Sesioacuten 1 Conceptos previos fiacutesica y medicioacuten

Introduccioacuten

La observacioacuten y la experimentacioacuten constituyen dos procesos de vital importancia en el desarrollo de la Fiacutesica

iquestEn queacute consiste la observacioacuten

La observacioacuten consiste en examinar detalladamente un fenoacutemeno o cualquier proceso que ocurra en la naturaleza

En la observacioacuten en muchas oportunidades se hace uso de los cinco sentidos y no soacutelo de la visioacuten

iquestQueacute es experimentar

La experimentacioacuten consiste en la reproduccioacuten de un fenoacutemeno bajo condiciones controladas

La observacioacuten cientiacutefica se caracteriza porque es rigurosa planificada sistemaacutetica y selectiva De acuerdo a Bunge1 un experimento es por definicioacuten una experiencia cientiacutefica en la cual se provoca deliberadamente alguacuten cambio y su resultado se observa y se interpreta con alguna finalidad cognoscitiva

Se puede distinguir dos tipos de experimentos

1) Experimento cualitativo en este experimento los valores de las magnitudes y su expresioacuten numeacuterica no se lleva a cabo con precisioacuten cuantitativa

2) Experimento cuantitativo en este experimento los valores de las magnitudes o factores maacutes importantes son objeto de la medicioacuten

El meacutetodo experimental

Como se ha comentado anteriormente la experimentacioacuten consiste en gran medida en la observacioacuten de un fenoacutemeno bajo condiciones fijadas por el experimentador Esto uacuteltimo es de gran importancia pues permite alterar los factores que intervienen en un proceso con el objeto de obtener relaciones entre los paraacutemetros que caracterizan el procesoLa experimentacioacuten es una metodologiacutea disentildeada para investigar ya sea en el campo de las ciencias naturales como en el de las ciencias sociales

1 Mario Augusto Bunge fiacutesico filoacutesofo de la ciencia y humanista argentino destacado defensor del realismo cientiacutefico y de la filosofiacutea exacta

Concepto de medida

iquestQueacute significa medir

Medir significa comparar una cantidad con otra de la misma clase que se ha elegido como unidad de medida es decir significa encontrar el nuacutemero de veces que la unidad elegida (muacuteltiplo o submuacuteltiplo) estaacute contenida en la cantidad que se estaacute midiendo

EJEMPLOS La estatura de este nintildeo se compara con las longitudes marcadas con liacuteneas sobre un trozo de madera que sirve como regla a su vez cada liacutenea dibujada sobre la regla se obtiene a partir del uso de una medida estandarizada denominada patroacuten

Este instrumento permite saber cuantas veces ldquocaberdquo la unidad usada como patroacuten por ejemplo el centiacutemetro en la estatura del nintildeo

En otras palabras si la estatura es por ejemplo 1275 cm la unidad centiacutemetro ldquocaberdquo 1275 veces en la estatura del nintildeo O equivalentemente la estatura del nintildeo es 1275 veces la unidad patroacuten que en este ejemplo corresponde al centiacutemetro

La masa de la botella de la izquierda se compara con la de las pesas calibradas de la derecha a su vez estas pesas se fabrican comparaacutendolas con una masa patroacuten

La balanza de brazos iguales permite determinar si las masas que se comparan son iguales o no

Sistemas de unidades

Antiguamente las unidades de medicioacuten eran inexactas y no eran universales por ejemploel ldquocodordquo era una unidad de longitud y correspondiacutea al largo de un antebrazo como otro ejemplo se puede mencionar que una yarda era la distancia entre la punta de la nariz de una persona y la punta del dedo medio de su brazo extendidoComo se puede apreciar el problema con este tipo de unidades era su variacioacuten de una persona a otra de una eacutepoca a otra y de un lugar a otro El avance de la ciencia y la tecnologiacutea hizo necesaria una normalizacioacuten

Patrones de unidades

Kilogramo y metro patroacuten

Oficina Internacional de Pesos y medidas

(Bureau Internacional des Poids et Mesures) Sevres Francia

El metro

Histoacutericamente se definioacute como la diezmilloneacutesima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por Pariacutes Cuando se demostroacute que las medidas geodeacutesicas no alcanzan la precisioacuten requerida se decidioacute establecer un prototipo patroacuten constituido por la longitud entre dos trazos hechos sobre una barra de platino e iridio mantenido a cero grados centiacutegrados (1889)

En la actualidad se conserva la siguiente definicioacuten para el metro

ldquoEl metro es la longitud del trayecto recorrido por la luz en el vaciacuteo durante el intervalode tiempo de 1299792458 de segundordquo

El kilogramo

Corresponde a la masa de un cilindro de platino e iridio (90 y 10 respectivamente) de39 cm de diaacutemetro y 39 cm de altura

El segundo

Es el patroacuten de tiempo Hacia el antildeo 1900 el estaacutendar de tiempo fue definido en teacuterminos del diacutea solar medio (Un diacutea solar es el intervalo de tiempo entre apariciones sucesivas del Sol en el punto maacutes alto que alcanza en el cielo cada diacutea) El segundo (s) fue definido como

( 160 )( 1

60 )( 124 ) de un diacutea solar medio Ahora se sabe que la rotacioacuten de la Tierra variacutea

ligeramente con el tiempo Debido a eso este movimiento no proporciona un tiempo estaacutendar que sea constanteEn 1967 el segundo fue redefinido para sacar ventaja de la enorme precisioacuten que se logra con un dispositivo conocido como reloj atoacutemico que mide vibraciones de aacutetomos de cesio Ahora un segundo se define como el tiempo que requiere el aacutetomo de cesio 133 para realizar 9192631770 vibraciones correspondientes a la transicioacuten entre los niveles hiperfinos de su estado fundamental

Magnitudes fundamentales

En Fiacutesica una magnitud corresponde a alguna caracteriacutestica o propiedad determinada que puede cuantificarse La longitud el tiempo la fuerza la masa la presioacuten la energiacutea son ejemplos de magnitudes fiacutesicas

Las magnitudes fiacutesicas pueden ser escalares o vectoriales

Una magnitud fundamental es aquella que no se puede definir o expresar a partir de otras

Sistema Internacional de Unidades (S I)

El Sistema Internacional de Unidades con la abreviacioacuten SI surge oficialmente en la 2da

Conferencia General de Pesos y Medidas en 1960

El S I se deriva del sistema meacutetrico decimal que surgioacute en Francia a fines del siglo XVIII y que a su vez tuvo una etapa precursora de varios siglos anteriores a dicha fecha El S I es administrado por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (CIPM) cuya sede central estaacute en Sevres Pariacutes

Las decisiones cientiacuteficas de su quehacer son tomadas por el CIPM Este Comiteacute estaacute asesorado por ocho comiteacutes consultativos especializados en las aacutereas de Electricidad Fotometriacutea Termometriacutea El Metro El Segundo Masa Radiactividad y UnidadesMuy brevemente se pueden sentildealar las etapas

-El sistema meacutetrico decimal se impone oficialmente en Francia el 1 de Enero de 1840-Chile se suscribe al sistema meacutetrico decimal en 1848- En Mayo de 1875 surge el Tratado del metro creaacutendose la Oficina Internacional de Pesos y Medidas a la cual Chile se suscribe en 1908

- En 1960 se establece el S I como se ha mencionado maacutes arriba Chile introduce oficialmente el S I en 1977- Actualmente en Chile El Instituto Nacional de Normalizacioacuten (INN) es el organismo que tiene a su cargo el estudio y preparacioacuten de las normas teacutecnicas a nivel nacional

El Sistema Internacional comprende tres clases de unidades las cuales en conjunto forman el sistema coherente de unidades

- Unidades fundamentales o baacutesicas- Unidades suplementarias- Unidades derivadas

Unidades fundamentales del S I

Estas unidades corresponden a aquellas que sirven como base para expresar el resto de las unidades Dentro de estas siete se destacan las unidades usadas para medir longitud masa y tiempo es decir el ldquometrordquo el ldquokilogramordquo y el ldquosegundordquo

Magnitud Nombre Siacutembolo

Longitud Metro mMasa Kilogramo kgTiempo Segundo sCorriente eleacutectrica Ampere ATemperatura termodinaacutemica Kelvin KCantidad de sustancia Mol molIntensidad luminosa Candela cd

Unidades suplementarias

La Conferencia General de Pesas y Medidas no ha clasificado ciertas unidades delSistema Internacional como unidades fundamentales o como unidades derivadasEstas unidades indicadas en la tabla se denominan Unidades Suplementarias y puedenser consideradas ya sea como unidades fundamentales o como unidades derivadas

Magnitud Nombre Siacutembolo

Aacutengulo plano Radiaacuten radAacutengulo soacutelido Estereorradiaacuten sr

Unidades derivadas

Las unidades derivadas se expresan algebraicamente en teacuterminos de unidades fundamentales yo unidades suplementarias Sus siacutembolos se obtienen mediante los signos

matemaacuteticos de multiplicacioacuten y divisioacuten por ejemplo la unidad S I para la velocidad angular es el radiaacuten por segundo (rads)

Para algunas de las unidades derivadas S I existen nombres y siacutembolos especiales los aprobados por la Conferencia General de Pesas y Medidas se indican en la tabla

Algunas veces es ventajoso expresar las unidades derivadas en teacuterminos de otras unidades derivadas que tienen nombres especiales por ejemplo la unidad S I para el momento eleacutectrico dipolar se expresa usualmente como Ctimesm en lugar de Atimesstimesm

Magnitud Nombre Siacutembolo Equivalencia

Frecuencia Hertz Hz 1 Hz = 1sFuerza Newton N 1 N = 1 kgms2

Presioacuten Tensioacuten Mecaacutenica Pascal Pa 1 Pa = 1 Nm2

Energiacutea Trabajo Calor Joule J 1 J = 1 NmPotencia Watt W 1 W = 1 JsEtc

Muacuteltiplos de unidades del S I

Los prefijos dados en la tabla siguiente se usan para formar nombres y siacutembolos de muacuteltiplos (muacuteltiplos y submuacuteltiplos decimales) de las unidades S I

Muacuteltiplos de unidades del S I

SESIOacuteN 1-2ordf Parte CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ERRORES

Cifras significativas

iquestQueacute son las cifras significativas

Las cifras significativas son los diacutegitos necesarios para representar la precisioacuten de la medida expresaacutendola en forma de un valor numeacuterico No se consideran los ceros a la izquierda del primer diacutegito real

Consideremos como ejemplo la medicioacuten del largo de un cabello realizado con instrumentos de distinta sensibilidad

a) Una regla graduada al miliacutemetro (1 mm)b) Un Pie de Metro graduado a la deacutecima de mm (01 mm )c) Un tornillo micromeacutetrico graduado a la centeacutesima de mm (001 mm)d) Microscopio comparador graduado en mileacutesima de mm (0001 mm)

Los valores experimentales medidos con estos instrumentos podraacuten ser leiacutedos realmente al mm en el caso de la regla graduada a la deacutecima de mm para el Pie de Metro a la centeacutesima de mm para el tornillo micromeacutetrico o a la mileacutesima de mm para el microscopio En cada uno de los casos anteriores podraacute estimarse ldquoa ojordquo una cifra maacutes de las realmente leiacutedas lo que se logra haciendo una interpolacioacuten entre los liacutemites de la menor divisioacuten disponible en la graduacioacuten del instrumento esta cifra es incierta es decir no existe seguridad de su valor exacto

Los valores experimentales leiacutedos y expresados por el nuacutemero de cifras significativas correspondientes serian por ejemplo

a) Regla 18 mm 2 cifras significativasb) Pie de Metro 180 mm 3 cifras significativasc) Tornillo micromeacutetrico 1802 mm 4 cifras significativasd) Microscopio 18015 mm 5 cifras significativas

No se puede afirmar que en base a lo que indica el microscopio la longitud del cabello sea 18015 mm sino soacutelo que eacuteste es el valor con mayor precisioacuten alcanzada con los meacutetodos de medicioacuten utilizados en este ejemplo Si decimos que el cabello mide exactamente 18015 mm de longitud estamos afirmando que todas las infinitas cifras que siguen del 5 son cero es decir longitud = 18015000000000000hellip desde el punto de vista fiacutesico decir esto es incorrecto ya que ello significa que hemos utilizado un instrumento con infinita sensibilidad para medir las infinitas cifras a partir del 5 y hemos encontrado que todas valen cero iquestMedir infinitas cifras iexcles imposible iquestinstrumentos de sensibilidad infinita iexcles imposible

Cabe hacer notar que en el caso de la lectura realizada con el Pie de Metro el cero de la derecha tiene importancia ya que no seriacutea correcto decir que los valores 25 y 250 tienen igual significado

Las cifras significativas de un nuacutemero son aquellas que se miden o que son medibles Un cero no es significativo si no se encuentra entre otras dos cifras o estaacute a la derecha de la parte decimal de un nuacutemero Asiacute por ejemplo el cero en 130 es significativo mientras que los ceros en 005 no son significativos

Introduccioacuten a la medicioacuten

En su actividad praacutectica el profesional de la construccioacuten y la ingenieriacutea se encuentra a cada instante con iacutendices cuantitativos (resistencia de materiales dosis de componentes en una mezcla concentraciones longitudes fuerzas aplicadas etc) de aquiacute la importancia de saber coacutemo se obtienen esas y otras magnitudes afines cuaacutel es su precisioacuten en que unidades estaacuten maacutes comuacutenmente expresadas queacute instrumentos y teacutecnicas son adecuados a cada propoacutesito coacutemo se elaboran las diferentes mediciones etc

Por lo anterior se hace indispensable realizar un breve recorrido por los aspectos esenciales de la metrologiacutea

Metrologiacutea Ciencia sobre las mediciones los meacutetodos y medios de asegurar su unidad y sobre los modos de lograr la precisioacuten requerida

Medicioacuten Es la determinacioacuten del valor de una magnitud fiacutesica por viacutea experimental valieacutendose de medios teacutecnicos

Las mediciones permiten determinar las regularidades de la naturaleza y son un elemento de conocimiento del mundo que nos rodea

Las mediciones pueden ser

Directas cuando el resultado se obtiene midiendo directamente la magnitud que se quiere determinar Ejemplo la medicioacuten de la longitud de un terreno con una huincha

Indirectas cuando el valor de la magnitud que se quiere determinar se encuentra mediante una dependencia conocida entre dos o maacutes magnitudes que pueden ser medidas directamente Ejemplo la determinacioacuten de la densidad de un liacutequido como resultado de medir su masa en una balanza medir su volumen con una probeta graduada y calcular densidad = (masa volumen)

Los medios teacutecnicos para realizar las mediciones (medios de medicioacuten) pueden ser de diferentes tipos

El aparato de medicioacuten cuya informacioacuten se brinda de forma directa al observador

Los patrones que tienen la medida de la magnitud fiacutesica dada y sirven de referencia para la comparacioacuten o reproduccioacuten

Los convertidores transductores o sensores cuyo principio de funcionamiento se basa en la variacioacuten proporcional de una magnitud fiacutesica de intereacutes de modo que resulte maacutes coacutemodo su transmisioacuten

El procesamiento yo almacenamiento posterior El grado de aproximacioacuten de los resultados de una medicioacuten al valor real de la

magnitud sometida a medicioacuten caracteriza la precisioacuten de la medicioacuten Eacutesta nos da la calidad de la medicioacuten realizada

La valoracioacuten cuantitativa del resultado de una medicioacuten se realiza a partir de su error Eacuteste corresponde a la desviacioacuten de los resultados de la medicioacuten respecto al valor real de la magnitud medida Mientras menor sea el error mayor seraacute la precisioacuten de la medicioacuten El error se debe a varios factores a la imperfeccioacuten de los medios de medicioacuten a la falta de experiencia de la persona que realiza la medicioacuten a la influencia de factores ajenos etc Se encuentran errores casuales y errores sistemaacuteticos

Es importante conocer la unidad representativa que permite cuantificar y comparar la magnitud fiacutesica dada Unidad de la magnitud fiacutesica seraacute la admitida seguacuten el acuerdo como base de la valoracioacuten cuantitativa de la magnitud fiacutesica correspondiente

Caracteriacutesticas principales de los instrumentos de medicioacuten directa

Escala Corresponde a la unidad que se puede leer directamente en la escala del instrumento

Rango Conjunto de valores posibles de medir directamente con el instrumento Se expresa estableciendo los valores extremos por ejemplo podemos decir que el rango de medida de un termoacutemetro es de -10 a 120 ordmC

Sensibilidad Corresponde al miacutenimo cambio en la magnitud medida que el instrumento puede detectar En general en el laboratorio se considera como sensibilidad del instrumento a la menor divisioacuten en su escala

Precisioacuten o error del instrumento Corresponde a la tolerancia de medida y define los liacutemites de los errores cometidos cuando el instrumento se emplea en condiciones normales de uso Para instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Se recomienda que en la medida de lo posible el rango la sensibilidad y el error se expresen en la misma unidad que se utiliza en la escala

Mediciones y errores

Expresioacuten de una medicioacuten

Una medicioacuten M correctamente realizada se expresa en la forma

M = x plusmn dx (ud)

dondex lectura del instrumento representa el valor numeacuterico maacutes aceptable o probable de la medicioacuten leiacutedo directamente en la pantalla o escala graduada del instrumento utilizadodx expresa el ldquoerrorrdquo del instrumento o margen de incerteza(ud) representa la unidad de medida expresada en el sistema utilizado

Es decir Medicioacuten = lectura plusmn error

Por ejemplo m = 368 plusmn 03 (kg)

En otros teacuterminos ante la imposibilidad de obtener un valor de medicioacuten uacutenico y absoluto se expresa la medida como un valor probable dentro de un conjunto de valores acotados

x ndash dx lt medicioacuten lt x + dx

En el ejemplo numeacuterico decir que una masa medida es m = 368 plusmn 03 (kg) es equivalente a indicar que no se conoce el valor exacto de la masa pero se sabe con seguridad que se encuentra en el rango 365 lt m lt 371 (kg)

En otras palabras la medicioacuten realizada indica que 368 (kg) es el valor maacutes probable seguacuten las cifras aritmeacuteticas circunstanciales pero igualmente aceptable es cualquier valor comprendido entre 365 y 371 (kg)

Mientras maacutes proacuteximas sean las cotas (o con un dx menor) habraacute mayor precisioacuten en la medicioacuten

Definicionesdx error absolutodxx error relativodxx times 100 error porcentual o porcentaje de error

Mediciones directas e indirectas

Las lecturas numeacutericas que directamente se obtienen de los instrumentos seraacuten las ldquomediciones directasrdquo El error absoluto de una medicioacuten directa estaacute dado convencionalmente por la ldquosensibilidad del instrumentordquo esto es por la unidad maacutes pequentildea que puede leerse en la escala del instrumento Consideraremos que para

instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Las mediciones indirectas son aquellas que surgen de un proceso de caacutelculo a partir de medidas relacionadas entre siacute por foacutermulas matemaacuteticas Los ldquoerroresrdquo de las mediciones iniciales influiraacuten en el ldquoerrorrdquo de cualquier medicioacuten indirecta Los ldquoerroresrdquo iniciales se propagan seguacuten reglas convencionales que se indican maacutes adelante

Como realizar correctamente una medicioacuten directa

Tomaremos como ejemplo la medicioacuten de longitud realizada con una regla comuacuten graduada en centiacutemetros En la figura se muestra un objeto A que a simple vista tiene una longitud de LA = 18 cm

Por otro lado se observa que el objeto B tiene una longitud un poco mayor que 17 cm surgiendo la pregunta iquestcoacutemo es posible expresar matemaacuteticamente que LB estaacute entre 17 y 18 cm pero maacutes cerca de 17 que de 18 cm La respuesta exige que estimemos ldquoa ojordquo la cifra que entrega el instrumento entre dos liacuteneas consecutivas de su escala en este caso estas dos liacuteneas corresponden a las que indican el 17 y 18 cm

Una estimacioacuten ldquoa ojordquo permite indicar que la longitud de B es 172 cm Tanto el ldquo1rdquo como el ldquo7rdquo son entregados directamente por la escala del instrumento en cambio el ldquo2rdquo se estima y por lo tanto no es un valor exacto siendo considerado como una cifra incierta o ldquodudosardquo que puede ser un poco mayor (3 o 4) o un poco menor (1 o 0) dependiendo de quien sea la persona que realice la medicioacuten

Por lo tanto como no podemos estar seguros que la centeacutesima sea realmente 2 debido a que el instrumento soacutelo tiene graduada la deacutecima en este ejemplo son igualmente vaacutelidas las siguientes mediciones

LB = 170 cm LB = 171 cm LB = 172 cm LB = 173 cm LB = 174 cm

Lo anterior ocurre con cualquier instrumento con escala graduada no importando que tenga sus liacuteneas muy juntas puesto que siempre podremos distinguir una de otra Dado que la regla permitioacute medir la longitud del objeto B con dos decimales (LB = 172 cm) entonces

todas las mediciones realizadas con este instrumento entregaraacuten dos decimales En consecuencia la longitud del objeto A deberaacute expresarse de la forma LA = 180 cm indicaacutendose con ello que realmente estamos seguros que el valor estaacute en torno a 18 pero no existe seguridad que sea exactamente este valor Asiacute 180 cm indica que la cifra ldquo0rdquo es incierta es decir puede ser un poco mayor (1 o 2) o un poco menor (9 u 8) siendo entonces lecturas vaacutelidas para la longitud de A

LA = 178 cm LA = 179 cm LA = 180 cm LA = 181 cm LA = 182 cm

En resumen una lectura realizada correctamente siempre deberaacute estimar la cifra incierta al expresar la medicioacuten siempre la cifra del extremo derecho seraacute la ldquocifra dudosardquo

Fuentes de errores casuales

La mayor parte de los instrumentos requieren una estimacioacuten de una subdivisioacuten de la unidad maacutes pequentildea del aparato y el observador puede variar esta estimacioacuten de tiempo en tiempo al azar por variadas razones (cansancio posicioacuten etc)

Fluctuaciones tales como la temperatura la presioacuten u otra magnitud fiacutesica pueden influir en el resultado de las mediciones Tambieacuten vibraciones mecaacutenicas o sentildeales pueden interferir con los instrumentos Auacuten cuando la teacutecnica de medicioacuten fuese bastante aceptable puede ocurrir que repetidas mediciones resulten muy diferentes auacuten con valores inesperados debido a que la medicioacuten misma no estaacute perfectamente definida Asiacute por ejemplo la longitud de una mesa rectangular se puede medir con bastante precisioacuten en diferentes posiciones longitudinales y las imperfecciones de la mesa daraacute diferentes medidas El largo de la mesa estaacute definido en una posicioacuten bien fija

Todas las anteriores circunstancias conducen al error casual o al azar al error fiacutesico propiamente tal a las condiciones inevitables de trabajo y que se aceptan para el ldquoerrorrdquo de la medicioacuten La adecuada teacutecnica de trabajo experimental seraacute aquella que los disminuye a la miacutenima expresioacuten posible no obstante siempre estaraacuten presentes e influiraacuten en ambos sentidos esto es pueden ser aditivos o sustractivos al azar de ahiacute su expresioacuten (plusmn dx)

Fuentes de errores sistemaacuteticos

Este tipo de error debe ser advertido y dar lugar a correcciones en las mediciones Cuando surgen influyen siempre en un solo sentido se pueden y deben eliminarse

Errores de calibracioacuten Un instrumento de medicioacuten mal calibrado daraacute lugar a lecturas erroacuteneas siempre en un solo sentido Conocido el error de la calibracioacuten con respecto a un instrumento ldquopatroacutenrdquo se corrigen las lecturas de medicioacuten del instrumento mal calibrado

Errores de ajuste El instrumento puede usarse sin ajustar el iacutendice al cero de la escala Detectado el error daraacute lugar a una correccioacuten de las mediciones en forma aditiva o sustractiva seguacuten sea el caso

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

Concepto de medida

iquestQueacute significa medir

Medir significa comparar una cantidad con otra de la misma clase que se ha elegido como unidad de medida es decir significa encontrar el nuacutemero de veces que la unidad elegida (muacuteltiplo o submuacuteltiplo) estaacute contenida en la cantidad que se estaacute midiendo

EJEMPLOS La estatura de este nintildeo se compara con las longitudes marcadas con liacuteneas sobre un trozo de madera que sirve como regla a su vez cada liacutenea dibujada sobre la regla se obtiene a partir del uso de una medida estandarizada denominada patroacuten

Este instrumento permite saber cuantas veces ldquocaberdquo la unidad usada como patroacuten por ejemplo el centiacutemetro en la estatura del nintildeo

En otras palabras si la estatura es por ejemplo 1275 cm la unidad centiacutemetro ldquocaberdquo 1275 veces en la estatura del nintildeo O equivalentemente la estatura del nintildeo es 1275 veces la unidad patroacuten que en este ejemplo corresponde al centiacutemetro

La masa de la botella de la izquierda se compara con la de las pesas calibradas de la derecha a su vez estas pesas se fabrican comparaacutendolas con una masa patroacuten

La balanza de brazos iguales permite determinar si las masas que se comparan son iguales o no

Sistemas de unidades

Antiguamente las unidades de medicioacuten eran inexactas y no eran universales por ejemploel ldquocodordquo era una unidad de longitud y correspondiacutea al largo de un antebrazo como otro ejemplo se puede mencionar que una yarda era la distancia entre la punta de la nariz de una persona y la punta del dedo medio de su brazo extendidoComo se puede apreciar el problema con este tipo de unidades era su variacioacuten de una persona a otra de una eacutepoca a otra y de un lugar a otro El avance de la ciencia y la tecnologiacutea hizo necesaria una normalizacioacuten

Patrones de unidades

Kilogramo y metro patroacuten

Oficina Internacional de Pesos y medidas

(Bureau Internacional des Poids et Mesures) Sevres Francia

El metro

Histoacutericamente se definioacute como la diezmilloneacutesima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por Pariacutes Cuando se demostroacute que las medidas geodeacutesicas no alcanzan la precisioacuten requerida se decidioacute establecer un prototipo patroacuten constituido por la longitud entre dos trazos hechos sobre una barra de platino e iridio mantenido a cero grados centiacutegrados (1889)

En la actualidad se conserva la siguiente definicioacuten para el metro

ldquoEl metro es la longitud del trayecto recorrido por la luz en el vaciacuteo durante el intervalode tiempo de 1299792458 de segundordquo

El kilogramo

Corresponde a la masa de un cilindro de platino e iridio (90 y 10 respectivamente) de39 cm de diaacutemetro y 39 cm de altura

El segundo

Es el patroacuten de tiempo Hacia el antildeo 1900 el estaacutendar de tiempo fue definido en teacuterminos del diacutea solar medio (Un diacutea solar es el intervalo de tiempo entre apariciones sucesivas del Sol en el punto maacutes alto que alcanza en el cielo cada diacutea) El segundo (s) fue definido como

( 160 )( 1

60 )( 124 ) de un diacutea solar medio Ahora se sabe que la rotacioacuten de la Tierra variacutea

ligeramente con el tiempo Debido a eso este movimiento no proporciona un tiempo estaacutendar que sea constanteEn 1967 el segundo fue redefinido para sacar ventaja de la enorme precisioacuten que se logra con un dispositivo conocido como reloj atoacutemico que mide vibraciones de aacutetomos de cesio Ahora un segundo se define como el tiempo que requiere el aacutetomo de cesio 133 para realizar 9192631770 vibraciones correspondientes a la transicioacuten entre los niveles hiperfinos de su estado fundamental

Magnitudes fundamentales

En Fiacutesica una magnitud corresponde a alguna caracteriacutestica o propiedad determinada que puede cuantificarse La longitud el tiempo la fuerza la masa la presioacuten la energiacutea son ejemplos de magnitudes fiacutesicas

Las magnitudes fiacutesicas pueden ser escalares o vectoriales

Una magnitud fundamental es aquella que no se puede definir o expresar a partir de otras

Sistema Internacional de Unidades (S I)

El Sistema Internacional de Unidades con la abreviacioacuten SI surge oficialmente en la 2da

Conferencia General de Pesos y Medidas en 1960

El S I se deriva del sistema meacutetrico decimal que surgioacute en Francia a fines del siglo XVIII y que a su vez tuvo una etapa precursora de varios siglos anteriores a dicha fecha El S I es administrado por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (CIPM) cuya sede central estaacute en Sevres Pariacutes

Las decisiones cientiacuteficas de su quehacer son tomadas por el CIPM Este Comiteacute estaacute asesorado por ocho comiteacutes consultativos especializados en las aacutereas de Electricidad Fotometriacutea Termometriacutea El Metro El Segundo Masa Radiactividad y UnidadesMuy brevemente se pueden sentildealar las etapas

-El sistema meacutetrico decimal se impone oficialmente en Francia el 1 de Enero de 1840-Chile se suscribe al sistema meacutetrico decimal en 1848- En Mayo de 1875 surge el Tratado del metro creaacutendose la Oficina Internacional de Pesos y Medidas a la cual Chile se suscribe en 1908

- En 1960 se establece el S I como se ha mencionado maacutes arriba Chile introduce oficialmente el S I en 1977- Actualmente en Chile El Instituto Nacional de Normalizacioacuten (INN) es el organismo que tiene a su cargo el estudio y preparacioacuten de las normas teacutecnicas a nivel nacional

El Sistema Internacional comprende tres clases de unidades las cuales en conjunto forman el sistema coherente de unidades

- Unidades fundamentales o baacutesicas- Unidades suplementarias- Unidades derivadas

Unidades fundamentales del S I

Estas unidades corresponden a aquellas que sirven como base para expresar el resto de las unidades Dentro de estas siete se destacan las unidades usadas para medir longitud masa y tiempo es decir el ldquometrordquo el ldquokilogramordquo y el ldquosegundordquo

Magnitud Nombre Siacutembolo

Longitud Metro mMasa Kilogramo kgTiempo Segundo sCorriente eleacutectrica Ampere ATemperatura termodinaacutemica Kelvin KCantidad de sustancia Mol molIntensidad luminosa Candela cd

Unidades suplementarias

La Conferencia General de Pesas y Medidas no ha clasificado ciertas unidades delSistema Internacional como unidades fundamentales o como unidades derivadasEstas unidades indicadas en la tabla se denominan Unidades Suplementarias y puedenser consideradas ya sea como unidades fundamentales o como unidades derivadas

Magnitud Nombre Siacutembolo

Aacutengulo plano Radiaacuten radAacutengulo soacutelido Estereorradiaacuten sr

Unidades derivadas

Las unidades derivadas se expresan algebraicamente en teacuterminos de unidades fundamentales yo unidades suplementarias Sus siacutembolos se obtienen mediante los signos

matemaacuteticos de multiplicacioacuten y divisioacuten por ejemplo la unidad S I para la velocidad angular es el radiaacuten por segundo (rads)

Para algunas de las unidades derivadas S I existen nombres y siacutembolos especiales los aprobados por la Conferencia General de Pesas y Medidas se indican en la tabla

Algunas veces es ventajoso expresar las unidades derivadas en teacuterminos de otras unidades derivadas que tienen nombres especiales por ejemplo la unidad S I para el momento eleacutectrico dipolar se expresa usualmente como Ctimesm en lugar de Atimesstimesm

Magnitud Nombre Siacutembolo Equivalencia

Frecuencia Hertz Hz 1 Hz = 1sFuerza Newton N 1 N = 1 kgms2

Presioacuten Tensioacuten Mecaacutenica Pascal Pa 1 Pa = 1 Nm2

Energiacutea Trabajo Calor Joule J 1 J = 1 NmPotencia Watt W 1 W = 1 JsEtc

Muacuteltiplos de unidades del S I

Los prefijos dados en la tabla siguiente se usan para formar nombres y siacutembolos de muacuteltiplos (muacuteltiplos y submuacuteltiplos decimales) de las unidades S I

Muacuteltiplos de unidades del S I

SESIOacuteN 1-2ordf Parte CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ERRORES

Cifras significativas

iquestQueacute son las cifras significativas

Las cifras significativas son los diacutegitos necesarios para representar la precisioacuten de la medida expresaacutendola en forma de un valor numeacuterico No se consideran los ceros a la izquierda del primer diacutegito real

Consideremos como ejemplo la medicioacuten del largo de un cabello realizado con instrumentos de distinta sensibilidad

a) Una regla graduada al miliacutemetro (1 mm)b) Un Pie de Metro graduado a la deacutecima de mm (01 mm )c) Un tornillo micromeacutetrico graduado a la centeacutesima de mm (001 mm)d) Microscopio comparador graduado en mileacutesima de mm (0001 mm)

Los valores experimentales medidos con estos instrumentos podraacuten ser leiacutedos realmente al mm en el caso de la regla graduada a la deacutecima de mm para el Pie de Metro a la centeacutesima de mm para el tornillo micromeacutetrico o a la mileacutesima de mm para el microscopio En cada uno de los casos anteriores podraacute estimarse ldquoa ojordquo una cifra maacutes de las realmente leiacutedas lo que se logra haciendo una interpolacioacuten entre los liacutemites de la menor divisioacuten disponible en la graduacioacuten del instrumento esta cifra es incierta es decir no existe seguridad de su valor exacto

Los valores experimentales leiacutedos y expresados por el nuacutemero de cifras significativas correspondientes serian por ejemplo

a) Regla 18 mm 2 cifras significativasb) Pie de Metro 180 mm 3 cifras significativasc) Tornillo micromeacutetrico 1802 mm 4 cifras significativasd) Microscopio 18015 mm 5 cifras significativas

No se puede afirmar que en base a lo que indica el microscopio la longitud del cabello sea 18015 mm sino soacutelo que eacuteste es el valor con mayor precisioacuten alcanzada con los meacutetodos de medicioacuten utilizados en este ejemplo Si decimos que el cabello mide exactamente 18015 mm de longitud estamos afirmando que todas las infinitas cifras que siguen del 5 son cero es decir longitud = 18015000000000000hellip desde el punto de vista fiacutesico decir esto es incorrecto ya que ello significa que hemos utilizado un instrumento con infinita sensibilidad para medir las infinitas cifras a partir del 5 y hemos encontrado que todas valen cero iquestMedir infinitas cifras iexcles imposible iquestinstrumentos de sensibilidad infinita iexcles imposible

Cabe hacer notar que en el caso de la lectura realizada con el Pie de Metro el cero de la derecha tiene importancia ya que no seriacutea correcto decir que los valores 25 y 250 tienen igual significado

Las cifras significativas de un nuacutemero son aquellas que se miden o que son medibles Un cero no es significativo si no se encuentra entre otras dos cifras o estaacute a la derecha de la parte decimal de un nuacutemero Asiacute por ejemplo el cero en 130 es significativo mientras que los ceros en 005 no son significativos

Introduccioacuten a la medicioacuten

En su actividad praacutectica el profesional de la construccioacuten y la ingenieriacutea se encuentra a cada instante con iacutendices cuantitativos (resistencia de materiales dosis de componentes en una mezcla concentraciones longitudes fuerzas aplicadas etc) de aquiacute la importancia de saber coacutemo se obtienen esas y otras magnitudes afines cuaacutel es su precisioacuten en que unidades estaacuten maacutes comuacutenmente expresadas queacute instrumentos y teacutecnicas son adecuados a cada propoacutesito coacutemo se elaboran las diferentes mediciones etc

Por lo anterior se hace indispensable realizar un breve recorrido por los aspectos esenciales de la metrologiacutea

Metrologiacutea Ciencia sobre las mediciones los meacutetodos y medios de asegurar su unidad y sobre los modos de lograr la precisioacuten requerida

Medicioacuten Es la determinacioacuten del valor de una magnitud fiacutesica por viacutea experimental valieacutendose de medios teacutecnicos

Las mediciones permiten determinar las regularidades de la naturaleza y son un elemento de conocimiento del mundo que nos rodea

Las mediciones pueden ser

Directas cuando el resultado se obtiene midiendo directamente la magnitud que se quiere determinar Ejemplo la medicioacuten de la longitud de un terreno con una huincha

Indirectas cuando el valor de la magnitud que se quiere determinar se encuentra mediante una dependencia conocida entre dos o maacutes magnitudes que pueden ser medidas directamente Ejemplo la determinacioacuten de la densidad de un liacutequido como resultado de medir su masa en una balanza medir su volumen con una probeta graduada y calcular densidad = (masa volumen)

Los medios teacutecnicos para realizar las mediciones (medios de medicioacuten) pueden ser de diferentes tipos

El aparato de medicioacuten cuya informacioacuten se brinda de forma directa al observador

Los patrones que tienen la medida de la magnitud fiacutesica dada y sirven de referencia para la comparacioacuten o reproduccioacuten

Los convertidores transductores o sensores cuyo principio de funcionamiento se basa en la variacioacuten proporcional de una magnitud fiacutesica de intereacutes de modo que resulte maacutes coacutemodo su transmisioacuten

El procesamiento yo almacenamiento posterior El grado de aproximacioacuten de los resultados de una medicioacuten al valor real de la

magnitud sometida a medicioacuten caracteriza la precisioacuten de la medicioacuten Eacutesta nos da la calidad de la medicioacuten realizada

La valoracioacuten cuantitativa del resultado de una medicioacuten se realiza a partir de su error Eacuteste corresponde a la desviacioacuten de los resultados de la medicioacuten respecto al valor real de la magnitud medida Mientras menor sea el error mayor seraacute la precisioacuten de la medicioacuten El error se debe a varios factores a la imperfeccioacuten de los medios de medicioacuten a la falta de experiencia de la persona que realiza la medicioacuten a la influencia de factores ajenos etc Se encuentran errores casuales y errores sistemaacuteticos

Es importante conocer la unidad representativa que permite cuantificar y comparar la magnitud fiacutesica dada Unidad de la magnitud fiacutesica seraacute la admitida seguacuten el acuerdo como base de la valoracioacuten cuantitativa de la magnitud fiacutesica correspondiente

Caracteriacutesticas principales de los instrumentos de medicioacuten directa

Escala Corresponde a la unidad que se puede leer directamente en la escala del instrumento

Rango Conjunto de valores posibles de medir directamente con el instrumento Se expresa estableciendo los valores extremos por ejemplo podemos decir que el rango de medida de un termoacutemetro es de -10 a 120 ordmC

Sensibilidad Corresponde al miacutenimo cambio en la magnitud medida que el instrumento puede detectar En general en el laboratorio se considera como sensibilidad del instrumento a la menor divisioacuten en su escala

Precisioacuten o error del instrumento Corresponde a la tolerancia de medida y define los liacutemites de los errores cometidos cuando el instrumento se emplea en condiciones normales de uso Para instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Se recomienda que en la medida de lo posible el rango la sensibilidad y el error se expresen en la misma unidad que se utiliza en la escala

Mediciones y errores

Expresioacuten de una medicioacuten

Una medicioacuten M correctamente realizada se expresa en la forma

M = x plusmn dx (ud)

dondex lectura del instrumento representa el valor numeacuterico maacutes aceptable o probable de la medicioacuten leiacutedo directamente en la pantalla o escala graduada del instrumento utilizadodx expresa el ldquoerrorrdquo del instrumento o margen de incerteza(ud) representa la unidad de medida expresada en el sistema utilizado

Es decir Medicioacuten = lectura plusmn error

Por ejemplo m = 368 plusmn 03 (kg)

En otros teacuterminos ante la imposibilidad de obtener un valor de medicioacuten uacutenico y absoluto se expresa la medida como un valor probable dentro de un conjunto de valores acotados

x ndash dx lt medicioacuten lt x + dx

En el ejemplo numeacuterico decir que una masa medida es m = 368 plusmn 03 (kg) es equivalente a indicar que no se conoce el valor exacto de la masa pero se sabe con seguridad que se encuentra en el rango 365 lt m lt 371 (kg)

En otras palabras la medicioacuten realizada indica que 368 (kg) es el valor maacutes probable seguacuten las cifras aritmeacuteticas circunstanciales pero igualmente aceptable es cualquier valor comprendido entre 365 y 371 (kg)

Mientras maacutes proacuteximas sean las cotas (o con un dx menor) habraacute mayor precisioacuten en la medicioacuten

Definicionesdx error absolutodxx error relativodxx times 100 error porcentual o porcentaje de error

Mediciones directas e indirectas

Las lecturas numeacutericas que directamente se obtienen de los instrumentos seraacuten las ldquomediciones directasrdquo El error absoluto de una medicioacuten directa estaacute dado convencionalmente por la ldquosensibilidad del instrumentordquo esto es por la unidad maacutes pequentildea que puede leerse en la escala del instrumento Consideraremos que para

instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Las mediciones indirectas son aquellas que surgen de un proceso de caacutelculo a partir de medidas relacionadas entre siacute por foacutermulas matemaacuteticas Los ldquoerroresrdquo de las mediciones iniciales influiraacuten en el ldquoerrorrdquo de cualquier medicioacuten indirecta Los ldquoerroresrdquo iniciales se propagan seguacuten reglas convencionales que se indican maacutes adelante

Como realizar correctamente una medicioacuten directa

Tomaremos como ejemplo la medicioacuten de longitud realizada con una regla comuacuten graduada en centiacutemetros En la figura se muestra un objeto A que a simple vista tiene una longitud de LA = 18 cm

Por otro lado se observa que el objeto B tiene una longitud un poco mayor que 17 cm surgiendo la pregunta iquestcoacutemo es posible expresar matemaacuteticamente que LB estaacute entre 17 y 18 cm pero maacutes cerca de 17 que de 18 cm La respuesta exige que estimemos ldquoa ojordquo la cifra que entrega el instrumento entre dos liacuteneas consecutivas de su escala en este caso estas dos liacuteneas corresponden a las que indican el 17 y 18 cm

Una estimacioacuten ldquoa ojordquo permite indicar que la longitud de B es 172 cm Tanto el ldquo1rdquo como el ldquo7rdquo son entregados directamente por la escala del instrumento en cambio el ldquo2rdquo se estima y por lo tanto no es un valor exacto siendo considerado como una cifra incierta o ldquodudosardquo que puede ser un poco mayor (3 o 4) o un poco menor (1 o 0) dependiendo de quien sea la persona que realice la medicioacuten

Por lo tanto como no podemos estar seguros que la centeacutesima sea realmente 2 debido a que el instrumento soacutelo tiene graduada la deacutecima en este ejemplo son igualmente vaacutelidas las siguientes mediciones

LB = 170 cm LB = 171 cm LB = 172 cm LB = 173 cm LB = 174 cm

Lo anterior ocurre con cualquier instrumento con escala graduada no importando que tenga sus liacuteneas muy juntas puesto que siempre podremos distinguir una de otra Dado que la regla permitioacute medir la longitud del objeto B con dos decimales (LB = 172 cm) entonces

todas las mediciones realizadas con este instrumento entregaraacuten dos decimales En consecuencia la longitud del objeto A deberaacute expresarse de la forma LA = 180 cm indicaacutendose con ello que realmente estamos seguros que el valor estaacute en torno a 18 pero no existe seguridad que sea exactamente este valor Asiacute 180 cm indica que la cifra ldquo0rdquo es incierta es decir puede ser un poco mayor (1 o 2) o un poco menor (9 u 8) siendo entonces lecturas vaacutelidas para la longitud de A

LA = 178 cm LA = 179 cm LA = 180 cm LA = 181 cm LA = 182 cm

En resumen una lectura realizada correctamente siempre deberaacute estimar la cifra incierta al expresar la medicioacuten siempre la cifra del extremo derecho seraacute la ldquocifra dudosardquo

Fuentes de errores casuales

La mayor parte de los instrumentos requieren una estimacioacuten de una subdivisioacuten de la unidad maacutes pequentildea del aparato y el observador puede variar esta estimacioacuten de tiempo en tiempo al azar por variadas razones (cansancio posicioacuten etc)

Fluctuaciones tales como la temperatura la presioacuten u otra magnitud fiacutesica pueden influir en el resultado de las mediciones Tambieacuten vibraciones mecaacutenicas o sentildeales pueden interferir con los instrumentos Auacuten cuando la teacutecnica de medicioacuten fuese bastante aceptable puede ocurrir que repetidas mediciones resulten muy diferentes auacuten con valores inesperados debido a que la medicioacuten misma no estaacute perfectamente definida Asiacute por ejemplo la longitud de una mesa rectangular se puede medir con bastante precisioacuten en diferentes posiciones longitudinales y las imperfecciones de la mesa daraacute diferentes medidas El largo de la mesa estaacute definido en una posicioacuten bien fija

Todas las anteriores circunstancias conducen al error casual o al azar al error fiacutesico propiamente tal a las condiciones inevitables de trabajo y que se aceptan para el ldquoerrorrdquo de la medicioacuten La adecuada teacutecnica de trabajo experimental seraacute aquella que los disminuye a la miacutenima expresioacuten posible no obstante siempre estaraacuten presentes e influiraacuten en ambos sentidos esto es pueden ser aditivos o sustractivos al azar de ahiacute su expresioacuten (plusmn dx)

Fuentes de errores sistemaacuteticos

Este tipo de error debe ser advertido y dar lugar a correcciones en las mediciones Cuando surgen influyen siempre en un solo sentido se pueden y deben eliminarse

Errores de calibracioacuten Un instrumento de medicioacuten mal calibrado daraacute lugar a lecturas erroacuteneas siempre en un solo sentido Conocido el error de la calibracioacuten con respecto a un instrumento ldquopatroacutenrdquo se corrigen las lecturas de medicioacuten del instrumento mal calibrado

Errores de ajuste El instrumento puede usarse sin ajustar el iacutendice al cero de la escala Detectado el error daraacute lugar a una correccioacuten de las mediciones en forma aditiva o sustractiva seguacuten sea el caso

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

Sistemas de unidades

Antiguamente las unidades de medicioacuten eran inexactas y no eran universales por ejemploel ldquocodordquo era una unidad de longitud y correspondiacutea al largo de un antebrazo como otro ejemplo se puede mencionar que una yarda era la distancia entre la punta de la nariz de una persona y la punta del dedo medio de su brazo extendidoComo se puede apreciar el problema con este tipo de unidades era su variacioacuten de una persona a otra de una eacutepoca a otra y de un lugar a otro El avance de la ciencia y la tecnologiacutea hizo necesaria una normalizacioacuten

Patrones de unidades

Kilogramo y metro patroacuten

Oficina Internacional de Pesos y medidas

(Bureau Internacional des Poids et Mesures) Sevres Francia

El metro

Histoacutericamente se definioacute como la diezmilloneacutesima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por Pariacutes Cuando se demostroacute que las medidas geodeacutesicas no alcanzan la precisioacuten requerida se decidioacute establecer un prototipo patroacuten constituido por la longitud entre dos trazos hechos sobre una barra de platino e iridio mantenido a cero grados centiacutegrados (1889)

En la actualidad se conserva la siguiente definicioacuten para el metro

ldquoEl metro es la longitud del trayecto recorrido por la luz en el vaciacuteo durante el intervalode tiempo de 1299792458 de segundordquo

El kilogramo

Corresponde a la masa de un cilindro de platino e iridio (90 y 10 respectivamente) de39 cm de diaacutemetro y 39 cm de altura

El segundo

Es el patroacuten de tiempo Hacia el antildeo 1900 el estaacutendar de tiempo fue definido en teacuterminos del diacutea solar medio (Un diacutea solar es el intervalo de tiempo entre apariciones sucesivas del Sol en el punto maacutes alto que alcanza en el cielo cada diacutea) El segundo (s) fue definido como

( 160 )( 1

60 )( 124 ) de un diacutea solar medio Ahora se sabe que la rotacioacuten de la Tierra variacutea

ligeramente con el tiempo Debido a eso este movimiento no proporciona un tiempo estaacutendar que sea constanteEn 1967 el segundo fue redefinido para sacar ventaja de la enorme precisioacuten que se logra con un dispositivo conocido como reloj atoacutemico que mide vibraciones de aacutetomos de cesio Ahora un segundo se define como el tiempo que requiere el aacutetomo de cesio 133 para realizar 9192631770 vibraciones correspondientes a la transicioacuten entre los niveles hiperfinos de su estado fundamental

Magnitudes fundamentales

En Fiacutesica una magnitud corresponde a alguna caracteriacutestica o propiedad determinada que puede cuantificarse La longitud el tiempo la fuerza la masa la presioacuten la energiacutea son ejemplos de magnitudes fiacutesicas

Las magnitudes fiacutesicas pueden ser escalares o vectoriales

Una magnitud fundamental es aquella que no se puede definir o expresar a partir de otras

Sistema Internacional de Unidades (S I)

El Sistema Internacional de Unidades con la abreviacioacuten SI surge oficialmente en la 2da

Conferencia General de Pesos y Medidas en 1960

El S I se deriva del sistema meacutetrico decimal que surgioacute en Francia a fines del siglo XVIII y que a su vez tuvo una etapa precursora de varios siglos anteriores a dicha fecha El S I es administrado por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (CIPM) cuya sede central estaacute en Sevres Pariacutes

Las decisiones cientiacuteficas de su quehacer son tomadas por el CIPM Este Comiteacute estaacute asesorado por ocho comiteacutes consultativos especializados en las aacutereas de Electricidad Fotometriacutea Termometriacutea El Metro El Segundo Masa Radiactividad y UnidadesMuy brevemente se pueden sentildealar las etapas

-El sistema meacutetrico decimal se impone oficialmente en Francia el 1 de Enero de 1840-Chile se suscribe al sistema meacutetrico decimal en 1848- En Mayo de 1875 surge el Tratado del metro creaacutendose la Oficina Internacional de Pesos y Medidas a la cual Chile se suscribe en 1908

- En 1960 se establece el S I como se ha mencionado maacutes arriba Chile introduce oficialmente el S I en 1977- Actualmente en Chile El Instituto Nacional de Normalizacioacuten (INN) es el organismo que tiene a su cargo el estudio y preparacioacuten de las normas teacutecnicas a nivel nacional

El Sistema Internacional comprende tres clases de unidades las cuales en conjunto forman el sistema coherente de unidades

- Unidades fundamentales o baacutesicas- Unidades suplementarias- Unidades derivadas

Unidades fundamentales del S I

Estas unidades corresponden a aquellas que sirven como base para expresar el resto de las unidades Dentro de estas siete se destacan las unidades usadas para medir longitud masa y tiempo es decir el ldquometrordquo el ldquokilogramordquo y el ldquosegundordquo

Magnitud Nombre Siacutembolo

Longitud Metro mMasa Kilogramo kgTiempo Segundo sCorriente eleacutectrica Ampere ATemperatura termodinaacutemica Kelvin KCantidad de sustancia Mol molIntensidad luminosa Candela cd

Unidades suplementarias

La Conferencia General de Pesas y Medidas no ha clasificado ciertas unidades delSistema Internacional como unidades fundamentales o como unidades derivadasEstas unidades indicadas en la tabla se denominan Unidades Suplementarias y puedenser consideradas ya sea como unidades fundamentales o como unidades derivadas

Magnitud Nombre Siacutembolo

Aacutengulo plano Radiaacuten radAacutengulo soacutelido Estereorradiaacuten sr

Unidades derivadas

Las unidades derivadas se expresan algebraicamente en teacuterminos de unidades fundamentales yo unidades suplementarias Sus siacutembolos se obtienen mediante los signos

matemaacuteticos de multiplicacioacuten y divisioacuten por ejemplo la unidad S I para la velocidad angular es el radiaacuten por segundo (rads)

Para algunas de las unidades derivadas S I existen nombres y siacutembolos especiales los aprobados por la Conferencia General de Pesas y Medidas se indican en la tabla

Algunas veces es ventajoso expresar las unidades derivadas en teacuterminos de otras unidades derivadas que tienen nombres especiales por ejemplo la unidad S I para el momento eleacutectrico dipolar se expresa usualmente como Ctimesm en lugar de Atimesstimesm

Magnitud Nombre Siacutembolo Equivalencia

Frecuencia Hertz Hz 1 Hz = 1sFuerza Newton N 1 N = 1 kgms2

Presioacuten Tensioacuten Mecaacutenica Pascal Pa 1 Pa = 1 Nm2

Energiacutea Trabajo Calor Joule J 1 J = 1 NmPotencia Watt W 1 W = 1 JsEtc

Muacuteltiplos de unidades del S I

Los prefijos dados en la tabla siguiente se usan para formar nombres y siacutembolos de muacuteltiplos (muacuteltiplos y submuacuteltiplos decimales) de las unidades S I

Muacuteltiplos de unidades del S I

SESIOacuteN 1-2ordf Parte CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ERRORES

Cifras significativas

iquestQueacute son las cifras significativas

Las cifras significativas son los diacutegitos necesarios para representar la precisioacuten de la medida expresaacutendola en forma de un valor numeacuterico No se consideran los ceros a la izquierda del primer diacutegito real

Consideremos como ejemplo la medicioacuten del largo de un cabello realizado con instrumentos de distinta sensibilidad

a) Una regla graduada al miliacutemetro (1 mm)b) Un Pie de Metro graduado a la deacutecima de mm (01 mm )c) Un tornillo micromeacutetrico graduado a la centeacutesima de mm (001 mm)d) Microscopio comparador graduado en mileacutesima de mm (0001 mm)

Los valores experimentales medidos con estos instrumentos podraacuten ser leiacutedos realmente al mm en el caso de la regla graduada a la deacutecima de mm para el Pie de Metro a la centeacutesima de mm para el tornillo micromeacutetrico o a la mileacutesima de mm para el microscopio En cada uno de los casos anteriores podraacute estimarse ldquoa ojordquo una cifra maacutes de las realmente leiacutedas lo que se logra haciendo una interpolacioacuten entre los liacutemites de la menor divisioacuten disponible en la graduacioacuten del instrumento esta cifra es incierta es decir no existe seguridad de su valor exacto

Los valores experimentales leiacutedos y expresados por el nuacutemero de cifras significativas correspondientes serian por ejemplo

a) Regla 18 mm 2 cifras significativasb) Pie de Metro 180 mm 3 cifras significativasc) Tornillo micromeacutetrico 1802 mm 4 cifras significativasd) Microscopio 18015 mm 5 cifras significativas

No se puede afirmar que en base a lo que indica el microscopio la longitud del cabello sea 18015 mm sino soacutelo que eacuteste es el valor con mayor precisioacuten alcanzada con los meacutetodos de medicioacuten utilizados en este ejemplo Si decimos que el cabello mide exactamente 18015 mm de longitud estamos afirmando que todas las infinitas cifras que siguen del 5 son cero es decir longitud = 18015000000000000hellip desde el punto de vista fiacutesico decir esto es incorrecto ya que ello significa que hemos utilizado un instrumento con infinita sensibilidad para medir las infinitas cifras a partir del 5 y hemos encontrado que todas valen cero iquestMedir infinitas cifras iexcles imposible iquestinstrumentos de sensibilidad infinita iexcles imposible

Cabe hacer notar que en el caso de la lectura realizada con el Pie de Metro el cero de la derecha tiene importancia ya que no seriacutea correcto decir que los valores 25 y 250 tienen igual significado

Las cifras significativas de un nuacutemero son aquellas que se miden o que son medibles Un cero no es significativo si no se encuentra entre otras dos cifras o estaacute a la derecha de la parte decimal de un nuacutemero Asiacute por ejemplo el cero en 130 es significativo mientras que los ceros en 005 no son significativos

Introduccioacuten a la medicioacuten

En su actividad praacutectica el profesional de la construccioacuten y la ingenieriacutea se encuentra a cada instante con iacutendices cuantitativos (resistencia de materiales dosis de componentes en una mezcla concentraciones longitudes fuerzas aplicadas etc) de aquiacute la importancia de saber coacutemo se obtienen esas y otras magnitudes afines cuaacutel es su precisioacuten en que unidades estaacuten maacutes comuacutenmente expresadas queacute instrumentos y teacutecnicas son adecuados a cada propoacutesito coacutemo se elaboran las diferentes mediciones etc

Por lo anterior se hace indispensable realizar un breve recorrido por los aspectos esenciales de la metrologiacutea

Metrologiacutea Ciencia sobre las mediciones los meacutetodos y medios de asegurar su unidad y sobre los modos de lograr la precisioacuten requerida

Medicioacuten Es la determinacioacuten del valor de una magnitud fiacutesica por viacutea experimental valieacutendose de medios teacutecnicos

Las mediciones permiten determinar las regularidades de la naturaleza y son un elemento de conocimiento del mundo que nos rodea

Las mediciones pueden ser

Directas cuando el resultado se obtiene midiendo directamente la magnitud que se quiere determinar Ejemplo la medicioacuten de la longitud de un terreno con una huincha

Indirectas cuando el valor de la magnitud que se quiere determinar se encuentra mediante una dependencia conocida entre dos o maacutes magnitudes que pueden ser medidas directamente Ejemplo la determinacioacuten de la densidad de un liacutequido como resultado de medir su masa en una balanza medir su volumen con una probeta graduada y calcular densidad = (masa volumen)

Los medios teacutecnicos para realizar las mediciones (medios de medicioacuten) pueden ser de diferentes tipos

El aparato de medicioacuten cuya informacioacuten se brinda de forma directa al observador

Los patrones que tienen la medida de la magnitud fiacutesica dada y sirven de referencia para la comparacioacuten o reproduccioacuten

Los convertidores transductores o sensores cuyo principio de funcionamiento se basa en la variacioacuten proporcional de una magnitud fiacutesica de intereacutes de modo que resulte maacutes coacutemodo su transmisioacuten

El procesamiento yo almacenamiento posterior El grado de aproximacioacuten de los resultados de una medicioacuten al valor real de la

magnitud sometida a medicioacuten caracteriza la precisioacuten de la medicioacuten Eacutesta nos da la calidad de la medicioacuten realizada

La valoracioacuten cuantitativa del resultado de una medicioacuten se realiza a partir de su error Eacuteste corresponde a la desviacioacuten de los resultados de la medicioacuten respecto al valor real de la magnitud medida Mientras menor sea el error mayor seraacute la precisioacuten de la medicioacuten El error se debe a varios factores a la imperfeccioacuten de los medios de medicioacuten a la falta de experiencia de la persona que realiza la medicioacuten a la influencia de factores ajenos etc Se encuentran errores casuales y errores sistemaacuteticos

Es importante conocer la unidad representativa que permite cuantificar y comparar la magnitud fiacutesica dada Unidad de la magnitud fiacutesica seraacute la admitida seguacuten el acuerdo como base de la valoracioacuten cuantitativa de la magnitud fiacutesica correspondiente

Caracteriacutesticas principales de los instrumentos de medicioacuten directa

Escala Corresponde a la unidad que se puede leer directamente en la escala del instrumento

Rango Conjunto de valores posibles de medir directamente con el instrumento Se expresa estableciendo los valores extremos por ejemplo podemos decir que el rango de medida de un termoacutemetro es de -10 a 120 ordmC

Sensibilidad Corresponde al miacutenimo cambio en la magnitud medida que el instrumento puede detectar En general en el laboratorio se considera como sensibilidad del instrumento a la menor divisioacuten en su escala

Precisioacuten o error del instrumento Corresponde a la tolerancia de medida y define los liacutemites de los errores cometidos cuando el instrumento se emplea en condiciones normales de uso Para instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Se recomienda que en la medida de lo posible el rango la sensibilidad y el error se expresen en la misma unidad que se utiliza en la escala

Mediciones y errores

Expresioacuten de una medicioacuten

Una medicioacuten M correctamente realizada se expresa en la forma

M = x plusmn dx (ud)

dondex lectura del instrumento representa el valor numeacuterico maacutes aceptable o probable de la medicioacuten leiacutedo directamente en la pantalla o escala graduada del instrumento utilizadodx expresa el ldquoerrorrdquo del instrumento o margen de incerteza(ud) representa la unidad de medida expresada en el sistema utilizado

Es decir Medicioacuten = lectura plusmn error

Por ejemplo m = 368 plusmn 03 (kg)

En otros teacuterminos ante la imposibilidad de obtener un valor de medicioacuten uacutenico y absoluto se expresa la medida como un valor probable dentro de un conjunto de valores acotados

x ndash dx lt medicioacuten lt x + dx

En el ejemplo numeacuterico decir que una masa medida es m = 368 plusmn 03 (kg) es equivalente a indicar que no se conoce el valor exacto de la masa pero se sabe con seguridad que se encuentra en el rango 365 lt m lt 371 (kg)

En otras palabras la medicioacuten realizada indica que 368 (kg) es el valor maacutes probable seguacuten las cifras aritmeacuteticas circunstanciales pero igualmente aceptable es cualquier valor comprendido entre 365 y 371 (kg)

Mientras maacutes proacuteximas sean las cotas (o con un dx menor) habraacute mayor precisioacuten en la medicioacuten

Definicionesdx error absolutodxx error relativodxx times 100 error porcentual o porcentaje de error

Mediciones directas e indirectas

Las lecturas numeacutericas que directamente se obtienen de los instrumentos seraacuten las ldquomediciones directasrdquo El error absoluto de una medicioacuten directa estaacute dado convencionalmente por la ldquosensibilidad del instrumentordquo esto es por la unidad maacutes pequentildea que puede leerse en la escala del instrumento Consideraremos que para

instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Las mediciones indirectas son aquellas que surgen de un proceso de caacutelculo a partir de medidas relacionadas entre siacute por foacutermulas matemaacuteticas Los ldquoerroresrdquo de las mediciones iniciales influiraacuten en el ldquoerrorrdquo de cualquier medicioacuten indirecta Los ldquoerroresrdquo iniciales se propagan seguacuten reglas convencionales que se indican maacutes adelante

Como realizar correctamente una medicioacuten directa

Tomaremos como ejemplo la medicioacuten de longitud realizada con una regla comuacuten graduada en centiacutemetros En la figura se muestra un objeto A que a simple vista tiene una longitud de LA = 18 cm

Por otro lado se observa que el objeto B tiene una longitud un poco mayor que 17 cm surgiendo la pregunta iquestcoacutemo es posible expresar matemaacuteticamente que LB estaacute entre 17 y 18 cm pero maacutes cerca de 17 que de 18 cm La respuesta exige que estimemos ldquoa ojordquo la cifra que entrega el instrumento entre dos liacuteneas consecutivas de su escala en este caso estas dos liacuteneas corresponden a las que indican el 17 y 18 cm

Una estimacioacuten ldquoa ojordquo permite indicar que la longitud de B es 172 cm Tanto el ldquo1rdquo como el ldquo7rdquo son entregados directamente por la escala del instrumento en cambio el ldquo2rdquo se estima y por lo tanto no es un valor exacto siendo considerado como una cifra incierta o ldquodudosardquo que puede ser un poco mayor (3 o 4) o un poco menor (1 o 0) dependiendo de quien sea la persona que realice la medicioacuten

Por lo tanto como no podemos estar seguros que la centeacutesima sea realmente 2 debido a que el instrumento soacutelo tiene graduada la deacutecima en este ejemplo son igualmente vaacutelidas las siguientes mediciones

LB = 170 cm LB = 171 cm LB = 172 cm LB = 173 cm LB = 174 cm

Lo anterior ocurre con cualquier instrumento con escala graduada no importando que tenga sus liacuteneas muy juntas puesto que siempre podremos distinguir una de otra Dado que la regla permitioacute medir la longitud del objeto B con dos decimales (LB = 172 cm) entonces

todas las mediciones realizadas con este instrumento entregaraacuten dos decimales En consecuencia la longitud del objeto A deberaacute expresarse de la forma LA = 180 cm indicaacutendose con ello que realmente estamos seguros que el valor estaacute en torno a 18 pero no existe seguridad que sea exactamente este valor Asiacute 180 cm indica que la cifra ldquo0rdquo es incierta es decir puede ser un poco mayor (1 o 2) o un poco menor (9 u 8) siendo entonces lecturas vaacutelidas para la longitud de A

LA = 178 cm LA = 179 cm LA = 180 cm LA = 181 cm LA = 182 cm

En resumen una lectura realizada correctamente siempre deberaacute estimar la cifra incierta al expresar la medicioacuten siempre la cifra del extremo derecho seraacute la ldquocifra dudosardquo

Fuentes de errores casuales

La mayor parte de los instrumentos requieren una estimacioacuten de una subdivisioacuten de la unidad maacutes pequentildea del aparato y el observador puede variar esta estimacioacuten de tiempo en tiempo al azar por variadas razones (cansancio posicioacuten etc)

Fluctuaciones tales como la temperatura la presioacuten u otra magnitud fiacutesica pueden influir en el resultado de las mediciones Tambieacuten vibraciones mecaacutenicas o sentildeales pueden interferir con los instrumentos Auacuten cuando la teacutecnica de medicioacuten fuese bastante aceptable puede ocurrir que repetidas mediciones resulten muy diferentes auacuten con valores inesperados debido a que la medicioacuten misma no estaacute perfectamente definida Asiacute por ejemplo la longitud de una mesa rectangular se puede medir con bastante precisioacuten en diferentes posiciones longitudinales y las imperfecciones de la mesa daraacute diferentes medidas El largo de la mesa estaacute definido en una posicioacuten bien fija

Todas las anteriores circunstancias conducen al error casual o al azar al error fiacutesico propiamente tal a las condiciones inevitables de trabajo y que se aceptan para el ldquoerrorrdquo de la medicioacuten La adecuada teacutecnica de trabajo experimental seraacute aquella que los disminuye a la miacutenima expresioacuten posible no obstante siempre estaraacuten presentes e influiraacuten en ambos sentidos esto es pueden ser aditivos o sustractivos al azar de ahiacute su expresioacuten (plusmn dx)

Fuentes de errores sistemaacuteticos

Este tipo de error debe ser advertido y dar lugar a correcciones en las mediciones Cuando surgen influyen siempre en un solo sentido se pueden y deben eliminarse

Errores de calibracioacuten Un instrumento de medicioacuten mal calibrado daraacute lugar a lecturas erroacuteneas siempre en un solo sentido Conocido el error de la calibracioacuten con respecto a un instrumento ldquopatroacutenrdquo se corrigen las lecturas de medicioacuten del instrumento mal calibrado

Errores de ajuste El instrumento puede usarse sin ajustar el iacutendice al cero de la escala Detectado el error daraacute lugar a una correccioacuten de las mediciones en forma aditiva o sustractiva seguacuten sea el caso

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

El segundo

Es el patroacuten de tiempo Hacia el antildeo 1900 el estaacutendar de tiempo fue definido en teacuterminos del diacutea solar medio (Un diacutea solar es el intervalo de tiempo entre apariciones sucesivas del Sol en el punto maacutes alto que alcanza en el cielo cada diacutea) El segundo (s) fue definido como

( 160 )( 1

60 )( 124 ) de un diacutea solar medio Ahora se sabe que la rotacioacuten de la Tierra variacutea

ligeramente con el tiempo Debido a eso este movimiento no proporciona un tiempo estaacutendar que sea constanteEn 1967 el segundo fue redefinido para sacar ventaja de la enorme precisioacuten que se logra con un dispositivo conocido como reloj atoacutemico que mide vibraciones de aacutetomos de cesio Ahora un segundo se define como el tiempo que requiere el aacutetomo de cesio 133 para realizar 9192631770 vibraciones correspondientes a la transicioacuten entre los niveles hiperfinos de su estado fundamental

Magnitudes fundamentales

En Fiacutesica una magnitud corresponde a alguna caracteriacutestica o propiedad determinada que puede cuantificarse La longitud el tiempo la fuerza la masa la presioacuten la energiacutea son ejemplos de magnitudes fiacutesicas

Las magnitudes fiacutesicas pueden ser escalares o vectoriales

Una magnitud fundamental es aquella que no se puede definir o expresar a partir de otras

Sistema Internacional de Unidades (S I)

El Sistema Internacional de Unidades con la abreviacioacuten SI surge oficialmente en la 2da

Conferencia General de Pesos y Medidas en 1960

El S I se deriva del sistema meacutetrico decimal que surgioacute en Francia a fines del siglo XVIII y que a su vez tuvo una etapa precursora de varios siglos anteriores a dicha fecha El S I es administrado por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas (CIPM) cuya sede central estaacute en Sevres Pariacutes

Las decisiones cientiacuteficas de su quehacer son tomadas por el CIPM Este Comiteacute estaacute asesorado por ocho comiteacutes consultativos especializados en las aacutereas de Electricidad Fotometriacutea Termometriacutea El Metro El Segundo Masa Radiactividad y UnidadesMuy brevemente se pueden sentildealar las etapas

-El sistema meacutetrico decimal se impone oficialmente en Francia el 1 de Enero de 1840-Chile se suscribe al sistema meacutetrico decimal en 1848- En Mayo de 1875 surge el Tratado del metro creaacutendose la Oficina Internacional de Pesos y Medidas a la cual Chile se suscribe en 1908

- En 1960 se establece el S I como se ha mencionado maacutes arriba Chile introduce oficialmente el S I en 1977- Actualmente en Chile El Instituto Nacional de Normalizacioacuten (INN) es el organismo que tiene a su cargo el estudio y preparacioacuten de las normas teacutecnicas a nivel nacional

El Sistema Internacional comprende tres clases de unidades las cuales en conjunto forman el sistema coherente de unidades

- Unidades fundamentales o baacutesicas- Unidades suplementarias- Unidades derivadas

Unidades fundamentales del S I

Estas unidades corresponden a aquellas que sirven como base para expresar el resto de las unidades Dentro de estas siete se destacan las unidades usadas para medir longitud masa y tiempo es decir el ldquometrordquo el ldquokilogramordquo y el ldquosegundordquo

Magnitud Nombre Siacutembolo

Longitud Metro mMasa Kilogramo kgTiempo Segundo sCorriente eleacutectrica Ampere ATemperatura termodinaacutemica Kelvin KCantidad de sustancia Mol molIntensidad luminosa Candela cd

Unidades suplementarias

La Conferencia General de Pesas y Medidas no ha clasificado ciertas unidades delSistema Internacional como unidades fundamentales o como unidades derivadasEstas unidades indicadas en la tabla se denominan Unidades Suplementarias y puedenser consideradas ya sea como unidades fundamentales o como unidades derivadas

Magnitud Nombre Siacutembolo

Aacutengulo plano Radiaacuten radAacutengulo soacutelido Estereorradiaacuten sr

Unidades derivadas

Las unidades derivadas se expresan algebraicamente en teacuterminos de unidades fundamentales yo unidades suplementarias Sus siacutembolos se obtienen mediante los signos

matemaacuteticos de multiplicacioacuten y divisioacuten por ejemplo la unidad S I para la velocidad angular es el radiaacuten por segundo (rads)

Para algunas de las unidades derivadas S I existen nombres y siacutembolos especiales los aprobados por la Conferencia General de Pesas y Medidas se indican en la tabla

Algunas veces es ventajoso expresar las unidades derivadas en teacuterminos de otras unidades derivadas que tienen nombres especiales por ejemplo la unidad S I para el momento eleacutectrico dipolar se expresa usualmente como Ctimesm en lugar de Atimesstimesm

Magnitud Nombre Siacutembolo Equivalencia

Frecuencia Hertz Hz 1 Hz = 1sFuerza Newton N 1 N = 1 kgms2

Presioacuten Tensioacuten Mecaacutenica Pascal Pa 1 Pa = 1 Nm2

Energiacutea Trabajo Calor Joule J 1 J = 1 NmPotencia Watt W 1 W = 1 JsEtc

Muacuteltiplos de unidades del S I

Los prefijos dados en la tabla siguiente se usan para formar nombres y siacutembolos de muacuteltiplos (muacuteltiplos y submuacuteltiplos decimales) de las unidades S I

Muacuteltiplos de unidades del S I

SESIOacuteN 1-2ordf Parte CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ERRORES

Cifras significativas

iquestQueacute son las cifras significativas

Las cifras significativas son los diacutegitos necesarios para representar la precisioacuten de la medida expresaacutendola en forma de un valor numeacuterico No se consideran los ceros a la izquierda del primer diacutegito real

Consideremos como ejemplo la medicioacuten del largo de un cabello realizado con instrumentos de distinta sensibilidad

a) Una regla graduada al miliacutemetro (1 mm)b) Un Pie de Metro graduado a la deacutecima de mm (01 mm )c) Un tornillo micromeacutetrico graduado a la centeacutesima de mm (001 mm)d) Microscopio comparador graduado en mileacutesima de mm (0001 mm)

Los valores experimentales medidos con estos instrumentos podraacuten ser leiacutedos realmente al mm en el caso de la regla graduada a la deacutecima de mm para el Pie de Metro a la centeacutesima de mm para el tornillo micromeacutetrico o a la mileacutesima de mm para el microscopio En cada uno de los casos anteriores podraacute estimarse ldquoa ojordquo una cifra maacutes de las realmente leiacutedas lo que se logra haciendo una interpolacioacuten entre los liacutemites de la menor divisioacuten disponible en la graduacioacuten del instrumento esta cifra es incierta es decir no existe seguridad de su valor exacto

Los valores experimentales leiacutedos y expresados por el nuacutemero de cifras significativas correspondientes serian por ejemplo

a) Regla 18 mm 2 cifras significativasb) Pie de Metro 180 mm 3 cifras significativasc) Tornillo micromeacutetrico 1802 mm 4 cifras significativasd) Microscopio 18015 mm 5 cifras significativas

No se puede afirmar que en base a lo que indica el microscopio la longitud del cabello sea 18015 mm sino soacutelo que eacuteste es el valor con mayor precisioacuten alcanzada con los meacutetodos de medicioacuten utilizados en este ejemplo Si decimos que el cabello mide exactamente 18015 mm de longitud estamos afirmando que todas las infinitas cifras que siguen del 5 son cero es decir longitud = 18015000000000000hellip desde el punto de vista fiacutesico decir esto es incorrecto ya que ello significa que hemos utilizado un instrumento con infinita sensibilidad para medir las infinitas cifras a partir del 5 y hemos encontrado que todas valen cero iquestMedir infinitas cifras iexcles imposible iquestinstrumentos de sensibilidad infinita iexcles imposible

Cabe hacer notar que en el caso de la lectura realizada con el Pie de Metro el cero de la derecha tiene importancia ya que no seriacutea correcto decir que los valores 25 y 250 tienen igual significado

Las cifras significativas de un nuacutemero son aquellas que se miden o que son medibles Un cero no es significativo si no se encuentra entre otras dos cifras o estaacute a la derecha de la parte decimal de un nuacutemero Asiacute por ejemplo el cero en 130 es significativo mientras que los ceros en 005 no son significativos

Introduccioacuten a la medicioacuten

En su actividad praacutectica el profesional de la construccioacuten y la ingenieriacutea se encuentra a cada instante con iacutendices cuantitativos (resistencia de materiales dosis de componentes en una mezcla concentraciones longitudes fuerzas aplicadas etc) de aquiacute la importancia de saber coacutemo se obtienen esas y otras magnitudes afines cuaacutel es su precisioacuten en que unidades estaacuten maacutes comuacutenmente expresadas queacute instrumentos y teacutecnicas son adecuados a cada propoacutesito coacutemo se elaboran las diferentes mediciones etc

Por lo anterior se hace indispensable realizar un breve recorrido por los aspectos esenciales de la metrologiacutea

Metrologiacutea Ciencia sobre las mediciones los meacutetodos y medios de asegurar su unidad y sobre los modos de lograr la precisioacuten requerida

Medicioacuten Es la determinacioacuten del valor de una magnitud fiacutesica por viacutea experimental valieacutendose de medios teacutecnicos

Las mediciones permiten determinar las regularidades de la naturaleza y son un elemento de conocimiento del mundo que nos rodea

Las mediciones pueden ser

Directas cuando el resultado se obtiene midiendo directamente la magnitud que se quiere determinar Ejemplo la medicioacuten de la longitud de un terreno con una huincha

Indirectas cuando el valor de la magnitud que se quiere determinar se encuentra mediante una dependencia conocida entre dos o maacutes magnitudes que pueden ser medidas directamente Ejemplo la determinacioacuten de la densidad de un liacutequido como resultado de medir su masa en una balanza medir su volumen con una probeta graduada y calcular densidad = (masa volumen)

Los medios teacutecnicos para realizar las mediciones (medios de medicioacuten) pueden ser de diferentes tipos

El aparato de medicioacuten cuya informacioacuten se brinda de forma directa al observador

Los patrones que tienen la medida de la magnitud fiacutesica dada y sirven de referencia para la comparacioacuten o reproduccioacuten

Los convertidores transductores o sensores cuyo principio de funcionamiento se basa en la variacioacuten proporcional de una magnitud fiacutesica de intereacutes de modo que resulte maacutes coacutemodo su transmisioacuten

El procesamiento yo almacenamiento posterior El grado de aproximacioacuten de los resultados de una medicioacuten al valor real de la

magnitud sometida a medicioacuten caracteriza la precisioacuten de la medicioacuten Eacutesta nos da la calidad de la medicioacuten realizada

La valoracioacuten cuantitativa del resultado de una medicioacuten se realiza a partir de su error Eacuteste corresponde a la desviacioacuten de los resultados de la medicioacuten respecto al valor real de la magnitud medida Mientras menor sea el error mayor seraacute la precisioacuten de la medicioacuten El error se debe a varios factores a la imperfeccioacuten de los medios de medicioacuten a la falta de experiencia de la persona que realiza la medicioacuten a la influencia de factores ajenos etc Se encuentran errores casuales y errores sistemaacuteticos

Es importante conocer la unidad representativa que permite cuantificar y comparar la magnitud fiacutesica dada Unidad de la magnitud fiacutesica seraacute la admitida seguacuten el acuerdo como base de la valoracioacuten cuantitativa de la magnitud fiacutesica correspondiente

Caracteriacutesticas principales de los instrumentos de medicioacuten directa

Escala Corresponde a la unidad que se puede leer directamente en la escala del instrumento

Rango Conjunto de valores posibles de medir directamente con el instrumento Se expresa estableciendo los valores extremos por ejemplo podemos decir que el rango de medida de un termoacutemetro es de -10 a 120 ordmC

Sensibilidad Corresponde al miacutenimo cambio en la magnitud medida que el instrumento puede detectar En general en el laboratorio se considera como sensibilidad del instrumento a la menor divisioacuten en su escala

Precisioacuten o error del instrumento Corresponde a la tolerancia de medida y define los liacutemites de los errores cometidos cuando el instrumento se emplea en condiciones normales de uso Para instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Se recomienda que en la medida de lo posible el rango la sensibilidad y el error se expresen en la misma unidad que se utiliza en la escala

Mediciones y errores

Expresioacuten de una medicioacuten

Una medicioacuten M correctamente realizada se expresa en la forma

M = x plusmn dx (ud)

dondex lectura del instrumento representa el valor numeacuterico maacutes aceptable o probable de la medicioacuten leiacutedo directamente en la pantalla o escala graduada del instrumento utilizadodx expresa el ldquoerrorrdquo del instrumento o margen de incerteza(ud) representa la unidad de medida expresada en el sistema utilizado

Es decir Medicioacuten = lectura plusmn error

Por ejemplo m = 368 plusmn 03 (kg)

En otros teacuterminos ante la imposibilidad de obtener un valor de medicioacuten uacutenico y absoluto se expresa la medida como un valor probable dentro de un conjunto de valores acotados

x ndash dx lt medicioacuten lt x + dx

En el ejemplo numeacuterico decir que una masa medida es m = 368 plusmn 03 (kg) es equivalente a indicar que no se conoce el valor exacto de la masa pero se sabe con seguridad que se encuentra en el rango 365 lt m lt 371 (kg)

En otras palabras la medicioacuten realizada indica que 368 (kg) es el valor maacutes probable seguacuten las cifras aritmeacuteticas circunstanciales pero igualmente aceptable es cualquier valor comprendido entre 365 y 371 (kg)

Mientras maacutes proacuteximas sean las cotas (o con un dx menor) habraacute mayor precisioacuten en la medicioacuten

Definicionesdx error absolutodxx error relativodxx times 100 error porcentual o porcentaje de error

Mediciones directas e indirectas

Las lecturas numeacutericas que directamente se obtienen de los instrumentos seraacuten las ldquomediciones directasrdquo El error absoluto de una medicioacuten directa estaacute dado convencionalmente por la ldquosensibilidad del instrumentordquo esto es por la unidad maacutes pequentildea que puede leerse en la escala del instrumento Consideraremos que para

instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Las mediciones indirectas son aquellas que surgen de un proceso de caacutelculo a partir de medidas relacionadas entre siacute por foacutermulas matemaacuteticas Los ldquoerroresrdquo de las mediciones iniciales influiraacuten en el ldquoerrorrdquo de cualquier medicioacuten indirecta Los ldquoerroresrdquo iniciales se propagan seguacuten reglas convencionales que se indican maacutes adelante

Como realizar correctamente una medicioacuten directa

Tomaremos como ejemplo la medicioacuten de longitud realizada con una regla comuacuten graduada en centiacutemetros En la figura se muestra un objeto A que a simple vista tiene una longitud de LA = 18 cm

Por otro lado se observa que el objeto B tiene una longitud un poco mayor que 17 cm surgiendo la pregunta iquestcoacutemo es posible expresar matemaacuteticamente que LB estaacute entre 17 y 18 cm pero maacutes cerca de 17 que de 18 cm La respuesta exige que estimemos ldquoa ojordquo la cifra que entrega el instrumento entre dos liacuteneas consecutivas de su escala en este caso estas dos liacuteneas corresponden a las que indican el 17 y 18 cm

Una estimacioacuten ldquoa ojordquo permite indicar que la longitud de B es 172 cm Tanto el ldquo1rdquo como el ldquo7rdquo son entregados directamente por la escala del instrumento en cambio el ldquo2rdquo se estima y por lo tanto no es un valor exacto siendo considerado como una cifra incierta o ldquodudosardquo que puede ser un poco mayor (3 o 4) o un poco menor (1 o 0) dependiendo de quien sea la persona que realice la medicioacuten

Por lo tanto como no podemos estar seguros que la centeacutesima sea realmente 2 debido a que el instrumento soacutelo tiene graduada la deacutecima en este ejemplo son igualmente vaacutelidas las siguientes mediciones

LB = 170 cm LB = 171 cm LB = 172 cm LB = 173 cm LB = 174 cm

Lo anterior ocurre con cualquier instrumento con escala graduada no importando que tenga sus liacuteneas muy juntas puesto que siempre podremos distinguir una de otra Dado que la regla permitioacute medir la longitud del objeto B con dos decimales (LB = 172 cm) entonces

todas las mediciones realizadas con este instrumento entregaraacuten dos decimales En consecuencia la longitud del objeto A deberaacute expresarse de la forma LA = 180 cm indicaacutendose con ello que realmente estamos seguros que el valor estaacute en torno a 18 pero no existe seguridad que sea exactamente este valor Asiacute 180 cm indica que la cifra ldquo0rdquo es incierta es decir puede ser un poco mayor (1 o 2) o un poco menor (9 u 8) siendo entonces lecturas vaacutelidas para la longitud de A

LA = 178 cm LA = 179 cm LA = 180 cm LA = 181 cm LA = 182 cm

En resumen una lectura realizada correctamente siempre deberaacute estimar la cifra incierta al expresar la medicioacuten siempre la cifra del extremo derecho seraacute la ldquocifra dudosardquo

Fuentes de errores casuales

La mayor parte de los instrumentos requieren una estimacioacuten de una subdivisioacuten de la unidad maacutes pequentildea del aparato y el observador puede variar esta estimacioacuten de tiempo en tiempo al azar por variadas razones (cansancio posicioacuten etc)

Fluctuaciones tales como la temperatura la presioacuten u otra magnitud fiacutesica pueden influir en el resultado de las mediciones Tambieacuten vibraciones mecaacutenicas o sentildeales pueden interferir con los instrumentos Auacuten cuando la teacutecnica de medicioacuten fuese bastante aceptable puede ocurrir que repetidas mediciones resulten muy diferentes auacuten con valores inesperados debido a que la medicioacuten misma no estaacute perfectamente definida Asiacute por ejemplo la longitud de una mesa rectangular se puede medir con bastante precisioacuten en diferentes posiciones longitudinales y las imperfecciones de la mesa daraacute diferentes medidas El largo de la mesa estaacute definido en una posicioacuten bien fija

Todas las anteriores circunstancias conducen al error casual o al azar al error fiacutesico propiamente tal a las condiciones inevitables de trabajo y que se aceptan para el ldquoerrorrdquo de la medicioacuten La adecuada teacutecnica de trabajo experimental seraacute aquella que los disminuye a la miacutenima expresioacuten posible no obstante siempre estaraacuten presentes e influiraacuten en ambos sentidos esto es pueden ser aditivos o sustractivos al azar de ahiacute su expresioacuten (plusmn dx)

Fuentes de errores sistemaacuteticos

Este tipo de error debe ser advertido y dar lugar a correcciones en las mediciones Cuando surgen influyen siempre en un solo sentido se pueden y deben eliminarse

Errores de calibracioacuten Un instrumento de medicioacuten mal calibrado daraacute lugar a lecturas erroacuteneas siempre en un solo sentido Conocido el error de la calibracioacuten con respecto a un instrumento ldquopatroacutenrdquo se corrigen las lecturas de medicioacuten del instrumento mal calibrado

Errores de ajuste El instrumento puede usarse sin ajustar el iacutendice al cero de la escala Detectado el error daraacute lugar a una correccioacuten de las mediciones en forma aditiva o sustractiva seguacuten sea el caso

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

- En 1960 se establece el S I como se ha mencionado maacutes arriba Chile introduce oficialmente el S I en 1977- Actualmente en Chile El Instituto Nacional de Normalizacioacuten (INN) es el organismo que tiene a su cargo el estudio y preparacioacuten de las normas teacutecnicas a nivel nacional

El Sistema Internacional comprende tres clases de unidades las cuales en conjunto forman el sistema coherente de unidades

- Unidades fundamentales o baacutesicas- Unidades suplementarias- Unidades derivadas

Unidades fundamentales del S I

Estas unidades corresponden a aquellas que sirven como base para expresar el resto de las unidades Dentro de estas siete se destacan las unidades usadas para medir longitud masa y tiempo es decir el ldquometrordquo el ldquokilogramordquo y el ldquosegundordquo

Magnitud Nombre Siacutembolo

Longitud Metro mMasa Kilogramo kgTiempo Segundo sCorriente eleacutectrica Ampere ATemperatura termodinaacutemica Kelvin KCantidad de sustancia Mol molIntensidad luminosa Candela cd

Unidades suplementarias

La Conferencia General de Pesas y Medidas no ha clasificado ciertas unidades delSistema Internacional como unidades fundamentales o como unidades derivadasEstas unidades indicadas en la tabla se denominan Unidades Suplementarias y puedenser consideradas ya sea como unidades fundamentales o como unidades derivadas

Magnitud Nombre Siacutembolo

Aacutengulo plano Radiaacuten radAacutengulo soacutelido Estereorradiaacuten sr

Unidades derivadas

Las unidades derivadas se expresan algebraicamente en teacuterminos de unidades fundamentales yo unidades suplementarias Sus siacutembolos se obtienen mediante los signos

matemaacuteticos de multiplicacioacuten y divisioacuten por ejemplo la unidad S I para la velocidad angular es el radiaacuten por segundo (rads)

Para algunas de las unidades derivadas S I existen nombres y siacutembolos especiales los aprobados por la Conferencia General de Pesas y Medidas se indican en la tabla

Algunas veces es ventajoso expresar las unidades derivadas en teacuterminos de otras unidades derivadas que tienen nombres especiales por ejemplo la unidad S I para el momento eleacutectrico dipolar se expresa usualmente como Ctimesm en lugar de Atimesstimesm

Magnitud Nombre Siacutembolo Equivalencia

Frecuencia Hertz Hz 1 Hz = 1sFuerza Newton N 1 N = 1 kgms2

Presioacuten Tensioacuten Mecaacutenica Pascal Pa 1 Pa = 1 Nm2

Energiacutea Trabajo Calor Joule J 1 J = 1 NmPotencia Watt W 1 W = 1 JsEtc

Muacuteltiplos de unidades del S I

Los prefijos dados en la tabla siguiente se usan para formar nombres y siacutembolos de muacuteltiplos (muacuteltiplos y submuacuteltiplos decimales) de las unidades S I

Muacuteltiplos de unidades del S I

SESIOacuteN 1-2ordf Parte CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ERRORES

Cifras significativas

iquestQueacute son las cifras significativas

Las cifras significativas son los diacutegitos necesarios para representar la precisioacuten de la medida expresaacutendola en forma de un valor numeacuterico No se consideran los ceros a la izquierda del primer diacutegito real

Consideremos como ejemplo la medicioacuten del largo de un cabello realizado con instrumentos de distinta sensibilidad

a) Una regla graduada al miliacutemetro (1 mm)b) Un Pie de Metro graduado a la deacutecima de mm (01 mm )c) Un tornillo micromeacutetrico graduado a la centeacutesima de mm (001 mm)d) Microscopio comparador graduado en mileacutesima de mm (0001 mm)

Los valores experimentales medidos con estos instrumentos podraacuten ser leiacutedos realmente al mm en el caso de la regla graduada a la deacutecima de mm para el Pie de Metro a la centeacutesima de mm para el tornillo micromeacutetrico o a la mileacutesima de mm para el microscopio En cada uno de los casos anteriores podraacute estimarse ldquoa ojordquo una cifra maacutes de las realmente leiacutedas lo que se logra haciendo una interpolacioacuten entre los liacutemites de la menor divisioacuten disponible en la graduacioacuten del instrumento esta cifra es incierta es decir no existe seguridad de su valor exacto

Los valores experimentales leiacutedos y expresados por el nuacutemero de cifras significativas correspondientes serian por ejemplo

a) Regla 18 mm 2 cifras significativasb) Pie de Metro 180 mm 3 cifras significativasc) Tornillo micromeacutetrico 1802 mm 4 cifras significativasd) Microscopio 18015 mm 5 cifras significativas

No se puede afirmar que en base a lo que indica el microscopio la longitud del cabello sea 18015 mm sino soacutelo que eacuteste es el valor con mayor precisioacuten alcanzada con los meacutetodos de medicioacuten utilizados en este ejemplo Si decimos que el cabello mide exactamente 18015 mm de longitud estamos afirmando que todas las infinitas cifras que siguen del 5 son cero es decir longitud = 18015000000000000hellip desde el punto de vista fiacutesico decir esto es incorrecto ya que ello significa que hemos utilizado un instrumento con infinita sensibilidad para medir las infinitas cifras a partir del 5 y hemos encontrado que todas valen cero iquestMedir infinitas cifras iexcles imposible iquestinstrumentos de sensibilidad infinita iexcles imposible

Cabe hacer notar que en el caso de la lectura realizada con el Pie de Metro el cero de la derecha tiene importancia ya que no seriacutea correcto decir que los valores 25 y 250 tienen igual significado

Las cifras significativas de un nuacutemero son aquellas que se miden o que son medibles Un cero no es significativo si no se encuentra entre otras dos cifras o estaacute a la derecha de la parte decimal de un nuacutemero Asiacute por ejemplo el cero en 130 es significativo mientras que los ceros en 005 no son significativos

Introduccioacuten a la medicioacuten

En su actividad praacutectica el profesional de la construccioacuten y la ingenieriacutea se encuentra a cada instante con iacutendices cuantitativos (resistencia de materiales dosis de componentes en una mezcla concentraciones longitudes fuerzas aplicadas etc) de aquiacute la importancia de saber coacutemo se obtienen esas y otras magnitudes afines cuaacutel es su precisioacuten en que unidades estaacuten maacutes comuacutenmente expresadas queacute instrumentos y teacutecnicas son adecuados a cada propoacutesito coacutemo se elaboran las diferentes mediciones etc

Por lo anterior se hace indispensable realizar un breve recorrido por los aspectos esenciales de la metrologiacutea

Metrologiacutea Ciencia sobre las mediciones los meacutetodos y medios de asegurar su unidad y sobre los modos de lograr la precisioacuten requerida

Medicioacuten Es la determinacioacuten del valor de una magnitud fiacutesica por viacutea experimental valieacutendose de medios teacutecnicos

Las mediciones permiten determinar las regularidades de la naturaleza y son un elemento de conocimiento del mundo que nos rodea

Las mediciones pueden ser

Directas cuando el resultado se obtiene midiendo directamente la magnitud que se quiere determinar Ejemplo la medicioacuten de la longitud de un terreno con una huincha

Indirectas cuando el valor de la magnitud que se quiere determinar se encuentra mediante una dependencia conocida entre dos o maacutes magnitudes que pueden ser medidas directamente Ejemplo la determinacioacuten de la densidad de un liacutequido como resultado de medir su masa en una balanza medir su volumen con una probeta graduada y calcular densidad = (masa volumen)

Los medios teacutecnicos para realizar las mediciones (medios de medicioacuten) pueden ser de diferentes tipos

El aparato de medicioacuten cuya informacioacuten se brinda de forma directa al observador

Los patrones que tienen la medida de la magnitud fiacutesica dada y sirven de referencia para la comparacioacuten o reproduccioacuten

Los convertidores transductores o sensores cuyo principio de funcionamiento se basa en la variacioacuten proporcional de una magnitud fiacutesica de intereacutes de modo que resulte maacutes coacutemodo su transmisioacuten

El procesamiento yo almacenamiento posterior El grado de aproximacioacuten de los resultados de una medicioacuten al valor real de la

magnitud sometida a medicioacuten caracteriza la precisioacuten de la medicioacuten Eacutesta nos da la calidad de la medicioacuten realizada

La valoracioacuten cuantitativa del resultado de una medicioacuten se realiza a partir de su error Eacuteste corresponde a la desviacioacuten de los resultados de la medicioacuten respecto al valor real de la magnitud medida Mientras menor sea el error mayor seraacute la precisioacuten de la medicioacuten El error se debe a varios factores a la imperfeccioacuten de los medios de medicioacuten a la falta de experiencia de la persona que realiza la medicioacuten a la influencia de factores ajenos etc Se encuentran errores casuales y errores sistemaacuteticos

Es importante conocer la unidad representativa que permite cuantificar y comparar la magnitud fiacutesica dada Unidad de la magnitud fiacutesica seraacute la admitida seguacuten el acuerdo como base de la valoracioacuten cuantitativa de la magnitud fiacutesica correspondiente

Caracteriacutesticas principales de los instrumentos de medicioacuten directa

Escala Corresponde a la unidad que se puede leer directamente en la escala del instrumento

Rango Conjunto de valores posibles de medir directamente con el instrumento Se expresa estableciendo los valores extremos por ejemplo podemos decir que el rango de medida de un termoacutemetro es de -10 a 120 ordmC

Sensibilidad Corresponde al miacutenimo cambio en la magnitud medida que el instrumento puede detectar En general en el laboratorio se considera como sensibilidad del instrumento a la menor divisioacuten en su escala

Precisioacuten o error del instrumento Corresponde a la tolerancia de medida y define los liacutemites de los errores cometidos cuando el instrumento se emplea en condiciones normales de uso Para instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Se recomienda que en la medida de lo posible el rango la sensibilidad y el error se expresen en la misma unidad que se utiliza en la escala

Mediciones y errores

Expresioacuten de una medicioacuten

Una medicioacuten M correctamente realizada se expresa en la forma

M = x plusmn dx (ud)

dondex lectura del instrumento representa el valor numeacuterico maacutes aceptable o probable de la medicioacuten leiacutedo directamente en la pantalla o escala graduada del instrumento utilizadodx expresa el ldquoerrorrdquo del instrumento o margen de incerteza(ud) representa la unidad de medida expresada en el sistema utilizado

Es decir Medicioacuten = lectura plusmn error

Por ejemplo m = 368 plusmn 03 (kg)

En otros teacuterminos ante la imposibilidad de obtener un valor de medicioacuten uacutenico y absoluto se expresa la medida como un valor probable dentro de un conjunto de valores acotados

x ndash dx lt medicioacuten lt x + dx

En el ejemplo numeacuterico decir que una masa medida es m = 368 plusmn 03 (kg) es equivalente a indicar que no se conoce el valor exacto de la masa pero se sabe con seguridad que se encuentra en el rango 365 lt m lt 371 (kg)

En otras palabras la medicioacuten realizada indica que 368 (kg) es el valor maacutes probable seguacuten las cifras aritmeacuteticas circunstanciales pero igualmente aceptable es cualquier valor comprendido entre 365 y 371 (kg)

Mientras maacutes proacuteximas sean las cotas (o con un dx menor) habraacute mayor precisioacuten en la medicioacuten

Definicionesdx error absolutodxx error relativodxx times 100 error porcentual o porcentaje de error

Mediciones directas e indirectas

Las lecturas numeacutericas que directamente se obtienen de los instrumentos seraacuten las ldquomediciones directasrdquo El error absoluto de una medicioacuten directa estaacute dado convencionalmente por la ldquosensibilidad del instrumentordquo esto es por la unidad maacutes pequentildea que puede leerse en la escala del instrumento Consideraremos que para

instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Las mediciones indirectas son aquellas que surgen de un proceso de caacutelculo a partir de medidas relacionadas entre siacute por foacutermulas matemaacuteticas Los ldquoerroresrdquo de las mediciones iniciales influiraacuten en el ldquoerrorrdquo de cualquier medicioacuten indirecta Los ldquoerroresrdquo iniciales se propagan seguacuten reglas convencionales que se indican maacutes adelante

Como realizar correctamente una medicioacuten directa

Tomaremos como ejemplo la medicioacuten de longitud realizada con una regla comuacuten graduada en centiacutemetros En la figura se muestra un objeto A que a simple vista tiene una longitud de LA = 18 cm

Por otro lado se observa que el objeto B tiene una longitud un poco mayor que 17 cm surgiendo la pregunta iquestcoacutemo es posible expresar matemaacuteticamente que LB estaacute entre 17 y 18 cm pero maacutes cerca de 17 que de 18 cm La respuesta exige que estimemos ldquoa ojordquo la cifra que entrega el instrumento entre dos liacuteneas consecutivas de su escala en este caso estas dos liacuteneas corresponden a las que indican el 17 y 18 cm

Una estimacioacuten ldquoa ojordquo permite indicar que la longitud de B es 172 cm Tanto el ldquo1rdquo como el ldquo7rdquo son entregados directamente por la escala del instrumento en cambio el ldquo2rdquo se estima y por lo tanto no es un valor exacto siendo considerado como una cifra incierta o ldquodudosardquo que puede ser un poco mayor (3 o 4) o un poco menor (1 o 0) dependiendo de quien sea la persona que realice la medicioacuten

Por lo tanto como no podemos estar seguros que la centeacutesima sea realmente 2 debido a que el instrumento soacutelo tiene graduada la deacutecima en este ejemplo son igualmente vaacutelidas las siguientes mediciones

LB = 170 cm LB = 171 cm LB = 172 cm LB = 173 cm LB = 174 cm

Lo anterior ocurre con cualquier instrumento con escala graduada no importando que tenga sus liacuteneas muy juntas puesto que siempre podremos distinguir una de otra Dado que la regla permitioacute medir la longitud del objeto B con dos decimales (LB = 172 cm) entonces

todas las mediciones realizadas con este instrumento entregaraacuten dos decimales En consecuencia la longitud del objeto A deberaacute expresarse de la forma LA = 180 cm indicaacutendose con ello que realmente estamos seguros que el valor estaacute en torno a 18 pero no existe seguridad que sea exactamente este valor Asiacute 180 cm indica que la cifra ldquo0rdquo es incierta es decir puede ser un poco mayor (1 o 2) o un poco menor (9 u 8) siendo entonces lecturas vaacutelidas para la longitud de A

LA = 178 cm LA = 179 cm LA = 180 cm LA = 181 cm LA = 182 cm

En resumen una lectura realizada correctamente siempre deberaacute estimar la cifra incierta al expresar la medicioacuten siempre la cifra del extremo derecho seraacute la ldquocifra dudosardquo

Fuentes de errores casuales

La mayor parte de los instrumentos requieren una estimacioacuten de una subdivisioacuten de la unidad maacutes pequentildea del aparato y el observador puede variar esta estimacioacuten de tiempo en tiempo al azar por variadas razones (cansancio posicioacuten etc)

Fluctuaciones tales como la temperatura la presioacuten u otra magnitud fiacutesica pueden influir en el resultado de las mediciones Tambieacuten vibraciones mecaacutenicas o sentildeales pueden interferir con los instrumentos Auacuten cuando la teacutecnica de medicioacuten fuese bastante aceptable puede ocurrir que repetidas mediciones resulten muy diferentes auacuten con valores inesperados debido a que la medicioacuten misma no estaacute perfectamente definida Asiacute por ejemplo la longitud de una mesa rectangular se puede medir con bastante precisioacuten en diferentes posiciones longitudinales y las imperfecciones de la mesa daraacute diferentes medidas El largo de la mesa estaacute definido en una posicioacuten bien fija

Todas las anteriores circunstancias conducen al error casual o al azar al error fiacutesico propiamente tal a las condiciones inevitables de trabajo y que se aceptan para el ldquoerrorrdquo de la medicioacuten La adecuada teacutecnica de trabajo experimental seraacute aquella que los disminuye a la miacutenima expresioacuten posible no obstante siempre estaraacuten presentes e influiraacuten en ambos sentidos esto es pueden ser aditivos o sustractivos al azar de ahiacute su expresioacuten (plusmn dx)

Fuentes de errores sistemaacuteticos

Este tipo de error debe ser advertido y dar lugar a correcciones en las mediciones Cuando surgen influyen siempre en un solo sentido se pueden y deben eliminarse

Errores de calibracioacuten Un instrumento de medicioacuten mal calibrado daraacute lugar a lecturas erroacuteneas siempre en un solo sentido Conocido el error de la calibracioacuten con respecto a un instrumento ldquopatroacutenrdquo se corrigen las lecturas de medicioacuten del instrumento mal calibrado

Errores de ajuste El instrumento puede usarse sin ajustar el iacutendice al cero de la escala Detectado el error daraacute lugar a una correccioacuten de las mediciones en forma aditiva o sustractiva seguacuten sea el caso

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

matemaacuteticos de multiplicacioacuten y divisioacuten por ejemplo la unidad S I para la velocidad angular es el radiaacuten por segundo (rads)

Para algunas de las unidades derivadas S I existen nombres y siacutembolos especiales los aprobados por la Conferencia General de Pesas y Medidas se indican en la tabla

Algunas veces es ventajoso expresar las unidades derivadas en teacuterminos de otras unidades derivadas que tienen nombres especiales por ejemplo la unidad S I para el momento eleacutectrico dipolar se expresa usualmente como Ctimesm en lugar de Atimesstimesm

Magnitud Nombre Siacutembolo Equivalencia

Frecuencia Hertz Hz 1 Hz = 1sFuerza Newton N 1 N = 1 kgms2

Presioacuten Tensioacuten Mecaacutenica Pascal Pa 1 Pa = 1 Nm2

Energiacutea Trabajo Calor Joule J 1 J = 1 NmPotencia Watt W 1 W = 1 JsEtc

Muacuteltiplos de unidades del S I

Los prefijos dados en la tabla siguiente se usan para formar nombres y siacutembolos de muacuteltiplos (muacuteltiplos y submuacuteltiplos decimales) de las unidades S I

Muacuteltiplos de unidades del S I

SESIOacuteN 1-2ordf Parte CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ERRORES

Cifras significativas

iquestQueacute son las cifras significativas

Las cifras significativas son los diacutegitos necesarios para representar la precisioacuten de la medida expresaacutendola en forma de un valor numeacuterico No se consideran los ceros a la izquierda del primer diacutegito real

Consideremos como ejemplo la medicioacuten del largo de un cabello realizado con instrumentos de distinta sensibilidad

a) Una regla graduada al miliacutemetro (1 mm)b) Un Pie de Metro graduado a la deacutecima de mm (01 mm )c) Un tornillo micromeacutetrico graduado a la centeacutesima de mm (001 mm)d) Microscopio comparador graduado en mileacutesima de mm (0001 mm)

Los valores experimentales medidos con estos instrumentos podraacuten ser leiacutedos realmente al mm en el caso de la regla graduada a la deacutecima de mm para el Pie de Metro a la centeacutesima de mm para el tornillo micromeacutetrico o a la mileacutesima de mm para el microscopio En cada uno de los casos anteriores podraacute estimarse ldquoa ojordquo una cifra maacutes de las realmente leiacutedas lo que se logra haciendo una interpolacioacuten entre los liacutemites de la menor divisioacuten disponible en la graduacioacuten del instrumento esta cifra es incierta es decir no existe seguridad de su valor exacto

Los valores experimentales leiacutedos y expresados por el nuacutemero de cifras significativas correspondientes serian por ejemplo

a) Regla 18 mm 2 cifras significativasb) Pie de Metro 180 mm 3 cifras significativasc) Tornillo micromeacutetrico 1802 mm 4 cifras significativasd) Microscopio 18015 mm 5 cifras significativas

No se puede afirmar que en base a lo que indica el microscopio la longitud del cabello sea 18015 mm sino soacutelo que eacuteste es el valor con mayor precisioacuten alcanzada con los meacutetodos de medicioacuten utilizados en este ejemplo Si decimos que el cabello mide exactamente 18015 mm de longitud estamos afirmando que todas las infinitas cifras que siguen del 5 son cero es decir longitud = 18015000000000000hellip desde el punto de vista fiacutesico decir esto es incorrecto ya que ello significa que hemos utilizado un instrumento con infinita sensibilidad para medir las infinitas cifras a partir del 5 y hemos encontrado que todas valen cero iquestMedir infinitas cifras iexcles imposible iquestinstrumentos de sensibilidad infinita iexcles imposible

Cabe hacer notar que en el caso de la lectura realizada con el Pie de Metro el cero de la derecha tiene importancia ya que no seriacutea correcto decir que los valores 25 y 250 tienen igual significado

Las cifras significativas de un nuacutemero son aquellas que se miden o que son medibles Un cero no es significativo si no se encuentra entre otras dos cifras o estaacute a la derecha de la parte decimal de un nuacutemero Asiacute por ejemplo el cero en 130 es significativo mientras que los ceros en 005 no son significativos

Introduccioacuten a la medicioacuten

En su actividad praacutectica el profesional de la construccioacuten y la ingenieriacutea se encuentra a cada instante con iacutendices cuantitativos (resistencia de materiales dosis de componentes en una mezcla concentraciones longitudes fuerzas aplicadas etc) de aquiacute la importancia de saber coacutemo se obtienen esas y otras magnitudes afines cuaacutel es su precisioacuten en que unidades estaacuten maacutes comuacutenmente expresadas queacute instrumentos y teacutecnicas son adecuados a cada propoacutesito coacutemo se elaboran las diferentes mediciones etc

Por lo anterior se hace indispensable realizar un breve recorrido por los aspectos esenciales de la metrologiacutea

Metrologiacutea Ciencia sobre las mediciones los meacutetodos y medios de asegurar su unidad y sobre los modos de lograr la precisioacuten requerida

Medicioacuten Es la determinacioacuten del valor de una magnitud fiacutesica por viacutea experimental valieacutendose de medios teacutecnicos

Las mediciones permiten determinar las regularidades de la naturaleza y son un elemento de conocimiento del mundo que nos rodea

Las mediciones pueden ser

Directas cuando el resultado se obtiene midiendo directamente la magnitud que se quiere determinar Ejemplo la medicioacuten de la longitud de un terreno con una huincha

Indirectas cuando el valor de la magnitud que se quiere determinar se encuentra mediante una dependencia conocida entre dos o maacutes magnitudes que pueden ser medidas directamente Ejemplo la determinacioacuten de la densidad de un liacutequido como resultado de medir su masa en una balanza medir su volumen con una probeta graduada y calcular densidad = (masa volumen)

Los medios teacutecnicos para realizar las mediciones (medios de medicioacuten) pueden ser de diferentes tipos

El aparato de medicioacuten cuya informacioacuten se brinda de forma directa al observador

Los patrones que tienen la medida de la magnitud fiacutesica dada y sirven de referencia para la comparacioacuten o reproduccioacuten

Los convertidores transductores o sensores cuyo principio de funcionamiento se basa en la variacioacuten proporcional de una magnitud fiacutesica de intereacutes de modo que resulte maacutes coacutemodo su transmisioacuten

El procesamiento yo almacenamiento posterior El grado de aproximacioacuten de los resultados de una medicioacuten al valor real de la

magnitud sometida a medicioacuten caracteriza la precisioacuten de la medicioacuten Eacutesta nos da la calidad de la medicioacuten realizada

La valoracioacuten cuantitativa del resultado de una medicioacuten se realiza a partir de su error Eacuteste corresponde a la desviacioacuten de los resultados de la medicioacuten respecto al valor real de la magnitud medida Mientras menor sea el error mayor seraacute la precisioacuten de la medicioacuten El error se debe a varios factores a la imperfeccioacuten de los medios de medicioacuten a la falta de experiencia de la persona que realiza la medicioacuten a la influencia de factores ajenos etc Se encuentran errores casuales y errores sistemaacuteticos

Es importante conocer la unidad representativa que permite cuantificar y comparar la magnitud fiacutesica dada Unidad de la magnitud fiacutesica seraacute la admitida seguacuten el acuerdo como base de la valoracioacuten cuantitativa de la magnitud fiacutesica correspondiente

Caracteriacutesticas principales de los instrumentos de medicioacuten directa

Escala Corresponde a la unidad que se puede leer directamente en la escala del instrumento

Rango Conjunto de valores posibles de medir directamente con el instrumento Se expresa estableciendo los valores extremos por ejemplo podemos decir que el rango de medida de un termoacutemetro es de -10 a 120 ordmC

Sensibilidad Corresponde al miacutenimo cambio en la magnitud medida que el instrumento puede detectar En general en el laboratorio se considera como sensibilidad del instrumento a la menor divisioacuten en su escala

Precisioacuten o error del instrumento Corresponde a la tolerancia de medida y define los liacutemites de los errores cometidos cuando el instrumento se emplea en condiciones normales de uso Para instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Se recomienda que en la medida de lo posible el rango la sensibilidad y el error se expresen en la misma unidad que se utiliza en la escala

Mediciones y errores

Expresioacuten de una medicioacuten

Una medicioacuten M correctamente realizada se expresa en la forma

M = x plusmn dx (ud)

dondex lectura del instrumento representa el valor numeacuterico maacutes aceptable o probable de la medicioacuten leiacutedo directamente en la pantalla o escala graduada del instrumento utilizadodx expresa el ldquoerrorrdquo del instrumento o margen de incerteza(ud) representa la unidad de medida expresada en el sistema utilizado

Es decir Medicioacuten = lectura plusmn error

Por ejemplo m = 368 plusmn 03 (kg)

En otros teacuterminos ante la imposibilidad de obtener un valor de medicioacuten uacutenico y absoluto se expresa la medida como un valor probable dentro de un conjunto de valores acotados

x ndash dx lt medicioacuten lt x + dx

En el ejemplo numeacuterico decir que una masa medida es m = 368 plusmn 03 (kg) es equivalente a indicar que no se conoce el valor exacto de la masa pero se sabe con seguridad que se encuentra en el rango 365 lt m lt 371 (kg)

En otras palabras la medicioacuten realizada indica que 368 (kg) es el valor maacutes probable seguacuten las cifras aritmeacuteticas circunstanciales pero igualmente aceptable es cualquier valor comprendido entre 365 y 371 (kg)

Mientras maacutes proacuteximas sean las cotas (o con un dx menor) habraacute mayor precisioacuten en la medicioacuten

Definicionesdx error absolutodxx error relativodxx times 100 error porcentual o porcentaje de error

Mediciones directas e indirectas

Las lecturas numeacutericas que directamente se obtienen de los instrumentos seraacuten las ldquomediciones directasrdquo El error absoluto de una medicioacuten directa estaacute dado convencionalmente por la ldquosensibilidad del instrumentordquo esto es por la unidad maacutes pequentildea que puede leerse en la escala del instrumento Consideraremos que para

instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Las mediciones indirectas son aquellas que surgen de un proceso de caacutelculo a partir de medidas relacionadas entre siacute por foacutermulas matemaacuteticas Los ldquoerroresrdquo de las mediciones iniciales influiraacuten en el ldquoerrorrdquo de cualquier medicioacuten indirecta Los ldquoerroresrdquo iniciales se propagan seguacuten reglas convencionales que se indican maacutes adelante

Como realizar correctamente una medicioacuten directa

Tomaremos como ejemplo la medicioacuten de longitud realizada con una regla comuacuten graduada en centiacutemetros En la figura se muestra un objeto A que a simple vista tiene una longitud de LA = 18 cm

Por otro lado se observa que el objeto B tiene una longitud un poco mayor que 17 cm surgiendo la pregunta iquestcoacutemo es posible expresar matemaacuteticamente que LB estaacute entre 17 y 18 cm pero maacutes cerca de 17 que de 18 cm La respuesta exige que estimemos ldquoa ojordquo la cifra que entrega el instrumento entre dos liacuteneas consecutivas de su escala en este caso estas dos liacuteneas corresponden a las que indican el 17 y 18 cm

Una estimacioacuten ldquoa ojordquo permite indicar que la longitud de B es 172 cm Tanto el ldquo1rdquo como el ldquo7rdquo son entregados directamente por la escala del instrumento en cambio el ldquo2rdquo se estima y por lo tanto no es un valor exacto siendo considerado como una cifra incierta o ldquodudosardquo que puede ser un poco mayor (3 o 4) o un poco menor (1 o 0) dependiendo de quien sea la persona que realice la medicioacuten

Por lo tanto como no podemos estar seguros que la centeacutesima sea realmente 2 debido a que el instrumento soacutelo tiene graduada la deacutecima en este ejemplo son igualmente vaacutelidas las siguientes mediciones

LB = 170 cm LB = 171 cm LB = 172 cm LB = 173 cm LB = 174 cm

Lo anterior ocurre con cualquier instrumento con escala graduada no importando que tenga sus liacuteneas muy juntas puesto que siempre podremos distinguir una de otra Dado que la regla permitioacute medir la longitud del objeto B con dos decimales (LB = 172 cm) entonces

todas las mediciones realizadas con este instrumento entregaraacuten dos decimales En consecuencia la longitud del objeto A deberaacute expresarse de la forma LA = 180 cm indicaacutendose con ello que realmente estamos seguros que el valor estaacute en torno a 18 pero no existe seguridad que sea exactamente este valor Asiacute 180 cm indica que la cifra ldquo0rdquo es incierta es decir puede ser un poco mayor (1 o 2) o un poco menor (9 u 8) siendo entonces lecturas vaacutelidas para la longitud de A

LA = 178 cm LA = 179 cm LA = 180 cm LA = 181 cm LA = 182 cm

En resumen una lectura realizada correctamente siempre deberaacute estimar la cifra incierta al expresar la medicioacuten siempre la cifra del extremo derecho seraacute la ldquocifra dudosardquo

Fuentes de errores casuales

La mayor parte de los instrumentos requieren una estimacioacuten de una subdivisioacuten de la unidad maacutes pequentildea del aparato y el observador puede variar esta estimacioacuten de tiempo en tiempo al azar por variadas razones (cansancio posicioacuten etc)

Fluctuaciones tales como la temperatura la presioacuten u otra magnitud fiacutesica pueden influir en el resultado de las mediciones Tambieacuten vibraciones mecaacutenicas o sentildeales pueden interferir con los instrumentos Auacuten cuando la teacutecnica de medicioacuten fuese bastante aceptable puede ocurrir que repetidas mediciones resulten muy diferentes auacuten con valores inesperados debido a que la medicioacuten misma no estaacute perfectamente definida Asiacute por ejemplo la longitud de una mesa rectangular se puede medir con bastante precisioacuten en diferentes posiciones longitudinales y las imperfecciones de la mesa daraacute diferentes medidas El largo de la mesa estaacute definido en una posicioacuten bien fija

Todas las anteriores circunstancias conducen al error casual o al azar al error fiacutesico propiamente tal a las condiciones inevitables de trabajo y que se aceptan para el ldquoerrorrdquo de la medicioacuten La adecuada teacutecnica de trabajo experimental seraacute aquella que los disminuye a la miacutenima expresioacuten posible no obstante siempre estaraacuten presentes e influiraacuten en ambos sentidos esto es pueden ser aditivos o sustractivos al azar de ahiacute su expresioacuten (plusmn dx)

Fuentes de errores sistemaacuteticos

Este tipo de error debe ser advertido y dar lugar a correcciones en las mediciones Cuando surgen influyen siempre en un solo sentido se pueden y deben eliminarse

Errores de calibracioacuten Un instrumento de medicioacuten mal calibrado daraacute lugar a lecturas erroacuteneas siempre en un solo sentido Conocido el error de la calibracioacuten con respecto a un instrumento ldquopatroacutenrdquo se corrigen las lecturas de medicioacuten del instrumento mal calibrado

Errores de ajuste El instrumento puede usarse sin ajustar el iacutendice al cero de la escala Detectado el error daraacute lugar a una correccioacuten de las mediciones en forma aditiva o sustractiva seguacuten sea el caso

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

SESIOacuteN 1-2ordf Parte CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y ERRORES

Cifras significativas

iquestQueacute son las cifras significativas

Las cifras significativas son los diacutegitos necesarios para representar la precisioacuten de la medida expresaacutendola en forma de un valor numeacuterico No se consideran los ceros a la izquierda del primer diacutegito real

Consideremos como ejemplo la medicioacuten del largo de un cabello realizado con instrumentos de distinta sensibilidad

a) Una regla graduada al miliacutemetro (1 mm)b) Un Pie de Metro graduado a la deacutecima de mm (01 mm )c) Un tornillo micromeacutetrico graduado a la centeacutesima de mm (001 mm)d) Microscopio comparador graduado en mileacutesima de mm (0001 mm)

Los valores experimentales medidos con estos instrumentos podraacuten ser leiacutedos realmente al mm en el caso de la regla graduada a la deacutecima de mm para el Pie de Metro a la centeacutesima de mm para el tornillo micromeacutetrico o a la mileacutesima de mm para el microscopio En cada uno de los casos anteriores podraacute estimarse ldquoa ojordquo una cifra maacutes de las realmente leiacutedas lo que se logra haciendo una interpolacioacuten entre los liacutemites de la menor divisioacuten disponible en la graduacioacuten del instrumento esta cifra es incierta es decir no existe seguridad de su valor exacto

Los valores experimentales leiacutedos y expresados por el nuacutemero de cifras significativas correspondientes serian por ejemplo

a) Regla 18 mm 2 cifras significativasb) Pie de Metro 180 mm 3 cifras significativasc) Tornillo micromeacutetrico 1802 mm 4 cifras significativasd) Microscopio 18015 mm 5 cifras significativas

No se puede afirmar que en base a lo que indica el microscopio la longitud del cabello sea 18015 mm sino soacutelo que eacuteste es el valor con mayor precisioacuten alcanzada con los meacutetodos de medicioacuten utilizados en este ejemplo Si decimos que el cabello mide exactamente 18015 mm de longitud estamos afirmando que todas las infinitas cifras que siguen del 5 son cero es decir longitud = 18015000000000000hellip desde el punto de vista fiacutesico decir esto es incorrecto ya que ello significa que hemos utilizado un instrumento con infinita sensibilidad para medir las infinitas cifras a partir del 5 y hemos encontrado que todas valen cero iquestMedir infinitas cifras iexcles imposible iquestinstrumentos de sensibilidad infinita iexcles imposible

Cabe hacer notar que en el caso de la lectura realizada con el Pie de Metro el cero de la derecha tiene importancia ya que no seriacutea correcto decir que los valores 25 y 250 tienen igual significado

Las cifras significativas de un nuacutemero son aquellas que se miden o que son medibles Un cero no es significativo si no se encuentra entre otras dos cifras o estaacute a la derecha de la parte decimal de un nuacutemero Asiacute por ejemplo el cero en 130 es significativo mientras que los ceros en 005 no son significativos

Introduccioacuten a la medicioacuten

En su actividad praacutectica el profesional de la construccioacuten y la ingenieriacutea se encuentra a cada instante con iacutendices cuantitativos (resistencia de materiales dosis de componentes en una mezcla concentraciones longitudes fuerzas aplicadas etc) de aquiacute la importancia de saber coacutemo se obtienen esas y otras magnitudes afines cuaacutel es su precisioacuten en que unidades estaacuten maacutes comuacutenmente expresadas queacute instrumentos y teacutecnicas son adecuados a cada propoacutesito coacutemo se elaboran las diferentes mediciones etc

Por lo anterior se hace indispensable realizar un breve recorrido por los aspectos esenciales de la metrologiacutea

Metrologiacutea Ciencia sobre las mediciones los meacutetodos y medios de asegurar su unidad y sobre los modos de lograr la precisioacuten requerida

Medicioacuten Es la determinacioacuten del valor de una magnitud fiacutesica por viacutea experimental valieacutendose de medios teacutecnicos

Las mediciones permiten determinar las regularidades de la naturaleza y son un elemento de conocimiento del mundo que nos rodea

Las mediciones pueden ser

Directas cuando el resultado se obtiene midiendo directamente la magnitud que se quiere determinar Ejemplo la medicioacuten de la longitud de un terreno con una huincha

Indirectas cuando el valor de la magnitud que se quiere determinar se encuentra mediante una dependencia conocida entre dos o maacutes magnitudes que pueden ser medidas directamente Ejemplo la determinacioacuten de la densidad de un liacutequido como resultado de medir su masa en una balanza medir su volumen con una probeta graduada y calcular densidad = (masa volumen)

Los medios teacutecnicos para realizar las mediciones (medios de medicioacuten) pueden ser de diferentes tipos

El aparato de medicioacuten cuya informacioacuten se brinda de forma directa al observador

Los patrones que tienen la medida de la magnitud fiacutesica dada y sirven de referencia para la comparacioacuten o reproduccioacuten

Los convertidores transductores o sensores cuyo principio de funcionamiento se basa en la variacioacuten proporcional de una magnitud fiacutesica de intereacutes de modo que resulte maacutes coacutemodo su transmisioacuten

El procesamiento yo almacenamiento posterior El grado de aproximacioacuten de los resultados de una medicioacuten al valor real de la

magnitud sometida a medicioacuten caracteriza la precisioacuten de la medicioacuten Eacutesta nos da la calidad de la medicioacuten realizada

La valoracioacuten cuantitativa del resultado de una medicioacuten se realiza a partir de su error Eacuteste corresponde a la desviacioacuten de los resultados de la medicioacuten respecto al valor real de la magnitud medida Mientras menor sea el error mayor seraacute la precisioacuten de la medicioacuten El error se debe a varios factores a la imperfeccioacuten de los medios de medicioacuten a la falta de experiencia de la persona que realiza la medicioacuten a la influencia de factores ajenos etc Se encuentran errores casuales y errores sistemaacuteticos

Es importante conocer la unidad representativa que permite cuantificar y comparar la magnitud fiacutesica dada Unidad de la magnitud fiacutesica seraacute la admitida seguacuten el acuerdo como base de la valoracioacuten cuantitativa de la magnitud fiacutesica correspondiente

Caracteriacutesticas principales de los instrumentos de medicioacuten directa

Escala Corresponde a la unidad que se puede leer directamente en la escala del instrumento

Rango Conjunto de valores posibles de medir directamente con el instrumento Se expresa estableciendo los valores extremos por ejemplo podemos decir que el rango de medida de un termoacutemetro es de -10 a 120 ordmC

Sensibilidad Corresponde al miacutenimo cambio en la magnitud medida que el instrumento puede detectar En general en el laboratorio se considera como sensibilidad del instrumento a la menor divisioacuten en su escala

Precisioacuten o error del instrumento Corresponde a la tolerancia de medida y define los liacutemites de los errores cometidos cuando el instrumento se emplea en condiciones normales de uso Para instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Se recomienda que en la medida de lo posible el rango la sensibilidad y el error se expresen en la misma unidad que se utiliza en la escala

Mediciones y errores

Expresioacuten de una medicioacuten

Una medicioacuten M correctamente realizada se expresa en la forma

M = x plusmn dx (ud)

dondex lectura del instrumento representa el valor numeacuterico maacutes aceptable o probable de la medicioacuten leiacutedo directamente en la pantalla o escala graduada del instrumento utilizadodx expresa el ldquoerrorrdquo del instrumento o margen de incerteza(ud) representa la unidad de medida expresada en el sistema utilizado

Es decir Medicioacuten = lectura plusmn error

Por ejemplo m = 368 plusmn 03 (kg)

En otros teacuterminos ante la imposibilidad de obtener un valor de medicioacuten uacutenico y absoluto se expresa la medida como un valor probable dentro de un conjunto de valores acotados

x ndash dx lt medicioacuten lt x + dx

En el ejemplo numeacuterico decir que una masa medida es m = 368 plusmn 03 (kg) es equivalente a indicar que no se conoce el valor exacto de la masa pero se sabe con seguridad que se encuentra en el rango 365 lt m lt 371 (kg)

En otras palabras la medicioacuten realizada indica que 368 (kg) es el valor maacutes probable seguacuten las cifras aritmeacuteticas circunstanciales pero igualmente aceptable es cualquier valor comprendido entre 365 y 371 (kg)

Mientras maacutes proacuteximas sean las cotas (o con un dx menor) habraacute mayor precisioacuten en la medicioacuten

Definicionesdx error absolutodxx error relativodxx times 100 error porcentual o porcentaje de error

Mediciones directas e indirectas

Las lecturas numeacutericas que directamente se obtienen de los instrumentos seraacuten las ldquomediciones directasrdquo El error absoluto de una medicioacuten directa estaacute dado convencionalmente por la ldquosensibilidad del instrumentordquo esto es por la unidad maacutes pequentildea que puede leerse en la escala del instrumento Consideraremos que para

instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Las mediciones indirectas son aquellas que surgen de un proceso de caacutelculo a partir de medidas relacionadas entre siacute por foacutermulas matemaacuteticas Los ldquoerroresrdquo de las mediciones iniciales influiraacuten en el ldquoerrorrdquo de cualquier medicioacuten indirecta Los ldquoerroresrdquo iniciales se propagan seguacuten reglas convencionales que se indican maacutes adelante

Como realizar correctamente una medicioacuten directa

Tomaremos como ejemplo la medicioacuten de longitud realizada con una regla comuacuten graduada en centiacutemetros En la figura se muestra un objeto A que a simple vista tiene una longitud de LA = 18 cm

Por otro lado se observa que el objeto B tiene una longitud un poco mayor que 17 cm surgiendo la pregunta iquestcoacutemo es posible expresar matemaacuteticamente que LB estaacute entre 17 y 18 cm pero maacutes cerca de 17 que de 18 cm La respuesta exige que estimemos ldquoa ojordquo la cifra que entrega el instrumento entre dos liacuteneas consecutivas de su escala en este caso estas dos liacuteneas corresponden a las que indican el 17 y 18 cm

Una estimacioacuten ldquoa ojordquo permite indicar que la longitud de B es 172 cm Tanto el ldquo1rdquo como el ldquo7rdquo son entregados directamente por la escala del instrumento en cambio el ldquo2rdquo se estima y por lo tanto no es un valor exacto siendo considerado como una cifra incierta o ldquodudosardquo que puede ser un poco mayor (3 o 4) o un poco menor (1 o 0) dependiendo de quien sea la persona que realice la medicioacuten

Por lo tanto como no podemos estar seguros que la centeacutesima sea realmente 2 debido a que el instrumento soacutelo tiene graduada la deacutecima en este ejemplo son igualmente vaacutelidas las siguientes mediciones

LB = 170 cm LB = 171 cm LB = 172 cm LB = 173 cm LB = 174 cm

Lo anterior ocurre con cualquier instrumento con escala graduada no importando que tenga sus liacuteneas muy juntas puesto que siempre podremos distinguir una de otra Dado que la regla permitioacute medir la longitud del objeto B con dos decimales (LB = 172 cm) entonces

todas las mediciones realizadas con este instrumento entregaraacuten dos decimales En consecuencia la longitud del objeto A deberaacute expresarse de la forma LA = 180 cm indicaacutendose con ello que realmente estamos seguros que el valor estaacute en torno a 18 pero no existe seguridad que sea exactamente este valor Asiacute 180 cm indica que la cifra ldquo0rdquo es incierta es decir puede ser un poco mayor (1 o 2) o un poco menor (9 u 8) siendo entonces lecturas vaacutelidas para la longitud de A

LA = 178 cm LA = 179 cm LA = 180 cm LA = 181 cm LA = 182 cm

En resumen una lectura realizada correctamente siempre deberaacute estimar la cifra incierta al expresar la medicioacuten siempre la cifra del extremo derecho seraacute la ldquocifra dudosardquo

Fuentes de errores casuales

La mayor parte de los instrumentos requieren una estimacioacuten de una subdivisioacuten de la unidad maacutes pequentildea del aparato y el observador puede variar esta estimacioacuten de tiempo en tiempo al azar por variadas razones (cansancio posicioacuten etc)

Fluctuaciones tales como la temperatura la presioacuten u otra magnitud fiacutesica pueden influir en el resultado de las mediciones Tambieacuten vibraciones mecaacutenicas o sentildeales pueden interferir con los instrumentos Auacuten cuando la teacutecnica de medicioacuten fuese bastante aceptable puede ocurrir que repetidas mediciones resulten muy diferentes auacuten con valores inesperados debido a que la medicioacuten misma no estaacute perfectamente definida Asiacute por ejemplo la longitud de una mesa rectangular se puede medir con bastante precisioacuten en diferentes posiciones longitudinales y las imperfecciones de la mesa daraacute diferentes medidas El largo de la mesa estaacute definido en una posicioacuten bien fija

Todas las anteriores circunstancias conducen al error casual o al azar al error fiacutesico propiamente tal a las condiciones inevitables de trabajo y que se aceptan para el ldquoerrorrdquo de la medicioacuten La adecuada teacutecnica de trabajo experimental seraacute aquella que los disminuye a la miacutenima expresioacuten posible no obstante siempre estaraacuten presentes e influiraacuten en ambos sentidos esto es pueden ser aditivos o sustractivos al azar de ahiacute su expresioacuten (plusmn dx)

Fuentes de errores sistemaacuteticos

Este tipo de error debe ser advertido y dar lugar a correcciones en las mediciones Cuando surgen influyen siempre en un solo sentido se pueden y deben eliminarse

Errores de calibracioacuten Un instrumento de medicioacuten mal calibrado daraacute lugar a lecturas erroacuteneas siempre en un solo sentido Conocido el error de la calibracioacuten con respecto a un instrumento ldquopatroacutenrdquo se corrigen las lecturas de medicioacuten del instrumento mal calibrado

Errores de ajuste El instrumento puede usarse sin ajustar el iacutendice al cero de la escala Detectado el error daraacute lugar a una correccioacuten de las mediciones en forma aditiva o sustractiva seguacuten sea el caso

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

Cabe hacer notar que en el caso de la lectura realizada con el Pie de Metro el cero de la derecha tiene importancia ya que no seriacutea correcto decir que los valores 25 y 250 tienen igual significado

Las cifras significativas de un nuacutemero son aquellas que se miden o que son medibles Un cero no es significativo si no se encuentra entre otras dos cifras o estaacute a la derecha de la parte decimal de un nuacutemero Asiacute por ejemplo el cero en 130 es significativo mientras que los ceros en 005 no son significativos

Introduccioacuten a la medicioacuten

En su actividad praacutectica el profesional de la construccioacuten y la ingenieriacutea se encuentra a cada instante con iacutendices cuantitativos (resistencia de materiales dosis de componentes en una mezcla concentraciones longitudes fuerzas aplicadas etc) de aquiacute la importancia de saber coacutemo se obtienen esas y otras magnitudes afines cuaacutel es su precisioacuten en que unidades estaacuten maacutes comuacutenmente expresadas queacute instrumentos y teacutecnicas son adecuados a cada propoacutesito coacutemo se elaboran las diferentes mediciones etc

Por lo anterior se hace indispensable realizar un breve recorrido por los aspectos esenciales de la metrologiacutea

Metrologiacutea Ciencia sobre las mediciones los meacutetodos y medios de asegurar su unidad y sobre los modos de lograr la precisioacuten requerida

Medicioacuten Es la determinacioacuten del valor de una magnitud fiacutesica por viacutea experimental valieacutendose de medios teacutecnicos

Las mediciones permiten determinar las regularidades de la naturaleza y son un elemento de conocimiento del mundo que nos rodea

Las mediciones pueden ser

Directas cuando el resultado se obtiene midiendo directamente la magnitud que se quiere determinar Ejemplo la medicioacuten de la longitud de un terreno con una huincha

Indirectas cuando el valor de la magnitud que se quiere determinar se encuentra mediante una dependencia conocida entre dos o maacutes magnitudes que pueden ser medidas directamente Ejemplo la determinacioacuten de la densidad de un liacutequido como resultado de medir su masa en una balanza medir su volumen con una probeta graduada y calcular densidad = (masa volumen)

Los medios teacutecnicos para realizar las mediciones (medios de medicioacuten) pueden ser de diferentes tipos

El aparato de medicioacuten cuya informacioacuten se brinda de forma directa al observador

Los patrones que tienen la medida de la magnitud fiacutesica dada y sirven de referencia para la comparacioacuten o reproduccioacuten

Los convertidores transductores o sensores cuyo principio de funcionamiento se basa en la variacioacuten proporcional de una magnitud fiacutesica de intereacutes de modo que resulte maacutes coacutemodo su transmisioacuten

El procesamiento yo almacenamiento posterior El grado de aproximacioacuten de los resultados de una medicioacuten al valor real de la

magnitud sometida a medicioacuten caracteriza la precisioacuten de la medicioacuten Eacutesta nos da la calidad de la medicioacuten realizada

La valoracioacuten cuantitativa del resultado de una medicioacuten se realiza a partir de su error Eacuteste corresponde a la desviacioacuten de los resultados de la medicioacuten respecto al valor real de la magnitud medida Mientras menor sea el error mayor seraacute la precisioacuten de la medicioacuten El error se debe a varios factores a la imperfeccioacuten de los medios de medicioacuten a la falta de experiencia de la persona que realiza la medicioacuten a la influencia de factores ajenos etc Se encuentran errores casuales y errores sistemaacuteticos

Es importante conocer la unidad representativa que permite cuantificar y comparar la magnitud fiacutesica dada Unidad de la magnitud fiacutesica seraacute la admitida seguacuten el acuerdo como base de la valoracioacuten cuantitativa de la magnitud fiacutesica correspondiente

Caracteriacutesticas principales de los instrumentos de medicioacuten directa

Escala Corresponde a la unidad que se puede leer directamente en la escala del instrumento

Rango Conjunto de valores posibles de medir directamente con el instrumento Se expresa estableciendo los valores extremos por ejemplo podemos decir que el rango de medida de un termoacutemetro es de -10 a 120 ordmC

Sensibilidad Corresponde al miacutenimo cambio en la magnitud medida que el instrumento puede detectar En general en el laboratorio se considera como sensibilidad del instrumento a la menor divisioacuten en su escala

Precisioacuten o error del instrumento Corresponde a la tolerancia de medida y define los liacutemites de los errores cometidos cuando el instrumento se emplea en condiciones normales de uso Para instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Se recomienda que en la medida de lo posible el rango la sensibilidad y el error se expresen en la misma unidad que se utiliza en la escala

Mediciones y errores

Expresioacuten de una medicioacuten

Una medicioacuten M correctamente realizada se expresa en la forma

M = x plusmn dx (ud)

dondex lectura del instrumento representa el valor numeacuterico maacutes aceptable o probable de la medicioacuten leiacutedo directamente en la pantalla o escala graduada del instrumento utilizadodx expresa el ldquoerrorrdquo del instrumento o margen de incerteza(ud) representa la unidad de medida expresada en el sistema utilizado

Es decir Medicioacuten = lectura plusmn error

Por ejemplo m = 368 plusmn 03 (kg)

En otros teacuterminos ante la imposibilidad de obtener un valor de medicioacuten uacutenico y absoluto se expresa la medida como un valor probable dentro de un conjunto de valores acotados

x ndash dx lt medicioacuten lt x + dx

En el ejemplo numeacuterico decir que una masa medida es m = 368 plusmn 03 (kg) es equivalente a indicar que no se conoce el valor exacto de la masa pero se sabe con seguridad que se encuentra en el rango 365 lt m lt 371 (kg)

En otras palabras la medicioacuten realizada indica que 368 (kg) es el valor maacutes probable seguacuten las cifras aritmeacuteticas circunstanciales pero igualmente aceptable es cualquier valor comprendido entre 365 y 371 (kg)

Mientras maacutes proacuteximas sean las cotas (o con un dx menor) habraacute mayor precisioacuten en la medicioacuten

Definicionesdx error absolutodxx error relativodxx times 100 error porcentual o porcentaje de error

Mediciones directas e indirectas

Las lecturas numeacutericas que directamente se obtienen de los instrumentos seraacuten las ldquomediciones directasrdquo El error absoluto de una medicioacuten directa estaacute dado convencionalmente por la ldquosensibilidad del instrumentordquo esto es por la unidad maacutes pequentildea que puede leerse en la escala del instrumento Consideraremos que para

instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Las mediciones indirectas son aquellas que surgen de un proceso de caacutelculo a partir de medidas relacionadas entre siacute por foacutermulas matemaacuteticas Los ldquoerroresrdquo de las mediciones iniciales influiraacuten en el ldquoerrorrdquo de cualquier medicioacuten indirecta Los ldquoerroresrdquo iniciales se propagan seguacuten reglas convencionales que se indican maacutes adelante

Como realizar correctamente una medicioacuten directa

Tomaremos como ejemplo la medicioacuten de longitud realizada con una regla comuacuten graduada en centiacutemetros En la figura se muestra un objeto A que a simple vista tiene una longitud de LA = 18 cm

Por otro lado se observa que el objeto B tiene una longitud un poco mayor que 17 cm surgiendo la pregunta iquestcoacutemo es posible expresar matemaacuteticamente que LB estaacute entre 17 y 18 cm pero maacutes cerca de 17 que de 18 cm La respuesta exige que estimemos ldquoa ojordquo la cifra que entrega el instrumento entre dos liacuteneas consecutivas de su escala en este caso estas dos liacuteneas corresponden a las que indican el 17 y 18 cm

Una estimacioacuten ldquoa ojordquo permite indicar que la longitud de B es 172 cm Tanto el ldquo1rdquo como el ldquo7rdquo son entregados directamente por la escala del instrumento en cambio el ldquo2rdquo se estima y por lo tanto no es un valor exacto siendo considerado como una cifra incierta o ldquodudosardquo que puede ser un poco mayor (3 o 4) o un poco menor (1 o 0) dependiendo de quien sea la persona que realice la medicioacuten

Por lo tanto como no podemos estar seguros que la centeacutesima sea realmente 2 debido a que el instrumento soacutelo tiene graduada la deacutecima en este ejemplo son igualmente vaacutelidas las siguientes mediciones

LB = 170 cm LB = 171 cm LB = 172 cm LB = 173 cm LB = 174 cm

Lo anterior ocurre con cualquier instrumento con escala graduada no importando que tenga sus liacuteneas muy juntas puesto que siempre podremos distinguir una de otra Dado que la regla permitioacute medir la longitud del objeto B con dos decimales (LB = 172 cm) entonces

todas las mediciones realizadas con este instrumento entregaraacuten dos decimales En consecuencia la longitud del objeto A deberaacute expresarse de la forma LA = 180 cm indicaacutendose con ello que realmente estamos seguros que el valor estaacute en torno a 18 pero no existe seguridad que sea exactamente este valor Asiacute 180 cm indica que la cifra ldquo0rdquo es incierta es decir puede ser un poco mayor (1 o 2) o un poco menor (9 u 8) siendo entonces lecturas vaacutelidas para la longitud de A

LA = 178 cm LA = 179 cm LA = 180 cm LA = 181 cm LA = 182 cm

En resumen una lectura realizada correctamente siempre deberaacute estimar la cifra incierta al expresar la medicioacuten siempre la cifra del extremo derecho seraacute la ldquocifra dudosardquo

Fuentes de errores casuales

La mayor parte de los instrumentos requieren una estimacioacuten de una subdivisioacuten de la unidad maacutes pequentildea del aparato y el observador puede variar esta estimacioacuten de tiempo en tiempo al azar por variadas razones (cansancio posicioacuten etc)

Fluctuaciones tales como la temperatura la presioacuten u otra magnitud fiacutesica pueden influir en el resultado de las mediciones Tambieacuten vibraciones mecaacutenicas o sentildeales pueden interferir con los instrumentos Auacuten cuando la teacutecnica de medicioacuten fuese bastante aceptable puede ocurrir que repetidas mediciones resulten muy diferentes auacuten con valores inesperados debido a que la medicioacuten misma no estaacute perfectamente definida Asiacute por ejemplo la longitud de una mesa rectangular se puede medir con bastante precisioacuten en diferentes posiciones longitudinales y las imperfecciones de la mesa daraacute diferentes medidas El largo de la mesa estaacute definido en una posicioacuten bien fija

Todas las anteriores circunstancias conducen al error casual o al azar al error fiacutesico propiamente tal a las condiciones inevitables de trabajo y que se aceptan para el ldquoerrorrdquo de la medicioacuten La adecuada teacutecnica de trabajo experimental seraacute aquella que los disminuye a la miacutenima expresioacuten posible no obstante siempre estaraacuten presentes e influiraacuten en ambos sentidos esto es pueden ser aditivos o sustractivos al azar de ahiacute su expresioacuten (plusmn dx)

Fuentes de errores sistemaacuteticos

Este tipo de error debe ser advertido y dar lugar a correcciones en las mediciones Cuando surgen influyen siempre en un solo sentido se pueden y deben eliminarse

Errores de calibracioacuten Un instrumento de medicioacuten mal calibrado daraacute lugar a lecturas erroacuteneas siempre en un solo sentido Conocido el error de la calibracioacuten con respecto a un instrumento ldquopatroacutenrdquo se corrigen las lecturas de medicioacuten del instrumento mal calibrado

Errores de ajuste El instrumento puede usarse sin ajustar el iacutendice al cero de la escala Detectado el error daraacute lugar a una correccioacuten de las mediciones en forma aditiva o sustractiva seguacuten sea el caso

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

Los patrones que tienen la medida de la magnitud fiacutesica dada y sirven de referencia para la comparacioacuten o reproduccioacuten

Los convertidores transductores o sensores cuyo principio de funcionamiento se basa en la variacioacuten proporcional de una magnitud fiacutesica de intereacutes de modo que resulte maacutes coacutemodo su transmisioacuten

El procesamiento yo almacenamiento posterior El grado de aproximacioacuten de los resultados de una medicioacuten al valor real de la

magnitud sometida a medicioacuten caracteriza la precisioacuten de la medicioacuten Eacutesta nos da la calidad de la medicioacuten realizada

La valoracioacuten cuantitativa del resultado de una medicioacuten se realiza a partir de su error Eacuteste corresponde a la desviacioacuten de los resultados de la medicioacuten respecto al valor real de la magnitud medida Mientras menor sea el error mayor seraacute la precisioacuten de la medicioacuten El error se debe a varios factores a la imperfeccioacuten de los medios de medicioacuten a la falta de experiencia de la persona que realiza la medicioacuten a la influencia de factores ajenos etc Se encuentran errores casuales y errores sistemaacuteticos

Es importante conocer la unidad representativa que permite cuantificar y comparar la magnitud fiacutesica dada Unidad de la magnitud fiacutesica seraacute la admitida seguacuten el acuerdo como base de la valoracioacuten cuantitativa de la magnitud fiacutesica correspondiente

Caracteriacutesticas principales de los instrumentos de medicioacuten directa

Escala Corresponde a la unidad que se puede leer directamente en la escala del instrumento

Rango Conjunto de valores posibles de medir directamente con el instrumento Se expresa estableciendo los valores extremos por ejemplo podemos decir que el rango de medida de un termoacutemetro es de -10 a 120 ordmC

Sensibilidad Corresponde al miacutenimo cambio en la magnitud medida que el instrumento puede detectar En general en el laboratorio se considera como sensibilidad del instrumento a la menor divisioacuten en su escala

Precisioacuten o error del instrumento Corresponde a la tolerancia de medida y define los liacutemites de los errores cometidos cuando el instrumento se emplea en condiciones normales de uso Para instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Se recomienda que en la medida de lo posible el rango la sensibilidad y el error se expresen en la misma unidad que se utiliza en la escala

Mediciones y errores

Expresioacuten de una medicioacuten

Una medicioacuten M correctamente realizada se expresa en la forma

M = x plusmn dx (ud)

dondex lectura del instrumento representa el valor numeacuterico maacutes aceptable o probable de la medicioacuten leiacutedo directamente en la pantalla o escala graduada del instrumento utilizadodx expresa el ldquoerrorrdquo del instrumento o margen de incerteza(ud) representa la unidad de medida expresada en el sistema utilizado

Es decir Medicioacuten = lectura plusmn error

Por ejemplo m = 368 plusmn 03 (kg)

En otros teacuterminos ante la imposibilidad de obtener un valor de medicioacuten uacutenico y absoluto se expresa la medida como un valor probable dentro de un conjunto de valores acotados

x ndash dx lt medicioacuten lt x + dx

En el ejemplo numeacuterico decir que una masa medida es m = 368 plusmn 03 (kg) es equivalente a indicar que no se conoce el valor exacto de la masa pero se sabe con seguridad que se encuentra en el rango 365 lt m lt 371 (kg)

En otras palabras la medicioacuten realizada indica que 368 (kg) es el valor maacutes probable seguacuten las cifras aritmeacuteticas circunstanciales pero igualmente aceptable es cualquier valor comprendido entre 365 y 371 (kg)

Mientras maacutes proacuteximas sean las cotas (o con un dx menor) habraacute mayor precisioacuten en la medicioacuten

Definicionesdx error absolutodxx error relativodxx times 100 error porcentual o porcentaje de error

Mediciones directas e indirectas

Las lecturas numeacutericas que directamente se obtienen de los instrumentos seraacuten las ldquomediciones directasrdquo El error absoluto de una medicioacuten directa estaacute dado convencionalmente por la ldquosensibilidad del instrumentordquo esto es por la unidad maacutes pequentildea que puede leerse en la escala del instrumento Consideraremos que para

instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Las mediciones indirectas son aquellas que surgen de un proceso de caacutelculo a partir de medidas relacionadas entre siacute por foacutermulas matemaacuteticas Los ldquoerroresrdquo de las mediciones iniciales influiraacuten en el ldquoerrorrdquo de cualquier medicioacuten indirecta Los ldquoerroresrdquo iniciales se propagan seguacuten reglas convencionales que se indican maacutes adelante

Como realizar correctamente una medicioacuten directa

Tomaremos como ejemplo la medicioacuten de longitud realizada con una regla comuacuten graduada en centiacutemetros En la figura se muestra un objeto A que a simple vista tiene una longitud de LA = 18 cm

Por otro lado se observa que el objeto B tiene una longitud un poco mayor que 17 cm surgiendo la pregunta iquestcoacutemo es posible expresar matemaacuteticamente que LB estaacute entre 17 y 18 cm pero maacutes cerca de 17 que de 18 cm La respuesta exige que estimemos ldquoa ojordquo la cifra que entrega el instrumento entre dos liacuteneas consecutivas de su escala en este caso estas dos liacuteneas corresponden a las que indican el 17 y 18 cm

Una estimacioacuten ldquoa ojordquo permite indicar que la longitud de B es 172 cm Tanto el ldquo1rdquo como el ldquo7rdquo son entregados directamente por la escala del instrumento en cambio el ldquo2rdquo se estima y por lo tanto no es un valor exacto siendo considerado como una cifra incierta o ldquodudosardquo que puede ser un poco mayor (3 o 4) o un poco menor (1 o 0) dependiendo de quien sea la persona que realice la medicioacuten

Por lo tanto como no podemos estar seguros que la centeacutesima sea realmente 2 debido a que el instrumento soacutelo tiene graduada la deacutecima en este ejemplo son igualmente vaacutelidas las siguientes mediciones

LB = 170 cm LB = 171 cm LB = 172 cm LB = 173 cm LB = 174 cm

Lo anterior ocurre con cualquier instrumento con escala graduada no importando que tenga sus liacuteneas muy juntas puesto que siempre podremos distinguir una de otra Dado que la regla permitioacute medir la longitud del objeto B con dos decimales (LB = 172 cm) entonces

todas las mediciones realizadas con este instrumento entregaraacuten dos decimales En consecuencia la longitud del objeto A deberaacute expresarse de la forma LA = 180 cm indicaacutendose con ello que realmente estamos seguros que el valor estaacute en torno a 18 pero no existe seguridad que sea exactamente este valor Asiacute 180 cm indica que la cifra ldquo0rdquo es incierta es decir puede ser un poco mayor (1 o 2) o un poco menor (9 u 8) siendo entonces lecturas vaacutelidas para la longitud de A

LA = 178 cm LA = 179 cm LA = 180 cm LA = 181 cm LA = 182 cm

En resumen una lectura realizada correctamente siempre deberaacute estimar la cifra incierta al expresar la medicioacuten siempre la cifra del extremo derecho seraacute la ldquocifra dudosardquo

Fuentes de errores casuales

La mayor parte de los instrumentos requieren una estimacioacuten de una subdivisioacuten de la unidad maacutes pequentildea del aparato y el observador puede variar esta estimacioacuten de tiempo en tiempo al azar por variadas razones (cansancio posicioacuten etc)

Fluctuaciones tales como la temperatura la presioacuten u otra magnitud fiacutesica pueden influir en el resultado de las mediciones Tambieacuten vibraciones mecaacutenicas o sentildeales pueden interferir con los instrumentos Auacuten cuando la teacutecnica de medicioacuten fuese bastante aceptable puede ocurrir que repetidas mediciones resulten muy diferentes auacuten con valores inesperados debido a que la medicioacuten misma no estaacute perfectamente definida Asiacute por ejemplo la longitud de una mesa rectangular se puede medir con bastante precisioacuten en diferentes posiciones longitudinales y las imperfecciones de la mesa daraacute diferentes medidas El largo de la mesa estaacute definido en una posicioacuten bien fija

Todas las anteriores circunstancias conducen al error casual o al azar al error fiacutesico propiamente tal a las condiciones inevitables de trabajo y que se aceptan para el ldquoerrorrdquo de la medicioacuten La adecuada teacutecnica de trabajo experimental seraacute aquella que los disminuye a la miacutenima expresioacuten posible no obstante siempre estaraacuten presentes e influiraacuten en ambos sentidos esto es pueden ser aditivos o sustractivos al azar de ahiacute su expresioacuten (plusmn dx)

Fuentes de errores sistemaacuteticos

Este tipo de error debe ser advertido y dar lugar a correcciones en las mediciones Cuando surgen influyen siempre en un solo sentido se pueden y deben eliminarse

Errores de calibracioacuten Un instrumento de medicioacuten mal calibrado daraacute lugar a lecturas erroacuteneas siempre en un solo sentido Conocido el error de la calibracioacuten con respecto a un instrumento ldquopatroacutenrdquo se corrigen las lecturas de medicioacuten del instrumento mal calibrado

Errores de ajuste El instrumento puede usarse sin ajustar el iacutendice al cero de la escala Detectado el error daraacute lugar a una correccioacuten de las mediciones en forma aditiva o sustractiva seguacuten sea el caso

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

Mediciones y errores

Expresioacuten de una medicioacuten

Una medicioacuten M correctamente realizada se expresa en la forma

M = x plusmn dx (ud)

dondex lectura del instrumento representa el valor numeacuterico maacutes aceptable o probable de la medicioacuten leiacutedo directamente en la pantalla o escala graduada del instrumento utilizadodx expresa el ldquoerrorrdquo del instrumento o margen de incerteza(ud) representa la unidad de medida expresada en el sistema utilizado

Es decir Medicioacuten = lectura plusmn error

Por ejemplo m = 368 plusmn 03 (kg)

En otros teacuterminos ante la imposibilidad de obtener un valor de medicioacuten uacutenico y absoluto se expresa la medida como un valor probable dentro de un conjunto de valores acotados

x ndash dx lt medicioacuten lt x + dx

En el ejemplo numeacuterico decir que una masa medida es m = 368 plusmn 03 (kg) es equivalente a indicar que no se conoce el valor exacto de la masa pero se sabe con seguridad que se encuentra en el rango 365 lt m lt 371 (kg)

En otras palabras la medicioacuten realizada indica que 368 (kg) es el valor maacutes probable seguacuten las cifras aritmeacuteticas circunstanciales pero igualmente aceptable es cualquier valor comprendido entre 365 y 371 (kg)

Mientras maacutes proacuteximas sean las cotas (o con un dx menor) habraacute mayor precisioacuten en la medicioacuten

Definicionesdx error absolutodxx error relativodxx times 100 error porcentual o porcentaje de error

Mediciones directas e indirectas

Las lecturas numeacutericas que directamente se obtienen de los instrumentos seraacuten las ldquomediciones directasrdquo El error absoluto de una medicioacuten directa estaacute dado convencionalmente por la ldquosensibilidad del instrumentordquo esto es por la unidad maacutes pequentildea que puede leerse en la escala del instrumento Consideraremos que para

instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Las mediciones indirectas son aquellas que surgen de un proceso de caacutelculo a partir de medidas relacionadas entre siacute por foacutermulas matemaacuteticas Los ldquoerroresrdquo de las mediciones iniciales influiraacuten en el ldquoerrorrdquo de cualquier medicioacuten indirecta Los ldquoerroresrdquo iniciales se propagan seguacuten reglas convencionales que se indican maacutes adelante

Como realizar correctamente una medicioacuten directa

Tomaremos como ejemplo la medicioacuten de longitud realizada con una regla comuacuten graduada en centiacutemetros En la figura se muestra un objeto A que a simple vista tiene una longitud de LA = 18 cm

Por otro lado se observa que el objeto B tiene una longitud un poco mayor que 17 cm surgiendo la pregunta iquestcoacutemo es posible expresar matemaacuteticamente que LB estaacute entre 17 y 18 cm pero maacutes cerca de 17 que de 18 cm La respuesta exige que estimemos ldquoa ojordquo la cifra que entrega el instrumento entre dos liacuteneas consecutivas de su escala en este caso estas dos liacuteneas corresponden a las que indican el 17 y 18 cm

Una estimacioacuten ldquoa ojordquo permite indicar que la longitud de B es 172 cm Tanto el ldquo1rdquo como el ldquo7rdquo son entregados directamente por la escala del instrumento en cambio el ldquo2rdquo se estima y por lo tanto no es un valor exacto siendo considerado como una cifra incierta o ldquodudosardquo que puede ser un poco mayor (3 o 4) o un poco menor (1 o 0) dependiendo de quien sea la persona que realice la medicioacuten

Por lo tanto como no podemos estar seguros que la centeacutesima sea realmente 2 debido a que el instrumento soacutelo tiene graduada la deacutecima en este ejemplo son igualmente vaacutelidas las siguientes mediciones

LB = 170 cm LB = 171 cm LB = 172 cm LB = 173 cm LB = 174 cm

Lo anterior ocurre con cualquier instrumento con escala graduada no importando que tenga sus liacuteneas muy juntas puesto que siempre podremos distinguir una de otra Dado que la regla permitioacute medir la longitud del objeto B con dos decimales (LB = 172 cm) entonces

todas las mediciones realizadas con este instrumento entregaraacuten dos decimales En consecuencia la longitud del objeto A deberaacute expresarse de la forma LA = 180 cm indicaacutendose con ello que realmente estamos seguros que el valor estaacute en torno a 18 pero no existe seguridad que sea exactamente este valor Asiacute 180 cm indica que la cifra ldquo0rdquo es incierta es decir puede ser un poco mayor (1 o 2) o un poco menor (9 u 8) siendo entonces lecturas vaacutelidas para la longitud de A

LA = 178 cm LA = 179 cm LA = 180 cm LA = 181 cm LA = 182 cm

En resumen una lectura realizada correctamente siempre deberaacute estimar la cifra incierta al expresar la medicioacuten siempre la cifra del extremo derecho seraacute la ldquocifra dudosardquo

Fuentes de errores casuales

La mayor parte de los instrumentos requieren una estimacioacuten de una subdivisioacuten de la unidad maacutes pequentildea del aparato y el observador puede variar esta estimacioacuten de tiempo en tiempo al azar por variadas razones (cansancio posicioacuten etc)

Fluctuaciones tales como la temperatura la presioacuten u otra magnitud fiacutesica pueden influir en el resultado de las mediciones Tambieacuten vibraciones mecaacutenicas o sentildeales pueden interferir con los instrumentos Auacuten cuando la teacutecnica de medicioacuten fuese bastante aceptable puede ocurrir que repetidas mediciones resulten muy diferentes auacuten con valores inesperados debido a que la medicioacuten misma no estaacute perfectamente definida Asiacute por ejemplo la longitud de una mesa rectangular se puede medir con bastante precisioacuten en diferentes posiciones longitudinales y las imperfecciones de la mesa daraacute diferentes medidas El largo de la mesa estaacute definido en una posicioacuten bien fija

Todas las anteriores circunstancias conducen al error casual o al azar al error fiacutesico propiamente tal a las condiciones inevitables de trabajo y que se aceptan para el ldquoerrorrdquo de la medicioacuten La adecuada teacutecnica de trabajo experimental seraacute aquella que los disminuye a la miacutenima expresioacuten posible no obstante siempre estaraacuten presentes e influiraacuten en ambos sentidos esto es pueden ser aditivos o sustractivos al azar de ahiacute su expresioacuten (plusmn dx)

Fuentes de errores sistemaacuteticos

Este tipo de error debe ser advertido y dar lugar a correcciones en las mediciones Cuando surgen influyen siempre en un solo sentido se pueden y deben eliminarse

Errores de calibracioacuten Un instrumento de medicioacuten mal calibrado daraacute lugar a lecturas erroacuteneas siempre en un solo sentido Conocido el error de la calibracioacuten con respecto a un instrumento ldquopatroacutenrdquo se corrigen las lecturas de medicioacuten del instrumento mal calibrado

Errores de ajuste El instrumento puede usarse sin ajustar el iacutendice al cero de la escala Detectado el error daraacute lugar a una correccioacuten de las mediciones en forma aditiva o sustractiva seguacuten sea el caso

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

instrumentos de aguja o anaacutelogos el error absoluto corresponde a la mitad de su sensibilidad y para instrumentos digitales el error absoluto corresponde a la sensibilidad

Las mediciones indirectas son aquellas que surgen de un proceso de caacutelculo a partir de medidas relacionadas entre siacute por foacutermulas matemaacuteticas Los ldquoerroresrdquo de las mediciones iniciales influiraacuten en el ldquoerrorrdquo de cualquier medicioacuten indirecta Los ldquoerroresrdquo iniciales se propagan seguacuten reglas convencionales que se indican maacutes adelante

Como realizar correctamente una medicioacuten directa

Tomaremos como ejemplo la medicioacuten de longitud realizada con una regla comuacuten graduada en centiacutemetros En la figura se muestra un objeto A que a simple vista tiene una longitud de LA = 18 cm

Por otro lado se observa que el objeto B tiene una longitud un poco mayor que 17 cm surgiendo la pregunta iquestcoacutemo es posible expresar matemaacuteticamente que LB estaacute entre 17 y 18 cm pero maacutes cerca de 17 que de 18 cm La respuesta exige que estimemos ldquoa ojordquo la cifra que entrega el instrumento entre dos liacuteneas consecutivas de su escala en este caso estas dos liacuteneas corresponden a las que indican el 17 y 18 cm

Una estimacioacuten ldquoa ojordquo permite indicar que la longitud de B es 172 cm Tanto el ldquo1rdquo como el ldquo7rdquo son entregados directamente por la escala del instrumento en cambio el ldquo2rdquo se estima y por lo tanto no es un valor exacto siendo considerado como una cifra incierta o ldquodudosardquo que puede ser un poco mayor (3 o 4) o un poco menor (1 o 0) dependiendo de quien sea la persona que realice la medicioacuten

Por lo tanto como no podemos estar seguros que la centeacutesima sea realmente 2 debido a que el instrumento soacutelo tiene graduada la deacutecima en este ejemplo son igualmente vaacutelidas las siguientes mediciones

LB = 170 cm LB = 171 cm LB = 172 cm LB = 173 cm LB = 174 cm

Lo anterior ocurre con cualquier instrumento con escala graduada no importando que tenga sus liacuteneas muy juntas puesto que siempre podremos distinguir una de otra Dado que la regla permitioacute medir la longitud del objeto B con dos decimales (LB = 172 cm) entonces

todas las mediciones realizadas con este instrumento entregaraacuten dos decimales En consecuencia la longitud del objeto A deberaacute expresarse de la forma LA = 180 cm indicaacutendose con ello que realmente estamos seguros que el valor estaacute en torno a 18 pero no existe seguridad que sea exactamente este valor Asiacute 180 cm indica que la cifra ldquo0rdquo es incierta es decir puede ser un poco mayor (1 o 2) o un poco menor (9 u 8) siendo entonces lecturas vaacutelidas para la longitud de A

LA = 178 cm LA = 179 cm LA = 180 cm LA = 181 cm LA = 182 cm

En resumen una lectura realizada correctamente siempre deberaacute estimar la cifra incierta al expresar la medicioacuten siempre la cifra del extremo derecho seraacute la ldquocifra dudosardquo

Fuentes de errores casuales

La mayor parte de los instrumentos requieren una estimacioacuten de una subdivisioacuten de la unidad maacutes pequentildea del aparato y el observador puede variar esta estimacioacuten de tiempo en tiempo al azar por variadas razones (cansancio posicioacuten etc)

Fluctuaciones tales como la temperatura la presioacuten u otra magnitud fiacutesica pueden influir en el resultado de las mediciones Tambieacuten vibraciones mecaacutenicas o sentildeales pueden interferir con los instrumentos Auacuten cuando la teacutecnica de medicioacuten fuese bastante aceptable puede ocurrir que repetidas mediciones resulten muy diferentes auacuten con valores inesperados debido a que la medicioacuten misma no estaacute perfectamente definida Asiacute por ejemplo la longitud de una mesa rectangular se puede medir con bastante precisioacuten en diferentes posiciones longitudinales y las imperfecciones de la mesa daraacute diferentes medidas El largo de la mesa estaacute definido en una posicioacuten bien fija

Todas las anteriores circunstancias conducen al error casual o al azar al error fiacutesico propiamente tal a las condiciones inevitables de trabajo y que se aceptan para el ldquoerrorrdquo de la medicioacuten La adecuada teacutecnica de trabajo experimental seraacute aquella que los disminuye a la miacutenima expresioacuten posible no obstante siempre estaraacuten presentes e influiraacuten en ambos sentidos esto es pueden ser aditivos o sustractivos al azar de ahiacute su expresioacuten (plusmn dx)

Fuentes de errores sistemaacuteticos

Este tipo de error debe ser advertido y dar lugar a correcciones en las mediciones Cuando surgen influyen siempre en un solo sentido se pueden y deben eliminarse

Errores de calibracioacuten Un instrumento de medicioacuten mal calibrado daraacute lugar a lecturas erroacuteneas siempre en un solo sentido Conocido el error de la calibracioacuten con respecto a un instrumento ldquopatroacutenrdquo se corrigen las lecturas de medicioacuten del instrumento mal calibrado

Errores de ajuste El instrumento puede usarse sin ajustar el iacutendice al cero de la escala Detectado el error daraacute lugar a una correccioacuten de las mediciones en forma aditiva o sustractiva seguacuten sea el caso

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

todas las mediciones realizadas con este instrumento entregaraacuten dos decimales En consecuencia la longitud del objeto A deberaacute expresarse de la forma LA = 180 cm indicaacutendose con ello que realmente estamos seguros que el valor estaacute en torno a 18 pero no existe seguridad que sea exactamente este valor Asiacute 180 cm indica que la cifra ldquo0rdquo es incierta es decir puede ser un poco mayor (1 o 2) o un poco menor (9 u 8) siendo entonces lecturas vaacutelidas para la longitud de A

LA = 178 cm LA = 179 cm LA = 180 cm LA = 181 cm LA = 182 cm

En resumen una lectura realizada correctamente siempre deberaacute estimar la cifra incierta al expresar la medicioacuten siempre la cifra del extremo derecho seraacute la ldquocifra dudosardquo

Fuentes de errores casuales

La mayor parte de los instrumentos requieren una estimacioacuten de una subdivisioacuten de la unidad maacutes pequentildea del aparato y el observador puede variar esta estimacioacuten de tiempo en tiempo al azar por variadas razones (cansancio posicioacuten etc)

Fluctuaciones tales como la temperatura la presioacuten u otra magnitud fiacutesica pueden influir en el resultado de las mediciones Tambieacuten vibraciones mecaacutenicas o sentildeales pueden interferir con los instrumentos Auacuten cuando la teacutecnica de medicioacuten fuese bastante aceptable puede ocurrir que repetidas mediciones resulten muy diferentes auacuten con valores inesperados debido a que la medicioacuten misma no estaacute perfectamente definida Asiacute por ejemplo la longitud de una mesa rectangular se puede medir con bastante precisioacuten en diferentes posiciones longitudinales y las imperfecciones de la mesa daraacute diferentes medidas El largo de la mesa estaacute definido en una posicioacuten bien fija

Todas las anteriores circunstancias conducen al error casual o al azar al error fiacutesico propiamente tal a las condiciones inevitables de trabajo y que se aceptan para el ldquoerrorrdquo de la medicioacuten La adecuada teacutecnica de trabajo experimental seraacute aquella que los disminuye a la miacutenima expresioacuten posible no obstante siempre estaraacuten presentes e influiraacuten en ambos sentidos esto es pueden ser aditivos o sustractivos al azar de ahiacute su expresioacuten (plusmn dx)

Fuentes de errores sistemaacuteticos

Este tipo de error debe ser advertido y dar lugar a correcciones en las mediciones Cuando surgen influyen siempre en un solo sentido se pueden y deben eliminarse

Errores de calibracioacuten Un instrumento de medicioacuten mal calibrado daraacute lugar a lecturas erroacuteneas siempre en un solo sentido Conocido el error de la calibracioacuten con respecto a un instrumento ldquopatroacutenrdquo se corrigen las lecturas de medicioacuten del instrumento mal calibrado

Errores de ajuste El instrumento puede usarse sin ajustar el iacutendice al cero de la escala Detectado el error daraacute lugar a una correccioacuten de las mediciones en forma aditiva o sustractiva seguacuten sea el caso

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

Errores personales El maacutes usual es el de paralaje por la posicioacuten del observador con respecto al iacutendice del instrumento de la escala del mismo Debe simplemente evitarse adecuadamente para las lecturas de la escala

Condiciones experimentales El instrumento puede utilizarse en condiciones experimentales diferentes a aquellas bajo las cuales fue calibrado Conocidas las condiciones experimentales de trabajo y las de calibracioacuten se aplican las correcciones del caso

Deficiencias teacutecnicas Descuidos en el trabajo experimental por ejemplo al usar un picnoacutemetro (pequentildeo matraz aforado) al llenarlo con un liacutequido para masar todo el conjunto puede ocurrir un rebalse y quedar humedecido exteriormente en tal caso la masada resultaraacute con un error aditivo Teacutecnicamente el picnoacutemetro debe estar lleno y seco exteriormente

En general los errores sistemaacuteticos deben ser eliminados o aplicarse las correcciones adecuadas en las mediciones

Error Estadiacutestico

Este meacutetodo es una aproximacioacuten maacutes elaborada al propoacutesito de expresar una medicioacuten fiacutesica con la debida seguridad seguacuten los instrumentos y teacutecnicas de trabajo experimentales En el caso de una uacutenica medida directa el error absoluto de dicha medida puede estimarse como equivalente a la precisioacuten del instrumento o a la precisioacuten alcanzada por aproximacioacuten visual cuando se estima una fraccioacuten de la unidad maacutes pequentildea de la escala

Al efectuar una medicioacuten usualmente eacutesta se repite un cierto nuacutemero de veces para disminuir la influencia de errores sistemaacuteticos u otras situaciones imprevisibles que podriacutean surgir al efectuar una uacutenica medida El conjunto de mediciones repetidas puede tener valores diferentes el promedio de dichas mediciones se acepta convencionalmente como el valor uacutenico de medida maacutes satisfactoria El ldquoerror absolutordquo de esta medida promedio se obtiene mediante un proceso de caacutelculo denominado ldquoerror estaacutendar del promediordquo dado por la relacioacuten

dx=radicsumi=1

n

( x iminusx )2

n (nminus1 )

donde n nuacutemero total de mediciones realizadasxi i-eacutesima medicioacutenx valor promedio de las n mediciones realizadas

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)

Propagacioacuten de errores

Al efectuar operaciones de suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten con mediciones que tienen un monto indicado de ldquoerrorrdquo se procederaacute con las siguientes reglas

Propagacioacuten de los errores al multiplicar y dividir por un numero puro (sin error)

(A plusmn dA) times (n) = (A times n) plusmn (dA times n)

(A plusmn dA) (n) = (An) plusmn (dAn)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de adicioacuten y sustraccioacuten

(A plusmn dA) + (B plusmn dB) = (A + B) plusmn (dA + dB)

(A plusmn dA) - (B plusmn dB) = (A - B) plusmn (dA + dB)

Propagacioacuten de los errores en las operaciones de multiplicacioacuten y divisioacuten

(A plusmn dA) times (B plusmn dB) = (AtimesB) plusmn (A times dB + B times dA)

(A plusmn dA) (B plusmn dB) = (AB) plusmn ((A times dB + B times dA)B2)