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Desigualdades o inecuaciones
lineales en una variable
Sec 3.5 – 3.6
Prof. Caroline Rodriguez
Departamento de Matemáticas
UPR - Arecibo
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Desigualdades
Una desigualdad o inecuación usa símbolos
como <,>,≤,≥ para representar la idea de
que dos cantidades NO son iguales.
Estos se leen de izquierda a derecha: ◦ 𝑎 < 𝑏 : a es menor que b,
◦ 𝑎 > 𝑏 : a es mayor que b
◦ 𝑎 ≤ 𝑏 : a es menor o igual a b
◦ 𝑎 ≥ 𝑏 : a es mayor o igual a b
Algunos ejemplos son:
Note que las primeras 3 son
ciertas y las últimas dos son
falsas.
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Desigualdades algebraicas
Desigualdades algebraicas contienen una o más variables. Algunos ejemplos son:
Cuando se sustituye un valor
por la(s) variable(s), la
desigualdad algebraica se
convierte en un enunciado
numérico que es cierto o
falso.
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Desigualdades o Inecuaciones
2x + 3 > 11
Si se sustituye x con el valor 5,
la inecuación lee
2(5) + 3 > 11
13 > 11
Por lo que 5 es una solución de la
desigualdad.
Este es un enunciado cierto.
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Desigualdades (continuación)
Si se sustituye x con el valor 3,
la inecuación lee
2(3) + 3 > 11 que simplifica a
9 > 11
• Por lo que 3 NO es una solución de
la desigualdad.
2x + 3 > 11
Este es un enunciado falso.
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Ejemplo: ¿Es solución?
¿Pertenece 5 al conjunto solución de
2x – 5 < 3x + 6 ?
2(5) – 5 < 3(5) + 6
10 – 5 < 15 + 6
5 < 21 cierto.
Por esto decimos que 5 sí pertenece al
conjunto solución de la desigualdad.
?
?
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Resolver una desigualdad
Resolver una desigualdad implica
encontrar TODAS sus soluciones, o sea
determinar el conjunto solución de la
desigualdad.
El conjunto solución de una desigualdad
se puede representar usando
◦ notación generadora de conjuntos
◦ una gráfica
◦ notación de intervalo
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Conjunto solución de
desigualdades simples
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Desigualdades lineales
Desigualdad lineal
x > -1
2x + 3 < 11
7(x + 3) ≤ 5x + 5
Desigualdad No lineal
x2 > -1
x2 – 3x + 5 ≤ -1
2(x3 – 4x) ≤ 0
2𝑥−3
𝑥+1> 3
Al igual que con las ecuaciones, hay diferentes tipos
de desigualdades. Las desigualdades lineales son
las que son de grado 1.
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Práctica:
Diga si los valores a la derecha pertenecen al
conjunto solución de la desigualdad.
1) 7(x + 3) > 5x + 5 ; 4
2) -2(4x + 3) – 5x < 3x – 6 ; 2
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Práctica: notación de intervalo 1. Escribe el intervalo que contiene todos los
números menores que -10.
2. Escribe el intervalo que contiene todos los
números mayores o iguales a 20.
3. Indicar si el enunciado es cierto o falso:
a)2
3∈ [0.75,∞)
b) −5 ∈ −∞,−4
c)9
4∈ (2,∞)
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Propiedades de desigualdades
Sumar o restar una expresión o un
número real en ambos lados de una
desigualdad NO cambia el conjunto de
solución de la desigualdad.
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Ejemplo Resuelve la desigualdad: x + 5 > 10
Solución:
x + 5 > 10
x + 5 – 5 > 10 – 5
x > 5
El conjunto solución se puede describir: (5,∞).
Este es el conjunto de todos los valores mayores que
5. Para representar el conjunto en forma gráfica
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Propiedades de desigualdades
Multiplicar o dividir ambos lados de una
desigualdad por un número real positivo
NO cambia el conjunto de solución de la
desigualdad.
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Ejemplos
Resuelve la desigualdad: 3x - 1 ≤ 11
Solución:
Resuelve la desigualdad: 4 – x ≥ x – 1
Solución:
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Propiedades de desigualdades
Al multiplicar o dividir ambos lados de la
desigualdad por un número real
negativo se invierte la desigualdad.
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Resuelva la desigualdad: 3 – x < 2
Solución:
3 – x < 2
3 – 3 – x < 2 – 3 restando 3 a ambos lados
-x < -1
(-1)(-x) > (-1)(-1) multiplicamos por -1 a ambos lados
y cambiamos el sentido de la
desigualdad
x > 1
El conjunto solución es : (1,∞) .
Ejemplo
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Ejemplos (cont.)
Resuelve la desigualdad:
Solución:
Resuelve la desigualdad:
Solución: 2
75
3
2
x
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Ejemplo (cont.) Resuelve la desigualdad:
Solución:
4 + 7x ≥ 2x – 1
Determinar el conjunto solución:
Solución:
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Ejemplos (cont.)
Resuelve la desigualdad:
Solución:
2(x + 3) ≥ 4(x – 2)
Hallar el conjunto solución de
Solución:
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Ejercicios:
Problem Set 3.5
Pag. 126 Resuelva las
siguientes
desigualdades
lineales. Represente el
conjunto solución en
notación de intervalo y
gráficamente.
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Pag. 132
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Aplicaciones Cinco más que tres veces un número es mayor
que 26. Determine el conjunto de números que
satisface la condición.
Solución:
x = un número que satisface la condición
Cinco más que tres veces un número:
…es mayor que 26:
5 + 3x
5 + 3x > 26 5 – 5 + 3x > 26 – 5
3x > 21 𝟑
𝟑x >
𝟐𝟏
𝟑
x > 𝟕
Cualquier número
mayor que 7 satisface la
condición. El conjunto
solución es 𝟕,∞ .
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Aplicaciones Supongamos que el perímetro de un rectángulo
no es mayor que 70 pulgadas, y la longitud del
rectángulo es exactamente 20 pulgadas . Encontrar
el valor más grande para el ancho del rectángulo.
Solución:
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Aplicaciones Susana tiró 132 y 160 en sus dos primeros juegos
de bowling. ¿Qué debe tirar en el tercer juego
para tener un promedio de por lo menos 150 para
los tres juegos?
Solución:
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Aplicaciones (cont.) Susana tiró 132 y 160 en sus dos primeros juegos
de bowling. ¿Qué debe tirar en el tercer juego
para tener un promedio de por lo menos 150 para
los tres juegos?
Solución: (cont.)
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Exercise set 3.6 pag. 133