diccionario p.s.u. matemÁtica...números enteros pares e impares: ... 1234,56 tiene 6 cifras...

Colegio Inglés Talca 1

DEPARTAMENTO DICCIONARIO P.S.U. MATEMÁTICA (Admisión - 2021)


INDICE Contenido Página Números………………………… 3 – 26 Álgebra ………………………….. 27–61 Datos y Azar……………………… 62– 113 Geometría………………………. 114–155 Tablas…………………………….156 – 157


ORDEN DE OPERACIÓN Para operar correctamente no te olvides que existe un orden(prioridad) que se debe respetar y es el siguiente: 1º Paréntesis 2º Potencias 3º Multiplicación y División 4º Suma y Resta Observación: Si hay dos operaciones con la misma prioridad, se resuelve de izquierda a derecha, Ejemplo: 396:3642:18 =•+• CONJUNTOS NUMÉRICOS 1. Números Naturales: IN = 1, 2, 3, 4, … 2. Números Enteros: Z = . . . -2, -1, 0, 1, 2, 3 … Subconjuntos de Z: Z+ = 1, 2, 3, … , Z- = … -3, -2, -1 Números Enteros Consecutivos: Si n ∈ Z, entonces (n – 1) es el antecesor de n, (n + 1) es el sucesor de n. 3. Números Enteros Pares e Impares: Enteros pares = x ∈ Z / x = 2n, n ∈ Z= … -4, -2, 0, 2, 4 … Enteros impares = x ∈ Z/x = 2n – 1, n ∈ Z = …-3, -1, 1, 3, … 4. Número Primo: Un número natural p > 1 es primo si y solo sí, sus únicos factores Son exactamente: p y 1 , es decir : P = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 … 5. Números Compuestos: Un número natural n > 1 es compuesto si y solo sí ese número no es primo , es decir : C = 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15 … 6. Primos Relativos o Primos entre sí: Dos números naturales m y n son primos relativos si y sólo si su único divisor común es el uno, por ejemplo 5 y 7 7. Teorema Fundamental de la Aritmética: Todo número natural compuesto se puede descomponer de manera única como producto de números primos, por ejemplo 24 = 23•3


8. Divisores y Múltiplos de un Número: Si m, n y p son números enteros que Cumplen la relación p = m • n, entonces decimos que m y n sonfactores o divisores de p. En tal caso p será múltiplo de m y n , por ejemplo 12 = 3•4, 3 y 4 son factores de12 y 12 es múltiplo de 3 y 4 9. Máximo Común Divisor: El máximo común divisor (mcd)entre dos o más números enteros, es el mayor número entero positivo que divide a cada uno de los números dados. Ejemplo: el mcd entre 18, 54y 42 es 6; para hallar su resultado se encuentra su factorización prima, es decir: 23218 •= 2354 3 •= 73242 ••= Finalmente se multiplican sólo los factores repetidos con la menorpotencia:632 =• 10. Mínimo Común Múltiplo: El mínimo común múltiplo (MCM) de un conjunto de números enteros es el menor número entero positivo que es múltiplo de cada uno de los números dados Ejemplo: el MCM entre 18, 27 y 42 es 378; para hallar su resultado se encuentra su factorización prima, es decir: 23218 •= 3327 = 73242 ••= Finalmente se multiplican todos los factores y los que se repiten se consideran los de mayor potencia: 3787233 =•• PRINCIPALES REGLAS DE DIVISIBILIDAD Un número es divisible por: • 2 cuando termina en cifra par, o 0. • 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3. • 4 cuando sus últimas dos cifras son 0 o cuando sus últimas dos cifras son múltiplos de 4 • 5 cuando termina en cero o cifra cinco. • 6 cuando lo es por 2 y por 3 a la vez • 7 Si la diferencia entre el doble de la última cifra y el número que forman las cifras restantes es múltiplo de 7. Ejemplo: 3192(319-4 = 315, 31 – 10 = 21 ) • 8 cuando el número formado por sus 3 últimas cifras es múltiplo de 8. • 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9. • 10 cuando termina en cifra cero.

• 11 La diferencia entre la suma de las cifras ubicadas en los lugares pares y las que ocupan los lugares impares es múltiplo de once. Ejemplo: 528 ( 11132 =− ) • 12 cuando lo es por 3 y 4 • 15 cuando lo es por 3 y 5 • Un número “a” es divisible por un número “b” cuando “

ba ” es un número entero. 11. Valor Absoluto de un Número Entero: El valor absoluto de un número entero “x” se representa por x , y es un número entero positivo: x, si x ≥ 0 x= -x, si x < 0 12. Aproximaciones: En esta y en situaciones que requieren diferentes cálculos y donde debemos utilizar números decimales o números irracionales, se hace necesario aproximar. Esto puede ser por: redondeo o truncamiento Cuando redondeamos un número a una determinada cifra, observamos la cifra que está a su derecha:

• Si esta es mayor o igual a 5 le sumamos 1 a la cifra anterior, es decir, a la que está a su izquierda. • Siesta es menor que 5, la cifra anterior no se altera. En cada caso, consideramos iguales a cero todas las cifras que están a la derecha de la redondeada. Ejemplos: Al redondear 72,36 en décimos, nos queda 72,4 (Porque el 6 que le sigue al 3 , es mayor que cinco) Al redondear 7,462 en centésimas, nos queda 7,46 (Porque el 2 le que le sigue 6, es menor que 5) Otra manera de aproximar es el truncamiento. Cuando truncamos un número en una cifra determinada, consideramos iguales a cero a todas las cifras que le siguen hacia la derecha. Ejemplos: Al truncar 7,475 en décimas, nos queda 7,4. Al truncar 7,44732 en milésimas, nos queda 7,447. Cuando hacemos una aproximación numérica por redondeo o truncamiento, siempre existirá un error, porque los cálculos no son exactos. Por esto la aproximación por redondeo minimiza el error.


CIFRAS SIGNIFICATIVAS Las cifras significativas son aquellas que se consideran válidas en alguna medición y que tiene relación con la precisión con que fueron obtenidas. Como norma, para conocer el número de cifras significativas de un número, se cuentan las cifras que siguen a la primera cifra mayor o igual a 1. Ejemplos: 1234,56 tiene 6 cifras significativas 1002,4 tiene 5 cifras significativas 0,0056 tiene 2 cifras significativas 400,00 tiene 5 cifras significativas 0,01020 tiene 4 cifras significativas Observación: Como sabemos que en una aproximación numérica por redondeo siempre existirá un error, porque los cálculos no son exactos. Por esto las cifras significativas se aproximan por redondeo ya que minimiza el error. APROXIMACION POR DEFECTO Y EXCESO La aproximación por defecto, implica la búsqueda de un número con una cierta cantidad de cifras que es inmediatamente menor que el dado. Por su parte, la aproximación por exceso, es el número con las cifras decimales inmediatamente mayor. Ejemplo: Sea q una aproximación por exceso a la centésima de 2 y p una aproximación por defecto a la centésima de 2 . I) 42,1=q II) 41,1=p III) 83,2=+ qp ¿Es(son) verdadera(s)? A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I, II y III E) Ninguna de ellas. la alternativa correcta es la letra D.


CUADRADOS MÁGICOS Los cuadrados mágicos son aquellos cuadrados en los cuales se disponen números en filas y columnas de tal manera que su suma sea siempre la misma. Ejercicio: Completa el siguiente cuadrado, si La suma de filas, columnas y diagonales da 34. REGULARIDADES NUMÉRICAS Buscar “regularidades” consiste en tratar de averiguar, dados los primeros elementos de una secuencia, cuál es la regla de formación y así poder dar los siguientes elementos de la secuencia. En los ejercicios de regularidades numéricas se trata de encontrar cuál es el patrón o regla de formación de una sucesión. La sucesión puede estar dada en un contexto geométrico o numérico: • Ejemplo 1: ¿Cuántos palitos se necesitan para formar la figura 23? En la primera figura se necesitan 3 fósforos, pero 3 = 2 •1 + 1 En la segunda figura se necesitan 5 fósforos, pero 5 = 2 •2 + 1 En la tercera figura se necesitan 7 fósforos, pero 7 = 2 •3 + 1 Por lo tanto, para figura 23 se necesitarán 2 •23 + 1= 47 fósforos. El ejercicio de regularidad numérica puede estar dado mediante relaciones numéricas. • Ejemplo 2: Dadas las siguientes igualdades: 32 = 12 + 4 • 1 + 4 42 = 22 + 4 • 2 + 4 Entonces 1002 =? Según las igualdades dadas en el resultado, en la derecha aparece el cuadrado de un número que tiene 2 unidades menos que la base de la potencia cuadrática de la izquierda, por lo tanto, nuestro resultado debe empezar con 982; a continuación viene la multiplicación de 4 con el mismo número obtenido anteriormente (es decir: 4 •98) y finalmente le agregamos el número 4, por lo tanto: 1002 = 982 + 4 • 98 + 4 NÚMEROS RACIONALES

16 2 5 10 6 12 14 1

Definición de Número Racional: Un número racional es aquel que puede expresarse en forma de razón ba entre dos números enteros a y b con b ≠ 0. El conjunto de los números racionales es entonces, el conjunto de las llamadas “fracciones comunes”, donde “a” es el numerador y “b” el denominador. Q = ba / a ∧ b ∈ Z ∧ b ≠ 0 , recordar que: • ba , donde a>b, se denomina FRACCION IMPROPIA • ba , donde a<b, se denomina FRACCION PROPIA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES Si dc,ba ∈Q, entonces: • El inverso aditivo (u opuesto) de ba es - ba , el cual se puede escribir también Como baoba −

− • El número mixto A cb se transforma a fracción con la siguiente fórmula: Equivalencia de números racionales: ba = dc ⇔ ad = bc ; ejemplo 12943 = ya que 94123 •=• Relación de orden en Q: ba > dc ⇔ad>bc ; ejemplo: ¿Cuál fracción es menor 97 o 711? Se efectúa el producto 7•7 = 49 y 9•11 = 99, como 49 es menor que 99, Entonces se concluye que 97 < 711 Densidad del conjunto Q: Que el conjunto de los números racionales sea denso Significa que entre dos racionales cualesquiera siempre es posible intercalar infinitos números racionales: ba < dc ⇒ ba < db ca

++ < dc Ejemplo: Entre 9843 y se puede intercalar el racional 1311

bdbcaddcba +=+ bdbcaddcba −

=−


MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES • MULTIPLICACIÓN: • DIVISIÓN: • INVERSO MULTIPLICATIVO(RECIPROCO): El inverso multiplicativo (o recíproco) de ba es 0acon,abba 1

≠=

−

• Equivalencia entre Fracción y Decimal: Toda fracción se puede transformar a número decimal finito, Infinito periódico o infinito semiperiódico; para ello se divide numerador por denominador. Ejemplo: 6,0.....6666,032 == NÚMEROS DECIMALES Decimal finito: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 10, dependiendo la cantidad de ceros de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar. Ejemplos: a) 1001313,0 = b) 1033,0 = Decimal Periódico: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 9, dependiendo la cantidad de nueves, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar, es decir del período Ejemplos: 991414,0;955,0 == ; 1999,0 == Caso especial: cuando la parte entera no es cero, en ese caso se debe restar a todo el número la parte entera como lo indican los siguientes ejemplos: a) 9259 2277,2 =−

= b) 99142199 14143535,14 =−

= Decimal Semiperiódico: Si el decimal es semiperiódico, el denominador contiene tantos nueves como cifras tiene el período y tantos ceros como cifras tiene el anteperíodo. Ejemplo: 153890 2525335,2 =−

=

OPERATORIA CON NÚMEROS DECIMALES • Adición o sustracción de números decimales: Para sumar o restar números decimales se ubican las cantidades enteras bajo las enteras, las comas bajo las comas, la parte decimal bajo la decimal y a continuación se realiza la operatoria respectiva. Así por ejemplo: 0,19 3,81 + 22,2 26,20 • Multiplicación de números decimales: Para multiplicar dos o más números decimales, se multiplican como si fueran números enteros, ubicando la coma en el resultado final, de derecha a izquierda, tantos lugares como decimales tengan los números en conjunto. Así por ejemplo: 3,21 · 2,3 963 642 7,383 • División de números decimales: Para dividir números decimales, se puede transformar el dividendo y el divisor en números enteros amplificando por una potencia en base 10.Así por ejemplo: 2,24:1,2 se amplifica por 100 224: 120 y se dividen como números enteros POTENCIAS EN Z DEFINICIÓN: PROPIEDADES • n0 = 0, si n ∈Z+ • n1 = 1 • Si n es par, n)1(− = 1 • Si n es impar, n)1(− = -1 • Signos de una potencia: na =

<≠ imparesny0asiNegativo paresny0asiPositivo

• Recuerda que 1624 −=− , ya que la base no está en paréntesis

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POTENCIAS Sean a y b ∈ Z, m y n ∈ Z+ • Multiplicación de potencias de igual base: • División de potencias de igual base: • Multiplicación de potencias de distinta base e igual exponente: • División de potencias de distinta base e igual exponente: • DEFINICIÓN: • OBSERVACIÓN: 00 No está definido • POTENCIA DE UNA POTENCIA: • POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO: POTENCIAS DE BASE 10 • 010 = 1 • 110 = 10 • 210 = 100 • 310 = 1000 • 110 − =101 =0,1 • 210 − =1001 =0,01 • 310 − =10001 =0,001 Las potencias de base 10 se utilizan para escribir un número de las siguientes formas: • Un número está escrito en notación científica si se escribe de la forma

nk 10• , en que 1 ≤ k <10 y n ∈ Z.


• Un número está escrito en forma abreviada, si se escribe de la forma np 10• , en que p es el menor entero y n ∈ Z.

• Un número está inscrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de diez correspondiente a su posición (... centena, decena, unidad, décima, centésima...) , ejemplo: 012 106104105546 •+•+•= NÚMEROS IRRACIONALES Corresponde al conjunto de los números que no pueden expresarse en forma fraccionaria; como decimales infinitos no periódicos, raíces inexactas y algunas constantes. Ejemplo: 3 , π, e NÚMEROS REALES En esta unidad hemos trabajado los números naturales, números enteros, números racionales y los números irracionales. Todos estos números forman distintos conjuntos numéricos y la unión de estos constituye el conjunto de los números reales y se denomina por IR. Observa el siguiente diagrama: En Matemática, cuando trabajamos con estos conjuntos utilizamos símbolos como los siguientes: • El número 10 es un número natural, decimos que 10 pertenece al conjunto IN y lo escribimos: 10 ∈ IN. • El número 0 no es un número natural, decimos que 0 no pertenece al conjunto IN y se escribe: 0 ∉IN. • En el diagrama podemos notar que todo número natural es también un número entero, por lo tanto, todos los elementos o números del conjunto IN pertenecen al conjunto Z.

IR I=Q* IN Z 2 3.01001… 7 π ε 1 3 10 5 0 -8 -3 21 - 21 3,0 3 21

Q


• Entonces, decimos que el conjunto IN está contenido en el conjunto Z (también podemos decir que el conjunto IN es subconjunto del conjunto Z) y lo escribimos así: IN ⊂ Z. • Ningún número entero es un número irracional, decimos que el conjunto Z no está contenido en el conjunto I y lo escribimos así: Z ⊄I. IR = IN U Z/ U Q U I


PORCENTAJES El porcentaje de una cantidad corresponde a una proporcionalidad directa entre la cantidad y 100. Así por ejemplo : Un 1% corresponde a la centésima parte del número : 1001 Un 35% corresponde a la treinta y cinco centésimas partes del número :10035 Como toda fracción tiene una expresión decimal, también podemos relacionar un porcentaje con un número decimal, ya que este corresponde a una fracción con denominador 100. Ejemplo: 6,05310060%60 === La siguiente tabla relaciona los porcentajes más utilizados con una expresión fraccionaria y un número decimal

40% 52 0,4 50% 21 0,5 60% 53 0,6 %3266 32 6,0 75% 43 0,75 80% 54 0,8 87,5% 87 0,875 100% 11 1 150% 23 1,5 Porcentaje Fracción Nº decimal 1% 1001 0,01 10% 101 0,1 12,5% 81 0,125 20% 51 0,2 25% 0,25 30% 103 0,3 %3133 31 37,5% 83 0,375 41 3,0

a% significa tomar “a” partes de un total de 100 partes , esto se expresa por medio de una fracción como 100a


CALCULO DE PORCENTAJES( % ) I. El a% de una cantidad Se calcula del modo siguiente : 100100% xax

axdea =•⇒ Ejemplos : 1) 04,14100522752%27 =

•=de 2) El 80%60 de se puede calcular como: 481008060

=• , o como 488053 =• o también como 48806,0 =• Cualquiera de las tres formas nos da el mismo resultado. II. ¿Qué % es x de una cantidad a? Se calcula del modo siguiente :

a

x 100• Ejemplo: 1) ¿Qué porcentaje es 35 de 140? %2514010035=

• 2. ¿Qué porcentaje de 240 es 80? %3,3324010080=

• III. ¿De qué cantidad a es el x%? Se calcula del modo siguiente x

a 100• Ejemplos: 1) ¿De qué cantidad 48 es el 40%? 1204010048=

• 2) ¿24 es el 18% de que cantidad? 3,1331810024=

• Debemos recordar que todos los problemas de porcentajes representan proporciones directas, por lo tanto cualquier ejercicio de porcentaje se puede plantear como una proporción.


Ejemplo: % cantidad 1) ¿Cuál es el 30% de 240? 100 240 7224030100=⇒= x

x 30 x 2) ¿Qué porcentaje es 48 de 288? % cantidad 100 288 %6,1648288100

=⇒= xx

x 48 3) ¿De qué cantidad 32 es el 20%? % cantidad 100 x 1603220100=⇒= x

x 20 32 AUMENTO Y DISMINUCIÓN PORCENTUAL Hay muchas situaciones donde una cantidad aumenta o disminuye en un porcentaje de si misma. Ejemplos de rebajas 1. En una tienda de línea blanca se anuncia que todos los precios están rebajados en un 20%. Si un refrigerador costaba $ 180.000, ¿Cuál será el precio después de la rebaja? Como la rebaja corresponde a un 20% de $180000 , el nuevo valor será : $180000 – 20% de $180000 , es decir $180000 - $36000 = $144000 Otra forma de resolver este tipo de ejercicios es : $180000x0,80= $144000 2. En la misma tienda, después de la rebaja de un televisor su valor es $ 240.000 ¿cuál era el valor original? Como la rebaja corresponde a un 20% entonces : 80% de x = $ 240.000 , es decir , X =$ 300.000 Si se resuelve aplicando el diagrama anterior , tenemos $240000 : 0,80 = $300.000 Ejemplos de aumento 1. El dueño de un negocio anuncia aumentará el sueldo a sus trabajadores en un 5% Si Francisco gana $ 56.0000 ¿cuál será su nuevo sueldo? $560000 + 5% de $56000 = $56000 + $28000 = $ 588000 2. Si María después del aumento gana $ 620.025 ¿cuánto ganaba antes del aumento? X + 5% de X = $ 620025 es decir X = $ 590500

X 0,80 Valor original Valor nuevo : 0,80


INTERÉS COMERCIAL INTERÉS SIMPLE: Es el que se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo que dure una inversión, se deben únicamente al capital inicial. La utilidad I producida al invertir $ C durante t meses con un interés simple mensual de i% es : 100CitI s = OJO: “Colegio Ingles Talca dividido por 100” Ejemplo 1 : Pedro deposita $ 100.000 por 6 meses a una tasa de interés simple del 8% anual, ¿cuál es el monto de su ganancia? C = 100.000 t = 6 meses = 0,5 años i = 8% luego 4000$10010000085,0

=••

=u Es importante notar que la tasa de interés y el período de la inversión deben estar en la misma unidad de tiempo. INTERÉS COMPUESTO: Es aquel que se obtiene por un capital al que se van agregando periódicamente los intereses. Para su cálculo aplicamos la siguiente formula: ni

cC

+= 1001 , donde : C = Capital final c= Capital inicial n = tiempo i = interés Ejemplo 2 : ¿Cuál es el capital obtenido por Juan si deposita $400.000 durante 4 meses con una tasa de interés compuesto del 4% mensual? 424,46794310041400000 4

=

+=C


LENGUAJE ALGEBRAICO Frase Expresión algebraica La suma de 2 y un número 2 + x (la "x" representa la cantidad desconocida) 3 más que un número x + 3 La diferencia entre un número y 5 x - 5 4 menos que n n - 4 Un número k aumentado en 1 k + 1 Un número z disminuido en 10 z - 10 El producto de dos números a y b a • b Dos veces la suma de dos números a y b 2 ( a + b) Dos veces un número sumado a otro 2a + b Cinco veces un número x 5x Ene veces (desconocida) un número conocido n multiplicado por el número conocido El cociente de dos números a b La suma de dos números x + y 10 más que n n + 10 Un número aumentado en 3 a + 3 Un número disminuido en 2 a – 2 El producto de p y q p • q Uno restado a un número “n” n – 1 El antecesor de un número”x” cualquiera x – 1 El sucesor de un número “x” cualquiera x + 1 3 veces la diferencia de dos números 3(a – b) 10 más que 3 veces un número 10 + 3b La diferencia de dos números a – b La suma de 24 y 19 24 + 19 = 43 19 más que 33 33 + 19 = 52 Dos veces la diferencia de 9 y 4 2(9 – 4) = 18 – 8 = 10 El producto de 6 y 16 6 • 16 = 96 3 veces la diferencia de 27 y 21 3(27 – 21) = 81 – 63 = 18 La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado 92 – 42 = 81 – 16 = 65 El cociente de 3 al cubo y 9 33 / 9 = 27 / 9 = 3 12 al cuadrado dividido por el producto 122 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = 1,5


de 8 y 12 Números pares consecutivos 2x, 2x+2, 2x+4, 2x+6, 2x+8 ..... Números impares consecutivos 2x+1, 2x+3, 2x+5, 2x+7, 2x+9 ..... Múltiplos de 5 consecutivos 5x, 5x+5, 5x+10, 5x+15, 5x+20, Semi-suma de dos números 2 yx + Semi-diferencia de dos números 2 yx − Media geométrica entre a y b ab El exceso de a sobre b a – b


NÚMEROS IMAGINARIOS: Si intentamos resolver la ecuación 012 =+x , nos encontraremos con la situación 12 −=x Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, ya que no existe un número real cuyo cuadrado sea negativo, por tal motivo se crea un nuevo tipo de números denominados “NÚMEROS IMAGINARIOS”, su característica principal es que al elevarlos al cuadrado dan como resultados un número negativo. La unidad imaginaria se simboliza por ""i y se define como: 12 −=i o 1−=i , es una solución o raíz de la ecuación 012 =+x Los números imaginarios se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir entre ellos o con números reales. Ejemplo: 32/6 2446 347 835=

−=•−=−=+

ii

ii

iii

iii POTENCIAS DE “i” Las potencias de la unidad imaginaria se obtienen a partir de las potencias básicas 10 =i y 12 −=i 1 11876543=

−=

−=

=

=

−=

i

ii

i

ii

i

ii Se puede observar que cada cuatro potencias se empiezan a repetir los resultados, por tal motivo las primeras cuatro potencias se llaman “potencias básicas de i o canónicas de i” Las potencias de “i” tienen módulo 4, lo que significa que para obtener una potencia de i con exponente mayor de cuatro debemos dividir el exponente por cuatro y el resto de la división será el nuevo exponente de i.

Ejemplo: 3127 ii = ya que al realizar la división 127:4 = 31 3/ En otras palabras 40, 04 <≤Ζ∈= ++ pynconii ppn De esto se desprende que: • 10 =i • La suma de cuatro potencias consecutivas de i es 0 • El producto de cuatro potencias consecutivas de i es -1 Esto permite calcular cualquier potencia de i utilizando este método. RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS Para todo número +∈ IRx , se tiene que: xixxx =•−=•−=− )1()1( Ejemplos: a) ii 333 ==− b) 7228 i=− CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS El conjunto de los números complejos (C) es aquel en que todos sus números tienen la forma bia + , en donde bya son números reales. El conjunto de los números complejos es una extensión del conjunto de los números reales. Los números complejos generalmente se simbolizan por la letra "" z , pudiendo ser otra letra. Todo número complejo tiene una parte real y otra imaginaria, si se tiene el complejo

biaz += , entonces la parte real de z es ""a y la parte imaginaria de z es ""b , lo que se denota de la siguiente forma: az =)Re( biaz += bz =)Im( El conjunto de los números reales se puede considerar como el conjunto de todos los número de la forma: ia 0+ , denominados reales puros. A los números de la forma : bi+0 , se les denomina imaginarios puros. Ejemplo: iz 03 +−= , Real puro iz 40 −= , Imaginario puro


EXPRESIÓN BINOMIAL Y CARTESIANA DE UN COMPLEJO Cualquier número complejo bia + se puede considerar como un par ordenado ( )ba , de números reales, donde la primera componente es un número real y la segunda componente el coeficiente de la unidad imaginaria, es decir: Si biaz += , se denomina “expresión binomial” Si ( )baz ,= , se denomina “expresión cartesiana” Ejemplo: Expresión binomial expresión cartesiana i35 − ( )3,5 − IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS Dos números complejos son iguales si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias también. biaz +=1 y dicz +=2 , entonces: 21 zz = si : dbyca == Ejemplo: Hallar el valor de “x” e “y”, si se tiene que iz 821 −= y iyxz )4(2 −+= , además se sabe que 21 zz = De lo anterior se desprende que: 2=x , 84 −=−y , de donde 4−=y REPRESENTACIÓN GRAFICA DE NÚMEROS COMPLEJOS Los complejos se representan gráficamente en el plano de ARGAND, mediante un vector, de origen )0,0(O y un punto ),( baA , en el eje de las abscisas se ubica la parte real y en el eje de las ordenadas la parte imaginaria. Ejemplo: iz 531 += Eje imaginario 5 Eje real 3


Y X P R Q O Z1 + Z2 Z1 Z2

ADICIÓN/SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Sean biaz +=1 y dicz +=2 , luego idbcazz )()(21 +++=+ Sean biaz −=1 y dicz −=2 , luego idbcazz )()(21 +−+−=− Ejemplos: Si iz 641 +−= y iz 8122 += , entonces iizz 148)86()124(21 +=+++−=+ Si iz 531 −= y iz 412 += , entonces iiizz 92)41()53(21 −=+−−=− REPRESENTACIÓN DE LA ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Dados dos números complejos 1z y 2z : 1) La adición 21 zz + queda representada en un plano de ARGAND por la diagonal del paralelogramo cuyos lados son los vectores 1z y 2z 1zOP = 21 zzOR += 2zOQ =


X Y -Z2 Z2 Z1 - Z2 Z1 T P S O

La sustracción 21 zz − , queda representada por la suma de con el opuesto del vector 2z , es decir, )( 21 zz −+ 21 zzOT −= 2zOS −= El neutro aditivo es el complejo i00)0,0( += El inverso aditivo de Z es –Z. Si Z = a + bi, entonces –Z = -a - bi MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO Si biaz +=1 , entonces el módulo de z es z , tal que 22 baz += El módulo o valor absoluto de un complejo equivale a la longitud o magnitud del vector que representa al número complejo en el plano de ARGAND El módulo de todo complejo distinto de cero es positivo. Ejemplo: Si iz 125 += , entonces 13125 22 =+=z

1z1zOP =


CONJUGADO DE UN COMPLEJO Dos números complejos se dicen conjugados , si solo tienen distinto el signo de la parte imaginaria. Si biaz += , entonces el conjugado de z es z , tal que biaz −= En el plano de ARGAND todo numero complejo y su conjugado son simétricos respecto del eje real. El conjugado del conjugado de un complejo es el mismo complejo, zz = Los módulos o valores absolutos de zyzzz −−,, son iguales. Ejemplo: El conjugado del complejo i37 + , es i37 − MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS Para multiplicar dos números complejos escritos en forma binomial se puede realizar la multiplicación término por término, es decir: Si biaz +=1 y dicz +=2 , entonces: 221 ))(( dibcbidiacadicbiazz •+•+•+•=++=• , reemplazando 2i por -1 y ordenando se obtiene: ibcaddbcazz )()(21 ++•−•=• , en forma binomial o ),(21 cbdadbcazz •+••−•=• , en forma cartesiana. El neutro multiplicativo es el complejo )0,1( o 101 =+ i Ejemplo: Si ia 22 −= y ib 45 +−= , entonces iba 182 +−=• en forma binomial o )18,2(−=•ba , en forma cartesiana.

1z =(a, b) 1z =(a, -b)


RECIPROCO DE UN COMPLEJO Si se tiene el complejo biaz += , su reciproco o inverso multiplicativo es: biaz

z+

==− 111 , para obtener el reciproco de un complejo se debe racionalizar el denominador por el conjugado de este, es decir debemos amplificar por su conjugado. Ejemplo: Si iz 53−= , entonces 1−z es : i

i

i

i

i

i

iz 3453433453259 5353 5353 1 21 +=

+=

−+

=++

•−

=− Recuerda que al multiplicar 1−• zz su resultado es 1. El elemento (0 , 0) no tiene inverso. Otra forma de obtener el inverso multiplicativo de un complejo biaz += , es aplicando la siguiente formula: 22221ba

bi

ba

az

+−

+=− DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Si biaz +=1 y dicz +=2 , donde 2z es distinto de cero, entonces 21zz se obtiene amplificando por el conjugado de 2z Ejemplo: Si iz 431 −= y iz 222 −= , entonces :

iii

i

iii

i

i

i

i

i

i

z

z 4147828148 21444 886622 2222 4322 43 2 221 −=−=−

=−

−−+=

++

•−−

=−−

=


Término algebraico Un término algebraico es el producto de una o más variables y una constante literal o numérica. Ejemplos i) 3a ii) 5xy2 iii) -2mnp iv)

•z yx21 A su vez, en todo término algebraico podemos distinguir: coeficiente numérico y factor literal Ejemplos Término Coeficiente Factor literal a2b 1 a2b -5a3c2d -5 a3c2d Grado de un término algebraico: es el mayor exponente del factor literal, ejemplo: y2 = grado 2 2mnp = grado 3(se suman los exponentes) x4 = grado 4 Expresiones algebraicas Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición o sustracción, uno o más términos algebraicos. Ejemplos Expresión algebraica i) 32 ab2 – 5ab + 6c ii) 5x4 + x3 – 4x - 6 En las expresiones anteriores se distinguen tres y cuatro términos respectivamente. Grado de una expresión algebraica: Es el mayor grado de sus términos, ejemplos: 5x4 + x3 – 4x – 6 = grado 4 –2a - 3b2= grado 2 Monomios, binomios, trinomios, multinomio Según el número de términos de que consta una expresión algebraica se denomina monomio, binomio, trinomio o multinomio Monomio : Sólo un término algebraico Binomio : dos términos algebraicos Trinomio : tres términos algebraicos Multinomio : cuatro o más términos algebraicos


Ejemplos: Monomio Binomio Trinomio Multinomio 2x 3x – 4y x + y + z 3a2b – 5cd – 8a + 9f a2bc4 –2a - 3b2 x2 – xy + y2 x5 – y2 + 2z - 43 xy3 Valoración de Expresiones Algebraicas Valorar una expresión algebraica significa asignar un valor numérico o literal a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final. Ejemplos i) Valoremos la expresión 5x2y – 8xy2 – 9y3, considerando que x = 2; y = -1 En primer lugar, debemos reemplazar cada variable por el valor asignado, y distinguir los valores negativos con un paréntesis. 5x2y – 8xy2 – 9y3 = 5 • 22• (-1) – 8 • 2 (-1)2 – 9 • (-1)3 = -27 Reducción de Términos semejantes Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que tienen igual factor literal. Ejercicio: i) Al reducir los términos semejantes de la expresión xy2 – x2y – x2y2 – 5x2y + 2(xy)2 – 3xy2 se obtiene: Uso de Paréntesis En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Si un paréntesis es precedido por un signo positivo, éste se puede suprimir sin variar los signos de los términos que están dentro del paréntesis. Si un paréntesis es precedido por un signo negativo, lo podemos suprimir cambiando los signos de los términos que están dentro del paréntesis. Ejercicio: i) Al suprimir los paréntesis de y - {-y -[ -y -( -y -(-y +x ) - x) + x] -x} -3x se obtiene: Multiplicación de Monomios Para multiplicar dos o más monomios i) Se multiplican los coeficientes numéricos, luego ii) Se multiplican los coeficientes literales (potencias de igual base)


iii) 3ab2• -4a3b = 3 • -4 • a • a3• b2• b = -12 a4 b3 Multiplicación de Monomio por polinomio: El monomio multiplica a cada término del polinomio Ejercicio:3x y • (2x – 3y – 2xy2 – 1) =? Multiplicación de polinomios: Cada término del primer polinomio multiplica a cada término del segundo polinomio. Ejercicio: (3x – 1) (2x + 3 – x2) =? PRODUCTOS NOTABLES/FACTORIZACION ∗ Cuadrado de binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ∗ Suma por su diferencia: (a + b) (a – b) = a2 – b2 ∗Producto de binomios: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab Con un término en común ∗Cubo de binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 ∗ Cuadrado de trinomio: (a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac (a – b – c) 2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc - 2ac ∗Suma de cubos: (a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3 ∗ Diferencia de cubos: (a – b) (a2 + ab + b2) = a3 – b3


RAÍCES Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces n a es el único real b, no negativo, tal que nb = a , 0b,abba nn ≥=⇔= Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces n a es el único real b, tal que: nb =a , Rb,abba nn ∈=⇔= OBSERVACIONES 1. Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces n a NO ES REAL 2. La expresión n ka , con a real no negativo, se puede expresar como una de exponente Fraccionario: nkn k aa = 3. ,aa2 = para todo número real OPERACIONES CON RAICES 1.Adición de raíces: Dos o más raíces se pueden reducir a un término si tienen igual Índice e igual cantidad subradical nnnnn a4aaaa =+++ Ejemplo: 2 + 2 + 2 = 23 2. Raíz de un producto: Caso 1: La raíces tienen igual índice: n ba • = nn ba • , donde a y b son reales positivos. Ejemplo: 3 278 • = 632278 33 =•=• Caso 2: La raíces tienen distinto índice: mn ba • En este caso se amplifican los índices y las potencias para que nos quede nm nnm m ba • = nm nmba Ejemplo: 12 9812 912 84 33 2 323232 •=•=•


3.Raíz de un cuociente: nnn b:ab:a = o bien nnn baba = Donde a y b son reales positivos. Ejemplo: 51225:14425:144 == 4. Racionalización: Caso 1: bk a se amplifica por b Ejemplo: 22222222 ==• Caso 2: n mba se amplifica por n mnb − Ejemplo: 555 555 35 35 2 82822822222 ===• Caso 3: cba±

se amplifica por cb m Ejemplo: )25(645 )25(625 25256+=

−+

=++

•−

Caso 4: cb a+

se amplifica por cb − Ejemplo: 2 3410 3520515 75220515 515515 515 −=

−=

−−

=−−

•+−


Caso 5: baa+se amplifica por ba − o por ba + Ejercicio: 32 32

−

+ = Caso 6: dcb a++

se amplifica por dcb −+ Ejercicio: 532 1+−

= Caso: 7 33 cb a+

se amplifica por 3 2b - 3 bc + 3 2c Ejercicio: 33 32 1+

= 5. Producto de un real por una raíz: k n nn aka = Ejemplo: 33 33 243232 =•= 6. Raíz de una raíz: mnn m aa •= Ejemplo: 44 33 813333 =•=


ECUACIONES Una ecuación es una igualdad condicionada en la que aplicando operaciones adecuadas se logra despejar (aislar) la incógnita. Cuando una ecuación contiene fracciones, puede escribirse en una forma más sencilla si se multiplican ambos miembros de la igualdad por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación que no contenga fracciones. Para resolver un problema debemos seguir los siguientes pasos: Paso 1: Leer con atención el problema. Paso 2: Anotar los datos del problema. Paso 3: Distinguir cuál es la pregunta del problema y representar ese dato desconocido por un literal (letra). Paso 4: Con los datos del problema escribir una ecuación. Paso 5: Resolver la ecuación. Paso 6: Comprobar si el resultado está de acuerdo con los datos. PROBLEMAS CON FRACCIONES Son problemas en que se pide calcular la parte de un todo, es decir, una fracción de un número. La fracción ba de un número x se calcula multiplicando ba por x. PROBLEMAS DE DÍGITOS Para este tipo de problemas debemos recordar que en el sistema decimal un número de la forma x y z queda representado por 012 101010 •+•+• zyx PROBLEMAS DE EDADES En estos problemas conviene representar las edades de los personajes con letras diferentes indicando en una línea del tiempo o en una tabla, sus edades pasadas, presentes o futuras, según corresponda: Edad pasada (hace b años) Edad Actual Edad futura (dentro de c años) x - b x x + c y - b y y + c


ECUACIONES LINEALES La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1) y B(x2, y2), se determina mediante la expresión: 212212AB )yy()xx(d −+−= Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB son PENDIENTE DE UNA RECTA Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)

RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA Sea “α” el ángulo de inclinación y sea m la pendiente de la recta L. Entonces: (α= 0º) si y sólo si (m = 0) (0º <α<90º) si y sólo si (m >0) L es paralela al eje x L tiene pendiente positiva (α= 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º<α<180º) si y sólo si (m <0) L es paralela al eje y L tiene pendiente negativa ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE La ecuación de la recta que pasa por un punto (x1, y1) y cuya pendiente es m es CASO PARTICULAR: Si el punto dado está sobre el eje y, llamando n a su ordenada, la ecuación anterior se escribe: Ecuación principal de la recta, n: coeficiente de posición ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS La ecuación de la recta que pasa por dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) es


ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Toda ecuación lineal de la forma donde Ax + By + C = 0 con constantes reales y los números A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta. Si se despeja y en función de x se obtiene la ecuación principal: BCnyBAmdondeBCxBAy −=

−=

−+

−= RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 1). Entonces: RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. Sean L1 y L2 rectas de pendientes m1 y m2 respectivamente (fig. 2). Entonces: SISTEMAS DE ECUACIONES Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales. La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es: Ax + By = C Dx + Ey = F donde A, B, C, D, E y F son números reales. Se denomina solución del sistema a todo par (x, y) que satisfaga simultáneamente ambas ecuaciones.


OBSERVACIÓN: Cada ecuación de un sistema de ecuaciones, representa una línea recta en un sistema de ejes coordenados. MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RESOLUCIÓN GRÁFICA: Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se representan ambas rectas en un sistema de ejes coordenados, con lo cual surge una de las siguientes posibilidades. i) Las rectas se intersectan en un punto, cuyas coordenadas (a, b) es la solución del sistema (figura 1). ii) Las dos rectas coinciden, dando origen a infinitas soluciones (figura 2). iii) Las dos rectas son paralelas (no se intersectan), por lo tanto no hay solución (figura 3). 21 LL ∩ 2121 LLLL ==∩ =∩ 21 LL ∅ (Vacío) RESOLUCIÓN ALGEBRAICA: Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo dos de ellos: sustitución y reducción. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN: Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita. MÉTODO DE REDUCCIÓN: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.

ANÁLISIS DE LAS SOLUCIONES DE UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS Sea el sistema:

=+

=+ 222 111 cybxa cybxa Entonces: * El sistema tiene solución única (rectas secantes) si: 2121 bbaa ≠ * El sistema tiene infinitas soluciones (rectas paralelas coincidentes)si: 212121 ccbbaa == * El sistema no tiene solución (rectas paralelas) si: 212121 ccbbaa ≠= DESIGUALDADES Llamaremos desigualdades a expresiones de la forma a>b, a < b, a ≥ b ó a ≤ b. las desigualdades cumplen con las siguientes propiedades: Propiedad 1: Si a los dos miembros de una desigualdad se suma un mismo número, el sentido de la desigualdad no cambia Si a, b, c son números reales y a < b, entonces a + c 0, entonces ac<bc Propiedad 3: Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo, el sentido de la desigualdad cambia. Si a, b, c son números reales tales que abc

INTERVALOS Intervalo abierto: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b. se simboliza por ] [b,a Intervalo cerrado: es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b, incluidos ambos. Se simboliza como [a,b] Intervalo semiabierto por derecha: Se llama así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que incluye al extremo apero excluye al extremo b. se simboliza por: [ [b,a Intervalo semiabierto por izquierda: Se denomina así al conjunto de números reales comprendidos entre a y b, que excluye al extremo a pero incluye al extremo b. se simboliza por: ] ]b,a • En el gráfico, los puntos extremos se indican con circunferencias para dar la idea (en este caso) de que dichos puntos no se consideran como parte del intervalo ] [ { }bxa/Rxb,a <<∈= • En el gráfico, los puntos extremos se indican con círculos para señalar, en este caso, que dichos puntos pertenecen al intervalo [ ] { }bxa/Rxb,a ≤≤∈= • Este intervalo también se denomina semicerrado por izquierda [ [ { }bxa/Rxb,a <≤∈= • Este intervalo también se denomina semicerrado por derecha ] ] { }bxa/Rxb,a ≤<∈=

Colegio Inglés Talca 40 INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Son desigualdades que se pueden reducir a una de las formas siguientes: ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0, ax + b > 0 ó ax + b < 0, y que son verdaderas para un conjunto de valores de la incógnita x, el cual se llama conjunto solución de la inecuación. Este conjunto se puede representar mediante la notación de conjunto, intervalo o gráfica

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES 1. Una desigualdad no varía su sentido, si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: a 0 a 0 a · c b · c a/c > b/c Las inecuaciones lineales con una incógnita se resuelven de la misma forma que una ecuación lineal, sólo tenemos que aplicar las propiedades de las desigualdades. Ejemplo: a) 12 1682 8162≤

+≤≤−

x

x

x Su resultado puede ser representado en forma grafica: 12 Utilizando intervalos: ] ]12,∞− O por medio de notación conjuntista: { }12/ ≤∈ xIRx c) Si la inecuación contiene valor absoluto se puede resolver como una desigualdad doble. Ejemplo: 31634 3:/1634 6/106310 1063≤≤

−≤≤−

+≤−≤−

≤−

x

x

x

x ●

Soluciones: Grafica: 34− 316 Intervalo:

− 316,34 Conjunto:

≤≤

−∈ 31634/ xIRx SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Es un sistema formado por dos o más inecuaciones de primer grado con una incógnita. El conjunto solución del sistema es la intersección de los conjuntos de cada inecuación. Si S1, S2,….,Sn son los conjuntos solución de cada inecuación y S es el conjunto solución del sistema, entonces: n321 S....SSSS ∩∩∩= Para resolver sistemas de inecuaciones lineales se debe resolver cada inecuación por separado e intersectar los intervalos resultantes; es decir, se debe hallar el conjunto de números que pertenezca a ambos intervalos: Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones: En el primer sistema de inecuaciones multiplicamos por 3: (propiedad 2) x – 2 > 3 /+2 (propiedad 1) x > 5 En el segundo sistema de inecuaciones multiplicamos por –2 (propiedad 3) x – 3 < 6 / + 2 (propiedad 1) x < 9 Por lo tanto las soluciones son: x > 5 y x < 9. Gráficamente tenemos entonces la siguiente situación: Por lo tanto los números reales que cumplen ambas condiciones corresponden a todos los números comprendidos entre 5 y 9. Si traducimos lo anterior a intervalo, tenemos que:] 5 , 9 [

● ●

PROBLEMAS DE INECUACIONES En estos problemas aparecen expresiones que hay que traducir a los símbolos <, >, ≥ó ≤, tales como: “a lo menos” (≥), “cuando mucho” (≤), “como mínimo” (≥), “como máximo (≤), “sobrepasa” (>), “no alcanza” (<), etc. Una vez planteada la inecuación o sistema de inecuaciones, se determina el conjunto solución, y al igual que en los problemas de ecuaciones hay que fijarse en la pregunta del problema. LOGARITMOS A la función “ y = log b x” con x ∈ IR+ y b ∈ IR+ - { 1} se le llama función logarítmica y se define como by = x Observación: Si la base es 10; se escribe xy log= , no se escribe el 10 Si la base es e; se escribe xxy e lnlog == , no se escribe e log 10 = 1 log 0,1 = -1 log 100 = 2 log 0,01 = -2 log 1000 = 3 log 0,001 = -3 …………………………………….. Propiedades 1) Logaritmo de la unidad : 01log =b 2) Logaritmo de la base del sistema: 1log =bb 3) Logaritmo de una potencia: xnx b

n

b loglog •= 4) Logaritmo de una raíz: xn

mx b

n m

b loglog = 5) Logaritmo de un producto: ( ) yxyx bbb logloglog +=• 6) Logaritmo de un cuociente: yxy

xbbb logloglog −=

7) Potencia de un logaritmo: yxyx =log 8) Logaritmo cambio de base, si c = 10 se tiene:

b

aa

c

c

b logloglog = 9) La función logarítmica es inyectiva, luego si: yxyx bb =→= loglog


SISTEMAS DE ECUACIONES DE 2X2 Un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas se representa de la siguiente forma: fbycx

ebyax

=+=+ Resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas geométricamente, es encontrar un punto ( )yx, de intersección entre dichas rectas. Por tal motivo un sistema puede tener: Una solución: cuando las rectas se intersectan, Es decir son secantes Ninguna solución: si las rectas son paralelas Infinitas soluciones: cuando las rectas son paralelas coincidentes. Para resolver un sistema de ecuaciones algebraicamente existen cuatro métodos: 1. Sustitución 2. Igualación 3. Reducción 4. Cramer El método más utilizado es el de Reducción, para su aplicación se realizan los siguientes pasos: a) Se amplifica o simplifica cada ecuación para obtener el mismo coeficiente en las incógnitas b) Se restan o suman las ecuaciones de manera de eliminar una de las variables. c) Se resuelve la ecuación resultante. d) Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo una de las ecuaciones. Ejemplo: 6423 8032=−=+

yx

yx 12846 24036=−=+

yx

yx

Una solución, sistema compatible. No hay solución, sistema incompatible.

Infinitas soluciones, sistema compatible indeterminado

23••


Restando se obtiene: 1127 =y , de donde 16=y . Reemplazando este valor en alguna de las ecuaciones se obtiene 32=x ECUACIONES 1. ECUACIONES LINEALES SIMPLES Son ecuaciones de la forma : 0,0 ≠=+ abax ,donde bya son números reales Ejemplo: 7321 1833 3183=

=

+==−

x

x

x

x 2. ECUACIONES LITERALES Son aquellas donde la solución queda expresada en función de letras Ejemplo: qpqxpx +=− , donde qyp son distintos de cero, 0≠− qp

( )

qp

qpx

qpqpx

−+

=

+=− 3. ECUACIONES CON PRODUCTOS NOTABLES Pueden ser de cualquier tipo. Para resolverlas se deben desarrollar los productos notables y luego aplicar la resolución correspondiente Ejemplo: ( ) ( )( )413134 944 332 22 2

−=

−=−=++

+−=+

x

x

xxx

xxx


4. ECUACIONES FRACCIONARIAS Son aquellas que contienen expresiones fraccionarias. Para resolverlas se debe multiplicar por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Ejemplo: 6 122 1862 61864 12/214 623=

−=−−=−

=+−

•=−

−

x

x

x

xx

xx 5. ECUACIONES CUADRÁTICAS Son aquellas en que el máximo exponente de la variable es 2. Para resolverlas se puede aplicar factorización, completación de cuadrados o fórmula. Su forma general es 02 =++ cbxax , donde cba ,, son reales distintos de cero. Si carece del término libre (c) o del que acompaña a la variable x ( b) se denomina incompleta. Su formula de resolución es : a

acbbx 2 42 −±−

= Ejemplo: Por factorización ( )( )51 051 056212 −=

−==++

=++

x

x

xx

xx Por fórmula 52 46 12 462 46 12 51466 056

2122

−=−−

=

−=+−

=

±−=

•••−±−

=

=++

x

x

x

x

xx

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN DE 2º GRADO 1. Discriminante: En la fórmula general a2 ac4bbx 2 −±−= que permite la resolución de cualquier ecuación de segundo grado con una incógnita, la expresión subradicalb2 – 4ac recibe el nombre de discriminante. El discriminante determina a que conjunto pertenecen las raíces o soluciones de la ecuación. D = ∆ = b2 – 4ac D = ∆ = discriminante 2. Naturaleza de las raíces de la ecuación de segundo grado. i) Si b2 – 4ac > 0 las raíces son reales y distintas. ii) Si b2 – 4ac = 0 las raíces son reales e iguales. iii) Si b2 – 4ac < 0 las raíces son complejas conjugadas x1 = a + bi, x2 = a - bi 3. Propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado Si x1 y x2 son las raíces o soluciones de la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0 entonces i) Propiedad de la suma de las raíces: abxx 21 −

=+ ii) Propiedad del producto de las raíces: x1• x2 = ac iii) Determinación de la ecuación de segundo grado conociendo sus raíces. Las dos propiedades anteriores nos permiten determinar la ecuación de segundo grado cuyas raíces son: x1 y x2 x2 – (x1 + x2) x + x1• x2 = 0 (x – x1) (x – x2) = 0


Ejemplos: 1.¿Qué valor debe tener k en la ecuación: 01252 =+− kxx , para que sus raíces sean reales e iguales? Formamos el determinante, es decir: ( ) 5342548 04825 012145 2 2==

=−

=••−−

k

k

k 1. ¿Cuál es la ecuación de segundo grado en que la suma de sus raíces es 43 y su producto es 56 ? Como: 56 4321 21==•

=−

=+

a

cxx

a

bxx ,luego debemos amplificar para igualar denominadores: 20242015

=

=−

a

c

a

b Entonces 24,15,20 =−== cba por lo tanto la ecuación es: 0241520 2 =+− xx 6. ECUACIONES EXPONENCIALES Son aquellas donde la incógnita se encuentra en el exponente. Para resolverlas se deben igualar la bases y luego se igualan los exponentes, resolviendo la ecuación obtenida. Ejemplo: 16 1643 22 168 1643 4=

−==

=−

−

x

xx

xx

xx


7. ECUACIONES IRRACIONALES Son aquellas donde la incógnita es una cantidad subradical. Por ejemplo 242 −=− xx . Para resolverlas se elimina la raíz elevando toda la ecuación al índice de ella. En nuestro ejemplo al cuadrado ( )24 086 4442 /242

212 2 2==

=+−

+−=−

−=−

x

x

xx

xxx

xx Estas soluciones deben comprobarse en la ecuación original. Para ver si satisfacen a la ecuación. Si así es, son soluciones, en caso contrario su solución es vacía ( φ ) 8. ECUACIONES LOGARITMICAS Son aquellas donde la incógnita se encuentra acompañada de logaritmo. Para resolverlas se aplican las propiedades de los logaritmos dejando en ambos lados de la ecuación un solo logaritmo. Ejemplos: a) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )( ) ( )10414110 3612152 653 6log53log 6log25log3log 22 2 2=

=+−=−−

−=−+

−=−+

−=−++

x

x

xxxx

xxx

xxx

xxx Siempre se debe comprobar la solución, ya que no se puede calcular el logaritmo de un número negativo. b) ( ) ( )

( ) 3log2log 2log33log5 2log33log53log2log 2log33log53log2log 3log53log2log32log 3log52log3 3log2log log/32 53 53−−

=

−=−−=−+=+

+=+=

=++

++

x

x

xx

xx

xx

xx

xx


c) También se aplican a la resolución de problemas: despejar x en la siguiente formula que indica la presión atmosférica 21,0 7,14lnln 1ln,21,07,14ln ln21,07,14ln ln7,14ln ln/7,14 7,14 21,021,0 21,0

−−

=

=−=

−=

=

=

=

−

−

−

px

equeyaxP

exP

eP

eP

eP

x

x

x FUNCIONES REALES CONCEPTO DE FUNCIÓN: Se llama función de A en B a una relación de A en B que cumple las siguientes propiedades: 1) dom f = A, es decir todo elemento de A tiene imagen en B 2) Si y1 = f (x) e y2 = f (x) ⇒ y1 = y2 Quiere decir que cada elemento de A tiene una y sólo una imagen en B. Si f es una función de A en B se anota f : A → B El conjunto A se llama dominio y el conjunto B se llama recorrido. Si (x,y) ∈ f se anota y = f (x) , esto es: (x, y) ∈ f ⇔ y = f (x) y se llama imagende x x se llama preimagen de y


Ejemplos de funciones: 1. 2. 3. Ejemplo de NO funciones 1. 2. 3. DEFINICIÓN: Sea f una función de A en B se definen dominio de f (dom f) y recorrido de f (recf ) i) dom f = { x ∈ A / ∃ y ∈ B que es imagen de x } ii)rec f = { y ∈ B / ∃ x ∈ A que es preimagen de y } Ejemplos: En cada caso determinar el dominio de las funciones reales; debemos buscar aquellos valores que hacen cero el denominador o los que originan una cantidad subradical negativa en las raíces de índice par: i) f (x) = x1 Dom f = IR - { 0 } iii) h (x) = ( )( )2x3x 1x2−−

+ Dom h = IR - { 3,2} ii) f (x) = 1x x−

Dom f = IR - { 1 } iv) g (x) = 3x + Dom g = IR 3−≥ Para evaluar una función reemplazamos el valor de x en la función: 1. Si f(x) = x2 – x y g(x) = x – 1 entonces el valor de )2(g )1(g)2(f − es: 112 )12()22( 2=

−−−− 2. Si f(x)= 2x2+1 , para x > 1 x-4 , para x ≤ 1 entonces se afirma que: I) f(2) = 9 II) f(0) = 1 III) f(-1) = -5 , en este caso es verdadera I y III.

a• b• c• •x •y •z •w a• b• c• •x

•y •z •w a• b• c• •x

•y •z •w

a• b• c• •x •y a• b• c• •x

•y •z •w a• b• c• •x

•y •z •w


TIPOS DE FUNCIONES Las funciones inyectivas: Son aquellas en que ningún elemento del recorrido es imagen de más de un elemento del dominio, es decir, no existen dos o más pre imágenes que vayan a dar a la misma imagen Las funciones sobreyectivas: también conocidas como epiyectivas, son todas aquellas en que todos los elementos del recorrido Son imágenes de a lo menos Un elemento del dominio, Es decir, el codominio es igual al recorrido. Las funciones biyectivas : son todas aquellas que son inyectivas y sobreyectivas al mismo t iempo, es decir, cada imagen tiene una y solo una preimagen y no existen elementos del codominio que no tengan preimagen.


FUNCIÓN PRODUCTO COMPOSICIÓN: Sea “ƒ” una función de A en B, sea “g” una Función de B en C: f g x → f (x) → g (f (x)) Sea a ∈A; su imagen ƒ(a) está en B, que es el dominio de definición de g. De acuerdo con esto, se puede encontrar la imagen de ƒ(a) por la aplicación g, es decir, se puede hallar g(ƒ(a)). Así se tiene, pues, que a cada elemento a ∈A se hace corresponder un elemento g(ƒ(a)) ∈ C. En otras palabras, se tiene una función de A en C. Esta nueva función se llama función producto composición, o simplemente función producto de ƒ y g y se denota por: (g o ƒ) o (gƒ) Ejemplo f(x) = 2x-1 g(x) = x2+3 (fog) (4) = f (g (4)) = f (19) =37 FUNCIÓN INVERSA: Seaƒ una función de A en B, y sea b ∈B. Entonces la imagen recíproca de b, que se denota por ƒ-1(b) consiste en los elementos de A que están aplicados sobre b, esto es, de aquellos elementos de A que tienen a “b” por imagen. Dicho más brevemente: siƒ : A → B, entonces: ƒ-1 (b) = { x |x∈ A, ƒ(x) = b}. Nótese queƒ-1(b) es siempre un subconjunto de A. Se lee ƒ-1 (ƒ recíproca). Ejemplo: Sea la función ƒ: A → B definida por el diagrama A B a ƒ x b y c z f--1 (y) =a Ejemplo: Determinar la función inversa de las siguientes funciones: i) y = 3x + 5 se debe despejar x, por lo tanto 3 5)(1 −=− x

xf ii) 452)(−+

=x

xxf en este caso al despejar x nos queda: 254)(1

−+

=−

x

xxf

A B C

FUNCIONES ELEMENTALES EN IR • FUNCIÓN CONSTANTE: Si c es una constante real, la función f : IR →IR definida por: f(x) = c se denomina función constante. • FUNCIÓN AFÍN: Es toda ecuación lineal de la forma: nmxy +=no pasa por el origen • FUNCIÓN LINEAL: Son aquellas que están representadas por ecuaciones de la forma mxy = , donde m debe ser distinto de 0. Estas ecuaciones pasan por el origen. • FUNCIÓN POR TRAMO: 442 ≤+ xsix

=)(xf 104,3 <<− xsix 10,5 ≥xsi

Y X c y = f(x) = c Y X

X Y Y=mx X 10 4 -1 -6

4 -2 • •

o o

12 5

• FUNCIÓN PARTE ENTERA La función parte entera de x asocia a x el mayor entero que es menor o igual a x. Ejemplos: [1,4] = 1 [-2,6] = -3 Este gráfico también recibe e • FUNCIÓN SIGNO La función signo se define como y = a los número positivos y • FUNCION RAIZ CUADRADA = ,)( xxxfEn matemáticano negativo que, multiplicado con sí mismo, da por “ x ”. 55

FUNCIÓN PARTE ENTERA La función parte entera de x asocia a x el mayor entero que es menor o igual a x. Ejemplos: [1,4] = 1 gráfico también recibe el nombre de función FUNCIÓN SIGNO La función signo se define como y =

x

x , de forma que hace corresponder el valor 1a los número positivos y -1 a los negativos. Se puede expresar : RAIZ CUADRADA +∈ 0IRx matemática, la raíz cuadrada de un número realno negativo que, multiplicado con sí mismo, da

La función parte entera de x asocia a x el mayor entero que es menor o igual a x. l nombre de función escalonada. , de forma que hace corresponder el valor 11 a los negativos. Se puede expresar :

número real no negativo “x” es el número real no negativo que, multiplicado con sí mismo, da x. La raíz cuadrada de 1 -1 X Y

Colegio Inglés Talca

La función parte entera de x asocia a x el mayor entero que es menor o igual a x. , de forma que hace corresponder el valor 1

es el número real . La raíz cuadrada de x se denota


Es una función cuyo dominio es el conjunto de los reales positivos con el cero y el recorrido es el conjunto de los números reales, Ejemplos: 1. Si tenemos la función 3x + , su grafica será: 2. La gráfica de la figura , muestra las tarifas de conexión a Internet de dos empresas, A y B, en donde sus intersecciones con el eje Y son los respectivos cargos fijos. De acuerdo al gráfico podemos afirmar que: I) El costo por hora de uso es más alto en la empresa A que en la B. II) El costo por hora de uso en la empresa B es 12 pesos mayor que el respectivo costo en la empresa A. III) Por un consumo mayor que 100 horas es más económica la empresa A que la B. Es (son) correcta(s) A) Sólo III B) Sólo I y III C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III La alternativa correcta es D 3. ¿Cuál de las siguientes figuras representa la gráfica de las rectas: x – y – 3 = 0 y 3x + 2y + 6 = 0? A) B) C) D) E) La alternativa correcta es D 100 2.400 3.600 6.000 x horas

y A B (pesos) -3 2 2 x y -3 2 -2 x y 2 3 3 x y -2 3 - x y -2 -3 3 2 x y

-3 x y

4. El gráfico, de la figura, corresponde a la función A) f(x) = 1x + 2

B) f(x) = 3x + 2

C) f(x) = [x – 1] D) f(x) = [-x] + 1 E) f(x) = [x] + 1 La alternativa correcta es E FUNCIÓN CUADRÁTICA FUNCIÓN CUADRÁTICA: Sean a, b ∧ c números reales, a ≠ 0. La función y = f(x) : IR →IR definida por: f(x) = ax2 + bx + c se denomina función cuadrática o de segundo grado. GRÁFICO DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática está representada gráficamente por una parábola. Concavidad: El sentido de la concavidad depende del signo del coeficiente “a” en la función. Si a ∈ IR+, la concavidad es hacia arriba. Si a ∈ IR- , la concavidad es hacia abajo. CEROS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Son los puntos donde la gráfica de la función intersecta al eje x. Para determinar estos puntos hacemos y = 0, obteniéndose la ecuación ax2 + bx + c = 0 cuyas soluciones indican los puntos de intersección con el eje x. La intersección con el eje X se determina haciendo Y = 0 obteniéndose: (x1, 0) y (x2, 0)

Y X a> 0 Y X a< 0 a> 0 a< 0 x1 x2 x1 x2 X Y

-2 -1 1 2 x y 1 2

La intersección con el eje Y se determina haciendo X = 0 Obteniéndose Y = (0, c) Discriminante:(∆ = b2 – 4ac) Para determinar en cuántos puntos la función intersecta al eje x, se analiza el discriminante de la ecuación asociada. Sí ∆> 0 la función intersecta en 2 puntos al eje x Sí ∆ = 0 la función intersecta en 1 punto al eje x Sí ∆< 0 la función no intersecta al eje x Vértice de la parábola: V

−− a4 bac4,a2b 2 Máximo y mínimo de la función cuadrática: Si en la función y = ax2 + bx + c el valor de a < 0, la función tiene un mínimo y si a > 0 tiene un máximo cuyo valor es:

a

bacy 44 2−

= Eje de simetría:a

bx 2−= Ejemplos 1. Dada la función 86)( 2 ++== xxxfy , ¿cuáles son sus intervalos de crecimiento?. Como es una parábola que se abre hacia arriba crece desde el valor x del vértice hasta el infinito positivo, es decir: 312 6

−=•

− Entonces crece ] [∞− ,3

a< 0 a> 0 x1 x1

V Y X X Y X c Y

V


2. ¿En qué punto la gráfica de la función cuadrática y = 3x2 – 6x + 1 intersecta al eje “Y” ? Intersecta en el punto (0, c) , es decir (0,1) 3. La mejor representación gráfica de la función y = x2-1 es: a) b) c) d) e) N.A. La alternativa correcta es C, ya que se abre hacia arriba e intersecta al eje y en -1. 4. Las parábolas y = x2 – 2x + 1 e y = -x2 + 4 están mejor representadas en la opción A) B) C) D) E) La alternativa correcta es B

FUNCIÓN EXPONENCIAL A la función real y = ax de base real positiva distinta de 1, se le llama función exponencial. La gráfica de la función exponencial depende del valor de la base a. Si a > 1 • La función es creciente para todo valor real de x • La curva es asintótica al eje x (no intersecta al eje x) • La curva intersecta el eje Y en el punto (0,1)1 • Dom f = IR yRec f = IR+ Si 0 < a < 1 • La función es decreciente para todo valor real de x • La curva es asintótica al eje x (no intersecta al eje x) • La curva intersecta al eje Y en el punto (0,1)1 • Domf = IR y Rec f = IR+ FUNCIÓN LOGARITMICA A la función , ,con x ∈ IR+ y b ∈ IR+ - { 1} se le llama función logarítmica y se define como y = log b x ⇔by = x dom f(x) = IR+rec f(x) = IR Observación: Si la base es 10, se escribe y = log x Si la base es e, se escribe y = log e x = ln x log 10 = 1 log 0,1 = -1 log 100 = 2 log 0,01 = -2 log 1000 = 3 log 0,001 = -3

y y = ax x y = ax 0 < a < 1 y x

y x b> 1 y = log b x 1

a> 1

0< b < 1 y = log b x


FUNCION POTENCIA Se denomina función potencia a toda función de la forma INnxxf n ∈= ,)( , por lo tanto existen dos posibilidades: a) Función potencia de exponente par, es decir INnxxf n ∈= ,)( 2 : La más conocida es la función cuadrática, donde a medida que el exponente par aumenta la curva se va cerrando. El dominio para todas las funciones pares son los números reales y el recorrido el conjunto de los números reales positivos incluyendo al cero. b) Función potencia de exponente impar, es decir INnxxf n ∈= − ,)( 12 :La más conocida es la función cúbica 3)( xxf = , donde a medida que el exponente impar va creciendo la curva se va acercando al eje Y. El dominio y recorrido para todas estas funciones son el conjunto de los números reales.

2x 6x 4x Dom f = IR Rec f: IR+0

x3 x5 x7 Dom f = IR Rec f: IR


COMBINATORIA La combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden realizar la ordenación o agrupamiento de unos cuantos objetos siguiendo unas determinadas condiciones o reglas. Una forma de hacer estos recuentos es utilizar los diagramas en árbol. Estos recuentos están íntimamente relacionados con la probabilidad. NUMERO FACTORIAL Es el producto de números consecutivos naturales n! = (n)·(n-1)·(n-2)·.........3·2·1 Todo producto tiene al menos dos factores, luego debemos admitir que: 0! = 1 y que 1! = 1 PERMUTACIONES LINEALES Al tomar todos los elementos de un conjunto finito y ordenarlos de todas las formas posibles tendremos todas las permutaciones de esos elementos • En cada grupo intervienen los “n” elementos sin repetirse ninguno (intervienen todos los elementos ) • Dos grupos son diferentes si el orden de colocación de alguno de esos “n” elementos es distinto (influye el orden): !npn = • Ejemplo: Todas las permutaciones posibles del número 345 son: 345 – 354 – 435 –453 – 534 – 543 De acuerdo a la formula 6!33 ==P Aquí aplicamos el principio multiplicativo, es decir: 6123 =•• PERMUTACIONES LINEALES CON REPETICION Se llama permutaciones con repetición de n elementos donde el primer elemento se repite “p” veces, el segundo “q” veces, el tercer “r” .......... a los distintos grupos que pueden formarse con esos n elementos de forma que :

• intervienen todos los elementos • dos grupos se diferencian en el orden de colocación de alguno de sus elementos. • La formula es: !!! !),,(

rqp

nP rqpn ••

= • Ejemplo: De cuantas formas distintas se pueden disponer en fila 7 fichas de igual forma y tamaño, si dos son rojas, 4 azules y una amarilla: 105!1!4!2 !7)1,4,2(7 =

••=P

3 2 1


PERMUTACIONES CIRCULARES En las permutaciones lineales los elementos se disponen enfila que tiene principio y fin. En las permutaciones circulares esto no ocurre. La formula de las permutaciones circulares es ( )!1−= nPn Ejemplo: Al ordenar 8 personas alrededor de una mesa redonda, la respuesta seria: ( ) 5040!7!188 ==−=P VARIACIONES SIN REPETICION Se llama variaciones de m elementos tomados de n en n( n≤m ) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que :

• los n elementos que forman el grupo son distintos ( no se repiten ) • Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que están colocados (influye el orden), la formula es: • )!( !,

nm

mV nm −

• Ejemplo: En una fila hay 7 asientos, ¿de cuantas formas distintas se pueden sentar 5 personas? • .2520)!57( !75,7 =

−=V VARIACIONES CON REPETICION Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

• los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos • Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que estos están colocados (influye el orden).La formula es: m

nnm

n VmVR == • Ejemplo: ¿Cuántos números de 6 cifras existen si se eligen de entre los dígitos :1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 y 7, si todos comienzan con 3? 807.167575 ==V • En las variaciones INTERESA EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS


COMBINACIONES Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n( n≤m ) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que : • Cada agrupación está formada por n elementos distintos entre sí • Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden. )!(! !

nmn

mC

m

n −= =

nm = número combinatorio • Ejemplo: Todas las combinaciones de tres números elegidos entre 1 , 2 , 3 , 4 y 5 son: 10)!35(!3 !553 =

−=C COMBINACIONES CON REPETICION Se llama combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, a los distintos grupos formados por n elementos de manera que :

• Los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos • Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden.

−+=

−−+

=n

nm

mn

nmCR

m

n

1)!1(! )!1( • Ejemplo: las combinaciones con repetición de los elementos (a,b,c,d) tomados de dos en dos son : aaab ac ad bbbcbd cc cd dd • Con la formula: 10!3!2 !52 124)!14(!2 )!124(42 =

•=

−+=

−−+

=CR • En la combinatoria NO INTERESA EL ORDEN DE LOS ELEMENTOS • Ejemplo: en una bodega hay 12 botellas de ron, 12 de ginebra y 12 de anís .Un cliente compró 8 botellas en total. ¿Cuántas posibilidades hay?


120!7!3 !10)!18(!3 )!138(83 =•

=−−+

=CR Resumen: Intervienen todos los elementos Permutaciones Influye el orden Variaciones No intervienen todos los elementos No influye el orden Combinaciones NUMEROS COMBINATORIOS Se llama número combinatorio de índice m y orden n al número de combinaciones de m elementos tomados de n en n tales que n≤m.

nm = )!nm(!n !m−

Propiedades de las combinatorias: �

0m =

m

m = 1 �

nm =

− nmm

�

nm +

+1nm =

++1n 1m

�

nn +

+n 1n +................+

nm =

++1n 1m


TRIANGULO DE PASCAL ……………………………………………………….. BINOMIO DE NEWTON (a + b) = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4 ........................................... ……………………………………. ……………………………………………. ……………………………………………………. Si nos fijamos atentamente, los coeficientes coinciden con los del triángulo de Pascal, los exponentes de “a” van disminuyendo desde n hasta 0 y los de “b” van aumentando desde 0 hasta n , y en cada término la suma de los exponentes de a y b es igual a n . Generalizando: (a + b)n =

0n anb0 +

1n an-1b1+ ......................+

−1nn a1bn-1 +

nn a0bn

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

00

01

11

02

12

22

03

13

23

33

04

14

24

34

44


PROBABILIDADES ∗Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número indefinido de veces. ∗Experimento Aleatorio: Es aquel cuyo resultado no se puede predecir, habiendo un Conjunto de resultados posibles. ∗Espacio Muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Si se representa el espacio muestral por E, cada elemento de él es llamado punto muestral. ∗Evento o Suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras palabras, es un subconjunto del espacio muestral. ∗Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas, bolitas, etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que se indique otra cosa. TIPOS DE EVENTOS ∗Evento o suceso cierto: Es el propio Espacio Muestral. ∗Evento o Suceso Imposible: Es aquel que no tiene elementos. Es decir, es el Subconjunto vacío (∅) del espacio muestral. ∗Eventos Mutuamente: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras palabras, cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes. ∗Eventos Complementarios: Cuando los eventos no tienen puntos o elementos comunes y la unión de ellos es el espacio muestral. ∗PROBABILIDAD CLÁSICA(LAPLACE) La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables al evento A por el número total de casos posibles. La probabilidad de A se denotará por P(A). ∗Observación: • La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no ocurra. P(A) = 1 – P(A’); A’ = A no ocurre • 0 ≤ P(A) ≤ 1 o bien 0% ≤ P(A) ≤ 100%


∗PROBABILIDADES DE EVENTOS ∗Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por: ∗Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por: ∗Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro. ∗Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposición de que el suceso B ha ocurrido. Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par. 316361)/6( ==ParP


∗Probabilidad y triángulo de Pascal Caras y sellos El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y sellos te pueden salir tirando monedas. Así puedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación. Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de sacar dos caras y un sello (CCS, CSC, SCC), también tres de sacar una cara y dos sellos (CSS, SCS, CSS) y sólo una de sacar tres sellos (SSS). Esta es la pauta "1, 3, 3, 1" en el triángulo de Pascal. Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal 1 C S 1, 1 2 CC CS SC SS 1, 2, 1 3 CCC CCS, CSC, SCC CSS, SCS, SSC SSS 1, 3, 3, 1 4 CCCC CCCS, CCSC, CSCC, SCCC CCSS, CSCS, CSSC, SCCS, SCSC, SSCC CSSS, SCSS, SSCS, SSSC SSSS 1, 4, 6, 4, 1 ... etc ... ¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas? Hay 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (o 4 × 4 =16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos caras. Así que la probabilidad es 166 , o 37.5% Triángulo de Pascal


DIAGRAMA DEL ARBOL: · Representa de manera gráfica todos los resultados posibles. Ejemplo: calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces seguidas una moneda. Resultados favorables: 8 (CCC – CCS – CSC – CSS – SCC – SCS – SSC – SSS) Casos favorables: 3 (CCS – CSC – SCC) Probabilidad =8

3 La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso. Observa la siguiente tabla, en la que se han anotado las frecuencias del suceso "salir cara al lanzar una moneda". Al aumentar los lanzamientos, las frecuencias relativas se aproximan a un valor 0,5. Ésa es la probabilidad del suceso salir cara al lanzar una moneda. Lanzamientos 100 150 200 300 400 500 fi 56 68 108 132 208 255 hi 0,56 0,45 0,54 0,44 0,52 0,51 La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces.

C

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C

C

S

S

C C S

C S C

C S S

S C C

S C S

S S C

S SS

C C S


ESTADÍSTICA La estadística es el conjunto de técnicas y procedimientos que permiten recoger datos, presentarlos, ordenarlos y analizarlos, de manera que a partir de ellos se pueden inferir conclusiones. La estadística tiene dos ramas diferentes: Estadística descriptiva y Estadística inferencial o inductiva. LA ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Es la que empleamos en la descripción y análisis de conjuntos de datos o población. LA ESTADÍSTICA INDUCTIVA: Se ocupa básicamente de estudiar y analizar, con espíritu científico, todos los datos, tablas y gráficos obtenidos mediante la estadística descriptiva. POBLACIÓN – MUESTRA – DATO Se llama Población al conjunto de cosas, personas o situaciones, que tienen alguna característica común y que permite agruparlas. Se llama Muestra a un subconjunto finito de la población en estudio. Se usa una muestra cuando es imposible (o poco práctico) estudiar a todos los individuos de una población. Para el conocimiento de una población estadística, deberemos analizar a cada uno de sus individuos (o a cada individuo de una muestra).Estos detalles seleccionados en una población son los que denominamos Datos, Un dato puede ser: CUALITATIVO: Si señala una cualidad del individuo, no es medible, su valor será una característica del individuo (color, sexo, profesión, etc. ) CUANTITATIVO: Cuando es medible; por ejemplo: longitud , peso, estatura, edad, etc. Un dato cuantitativo se denomina discreto (o de variación discreta) cuando sólo puede tomar valores enteros. Se denomina continuo (o de variación continua) cuando puede tomar como valor cualquier número real. Los datos pueden obtenerse en forma directa por medio de encuestas, censos etc., o en forma indirecta, a través de periódicos, revistas especializadas, oficinas de estadísticas, instituciones nacionales como el I.N.E. (Instituto Nacional de Estadísticas)


Distribución de Frecuencias: Las distribuciones de frecuencias, son series estadísticas ordenadas por intervalos de clases, y por lo tanto, corresponden a la clasificación de grupo de datos, de acuerdo a una característica cuantitativa. Tabla de frecuencias con clase (con datos agrupados por intervalos): Para ello debemos considerar cada intervalo con límites cerrado y abierto. Clase fi fr fa Xi 16-20 2 1/10 2 18 20-24 8 2/5 10 22 24-28 4 1/5 14 26 28-32 6 3/10 20 30 Frecuencias absolutas(fi): Estas frecuencias son las que se obtienen directamente del conteo. Frecuencias relativas(fr): Las que corresponden a los porcentajes de cada frecuencia absoluta. Frecuencia absoluta acumulada(fa): Que corresponde a la frecuencia absoluta del intervalo más la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores anteriores y la frecuencia relativa acumulada que corresponde al porcentaje de la frecuencia relativa del intervalo más la suma de las frecuencias relativas de todos los valores anteriores. Marca de clase(xi): Corresponde al valor medio de cada intervalo.

Nota N◦de personas 1 2 2 4 3 7 4 10 5 15 6 5 7 2


Ejemplo: En 200 lanzamientos de un dado se obtuvieron las siguientes frecuencias: ¿Cuál es la frecuencia relativa del evento de obtener un número mayor que 3? Solución: Debemos sumar las frecuencias correspondientes a los números 4, 5 y 6, es decir: 94322834 =++ ;luego la frecuencia relativa es %4747,020094== GRAFICOS Gráfico de Barras: Se usa fundamentalmente para representar distribuciones de frecuencias de una variable cualitativa o cuantitativa discreta y, ocasionalmente, en la representación de series cronológicas o históricas. Uno de los ejes sirve para inscribir las frecuencias, ya sean absolutas o relativas (%), y el otro para la escala de clasificación utilizada. Gráfico circular o torta: Se usa, fundamentalmente, para representar distribuciones De Frecuencias relativas (%) de una variable cualitativa o cuantitativa discreta. En este gráfico se hace corresponder la medida del ángulo de cada sector con la frecuencia correspondiente a la clase en cuestión. Si los 360º del círculo representan el 100 % de los datos clasificados, a cada 1% le corresponderán 3,6º. Luego, para obtener el tamaño del ángulo para un sector dado bastaría con multiplicar el por ciento correspondiente por 3,6º (por simple regla de tres).

Resultado fi 1 40 2 36 3 30 4 34 5 28 6 32


Histograma: Este gráfico se usa para representar una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua. Habitualmente se representa la frecuencia observada en el eje Y, y en el eje X la variable Polígono de frecuencias: Se utiliza, al igual que el histograma, para representar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero como no se utilizan barras en su confección sino segmentos de recta, de ahí el nombre de polígono. Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en el mismo gráfico más de una distribución. GRAFICO DE CAJA Y BIGOTE: Es una representación gráfica basada en CUARTILES , que ayuda en la muestra de datos, se utilizan 5 datos: Valor mínimo, cuartil 1,mediana, cuartil 3 y valor máximo: Muestra simétrica: Los valores intercuartilicos están igualmente dispersos: Muestra positivamente Asimétrica: Los valores más grandes se encuentran mas dispersos que los más pequeños: Valor Mínimo Q1 Q2 Q3 Valor Máximo Valor Mínimo Q1 Q2 Q3 Valor Máximo


Muestra Negativamente Asimétrica: : Los valores más pequeños se encuentran mas dispersos que los más grandes: Ejemplo: En el diagrama de caja y bigotes siguiente, se muestran las estaturas de los alumnos de un determinado curso en centímetros ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) EL 50% de los alumnos tienen estaturas entre 169 y 177 centímetros II) El rango de las estaturas es 20cm III) La distribuciones de las estaturas es asimétrica A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I , II y III

Valor Mínimo Q1 Q2 Q3 Valor Máximo 165 169 172 177 185


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS SIN INTERVALOS Media aritmética ( x ): Comúnmente conocida como media o promedio. Se representa por medio de X .Para calcular la media aritmética de un conjunto de datos se suman estos datos y se divide entre el total de datos. n

aaaax n..................321 +++

= Ejemplo: En la tabla se muestran los datos acerca de la entrada al país de turistas extranjeros, durante el año 2006 (en miles de personas). Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic 450 620 420 120 100 140 360 240 80 70 180 220 ¿Cuál es el promedio mensual de entrada de turistas? Solución: La media aritmética o promedio corresponde a la suma 25012 2201807080240360140100120420620450=

+++++++++++=x Mediana ( eM ): Es el valor que se ubica en el centro de una distribución. Se representa por Me Para determinar la mediana, se ordenan los valores de mayor a menor o vice-versa. Se divide el total de casos entre dos. Si la cantidad de datos es:

• Impar: La mediana es el valor central es decir 2 1+= Ne

XM

• Par: La mediana es el promedio de losvalores centrales, es decir:2 122 ++

=NN

e

XX

M Donde: N = Número total de datos


Ejemplo 1: La mediana del ejemplo anterior corresponde al valor central, se ordenan los datos de menor a mayor 6204504203602402201801401201008070 −−−−−−−−−−− . Como corresponde a un número par de datos se encuentra el promedio entre los valores centrales: Solución: 2002 220180=

+=eM Ejemplo 2: Con respecto a los datos dados en la tabla adjunta, ¿cuál es la mediana? Solución: Se suman los datos de la columna de la frecuencia: 8083210219 =++++ , como la cantidad de datos es par, por lo tanto la mediana se ubica en el lugar 40 y 41, luego la mediana es 5,222 2520

=+ Ejemplo 3: En el siguiente conjunto de datos: 6 , 4 , 3 , 2 , 5 , 7 , 12 . Como la cantidad de datos es impar, la mediana es: Solución : Se ordenan los datos , es decir, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 12 la mediana es el termino 4282 1 ==+NX Es decir el cuarto termino , el 5. Moda ( oM ): Es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribución. Se representa por Mo. Ejemplo: Con respecto al ejemplo 2, de la tabla anterior, la moda es el valor más repetido; Solución: En este caso la moda es 25

x f 10 9 15 21 20 10 25 32 30 8


Ejemplos Ejemplo 1: El gráfico de la figura. Muestra el número de faltas registradas por los funcionarios de una pequeña empresa, durante un mes. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) Los funcionarios son 60. II) La mediana es 1 falta. III) La moda es 0 falta. A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III Alternativa correcta D. Ejemplo 2: Los siguientes valores corresponden a las notas de un alumno en la asignatura de Matemática: 5,3 - 2,1 - 5,0 - 4,0 – 6,2 - 3,1 - 6,8 - 4,0 - 4,7 - 4,9. ¿Cuál(es) de la(s) siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) La media aritmética es 4,61. II) La moda es 4,5. III) La mediana es 4,8. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) I, II y III Alternativa correcta D

30 18 7 4 2 Nº de faltas Frecuencia 0 1 2 3 4


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALO • MEDIA ARITMÉTICA : N

fx

x

ii∑ ⋅= xi = Marca de clase. fi = Frecuencia absoluta. N = Total de datos. Ejemplo: Edad Marca de clase if ii fx • Frecuencia acumulada

[ [20,10 15 3 45 3 [ [30,20 25 1 25 4 [ [40,30 35 4 140 8 [ [50,40 45 2 90 10 [ [60,50 55 2 110 12 ....583333,291235512 55901402545

==++++

=⋅

=∑

N

fx

x

ii • MEDIANA : j

j

j

je cn

NnxM ⋅

−+= −

−11 2/ Xj-1 = Límite inferior real del intervalo que contiene a la mediana. n = Total de datos Nj-1 = Frecuencia absoluta acumulada del intervalo que precede a la que contiene a la mediana. nj = Frecuencia absoluta del intervalo que contiene a la mediana. Cj = Tamaño del intervalo.


Ejemplo: Utilizando la tabla anterior de ejemplo, se tiene que el total de datos es 12, por lo tanto el intervalo mediano ,es decir, [ [40,30 ; luego la mediana es 35104 46302/ 11 =•−

+=⋅−

+= −− j

j

j

je cn

NnxM

• MODA : j

AB

Ajo c

DD

DxM ⋅

++= −1 Xj-1 = Límite inferior real del intervalo que contiene a la moda. DA = Diferencia entre la frecuencia del intervalo modal y el intervalo que lo antecede DB = Diferencia entre la frecuencia del intervalo modal y el intervalo que lo sigue. CJ = Amplitud del intervalo Ejemplo: Con respecto a la tabla anterior la moda es: Solución: El intervalo modal es [ [40,30 , luego reemplazando en la formula: 36105330101424 14301 =•+=•

−+−−

+=⋅+

+= − j

AB

Ajo c

DD

DxM


MEDIDAS DE LOCALIZACIÓN (POSICION) Las medidas de localización nos permiten calcular otros valores típicos de un conjunto de datos que dividen a la muestra en ciertas partes iguales como los decíles, quintiles, cuartiles y percentiles. • CUARTILES(Q): Los cuartiles de una distribución de datos numéricos, corresponden los tres valores que dividen a las muestra en 4 partes iguales, es decir, al 25%, 50% y 75%.Los cuartiles se designan por Q1(25%), Q2(50%) y Q3(75%) Es una serie de datos ordenados en forma creciente, el valor que divide al conjunto de datos en dos partes de igual frecuencia es la Mediana. Generalizando esta idea, se puede pensar en aquellos valores que dividen a los datos en cuatro partes de igual frecuencia que llamaremos primer, segundo y tercer cuartil respectivamente. Un método para encontrar los cuartiles en datos no tabulados es el siguiente:

• Ordenar los datos de menor a mayor • Dividir los datos en dos grupos, encontrando la mediana: este es el 2º cuartil • Encontrar la mediana del grupo de los valores menores que la mediana, este es el primer cuartil • Encontrar la mediana del grupo de valor mayores que la mediana, este es el tercer cuartil • El cuartil 1 significa que el 25% de los datos tiene un valor igual o menor a dicho cuartil. • El cuartil 2 significa que el 50% de los datos tiene un valor igual o menor a dicho cuartil. • El cuartil 3 significa que el 75% de los datos tiene un valor igual o menor a dicho cuartil.

),,( 321 QQQ

2Q 1Q3Q

Q1 25% Q2 50% Q3 75%


Ejemplo: Los siguientes datos representan los puntajes en un quiz de 12 puntos, hallar sus cuartiles: 7, 5, 9, 12, 6, 4, 2, 8, 1, 3 y 10. Primero se ordenan de menor a mayor:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12. Luego se dividen en dos grupos: 1, 2, 3, 4, 5 6 7, 8, 9, 10, 12. El valor “6” corresponde a la mediana y es el cuartil 2. Del primer grupo de números su mediana es “3” y corresponde al cuartil 1 Del segundo grupo de números su mediana es “9” y corresponde al cuartil 3. La interpretación de tercer cuartil es que el 75% de los alumnos obtuvo 9 puntos o menos en el quiz. • Rango intercuartil ( ): Se define como la diferencia entre el cuartil 3 y el cuartil 1,es decir, Ejemplo: Tomando los valores del ejemplo anterior se tiene que: • QUINTILES(K): Son cuatro valores que dividen a la muestra en cinco partes iguales, estos son datos bajo los cuales se concentra el 20%, 40% , 60% y 80% de los datos analizados. Ejemplo: Los siguientes datos corresponden a los puntajes obtenidos por 11 alumnos de un electivo de matemática (cálculo 1) en la primera prueba del año 2016: 18 , 5 , 7 , 16 , 8 , 10 , 12 , 13, 6 , 4 y 20 Si queremos calcular el tercer quintil(K3) , ordenamos los datos los cuales quedarían como: 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10, 12 , 13 , 16 , 18 y 20, de los cuales se desprende que: K1= 5,5 ( el 20% de los alumnos obtuvo 5 puntos o menos K2= 7,5 (el 40% de los alumnos obtuvo 8 puntos o menos K3= 12,5 (el 60% de los alumnos obtuvo 12 puntos o menos) K4= 17(el 80% de los alumnos obtuvo 16 puntos o menos)

ICR 13 QQRIC −= 639 =−=ICR

K1 20% K2 40% K3 75% K4 80%


• DECILES(D): Los decíles de una distribución de datos numéricos corresponden a los 9 valores que dividen a estos en 10 partes iguales. Se designan: por D1,D2,……………., D10 ………………. …………………. En el ejemplo anterior , si queremos calcular el D6 , es una nota de referencia que nos permite afirmar que el 60% de los alumnos obtuvo ese puntaje o uno menor, este valor coincide con el quintil 3 • PERCENTILES (P): Cuando se quiere estudiar una muestra que contiene muchos datos , se subdivide en percentiles. Los percentiles de una distribución de datos numéricos dividen a la muestra en 99 partes iguales. ………………………….. …………………………… El P80 de una distribución de puntajes en una prueba con 100 puntos , nos indica que el 80% de los alumnos obtuvo ese puntaje o uno menor, este valor coincide con el quintil 4 y el decil 8

D1 10% D5 50% D9 90% P1 1% P50 50% P99 99%

D10 100%


Para determinar el lugar en el que se ubica la medida de posición buscada, en datos no tabulados, utilizamos lo siguiente: Donde: =kiP Posición del quintil i, siendo i=1, 2 , 3 , 4 =DiP Posición del decil i, siendo i=1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 =QiP Posición del cuartil i, siendo i = 1 , 2 , 3 =PiP Posición del percentil i, siendo i = 1, 2 , 3 , …………….., 99 Respecto a la posición existen dos casos, si el resultado es entero o decimal: • Numero entero: el valor será el dato que ocupa ese lugar. • Numero decimal: el valor será el promedio entre el dato que se encuentra a la izquierda de la posición con el dato que se encuentra a la derecha. Si los datos se encuentran tabulados utilizamos la siguiente formula para calcular decíles, quintiles, cuartiles y percentiles.

j

j

j

j Cn

NNxPQDK •

−+==== −

−11 % Donde:

=−1jX es el límite inferior del intervalo utilizado(decil, quintil, cuartil , percentil) =N Total de datos =jn Frecuencia absoluta del intervalo utilizado

=−1jN Frecuencia acumulada del intervalo anterior al utilizado =jC Amplitud del intervalo Primero se elige el intervalo que contenga el porcentaje de datos a calcular, por ejemplo si queremos calcular el Q1 debemos calcular el 25% de los datos para saber que intervalo utilizaremos, una vez seleccionado el intervalo los datos que pide la formula se sacan de él.

Medida Quintil Decil Cuartil Percentil Posición 5 1+•=N

iPki 10 1+•=N

iPDi 4 1+•=N

iPQi 1001+•=N

iPPi


Ejemplo: Calculemos el percentil 45 considerando la distribución de frecuencias de 212 puntajes de una PSU de matemática Puntajes Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada 400 – 450 10 10 450 – 500 9 19 500 – 550 20 39 550 – 600 31 70 600 – 650 80 150 650 – 700 42 192 700 – 750 10 202 750 – 800 10 212 212 Lo primero es encontrar el 45% de 212, es decir, 45% de 212 = 95,4. Luego en la columna de las frecuencias acumuladas buscamos el intervalo que contenga al dato 95,4; en este caso se encuentra en el intervalo 600 – 650, ahora comenzamos a reemplazar los datos en la formula: , Limite inferior real del intervalo que contiene el 45% de los datos es:600 Frecuencia absoluta acumulada del intervalo que esta antes de 600 – 650 es:70 Frecuencia absoluta del intervalo es:80 Amplitud del intervalo es:50 Ahora reemplazando se tiene: El resultado nos indica que el 45% de los alumnos obtuvo un puntaje menor o igual a 615,9 puntos. Para el cálculo de decíles, quintiles o cuartiles se sigue el mismo procedimiento.

j

j

j

j cn

NnxP ⋅

−+= −

−11 %

9,615875,6155080 704,9560045 ≈=•⋅−

+=P


MEDIDAS DE DISPERSIÓN Las medidas de dispersión dan una idea de cuánto se alejan los datos respecto de las medidas de tendencia central. • Rango( R ): El rango se suele definir como la diferencia entre los dos valores extremos que toma la variable. Es la medida de dispersión más sencilla y también, por tanto, la que proporciona menos información. Además, esta información puede ser errónea, pues el hecho de que no influyan más de dos valores del total de la serie puede provocar una deformación de la realidad. Ejemplo:Dados los siguientes datos 10 – 2 – 5 – 3 – 4 – 6. ¿Cuál es el rango? Solución: R = Valor máximo – Valor mínimo = 10 – 2 = 8 • Desviación Media (DM): En teoría, la desviación puede referirse a cada una de las medidas de tendencia central: media, mediana o moda; pero el interés se suele centrar en la medida de la desviación con respecto a la media, que llamaremos desviación media. Desviación Media Para datos sin tabular Para datos tabulados(intervalo) Formula

N

xxMD

i∑ −=.

N

xxfMD

ii∑ −•=. donde Xi = Variable N= Total de datos

x= Media Xi = Variable N= Total de datos fi = Frecuencia del intervalo x= Media


Ejemplo 1: Dados los siguientes datos 10 – 2 – 5 – 3 – 4 – 6. ¿Cuál es la desviación media? Para ello debemos encontrar primero el valor de la media aritmética: 56 6435210=

+++++ Luego debemos aplicar la formula: N

xxi∑ − Por lo tanto: 56,54,53,55,52,510 −−−−−− y la suma de estos valores se dividen por el total: 26 112035=

+++++ Ejemplo 2: La siguiente tabla representa las edades de un grupo de personas: Su desviación media es? Primero debemos obtener la marca de clase, es decir: Ahora obtenemos la media aritmética : 6,1815 425619513=

•+•+•=X y ahora aplicamos la formula para datos tabulados de la desviación media: 37,315 6,254,22815 )6,1825(4)6,1819(6)6,1813(5. =

++=

−•+−•+−•=

−•=∑

N

xxfMD

ii

Edad Frecuencia absoluta [ [16,10 5 [ [22,16 6 [ [28,22 4 Edad Frecuencia absoluta Marca clase

[ [16,10 5 13 [ [22,16 6 19 [ [28,22 4 25


• Desviación Típica(estándar)(σ ):Es sin duda la medida de dispersión más importante, ya que además sirve como medida previa al cálculo de otros valores estadísticos. La desviación típica se define como la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media de la distribución. Es decir, indica la dispersión de los datos de una muestra o población con respecto a su valor central. Mientras menor sea su valor , más homogénea es la muestra. Desviación Estándar o típica Para datos sin tabular Para datos tabulados(intervalo) Formula

N

xxi2)( −∑

=σ N

xxf ii

2)( −•∑=σ donde Xi = Variable N= Total de datos

x= Media ∑ = Sumatoria Xi = Variable N= Total de datos fi = Frecuencia del intervalo

x= Media ∑ = Sumatoria . Ejemplo 1: Hallar la desviación típica de la serie: 5, 8, 10, 12, 16. Solución: Primero tabulamos los datos para hacerlo en forma más simple x xxi − xxi − 2 5 5,2 27,04 8 2,2 4,84 10 0,2 0,04 12 1,8 3,24 16 5,8 33,64 Luego hallamos x = 10,2 y finalmente 71,376,13 === Sσ


Ejemplo 2: La siguiente tabla representa las edades de un grupo de personas: Hallar la desviación estándar: Solución: Primero completamos la tabla con los datos que requiere la formula: Como ya calculamos en el ejemplo de desviación media, la media aritmética es 18,6, luego tenemos entonces: ...779979,9648,9515 96,402516,01936,3113)( 2==

•+•+•=

−•∑=

N

xxf iiσ • Varianza ( 2σ ):Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media aritmética. La varianza siempre será mayor que cero, mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los datos alrededor de la media aritmética, mientras mayor sea la varianza más dispersos están los datos. Varianza Para datos sin tabular Para datos tabulados(intervalo) Formula

N

xxi22 )( −∑

=σ N

xxf ii

22 )( −•∑=σ donde Xi = Variable N= Total de datos

x= Media ∑ = Sumatoria Xi = Variable N= Total de datos fi = Frecuencia del intervalo

x= Media ∑ = Sumatoria

Edad Frecuencia absoluta [ [16,10 5 [ [22,16 6 [ [28,22 4 Edad Frecuencia absoluta Marca de clase ( )2

xxi − [ [1610 − 5 13 31,36 [ [2216 − 6 19 0,16 [ [2822 − 4 25 40,96


Ejemplo: Respecto del ejemplo 2 anterior, la varianza sería 648,952 =σ PROPIEDADES DE LA DESVIACION ESTANDAR Y LA VARIANZA • Ambas medidas son siempre un número no negativo. • Si cada dato se aumenta o disminuye en una constante(K), la desviación estándar y la varianza originales no cambian. • Si cada dato de un conjunto de datos se multiplica por una constante(K) , entonces las nuevas 2σσ y , son: 22 σσ •• kyk respectivamente. Ejercicios, para aprender las propiedades: 1. _______ La desviación estándar es un número real positivo o cero. 2. _______ La diferencia entre un dato y el promedio de la muestra puede ser negativa. 3. _______ El rango es una medida de dispersión. 4. _______ Si la varianza es igual a la desviación estándar, entonces son solo ambas iguales a 1. 5. _______ Al sumar a todos los valores de una variable un valor constante , la varianza no cambia. 6. _______ La varianza es la raíz cuadrada de la desviación estándar. 7. _______ El rango puede ser negativo. 8. _______ La desviación estándar es un indicador de cuanto tienden a alejarse los datos del Promedio. 9. _______ El rango es menor que la varianza. 10._______ Si todos los datos de una variable son iguales a 1 , entonces el rango correspondiente a la variable es 1. Soluciones: 1.V 2.V 3.V 4.F 5. V 6.F 7.F 8.V 9.F 10.F COEFICIENTE DE VARIACION (C.V): Corresponde a la razón existente entre la desviación estándar y la media y se calcula como:

xVC

σ=. Esta comparación no tiene unidad de medida, se puede escribir en porcentaje lo que representa el grado de variabilidad de la desviación estándar.


VARIABLE ALEATORIA(v.a) Cada vez que se realiza un experimento aleatorio, se relacionan los eventos a un número, para poder interpretar los fenómenos que produce dicho evento aleatorio. Si consideramos el experimento aleatorio de Ejemplo 1: Lanzar tres monedas al aire, su espacio muestral es el siguiente: { }),,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,( ssssscscscssccscscscccccE = Se establece la relación entre el espacio muestral y un número mediante la siguiente regla:

carasdenúmeroX : , para poder entender mejor esta situación no debemos olvidar que se forma una función que graficamos a través de un diagrama sagital. E IR(número caras) En otras palabras la variable aleatoria es una FUNCIÓN que relaciona los elementos de un espacio muestral con el conjunto de los números reales, donde E representa al dominio de la función y IR al recorrido, se observa que el número de caras puede ser: X = 0 ,es decir, (S,S,S) X = 1 ,es decir, (S,S,C), (S,C,S), (C,S,S) X = 2 , es decir, (C,C,S),(C,S,C),(S,C,C) X = 3 , es decir, (C,C,C)

(C,C,C) (C,C,S) (C,S,C) (S,C,C) (S,S,C) (S,C,S) (C,S,S) (S,S,S) 3 2 1 0


De esta forma se construye el concepto de v.a, el cual corresponde a una regla que relaciona los elementos de un espacio muestral con un número. En nuestro ejemplo la regla es “número de caras”. Matemáticamente, la regla que relaciona los elementos del espacio muestral con un número se define como FUNCIÓN, que denotamos como f, es decir: f: E IR, donde si x pertenece a E se cumple que f(x) = xi En nuestro ejemplo tenemos entonces que: f(S,S,S) = 0 f(S,S,C) = f(S,C,S) = f(C,S,S) = 1 f(C,C,S) = f(C,S,C) = f(S,C,C) = 2 f(C,C,C) = 3 Lo anterior lo podemos tabular de la siguiente forma: Resultados posibles Valores de xi (s,s,s) 0 (c,s,s);(s,c,s);(s,s,c) 1 (c,c,s);(c,s,c);(s,c,c) 2 (c,c,c) 3 No debes olvidar que las variables aleatorias pueden tomar valores discretos(números enteros) y valores continuos(cualquier valor real dentro de un intervalo) Resumiendo: • La variable aleatoria es una función que asocia a un número real a cada elemento del espacio muestral. • Las variables aleatoria discretas pueden tomar una cantidad finita de valores numerables: Edad , Números de hijos , puntos en el lanzamiento de un dado…… • Las variables aleatorias continuas pueden tomar todos los valores dentro de cierto intervalo en los números reales: Peso de una persona, estatura de una persona,…


Ejemplo 2 Si se lanza dos veces un dado y se define la variable aleatoria X, como el valor absoluto de la diferencia de los puntos. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) X es una variable aleatoria discreta II) El recorrido de la variable tiene 6 elementos III) El conjunto de valores posibles de variables aleatoria X son { }5,4,3,2,1,0 A. Solo I B. Solo III C. Solo I y III D. Solo II y III E. I, II y III Solución: I) Como la diferencia es un número entero, este representa a una variable aleatoria discreta. II) No confundir recorrido con rango, en nuestro ejemplo el recorrido son los números reales y el rango(el conjunto de las imágenes) los números: 0,1,2,3,4,5 III) Los valore posibles de X son : 0,1,2,3,4,5 FUNCIÓN DE PROBABILIDADES Si consideramos el ejemplo 1 (lanzar tres monedas) y se define la v.a X: número de caras La probabilidad de obtener hasta 2 caras es igual a calcular )2( ≤XP , es decir: )2()1()0()2( =+=+==≤ XPXPXPXP 87838381 =++ Es decir el valor de )2( ≤XP corresponde a la probabilidad acumulada para los 2≤X La siguiente tabla nos aclara mejor los resultados anteriores: X Frecuencia absoluta )()( ii xXPxf == )()( ii xXPxF ≤= 0 1 81 81 1 3 83 848381 =+ 2 3 83 87838381 =++ 3 1 81 18881838381 ==+++


Los valores acumulados de probabilidad de la v.a X forman lo que se define como la función de distribución de probabilidad )()( ii xXPxF ≤= cuyo dominio es Q y el recorrido es el intervalo [ ]1,0 , de modo que la función F: Q [ ]1,0 La función de probabilidad cumple las siguientes propiedades: 1. 1)(0 ≤≤ ixf 2. 1)(..............)()( 2 =++ ni xfxfxf Ejercicio 1 Una bolsa contiene 4 cubos azules y 3 verdes, el experimento consiste en sacar dos cubos uno tras otro sin reposición. Si se define la variable aleatoria X: número de cubos azules obtenidos, ¿cuál (es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Los valores de la variable aleatoria son :{ }2,1,0 II) El máximo de cubos azules que se pueden obtener en el experimento es 4 III) 74)1( =P A. Solo II B. Solo I y II C. Solo II y III D. Solo I y III E. I, II y III Ejercicio 2 Una bolsa contiene tres pañuelos de seda en buen estado y dos pañuelos con algunas fallas. Se extraen dos pañuelos sin devolución . Se define la variable X de la siguiente forma: -1 , si son dos con fallas X = 0 , si uno es bueno y el otro con fallas 1, si son dos buenos ¿Cuál es la función de probabilidad de la variable aleatoria?

Ejercicio 3. En una urna hay 4 fichas marcadas con el número 2; 4 fichas con el 0 y 4 fichas con el -2. El experimento consiste en sacar dos fichas sin reposición, y se define la variable aleatoria X como el producto de los números que tienen las fichas que se sacan. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera (s)? I) Los posibles valores de la variable aleatoria X son { }4,0,4 − II) )4()4( =>−= xPxP III) 338)0( ==xP A. Solo I B. Solo II C. Solo I y II D. Solo I y III E. I, II y III Ejercicio 4 La tabla adjunta, muestra la función de probabilidades de una variable X Entonces, ¿cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera (s)? I) 85,0)4020( =<≤ xP II) 0)5( =≤xP III) ( 30) 1 ( 30)P x P x≥ = − ≤ A. Solo II B. Solo III C. Solo I y II D. Solo I y III E. Solo II y III Soluciones: 1. D 2. 3. C 4. A

X 10 20 30 40 )( ixXP = 0,15 0,45 0,3 0,1

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD La función de distribución de probabilidad F(x) asocia a cada valor de x la probabilidad acumulada , es decir F(x) = P(X≤x) Propiedades 1. Como F(x) es una probabilidad, se cumple que 0≤F(x) ≤1 2. Si a a ) = 1 – P( x ≤ a) = 1 – F(a) Observaciones: En el caso de variable aleatoria discreta la función de distribución de probabilidad es una función escalonada. F(x) 1 v.a discreta En el caso de variable aleatoria continua la función de distribución de probabilidad es una función continua. F(x) v.a continua Resumiendo: La función de probabilidad corresponde a las probabilidades acumuladas )( nxP ≤ .

1. La tabla adjunta muestra la probabilidad de la variable aleatoria X ¿cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son ) verdadera (s)? I) El valor de m = 0,26II) 0)1( =≥xPIII) 1)0( =≥xP A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. Solo I y II E. I, II y III 2. La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria ¿Cuál es el gráfico de

P

97

EJERCICIOSLa tabla adjunta muestra la probabilidad de la variable aleatoria X¿cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son ) verdadera (s)?El valor de m = 0,26 74,0 )1(1 −=− xP La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria ¿Cuál es el gráfico de la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria?

X -1 0 )( ixXP = 0,04 0,22 W 1 2)( iwWP = 0,1 0,3

EJERCICIOS La tabla adjunta muestra la probabilidad de la variable aleatoria X ¿cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son ) verdadera (s)? La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria?

1 2 3 0,38 m 0,10 2 3 4 0,3 0,2 0,4


La tabla adjunta muestra la función de probabilidad de una variable aleatoria W: la función de distribución de probabilidad de la variable aleatoria?

3. Si la función de distribución de una variable aleatoria X está en la tabla adjunta, entonces, el valor de )3( ≤xP es A. 0,30 B. 0,45 C. 0,50 D. 0,95 E. 1,00 SOLUCIONES: 1. E 2. B 3. C Valor esperado El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria tiene su origen en los juegos de azar, debido a que los jugadores deseaban saber cuál era su esperanza de ganar o perder. Como a cada resultado particular del juego le corresponde una probabilidad determinada, esto equivale a una función de probabilidad de una variable aleatoria y el conjunto de todos los resultados posibles del juego estará representado por la distribución de probabilidad de la variable aleatoria. El valor esperado o esperanza matemática es muy importante, ya que es uno de los parámetros que describen una variable aleatoria. Si “X” es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad “f(x)”. Entonces el valor esperado de la variable aleatoria “X”, el cual se representa por “E(X)”, está definido por )()( ii xfxxE •= ∑ Lo anterior significa que para calcular E(x) se multiplica cada valor que puede tomar la variable aleatoria por la probabilidad que le corresponde y después se suman esos productos. PROPIEDADES • La esperanza representa un promedio ponderado al cual se acerca la variable, al repetir el experimento en forma independiente una gran cantidad de veces. • El valor esperado se interpreta físicamente como el centro de masa o centro de gravedad de la distribución de probabilidad, por lo que es igual a la media o promedio aritmético, los cuales se representan : )()( ii xfxxE •== ∑µ • Si E(x)= 0, el juego se considera justo o equitativo • Si E(x)>0, el juego se considera favorable • Si E(x)<0, el juego se considera injusto • )()( xEaxaE •=• • En caso que la variable tome solo el valor b, se tiene que bbE =)( • bxEabxaE +•=+• )()(

X 1 2 3 4 5 )( ixXP = 0,15 0,30 0,50 0,85 1


Ejemplo 1: Si se lanzan dos dados normales La variable aleatoria “x” será la suma de los números que aparezcan al lanzar los dos dados, la distribución de probabilidad es: )( ii xfx •∑ Es decir: La distribución de probabilidades es simétrica, el valor esperado coincide con el valor de la variable que tiene la mayor probabilidad en la distribución. Ejemplo 2: Un casino le permite a un jugador que lance un dado normal y que reciba tantos pesos como puntos aparezcan en la cara superior del dado. El jugador debe pagar una cantidad de “k” pesos cada vez que juegue. Calcular cuánto debe valer “k” para que el jugador ni pierda ni gane. Sea x la variable aleatoria que representa el resultado al lanzar el dado. Su distribución de probabilidad es: xi 1 2 3 4 5 6 ∑ f(xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 Xif(xi) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 3,5 En este caso el valor esperado es igual al valor de k, con lo que se espera que el jugador ni gane ni pierda. Aplicando la formula del valor esperado tenemos: 5,3)6/1(6)6/1(5)6/1(4)6/1(3)6/1(2)6/1(1)( =+++++=•∑ ii xfx El jugador debe pagar 3,5 pesos cada vez que participa en un juego. Si la cuota k fuera 4 pesos por juego, la ganancia neta esperada del casino es de $0,50 por juego , ya que k = 4 – 3,50 =$0,5. Como lo que recibe el jugador en un solo juego no puede ser igual a $3,5(debe ser un número entero entre 1 y 6), entonces E(x) no necesariamente coincide con el resultado de un solo juego. El significado de E(x)=$3,5 , es que si el juego se realiza un gran número de veces el cociente Ingreso total/número de juegos realizados debe ser aproximadamente igual a $3,5.

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∑ f(xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 1


VARIANZA Existen dos aspectos que caracterizan de forma simple el comportamiento de la distribución de probabilidad, porque proporcionan una descripción completa de la forma en que se comporta: la medida de tendencia central y la dispersión. La primera está representada por la media o valor esperado, y la segunda por la varianza o por la desviación estándar, que evalúan la dispersión de la distribución de probabilidad o grado en que se separan del promedio los valores de la variable aleatoria x. Por ejemplo, en un espacio muestral vemos que los valores: 5 , 10 y 15 tienen una media de 10 y que los valores 9,9 ; 10 y 10,1 también tienen una media de 10. Sin embargo, advertimos que los dos conjuntos de valores difieren notablemente en la dispersión de los valores respecto a su media y que tal dispersión es de gran importancia. Por lo tanto , para tener un conocimiento claro y completo del comportamiento de los valores que puede tomar la variable aleatoria, es indispensable conocer tanto la media como la varianza o la desviación estándar de la distribución de probabilidad. Las desviaciones µ−x , toman valores )....().........(),( 21 µµµ −−− ixxx , con probabilidades respectivas: )(..........).........(),(),( 321 ixfxfxfxf . Sin embargo al tomar el valor esperado de estas desviaciones nos encontramos con que: ∑ ∑∑∑ =−=−=−=−=− 0)()()()()()( µµµµµµ iiiiiii xfxxfxfxxfxXE Esto se debe a que las desviaciones positivas se compensan con las desviaciones negativas. Para determinar una medida de dispersión , necesitamos considerar únicamente la magnitud de las desviaciones sin sus signos. Una manera de eliminar el signo de las desviaciones es considerar el cuadrado de las mismas, es decir, 2)( µ−ix . Si obtenemos el valor esperado de las desviaciones elevadas al cuadrado, obtenemos una medida de la dispersión de la distribución de probabilidad, la cual es conocida como varianza y se simboliza por 2σ o )(xVar La varianza de una variable aleatoria “X” se define como:

∑ −=−=== )()()()()( 222ii xfxXExVarxV µµσ A partir de ésta ecuación y mediante un pequeño desarrollo matemático se obtiene la expresión : 222 )()( µσ −== ∑ ii xfxxV Si representamos a )(2

ii xfx∑ por )( 2XE , podemos escribir: 22222 )()]([)()()( µσ −=−=== XEXEXExVarxV


Al usar la varianza como medida de dispersión se presenta una dificultad. Las unidades con que se miden los valores que toma la variable aleatoria son lineales, es decir, kilogramos, metros, litros ,……., por lo que )(XE=µ también será lineal, pero la varianza 2σ está en unidades cuadráticas, es decir , kilogramos al cuadrado, metros al cuadrado, litros cuadrados, ….. En vista de lo anterior , si queremos expresar la medida de dispersión en las mismas unidades en que se miden los valores de la variable aleatoria X, debemos tomar la raíz cuadrada positiva de la varianza. A esta cantidad se le conoce como desviación estándar y se representa por σ . La desviación estándar de una variable aleatoria X se define como: 221 222 )()()( µµσσ −=−=== ∑=

XExfxXVarN

i

ii Ejemplo: Consideremos la distribución de probabilidad de ventas semanales de unidades de alta fidelidad de la marca A: X=xi 0 1 2 3 4 5 f(x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 Encontrar la varianza y la desviación estándar Basándonos en la distribución de probabilidad obtenemos la siguiente tabla: ixX = 0 1 2 3 4 5 Total )(xf 0,1 0,1 0,2 0,3 0,2 0,1 1 )(xfxi • 0 0,1 0,4 0,9 0,8 0,5 2,7 )(2 xfx i • 0 0,1 0,8 2,7 3,2 2,5 9,3 Podemos observar entonces que por lo tanto la varianza es: 01,2)7,2(3,9)()( 2222 =−=−== µσ XExVar y la desviación estándar es: 42,101,2 ==σ


DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL


TIPIFICACION DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA


Muestras al azar: En muchas ocasiones es necesario obtener el número de elementos de una población para ello se toma una muestra se marca y se devuelve a la población originaria. Se vuelve a tomar una segunda muestra, y con los elementos marcados de esta , se forma una razón con su total, obteniendo así un total aproximado del tamaño de la población. Si recordamos lo visto, se tiene que: Dada una población con “n”elementos, se puede determinar la cantidad de muestras de tamaño “k” que se pueden extraer de dicha población, de la siguiente forma: CANTIDAD DE MUESTRAS DE UNA POBLACIÓN MEDIAS MUESTRALES Ejemplo 1: Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente de forma normal con una media de 174,5 centímetros y una desviación estándar de 6,9 centímetros. Si se extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 de esta población, determine: A) La media y la desviación estándar de la distribución muestral del Promedio muestral. Solución: Población: N=1000 estudiantes Se mide la variable X= estaturas de estudiantes en centímetros )9,6;5,174(NX ≈ Es decir: Media = 174,5 y desviación estándar = 6,9 y Muestra = n = 25

La media del promedio muestral es la misma que la Población total , es decir , 5,174=x y la desviación estándar de las medias muestrales es: n

x

σσ = En este caso es: cmx

38,1259,6==σ B) El número de las medias muestrales que caen entre172,5 y 175,8cm. Solución: )5,172()8,175()8,1755,172( <−<=<< xPxPxP )38,1 5,1745,172()38,1 5,1748,175()8,1755,172( −

<−−

<=<< ZPZPxP )45,1()94,0()8,1755,172( −<−<=<< ZPZPxP )45,1()94,0()8,1755,172( >−<=<< ZPZPxP { })45,1(1)94,0()8,1755,172( <−−<=<< ZPZPxP

{ }9265,018264,0)8,1755,172( −−=<< xP 0735,08264,0)8,1755,172( −=<< xP 7529,0)8,1755,172( =<< xP Es decir, el 75,29% de las medias muestrales se encontraran entre 172,5 y 175,8 cm. Por lo tanto si se extraen 200 muestras 58,1502007529,0 =• aproximadamente 151 medias caerían entre 172,5 y 175,8. Ejemplo 2: Los estudiantes de Psicología en general manifiestan que tienen dificultad para memorizar. Experiencias anteriores han consistido en exponer 5 palabras ante los estudiantes durante 10segundos al comienzo de la clase y luego preguntar por ellos al final de la clase, obteniéndose la siguiente distribución de probabilidad: Cantidad de palabras que recuerdan 0 1 2 3 4 5 P(X=x) 0,05 0,15 0,20 0,25 0,30 0,05 En una muestra aleatoria de 64estudiantes, ¿Cuál es la probabilidad de que en promedio recuerden por lo menos 3palabras? Solución: Muestra aleatoria , donde n=64 La distribución de las medias muestrales es: )64;75,2( σσσµµ ====≈n

NXxX

Si completamos la tabla anterior obtenemos todos los valores que necesitamos, es decir: Cantidad de palabras que recuerdan 0 1 2 3 4 5 Suma P(X=x) 0,05 0,15 0,20 0,25 0,30 0,05 )( ii xPx • 0 0,15 0,40 0,75 1,20 0,25 2,75 )(2ii xPx • 0 0,15 0,80 2,25 4,8 1,25 9,25 Luego el valor esperado es: 6875,1)75,2(25,9)( 2 =−=xE o lo que equivale a: .....299,16875,1 ==

xσ palabras La distribución de la media muestral es: 1624,08299,1;75,2( ===≈

nNX

x

σσ 0594,09406,01)54,1(1)54,1()1624,0 75,23( =−=<−=>=−

> ZPZPZP , es decir La probabilidad de que en promedio al menos recuerde 3 palabras es de 0,0594. El tamaño de una población se calcula de la siguiente forma: N

n

n

m 12 = , donde: n1= Tamaño de la primera muestra n2= Tamaño de la segunda muestra m = números de individuos marcados en la primera muestra N = Tamaño de la población Ejemplo: Un grupo de científicos llegó al parque nacional Pan de Azúcar a estudiar la fauna del lugar. Observaron una gran colonia de pingüinos, para calcular la cantidad total realizaron el siguiente procedimiento: Durante cuatro días, en diferentes lugares del parque, capturaron 120 pingüinos, a los cuales marcaron con una cinta; a la semana en diversos lugares del parque , capturaron 160 pingüinos , de los cuales 30 estaban marcados y finalmente reemplazaron en la formula: 64012016030=⇒= N

N Es la cantidad aproximada de pingüinos en la isla. El cálculo anterior no es más que una aproximación de la cantidad de la población, ya que dependerá de lo representativa que sea la muestra escogida. Para que la muestra sea representativa se deben considerar varios aspectos, entre ellos los más importantes el tamaño de la muestra y la selección debe ser aleatoria. Las muestras al igual que las poblaciones nos permiten calcular parámetros estadísticos como: media, desviación, varianza, ………


TAMAÑO DE LA MUESTRA: El tamaño de la muestra(n) está dado por el número de sujetos que componen la muestra extraída de una población. El tamaño de la muestra se calcula de la siguiente forma: 2

•

=E

kn

σ , donde: K: nivel de confianza σ : desviación estándar o típica de la población E: margen de error Ejemplo: En un colegio de 1600 alumnos se está estudiando la relación entre las estaturas de los niños al nacer y otras variables. Se sabe que la desviación típica poblacional es de 1,5 cm y se desea estimar la media con un 99% de confianza y con un error máximo de 0,5 cm.

nnkE

5,158,25,0 •=⇒•=σ De donde n = 59,9970 ≈ 60 Se debe tomar al menos una muestra de 60 alumnos. La distribución de Bernoulli:( o distribución dicotómica) es una función de probabilidad discreta, que puede tomar dos valores: Un valor para la probabilidad del éxito y otro valor para la probabilidad del fracaso. Si se tiene que: :x Variable número de éxitos p: Probabilidad de éxitos q: Probabilidad del fracaso

ppxfx == );(;1 qpxfx == );(;0 Entonces: Su formula es: xxxx qpppxf −− •=−= 11)1()( , con x = 0 y 1 Ejemplo:Un jugador de basquetbol está a punto de tirar hacia la parte superior del tablero , la probabilidad de que anote el tiro es 0,55. Sea x = 1 si anota el tiro y x = 0 si no anota, determine la media y la varianza. Si anota el punto su equipo recibe dos puntos , si no lo hace no recibe punto. Sea y el número de puntos anotados. ¿Tiene una probabilidad de Bernoulli, si es así ,encuentre la probabilidad de éxito?


Solución: Traspasamos la información entregada a la siguiente tabla: Por lo tanto su media es:∑ =+=• 55,055,00ii fxx Su varianza es: 2475,055,055,0)( 222 =−=−•∑ µiifxx La distribución binomial: Es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de “N” ensayos de Bernoulli, independientes entre si, es decir , en una distribución binomial el experimento se repite “N” veces a diferencia dela de Bernoulli que se realiza una vez. Para resolver una distribución binomial aplicamos la siguiente formula:

xnx qpx

nxP −•

=)( , donde: n : Número de eventos x : número de éxitos p : Probabilidad de éxito q : Probabilidad de fracaso Sus propiedades son: Media : pn • Varianza: qpn •• Desviación típica o estándar : qpn •• Ejemplo: Se quiere saber la probabilidad de que encontremos 10 basureros dañados de 50ubicados en un determinado barrio, se sabe que la probabilidad de que estén dañados es 15,8% 50=n 10=x 158,0%8,15 ==p 842,0%2,84 ==q .......10249,0842,0158,01050)( 4010 =•

=xP

xi 0 1 f(xi) 0,45 0,55 xi• f(xi) 0 0,55 xi2 • f(xi) 0 0,55


NIVEL DE CONFIANZA


Nivel de confianza Coeficiente

= 2αZk 50% 0,67 68% 0,99 75% 1,15 80% 1,28 90% 1,64 95% 1,96 96% 2,05 97% 2,17 98% 2,32 99% 2,58


A partir de esto se puede concluir que a medida que el nivel de confianza es mayor , la amplitud del intervalo de confianza es más grande. Ejemplo 1: Para estudiar el consumo de leche, en litros por personas al mes, se ha elegido una muestra de 150 personas cuyo consumo medio es de 22 litros. Si dicho consumo sigue una distribución normal cuya desviación estándar es de 6 litros. ¿Cuál es el intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza del 95%? Solución: A partir de la tabla de la página anterior, dado que el nivel de confianza es de un 95% , entonces: 96,12 =

αZ Además el tamaño de la muestra seleccionada es de 150 personas y la media es 22 litros. También sabemos que la muestra se distribuye normalmente con desviación estándar 6 litros, es decir:

[ ]96,22;04,21150696,122;150696,122; 22 =•+•−=•+•−

nzx

nzx

σσαα Por lo tanto con la muestra seleccionada podemos afirmar que la probabilidad de que la media poblacional se encuentre en el intervalo [ ]96,22;04,21 Es de un 95%. Ejemplo2 : Un grupo de médicos de distintos hospitales desea saber cuánto tiempo permanecen hospitalizados los pacientes con problemas cardiacos. Extraen una muestra de 80 pacientes obteniendo una media muestral de 2,5 días; ellos sabían que la desviación típica era de 4 días. Si el nivel de confianza es de un 95% ¿Cuál es el intervalo? Solución : Reemplazando los valores en la formula se tiene que: [ ]38,3;62,180496,15,2 =

•± con un 95% de confianza (1,96 se obtiene de la tabla anterior) Por lo tanto, la cantidad de días que permanecerán los pacientes será aproximadamente entre los valores dados en el intervalo.


POLÍGONOS POLÍGONO: figura plana formada por una línea poligonal cerrada. Los polígonos se clasifican en Cóncavos y Convexos. Polígono Cóncavo: es aquel donde es posible encontrar al menos dos puntos en la región interior; tal que, el segmento que determina no está íntegramente incluido en dicha región, o posee un ángulo interior mayor de 180º. Polígono Convexo: es aquel en que para todo par de puntos de la región interior, el segmento que se determina está íntegramente contenido en dicha región, sus ángulos interiores son menores de 180º. ∗ De acuerdo al número de lados se clasifican en: > 3 lados: Triángulo > 9 lados: Nonágono o Eneágono > 4 lados: Cuadrilátero > 10 lados: Decágono > 5 lados: Pentágono > 11 lados: Undecágono o Endecágono > 6 lados: Hexágono > 12 lados: Dodecágono > 7 lados: Heptágono > 15 lados: Pentadecágono > 8 lados: Octágono u Octógono > 20 lados: Icoságono ∗ La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: )2n(º180 −• (n = número de lados del polígono) ∗ La suma de los ángulos exteriores es 360º. ∗ Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados es: n-3 ∗ Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados es: 2

)3n(nD

−=


POLIGONOS REGULARES • Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales. • Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide: n

)2n(º180eriorintángulo

−=

• Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide: n

º360exteriorángulo =

• Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia • Se denomina triángulo fundamental, al triángulo que nace del centro del polígono regular, puede ser isósceles o equilátero. α

• Cada ángulo del centro mide: α = 360º N Recordar que la suma de un ángulo interior más el exterior adyacente es 180°.

Clasificación de ángulosSegún su medida, un ángulo puede ser: DEFINICIÓNÁngulo Agudo: su medida es menor que 90° DEFINICIÓNÁngulo Recto: su medida es 90°, es decir, mide la cuarta parte del ángulo completo. Se dice que sus lados son “perpendiculares” (⊥ DEFINICIÓNÁngulo Obtuso: Su medida es mayor que 90° y menor que 180° DEFINICIÓN Ángulo Extendido: Su medida es 116

ANGULOSClasificación de ángulos , un ángulo puede ser: DEFINICIÓN : su medida es menor DEFINICIÓN : su medida es 90°, es decir, mide la cuarta parte del ángulo completo. Se dice que sus lados son )⊥ DEFINICIÓN : Su medida es mayor que 90° y menor que 180° DEFINICIÓN : Su medida es 180°

°<∠<° 180AOB90∠BAC116

ANGULOS °=∠ 90BOC

°= 180BAC

º90<∠AOB


DEFINICIÓN Ángulos adyacentes: dos ángulos son adyacentes si y solo si tienen en común el vértice y un lado, y sus interiores no se intersectan. Ángulo BAC adyacente al ángulo CAD DEFINICIÓN Ángulos complementarios: dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°.”Complemento” de un ángulo es la medida del ángulo que le falta para completar 41 de giro (90°). °=+ 90βα , complemento de αα −°= 90 DEFINICIÓN Ángulos Suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180°. “suplemento” de un ángulo es la medida del ángulo que le falta para completar 21 de giro.(180°) Suplemento de αα −°= 180 Así entonces, podemos tener: a) ángulos adyacentes complementarios °=+ 90βα b) ángulos adyacentes suplementarios: °=+ 180βα

°=+ 180βα


DEFINICIÓN Ángulos opuestos por el vértice: son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de rayos opuestos. Propiedad: ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida ( son congruentes) Ángulos entre paralelas y una transversal Si dos rectas paralelas se cortan por otra recta transversal, se determinan 8 ángulos; entre los cuales hay parejas que cumplen propiedades importantes Opuestos por el vértice .Son congruentes. 75864231 ∠≅∠∠≅∠∠≅∠∠≅∠ Ángulos Correspondientes. Al trasladar L1 paralelamente hasta hacerla coincidir con L2, se superponen ciertos ángulos, éstos reciben el nombre de correspondientes, y obviamente son congruentes. 84736251 ∠≅∠∠≅∠∠≅∠∠≅∠ Ángulos alternos internos. Son los que están entre las paralelas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos internos son congruentes. ∡ 3 ≅ ∡ 5 ∡ 4 ≅ ∡ 6 Ángulos alternos externos Son los que están en el exterior de las paralelas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos alternos externos son congruentes. 8271 ∠≅∠∠≅∠

δγβα == y


Observación: T1 y T2 transversales, entonces se cumple: βαε +=

Observación: los recíprocos de las propiedades anteriores también se cumplen. Observación: Sea L1 // L2, entonces: (1) :siβα = (2) °=+ 180βα


TRIÁNGULO DEFINICIÓN Un triángulo lo podemos entender como la unión de tres segmentos determinados por tres puntos no colineales. Estos tres puntos se denominan vértices, y los segmentos, lados del triángulo; además, se determinan tres ángulos, cuyos lados son los lados del triángulo, y se denominan ángulos interiores del triángulo Se acostumbra usar letras minúsculas para los lados, de acuerdo al vértice al que se oponen.

Teorema fundamental: “En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°”

°=++ 180γβα


DEFINICIÓN Ángulo Exterior Se llama ángulo exterior de un triángulo, al ángulo formado por un lado del triángulo y la prolongación de otro. exterioresángulos';';' γβα Propiedades (1) La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes βαγ γαβ γβα

+=+=+=

'

'

' (2) La suma de las medidas de los ángulos exteriores de un triángulo es 360° °=++ 360''' γβα


• Clasificación de los triángulos Los triángulos los podemos clasificar según la medida de sus lados y de sus ángulos en: Según la medida de sus lados Equilátero: tiene sus tres lados congruentes; por lo tanto, sus tres ángulos interiores también lo son, y como la suma de sus medidas es 180°, cada uno mide 60°

Según la medida de sus ángulos Acutángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos interiores agudos Rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto. Los otros dos ángulos interiores son agudos y complementarios. Los lados que forman el ángulo recto se denominan “catetos” y el lado opuesto al ángulo recto “hipotenusa” Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo interior obtuso


Isósceles: es aquel que tiene dos lados congruentes, llamados “lados”, y el tercero se llama “base” Se puede demostrar que los ángulos opuestos a los “lados” son también congruentes. A estos ángulos se les llama “ángulos basales” Escaleno: es aquel cuyos tres lados tienen distinta medida, y por ende, sus ángulos también ELEMENTOS DEL TRIÁNGULO Se denominan “Elementos Primarios” del triángulo a sus lados y ángulos. Los “Elementos secundarios” del triángulo son los llamados “Puntos Notables” y “Rectas notables” • Rectas Notables: Se llaman así a las transversales de gravedad, alturas, bisectrices, simetrales y medianas. • Puntos notables: Son los puntos que surgen de la intersección de un mismo tipo de rectas notables, ellos son: el centro de gravedad (Baricentro), el ortocentro, el incentro y el circuncentro.


DEFINICIÓN 1. Transversal de gravedad.- Es la recta que une un vértice, con el punto medio del lado opuesto. Se denominan ta, tb, tc, donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres transversales de gravedad se intersectan en un mismo punto llamado Centro de Gravedad ( o baricentro) )Baricentroo(GravedaddeCentro:G }G{ttt tCF;tBE;tAD ladoslosdemediosPuntos:F,E,D cba cba=∩∩

=== Propiedad: El baricentro divide a cada transversal de gravedad en dos segmentos que están en la razón 2: 1. El segmento que va desde el vértice al Baricentro mide el doble que el segmento que va del Baricentro al lado

DEFINICIÓN 2.- Altura. Es la perpendicular bajada desde un vértice al lado opuesto. Se denominan ha , hb , hc ; donde el subíndice indica el vértice por el cual pasa. Las tres alturas se intersectan en un mismo punto llamado Ortocentro. Propiedad: Las alturas de un triángulo son inversamente proporcionales a los lados

khchbha cba =⋅=⋅=⋅

12

GFCG

GEBG

GDAG

===⇒

{ }Ortocentro:H

Hhhh

hCD;hBF;hAE

ABCD;ACBF;BCAE

cba

cba

=∩∩===

⊥⊥⊥


Observaciones: ∗ En un triángulo obtusángulo el ortocentro queda en el exterior del triángulo ∗ En un triángulo rectángulo, el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, puesto que los catetos se confunden con las alturas. DEFINICIÓN 3.- Bisectriz.- Es la recta que pasa por un vértice y divide al ángulo en dos ángulos congruentes. Se denominan:γβα b;b;b ; donde el subíndice indica el ángulo que dimidia. Las tres bisectrices se intersectan en un mismo punto llamado Incentro, el cual corresponde al centro de la circunferencia inscrita al triángulo, es decir, el incentro equidista de los lados del triángulo. El radio de esta circunferencia se designa por la letra griega “ ρ ”.

Propiedad: Las bisectrices dividen al lado opuesto en la razón de las medidas de los lados que forman el ángulo { } genciatandePuntos:R,Q,P Incentro:I Ibbb bCE;bBG;bAF=∩∩

=== γβα β γα BABCGACG;ACABFCFB;CBACEBAE===


Observaciones: ∗ En general, los puntos de tangencia de los lados con la circunferencia inscrita al triángulo no coinciden con los pies de las bisectrices ∗Si se dibujan las bisectrices de los ángulos exteriores de un triángulo, se determinan tres puntos que equidistan de los lados del triángulo. Dichos puntos son los “Excentros” o centros de las circunferencias exinscritas al triángulo.

DEFINICIÓN 4.- Simetral Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, en su punto medio. Las simetrales se designan por: Sa , Sb , Sc , donde el subíndice indica el lado al cual es perpendicular. El punto de intersección de las simetrales se denomina Circuncentro y corresponde al centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, es decir, el circuncentro es un punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Su radio se designa por “r”

Observación: En general, las simetrales no pasan por los vértices del triángulo. { }roCircuncent:O OSSS SOE;SOF;SOD cba cba=∩∩

===


DEFINICIÓN 5.- Mediana Es el segmento de recta que une los puntos medios de dos lados del triángulo P, Q, R : Puntos medios de los lados Propiedades: • La mediana es paralela al tercer lado:

BC//PQ;AC//QR;AB//RP • La mediana mide la mitad del lado al cual es paralela: QR2AC;PQ2BC;PR2AB === • Cuando se dibujan las tres medianas de un triángulo, se forman cuatro triángulos congruentes Nota: En general, las cuatro primeras rectas notables no coinciden, excepto en los triángulos equiláteros e isósceles.

Medianas:RP,QR,PQ


Observación:TRIÁNGULO EQUILÁTERO PROPIEDADES °=

°===

60

,unocada60aigualesángulos)2(

aCABCAB)1(α (3) Las transversales de gravedad, alturas y bisectrices son una misma recta γβα bbbhhhttt cbacba ======== 33a

33lado

tacircunscrinciacircunfereladeRadio)8(63a

63lado

inscritanciacircunfereladeRadio)7(

34a

43)lado(

Área)6(

32a

23lado

Altura)5(

mediopunto;MMBAM)4(

22

==

==

==

==

= TRIÁNGULO ISÓSCELES PROPIEDADES

vérticedelángulo)3(

basalesángulos)2(

baseAB;BCAC)1(

21β αα == (4) La altura, bisectriz, simetral y transversal trazadas desde el vértice del ángulo distinto o trazadas a la base son una misma recta. Para los otros vértices y lados no ocurre lo Mismo hc = tc = bβ= CM


La bisectriz de un ángulo interior del triángulo divide interiormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo del triángulo La bisectriz de un ángulo exterior divide exteriormente el lado opuesto en dos segmentos, cuyas medidas son proporcionales a las de los lados del correspondiente ángulo interior del triángulo.

TEOREMA DE PITÁGORAS “El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos” “En todo triángulo ABC rectángulo en C se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir 222 cba =+ ”

ab

uv

bienoba

vu

==

abEBEA=


RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS “Sea un triángulo ABC cualquiera, con lados menores a y b y lado mayor c, tales que c2 = a2 + b2, entonces el triángulo ABC es un triángulo rectángulo” · Tríos pitagóricos: (a – b – c) a b c 3 4 5 5 12 13 8 15 17 7 24 25 20 21 29 12 35 37 TEOREMAS RELATIVOS AL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Teorema: “Si uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º, entonces el lado opuesto a dicho ángulo es igual a la mitad de la medida de la hipotenusa” Tesis: 2ABBC = Teorema: “En un triángulo rectángulo la medida de la transversal de gravedad correspondiente a la hipotenusa, es igual a la mitad de la medida de dicha hipotenusa” Tesis: 2ACBM =


Corolario: “En un triángulo rectángulo, el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa” Nota: Un triángulo rectángulo queda determinado por solo dos datos: la medida de un lado y la de uno de sus ángulos agudos o la medida de dos lados. El otro dato es propio de su condición de triángulo rectángulo (ángulo de 90º) CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA A UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO Sabemos que la medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del arco que abarcan sus lados. Por esta razón, si el triángulo es rectángulo, el arco que abarcan los dos catetos es de 180º Por tanto, se cumplirá: a. La hipotenusa es el diámetro de la circunferencia. b. El triángulo rectángulo de mayor área cuya hipotenusa mide c es el isósceles de base c. c. La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa. TEOREMAS DE EUCLIDES El triángulo de la figura es rectángulo en C y CD es altura. a y b: catetos c: hipotenusa p y q: proyecciones de los catetos a y b, respectivamente. Los triángulos ACB, ADC y CDB son semejantes. Referente a la altura: En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

qph 2c •=

Referente a los catetos: En todo triángulo rectángulo cada cateto es media proporcional Geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. cpa2 •=

cba

h c•

= Clasificación angular de un triángulo conocidas las medidas de sus lados ACUTÁNGULO 222 bac +< RECTÁNGULO

222 bac += OBTUSÁNGULO 222 bac +> OBSERVACIÓN: “En todo triángulo rectángulo, el radio de la circunferencia inscrita en él, es igual al cociente entre el producto de los catetos y el perímetro del triángulo”

PROPIEDAD DE LA ALTURA CORRESPONDIENTE A LA HIPOTENUSA En un triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa determina dos triángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo inicial

cqb2 •=

cbaba++

⋅=ρ

trosemiperíme:s;2

cbas

++=


CUADRILATEROS ♦ Los ángulos interiores suman 360º ♦Los ángulos exteriores suman 360º ♦Clasificación según par de lados opuestos paralelos: > Paralelogramos (2 pares) > Trapecios (1 par) > Trapezoides (ningún par) A. PARALELOGRAMOS: ♦ Tienen 2 pares de lados opuestos paralelos. ♦Cuadrado – Rectángulo – Rombo – Romboide 1. CUADRADO: ♦ 4 ángulos interiores rectos ♦ 4 lados iguales ♦ Lados opuestos paralelos ♦ Las diagonales son iguales y son perpendiculares ♦ Las diagonales se dimidian (÷ en partes iguales) ♦ Las diagonales bisectan los ángulos ♦ Se puede inscribir una circunferencia ♦ Se puede circunscribir una circunferencia ♦d = 2a ♦ p = 4a ♦ A = a2 2. RECTANGULO: ♣ 4 ángulos interiores rectos ♣ Lados opuestos de igual medida ♣ Lados opuestos paralelos ♣ Las diagonales son iguales y se dimidian ♣ Se puede circunscribir una circunferencia ♣ p = 2a + 2b ♣ A = ab

A B D C a d1 d2

A B D C a b d1 d2


3. ROMBO: ♣ 4 lados iguales ♣ Lados opuestos paralelos ♣ Ángulos opuestos iguales ♣Ángulos contiguos suplementarios ♣Las diagonales son perpendiculares ♣Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos ♣ Se puede inscribir una circunferencia ♣ p = 4a ♣ A = a · h // A =

2

fe ⋅ 4. ROMBOIDE: ♠ Lados opuestos de igual medida ♠Lados opuestos paralelos ♠Ángulos opuestos iguales ♠ Ángulos contiguos suplementarios ♠ Las diagonales se dimidian ♠ p = 2a + 2b ♠ A = a · h B. TRAPECIOS: ♠ Tienen 1 par de lados opuestos paralelos llamados basales. ♠Trapecio Escaleno – Trapecio Isósceles – Trapecio Rectángulo 1. TRAPECIO ESCALENO: ♠ Lados no paralelos no son congruentes. ♠ CD//AB ♠α + δ = 180º ♠β + γ = 180º ♠ p = a + b + c + d ♠ A = MN · h / A = h

2

)ba(•

+ 2 baMN +=

A B D C a d1 d2 f e h

A B D C a d1 d2 h b A B D C a h d c b N M α β γ δ


2. TRAPECIO ISOSCELES: ∗ Lados no paralelos son iguales (BCAD = ) ∗ CD//AB ∗ Las diagonales son iguales ∗ Ángulos contiguos suplementarios ∗α = β ∗γ = δ ∗p = a + b + 2c ∗ A = MN · h / A = h

2

)ba(•

+ 3. TRAPECIO RECTANGULO: ∗ Uno de sus lados no paralelos es perpendicular a las bases. ∗ AB es perpendicular a AD ∗DA es perpendicular aDC ∗ CD//AB ∗ c = h = altura ∗ Ángulos en A y D son rectos ∗β + γ = 180º ∗ p = a + b + c + d ∗A =MN · h / A = h

2

)ba(•

+ 4. MEDIANA DE UN TRAPECIO: ♦ Segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. ♦Es paralela a las bases. ♦ 2 DCABMN +

=

A B D C a h d c b N M α β γ δ d1 d2 A B D C a d b N M h c β γ

A B D C N M


C. TRAPEZOIDES: ♦No tienen lados opuestos paralelos. Uno de los trapezoides más importantes es el deltoide Los trapezoides simétricos se denominan DELTOIDES y cumplen las siguientes propiedades: 1. DC ≅ AD 2. CB ≅ AB 3. DB ⊥ AC 4. ∠ ADE ≅∠ CDE 5. ∠ ABE ≅∠ CBE D. PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS: ♦ En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. (α + γ = β + δ = 180º) ♦ En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas de cada par de lados opuestos son iguales entre sí.(a + c = b + d)

A B D a d c b α β γ δ C

A B D α β γ δ C

A B D a d c b C

A B D C E


CONGRUENCIA DE TRIANGULOS DEFINICIÓN Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.

∠≅∠∠≅∠∠≅∠

≅

≅

≅

⇒≅ RC QB PA RQCB PRAC PQABPQRΔABCΔ POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a ese lado. LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente iguales. LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales. LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de esos lados respectivamente iguales.

RAZÓN ENTRE TRAZOS Llamamos razón entre dos trazos AB y CD a la razónexpresadas en la misma unidad de longitud. 1. Si la razón entre los trazos es un número racional, los trazos se dicen conmensurables. 2. Si la razón entre los trazos es un número irracional, los trazos se dicen inconmensurables. Ejemplos: a) La razón entre el lado de un cuadrado y su perímetro es 1 : 4, sonconmensurables.b) La razón entre la altura de un triángulo equilátero y su lado es inconmensurables. DEFINICIÓN Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan lados homólogos proporcionales 138

RAZÓN ENTRE TRAZOS Llamamos razón entre dos trazos AB y CD a la razónexpresadas en la misma unidad de longitud. Si la razón entre los trazos es un número racional, los trazos se dicen conmensurables.Si la razón entre los trazos es un número irracional, los trazos se dicen La razón entre el lado de un cuadrado y su perímetro es 1 : 4, sonconmensurables. La razón entre la altura de un triángulo equilátero y su lado es inconmensurables. SEMEJANZA DE POLIGONOS Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan lados homólogos proporcionales

138

Llamamos razón entre dos trazos AB y CD a la razón entre las medidas de dichos trazos Si la razón entre los trazos es un número racional, los trazos se dicen conmensurables.Si la razón entre los trazos es un número irracional, los trazos se dicen La razón entre el lado de un cuadrado y su perímetro es 1 : 4, son La razón entre la altura de un triángulo equilátero y su lado es 23 , sonSEMEJANZA DE POLIGONOS Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan

∡ A ≅∡ P ∡ B ≅∡ Q ∡ C ≅∡ R ∡ D ≅∡ S ∡ E ≅∡ T QRBCPQAB=


entre las medidas de dichos trazos Si la razón entre los trazos es un número racional, los trazos se dicen conmensurables. Si la razón entre los trazos es un número irracional, los trazos se dicen , son Dos polígonos de un mismo número de lados se dirán semejantes, cuando los ángulos del uno sean respectivamente iguales con los ángulos del otro y cuando, además, tengan sus TPEASTDERSCDQRBC

===


Observación: Esta definición de semejanza encierra la idea de similitud de forma; es decir, dos polígonos son semejantes, sí y solo si, tienen la “misma forma”. Así, por ejemplo; (1) todos los cuadrados son semejantes entre sí (2) todos los triángulos equiláteros son semejantes entre sí (3) todos los pentágonos regulares son semejantes entre sí En general, todos los polígonos regulares de un mismo número de lados son semejantes entre sí; e incluso podemos extender esta definición y decir también que todas las circunferencias son semejantes entre si. PROPIEDADES DE POLÍGONOS SEMEJANTES 1. La razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es la misma que sus lados homólogos (los lados homólogos son los que se oponen a los ángulos congruentes). 2. En polígonos semejantes las transversales homólogas son proporcionales a los lados homólogos. (Ejemplo: alturas de un triángulo y su lado respectivo) 3. Las áreas de polígonos semejantes son proporcionales a los cuadrados de las medidas de los lados homólogos, a las transversales homólogas,..., etc. En general, proporcionales al cuadrado de la razón de sus líneas. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS El hecho que todo polígono, de más de tres lados, admita descomposición en triángulos, motivó en los geómetras una especial atención por estas elementales figuras RPCAQRBCPQAB y RC;QBP;A :sisoloysiΔPQRΔABC==

∠=∠∠=∠∠=∠≈


TEOREMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Los geómetras griegos de la antigüedad, notaron que para establecer la semejanza entre dos triángulos no era necesario verificar cada una de las seis condiciones expuestas anteriormente, sino que la ocurrencia de algunas de ellas provocaba necesariamente la ocurrencia de los otros restantes. * TEOREMA FUNDAMENTAL Para que dos triángulos sean semejantes, basta que los ángulos de uno sean iguales a los ángulos del otro Corolario: Toda paralela a un lado de un triángulo, determina un triángulo semejante al primero Si AB//DE , entonces ∆ CDE ~ ∆CAB Los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos proporcionales. TEOREMA AA (O CRITERIO AA DE SEMEJANZA) Dos triángulos que tienen dos ángulos respectivamente congruentes son semejantes Hipótesis: ∡A ≅∡ D y ∡C ≅∡F Tesis∆ ABC ∼∆ DEF


Nota: Ten presente que si un triángulo es semejante a otro y este último es congruente con un tercero, el primero y el tercero son semejantes. TEOREMA LAL (O CRITERIO LAL DE SEMEJANZA) Si en dos triángulos las medidas de dos pares de lados son proporcionales y los ángulos comprendidos entre esos lados son congruentes, entonces los triángulos son semejantes. ⇓

∠≅∠∧= 'CC'B'C

CB'A'C

CA ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’ TEOREMA LLL (o criterio LLL de semejanza) Si las medidas de los tres pares de lados de dos triángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes. 'A'C

CA'C'B

BC'B'A

AB==

⇒ ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’ Nota: Como criterios de semejanza de triángulos tenemos el teorema AA y los teoremas LAL y LLL Nota: los criterios de semejanza son condiciones mínimas para decidir si dos triángulos son semejantes. Una vez comprobada la semejanza se cumplen todas las condiciones que le son propias, es decir, los tres ángulos correspondientes son congruentes y los tres pares de lados homólogos, proporcionales. Nota: Se llaman figuras equivalentes a aquellas que poseen igual área


SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Dos triángulos rectángulos siempre tienen un ángulo congruente entre ellos: el de 90°. Por lo tanto, se tiene dada, de antemano, una condición para que sean semejantes. Entonces, a partir del teorema de semejanza AA (para cualquier triángulo), se deduce: a. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruente. b. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen los catetos respectivamente proporcionales c. Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen las medidas de la hipotenusa y de un cateto respectivamente proporcional. RAZÓN ENTRE LAS ALTURAS DE TRIÁNGULOS SEMEJANTES Si dos triángulos son semejantes, entonces sus alturas correspondientes son proporcionales a los lados respectivos. Sea ∆ ABC ∼∆ A’B’C’. Por el postulado AA se tiene que ∆ADC ∼∆ A’D’C’. De esa semejanza se deduce que: C'A'ACD'C'CD=


En general, esto se puede demostrar para todos los elementos secundarios homólogos de dos triángulos semejantes. λαα ==== ..................'b

b'tt

'hh

c

c

a

a RAZÓN DE LOS PERÍMETROS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES Los perímetros de triángulos semejantes están en la misma razón que dos trazos homólogos cualesquiera

....................................bb

hh

'C'B'A∆perímetroABC∆perímetro

'a

a

'c

c === RAZÓN DE LAS ÁREAS DE DOS TRIÁNGULOS SEMEJANTES Las áreas de triángulos semejantes están en una razón equivalente al cuadrado de la razón en que se encuentran dos trazos homólogos cualesquiera

..........................hh

bb

'C'B'A∆áreaABC∆área

2

'c

c

2

'a

a =

=

=

• Al comparar por cuociente las medidas de dos segmentos expresados en la misma unidad, se establece una razón entre estas medidas. Nota: MN es el segmento. MN es la medida de MN La razón entre dos segmentos, es decir, entre sus medidas, es un número real positivo. Dicho número puede ser racional o irracional.


• Si la razón entre dos segmentos es un número racional, diremos que lo segmentos son conmensurables entre sí. Si la razón entre dos segmentos es un número irracional, diremos que esos segmentos son inconmensurables entre sí. Nota: los lados de un polígono se dicen homólogos si están comprendidos entre dos ángulos respectivamente congruentes. • Todos los polígonos regulares de igual número de lados son semejantes (todos los triángulos equiláteros son semejantes) • Dados dos polígonos semejantes, aun cuando no sean regulares, se cumple que sus perímetros están en la razón que hay entre cualquier par de lados homólogos.

Perímetro polígono ABCDE = P = a + b + c + d +e Perímetro polígono A’B’C’D’E’ = a’ + b’ + c’ + d’ + e’ 'ee

'PP

....;;.........'b

b'P

P;

'aa

'PP

===


HOMOTECIA Es una transformación en el plano, que permite obtener un polígono semejante a otro polígono dado. La figura A´B´C´ se construyo tomando el punto O y trazando paralelas al triángulo ABC, por lo tanto el triángulo OCB es semejante al triángulo OC´B´, entonces: BC

CB

OC

OC

OB

OB ´´´´== Lo anterior es válido para todos los lados correspondientes, es decir:

KBA

AB

CA

AC

BC

CB===

´´´´´´ K es el factor de conversión o escala de conversión de una homotecia, siendo K la razón entre las medidas de los lados correspondientes de los polígonos semejantes. Una homotecia (O,K) tiene como centro de homotecia el punto O y una escala de conversión de número K Una homotecia con factor de conversión menor que 1 y mayor que cero nos permite obtener una figura más pequeña que la original, en caso contrario la figura es más grande. Ejemplos • A un triángulo equilátero de lado 6cm se le aplica una homotecia

23,P ¿cuál es el perímetro de la nueva figura? Solución: 27cm

• El área de un cuadrado es de 64cm2 y al aplicar una homotecia, el área del cuadrado resultante es de 4cm2 .¿cuál es el factor de conversión de la homotecia? • Solución: K = 1/4

A B C O A´ B´ C´

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA: A. DIVISION INTERIOR: Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m: n,si AP: PB = m: n nm

PBAP

= B. DIVISION EXTERIOR: Dados dos números reales positivos m y n, dividir exteriormente un trazo AB en la razón m : n, significa encontrar en el exterior del trazo AB, o sea en la prolongación del mismo, más allá de A o de B, un punto Q tal que: n

m

QB

AQ= n m m n Q A B A B Q Si m<n si m>n Ejemplo: Un punto D situado en la prolongación del trazo AB = 36 cm es tal que DA : DB = 7 : 3 (sol: 27 y 63) C. DIVISION ARMONICA: Dividir armónicamente el trazo AB en la razón m: n, significa dividirlo interiormente (punto P) y exteriormente (punto Q) en una misma razón dada, tal que: nmQBAQPBAP

== La circunferencia que pasa por los puntos de división interior y exterior recibe el nombre de circunferencia de Apolonio, recuerda que el Teorema de Apolonio se da en un triángulo con las bisectrices interiores y exteriores. A B P Q m m n n


D. DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento mayor y el menor. OBSERVACIÓN: La razón APAB se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO ÁUREO : 618034,1

215

APAB

≈+

= CIRCUNFERENCIA DEFINICION: Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto. Esta distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por el centro, se le denomina diámetro, el cual equivaldría a dos veces el radio. NOTA: No se debe confundir con el círculo, el cual, es la superficie compuesta por los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos.

)PBAP(PBAP

APAB

>=

dr2AB

r2BOAO

:quededuceseanteriorloDe

)diámetro(ABd

)radio(BOr

)radio(AOr

==

=+

=

=

=


TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS VECTORES Un vector posee las siguientes características: ∗Origen o también denominado punto de aplicación: corresponde al punto exacto sobre el cual actúa el vector ∗Dirección: está dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene ∗Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector ∗Dos vectores son iguales al ser paralelos y tener la misma intensidad o módulo ∗Dos vectores son opuestos al tener igual intensidad y dirección, pero de sentido opuesto ∗Las coordenadas de un vector se denominan componentes, además todo vector está definido por dos puntos, y a su vez, cada punto tiene dos componentes, una x y otra y, que corresponden a las componentes cartesianas del vector ∗Todo vector además posee módulo que corresponde a la longitud o tamaño del vector, dado por la expresión

22 yxv += ∗El vector o segmento orientado con origen en A y extremo en B, se representa por el símbolo AB Nota: vv −=

Magnitud

Origen

Sentido

Dirección


Adición de vectores. Propiedades ∗ Conmutativa abba +=+ ∗ Asociativa )cb(ac)ba( ++=++ ∗ Existencia elemento neutro avectortodopara,aa00a =+=+ ∗ Existencia de elemento inverso 0aa)a(a =+−=−+ Nota: El vector nulo 0 (cero) no puede representarse por una flecha: tiene módulo nulo y carece de dirección y sentido Adición de vectores Se copia uno de los vectores, del extremo del primer vector se copia el segundo vector y luego al unir los dos extremos se obtiene el vector resultante La sustracción vectorial ba − está definida por )b(a −+ , es decir, “el vector “ a ”más el opuesto del vector b ” Al número real que pondera a un vector también se le llama escalar. La ponderación cumple las siguientes propiedades. a) bkak)ba(k +=+ b) anaka)nk( +=+ c) )an(ka)kn( =


Nota. La ponderación permite expresar vectorialmente la colinealidad de puntos. Si A, B y C son tres puntos colineales, entonces existe algún número real k tal que: ABkAC = Definición: Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las transformaciones que no alteran la forma ni el tamaño de la figura sobre la que se aplica; sólo pueden cambiarla de posición (la orientación o el sentido de ésta) Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las reflexiones (o simetrías) Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en línea recta, manteniendo su forma y su tamaño. En una traslación se distinguen tres elementos: Dirección: que puede ser horizontal, vertical u oblicua Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo Magnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posición inicial y la posición final de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una figura en un sistema de ejes coordenados es necesario señalar el vector de traslación. Éste es un par ordenado de números (x,y) donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical EJEMPLO 1: Al punto (2, 3) del plano se le aplica una traslación, obteniéndose el punto (5, 2). Si al punto (-2,-1) se le aplica la misma traslación se obtiene el punto A) (1, -2) B) (-5, 0) C) (3, -1) D) (-5, 2) E) (1, 0) Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una rotación se identifican tres elementos: El punto de rotación (o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a efectuar la rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella. Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un punto cualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y el punto correspondiente en la figura obtenida después de la rotación El sentido de giro, que puede ser obtenido (en el sentido contrario al avance de los punteros del reloj) Nota: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de la figura girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el punto correspondiente de la figura original y el centro de rotación.


Punto Inicial R (0, 90º) R(0, 180º) R(0, 270º) R(0, 360º) (x, y) (-y, x) (-x, -y) (y, -x) (x, y ) EJEMPLO2:En la figura, al vértice C del cuadrado ABCD se le aplica una rotación en180° en el sentido horario, con centro en A. ¿Cuáles son las coordenadas de C en su nueva posición? A) En (2, 2) B) En (2, 0) C) En (4, 2) D) En (0, 0) E) En (0, 2) Una reflexión de un figura geométrica respecto de un eje llamado eje de simetría es el movimiento que transforma la figura de manera que cada punto P y su imagen P’ equidisten del eje de simetría y el segmento 'PP sea perpendicular al eje de simetría Nota: (1) Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetría axial (2) Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetría central EJEMPLO 3: En la figura, la imagen reflexiva del punto P, con respecto al eje de simetría L, es el punto A) Q B) R C) S D) T E) U


Ejes de simetría: Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a un eje ésta se mantiene “invariante”, es decir, no cambia, diremos que ése es un eje de simetría de la figura. El cuadrado de la figura permanecerá igual si se refleja en torno a sus diagonales. Ambas diagonales son ejes de simetría del cuadrado. También permanecerá igual (o se superpondrá sobre sí mismo) si se refleja en torno a los ejes determinados por los puntos medios de lados opuestos Estos ejes también son ejes de simetría del cuadrado. El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría En el caso de los triángulos, tenemos: Tipo Ejes Triángulo equilátero Tres ejes de simetría Triángulo Isósceles Un eje de simetría Triángulo Escaleno Ningún eje de simetría En el caso de los cuadriláteros, tenemos: Tipo Ejes Cuadrado Cuatro ejes de simetría Rectángulo Dos ejes de simetría Rombo Dos ejes de simetría Trapecio isósceles Un eje de simetría Trapezoide Ningún eje de simetría Nota: El círculo tiene infinitos ejes de simetría. Cada recta que pasa por el centro es un eje de simetría del círculo. Nota: En el caso de los polígonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetría como números de lados


EJEMPLO-4:¿Cuál(es) de los siguientes cuadriláteros tiene(n) siempre ejes de simetría? I) Cuadrado II) Rombo III) Trapecio A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III Teselar una superficie consiste en cubrirla completamente con “baldosas”, de modo que éstas encajen perfectamente sin dejar espacios por cubrir Con rectángulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o teselar. También es posible teselar con cualquier tipo de triángulos Con polígonos regulares. La condición que debe cumplirse para recubrir una superficie es que los ángulos que convergen en cada vértice sumen 360°. Nota: Los únicos polígonos regulares que permiten teselar son los triángulos equiláteros, los cuadrados y los hexágonos regulares. Todo cuadrilátero tesela el plano EJEMPLO -5: El piso de un baño se puede teselar con 360 cerámicas cuadradas de 10 cm de lado cada una. Si se pudiera teselar con cerámicas cuadradas de 30 cm de lado, entonces el número de cerámicas que se ocuparían es A) 120 B) 60 C) 40 D) 18 E) 12


TEOREMA PARTICULAR DE THALES Si una recta es paralela a un lado de un triángulo, intersectando en dos puntos diferentes a los otros lados lados, entonces determina sobre ellos segmentos proporcionales: Observación: 1. Si una recta intersecta dos lados de un triángulo y determina en ellos segmentos proporcionales, entonces es paralela al tercer lado. 2. Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo origina un triángulo semejante al primero. TEOREMA GENERAL DE THALES Dado un haz de al menos tres rectas paralelas, cortadas por dos transversales, las paralelas determinan en las transversales segmentos proporcionales. Así, si en figura anterior, las rectas AA’, BB’, CC’ y DD’ son paralelas, entonces el teorema de Thales nos dice que las longitudes de los segmentos en uno de los lados son proporcionales a las longitudes de los segmentos en el otro lado. Matemáticamente se escribe así: AB = BC = CD A’B’ B’C’ C’D’ Ejemplo: En la figura AD = 120, AE // BF // CG // DH, determina x, y, z (sol: 24, 36 y 60)

A C D E B Si DE // AB, entonces: EB

CE

DA

CD=

A A’ B B’ C C’ D D’ A B C D x y z E F G H 30 50 20


COROLARIO DEL TEOREMA DE THALES Si los lados de un ángulo o sus prolongaciones se intersectan con un haz de rectas paralelas, los segmentos que se determinan en los lados del ángulo son proporcionales. Si los lados de dos ángulos opuestos por el vértice son intersectados por un par de rectas paralelas, los segmentos determinados son proporcionales: Ejemplo: En la figura AB // CD determine x si CD = 2cm ( sol: 2) A C 10 x+4 x+13 4 B D Nota: en una proporción es posible: (a) alternar los términos medios (b) alternar los términos extremos (c) invertir las razones (d) permutar las razones (e) componer o descomponer la proporción respecto al antecedente o al consecuente de cada razón

D E A B AC

CE

CB

DC= C


x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586 0,1 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535 0,2 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409 0,3 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173 0,4 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793 0,5 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240 0,6 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490 0,7 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524 0,8 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327 0,9 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891 1,0 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214 1,1 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298 1,2 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147 1,3 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774 1,4 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189 1,5 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408 1,6 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,98053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449 1,7 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327 1,8 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062 1,9 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670 2,0 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169 2,1 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574 2,2 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899 2,3 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158 2,4 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361 2,5 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520 2,6 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643 2,7 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736 2,8 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807 2,9 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861 3,0 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 3,1 0,99903 0,99906 0,99910 0,99913 0,99916 0,99918 0,99921 0,99924 0,99926 0,99929 3,2 0,99931 0,99934 0,99936 0,99938 0,99940 0,99942 0,99944 0,99946 0,99948 0,99950 3,3 0,99952 0,99953 0,99955 0,99957 0,99958 0,99960 0,99961 0,99962 0,99964 0,99965 3,4 0,99966 0,99968 0,99969 0,99970 0,99971 0,99972 0,99973 0,99974 0,99975 0,99976 3,5 0,99977 0,99978 0,99978 0,99979 0,99980 0,99981 0,99981 0,99982 0,99983 0,99983 3,6 0,99984 0,99985 0,99985 0,99986 0,99986 0,99987 0,99987 0,99988 0,99988 0,99989 3,7 0,99989 0,99990 0,99990 0,99990 0,99991 0,99991 0,99992 0,99992 0,99992 0,99992 3,8 0,99993 0,99993 0,99993 0,99994 0,99994 0,99994 0,99994 0,99995 0,99995 0,99995 3,9 0,99995 0,99995 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99996 0,99997 0,99997 4,0 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99997 0,99998 0,99998 0,99998 0,99998


TABLA NIVEL DE CONFIANZA Nivel de confianza Coeficiente

= 2αZk 50% 0,67 68% 0,99 75% 1,15 80% 1,28 90% 1,64 95% 1,96 96% 2,05 97% 2,17 98% 2,32 99% 2,58

diccionario p.s.u. matemÁtica...números enteros pares e impares: ... 1234,56 tiene 6 cifras...

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