cifras significativas y redondeo

Toda medicin es una

comparacin de una magnitud o

propiedad de un objeto con un

patrn de referencia o un

mltiplo o submltiplo de ste.

En una medicin se trata de

contestar la pregunta de cuntas

unidades del patrn

corresponden al objeto medido o

en cuntas partes hay que dividir

el patrn para obtener la

magnitud del objeto medido.

Como, en general, una magnitud

no resulta ser un nmero exacto

de veces la del patrn, el

procedimiento de medida puede

resultar infinito

Ejemplo : Supongamos que pesamos algo en una balanza. Si decimos que tiene una masa de 45,8 g ser lo mismo que si decimos que su masa es 45,8000 g?

La masa es la misma pero no es lo mismo expresar el valor en una forma u otra.

Toda medicin tiene un error, que es propio del instrumento de medida y de la forma en que se realiza dicha medicin

La diferente forma en la se expresa el valor dado en el ejemplo est indicando ese error de medicin.

El criterio de que la menor diferencia que se puede apreciar con el instrumento de medicin es su indeterminacin.

Si decimos que la masa es 45,8 g estamos diciendo que la masa mnima que se puede medir con esa balanza es de 0,1 g por lo que el valor medido ser entonces 45,8 0,1 g, o sea que dicho valor puede estar entre 45,7 y 45,9 g. y ese es el error de dicha medicin.

Si decimos que la masa es de 45,8000 g estamos diciendo que la masa mnima que se puede medir con esa balanza es de 0,0001 g, una dcima de miligramo. El error de la medicin ser entonces 0,0001 g y el valor medido ser 45,8000 0,0001 g, o sea que dicho valor puede estar entre 45,7999 y 45,8001 g. (En que caso el error es menor?)

Lo que llamamos CIFRAS SIGNIFICATIVAS estn determinando el error

con que se midi una determinada magnitud. Todas las cifras distintas de

cero son significativas. Los ceros a la derecha o entre dos cifras distintas

de cero son significativos. Los ceros a la izquierda NO son significativos.

Cuando un problema tiene varios datos el resultado final debe expresarse

con la misma cantidad de cifras significativas del dato que tenga menor

cantidad de cifras significativas.

Si se sacan resultados parciales, en los mismos se debe dejar por lo

menos una cifra significativa ms de las que se necesita tener en el

resultado final.

Las cifras significativas son los dgitos de un nmero que

consideramos no nulos.

Norma Ejemplo

Son significativos todos los dgitos distintos de cero. 8723 tiene cuatro cifras significativas

Los ceros situados entre dos cifras significativas son significativos.

105 tiene tres cifras significativas

Los ceros a la izquierda de la primera cifra significativa no lo son.

0,005 tiene una cifra significativa

Para nmeros mayores que 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos.

8,00 tiene tres cifras significativas

Para nmeros sin coma decimal, los ceros posteriores a la ltima cifra distinta de cero pueden o no considerarse significativos. As, para el nmero 70 podramos considerar una o dos cifras significativas. Esta ambigedad se evita utilizando la notacin cientfica.

7 102 tiene una cifra significativa

7,0 102 tiene dos cifras significativas

En el caso de nuestro ejemplo 45,8 g est expresado con tres cifras significativas, en cambio 45,8000 g est expresado con seis cifras significativas.

Con cuntas cifras significativas est expresado 0,0067030 kg?

Est expresado con 5 cifras significativas. Observemos que si se expresa en notacin cientfica son 6,7030 . 103 kg, y los ceros que no son significativos desaparecen.

Ejemplos:

Cualquier dgito diferente de cero es significativo.

1234.56 6 cifras significativas

Ceros entre dgitos distintos de cero son significativos.


Ceros a la izquierda del primer dgito distinto de cero no son significativos.

000456 3 cifras significativas


Si el nmero es mayor que (1), todos los ceros a la derecha del punto decimal son significativos.



Si el nmero es menor que uno, entonces nicamente los ceros que estn al final del nmero y entre los dgitos distintos de cero son significativos.


Para los nmeros que contengan puntos decimales, los ceros que se arrastran pueden o no pueden ser significativos. En este curso suponemos que los dgitos son significativos a menos que se diga los contrario.

1000 1, 2, 3, o 4 cifras significativas. Supondremos 4 en nuestros clculos



Redondeo

Cuando se expresa un nmero debe evitarse siempre la utilizacin de cifras no

significativas, puesto que puede suponer una fuente de confusin. Los

nmeros deben redondearse de forma que contengan slo cifras

significativas. Se llama redondeo al proceso de eliminacin de cifras no

significativas de un nmero.

Las reglas bsicas que se emplean en el redondeo de nmeros son las

siguientes:

1. Si la cifra que se omite es menor que 5 se elimina

3,673 8 la llevamos a tres CS 3,67

2. Si la cifra que se omite es mayor que 5 se aumenta en una unidad

la cifra retenida 3,678 la llevamos a tres CS 3,68

3. Si la cifra que se omite es 5 se toma como ltima cifra el nmero par ms

Prximo es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma

la cifra superior: Para redondear 3,675, segn esta regla, debemos dejar

3,68.

Reglas bsicas de operaciones con cifras significativas

Regla 1: Al sumar o restar dos nmeros decimales, el nmero de cifras decimales

del resultado es igual al de la cantidad con el menor nmero de ellas. Un caso de

especial inters es el de la resta. Ejemplo: 30,3475 30,3472 = 0,0003

Cada una de las cantidades tiene seis cifras significativas y el resultado posee tan solo una (se han perdido cifras significativas. Esto es importante tenerlo en cuenta cuando se trabaja con calculadoras o computadores en donde haya cifras que se sumen y se resten. Es conveniente realizar primero las sumas y luego las restas para perder el menor nmero de cifras significativas)

Ejemplo:6,2456+6,2 =12,4456, redondeado:12,4, esto es 3 cifras significativas en la respuesta.

Regla 2: Multiplicacin y Divisin: El nmero de cifras significativas en el producto final

o en el cociente es determinado por el nmero original, que tenga las cifras significativas de menor rango. Esto quiere decir que para multiplicacin y divisin el nmero de cifras significativas en el resultado final ser igual al nmero de cifras significativas de la medicin menos exacta.

2,51 x 2,30 = 5,773, redondeado es 5,77

2,4 x 0,000673 = 0,0016152, redondeado es 0,0016

Exactitud: La exactitud es lo cerca que el resultado de una medicin

est del valor verdadero.

Precisin: La precisin es lo cerca que los valores medidos

estn unos de otros.

Cuando juega ftbol y siempre le da al poste izquierdo en lugar de

marcar gol, entonces no eres exacto, pero eres preciso

As que si medimos algo varias veces y los valores estn cerca unos

de otros, pueden estar todos equivocados si hay "sesgo".

Un sesgo es un error sistemtico (pasa siempre) que hace que todas

las medidas estn desviadas en una cierta cantidad.
Francisco.OHighlightFrancisco.OHighlight

Comparemos dos tiradores (rojo y verde) y vemos

los impactos en la diana podemos saber de forma

muy rpida:

1. El tirador rojo tiene ms exactitud que el verde.

Sus disparos han dado ms cerca del centro.

2. El tirador verde tiene ms precisin que el rojo.

Sus disparos, aunque han quedado ms lejos

del centro, estn menos dispersos. Sus tres

disparos tienen muy poca desviacin.

3. Por qu se prefiere la precisin a la exactitud?

Aunque los que no lo han pensado admiren al

tirador rojo, al tirador verde le basta con

someterse a un proceso de calibracin que

corrija sus disparos. De sta forma puede llegar

a ser mucho ms exacto que el tirador rojo.

Por otra parte:

Precisin: la dispersin del conjunto de valores

obtenidos. Cuanto menor es la dispersin

mayor la precisin. Como referencia se suele

tomar la desviacin estndar de las mediciones.

Exactitud: cunto de cerca del valor real se

encuentra el valor medido.

Llamamos incertidumbre o imprecisin a la falta de precisin, y sesgo o inexactitud,

a la falta sistemtica de exactitud, ya sea por debajo o bien por arriba de la cantidad

exacta.

En el anlisis de datos numricos generalmente podemos tener errores que tienen

que ver con la falta ya sea de precisin o de exactitud.

El manejo de la incertidumbre o imprecisin puede realizarse mediante

distribuciones de probabilidad, en tanto que el manejo de la inexactitud,

mediante rangos o intervalos.

Ejemplo:

Supongamos que un profesor debe iniciar siempre sus clases a las 6 : 00 am. Si

existe incertidumbre, podra iniciar con una distribucin normal con media de 6: 05

y desviacin estndar de 1 minuto, lo cual indica que el 99.7 % de las veces iniciara

en el intervalo [6 : 02, 6 : 08]. Por otro lado, si existe (solamente) sesgo, entonces

empezara sistemticamente (por ejemplo) a las 6 : 07.

Ejemplo :

Si especificamos que el valor de una resistencia elctrica es de 1005 % ,

estamos indicando que su valor real debe estar en el intervalo [95, 105].

Patrn Patrn

Patrn Patrn

Alta Baja

PR

EC

ISIO

N

EXACTITUDA

lta

Baj

a

Patrn Patrn

Patrn Patrn

Patrn Patrn

Patrn Patrn

Alta Baja

PR

EC

ISIO

N

EXACTITUDA

lta

Baj

a

Es la diferencia entre el valor de la

medida y el valor tomado como exacto.

Puede ser positivo o negativo, segn si

la medida es superior al valor real o

inferior (la resta sale positiva o negativa).

Tiene las mismas unidades, que las de la

medida.

Ejemplo 1. Medidas de tiempo de un

recorrido efectuadas en un laboratorio:

3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s

Valor que se considera exacto:

Es el cociente (la divisin) entre el error

absoluto y el valor exacto. Si se

multiplica por 100 se obtiene el tanto por

ciento (%) de error. Al igual que el error

absoluto puede ser positivo o negativo

(segn lo sea el error absoluto) porque

puede ser por exceso o por defecto. no

tiene unidades.

Medidas Errores absolutos Errores relativos

3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s -0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%)

3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s -0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%)

3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s +0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%)

3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s +0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)

cifras significativas y redondeo

Documents