desigualdades lineales y sistemas de … · dos regiones sombreadas se intersecan. (se incluyen...
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DESIGUALDADES LINEALES Y
SISTEMAS DE DESIGUALDADES
LINEALES
¿Qué es una desigualdad lineal?
• Una desigualdad lineal con dos variables “x” y “y” puede
escribirse en la forma:
ax+by+c < 0 (puede ser también >, ≥, ≤ )
o de la forma
y < mx + b (puede ser también >, ≥, ≤ )
•donde a y b son constantes, con a y b no ambas
igual a cero.
¿Qué es la solución de una desigualdad
lineal?
• La solución de una desigualdad lineal (en x,y) consiste de
todos los pares ordenados, (x, y), que satisfacen dicha
desigualdad.
• Geométricamente, este conjunto solución corresponde a
una región del plano cartesiano xy.
Ejemplos
a) Determine si (5,1) es una solución de y > 2x + 3
Reemplazamos y con 1 y x con 5 para obtener
1 > 2(5)+3
1 > 13
(5, 1) NO es solución de la desigualdad original.
b) Determinar si (-3,0) es una solución de 3x – y < -2
Es una aseveración falsa
Graficar el conjunto solución de una
desigualdad
Ejemplo 1: Grafique el conjunto solución de y ≥ x
6
4
2
2
1 43 65
1
3
5
y = x Gráfiquemos la recta frontera
La gráfica de la desigualdad es la
región del plano en la que se
encuentran todos los pares
ordenados que
hacen cumplir la desigualdad.
(0,0) (4,4)Dos puntos:
Región 1
Región 2
Graficar el conjunto de soluciones
Ejemplo 1: (cont.) y ≥ x
6
4
2
2
1 43 65
1
3
5
1. Elige dos puntos, uno de
cada lado de la recta.
(4,1)
(1,3)
Para graficar la desigualdad:
Graficar el conjunto de soluciones
Ejemplo 1 (cont.) y ≥ x
6
4
2
2
1 43 65
1
3
5
(4,1)
(1,3)
2. Verificar que los puntos satisfacen la desigualdad.
(1,3) y ≥ xsustituir en
3 ≥ 1 ☺☺
(4,1) y ≥ xsustituir en
1 ≥ 4
Graficar el conjunto de soluciones
6
4
2
2
1 43 65
1
3
5
(4,1)
(1,3)
3. Sombrear el lado donde se encuentra el par ordenado que
satisface la desigualdad.
☺
Ejemplo 1 (cont.) y ≥ x
Si la desigualdad es ≥, ≤
entonces los puntos sobre la
recta también pertenecen al
conjunto solución.
Graficar el conjunto solución de la desigualdad
x - 2y ≤ 4
3
1
2-1 1 43 65
-2
2
x - 2y = 4
y = x - 212
Despejar la ecuación de la recta para y
Grafique la recta
Graficar el conjunto de soluciones
Solución: Usar la ecuación como punto de comienzo.
(0,-2) (4,0)Dos puntos:
Considere la desigualdad
x - 2y ≤ 4
3
1
2-1 1 43 65
-2
2
x - 2y = 4
(0,1)
(6,0)
y = x - 212
Graficar el conjunto de soluciones
Elija un punto en cada región.
Considere la desigualdad x - 2y ≤ 4 (cont.)
3
1
2-1 1 43 65
-2
2
(0,1)
(6,0)
(0,1)sustituir en
x - 2y ≤ 4
0 - 2(1) ≤ 4
-2 ≤ 4 ☺ ☺
Graficar el conjunto de soluciones
Pruebe los puntos en la desigualdad original.
Elegir un punto en cada región.
(6,0)sustituir en
x - 2y ≤ 4
6 - 2(0) ≤ 4
6 ≤ 4
x - 2y ≤ 4
(6,0)sustituir en
x - 2y ≤ 4
6 - 2(0) ≤ 4
6 ≤ 4 3
1
2-1 1 43 65
-2
2
(0,1)
(6,0)
☺
Graficar el conjunto de soluciones
Considere la desigualdad
x - 2y ≤ 4, (cont.)
¡¡ Sombrear el lado donde se encuentra el par ordenado
que satisface la desigualdad!!
3
1
2-1 1 43 65
-2
2
(0,1) ☺
Graficar el conjunto de soluciones
Considere la desigualdad
x - 2y ≤ 4
Se puede trabajar directamente con la desigualdad.
Primeramente, se despeja la desigualdad para y:
3
1
2-1 1 43 65
-2
2
Método alterno
x - 2y ≤ 4
- 2y ≤ 4 - x
−2𝑦
−2≤4 − 𝑥
−2
Recuerda que al dividir o
multiplicar una
desigualdad por un
número negativo, debes
cambiar la desigualdad.𝑦 ≥ 1
2𝑋−2
El símbolo ≥ implica que las
soluciones se encuentran en la
región que está en y sobre la recta
Considere nuevamente desigualdad
x - 3y > -3
Graficar el conjunto de soluciones
Sistemas de desigualdades linealesUn sistema de inecuaciones lineales en una variable es el conjunto
formado por dos o más inecuaciones lineales de la forma
o con cualquier otro signo de desigualdad, donde
𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 y 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑛 son coeficientes lineales y 𝑐1, 𝑐2, … , 𝑐𝑛 son
constantes.
El conjunto solución de un sistema es el conjunto de pares ordenados
que satisface simultáneamente todas las desigualdades del sistema.
La región del plano que contiene el conjunto solución del sistema se
conoce como la región factible del sistema.
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 < 𝑐1𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 < 𝑐2𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 < 𝑐3
Resolviendo un sistema de
desigualdades
x + y ≥ -1
-2x + y < 23
1
2
-1
1 3
2
-2-3 -1
Ejemplo 1: Determine el conjunto solución de:
Resolviendo un sistema de
desigualdades
x + y ≥ -1
-2x + y < 2
El conjunto solución
del sistema se encuentra
donde las dos regiones
sombreadas
se intersecan, incluyendo
las fronteras, si es necesario.
Ejemplo 1: (continuación)
región factible
Resolviendo un sistema de
desigualdades
-2x + 3y < -6
5x + 4y < 12
Ejemplo 2: Muestre el conjunto de soluciones en el plano de:
Resolviendo un sistema de
desigualdades
-2x + 3y < -6
5x + 4y < 12
Ejemplo 2: (continuación)
El conjunto de soluciones
del sistema se encuentra
donde las dos regiones
sombreadas
se intersecan, NO se
incluyen
las fronteras.
Resolviendo un sistema de
desigualdades
x - 4y ≤ 12
4y + x ≤ 12
Ejemplo 3: Determine el conjunto de soluciones de:
Resolviendo un sistema de
desigualdades
x - 4y ≤ 12
4y + x ≤ 12
Ejemplo 3: (continuación)
El conjunto de soluciones del
sistema se encuentra donde las
dos regiones sombreadas se
intersecan. (Se incluyen
fronteras.)
AplicacionesEJEMPLO (Inversiones) Un accionista planea invertir $30,000 en
dos inversiones; A y B. La acción A está valuada actualmente en
$165 y la acción B en $90 por acción. La acción A actualmente
paga un dividendo de $6 por acción y la inversión B paga $5 por
acción. Si el accionista requiere que la inversión le pague más de
$1400 en dividendos, bosqueje la gráfica de la región permitida.
SOLUCION:
Existen dos inversiones:
x: acciones de A que se compran
y: acciones de B que se compran
Ecuaciones:
• El valor total de las acciones que se compran no puede pasar de
$30,000.
165x + 90y ≤ 30,000
• El inversionista quiere ganar más de $1400
6x + 5y > 1400