico, por sofisticado que sea, permite extraer

conclusiones correctas en un diseño de experimentos mal planificado”.

Recíprocamente, debe quedar claro que el análisis estadístico, es una etapa

más que está completamente integrada en el proceso de planificación.

“El análisis estadístico no es un segundo paso independiente de la tarea de

planificación. Es necesario comprender la totalidad de objetivos propuestos antes

de comenzar con el análisis. Si no se hace así, tratar que el experimento responda

a otras cuestiones a posteriori puede ser (lo será casi siempre) imposible”.

Pero no sólo los objetivos están presentes al inicio del análisis sino también la

técnica experimental empleada. Una regla de oro en la experimentación y que debe

utilizarse es la siguiente:

“No invertir nunca todo el presupuesto en un primer conjunto de experimentos y

utilizar en su diseño toda la información previa disponible”.

Finalmente indicar que todas las personas que trabajan en el experimento se

deben implicar en el mismo, esto es:

“Toda persona implicada en la ejecución del experimento y en la recolección de

los datos debe ser informada con precisión de la estrategia experimental

diseñada”.


30

1.5 Principios básicos en el diseño de experimentos.

Al planificar un experimento hay tres principios básicos que se deben tener

siempre en cuenta:

• El principio de aleatorización.

• El bloqueo.

• La factorización del diseño.

Los dos primeros (aleatorizar y bloquear) son estrategias eficientes para asignar

los tratamientos a las unidades experimentales sin preocuparse de qué

tratamientos considerar. Por el contrario, la factorización del diseño define una

estrategia eficiente para elegir los tratamientos sin considerar en absoluto como

asignarlos después a las unidades experimentales.

Aleatorizar

“Aleatorizar todos los factores no controlados por el experimentador en el

diseño experimental y que pueden influir en los resultados serán asignados al azar

a las unidades experimentales”.

Ventajas de aleatorizar los factores no controlados:

• Transforma la variabilidad sistemática no planificada en variabilidad no

planificada o ruido aleatorio. Dicho de otra forma, aleatorizar previene contra

la introducción de sesgos en el experimento.

• Evita la dependencia entre observaciones al aleatorizar los instantes de

recogida muestral.

• Valida muchos de los procedimientos estadísticos más comunes.


31

Bloquear

“Se deben dividir o particionar las unidades experimentales en grupos llamados

bloques de modo que las observaciones realizadas en cada bloque se realicen bajo

condiciones experimentales lo más parecidas posibles.

A diferencia de lo que ocurre con los factores tratamiento, el experimentador no

está interesado en investigar las posibles diferencias de la respuesta entre los

niveles de los factores bloque”.

Bloquear es una buena estrategia siempre y cuando sea posible dividir las

unidades experimentales en grupos de unidades similares.

La ventaja de bloquear un factor que se supone que tienen una clara influencia

en la respuesta pero en el que no se está interesado, es la siguiente:

• Convierte la variabilidad sistemática no planificada en variabilidad

sistemática planificada.

Con el siguiente ejemplo se trata de indicar la diferencia entre las estrategias de

aleatorizar y de bloquear en un experimento.

Ejemplo 1.1

Se desea investigar las posibles diferencias en la producción de dos máquinas,

cada una de las cuales debe ser manejada por un operario.

En el planteamiento de este problema la variable respuesta es “la producción de

una máquina (en un día)”, el factor-tratamiento en el que se está interesado es el

“tipo de máquina” que tiene dos niveles y un factor nuisance es el “operario que

maneja la máquina”. En el diseño del experimento para realizar el estudio se


32

pueden utilizar dos estrategias para controlar el factor “operario que maneja la

máquina”.

Aleatorizar: se seleccionan al azar dos grupos de operarios y se asigna al azar

cada grupo de operarios a cada una de las dos máquinas. Finalmente se evalúa la

producción de las mismas.

Bloquear: se introduce el factor-bloque “operario”. Se elige un único grupo de

operarios y todos ellos utilizan las dos máquinas.

¿Qué consideraciones se deben tener en cuenta al utilizar estas dos

estrategias? ¿Qué estrategia es mejor?

La factorización del diseño.

“Un diseño factorial es una estrategia experimental que consiste en cruzar los

niveles de todos los factores tratamiento en todas las combinaciones posibles”.

Ventajas de utilizar los diseños factoriales:

• Permiten detectar la existencia de efectos interacción entre los diferentes

factores tratamiento.

• Es una estrategia más eficiente que la estrategia clásica de examinar la

influencia de un factor manteniendo constantes el resto de los factores.

1.6 Algunos diseños experimentales clásicos.

Un diseño experimental es una regla que determina la asignación de las

unidades experimentales a los tratamientos. Aunque los experimentos difieren unos

de otros en muchos aspectos, existen diseños estándar que se utilizan con mucha

frecuencia. Algunos de los más utilizados son los siguientes:


33

1.6.1 Diseño completamente aleatorizado.

El experimentador asigna las unidades experimentales a los tratamientos al

azar. La única restricción es el número de observaciones que se toman en cada

tratamiento. De hecho si ni es el número de observaciones en el i-ésimo

tratamiento, i = 1,...,I, entonces, los valores n1,n2,...,nI determinan por completo las

propiedades estadísticas del diseño. Naturalmente, este tipo de diseño se utiliza en

experimentos que no incluyen factores bloque.

El modelo matemático de este diseño tiene la forma:

Respuesta = Constante + Efecto tratamiento + Error

1.6.2 Diseño en bloques o con un factor bloque.

En este diseño el experimentador agrupa las unidades experimentales en

bloques, a continuación determina la distribución de los tratamientos en cada

bloque y, por último, asigna al azar las unidades experimentales a los tratamientos

dentro de cada bloque.

En el análisis estadístico de un diseño en bloques, éstos se tratan como los

niveles de un único factor de bloqueo, aunque en realidad puedan venir definidos

por la combinación de niveles de más de un factor nuisance.

El modelo matemático de este diseño es:

Respuesta = Constante + Efecto bloque + Efecto tratamiento + Error

El diseño en bloques más simple es el denominado diseño en bloques completos, en el que cada tratamiento se observa el mismo número de veces en

cada bloque.


34

El diseño en bloques completos con una única observación por cada

tratamiento se denomina diseño en bloques completamente aleatorizado o,

simplemente, diseño en bloques aleatorizado.

Cuando el tamaño del bloque es inferior al número de tratamientos no es

posible observar la totalidad de tratamientos en cada bloque y se habla entonces

de diseño en bloques incompletos.

1.6.3 Diseños con dos o más factores bloque.

En ocasiones hay dos (o más) fuentes de variación lo suficientemente

importantes como para ser designadas factores de bloqueo. En tal caso, ambos

factores bloque pueden ser cruzados o anidados.

Los factores bloque están cruzados cuando existen unidades experimentales

en todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores bloques.

Diseño con factores bloque cruzados. También denominado diseño fila-columna, se caracteriza porque existen unidades experimentales en todas las

celdas (intersecciones de fila y columna).


Respuesta = Constante + Efecto bloque fila + Efecto bloque columna + Efecto

tratamiento + Error

Los factores bloque están anidados si cada nivel particular de uno de los

factores bloque ocurre en un único nivel del otro factor bloque.

Diseño con factores bloque anidados o jerarquizados. Dos factores bloque

se dicen anidados cuando observaciones pertenecientes a dos niveles distintos de


35

un factor bloque están automáticamente en dos niveles distintos del segundo factor

bloque.

Tabla 1. Diferencia entre ambos tipos de bloqueo anidados y jerarquerizados.

Bloques Cruzados Bloques Anidados

Bloque 1 Bloque 1

B 1 2 3 B 1 2 3

L 1 + + + L 1 +

O 2 + + + O 2 +

Q 3 + + + Q 3 +

U U 4 +

E E 5 +

6 +

7 +

8 +

9 +

Fuente: I. G. Hernández (2006), CIAII. Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo

1.6.4 Diseños con dos o más factores.

En algunas ocasiones se está interesado en estudiar la influencia de dos (o

más) factores tratamiento, para ello se hace un diseño de filas por columnas. En

este modelo es importante estudiar la posible interacción entre los dos factores. Si

en cada casilla se tiene una única observación no es posible estudiar la interacción

entre los dos factores, para hacerlo hay que replicar el modelo, esto es, obtener k

observaciones en cada casilla, donde k es el número de réplicas.


Respuesta = Constante + Efecto Factor Fila + Efecto Factor Columna + Efecto

Interacción + Error


36

Generalizar los diseños completos a más de dos factores es relativamente

sencillo desde un punto de vista matemático, pero en su aspecto práctico tiene el

inconveniente de que al aumentar el número de factores aumenta muy

rápidamente el número de observaciones necesario para estimar el modelo. En la

práctica es muy raro utilizar diseños completos con más de factores.

Un camino alternativo es utilizar fracciones factoriales que son diseños en los

que se supone que muchas de las interacciones son nulas, esto permite estudiar el

efecto de un número elevado de factores con un número relativamente pequeño de

pruebas. Por ejemplo, el diseño en cuadrado latino, en el que se supone que

todas las interacciones son nulas, permite estudiar tres factores de k niveles con

solo k2 observaciones. Si se utilizase el diseño equilibrado completo se necesitan k3

observaciones.

1.6.5 Diseños factoriales a dos niveles.

En el estudio sobre la mejora de procesos industriales (control de calidad) es

usual trabajar en problemas en los que hay muchos factores que pueden influir en

la variable de interés. La utilización de experimentos completos en estos problemas

tiene el gran inconveniente de necesitar un número elevado de observaciones,

además puede ser una estrategia ineficaz porque, por lo general, muchos de los

factores en estudio no son influyentes y mucha información recogida no es

relevante. En este caso una estrategia mejor es utilizar una técnica secuencial

donde se comienza por trabajar con unos pocos factores y según los resultados

que se obtienen se eligen los factores a estudiar en la segunda etapa.

Los diseños factoriales 2k son diseños en los que se trabaja con k factores,

todos ellos con dos niveles (se suelen denotar + y -). Estos diseños son adecuados

para tratar el tipo de problemas descritos porque permiten trabajar con un número

elevado de factores y son válidos para estrategias secuenciales.


37

Si k es grande, el número de observaciones que necesita un diseño factorial 2k

es muy grande (n = 2k). Por este motivo, las fracciones factoriales 2k-p son muy

utilizadas, éstas son diseños con k factores a dos niveles, que mantienen la

propiedad de ortogonalidad de los factores y donde se suponen nulas las

interacciones de orden alto (se confunden con los efectos simples) por lo que para

su estudio solo se necesitan 2k-p observaciones (cuanto mayor sea p menor

número de observaciones se necesita pero mayor confusión de efectos se supone).

En los últimos años Taguchi ha propuesto la utilización de fracciones factoriales

con factores a tres niveles en problemas de control de calidad industriales.

38

CAPÍTULO 2 DISEÑO DE BLOQUES INCOMPLETOS

2.1 Introducción

En ocasiones es necesario bloquizar unidades experimentales en grupos más

pequeños que una réplica completa de todos los tratamientos que se usarían con

bloques completos aleatorizado o un diseño de cuadrado latino. El diseño de

bloques incompletos se usa para disminuir la varianza de error experimental y

proporcionar comparaciones más precisas entre tratamientos de lo que es

posible con el diseño de bloques completos. En este trabajo se presenta una

descripción general de algunos grupos importantes de diseño de bloques

incompletos, se muestran el método de aleatorización y los métodos básicos de

análisis para diseño de bloques incompletos balanceados (BIB) y bloques

incompletos parcialmente balanceados (BIPB), tomando en cuenta también la

eficiencia de los diseños.

CAPITULO 2. DISEÑO DE BLOQUES INCOMPLETOS

39

2.2 Bloques incompletos de tratamientos para reducir el tamaño de los bloques

Por alguna razón los experimentos pueden requerir una reducción del tamaño

de bloque. Los diseños de bloques completos pueden reducir las varianzas del

error experimental estimadas, pero esta reducción puede ser insuficiente, pues el

número de tratamientos pueden ser tan grandes que resultan imprácticos para

reducirla. Además, con el agrupamiento natural de las unidades experimentales

en bloques quizá no se obtengan las unidades por bloques necesarias para el

número de tratamientos de un diseño de bloques completos. En el siguiente

ejemplo, el número limitado de cámaras de control ambiental evita la ejecución

de una réplica completa de todos los tratamientos en una corrida de cámaras

disponibles.

Ejemplo 2.1 Generación de semillas de tomate a alta temperatura constante

Es usual que los tomates se produzcan durante los meses de invierno en las

regiones áridas tropicales, la producción invernal se siembra a fines del verano

cuando las temperaturas del suelo pueden exceder 40°C, lo que sobrepasa los

35°C, temperatura máxima sugerida de germinación.

Objetivo de investigación: Un científico de plantas deseaba determinar a

que intervalos de temperatura podía esperar la inhibición de la germinación de

las semillas de tomate para un grupo de cultivos.

Diseño del tratamiento: se eligieron cuatro temperaturas para representar

un intervalo común para el área de cultivo en consideración: 25°c, 30°C, 35°C y

40°C. La semilla de tomate se sometió a una temperatura constante cámaras de

ambiente controlado.


40

Diseño experimental: una cámara sería una unidad experimental, pues la

réplica verdadera de cualquier tratamiento de temperatura requería una corrida

independiente del tratamiento en una cámara. Cualquier número de factores

puede contribuir a la variación de la respuesta entre corridas, ya que las

condiciones de todo el experimento debían repetirse para una corrida réplica, por

lo que se consideró esencial bloquizar las corridas.

El bloque completo y la réplica del experimento requerían cuatro cámaras; sin

embargo el científico sólo disponía de tres. Como el bloque natural de una

corrida tenía menos cámaras (unidades experimentales) que tratamientos,

construyó un diseño de bloques incompletos.

El cuadro 1 muestra un diagrama de diseño, en el cual se probaron tres

temperaturas diferentes en cada una de las cuatro corridas. Las corridas

representan bloques incompletos de los tres tratamientos de temperatura y los

tratamientos se asignaron al azar a las cámaras para la corrida. Algunas

características especiales de este diseño se analizan en la siguiente sección.

Cuadro 1 Diseño de bloques incompletos con cuatro tratamientos en bloques de tres unidades. Cámara Cámara 1 2 3 1 2 3 Corrida 1 Corrida 2 Cámara Cámara 1 2 3 1 2 3 Corrida 3 Corrida 4 Fuente: Dr. J. Coons, Departamento f Botany, Eastern Illinois University.

25°C 30°C 40°C 35°C 30°C 25°C

40°C 25°C 35°C 40°C 30°C 35°C


41

Otros ejemplos: Los lotes de material para la investigación industrial sirven de

bloques, pero puede no haber material suficiente en uno solo para todos los

tratamientos experimentales; los criterios para agrupar sujetos pueden provocar

que el número de sujetos parecidos sea insuficiente en cada grupo para asignar

los tratamientos planeados para el estudio, la variedad agrícola de las pruebas

con frecuencia contiene un gran número de especies y los bloques completos no

son prácticos para reducir la varianza del error; los diseños de los bloques

incompletos son la elección adecuada para los experimentos del tipo de estos

ejemplos.

La guía principal para el tamaño del bloque es tener un conjunto homogéneo

de unidades experimentales para obtener comparaciones precisas entre los

tratamientos. Los diseños de bloques incompletos fueron introducidos por Yates

(1936a, 1936b) para experimentos en los que el número de unidades

experimentales por bloque es menor que el número de tratamientos. Los diseños

se desarrollaron ante la necesidad de experimentos que incluyeran el conjunto

relevante de tratamientos para estudiar la hipótesis de investigación a un cuando

estaban restringidos a tamaños de bloque lógicos.

Es posible hacer una clasificación del diseño de bloques incompleto en dos

grandes grupos: aquellos arreglados como bloques incompletos aleatorizados

con un criterio de bloque y aquellos con arreglos basados en el cuadro latino con

dos criterios de bloque. Los diseños también puede ser balanceados, donde

cada tratamiento se aparea un número igual de veces con los demás

tratamientos en un mismo bloque, considerando todos los bloques en el

experimento. Un diseño parcialmente balanceado ocurre cuando se tiene

diferente número de pares de tratamientos en el mismo bloque o cuando algún

par de tratamientos nunca ocurre en el mismo bloque. En este tema se presenta

una descripción general de los diseños de bloques incompletos y una

introducción al análisis de los datos correspondientes a estos diseños.


42

2.3 Diseños de bloques incompletos balanceados (BIB)

El diseño BIB compara todos los tratamientos con igual precisión

El diseño de bloques incompletos balanceado es un arreglo tal que todos

los tratamientos tienen igual número de réplicas y cada par de tratamientos se

presenta en el mismo bloque un número igual de veces en algún lugar del

diseño, el balance obtenido con el mismo número de ocurrencias de todos los

pares de tratamientos en el mismo bloque tiene como resultado una precisión

igual en todas las comparaciones entre los pares de medias de tratamiento.

El diseño de bloque incompleto tiene r réplicas de t tratamientos en b bloques

de k unidades experimentales con K< t y el número total de unidades

experimentales en N= rt= bk, en el cuadro 1 por ejemplo, el experimentos con

tomates descrito tiene b= 4 bloques de k= 3 unidades experimentales, cada uno

de los t=4 tratamientos tiene r= 3 réplicas y existe un total de N= bk= 4*3= 12, o

sea, N= rt= 3*4= 12 unidades experimentales. Por inspección se observa que

cada par de tratamientos ocurre dos veces en los bloques, el par (25°, 30°) esta

en los bloques 1 y 2 y el par (30°, 35°) en los bloques 2 y 4.

El número de bloques donde ocurre cada par de tratamientos es λ= r(k-1)(t-

1), donde λ< r< b. el valor entero λ se deriva del hecho de que cada tratamiento

está apareado con los otros t-1 tratamientos en algún lugar del diseño λ veces.

Existen λ(t-1) pares para un tratamiento especifico en el experimento, el mismo

tratamiento aparece en r bloques con k-1 de los otros tratamientos, y cada

tratamiento aparece en r(k-1) pares. Por lo tanto:

λ (t- 1)= r(k-1) o λ= r(k- 1)/(t-1)

Es decir en el diseño del experimento con tomates del cuadro 1 λ= 3(3-1)/(4-

1)= 2.


43

Se puede construir un diseño de bloques incompletos balanceados mediante

la asignación de las combinaciones adecuadas de tratamientos a cada uno de

los b=(tk) bloques, con frecuencia es posible obtener el balance con menos de (t

k)

bloques. No existe un método único para construir todas las clases de diseños

de bloques incompletos pero existen métodos para construir algunos. La

construcción de estos diseños ha sido tema de diversas investigaciones

matemáticas que han arrojado un vasto arreglo de diseños de bloques

balanceados y parcialmente balanceados.

El apéndice 1A.1 proporciona algunos planes para pocos tratamientos y se

pueden encontrar otras tablas con diseños útiles para muchas situaciones

prácticas en Cochran y Cox (1957) y en Fisher y Yates (1963). En el capitulo 3

se ilustraran con más detalle varias categorías de diseño de bloques incompletos

balanceados tradicionales, en tanto este capitulo presenta una introducción a su

estructura básica con ejemplos de su aplicación y análisis.

2.4 Cómo aleatorizar los diseños de bloques incompletos

Una vez construido el diseño básico con los números de código de los

tratamientos, los pasos para la aleatorización son las siguientes:

Paso 1. Aleatorizar el arreglo de los bloques conformados por grupos

de los números de código asignados a los tratamientos.

Paso 2. Aleatorizar el arreglo de los números de tratamiento dentro de

cada bloque.

Paso 3. Aleatorizar la asignación de los tratamientos a los números de

código en el plan.


44

A continuación se ilustra la aleatorización con el plan de diseño básico

para t = 4 tratamientos en b= 4 bloques de k= 3 unidades experimentales

cada uno. Antes de la aleatorización, el plan es:

Bloque 1 1 2 3 2 1 2 4 3 1 3 4 4 2 3 4

Paso 1. Suponiendo que los bloques para el experimento son las

corridas de las tres cámaras de cultivo con tres tratamientos de

temperatura usadas en el ejemplo 2.1 los grupos de tratamiento (1, 2, 3),

(1, 2, 4), (1, 3, 4) y (2, 3, 4) deben asignarse de manera aleatoria a las

corridas, se elige una permutación aleatoria de los números 1 a 4 y se

asignan los cuatro bloques a las cuatro corridas; con la permutación 2, 4,

1, 3 la asignación es:

Bloque Bloque original 1 1 2 4 2 2 2 3 4 4 3 1 2 3 1 4 1 3 4 3

Paso 2. Se asignan al azar los números de código de tratamiento a las

cámaras de cultivo en cada corrida. Se elige una permutación de los

números 1 a 4 para cada cámara y se omite el número de tratamiento

ausente en la corrida. Las siguientes son las cuatro permutaciones junto

con la asignación a cada cámara (A, B, C) en cada corrida:


45

Cámara Bloque A B C Permutación 1 2 4 1 2 4 3 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 3 1 4 3 2

Paso 3. Suponiendo también que los tratamientos son las temperaturas 25°,

30°, 35° y 40°C, una permutación aleatoria 2, 4, 3, 1 produce una asignación de

las temperaturas para los números de código de tratamiento con la sustitución

2→25°C, 4→30°C, 3→35°C y 1→40°C en la tabla anterior.

Cámara Corrida A B C

1 25°C 30°C 40°C 2 35°C 30°C 25°C 3 40°C 25°C 35°C 4 40°C 30°C 35°C

2.5 Análisis de diseños BIB Modelo estadístico para los diseños BIB

El modelo lineal estadístico para un diseño de bloques incompleto

balanceado es:

ijjiij e+++= ρτµγ

i= 1,2,…,t j= 1,2,…,b (1)

donde µ es la media general, τi es el efecto fijo del i-ésimo tratamiento, ρj es el

efecto fijo del j-ésimo bloque, y las еij son errores experimentales aleatorios

independientes con media 0 y varianza σ2.


46

Recordando que se tiene r réplicas de los t tratamientos en b bloques

incompletos de k unidades experimentales, el número total de observaciones es

N= rt= bk, donde cada par de tratamientos aparece junto en λ= r(k- 1)/(t-1)

bloques del experimento.

Los efectos de tratamiento y bloques no son ortogonales en el diseño de

bloques incompletos porque no aparecen todos los tratamientos en cada bloque;

por lo tanto, no sería correcto para el diseño incompleto calcular la participación

de suma de cuadrados para los tratamientos igual que para los diseños de

bloque incompletos; tampoco las medias de tratamiento observadas

proporcionarían estimaciones no sesgadas de µi= µ + τi. Los parámetros

estimados y las sumas de los cuadrados de los tratamientos para los diseños de

bloque incompletos balanceados se calculan con formulas relativamente

directas, el desarrollo de las estimaciones de mínimos cuadrados se encuentra

en el apéndice 1A.3.

Particiones de sumas de cuadrados para diseños BIB

Las particiones de sumas de cuadrados se pueden derivar al considerar

modelos alternativos completos y reducidos para el diseño. Las soluciones de las

ecuaciones normales se obtienen para el modelo completo, ijjiij e+++= ρτµγ

con las estimaciones, jiij ρτµγ ˆˆˆˆ ++= , para calcular la suma de cuadrados del

error experimental para el modelo completo:

22 )ˆˆˆ()ˆ( iiijji

ijijji

fSCE ρτµγγγ −−−=−= ∑∑∑∑ (2)

donde SCEf : Suma de Cuadrados para el Error (modelo completo).


47

Las soluciones a las ecuaciones normales para el modelo reducido,

ijjiij e+++= ρτµγ , con estimaciones, jij ρµγ ˆˆˆ += , se usan para calcular las

sumas de cuadrados del error experimental para el modelo reducido;

22 )ˆˆ()ˆ( jijji

ijijji

SCEr ρµγγγ −−=−= ∑∑∑∑ (3)

donde SCEr: Suma de Cuadrados para el Error (modelo reducido).

La diferencia SCEr – SCEf es la reducción en la suma de cuadrados que

resulta al incluir iτ en el modelo completo, se trata de la suma de cuadrados

debida a los tratamientos después de considerar los efectos de bloque en el

modelo, esto se conoce como SC tratamiento (ajustada) e implica que los

efectos de bloque también se toman en cuenta al estimar los efectos de

tratamiento en el modelo completo. Para los diseños de bloque incompletos

balanceados, la suma de cuadrados de los tratamientos ajustada, SCEr – SCEf,

se puede calcular directamente como:

SCT(ajustada) t

Qkt

ii

λ

∑== 1

2

(4)

donde SCT: Suma de Cuadrados para Tratamientos.

Con t – 1 grados de libertad. La cantidad Qi es un total de tratamiento

ajustado que se calcula con:

ii Bk

yQi 1. −= (5)

donde jijb

ji ynB ∑= es la suma de todos los totales de bloques que incluyen el

i-ésimo tratamiento y nij = 1 si el tratamiento i aparece en el bloque j y nij = 0 de

otra manera. Esta corrección al total del tratamiento tiene el efecto neto de

eliminar los efectos de bloque de ese total.


48

La suma de cuadrados para los bloques se deriva del modelo reducido al

ignorar los tratamientos en el modelo con SCB(ajustada) = SC total – SCEr. Los

efectos de tratamiento no se consideran cuando se estiman los efectos de

bloque, y la suma de cuadrados recibe el nombre de suma de cuadrados no

ajustada.

La partición aditiva de SC total es:

SC total = SCB(no ajustada) + SCT(ajustada) + SCEf (6)

donde SC: Suma de Cuadrados

SCB: Suma de Cuadrados para Bloques

SCT: Suma de Cuadrados para Tratamientos

SCEf : Suma de Cuadrados para el Error (modelo completo).

La tabla 2.1 muestra una descripción del análisis de varianza para las

particiones de suma de cuadrados. Muchos programas de computadora (SPSS,

SAS, S+ y otros) tienen la capacidad de calcular las particiones correctas de

suma de cuadrados, las estimaciones de mínimos cuadrados de las medias de

tratamiento, los contrastes entre las medias de mínimos cuadrados y sus errores

estándar, para el diseño de bloques incompletos.

Tabla 2.1 Análisis de varianza para un diseño de bloque incompleto balanceado Fuente de Grados de Suma de Cuadrados variación libertad cuadrados medios Total N – 1 2..)( γγ −∑ ij

Bloques b – 1 2. ..)( γγκ −∑ j CMB (no adj.)

Tratamientos t – 1 tQi

λκ 2∑ CMT (aj.)

Error N – t – b – 1 Restando CME Fuente: R. O. Kuehl (2001), “Diseño de experimentos.” México. D.F.: Ed. Matemáticas THOMSON. (2ª ed.). p.316


49

Donde CMB: Cuadrados Medios para Bloques

CMT: Cuadrados Medios para Tratamientos

CME: Cuadrados Medios para el Error

Ejemplo 2.2 Vinilación de metilglucósidos

Se ha encontrado que el resultado de la adición de acetileno a un

metilglucósido en presencia de una base, a alta presión, es la producción de

varios éteres monovinílicos, proceso que se conoce como vinilación. Los éteres

monovinílicos son convenientes para polimerización en muchas aplicaciones

industriales.

Objetivo de investigación: Los químicos deseaban obtener más información

específica sobre el efecto de la presión en el porcentaje de conversión del

metilglucósido en isómeros de monovinil.

Diseño de tratamiento: Con base en trabajos anteriores, se seleccionaron

presiones dentro del intervalo que producía la conversión máxima. Se eligieron 5

presiones para estimar una ecuación de respuesta: 250, 325, 400, 475 y550 psi.

Diseño del experimento: como sólo se disponía de tres cámaras de alta

presión para una corrida de las condiciones experimentales, fue necesario

bloquizar las corridas por que no podía haber una variación sustancial de una

corrida a otra producida por nuevas preparaciones de las cámaras para el

experimento. Los químicos establecieron un diseño de bloques incompleto

balanceado (corridas), cada uno con tres unidades experimentales (cámaras

presurizadas) y se usaron tres presiones diferentes en cada corrida; el diseño

obtenido tenia seis replicas de cada tratamiento de presión.


50

Las presiones usadas en cada corrida y las conversiones porcentuales a

isómeros de monovinil se muestran en la tabla 2.2 y la suma aditiva de la

partición de suma de cuadrados del metilglucósido se muestra en la tabla 2.3. Tabla 2.2 Conversión porcentual del metilglucósidos con acetileno a acetileno a alta presión, en un diseño de bloque incompleto balanceado.

Presion (psi)

Corrida 250 325 400 475 550 y.j

1 16 18 – 32 – 66 2 19 – – 46 45 110 3 – 26 39 – 61 126 4 – – 21 35 55 111 5 – 19 – 47 48 114 6 20 – 33 31 – 84 7 13 13 34 – – 60 8 21 – 30 – 52 103 9 24 10 – – 50 84 10 – 24 31 37 – 92 yi. 113 110 188 228 311 950

*Bi. 507 542 576 577 648 †Qi -56.0 -70.7 -4.0 35.7 95.0 *Ejemplo: B1 = y.1 + y.2 + y.6 + y.7 + y.8 + y.9 †Qi = ( ) 0.56507

31113

31. 11 −=−=− By

Fuente: Drs J. Berry y A. Deutschman, University of Arizona

Inferencias para las medias de tratamiento

Las estimaciones de los mínimos cuadrados de las medias de tratamiento y

sus errores estándar estimados se muestran en la tabla 2.4 y la estimación de

mínimos cuadrados para una media de tratamiento iµ es ii τµµ ˆˆˆ += , donde:


51

Tabla 2.3 Análisis de varianza para la conversión porcentual de metilglucósidos, en un diseño de bloque incompleto balanceado. Fuente de Grados de Suma de Cuadrados variación libertad cuadrados medios F Pr<F Total 29 5576.67 Bloques (no. Aj.) 9 1394.67 154.96 Presión (aj.) 4 3688.58 922.14 29.90 .000 Error 16 493.42 30.84 Fuente: Drs J. Berry y A. Deutschman, University of Arizona

..ˆ γµ = y t

Qii λ

κτ =ˆ (7)

Por ejemplo, de la tabla 2.2, Q1 = y ..ˆ γµ = = 950/30 = 31.67, de manera que:

tQi

i λκ

τ =ˆ = )5)(3(

3 (- 56.00) = -11.20 y =µ̂ 31.67 – 11.20 = 20.47

Errores estándar para las medidas de tratamiento

El error estándar para una estimación de la media de tratamiento es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

λτµ)1(1ˆ

tkrrt

CMESi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

)5)(3()4)(6)(3(1

)5)(6(84.30 = 244 (8)

Una estimación de un intervalo de confianza del 95% para una media

de tratamiento en la tabla 2.4 es )(ˆ ˆ16.025 iSti µµ ± , donde 120,216.025 =t . El error

estándar de la diferencia estimada entre dos medias de tratamiento, ji µµ ˆˆ = , es:

t

kCMES ji λµµ2

)ˆˆ( =− = )5)(3(84.30)3)(2( = 3.51 (9)


52

Tabla 2.4 Estimaciones de mínimos cuadrados de las medias de presión para la conversión porcentual de multiglucósidos, en un diseño de bloques incompletos balanceado.

Presión (psi) iµ̂ i

s µ̂ 250 20.47 2.44

325 17.53 2.44 400 30.87 2.44 475 38.80 2.44 250 50.67 2.44 Fuente: Drs J. Berry y A. Deutschman, University of Arizona Pruebas de hipótesis sobre las medias de tratamientos

El estadístico F0 para probar la hipótesis nula que no hay diferencias entre las

medias de tratamiento es:

90.2984.3014.922.)(

0 ===CME

adjCMTF (10)

donde CMT: Cuadrados Medios para Tratamientos

CME: Cuadrados Medios para el Error

con Pr > F = .000 (tabla 2.3). El valor crítico para un nivel de significancia de .05

es 01.316,4,05. =F ; por lo tanto, existen diferencias significativas entre las presiones

con respecto a la conversión de metilglucósidos en productos de Vinilación.

Contrastes entre las medias de tratamientos

Los contrastes se calculan con las estimaciones de mínimos cuadrados de las

medias de tratamiento como sigue:

ii

t

idc µ̂

1∑=

= (11)


53

Con error estándar estimado de:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= ∑

=

t

iic d

tkCMES

1

2

λ (12)

El estadístico t0 = c/sc se puede usar para probar la hipótesis nula H0: C = 0

con valor crítico basado en el estadístico t Student con N – t – b + 1 grados de

libertad.

La suma de cuadrados de 1 grado de libertad para el contraste se puede

calcular con las medias de mínimos cuadrados iµ̂ como:

∑∑= 2

2)ˆ(

i

ii

dkdt

SCCµλ

(13)

donde SCC: Suma de Cuadrados para Contrastes.

El estadístico F0 = SCC/CME se usa para probar la hipótesis nula H0: C = 0

con valor critico )1(,1, +−− btNFα .

Donde CME: Cuadrados Medios para el Error

El tratamiento de presión para este experimento es un factor cuantitativo con

cinco niveles y la regresión de la conversión porcentual de metilglucósido a

presión usando contrastes polinomiales ortogonales para la presión describe el

efecto de la presión sobre la tasa de conversión.


54

Recuperación de la información de tratamientos a partir de la comparación de bloques

El análisis del diseño de bloques incompletos ilustrado hasta aquí estima los

efectos de tratamientos con base en la información del tratamiento contenida en

los bloques; esto se conoce como análisis intrabloques. Los diseños de bloques

incompletos son no ortogonales debido a que no todos los tratamientos aparecen

en todos los bloques, y las comparaciones entre bloques contienen cierta

información sobre las comparaciones de tratamientos. Yates (1940a) demostró

que esta información interbloques se puede recuperar con un análisis

interbloques y combinarse con la información del análisis intrabloque.

Los contrastes de bloques contienen contraste de tratamientos

La información sobre las comparaciones de tratamientos contenida en una

comparación entre bloques se puede ilustrar con las dos primeras corridas del

experimento descrito en el ejemplo 2.2. Los datos de la conversión porcentual de

metilglucósidos en las dos primeras corridas son.

Presion (psi)

Corrida 250 325 400 475 550 Media

1 16 18 – 32 – 22 2 19 – – 46 45 37

Un contraste entre las medias de las dos corridas, 37 y 22, también es un

contraste entre dos de los tratamientos de presión, 550 y 325 psi. Todas las

comparaciones de los bloques contienen comparaciones similares de los

tratamientos. El objetivo es recuperar esta información entre bloques, o


55

interbloques, sobre tratamientos y combinarla con la información dentro de los

bloques, o intrabloques.

El tema de recuperación de la información interbloques se menciona aquí

solo para indicar la disponibilidad del método, puede encontrarse un estudio

exhaustivo en Kempthorne (1952), Cochran y Cox (1957), John (1971), John

(1987) y John y Williams (1995).

La información del análisis interbloques se incorpora al análisis intrabloques

con un estimador de los efectos de tratamiento que combina los estimadores

intra e interbloques de los efectos de tratamiento; si el bloque ha sido eficaz para

reducir el error experimental, la estimación interbloques contribuye sólo con una

cantidad pequeña de información a las estimaciones combinadas, pero si los

efectos del bloque son pequeños, la información recuperada con la estimación

interbloques se reduce casi al análisis con la recuperación de la información

interbloques se reduce casi al análisis normal sin el ajuste con bloques.

2.6 Diseño renglón-columna para dos criterios de bloque

Cuando existe la necesidad de controlar la variación con más de un criterio de

bloque, el diseño de cuadrado latino es un diseño de bloques completos usado

para controlar la variación entre las unidades experimentales con dos factores de

bloque; pero puede ser impractico en algunas situaciones, pues el número de

unidades experimentales que requiere, N = t2, puede exceder las restricciones

del material experimental o el número de tratamientos puede exceder el tamaño

de los bloques disponibles.

Cuando se requieren dos criterios de bloque para el experimento es posible

usar diseños renglón-columna con los renglones, las columnas o ambos como

bloques incompletos; estos diseños se arreglan en p renglones y q columnas de


56

unidades experimentales. Consideremos el experimento clásico para probar

cuatro llantas de automóvil en las cuatro posiciones de cuatro automóviles con

un diseño de cuadrado latino y suponiendo que el equipo de investigación quiere

evaluar t = 7 tratamientos de llantas, todavía se tiene la necesidad de controlar la

variación debida a la posición de la llanta y al automóvil, pero los autos solo tiene

cuatro posiciones para probar siete llantas. Para este experimento se puede usar

el diseño renglón-columna con un conjunto incompleto de tratamientos en cada

columna, mostrado en el cuadro 2.

Cuadro 2 Diseño de bloques renglón-columna incompleto balanceado de 4 X 7.

Fuente: R. O. Kuehl (2001), “Diseño de experimentos.” México. D.F.: Ed. Matemáticas THOMSON. (2ª ed.). p.321

Los autos se usan como bloques incompletos con cuatro tratamientos

evaluados en sus cuatro posiciones y las posiciones son bloques completos ya

que cada tratamiento se evalúa en cada posición. Después de una inspección

cuidadosa, se observa que cada par de tratamientos ocurre en un automóvil dos

veces en algún lugar del experimento y, por lo tanto, el diseño de bloques

incompleto está balanceado. El diseño tiene un balance natural respecto a las

posiciones por que constituyen bloques completos. Este ejemplo es un caso en

el que claramente era necesario un diseño de bloque incompleto porque había

un número insuficiente de posiciones disponibles para probar todos los

tratamientos a la vez.

Automóvil Posición (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

(1) 3 4 5 6 7 1 2 (2) 5 6 7 1 2 3 4 (3) 6 7 1 2 3 4 5 (4) 7 1 2 3 4 5 6


57

Los diseños ortogonales por renglón tiene una replica completa en cada uno

Dado que el diseño renglón-columna del cuadro 2 es un diseño de bloques

completos para los renglones e incompleto y balanceado para las columnas, el

diseño se conoce como un diseño ortogonal por renglón (John, 1987). Como

cada tratamiento se presenta en cada renglón, los tratamientos son ortogonales

a los renglones.

Youden (1937, 1940) desarrolló renglones de cuadrados latinos incompletos,

conocidos ahora como cuadrados de Youden, omitiendo dos o más renglones del

diseño de cuadrado latino. Los parámetros del diseño son t = b, r = k y λ = k(k –

1)/(t – 1). En el apéndice 1A.2 se muestran algunos planes de algunos

cuadrados de Youden para experimentos pequeños; otros se pueden encontrar

en Cochran Cox (1957) y Peterson (1985).

El diseño ortogonal por renglones del cuadro 2 es un cuadrado de Youden

que tiene r = k = 4 renglones como replicas, b = 7 columnas y t = 7 tratamientos,

con λ = 2 para los bloques de columna incompletos, las columnas son bloques

incompletos de k = r = 4 unidades y los renglones son bloques completos que

contienen cada uno de los t =7 tratamientos. Descripción del análisis de diseños de renglón-columna

El modelo lineal para el diseño renglón-columna es:

ijmmiiijm epy ++++= γτµ

i = 1, 2,…, t j = 1, 2,…, k m = 1, 2,…, b (14)

donde µ es la media general, iτ es el efecto del tratamiento, pi es el efecto del

renglón, mγ es el efecto de la columna y ijme es el error experimental aleatorio.


58

Cada renglón contiene una réplica completa de todos los tratamientos, y los

tratamientos son ortogonales a los renglones; las columnas también son

ortogonales a los renglones y los totales de tratamiento se ajustan sólo para los

bloques de columna incompletos para proporcionar estimaciones no sesgadas de

medias de tratamiento y una prueba F válida para los efectos de tratamiento. El

análisis de varianza intrabloques para los diseños ortogonales por renglón solo

difiere del diseño de bloques incompletos balanceados en cuanto a la suma de

las particiones de sumas de cuadrados para los renglones, el resto de los

aspectos del análisis permanece igual.

Tabla 2.5 Análisis intrabloques para un diseño de bloques renglón-columna incompleto balanceado con tratamientos ortogonales por renglones. Fuente de Grados de Suma de variación libertad cuadrados Total N – 1 2...)( γγ −∑ ijm

Renglones (replicas) k – 1 2.. ...)( γγ −∑ jt

Columnas (no ajustadas) b – 1 2.. ...)( γγ −∑ mk

Tratamientos (ajustados)* t – 1 tQk i λ/2∑ Error (t – 1)(k – 1)(b – 1) Restando *Qi = yi.. – (Bi/k) donde Bi es la suma de totales de bloque de aquellas columnas que incluyen el tratamiento i. 2.7 Reducción del tamaño de experimento con diseños parcialmente balanceados (BIPB)

No es posible construir diseños balanceados para todas las situaciones

experimentales que requieren bloques incompletos, en algunos casos el número

de réplicas necesario puede ser prohibitivo; por tanto, con frecuencia se

construyen diseños parcialmente balanceados que requieren menos réplicas.


59

El número mínimo de replicas requerido para el diseño balanceado es r = λ (t

– 1)/( k – 1): suponiendo un experimento con tratamiento t = 6, se requiere

bloques de tamaño k = 4. El diseño balanceado mostrado en el apéndice 1A.1

requiere 10 replicas o rt = 60 unidades experimentales y es muy posible que no

disponga de 60 unidades experimentales o que el costo del experimento con 60

unidades sea demasiado elevado.

Ocurrencias desiguales de partes de tratamientos

Bose y Nair (1939) propusieron el diseño de bloques incompleto parcialmente

balanceado, este diseño tiene algunas pares de tratamientos que aparecen en

más bloques que otros pares, por lo que algunas comparaciones de tratamientos

tendrán mayor precisión que otras. Es más sencillo usar un diseño de bloques

balanceados que proporcione la misma precisión para todas las comparaciones

entre tratamientos, pero si los recursos están limitados y no se pueden obtener

las réplicas suficientes, el diseño parcialmente balanceado es una alternativa

atractiva cuando el diseño balanceado requiere un número excesivo de unidades

experimentales.

Examinando el diseño de bloques incompleto parcialmente balanceado para

seis tratamientos en bloques de cuatro unidades mostrado en el cuadro 3, es

posible observar que si bien el diseño balanceado del apéndice 1A.1 requiere 10

replicas para obtener un balance con λ = 6, que el diseño parcialmente

balanceado tiene dos replicas y requiere doce unidades experimentales entre

bloques de cuatro unidades.


60

Cuadro 3 Diseño de bloques incompleto parcialmente balanceado con seis tratamientos en bloques de cuatro unidades. Fuente: R. O. Kuehl (2001), “Diseño de experimentos.” México. D.F.: Ed. Matemáticas THOMSON. (2ª ed.). p.323

Algunos pares de tratamientos están en dos bloques, mientras que otros

pares sólo en uno: los pares de tratamiento (1,4), (2,5) y (3,6) están e dos de los

bloques mientras que el resto aparecen en uno solo y por tanto los pares de

tratamientos que se presentan juntos en dos bloques se comparan con una

precisión un poco mayor que los que están en un solo bloque. Las diferentes

precisiones para las comparaciones de tratamiento es el sacrificio pagado por un

experimento más pequeño, pero la diferencia en precisión no es tan grande

como para evitar el uso de diseño de bloques parcialmente balanceados.

Al aumentar el número de réplicas puede aumentar la precisión de las

comparaciones de tratamientos; si las dos réplicas que proporciona el

experimento inicial no son suficientes, otra repetición del mismo experimento

proporcionará cuatro réplicas que, de resultar eficientes, todavía representan

ganancia en términos de reducción de costos en comparación con un diseño

balanceado completo.

Clases asociadas para las ocurrencias de pares de tratamientos

Un diseño parcialmente balanceado cada tratamiento es miembro de dos o

más clases asociadas; una clase asociada es un grupo de tratamientos donde

Bloque 1 1 4 2 5 Bloque 2 2 5 3 6 Bloque 3 3 6 1 4


61

cada par de tratamientos ocurre en λi bloques, los pares de tratamientos que

ocurren en λi bloques se conocen como los i-ésimos asociados. El diseño del cuadro 3 tiene dos clases asociadas, los pares de tratamientos

(1,4), (2,5) y (3,6) son asociados primero con λ1 = 2, cada par ocurre en dos

bloques y cada tratamiento tiene n1 = 1 primeros asociados. El resto de los pares

de tratamientos son segundos asociados con λ2 = 1, existen n2 = 4 segundos

asociados para cada tratamiento; por ejemplo, los segundos asociados del

tratamiento 1 son los tratamientos 2, 3, 5 y 6, porque están con el tratamiento 1

en algún bloque del diseño. En el cuadrado 4 se muestran todos los conjuntos de

asociados.

Cuadrado 4 Primeros y segundos asociados para los seis tratamientos en el diseño de bloques parcialmente balanceado del cuadrado 2.3 Fuente: R. O. Kuehl (2001), “Diseño de experimentos.” México. D.F.: Ed. Matemáticas THOMSON. (2ª ed.). p.324 Notas sobre el análisis de diseños BIPB

Una ventaja de los diseños balanceados sobre los principalmente

balanceados es que los cálculos manuales del análisis de varianza son un poco

más sencillos. Antes del advenimiento de los programas estadísticos modernos,

era imperativo disponer de fórmulas de cálculo manual para el análisis de datos,

pero ahora es posible calcular las particiones de sumas de cuadrados adecuadas

Asociados

Tratamientos Primeros Segundos 1 4 2, 3, 5, 6 2 5 1, 3, 4, 6 3 6 1, 2, 4, 5 4 1 2, 3, 5, 6 5 2 1, 3, 4, 6 6 3 1, 2, 4, 5


62

para el análisis de varianza, al igual que estimaciones no sesgadas de las

medias de tratamiento y sus errores estándar para la mayoría de los diseños con

los programas disponibles. Por lo anterior, el diseño parcialmente balanceado es

una alternativa real siempre que existan comparaciones razonablemente

precisas de todos los pares de tratamientos.

Particiones de sumas de cuadrados para diseños BIPB

El modelo lineal para el diseño de bloques incompletos parcialmente

balanceado es el mismo que para el diseño de bloques incompletos parcialmente

balanceado mostrado en la ecuación (1). Como los tratamientos no son

ortogonales a los bloques, las particiones ortogonales de sumas de cuadrados

de nuevo se derivan ajustando el modelo completo, ijjiij e+++= ρτµγ , para

obtener SCFf y el modelo reducido alternativo sin efectos de tratamiento,

ijjij e++= ρµγ , para obtener SCEr.

Las sumas de cuadrados para tratamientos ajustados por los bloques se

derivan como SC tratamiento (ajustada) = SCEr - SCFf y la suma de cuadrados

de bloque no ajustada para los tratamientos es la misma que la mostrada en la

tabla 2.1 para diseño balanceado.

Las formulas para calcular las estimaciones de mínimos cuadrados de los

efectos de tratamiento, las medidas de tratamiento y la suma de cuadrados de

tratamiento ajustada no son directas como las de los diseño balanceado, ya que

existe más de una clase asociada para cada tratamiento y deben hacerse ajustes

más complejos a los totales de tratamiento por fortuna, muchos programas

estadísticos disponibles pueden realizar los cálculos y no es necesario usar las

fórmulas para los tediosos cálculos manuales de un análisis exhaustivo de los

datos. Los detalles de los cálculos manuales se pueden encontrar en Cochran y


63

Cox (1957) y los detalles del desarrollo se pueden encontrar en John (1971) y

John (1987).

64

CAPÍTULO 3 DISEÑO DE BLOQUES INCOMPLETOS: DISEÑOS RESOLUBLES Y CÍCLICOS

3.1 Introducción

En el capitulo 2 se presenta la descripción general y el análisis de los diseños

de bloques incompletos. En este capítulo se explican varias clases de diseños de

bloques incompletos, incluyendo los diseños resolubles con bloques agrupados

en réplicas completas de tratamientos. También se presentan los diseños de

cíclicos que se pueden construir sin usar extensos planes sistemáticos y los

diseños α, que amplían el número de los diseños resolubles aprovechables para

los experimentos.

CAPITULO 3. DISEÑO DE BLOQUES INCOMPLETOS: DISEÑOS RESOLUBLES Y CÍCLICOS

65

3.2 Diseños resolubles para ayudar a manejar el experimento

Los diseños resolubles tiene bloques agrupados de manera que cada grupo

constituye una réplica completa de los tratamientos, el agrupamiento en réplicas

completas es eficaz para administrar un experimento.

Una de las primeras aplicaciones de los diseños resolubles fue con pruebas de

cultivo con platas colocadas en las parcelas de una granja experimental, los

labradores querían probar un gran número de líneas genéticas y hacer todas las

comparaciones por pares entre ellas con la misma precisión. Fue necesario

ordenar las parcelas en bloques más pequeños que la réplica completa para

reducir la varianza del error experimental aún más de lo que es posible con los

diseños de bloques completos. El diseño de bloques incompletos resoluble era

atractivo por que además de reducir el tamaño de los bloques para obtener mayor

precisión, también permitía al investigador controlar estos grandes estudios en

campo basándose en las réplicas.

Los diseños resolubles son útiles en la práctica cuando no es posible realizar el

experimento completo al mismo tiempo, pues los experimentos con diseño

resoluble pueden llevarse a cabo en etapas, con una o más réplicas terminadas en

cada etapa. Además, si por alguna razón el experimento termina antes de tiempo,

habrá un número igual de réplicas en todos los tratamientos.

Los diseños resolubles son arreglos en r grupos de réplicas de s bloques con k

unidades por bloque. En los diseños de bloques incompletos balanceados

resolubles, el número de tratamientos es un múltiplo del número de unidades por

bloque, t = sk, y el número total de bloques satisface la relación b = rs ≥ t + r – 1.


66

Ejemplo 3.1 Un diseño resoluble para pruebas con productos alimenticios

Examinemos un experimento para probar nueve variables de un producto

alimenticio en el mismo día con sujetos humanos como jueces. Varios factores

asociados con el experimento hacen que un diseño de bloques incompleto sea

atractivo, se puede esperar que un juez discrimine de manera adecuada hasta

cuatro o cinco muestras de productos en cualquier momento, pero por problemas

de programación, no es posible tener un número suficiente de jueces disponibles

el mismo día para las réplicas de tratamiento; por lo tanto, deben prepararse de

nuevo los alimentos cada día de pruebas y es necesario garantizar que la

variación en la preparación de un día a otro no interfiera con las comparaciones

de tratamientos en el experimento.

El cuadro 5 muestra una prueba diseñada para tres jueces en la que cada uno

evaluará tres variables del producto en un día dado. Se programan tres jueces

durante cuatro días de pruebas, ellos constituyen un bloque incompleto de tres

tratamientos y cada uno se asigna al azar a uno de los bloques de tres

tratamientos y prueba tres productos presentados al azar para su evaluación.

El diseño es resoluble con una réplica completa del experimento realizado un

día dado y está balanceado, pues cada tratamiento ocurre una vez en el mismo

bloque con cada uno de los tratamientos en el experimento. Los jueces solo

evalúan tres productos a la vez, lo que reduce considerablemente la variación

dentro del bloque en comparación con un juez que evalúa nueve productos a la

vez.


67

Cuadro 5 Diseño de bloques incompleto balanceado resoluble para evaluar productos alimenticios. Día 1 Día 2 Día 3 Día 4 Juez Juez Juez Juez 1 (1, 2, 3) 4 (1, 4, 7) 7 (1, 5, 9) 10 (1, 6, 8) 2 (4, 5, 6) 5 (2, 5, 8) 8 (2, 6, 7) 11 (2, 4, 9) 3 (7, 8, 9) 6 (3, 6, 9) 9 (3, 4, 8) 12 (3, 5, 7) Fuente: R. O. Kuehl (2001), “Diseño de experimentos.” México. D.F.: Ed. Matemáticas THOMSON. (2ª ed.). p.340 Diseños de retícula balanceada

Los diseños de retícula (lattice) balanceados son un grupo muy conocido de

diseños resolubles propuestos por Yates (1937). El número disponible de estos

cuadrados de retícula está limitado debido a que el número de tratamientos debe

ser cuadrado exacto t = k2, los diseños requieren r = (k + 1) réplicas y b = k(k + 1)

bloques para un balance completo con λ = 1, cada grupo de réplicas contiene s = k

bloques de k unidades experimentales cada uno y el número k de unidades por

bloque debe ser el número primo o una potencia de un número primo. Se pueden

encontrar planes para diseños de retícula balanceados con t = 9, 16, 25, 49, 64 y

81 en Cochran y Cox (1957) o Peterson (1985).

El diseño del cuadro 5 es una retícula balanceada con nueve tratamientos en

bloques de tres unidades que tiene cuatro grupos de réplicas con un total de 12

bloques. Observe que cada par de tratamientos ocurre en un bloque λ = 1 vez en

alguna parte del diseño balanceado.

El balance completo requiere (k + 1) réplicas con diseños de retícula y, como

son diseños resolubles, uno o más grupos de réplicas se pueden eliminar para

reducir un diseño de retícula parcialmente balanceado. Los diseños con r = 2, 3 o


68

4 grupos de réplicas respectivos se conocen como retículas simples, triples o

cuádruples.

El factor de eficiencia promedio para un diseño de retícula balanceado es:

)1()2(

)1)(1(+++

−+=

kkrrkE

y por las retículas simple y triple, los factores de eficiencia promedio respectivos

son (k + 1)/(k + 3) y (2k +2 )/(2k + 5).

Diseños de retícula rectangulares.

La restricción en el número de tratamientos o variables de las retículas

cuadradas es importante. Los diseños de retícula rectangulares desarrollados por

Harshbarger (1949) proporcionaron diseños resolubles con números de

tratamientos intermedios proporcionados por los diseños de retícula cuadrados.

Los diseños de retícula rectangulares son arreglos de t = s(s – 1) tratamientos en

bloques con k = (s – 1) unidades y los números de tratamientos están cerca del

punto medio entre los que proporcionan las retícula cuadradas. Cochran y Cox

(1957) construyeron planes para retículas rectangulares con t = 12, 20, 30, 42, 56,

72 y 90 tiramientos. Los diseños con r = 2 y r = 3 replicas se conocen como

retículas rectangulares simple y triple, respectivamente.

Existen otros diseños de bloques incompletos balanceados resolubles sin las

restricciones de las retículas cuadradas o rectangulares; sin embargo, son para un

conjunto limitado de tamaños de bloque y números de tratamientos.


69

Descripción del análisis de diseños resolubles

El modelo lineal para el diseño resoluble es:

ijmjmiiijm epy ++++= )(γτµ (15)

i = 1, 2,…, t j = 1, 2,…, r m = 1, 2,…, s

donde µ es la media general, τi es el efecto del tratamiento, iγ es el efecto del

grupo de replicas, ρm(j) es el efecto del bloque anidado dentro de la replica y eijm es

el error experimental aleatorio.

El ajuste secuencial de los modelos alternativos descritos en el capitulo 2

proporciona una partición de suma de cuadrados ortogonal, pero en este caso se

requiere una partición de suma de cuadrados adicional para los grupos de

réplicas. Los bloques están anidados dentro de los grupos de réplicas se unen

como SC(bloques/réplicas). La tabla 3.1 contiene una descripción del análisis de

varianza intrabloques.

Tabla 3.1 Análisis intrabloques para un diseño de bloques incompleto balanceado resoluble Fuente de Grados de Suma de variación libertad cuadrados Total N – 1 2...)( γγ −∑ ijm

Replicas r – 1 2.. ...)( γγ −∑ jsk

Bloques (no ajustados) dentro de réplicas r(s – 1) 2.. ...)( γγ −∑ mk

Tratamientos (ajustados) t – 1 tQk i

λ

2∑

Error N – t – rs + 1 Restando Qi = yi… – (Bi/k), y Bi es la suma de totales de bloque que incluyen i-ésimo tratamiento.


70

Los tratamientos son ortogonales a los grupos de réplicas ya que cada

tratamiento aparece una vez en cada grupo de réplica y los totales de tratamientos

ajustados sólo por los efectos de bloque proporcionan estimaciones no sesgadas

de las medidas de tratamiento y una prueba F válida para los efectos de

tratamiento.

3.3 Diseños resolubles renglón-columna para dos criterios de bloque

Algunas situaciones de investigación requieren de criterios de bloque y no

permiten completos de tratamientos para los renglones o las columnas necesarios

para los cuadrados ortogonales de Youden. Los diseños renglón-columna tienen t

tratamientos colocados en bloques de k =pq unidades y los tratamientos de cada

bloque se arreglan en un diseño renglón-columna de p x q.

Existe un número limitado de diseños de bloques incompleto renglón-columna

balanceados para los experimentos que requieren que los tamaños de bloque para

los renglones y columnas sean menores que el número de tratamientos, estos

diseños necesitan un gran número de bloques para cumplir con este requerimiento

de balance.

Ejemplo 3.2 Diseño renglón-columna anidado para muestra de población de insectos

Examinemos un estudio epidemiológico sobre la transmisión de un parasito

micróbico a los humanos a través de un insecto en un área agrícola tropical. El

parasito se transmite a los humanos mediante la picadura del insecto, pero si el

insecto no está infectado por el parasito, puede adquirirlo cuando pica a un

humano infectado. Un proyecto de salud pública es la plantación de pruebas de

efectividad de una droga que se sabe que varía el ciclo de vida del parásito en los


71

humanos, un entomólogo que trabaja en el proyecto piensa obtener muestras de

las poblaciones de insectos para supervisar el efecto que el programa tiene en la

reducción de la tasa de infección.

Se programaron nueve tipos de hábitats dentro y cerca de las cuatro

plantaciones agrícolas para supervisar el proyecto, los entornos son lugares como

corrientes de ríos, pueblos cercanos a las plantaciones, campos agrícolas y aguas

estancadas, y el entomólogo sólo recolectará muestras de insectos en tres de ellos

en un día. Se estableció un diseño de muestreo renglón-columna para controlar la

variación potencial causada por muestreo en distintos días y horas del día en las

cuatro plantaciones, el diseño se muestra en el cuadro 6 tiene nueve tratamientos

de entorno con muestreo en un diseño renglón-columna de 3 X 3 en cuatro

plantaciones. Los tres renglones del arreglo de 3 X 3 corresponden a la hora del

día en que se toman las muestras, y las tres columnas se refieren a los tres días

de recolección en cada plantación.

Por inspección de cada par de tratamientos o entornos se puede verificar que

el diseño se toma una muestra a la vez de cada uno en el mismo día, cada par de

tratamientos debe aparecer una vez en el mismo renglón y una vez en la misma

columna en alguna parte tener un diseño renglón-columna balanceado. El diseño

se puede resolver con las plantaciones como réplicas y una réplica completa de

los nueve tipos de hábitat en cada plantación; es un diseño anidado en donde os

renglones y las columnas se anidan dentro de los grupos de réplicas.

Diseños de retículas cuadradas balanceadas

Estos diseños, también propuestos por Yates (1940), son diseños renglón-

columna anidados resolubles, que están entre los primeros desarrollos de diseños

de bloques incompletos; el ejemplo del cuadro 6 es uno de ellos. La retícula cuadrada balanceada tiene t = k2 tratamientos dispuestos en un diseño renglón-


72

columna de k x k, un arreglo de k x k consiste en una de las réplicas completas de

tratamientos con p = q = k. el diseño balanceado requiere r = (k + 1) réplicas para

que el balance sea completo, de manera que cada par de tratamientos se

encuentre una vez en el mismo renglón y una vez en la misma columna.

En algún momento del experimento. Cuando k es impar, un valor de repetición

de )1(21

+= kr proporcionará un semibalance tal que cualquier par de tratamientos

esté una vez en el mismo renglón o una vez en la misma columna.

En Cochran y Cox (1957) y en Peterson (1985) se pueden encontrar planos

para diseños cuadrados de retícula t = 9, 16, 25, 49, 64, 81, 121 y 169. Una

presentación más amplia de estos diseños se encuentra en Kempthorme (1952) y

Federer (1955).

Cuadro 6 Diseño de bloques incompleto renglón columna anidado de 3 x 3 para las muestras de la población de insectos. Día Día Hora (1) (2) (3) Hora (4) (5) (6) (1) 1 2 3 (4) 1 4 7 (2) 4 5 6 (5) 2 5 8 (3) 7 8 9 (6) 3 6 9 Plantación 1 Plantación 2 Día Día Hora (7) (8) (9) Hora (10) (11) (12) (7) 1 6 8 (10) 1 9 5 (8) 9 2 4 (11) 6 2 7 (9) 5 7 3 (12) 8 4 3 Plantación 3 Plantación 4 Fuente: R. O. Kuehl (2001), “Diseño de experimentos.” México. D.F.: Ed. Matemáticas THOMSON. (2ª ed.). p.344


73

Descripción del análisis para diseños renglón-columna anidados

El modo lineal para cualquier diseño renglón-columna anidado resoluble es:

ijlmimlmjmijlm epy +++++= τγβµ )()( (16)

i = 1, 2,…, t j = 1, 2,…, p l = 1, 2,…, q m = 1, 2,…, r

donde µ es la media general, τi es el efecto del tratamiento, βm es el efecto de

grupo de réplica, ρj(m) y γl(m) son el renglón y la columna respectivos anidados en

los efectos de grupos de réplicas y еijlm es el error experimental aleatorio.

Cada tratamiento está en cada grupo de réplicas y son ortogonales a ellos, los

renglones y columnas también son ortogonales a los grupos de réplicas. Las

particiones de sumas de cuadrados para las réplicas, los renglones dentro de las

réplicas y las columnas dentro de las réplicas se pueden calcular de manera usual,

como se muestra en el análisis de varianza descrito en la tabla 3.2. Los

tratamientos no son ortogonales a los renglones o columnas de los grupos de

réplicas y deben ajustarse por los efectos de renglón y de columna. Tabla 3.2 Análisis intrabloques para un diseño de bloques incompleto renglón-columna anidado Fuente de Grados de Suma de variación libertad cuadrados Total N – 1 2...)( γγ −∑ ijlm

Grupos (replicas) r – 1 2.... ...)( γγ −∑ mt

Columnas (no ajustadas) dentro de grupos r(q – 1) 2..... )( mlmp γγ −∑

Renglones (no ajustadas) dentro de grupos r(p – 1) 2..... )( mmjq γγ −∑

Tratamientos (ajustados) t – 1 2

)1)(1()1(

iQkqprt

tpq ∑−−−

Error r(p-1)(q-1)-(t-1) Restando Fuente: R. O. Kuehl (2001), “Diseño de experimentos.” México. D.F.: Ed. Matemáticas THOMSON. (2ª ed.). p. 345


74

Los totales de tratamiento ajustado necesarios para las estimaciones de

mínimos cuadrados de los efectos de tratamientos y las sumas de los cuadrados

de tratamiento ajustados son:

iiii Cq

Rp

rQ 11...... −−+= γγ (17)

Donde ...iγ es el total para el i-ésimo tratamiento ...γ es la gran media para el

experimento, Ri es la suma de los totales de renglones que incluyen al i-ésimo

tratamiento y Ci es la suma de los totales de columnas que incluyen al i-ésimo

tratamiento.

La estimación de los mínimos cuadrados del efecto de tratamiento es:

)1)(1(

)1(−−

−=

∧

qprtQtpq i

iτ (18)

y la estimación de los mínimos cuadrados de la media de tratamiento es

ii τµµ +=∧∧

, donde ...γµ = es la estimación de la media general.

El factor de eficiencia para el diseño renglón-columna anidado es:

)1(

)1)(1(−−−

=tpq

qptE (19)

donde el factor de eficiencia para la retícula cuadrada balanceada es E = (k – 1)/(k

+ 1), con p = q = k y t = k2 ; por ejemplo, con k = 3 del cuadro 6, el factor de

eficiencia es E = 2/4 = 0.50. la retícula cuadrada balanceada tendría que reducir la

varianza del error experimental en un 50% para estimar las comparaciones entre

las medias de tratamiento de manera tan precisa como un diseño de bloques

completos del mismo tamaño.


75

3.4 Los diseños cíclicos simplifican la construcción del diseño

Los diseños de bloques incompletos complejos pueden añadir más

complicaciones al proceso si hay necesidad de consultar con frecuencia la

distribución del diseño. Por lo que debe contarse con tablas amplias de planes de

diseño para usar los diseños de bloques incompletos que se han presentado hasta

ahora, establecer un diseño en la instalación física necesaria para el experimento

exige una vigilancia constante, debe tenerse cuidado de evitar errores cuando se

asignan los tratamientos a las unidades experimentales y al registrar los datos.

Los diseños cíclicos ofrecen cierto grado de simplificación en la construcción

del diseño y en el establecimiento del proceso experimental y como se generan a

partir de un bloque inicial de tratamientos, es necesario un esquema completo de

los planes de distribución del experimento. Una vez que se conoce el bloque

inicial, se genera el plan del experimento y se asignan al azar los tratamientos a

las etiquetas numéricas del diseño.

Como construir un diseño cíclico

La designación cíclica se refiere al método usado para construir los diseños, al

igual que al esquema de asociación entre tratamientos. Los tratamientos se

asignan a los bloques a través de una sustitución cíclica de etiquetas de

tratamientos de un bloque generador inicial.

El método requiere etiquetar los tratamientos como (0, 1, 2,…,t – 1), el ciclo

comienza con un bloque de tamaño k requerido por el experimento y los bloques

subsecuentes se obtienen sumando 1 a la etiqueta de tratamiento de bloque

anterior, si una etiqueta de tratamiento excede (t – 1), se redice mediante el

módulo t; el ciclo continua hasta que regresa a la configuración del bloque inicial.


76

Considerando el diseño para 6 tratamientos en bloques de tres unidades

generadas por sustitución cíclica del cuadro 7, se etiquetan los seis tratamientos

(0, 1, 2, 3, 4, 5) para el diseño, que se construye con el bloque inicial (0, 1, 3); el

segundo bloque se construye sumando 1 a cada etiqueta de tratamiento del primer

bloque, resultando en (1, 2, 4) como configuración del segundo bloque; se suma 1

a cada etiqueta del segundo bloque y se obtiene (2, 3, 5) como los tratamientos

para el tercer bloque.

Cuadro 7 Diseño cíclico para seis tratamientos en bloques de tres unidades


La transición del bloque 3 al bloque 4 en el ciclo requiere reducir una etiqueta

en el bloque 4 mediante el modulo de t = 6, por que si se suma 1 a cada etiqueta

en el bloque 3, la configuración del bloque 4 será (3, 4, 6) donde 5 + 1 = 6 excede

(t – 1) = 5 por lo tanto, 6 se debe reducir según el modulo 6, que es 6 = 0(mod 6),

y 0 sustituye a 6 en la configuración del bloque 4, es decir, (3, 4, 0); en la

transición del bloque 5 al 6 se realiza una sustitución similar.

Dentro del ciclo completo mostrado en el cuadro, se construyo un conjunto

completo de b = 6 bloques, los números forman un ciclo completo de etiquetas de

tratamiento hacia abajo de las columnas, las etiquetas de tratamiento en la primera

posición del bloque tienen un ciclo de 0 a 5 mientras que en la segunda posición el

ciclo comienza con la etiqueta 1 y la tercera posición con la etiqueta 3, entonces el

Bloque 1 (0, 1, 3) Bloque inicial 2 (1, 2, 4) 3 (2, 3, 5) 4 (3, 4, 0) 5 (4, 5, 1) 6 (5, 0, 2)


77

diseño está completo con los bloques de 1 a 6 pues el séptimo miembro del ciclo

sería la configuración del bloque inicial (0, 1, 3).

Construcción de diseños renglón-columna con el método cíclico

Los diseños cíclicos se pueden usar para los diseños renglón-columna si el

experimento requiere de dos criterios de bloque, el único requisito es que el

número de réplicas sea un múltiplo de tamaño de bloque, o sea, r = ik, donde i es

un valor entero. El diseño del cuadro 7, con t = 6 y r = k = 3 generado a partir del

bloque inicial (0, 1, 3), se pude usar como diseño renglón-columna con seis

renglones y tres columnas.

Se trata de un diseño ortogonal por columna, ya que cada tratamiento aparece

en cada columna; si se mantiene la integridad del renglón y la columnas al

aleatorizar, entonces la suma de cuadrados para columnas y renglones es una

partición de la suma de cuadrados total yen al análisis de los tratamientos se

ajustan por los bloques de los renglones.

Tablas para construir diseños cíclicos

En la tabla 2A.1 del apéndice 2A.1 se puede encontrar la tabla compacta de

los bloques iniciales necesaria para los diseños cíclicos de relativa eficiencia con 4

≤ t ≤ 15 tratamientos, tomada de John (1987), quien también elaboró otra tabla

para 16 ≤ t ≤ 30 tratamientos; pueden encontrarse más tablas en John (1996).

Para un tamaño de bloque k – 1 tratamientos del bloque inicial son iguales para

cualquier número t de tratamientos. El último tratamiento del bloque se toma con el

valor correspondiente en la columna para t en la tabla 2A.1 del apéndice; por


78

ejemplo, con k = 3, r = 3, el bloque inicial para t = 5 es (0, 1, 2) y es (0, 1, 3) para t

= 6.

Si se requiere un diseño con más replicas (r > k), la tabla proporciona un

bloque generador de segundo o tercer nivel, en ella se construye un conjunto de

bloques a partir de cada uno mediante la sustitución cíclica. El diseño con t = 6

tratamientos en bloques de tamaño k = 3 generados por el bloque inicial (0, 1, 3)

tenían r = 3 réplicas, el diseño con r = 6 réplicas se construye agregando el bloque

inicial (0, 2, 1) que se encuentra en la tabla 2A.1 en la línea con k = 3 y r = 6; el

diseño obtenido tiene b = 12 bloques, la mitad de ellos generados por cada uno de

los bloques iniciales como se muestra en el cuadrado 8. Este diseño está

parcialmente balanceado con λ1 = 3 y λ2 = 2 para las dos clases asociadas.

Cuadro 8 Diseño cíclico generado a partir de los bloques iniciales Fuente: R. O. Kuehl (2001), “Diseño de experimentos.” México. D.F.: Ed. Matemáticas THOMSON. (2ª ed.). p.348 3.5 Diseños α para diseños resolubles versátiles a partir de una construcción cíclica

Los diseños α son diseños resolubles desarrollados por Paterson y Williams

(1957) en respuesta a la necesidad de las respuestas de campo reglamentadas

para variedades de cosechas agrícolas en el Reino Unido, en ellas el número de

variedades y réplicas los fijaba un reglamento y no estaba bajo el control del

Bloque Bloque 1 (0, 1, 3) Bloque inicial 1 (0, 2, 1) Bloque inicial 2 (1, 2, 4) 2 (1, 3, 2) 3 (2, 3, 5) 3 (2, 4, 3) 4 (3, 4, 0) 4 (3, 5, 4) 5 (4, 5, 1) 5 (4, 0, 5) 6 (5, 0, 2) 6 (5, 1, 0)


79

experimentador. El gran número de variedades necesito diseños de bloques

incompletos y diseños resolubles para un control adecuado en el campo, pues los

diseños resolubles existentes no siempre admiten el número de variedades o los

tamaños de bloque para las pruebas.

Características de los diseños α

Estos diseños no tienen limitantes en cuanto al tamaño del bloque excepto por

la restricción de que el número de tratamientos, t, debe ser el múltiplo de tamaño

de bloque k, de manera t = sk, para tener un diseño resoluble con tamaño de

bloque iguales. Las tablas de planes de diseños completos son innecesarias, ya

que se puede generar por sustitución cíclica a partir de un arreglo inicial de

números en forma muy parecida a los diseños cíclicos.

El desarrollo de los diseños α ha aumentado el número y la flexibilidad de los

diseños resolubles disponibles para pruebas experimentales. Los diseños

desarrollados por Peterson y Williams (1976) para las pruebas reglamentadas

incluían diseños con r = 2, 3 o 4 replicas con t ≤ 100 tratamientos y tamaños de

bloque en 4 ≤ k ≤ 16.

Los diseños están parcialmente balanceados con dos o tres clases asociadas,

los diseños con dos clases asociadas con λ1 = 0 y λ2 = 1 se conocen como diseños

α(0, 1), y los que tiene tres clases asociadas con λ1 = 0, λ2 = 1 y λ3 = 2 se denotan

como α(0, 1, 2). La mayor parte de los diseños considerados para las pruebas de

variedad fueron diseñados α(0, 1). Debido a la manera que se construyen, no

existen los diseños balanceados ni los diseños α(1, 2).

El limite superior para la eficiencia de los diseños α que proporcionaron

Paterson y Williams (1976) es:


80

)1()1)(1(

)1)(1(−+−−

−−=

srrtrtE (20)

Como construir los diseños α

La construcción de un diseño para t = sk tratamientos con r réplicas comienza

con un arreglo de k X r designado como el arreglo generador α. Cada columna del

arreglo generador α se usa para construir s - 1 columnas adicionales por

sustitución cíclica y el nuevo arreglo de k X rs recibe el nombre de arreglo

intermedio α*.

Consideremos un arreglo generador α de 4 X 3 para t = 12 tratamientos, k = 4

unidades por bloque, r = 3 replicas y s = 3 bloques por replica:

Cada columna se usa para generar s – 1 = 2 columnas adicionales por

sustitución cíclica con mod(s) = mod(3) para derivar el arreglo intermedio α*; el

resultado será r = 3 arreglos de tamaño k X s. en este ejemplo, habrá tres arreglos

de 4 X 3, los arreglos intermedios α* generados de cada una de las tres columnas

del arreglo α son:

Arreglos generador α Columna 1 2 3 0 0 0 0 0 2 0 2 1 0 1 1

Arreglos intermedios α* Arreglo generado a partir de

Columna1 Columna2 Columna3 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 2 0 1 0 1 2 2 0 1 1 2 0 0 1 2 1 2 0 1 2 0


81

Por último, las etiquetas se obtienen sumando S = 3 a cada elemento del

segundo renglón del arreglo intermedio α*, 2s = 6 para cada elemento del tercer

renglón, y 3s = 9 al cuarto renglón. Las columnas de los arreglos son los bloques

del diseño y cada conjunto de s columnas generado con una columna arreglo

generador α constituye un réplica completa; en el cuadro 9 se muestra el diseño

α(0, 1, 2) obtenido.

Cuadro 9 Diseño α para 12 tratamientos en tres grupos de réplicas


Las etiquetas de tratamiento para el diseño son (0, 1, 2,…, t – 1)y los

tratamientos reales se asignan al azar alas etiquetas. Además, la aleatorización

procede con una asignación aleatoria de los bloques del diseño a los bloques

reales dentro de los grupos de réplicas y una asignación aleatoria de los

tratamientos a las unidades experimentales reales dentro de los bloques físicos.

Una tabla de 11 arreglos α básicos reproducida de Paterson, Williams y Hunter

(1978) se muestra en la tabla 2A.2 del apéndice. Se puede generar un total de 47

diseños α a partir de 11 arreglos. Los arreglos se pueden usar para generar

diseños con 20 ≤ t ≤ 100, números de tratamientos, con r = 2, 3 o 4 réplicas y la

restricción usual de t = sk. Los arreglos producirán diseños con tamaños de

bloques k ≥ 4 con la condición k ≤ s.

Réplica I II III Bloque 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 1 2 0 1 2 0 1 2 3 4 5 3 4 5 5 3 4 6 7 8 8 6 7 7 8 6 9 10 11 10 11 12 10 11 9


82

Observando el primer arreglo que aparece en la tabla 2A.2 del apéndice para s

= k = 5, vemos que el arreglo tiene k = 5 renglones y r = 4 columnas.

0 0 0 0 0 1 4 2 0 2 3 4 0 3 2 1 0 4 1 3

Este arreglo en particular se puede usar para generar un diseño α con r = 2

réplicas si se usan sólo sus dos primeras columnas; de la misma manera, se

pueden generar diseño de tres o cuatro replicas con las primeras tres o cuatro

columnas, respectivamente. Un diseño con tamaño de bloque k = 5 se obtiene con

los cinco renglones del arreglo, un diseño con tamaño de bloque k = 4 se

construye con los primeros cuatro primeros renglones, con s = 5 se puede

construir un diseño para t = 25 tratamientos en bloques de k = 5 unidades con r =

2, 3 o 4 réplicas. Además, con s = 5 es posible construir un diseño para t = 20

tratamientos en bloques de k = 4 unidades con r = 2, 3 o 4 réplicas.

Diseños de bloque incompletos resolubles latinizados

Los diseños resolubles presentados hasta hora tienen estructuras de bloque

anidadas. La aleatorización de los bloques incompletos es independiente dentro

de cada réplica, ya sea que el diseño tenga un solo criterio de bloque o dos en los

renglones y columnas.

En algunos casos, los bloques de una réplica pueden tener alguna relación con

los bloques de otra, estas relaciones existen en experimentos donde los bloques

en diferentes réplicas son contiguos en su espacio, como se ilustra en el cuadro

10.


83

Williams (1986) presento los resultados en diseños más generales donde los

tratamientos no aparecen más de una vez en los bloques largos y diseños

latinizados para incluir el bloque renglón- columna. Los diseños α se pueden usar

para generar los diseños latinizados más generales como lo ilustra John y Williams

(1995); el cuadro 11 se muestra un diseño renglón-columna latinizado, observe

que los tratamientos no más de una vez en cada bloque largo (columnas). John y

Williams (1955) hacen un análisis exhaustivo de los diseños resolubles y cíclicos.

Cuadro 11 Diseño renglón-columna latinizado

Bloque 1 2 3 4 Replica I

Replica II

Replica III


0 1 2 3 8 5 10 7 4 9 6 11

6 0 3 5 1 7 4 2

11 10 9 8

9 8 0 1 7 6 5 4 2 3 11 10


84

Cuadro 10 Ilustración de bloques contiguos en replicas

Bloque 1 2 3 4 5

Replica I

Replica II

: : : Replica III


Si la distribución del espacio es la mostrada en el cuadrado, entonces cualquier

bloque, como el bloque 1, en cada replica se encuentra en la misma línea de

espacio como bloque 1 en todas las demás réplicas. El resultado es la ocurrencia

de un bloque “largo” en dirección vertical de la distribución del cuadro 10.

Si los bloques se aleatorizan por separado en cada réplica, existe la posibilidad

de que todas las réplicas de uno o más tratamientos ocurran en el mismo bloque

“largo”, lo que producirá una circunstancia indeseable en el caso de

perturbaciones no previstas que negaran el uso del bloque “largo”. Para evitar esta

posibilidad, Harshbarger y Davis (1952) propusieron los diseños con retícula

latinizados, en los que la retícula rectangular se estructuro de manera que cada

tratamiento ocurra sólo una vez en cada bloque largo.

85

CAPÍTULO 4 APLICACIÓN A LA INDUSTRIA DE DISEÑOS DE BLOQUES

INCOMPLETOS Y SU EFICIENCIA FRENTE A OTROS DISEÑOS.

4.1 Introducción

La eficiencia de un diseño con respecto a otro se mide mediante la

comparación de varianzas para las estimaciones de las diferencias entre medias

de tratamiento en los diseños. Por ejemplo, la varianza de la diferencia entre dos

medias de tratamiento para el diseño de bloques completo aleatorizado (BCA) es

rrcb2

/2σ , ¿Es esa varianza menor que su contraparte del diseño totalmente

aleatorizado rcr2

/2σ ? La eficiencia relativa del diseño BCA con respecto al diseño

totalmente aleatorizado se puede determinar porque se puede obtener una

estimación de σ2 para este último a partir de los datos en el diseño BCA. Entonces

es posible evaluar la efectividad del bloque para reducir la varianza del error

experimental.

APLICACIÓN A LA INDUSTRIA DE DISEÑOS DE BLOQUES INCOMPLETOS

86

4.2 Eficiencia de los diseños de bloques incompletos

No existe la misma facilidad si se requiere determinar la eficiencia de un diseño

de bloques incompleto balanceado (BIB) con respecto al diseño BCA porque no es

posible calcular una estimación de σ2 para el diseño BCA; sería bueno determinar

si un tamaño de bloque más pequeño del diseño BIB daría como resultado una

menor varianza del error experimental. Todavía se usa la razón de las varianzas

para una deficiencia entre dos medias de tratamiento para comparar el diseño BIB

con el diseño BCA, la diferencia es que mide sólo la eficiencia potencial del diseño

BIB porque no es posible estimar σ2 para el diseño BCA.

Factor de eficiencia para los diseños de bloques incompletos

La varianza de la diferencia entre dos medias de tratamiento en el diseño BIB

es tk bib λσ 2/2 . Si este diseño y el BCA tienen el mismo número de tratamientos y

réplicas, la eficiencia del diseño BIB respecto al diseño BCA es la razón de las

varianzas:

rk

ttk

rEficiencia

bib

rcb

bib

rcb λσσ

λσσ

*)/2(

)/2(2

22

== (21)

La cantidad E= λt/rk se llama factor de eficiencia para el diseño de bloques

completo balanceado y proporciona una indicación de la perdida causada al usar

un diseño de bloque incompleto sin reducir σ2. El diseño BIB es mas preciso en la

comparación de dos medias de tratamiento que el diseño BCA si

rk

t

rcb

bib λσσ

<2

2

(22)

El factor de eficiencia es un límite inferior de la eficiencia del diseño BIB con

respecto al diseño BCA para un experimento BCA para un experimento con el


87

mismo número de réplicas y la misma varianza del error σ2. Dados un diseño BIB

con t = 4, r = 3, k = 3 y λ = 2 y un diseño BCA con t = 4 y r = 3, ambos requieren el

mismo número de unidades experimentales, pero tienen diferentes arreglos de

bloque. El diseño BIB es más preciso que el diseño BCA si:

89.0)3(3)4(2

2

2

=<rcb

bib

sσ

En otras palabras, 2bibσ tendría que ser cerca de un 11% más pequeño que 2

rcbσ

para que el diseño BIB tuviera la misma precisión que el diseño BCA con el mismo

numero de réplicas.

La intención de un diseño de bloques incompleto es reducir la varianza del

error e incrementar la precisión de las comparaciones entre las medidas de

tratamiento, la meta sería reducir σ2 para los diseños BIB de manera que se logre

la desigualdad de la ecuación (22). Un diseño de bloques incompleto exitoso

reducirá la varianza del error 2bibσ será menor que 2

rcbσ .

4.3 Aplicaciones de Diseños Experimentales de Bloques Incompletos en el sector industrial

Los diseños de bloques incompletos se utilizan para reducir la varianza del

error experimental, ya que a veces puede no ser posible realizar una réplica

completa para factoriales 2k con muchos factores en un bloque completo. Si la

materia prima no es suficiente en un lote de producción para manejar todos los

tratamientos, se puede usar cada lote de materia prima como un bloque

incompleto. Se pueden elaborar bloques de tamaño reducido para factoriales 2k

aprovechando la construcción de los contrastes de sus efectos y sacrificando

información de los tratamientos para aumentar la precisión.


88

Los diseños de bloque incompletos para factoriales 2K se construyen de

manera que uno o más contrastes de tratamiento sean idénticos a los contrastes

de bloque. Se dice que el efecto del tratamiento se confunde por completo con los

bloques y no es posible distinguirlo del efecto de esos bloques.

• El diseño factorial 2k con muchos factores, cada uno a nivel “alto” o “bajo”,

se puede usar para detectar los factores importantes en el proceso con un

mínimo de unidades experimentales; es posible detectar las tendencias

principales con factores de dos niveles para identificar los factores

potencialmente importantes.

• En consecuencia, los factoriales 2k se usan con frecuencia en las primeras

etapas de experimentación para detectar los factores que son candidatos

potenciales para una investigación detallada.

• El nivel bajo de un factor cuantitativo se denota con “0” y el nivel alto con

“1”. De manera equivalente, las dos categorías del factor cualitativo se

pueden codificar como “0” y “1”.

• El “efecto principal” de un factor es básicamente el cambio promedio en la

respuesta cuando el factor va de '-' a '+'.

• Los “efectos de las interacciones” son cambios en la salida del proceso

motivados por dos ó más factores que están interactuando entre sí.

• El número de las combinaciones de tratamientos necesario para tener

resultados completos sería igual a 2k.

• Así, un experimento factorial 2k que tiene 3 factores (k = 3) necesitará 8

combinaciones de tratamientos, mientras que si tenemos 4 factores (k=4),

necesitará 16 combinaciones. Podemos apreciar que el número de corridas


89

necesario para completar un experimento factorial, aún cuando son sólo dos

niveles por cada factor, se hace enormemente grande.

Como la mitad de los tratamientos tiene coeficiente (+) y la mitad coeficiente (–)

para todo efecto en los factoriales 2k, los tratamientos se pueden dividir en 2

grupos con la regla pares-impares.

La suma de cuadrados se calcula de manera usual para el análisis de

varianza excepto que se excluye la partición de la suma de cuadrados para el

efecto de interacción confundido con los bloques.

En general, se elige el efecto de interacción de mayor orden factorial 2k para

confundirlo con los bloques. En el caso de experimentos con muchos factores, los

efectos principales, las iteraciones de dos factores y otras interacciones de menor

orden son los efectos de mayor interés.

Ejemplo 4.1 Pureza de un producto químico

Se pensó que la pureza de un producto químico tenia influencia de 3 factores,

tasa de agitación (A), concentración del compuesto base (B) y concentración del

reactivo (C). El químico estableció un experimento con un diseño factorial con

factores a 2 niveles para un arreglo factorial 23.

Diseño del experimento: el químico deseaba 3 réplicas del experimento, pero

sólo podía realizar 4 corridas del proceso químico en un día. Por lo tanto, cada

réplica debía correrse en dos bloques incompletos (días).

Un contraste de efecto para un factorial 23 consiste en cuatro combinaciones

de tratamientos con coeficiente + y cuatro con -. Para evitar la total confusión de

un efecto, el químico confundió una interacción de 2 factores distinta en cada

réplica. Es decir: b= 2 y r = 3 realizando la disposición de modo que en cada


90

réplica se encontraran todos los tratamientos pero distribuidos en los dos bloques.

En la primera réplica aparece la interacción BC confundida, en la segunda réplica

aparece la interacción AC confundida y en la última réplica aparece la interacción

AB confundida.

El análisis de varianza se realizó mediante el paquete estadístico SPSS,

versión 11.0.

A continuación aparecen las tablas de los tratamientos con los datos

recolectados y finalmente el Análisis de Varianza del diseño utilizado.

Tabla 4.1 Pureza observada de un producto químico en un factorial 23 parcialmente confundido.


Las sumas de cuadrados para los efectos no confundidos con bloques, A, B, C

y ABC, se pueden calcular de manera normal mediante la ecuación:

2... )(

2...)( ABn lrABSC =

utilizando los coeficientes de los contrastes de la tabla 4.2.


91

Tabla 4.2 Coeficientes para contrastes en un diseño de tratamiento factorial 23.


Tabla 4.3 Cálculos para los efectos factoriales no confundidos con bloques.



92

Tabla 4.4 Los contrastes confundidos AB, AC, y BC calculados con los totales de todas las observaciones de tratamientos.


Tabla 4.5 Diferencia calculada para cada par de bloques



93

Tabla 4.6 Análisis de varianza para la pureza de un producto químico en un factorial 23 parcialmente confundido


Como se puede apreciar ninguna de las interacciones tuvieron diferencias

significativas y sólo los efectos principales A (tasa de agitación) y B (concentración

del compuesto base) resultaron significativos. La varianza del error fue muy baja

(14.77) y permitió detectar las verdaderas diferencias entre los factores A y B por

separado, con el consiguiente ahorro de material al no tener que utilizar las

réplicas completas, lo cual demuestra la efectividad del uso de un diseño de

bloques incompletos para detectar los efectos en un experimento en este caso, de

un factorial 23.


94

Ejemplo 4.2 Eficiencia de un diseño de bloques incompletos con respecto a otro diseño de bloques completos aleatorizado para Vinilación de metilglucósidos.

Retomaremos el ejemplo 2.2 del capitulo 2 donde se presenta un diseño de

experimentos de bloques incompletos para Vinilación de metilglucósidos, solo se

toma la tabla 2.2 y 2.3 del capitulo 2 para: compararlas con un diseño de bloques

completos para Vinilación de metilglucósidos, determinar la eficiencia y precisión

de un diseño BIB.

Ejemplo: Se ha encontrado que el resultado de la adición de acetileno a un

metilglucósido en presencia de una base, a alta presión, es la producción de varios

éteres monovinílicos, proceso que se conoce como vinilación. Los éteres

monovinílicos son convenientes para polimerización en muchas aplicaciones

industriales.

Objetivo de investigación: Los químicos deseaban obtener más información

específica sobre el efecto de la presión en el porcentaje de conversión del

metilglucósido en isómeros de monovinil.

Diseño de tratamiento: Con base en trabajos anteriores, se seleccionaron

presiones dentro del intervalo que producía la conversión máxima. Se eligieron 5

presiones para estimar una ecuación de respuesta: 250, 325, 400, 475 y 550 psi.


95

Diseño de Bloques Incompletos para Vinilación de metilglucósidos

Diseño del experimento: como sólo se disponía de tres cámaras de alta

presión para una corrida de las condiciones experimentales, fue necesario

bloquizar las corridas por que no podía haber una variación sustancial de una

corrida a otra producida por nuevas preparaciones de las cámaras para el

experimento. Los químicos establecieron un diseño de bloques incompleto

balanceado (corridas), cada uno con tres unidades experimentales (cámaras

presurizadas) y se usaron tres presiones diferentes en cada corrida; el diseño

obtenido tenia r = 6 replicas, k = 3 unidades experimentales, t = 5 tratamientos y

λ= 3.


isómeros de monovinil se muestran en la tabla 2.2 y la suma aditiva de la partición

de suma de cuadrados del metilglucósido se muestra en la tabla 2.3.

Diseño del Bloque Incompleto

Presión (psi)


96

Tabla 2.2 Conversión porcentual del metilglucósidos con acetileno a acetileno a alta presión, en un diseño de bloque incompleto balanceado.

Presión (psi)

Corrida 250 325 400 475 550 y.j

1 16 18 – 32 – 66 2 19 – – 46 45 110 3 – 26 39 – 61 126 4 – – 21 35 55 111 5 – 19 – 47 48 114 6 20 – 33 31 – 84 7 13 13 34 – – 60 8 21 – 30 – 52 103 9 24 10 – – 50 84 10 – 24 31 37 – 92 yi. 113 110 188 228 311 950

*Bi. 507 542 576 577 648 †Qi -56.0 -70.7 -4.0 35.7 95.0 *Ejemplo: B1 = y.1 + y.2 + y.6 + y.7 + y.8 + y.9 †Qi = ( ) 0.56507

31113

31. 11 −=−=− By

Fuente: Drs J. Berry y A. Deutschman, University of Arizona Tabla 2.3 Análisis de varianza para la conversión porcentual de metilglucósidos, en un diseño de bloque incompleto balanceado.

Fuente de Grados de Suma de Cuadrados variación libertad cuadrados medios F Pr<F Total 29 5576.67 Bloques (no. Aj.) 9 1394.67 154.96 Presión (aj.) 4 3688.58 922.14 29.90 .000 Error 16 493.42 30.84 Fuente: Drs J. Berry y A. Deutschman, University of Arizona


97

Diseño de Bloques Completos para Vinilación de metilglucósidos

Diseño del experimento: fue necesario bloquizar las corridas por que no

podía haber una variación sustancial de una corrida a otra producida por nuevas

preparaciones de las cámaras para el experimento. El diseño del experimento

resultante fue un diseño de bloques completo aleatorizado (corridas), con b= 6

bloques, r= 6 replicas y t= 5 tratamientos.


isómeros de monovinil se muestran en la tabla 4.7 y la suma aditiva de la partición

de suma de cuadrados del metilglucósido se muestra en la tabla 4.8.

Diseño del Bloque Completo

Presión (psi)



98

Tabla 4.7 Conversión porcentual del metilglucósidos con acetileno a acetileno a alta presión, en un diseño de bloques completos aleatorizado.

Presión (psi)

Corrida 250 325 400 475 550 y.j

1 16 18 39 32 45 150

2 19 26 21 46 61 173

3 20 19 33 35 55 162

4 13 13 34 47 48 155

5 21 10 30 31 52 144

6 24 24 31 37 50 166

yi. 113 110 188 228 311 950


Tabla 4.8 Análisis de varianza para la conversión porcentual de metilglucósidos, en un diseño de bloques completos balanceado.

Fuente de Grados de Suma de Cuadrados variación libertad cuadrados medios F Pr<F Total 29 5576.66 Replicas 5 114.66 22.93 Presión 4 4736.33 1184.08 32.63 .000 Error 20 725.66 36.28 Fuente: I. G. Hernández (2006), CIAII. Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo


99

Eficiencia del ejemplo

Para determinar la eficiencia del diseño de bloques incompletos del ejemplo

aplicaremos la formulas 21 del punto 4.2 donde hace referencia al factor eficiencia.

rkt

tkr

Eficienciabib

rcb

bib

rcb λσσ

λσσ

*)/2(

)/2(2

2

2

2

== (21)

98.0)3)(6()5)(3(*

84.3028.36

==Eficiencia

La eficiencia del diseño de bloques incompletos con respecto al diseño de

bloques completos es del 98%.

En este ejemplo, el diseño de bloques incompletos es exitoso porque reduce la

varianza del error donde 2bibσ es menor que 2

rcbσ ; los resultados de los errores de

varianza del ejemplo son:

84.302 =bibσ

28.362 =rcbσ

La intención del ejemplo es demostrar que un diseño de bloques incompletos

reduce la varianza del error e incrementa la precisión de las comparaciones entre

las medias de tratamiento ya que el objetivo de utilizar diseños de bloques

incompletos es reducir 2σ .

100

Apéndice 1A.1 Algunos diseños de bloques incompletos balanceados

Plan 1A.1 t = 1, k = 3, r = 6, b = 10, λ = 3, E = 0.83

(1,2,3), (1,2,5), (1,4,5), (2,3,4), (3,4,5), reps 1,2,3

(1,2,4), (1,3,4), (1,3,5), (2,3,5), (2,4,5), reps 4,5,6

Plan 1A.2 t = 6, k = 3, r = 5, b = 10, λ = 2, E = 0.80

(1,2,5), (1,2,6), (1,3,4), (1,3,6), (1,4,5),

(2,3,4), (2,3,5), (2,4,6), (3,5,6), (4,5,6)

Plan 1A.3 t = 6, k = 4, r = 10, b = 15, λ = 6, E = 0.90

(1,2,3,4), (1,4,5,6), (2,3,5,6) reps 1,2

(1,2,3,5), (1,2,4,6), (3,4,5,6) reps 3,4

(1,2,3,6), (1,3,4,5), (2,4,5,6) reps 5,6

(1,2,4,5), (1,3,5,6), (2,3,4,6) reps 7,8

(1,2,5,6), (1,3,4,6), (2,3,4,5) reps 9,10

Plan 1A.4 t = 7, k = 3, r = 3, b = 7, λ = 1, E = 0.78

(1,2,4), (2,3,5), (3,4,6), (4,5,7), (1,5,6),

(2,6,7), (1,3,7)

Plan 1A.5 t = 8, k = 4, r = 7, b = 14, λ = 3, E = 0.86

(1,2,3,4), (5,6,7,8) rep 1 (1,2,7,8), (3,4,5,6) rep 2

(1,3,6,8), (2,4,5,7) rep 3 (1,4,6,7), (2,3,5,8) rep 4

(1,2,5,6), (3,4,7,8) rep 5 (1,3,5,7), (2,4,6,8) rep 6

(1,4,5,8), (2,3,6,7) rep 7

Plan 1A.6 t = 9, k = 3, r = 4, b = 12, λ = 1, E = 0.75

(1,2,3), (1,4,7), (1,5,9), (1,6,8), (2,4,9), (2,5,8)

(2,6,7), (3,4,8), (3,5,7), (3,6,9), (4,5,6), (7,8,9)

APÉNDICE 1A. 1

101

Plan 1A.7 t = 9, k = 4, r = 8, b = 18, λ = 1, E = 0.84

(1,2,3,4), (1,3,8,9), (1,4,6,7), (1,5,7,8), (2,3,6,7),

(2,4,5,8), (2,6,8,9), (3,5,7,9), (4,5,6,9) reps 1,2,3,4

(1,2,4,9), (1,2,5,7), (1,3,6,8), (1,5,6,9), (2,3,5,6),

(2,7,8,9), (3,4,5,8), (3,4,7,9), (4,6,7,8) reps 5,6,7,8

Plan 1A.8 t = 10, k = 3, r = 9, b = 30, λ = 2, E = 0.74

(1,2,3), (1,4,6), (1,7,9), (2,5,8), (2,8,10)

(3,4,7), (3,9,10), (4,6,9), (5,6,10), (5,7,8), reps 1,2,3

(1,2,4), (1,5,7), (1,8,10), (2,3,6), (2,5,9)

(3,4,8), (3,7,10), (4,5,9), (5,7,10), (6,7,8), reps 4,5,6

(1,3,5), (1,6,8), (1,9,10), (2,4,10), (2,6,7)

(2,7,9), (3,5,6), (3,8,9), (4,5,10), (4,7,8), reps 7,8,9

Plan 1A.9 t = 10, k = 4, r = 6, b = 15, λ = 2, E = 0.83

(1,2,3,4), (1,2,5,6), (1,3,7,8), (1,4,9,10), (1,5,7,9),

(1,6,8,10), (2,3,6,9), (2,4,7,10), (2,5,8,10) , (2,7,8,9),

(3,5,9,10), (3,6,7,10), (3,4,5,8), (4,5,6,7), (4,6,8,9)

Plan 1A.10 t = 10, k = 5, r = 9, b = 18, λ = 4, E = 0.89

(1,2,3,4,5), (1,2,3,6,7), (1,2,4,6,9), (1,2,5,7,8), (1,3,6,8,9), (1,3,7,8,10),

(1,4,5,6,10), (1,4,8,9,10), (1,5,7,9,10), (2,3,4,8,10), (2,3,5,9,10), (2,4,7,8,9),

(2,5,6,8,9), (2,6,7,9,10), (3,4,6,7,10), (3,4,5,7,9), (3,5,6,8,9), (4,5,6,7,8)

Plan 1A.11 t = 11, k = 5, r = 5, b = 11, λ = 2, E = 0.88

(1,2,3,5,8), (1,2,4,7,11), (1,3,6,10,11), (1,4,8,9,10),

(1,5,6,7,9), (2,3,4,6,9), (2,5,9,10,11), (2,6,7,8,10),

(3,4,5,7,10), (3,7,8,9,11), (4,5,6,8,11)

102

Apéndice 1A.2 Algunos diseños de cuadrados latinos incompletos

Tabla 1A Planes para diseños de cuadrados latinos incompletos derivados

de cuadrados latinos completos.

t k r b λ E Plan 4 3 3 4 2 0.89 * 3 6 8 4 0.89 ** 3 9 12 6 0.89 **

5 4 4 5 3 0.94 * 4 8 10 6 0.94 **

6 5 5 6 4 0.96 * 5 10 12 8 0.96 **

7 6 6 7 5 0.97 * 8 7 7 8 6 0.98 * 9 8 8 9 7 0.98 *

10 9 9 10 8 0.99 * 11 10 10 11 9 0.99 *

*Construido a partir de un cuadrado latino de t X t por omisión de la última columna **Por repetición del plan para r = t – 1, que se construyó con un cuadrado latino de t X t sin la última columna Planes para otros diseños de cuadrados latinos incompletos

Plan 1B.1 t = 5, k = 2, r = 4, b = 10, λ = 1, E = 0.63

Reps I y II Reps III y IV

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

2 5 4 1 3 3 4 2 5 1

APÉNDICE 1A. 2

103

Plan 1B.2 t = 5, k = 3, r = 6, b = 10, λ = 3, E = 0.83

Reps I y II Reps III y IV

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

2 1 4 5 3 2 3 4 5 1

3 5 2 1 4 4 5 1 2 3

Plan 1B.3 t = 7, k = 2, r = 6, b = 21, λ = 1, E = 0.58

Reps I y II Reps III y IV Reps V y VI

1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

2 6 4 7 1 5 3 3 4 5 6 7 1 2 4 3 6 5 2 7 1

Plan 1B.4 t = 7, k = 3, r = 3, b = 7, λ = 1, E = 0.78

7 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

3 4 5 6 7 1 2

Plan 1B.5 t = 7, k = 3, r = 3, b = 7, λ = 1, E = 0.78

Reps I y II Reps V y VI

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 8 4 7 6 1 3 9 5 4 6 2 5 7 8 9 1 3

Reps III y IV Reps VII y VIII

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 5 6 9 8 7 1 4 2 5 4 8 6 3 9 2 7 1

APÉNDICE 1A. 2

104

Plan 1B.6 t = 9, k = 4, r = 8, b = 18, λ = 3, E = 0.84

Reps I, II, III y IV Reps V, VI, VII y VIII

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 6 8 1 7 9 3 2 5 2 3 4 9 1 8 6 5 7

6 8 9 3 1 4 2 5 7 5 6 7 2 9 1 4 3 8

7 9 1 2 8 5 6 4 3 7 5 1 9 6 3 8 4 2

Plan 1B.7 t = 9, k = 4, r = 8, b = 18, λ = 3, E = 0.84

Reps I, II, III y IV Reps V, VI, VII y VIII

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 6 8 3 1 4 9 5 7 2 6 5 3 7 8 4 9 1

3 8 5 9 7 2 1 4 6 3 5 1 2 9 7 8 4 6

7 4 9 2 3 5 6 1 8 5 1 4 8 2 3 9 6 7

8 1 2 6 4 7

3 9 5 9 8 6 7 4 5 1 3 2

Plan 1B.8 t = 10, k = 3, r = 9, b = 30, λ = 2, E = 0.74

Reps I, II y III 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 5 7 1 8 4 9 10 3 6

3 8 4 6 7 9 1 2 10 5

Reps IV, V y VI 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 9 7 8 10 1 5 6

4 6 8 5 1 9 3 10 2 7

Reps VII, VIII y

IX

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 7 8 2 6 1 9 4 10 5

5 6 9 10 3 8 2 7 1 4

105

Apéndice 1A.3 Estimaciones de mínimos cuadrados para diseño BIB

El modelo lineal para el diseño de bloque incompleto balanceado es

ijjiij e+++= ρτµγ

i= 1,2,…,t j= 1,2,…,b (1A.1)

donde µ es media general, τi es el efecto de tratamiento, pj es el efecto de bloque

y las eij son errores experimentales aleatorios independientes con media 0 y

varianza σ2.

Sea nij una variable indicadora con nij = 1 si el i-ésimo tratamiento está en el j-

ésimo bloque y nij = 0 de otra manera.

Las estimaciones de mínimos cuadrados para los parámetros en el modelo

completo minimizan la suma de cuadrados para el error experimental:

2

111

2

1)( jiij

b

jij

t

i

b

jijij

t

inenQ ρτµγ −−−== ∑∑∑∑

====

(1A.2)

Las ecuaciones normales para el diseño de bloques incompleto balanceado

son:

:µ ..ˆˆˆ11

ypkrNb

jj

t

ii =++ ∑∑

==

τµ (1A.3)

:iτ i

b

jjiji ypnrr =++ ∑

=1ˆˆˆ τµ i = 1,2,…,t (1A.4)

:jβ jj

t

iiij ypknk .

1ˆˆˆ =++∑

=

τµ j = 1,2,…,b (1A.5)

APÉNDICE 1A. 3

106

Cada una de las sumas del conjunto de t ecuaciones para las τi y el conjunto

de b ecuaciones para las pj es igual a la ecuación para µ, esto tiene como

resultado dependencias lineales entre las ecuaciones. Las restricciones 0ˆ =∑ iiτ

y 0ˆ =∑ jj p se pueden usar para proporcionar una solución única.

Al imponer las restricciones, la estimación de µ es µ̂ = y../N a partir de la ecuación

(1A.3). Las ecuaciones para pj ecuaciones (1A.5), se usan para eliminar las jp̂ de

las ecuaciones τi en la ecuación (1A.4). Después de eliminar las ecuaciones con

iτ̂ son:

∑∑∑===

−=−−b

jjij

t

pippjij

b

jii ynkynnrrk

1.

1.

1ˆˆˆ τττ (1A.6)

El lado derecho de la ecuación (1A.6) es kQi es el total de tratamiento ajustado

que se usa para calcular la suma de cuadrados de tratamiento ajustada. Como:

,1

λ=∑=

b

jpjij nn para p ≠ i (1A.7)

y pjpj nn =2 ( pjn = 0 o 1), la ecuación (1A.6) se puede escribir como:

i

t

ipp

pi kQkr =−− ∑≠=1

ˆˆ)1( τλτ (1A.8)

Como se impuso la condición ∑ ii τ̂ sobre la solución, la situación:

∑≠=

=−t

ipp

pi1

ˆˆ ττ

APÉNDICE 1A. 3

107

Se puede convertir en la ecuación (1A.8). Con la igualdad λ(t – 1) = r(k – 1), la

ecuación para iτ̂ es :

ii kQt =τλ ˆ (1A.9)

tkQ

i i

λτ = i =1,2,…,t

108

Apéndice 2A.1 Planes para diseños cíclicos

Tabla 2A.1 Bloques iniciales para generar diseños de bloques incompletos

parcialmente balanceados para 4 ≤ t ≤ 15, r ≤ 10

k-ésimo tratamiento, t =

k r Primeros k – 1 tratamientos 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

2 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4 0 2 2 2 3 3 3 3 3 3 5 4 4

2 6 0 1 3 3 2 2 2 2 5 5 2 6 2

8 0 1 4 5 4 4 4 4 2 2 4 3 7

10 0 2 1 4 5 5 5 5 4 4 3 5 5

3 0 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4

3 6 0 2 1 3 1 3 7 6 7 7 5 7 7 8

9 0 1 3 2 3 3 4 5 3 3 6 4 6 5

4 4 0 1 3 – 2 2 6 7 7 6 7 7 9 7 7

8 0 1 4 – 2 2 6 7 8 2 6 6 6 6 6

5 0 1 2 4 – – 5 5 7 7 7 7 7 7 9 10

0 2 3 4 – – 5 5 7 8 9 8

5 10

0 2 3 6 7 11 12 10

6 6 0 1 2 3 6 – – – 5 5 5 5 10 10 10 10 10

7 7 0 1 2 3 4 7 – – – – 5 5 9 9 9 9 9 10

8 8 0 1 2 3 4 6 8 – – – – – 5 9 9 9 9 11 11

9 9 0 1 2 3 4 5 7 9 – – – – – – 8 8 8 10 10 10

10 10 0 1 2 3 4 5 6 9 10 – – – – – – – 7 7 7 12 12

Reproducido con el permiso de J. A. John (1981), “Efficient Cyclic Desgns”, Journal of Royal Statical Society, B, 43, 76-80.

109

Apéndice 2A.2 Arreglos para diseños α

Tabla 2A.2 Arreglos generados de (k X r) para diseños α

s = k = 5 s = k = 6 s = k = 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 2 0 1 5 4 0 1 3 2 0 2 3 4 0 3 2 5 0 2 6 4 0 3 2 1 0 2 3 1 0 4 5 1 0 4 1 3 0 4 1 2 0 3 2 6 0 5 1 3 0 5 1 3 0 6 4 5

s = k = 8 s = k = 9 s = k = 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 6 0 1 8 7 0 1 9 5 0 3 7 1 0 3 6 4 0 3 6 9 0 5 3 4 0 7 2 3 0 5 7 2 0 2 5 3 0 2 3 5 0 4 5 6 0 4 1 6 0 4 1 6 0 6 3 1 0 6 0 2 0 5 7 2 0 7 2 4 0 7 6 5 0 6 5 1 0 8 4 7 0 8 4 7 0 9 8 2 0 2 6 3

s = 11 k = 9 s = 12 k = 8 s = 13 k = 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6 7 0 1 2 3 0 1 4 10 0 4 8 1 0 7 5 1 0 3 8 11 0 9 7 5 0 9 6 4 0 9 2 1 0 2 3 6 0 4 11 8 0 12 10 6 0 5 1 3 0 11 3 10 0 8 5 12 0 6 5 10 0 10 4 7 0 6 7 8 0 3 9 4 0 5 1 6 0 7 4 1 s = 14 k = 7 s = 15 k = 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 10 0 1 8 7 0 9 10 7 0 3 12 14 0 11 13 2 0 7 2 5 0 2 6 1 0 10 3 11 0 5 1 12 0 14 3 8 0 3 1 11

Reproducido de H. D. Patterson, E. R. Williams y E. A. Hunter (1978),”Block designs for variety trials”, Journal of Agricultural Acience 90, tabla 2, p. 399, con permiso de Cambridge University Press.

110

CONCLUSIONES Elección de un diseño de experimento

Un experimento exitoso incluye el diseño del experimento correcto para

contestar las preguntas de investigación específicas y proporcionar

estimaciones precisas de las medidas de tratamiento y los contrastes de

interés para el investigador.

El conocimiento del investigador sobre las condiciones del experimento y el

material, es indispensable para construir los bloques de tamaño y

composición adecuados. Cada experimento representa sus propios retos y

condiciones; ningún conjunto de reglas proporciona el diseño correcto para

todo experimento exitoso con la aplicación inteligente y con los principios de

diseño para el material experimental.

Las pautas que guían la selección o construcción de un diseño para un

problema de investigación específico, es hacer todo lo posible para elegir un

diseño adecuado para el problema de investigación.

Cuando los diseños estándar no se ajustan al problema de investigación, es

necesario encontrar una solución de diseño innovadora, con un enfoque

más informal para el diseño de experimentos (Mead, 1988). La razón más

importante para pensar en un diseño informal es evitar la trampa de cambiar

el diseño del tratamiento a fin de ajustarse a un diseño existente en

particular, en ninguna circunstancia sería inteligente cambiar el problema de

investigación para ajustarse a un diseño experimental.

CONCLUSIONES

111

Elección de diseños de bloques incompletos

Con frecuencia se necesita un diseño de bloques incompletos para obtener

las mejores condiciones posibles para las comparaciones entre tratamientos

con grupos tan homogéneos de unidades experimentales como sea posible.

Los diseños de bloques incompletos tuvieron su origen en pruebas

experimentales que incluyeron un gran número de tratamientos, como en

las pruebas de variedades.

El objetivo principal de los diseños de bloques incompletos es reducir el

tamaño de bloque para reducir la varianza del error experimental y tener

experimentos que se puedan manejar con base en grupos de réplicas; en

las pruebas agrícolas, los tamaños de bloque son flexibles siempre que su

reducción logre disminuir la varianza del error.

En la mayoría de los casos, se dispone de diseños apropiados para las

necesidades de los experimentos, y se cuenta con un gran número de

planes publicados para los diseños de bloques incompletos balanceados,

producto de investigaciones sobre construcción de diseños.

Los métodos sistemáticos para construir diseños de bloques incompletos

balanceados requiere desarrollos matemáticos que están fuera del alcance

de este trabajo, pero se pueden encontrar exposiciones de las

investigaciones sobre la existencia y construcción de diseños en John

(1971), John (1987) y en John y Williams (1995).

CONCLUSIONES

112

Dónde encontrar planes de diseños

Los programas de computadora proporcionan el método más conveniente

para desarrollar un plan de diseño de bloque incompleto; CycDesigN

(Whitaker, Williams y John, 1998) y ALPHA + (Williams y Talbot, 1993) son

ejemplos de programas que generan los diseños presentados en los

capítulos 2 y 3.

El factor de eficiencia aumenta con el tamaño de bloque

Se espera que la varianza del error experimental disminuya conforme lo

hace el tamaño del bloque, la disminución en σ2 con tamaños de bloques

más pequeños depende del éxito logrado al colocar las unidades

experimentales en el arreglo correcto de bloques, pero sin embargo, una

inspección cuidadosa del factor de eficiencia sugiere adoptar un tamaño de

bloque tan grande como sea posible. La medida de eficiencia para un

diseño de bloque incompleto balanceado se puede expresar como:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−==

ktt

rktE 11

1λ

(C.1)

El valor de E aumenta con el tamaño de bloque k, una relación similar se cumple

para los diseños de bloque incompletos parcialmente balanceados.

Los recursos determinan el tamaño de bloque

Los recursos disponibles determinan la elección del tamaño del bloque

porque en algunos experimentos el tamaño de bloque está restringido por

CONCLUSIONES

113

los instrumentos disponibles como ocurrió en el experimento de vinilación

de metilglucósidos del ejemplo 2.2. El investigador disponía sólo de tres

cámaras para probar cinco tratamientos de presión, con t = 5, r = 6, k = 3 y

λ = 3, el factor de eficiencia para el diseño de bloques incompleto

balanceado era E = 3(5)/6(3) = 0.83. Una precisión equivalente para un

diseño de bloques incompletos con cinco cámaras de presión requería de

una reducción del 17% en σ2 para el diseño, pero la única elección

disponible para el investigador era el diseño de bloques incompletos con

tres tratamientos de bloque.

Algunas condiciones experimentales permiten una mayor flexibilidad al

seleccionar el tamaño de bloque, como las pruebas de variedades que se

colocan en parcelas de una granja experimental. En este caso, el tamaño de

bloque debe ser lo más grande que se pueda mientras mantenga la

precisión necesaria para las comparaciones de variedades.

Los diseños parcialmente balanceados aumentan la eficiencia en el uso de recursos.

Los diseños parcialmente balanceados se pueden usar en lugar de los

diseños balanceados para optimizar el uso de recursos. Examinando el

diseño parcialmente balanceado del cuadro 3, los tamaños de bloque se

restringieron a cuatro unidades experimentales, en tanto que un diseño

balanceado habría requerido diez réplicas de los seis tratamientos y 15

bloques.

El diseño parcialmente balanceado proporciona más precisión en algunas

comparaciones que en otras debido a que no todos los pares de

tratamientos ocurren en el mismo número de bloques; sin embargo, con una

CONCLUSIONES

114

elección prudente del diseño es posible tener un diseño parcialmente

balanceado que proporcione casi un equilibrio en todas las comparaciones.

El diseño parcialmente balanceado del cuadro 3, que tenía algunos pares

de tratamientos en λ1 = 2 bloques y otros en λ2 = 1 bloque, se puede

demostrar que la eficiencia de las comparaciones respectivas entre primero

y segundos asociados es E1 = 1.00 y E2 = 0.86, con una eficiencia promedio

de E = 0.88 (Clatworthy, 1973). Existe una precisión casi igual para ambos

conjuntos de asociados y sólo se sacrifica una pequeña parte de esa

precisión con el diseño parcialmente balanceado.

Diseños resolubles y cíclicos

Los diseños resolubles tienen bloques agrupados de manera que cada

grupo constituye una réplica completa de los tratamientos, cuestión muy

eficaz para administrar un experimento ya que reduce el tamaño de los

bloques para obtener mayor precisión permitiendo controlar experimentos

muy grandes.

Otra de las ventajas de los diseños resolubles es que peden llevarse acabo

en etapas, con una o más replicas terminadas en cada etapa.

Los diseños de retícula (lattice) balanceados son un grupo particular muy

conocidos de diseños resolubles propuestos por Yates (1936b), aunque es

muy limitado debido a que el número de tratamientos debe ser un cuadrado

exacto.

Los diseños de retícula rectangulares desarrollados por Harshbarger (1949)

proporcionan diseños resolubles con números de tratamientos intermedios a

los proporcionados por los diseños de retícula cuadrados.

CONCLUSIONES

115

Los diseños balanceados o los resolubles pueden, en algunos casos, agotar

los recursos disponibles debido al número de réplicas requerido, luego es

posible usar diseños parcialmente balanceados más flexibles en lugar de los

diseños balanceados con poca pérdida de precisión, pero tal vez no se

disponga de tablas de diseños parcialmente balanceados porque muchas

aparecen en publicaciones antiguas. Los diseños cíclicos ofrecen cierto grado de simplificación en la

construcción del diseño y en el establecimiento del proceso experimental y

como se generan a partir de un bloque inicial de tratamientos, es necesario

un esquema completo de los planes de distribución del experimento.

Quizá los diseños cíclicos sean la mejor alternativa para producir un diseño

eficiente, pues proporcionan diseños de muchos tamaños y su construcción

es sencilla a partir de uno o dos bloques iniciales de tratamientos. Las

tablas de bloques iniciales para los diseños cíclicos se encuentran en

publicaciones un poco más recientes.

Recomendación

Todos los problemas prácticos tienen particularidades que deben estudiarse

antes de que se adopten los métodos estadísticos más efectivos para

resolverlos. Por consecuencia, cada problema nuevo debe ser tratado por si

mismo y con un cierto respeto ya que podríamos obtener la solución

correcta de un problema equivocado. Las técnicas estadísticas son más

efectivas cuando se combinan con el apropiado conocimiento del tema al

que se aplican. Los métodos son una ayuda importante no un sustituto del

conocimiento del problema por parte del investigador.

CONCLUSIONES

116

BIBLIOGRAFÍA

Bose, R. C., Clatworthy, W. H., and Shrikhand, S. S. (1954). “Tables of partially

balanced designs with two associate cases.” North Carolina Agricultural

Experiment Station. Technical Bulletin, no. 107.

Bose, R. C., and Nair, K. R. (1939). “Partially balanced incomplete block designs.”

Sankhya 4, 337-372.

Box, G. E. P., Hunter, W. G, and Hunter, J. S. (1978). Statistics for experimenters.

An introduction to design, data analysis, and model building. New York: Wiley.

Box, G. E. P., Hunter, W. G. & Hunter, S. J. (2001). Estadística para

investigadores. Barcelona, España: Editorial Reverte, S. A.

Clatworthy, W. H. (1973). “Tables de two-associate-class partially balanced

designs.” National Abureau of Standards, Applied Mathematics Series, no. 63.

Washington, D.C.

Cochran, W. G., and Cox, G. M. (1957). Experimental Designs, 2d ed. New York:

Wiley.

Cox, D. R. (1958). Planning of Experiments. New York: Wiley.

Federer, W. T. (1955). Experimental design: Theory and application. New York:

Macmillan.

Fisher, R. A., Yates, F. (1963). Statistical tables for biological, agricultural and

medical research, 6th ed. Edinburgh: Oliver and Boyd.

BIBLIOGRAFÌA

117

Freíd, J. E. & Simon G. A. (2002). Estadística elemental (8va ed.). Edo. de México:

Prentice Hall.

Gil, S. I. & Zárate de Lara G. P. (2000). Métodos estadísticos (6ta ed.). México, D.

F.: Trillas.

Harshbarger, B. (1949). “Triple rectangular lattices.” Biometrics 5, 1-13.

Harshbarger, B., and Davis, L. L. (1952). “Latinized rectangular lattices.”

Biometrics 8, 73-84.

Hildebrand, D. K. & Lyman, R. O. (1998). Estadística aplicada a la administración y

a la economía. Edo. de México: Prentice Hall.

John, J. A. (1966). “Cyclic incomplete block designs.” Journal of the Royal

Statistical Society, B 28, 345-360.

John, J. A. (1987). Cyclic designs. London: Champan and Hall.

John, J. A., Williams, E. R. (1995). Cyclic and computer-generated designs, 2d ed.,

London: Champan and Hall.

John, P. W. M. (1971). “Statistical design and analysis of experiments.” New York:

Macmillan.

Kempthorne, O. (1952). The design and analysis of experiments. New York: Wiley.

Kuehl, R. O. (2001). Diseño de experimentos, Principios estadísticos para el

diseño y análisis de investigación (2a ed.). México. D.F.: Ed Matemáticas

THOMSON. (pp.310-390)

BIBLIOGRAFÌA

118

Manson, R. L., Gunst, R. F., and Hess, J. L. (1989). Statistical design and analysis

of experiments with applications to engineering and science. New York: Wiley.

Mead, R. (1988). The design of experiments. Statistical principles for practical

application. Cambridge, UK: Cambridge University Press.

Patterson, H. D., and Williams, E. R. (1976). A new class of resolvable incomplete

block designs. Biometrika 63, 83-92.

Patterson, H. D., Williams, E. R., and Hunter, E. A. (1978). “Block designs for

variety trials.” Journal of Agricultural Science 90, 395-400.

Petersen, R. G. (1985). Design and analysis of experiments. New York: Marcel

Dekker.

Piegnatiello, J. J., and Ramberg, J. S. (1985). Journal of Quality Technology 17,

198-206. Discussion of article by R. N. KacKar (1985). “Off-line quality control,

parameter design, and the Taguchi method.” Journal of quality technology 17, 176-

188.

Whitaker, E. J., Williams, E. R., and John, J. A. (1998). CycDesign, CSIRO forestry

and Forest Products, Canberra, Australia, and The University of Waikato, Hamilton,

New Zealand.

Williams, E. R. (1986). Row and column designs with contiguous replicates.

Australian Journal of Statitical 28, 154-163.

Williams, E. R., and Talbot, M. (1993). ALPHA+: Experimental design for variety

trials. Design user manual. CSIRO, Canberra and SASS, Edinburgh.

Yates, F. (1936a). “Incomplete randomized blocks.” Annlas of Eugenics 7, 121-

140.

BIBLIOGRAFÌA

119

Yates, F. (1936b). “A new method of arranging variety trials involving a large

number of varieties.” Journal of Agricultural Acience 26, 424-455.

Yates, F. (1940a). “The recovery of interblock information in balanced incomplete

block designs.” Annls of Eugenics 10, 317-325.

Yates, f. (1940b). “Lattice squares.” Journal of agricultural Science 30, 672-687.

Youden, W. J. (1937). “Use of incomplete block replications in estimating

tobaccomosaic virus.” Contributiones from Boyce Thompson Institute 9, 41-48.

Youden, W. J. (1940). “Experimental designs to increase accuracy of greenhouse

studies.” Contributions from Boyce Thomson Institute 11, 219-228.

diseños experimentales de bloques incompletos y aplicaciones en

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