Capítulo 1

Desigualdades

1

2 Desigualdades

El orden en los números reales

• Cuando discutimos sobre la belleza de dos artistas de cine, no siempre llegamos a un acuerdo,“en gustos se rompen géneros”; en cambio, dados dos números reales, siempre podemos

decidir cuál de ellos es mayor, por ejemplo, 5 7. Esto ejemplifica la propiedad conocidacomo tricotomía.

• Cuando comparamos a tres equipos de fútbol, tampoco podemos decir siempre cuál es elmejor. Por ejemplo, en un torneo de todos contra todos, los Pumas le ganaron a las Aguilas,

las Aguilas le ganaron a las Chivas y las Chivas le ganaron a los Pumas, así que no podemos

decidir cuál es mejor. En cambio, con los números no hay tal ambigüedad, por ejemplo,

como sabemos que 2 7 y 7 9, sin pensarlo más sabemos que 2 9. Es decir, el ordenen los números naturales es transitivo.

• Si Cristina es mayor que su hermano Juan, entonces dentro de cinco años, Cristina seguirásiendo mayor que Juan, es decir, si a la edad de ambos le sumamos 5, el orden no se altera.

• Si un refresco es más barato que una bolsa de papas y, debido a la inflación, el año próximoel precio de ambos se multiplica por 2, entonces el refresco seguirá siendo más barato que la

bolsa de papas.

Para poder comparar los números, debemos establecer sin ambigüedad un orden entre ellos.

Para ello, hacemos lo siguiente:

DefiniciónDados dos números reales y , decimos que es menor que si al colocarlos en la recta,

queda a la izquierda de , y escribimos , que se lee “ es menor que ” o “ es mayor que ”

a b

.

.

Figura 1-1

Otra manera de escribir es , en cuyo caso leemos “ es mayor que ”.Escribimos ≤ para indicar que , o bien = , y leemos “ es menor o igual que ”.Ejemplos

• 7 canicas son más que 3 canicas.• −$10 es menor que −$5, (se tiene menos dinero cuando se debe 10 que cuando se debe 5).• −4◦C es menor que 2◦C, ya que es más alta la temperatura a 2◦C que a −4◦C.Podemos escribir las desigualdades anteriores así:

7 3

−10 −5−4 2.

Desigualdades 3

Propiedades de orden de los realesEl orden en los reales satisface las siguientes propiedades:

• TricotomíaDados y números reales, se cumple exactamente una de las siguientes afirmaciones

, , = .

Decir que es positivo equivale a decir que 0; y que es negativo equivale a decir que 0.

• TransitividadSi y , entonces .

Es decir, si está a la izquierda de y está a la izquierda de , entonces está a la izquierdade .

• Relación con la sumaSi y es cualquier entero, entonces + + .

• Multiplicación por un número positivoSi y es cualquier entero positivo, entonces . (No se altera el sentido de ladesigualdad).

• Multiplicación por un número negativo. Si y 0 entonces . (Se invierte elsentido de la desigualdad).

Ejemplos

1. Verificar la transitividad cuando = −85, = 7 y = 15.Solución:

Debemos verificar que: si y , entonces . En efecto

−85 7 y 7 15 entonces − 8 15.

2. Multiplicar −3 5 por 4.Solución:

Al multiplicar una desigualdad por un número positivo, el sentido de la desigualdad no se

altera, así que

−3 5

−3 (4) 5 (4)

−12 20.

4 Desigualdades

3. Multiplicar −2 3 por −6.Solución:

Puesto que vamos a multiplicar por un número negativo, debemos recordar que al hacerlo

se debe intercambiar el signo por . Entonces

−2 3

(−2) (−6) 3 (−6)12 −18.

4. Mostrar que la desigualdad −17 −11 se puede obtener a partir de la desigualdad 11 17.Solución:

Puesto que 11 17, multiplicando por (−1) a ambos lados de la desigualdad tenemos:

11 17

11 (−1) 17 (−1)−11 −17,

o lo que es lo mismo, −17 −11.

5. Escribir19

5como la suma de un número entero y fracciones distintas que tengan el número

1 en el numerador.

Solución:

Como 19 5 entonces escribimos el número como un número entero más una fracción:

19

5= 3 +

4

5

Los números racionales que tienen un uno en el numerador son:

1

21

31

41

51

6 · · ·

Comparamos4

5con

1

2utilizando los productos cruzados

4 (2) = 8

5 (1) = 5

y como 8 5, entonces4

51

2

Desigualdades 5

Calculamos

4

5− 12=

4 (2)− 5 (1)10

=8− 510

=3

10

Así19

5= 3 +

1

2+3

10

Ahora comparamos3

10con

1

3

3 (3) = 9

10 (1) = 10

de manera que 9 10, entonces3

101

3

Como3

10es menor que

1

3, entonces comparamos

3

10con

1

4:

3 (4) = 12

10 (1) = 10

así 12 10 Calculamos

3

10− 14=

2 (3)− 5 (1)20

=6− 520

=1

20

Por tanto,19

5= 3 +

1

2+1

4+1

20

Intervalos

Para definir intervalos utilizamos la notación de conjuntos.

6 Desigualdades

• Si , el conjunto( ) = { ∈ R | }

se llama intervalo abierto y lo representamos geométricamente como

a( )

b

.

.

Figura 1-2

• Si y están incluidos en el conjunto, es decir,[ ] = { ∈ R | ≤ ≤ }

se llama intervalo cerrado y lo representamos geométricamente como

a b

.

.][

Figura 1-3

• Un intervalo es semiabierto si contiene sólo uno de los dos extremos, es decir,[ ) = { ∈ R | ≤ }

y lo representamos como

.a[ )

b

.

Figura 1-4

o bien

( ] = { ∈ R | ≤ }y lo representamos como

a( ]

b .

.

Figura 1-5

Utilizamos el símbolo ∞ para representar “infinito”; ∞ no es un número real y no satisface

las reglas de la suma y el producto de los números reales.

Desigualdades 7

• Si ∈ R, el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad lo denotamospor

(∞) = { ∈ R | } ,lo representamos geométricamente como

.a(

.

Figura 1-6

y lo llamamos el rayo que parte de .

• Si ∈ R, el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad lo denotamospor

(−∞ ) = { ∈ R | }y lo representamos geométricamente como

.

.

a)

Figura 1-7

Éste es también un rayo que llega a pero que se extiende en dirección contraria al del incisoanterior.

• De la misma manera que antes, si queremos que el punto esté incluido, escribimos[∞) = { ∈ R | ≥ }

y lo representamos como

.

a[

.

Figura 1-8

o

(−∞ ] = { ∈ R | ≤ }y lo representamos como

.

.a]

Figura 1-9

8 Desigualdades

Utilizando las operaciones de conjuntos podemos hablar de uniones e intersecciones de inter-

valos.

Ejemplos

1. Encontrar (−2 5) ∩ [1 7].Solución:

420 1 3 5 6 7[

.

.

42−2 0−1 1 3 5)

.

.

42−2 0−1 1 3 5 6 7( ][ )

.

.

(

]

Figura 1-10

Un número está en la intersección si está en ambos intervalos.

(−2 5) ∩ [1 7] = [1 5) .

2. Escribir usando notación de intervalos, { ∈ R| − 2 5} ∪ { ∈ R| − 1 }Solución:

420 1 3 5 6 7

7

.

.

42−2 0−1 1 3 5)

.

.

42−2 0−1

−1

1 3 5 6

(

.

.

(

(

Figura 1-11

Un número está en la unión si está en alguno de los intervalos, es decir, si está en uno de los

intervalos, en el otro o en ambos.

{ ∈ R| − 2 5} ∪ { ∈ R| − 1 } = { ∈ R| − 2 }= (−2 5) ∪ (−1∞)= (−2∞)

Desigualdades 9

EjerciciosDeterminar la unión y la intersección de los siguientes intervalos.

1. (−5 0) y (−2 4) 2. (21 63) y (32 57)

3. (−1075−64) y (13 75)

4.

∙−725

3

¸y

∙−2651

2

¸.

Desigualdades

Reinaldo obtuvo como calificaciones en los primeros cuatro exámenes: 71, 84, 8y 93. Sólo falta efectuar un examen y para aprobar el curso sin presentar el examenfinal, es necesario que el promedio de los cinco exámenes sea mayor o igual que 8.¿Cuál es la menor calificación que debe obtener Reinaldo en el quinto examen para

poder quedar exento?

Solución:

Llamamos a la calificación que falta. El promedio de todas las calificaciones es:

71 + 84 + 8 + 93 +

5.

Dicho promedio debe ser mayor o igual que 8, así que escribimos la desigualdad

328 +

5≥ 8.

Para resolverla multiplicamos por 5 ambos miembros y obtenemos:

5

µ328 +

5

¶≥ 5 (8)

328 + ≥ 40.

Sumamos −338 a ambos lados de la desigualdad.−328 + 328 + ≥ −328 + 40

≥ 72.

En el quinto examen, Reinaldo debe obtener por lo menos 72 de calificación.

Una desigualdad en la que aparecen variables también se conoce como inecuación. Como en

el caso de las igualdades, la expresión que aparece a la izquierda del símbolo de desigualdad se

llama primer miembro y la que aparece a la derecha, segundo miembro.

10 Desigualdades

Resolver una desigualdad algebraica significa encontrar los valores numéricos que, cuando

sustituyen a las variables, la hacen cierta.

Para manipular desigualdades algebraicas utilizamos las propiedades de la suma y el producto

de los números reales, así como las de orden.

Ejemplos

1. Resolver la desigualdad 5 − 9 −12.Solución:

Sumamos 9, en ambos lados de la desigualdad:

5 − 9 −125 − 9 + 9 −12 + 9

5 −3.

Ahora multiplicamos ambos miembros de la desigualdad resultante por1

5que por ser positivo

no altera el sentido de la desigualdad:

5 −31

5(5)

1

5(−3)

−35.

Por tanto, la desigualdad se cumple para cualquier número real menor que −35, es decir,

∈µ−∞−3

5

¶.

2. Resolver la desigualdad −4 + 7 23.Solución:

Sumamos −7 en ambos lados de la desigualdad:−4 + 7 23

−4 + 7− 7 23− 7−4 16.

Ahora multiplicamos ambos miembros de la desigualdad resultante por −14, que por ser

negativo invierte el sentido de la desigualdad:

−4 16

−14(−4) −1

4(16)

−4.Por tanto, la desigualdad se cumple para cualquier número real menor que −4, es decir, ∈ (−∞−4).

Desigualdades 11

Consecuencias de las propiedades de ordenPara despejar la variable de la desigualdad − 8 13 seguimos los siguientes pasos:

− 8 13 ←− Queremos despejar .− 8 + 8 13 + 8 ←− Sumamos el opuesto de − 8, es decir, 8.

21 ←− Simplificamos.

En el primer renglón, el 8 está restando en el lado izquierdo y en el segundo renglón lo vemossumando en el lado derecho.

En general, si un término está restando de un lado de una desigualdad,

− ,

al sumar su opuesto de ambos lados de la desigualdad se obtiene:

−

− + +

+ .

Es decir, el término “pasa al otro lado de la desigualdad” sumando. Así:

Si − , entonces +

Similarmente, si un término está sumando de un lado de la desigualdad,

+ ,

al sumar su opuesto de ambos lados de la desigualdad se obtiene:

+

+ − −

− .

Es decir, el término “pasa al otro lado de la desigualdad” restando. Así:

Si + , entonces −

Para despejar la variable de la desigualdad 6 7 seguimos los siguientes pasos:

6 7 ←− Queremos despejar µ1

6

¶6

µ1

6

¶7 ←− Multiplicamos por 1

6, que es el recíproco de 6, y

como es positivo, la desigualdad no se altera

7

6←− Simplificamos.

En el primer renglón, el 6 está multiplicando del lado izquierdo y en el segundo renglón lovemos dividiendo del lado derecho.

12 Desigualdades

En general, si un término positivo está multiplicando de un lado de una desigualdad

,

entonces al multiplicar por su recíproco de ambos lados de la desigualdad y simplificar:

µ1

¶

µ1

¶

,

el término “pasa al otro lado de la desigualdad” dividiendo. Por tanto,

Si y 0, entonces

.

De manera similar, si un término positivo está dividiendo en un lado de la desigualdad,

al multiplicar por él, ambos lados de la desigualdad se obtiene:

() ()

.

El término “pasa al otro lado de la desigualdad” multiplicando. Por tanto,

Si

y 0, entonces .

Si tenemos la desigualdad,

y 0, entonces al multiplicar por el recíproco, la desigualdad cambia de sentido, por lo que,

Si y 0, entonces

.

Es decir, el término “pasa al otro lado de la desigualdad” dividiendo y cambia el sentido de la

desigualdad.

De la misma manera,

Si

y 0, entonces .

Ejemplos

Desigualdades 13

1. Resolver7

9− 5 −2.

Solución:

Despejamos

7

9− 5 −27

9 −2 + 5 ←− (El 5 “pasa” sumando)

7

9 3 ←− (Simplificamos)

9

7(3) ←− (El 9 “pasa” multiplicando, y el 7 “pasa” dividiendo

sin cambiar el sentido de la desigualdad)

27

7←− (Simplificamos).

De donde ∈µ27

7∞¶

2 4 60(

.

.

Figura 1-12

2. Resolver 3 6 10.

Solución:

Despejamos :

3 6 103

6

10

61

2

5

3

de donde ∈µ1

25

3

¶.

3. Resolver 8 + 5 ≤ 3 − 7 ≤ + 1.

Solución:

Tenemos que resolver dos desigualdades:

8 + 5 ≤ 3 − 7 y 3 − 7 ≤ + 1.

14 Desigualdades

Es decir,

8 + 5 ≤ 3 − 75 − 3 ≤ −7− 8

2 ≤ −15 ≤ −15

2

∈µ−∞−15

2

¸ y

3 − 7 ≤ + 13 − ≤ 1 + 7

2 ≤ 8 ≤ 4

∈ (−∞ 4]

de donde

∈µ−∞−15

2

¸∩ (−∞ 4] ,

543210

543210−1

−1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

−5

−5

−6

−6

−7

−7

−8

−8

−9

−9

−10

−10

54321−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10 0

]

]

]

15

15

2

2

−

−

Figura 1-13

es decir,

∈µ−∞−15

2

¸

4. Resolver 55 + 67− 2 ≤ 73.Solución:

Tenemos que resolver dos desigualdades:

55 + 67− 2 y 67− 2 ≤ 73

Es decir,

55 + 67− 255− 67 −2 − −1 2 −31 2

3

04 ∈ (−∞ 04)

y

67− 2 ≤ 73−2 ≤ 73− 67−2 ≤ 06

≥ −062

≥ −03 ∈ [−03∞)

Desigualdades 15

de donde ∈ (−∞ 04) y ∈ [−03∞),

0 1 20.41−2− 0.3−

0 1 20.41−2− 0.3−

0 1 20.41−2− 0.3−

)

)

[

[

.

.

Figura 1-14

es decir,

∈ (−∞ 04) ∩ [−03∞) = [−03 04)

5. La suma de dos números enteros pares consecutivos y positivos es a lo más 24. Encuentradichos números.

Solución:

Llamamos 2 y 2+ 2 a los enteros pares consecutivos. Planteamos la desigualdad:

2+ (2+ 2) ≤ 24.

Ahora la resolvemos:

2+ (2+ 2) ≤ 24

4 ≤ 22

≤ 22

4

≤ 11

2.

Así, = 1, 2, 3, 4 o 5, y entonces los números que satisfacen la desigualdad son:

2 2+ 2

1 2 42 4 63 6 84 8 105 10 12.

16 Desigualdades

EjerciciosResolver las siguientes las desigualdades

1. −4 6.

2. + 7 ≥ −2

3.7

5− 3 −2.

4. 5 + 5 0.

5.4

3 + 3 ≥ −5

6.

6. Un cartero parte de la oficina postal llevando en su bolsa cierto número de sobres. Al

mediodía ha repartido 134 sobres y en su bolsa quedan menos de 38 sobres por repartir.¿Cuál es el mayor número de sobres con los que pudo haber salido de la oficina?

Desigualdades y las expresiones racionales

El cociente, del menor entre el mayor, de dos enteros impares consecutivos es mayor

o igual a 2. Encontrar los números.Solución:

Llamamos a los enteros impares consecutivos 2+1 y 2+3. Formamos el cocientedel mayor entre el menor:

2+ 1

2+ 3

y éste debe ser mayor o igual a 2, es decir,

2+ 1

2+ 3≥ 2.

Para resolver esta desigualdad debemos considerar dos casos:

• Si 2+ 3 0, entonces −32, es decir, ∈

µ−32∞¶y

2+ 1 ≥ 2 (2+ 3)

2+ 1 ≥ 4+ 6

1− 6 ≥ 4− 2−5 ≥ 2

−52≥

Desigualdades 17

de donde ∈µ−∞−5

2

¸. Es decir,

∈µ−32∞¶∩µ−∞−5

2

¸= ∅

• Si 2+ 3 0, entonces −32, es decir, ∈

µ−∞−3

2

¶y

2+ 1 ≤ 2 (2+ 3)

2+ 1 ≤ 4+ 6

1− 6 ≤ 4− 2−5 ≤ 2

−52≤

de donde ∈∙−52∞¶. Es decir,

∈µ−∞−3

2

¶∩∙−52∞¶=

∙−52−32

¶De donde,

∈ ∅ ∪∙−52−32

¶=

∙−52−32

¶= [−25−15)

pero como es un entero entonces = −2.Por tanto, el cociente es:

2 (−2) + 12 (−2) + 3 = 3 2.

Ejemplos

1. Resolver1

+ 2 −4

Solución:

Para resolver esta desigualdad debemos quitar el denominador de la expresión de la derecha.

Como no sabemos si + 2 es positivo o negativo, entonces debemos de considerar los doscasos.

• Supongamos + 2 0 es decir −2 Así ∈ (−2∞) Como +2 es positivo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad,ésta no cambia de sentido.

1 −4 (+ 2)1 −4− 84 −8− 1 −9

4

18 Desigualdades

de donde ∈µ−∞−9

4

¶∩ (−2∞) = ∅

En este caso la desigualdad no tiene solución.

• Supongamos + 2 0 es decir −2 Así ∈ (−∞−2) Como +2 es negativo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad,ésta cambia de sentido.

1 −4 (+ 2)1 −4− 84 −8− 1 −9

4

de donde

∈ (−∞−2) ∩µ−94∞¶=

µ−94−2

¶

es decir

−94 −2

Por tanto, la desigualdad1

+ 2 −4

se satisface para −94 −2 es decir

∈µ−94−2

¶= (−225−2)

42−2−4−6−8

42

−2−4−6

Y

X

Figura 1-15

2. Resolver5 + 2

− 2 5

3.

Solución:

Desigualdades 19

Para resolver esta desigualdad debemos quitar los denominadores. Sabemos que 3 es positivo,por lo que no hay problema ahí, pero no sabemos si − 2 es positivo o negativo, entoncesdebemos de considerar los dos casos.

• Supongamos − 2 0, o sea 2, entonces al pasar la expresión − 2 multiplicandoal otro lado de la desigualdad, ésta no cambia de sentido.

5 + 2

− 2 5

33 (5 + 2) 5 ( − 2)15 + 6 5 − 1015 − 5 −10− 6

10 −16 −16

10

−85

Por tanto, debemos tener:

2 y −85,

2) (

0185

−

Figura 1-16

Pero no hay ningún número real que cumpla con estas dos condiciones. Esto significa

que ningún número 2 es solución de la desigualdad original.

• Supongamos − 2 0, es decir, 2, entonces al pasar multiplicando esa expresiónal otro lado de la desigualdad, ésta cambia de sentido.

5 + 2

− 2 5

33 (5 + 2) 5 ( − 2)15 + 6 5 − 1015 − 5 −10− 6

10 −16 −16

10

−85.

20 Desigualdades

De donde,

2 y −85,

Podemos escribir esto como:

−85 2.

2085

−

.

.

( )

Figura 1-17

Por tanto,5 + 2

− 2 5

3si − 8

5 2.

3. Resolver2− 3+ 2

1

3.

Solución:

• Primer método:Para resolver esta desigualdad debemos quitar denominadores. Sabemos que 3 es pos-itivo, por lo que no hay problema ahí, pero no sabemos si + 2 es positivo o negativo,por esto es necesario considerar dos casos.

— Si + 2 0, entonces al pasar multiplicando + 2 al otro lado de la desigualdad,ésta no cambia de sentido:

2− 3+ 2

1

33 (2− 3) + 2

6− 9 + 2

6− 2 + 9

5 11

11

5

y como estamos suponiendo que:

+ 2 0

−2,

entonces:

−2 y 11

5.

Desigualdades 21

Podemos escribir esto como:

−2 11

5.

115

0−2( )

.

.

Figura 1-18

— Si + 2 0, entonces al pasar multiplicando + 2 al otro lado de la desigualdad,ésta cambia de sentido.

2− 3+ 2

1

33 (2− 3) + 2

6− 9 + 2

5 11

11

5.

Entonces como:

+ 2 0

−2,

debemos tener:

−2 y 11

5,

115

0−2) (

.

.

Figura 1-19

pero no hay ningún número real que cumpla con estas dos condiciones.

Por tanto,2− 3+ 2

1

3si − 2

11

5.

• Segundo método:Resolvemos primero la ecuación:

2− 3+ 2

=1

3.

22 Desigualdades

En primer lugar, nos damos cuenta que la expresión de la izquierda no está definida

para = −2. La solución de la ecuación es:2− 3+ 2

=1

33 (2− 3) = + 2

=11

5.

Los puntos donde no está definida la ecuación y donde se satisface la igualdad dividen

a la recta en tres intervalos, como lo muestra la figura 1-20.

115

−2

.

.

Figura 1-20

En cada uno de estos intervalos todos los puntos satisfacen la desigualdad original

o ninguno la satisface. La razón de esto es que si en alguno de estos intervalos un

punto 1 satisface la desigualdad y otro 2 la desigualdad contraria, habría un punto3 intermedio y, por tanto, dentro del mismo intervalo en donde se satisface la igualdad,lo cual no es cierto, ya que el único punto donde se satisface la igualdad es 11

5.

La justificación formal de este argumento, conocida como el teorema del valor interme-

dio, está fuera del alcance de este libro, pues requiere del concepto de continuidad, que

es un tema que se ve en el curso de cálculo diferencial e integral. Sin embargo, creemos

que intuitivamente es bastante claro para poder utilizarlo aquí.

Elegimos un punto en cada intervalo, por ejemplo,

−3 ∈ (−∞−2) , 0 ∈µ−2 11

5

¶, 3 ∈

µ11

5∞¶

y evaluamos la expresión en ellos:

— En = −3 tenemos:2 (−3)− 3(−3) + 2 = 9,

que no satisface la desigualdad, así que en ningún punto de (−∞−2) se satisface.— En = 0 tenemos:

2 (0)− 3(0) + 2

= −32,

que sí es menor que1

3, así que en todo el intervalo

µ−2 11

5

¶se satisface la de-

sigualdad.

Desigualdades 23

— En = 3 tenemos:2 (3)− 3(3) + 2

=3

5,

que no es menor que1

3, así que en ningún punto del intervalo

µ11

5∞¶se satisface

la desigualdad.

Por tanto, la solución a la desigualdad es el intervalo

µ−2 11

5

¶, es decir, −2

11

5.

Ejercicios1.

+ 7

6.

2.2

2− −8.

3.5 + 2

+ 35

2.