Desigualdades lineales en una

variable Prof. Anneliesse Sánchez

Adaptada por Prof. Caroline Rodriguez

Departamento de Matemáticas

UPR - Arecibo

Desigualdades o Inecuaciones

Una inecuación o desigualdad, es una oración

que incluye un signo de desigualdad. Los

signos de desigualdad son: <, >, ≤, ≥.

Una desigualdad es un enunciado que declara

que dos cantidades o expresiones NO son

equivalentes. Por ejemplo,

2x + 3 > 11

Desigualdades o Inecuaciones

2x + 3 > 11

Si se obtiene un enunciado cierto al

reemplazar un número b por la variable ,

entonces b es una solución de la

desigualdad.

El conjunto solución de la desigualdad consiste

de TODOS lo valores reales que hacen la

expresión 2x + 3 sea mayor que 11.

Soluciones de Desigualdades

Dado 2x + 3 > 11

◦x = 5 es una solución de 2x + 3 > 11 ya

que

2(5) + 3 =13

13 > 11 es cierto

◦x = 3 NO es una solución ya que

2(3) + 3 = 9

9 > 11 es falso.

Resolver una desigualdad implica

encontrar TODAS sus soluciones.

Ejemplo: ¿Es solución?

¿Pertenece 5 al conjunto solución de

2x – 5 < 3x + 6 ?

Práctica: Determinar si los valores pertenecen al

conjunto solución de la desigualdad.

1) 3(4x – 5) + 7 < 4x – 5(x – 4) ; -2

2) 7(x + 3) > 5x + 5 ; 4

3) 2𝑥

5+

4

3≥

5

2−

3𝑥

5 ; -1

Soluciones y Desigualdades

Una desigualdad puede tener una infinidad

de soluciones.

Por ejemplo, el conjunto de TODAS las

soluciones de la desigualdad x > -5

consiste de todos los números reales

mayores que -5.

Esta desigualdad representa un intervalo

abierto y lo denotamos (-5, ∞) .

Desigualdades lineales

Desigualdad lineal

x > -1

2x + 3 < 11

7(x + 3) ≤ 5x + 5

Desigualdad No lineal

x2 > -1

x2 – 3x + 5 ≤ -1

2(x3 – 4x) ≤ 0

Al igual que con las ecuaciones, hay diferentes tipos

de desigualdades. Las desigualdades lineales son

las que son de grado 1.

Hallar el conjunto solución de una

desigualdad lineal

Las propiedades que usamos para resolver

desigualdades lineales son similares a las que

usamos para resolver ecuaciones lineales.

1. Podemos sumar o restar valores reales de

ambos lados de una inecuación.

2. Podemos multiplicar o dividir ambos lados de

una inecuación por valores positivos.

3. Podemos multiplicar o dividir ambos lados de una

inecuación por un valor negativo, si invertimos

el signo de la desigualdad.

Ejemplo Resuelve la desigualdad: x + 5 > 10

Solución:

Resuelva la desigualdad: 3 – x > 4

Solución:

Ejemplo

Ejemplo

Resuelva la desigualdad:

Solución:

Ejemplo Resuelve la desigualdad:

Solución: 2

75

3

2

x

Ejemplo Resuelve la desigualdad:

Solución:

2(x + 3) – 6 ≥ 4(x – 2)

Desigualdades compuestas

En ocasiones tenemos desigualdades compuestas

como la siguiente:

2 < x + 1 < 5

Con esta notación se representan dos desigualdades:

x + 1 > 2 y x + 1 < 5

Podemos resolver la desigualdad doble

simultáneamente, usando operaciones inversas para

dejar la variable sola en el centro.

Para esto debemos realizar las mismas operaciones

tanto en el medio como en los dos extremos.

Ejemplos:

Ejemplo 1: Resuelva la desigualdad

2 ≤ x + 1 ≤ 5

2 – 1 ≤ x + 1 – 1 ≤ 5 – 1 Restando 1 en todos los lados.

1 ≤ x ≤ 4

El conjunto solución en notación de intervalo: [1, 4]

Ejemplo 2: Resuelva la desigualdad

4 < 2x + 3 ≤ 8

Ejemplos:

Hallar el conjunto solución de: 5 ≤ 1

2x – 3 ≤ 7

Solución:

Ejemplos:

Hallar el conjunto solución de

2x < 3 < 5 + 2x

Solución:

Ejemplos: Hallar el conjunto solución de

x – 3 < 5 – 3x ≤ 7 + x

Solución:

MÁS PRÁCTICA CON NOTACIÓN DE INTERVALO

Intervalos y gráficas

La gráfica del intervalo abierto (2, 5) es

el conjunto de todos los puntos en la

recta numérica mayores que 2 y menores

que 5, sin incluir los extremos.

Ilustramos:

Intervalos (cont.)

Las soluciones de la desigualdad 2 ≤ x ≤ 5,

incluyen los valores mayores e iguales a 2

y menores e iguales a 5.

Este es un intervalo cerrado y se denota

[2, 5].

Aquí se muestra la gráfica de este

intervalo cerrado:

Tipos de Intervalos

La tabla muestra otros tipos de desigualdades, que

describen un conjunto de solución

Práctica: notación de intervalo

1. Describe los valores que pertenecen al

intervalo [-3,4]

Solución: El intervalo representa todos los

valores entre el -3 y el 4 incluyendo al -3 y 4.

2. Mencione 5 valores en (0,1).

Respuestas varían.

3. Mencione 5 valores en (-2,-1].

Respuestas varían.

Intervalos que envuelven infinito Cuando el extremo del intervalo no tiene fin, es decir,

que se extiende infinitamente, se usan los símbolos ∞

y -∞. En esos casos siempre se usan paréntesis al

describir el intervalo.

Práctica: notación de intervalo 1. Escribe el intervalo que contiene todos los

números menores que -10.

Solución: x<-10 se escribe (−∞, −10)

2. Escribe el intervalo que contiene todos los

números mayores o iguales a 20.

Solución: x≥20 se escribe [20,∞)

3. Indicar si el enunciado es cierto o falso:

a)2

3∈ [0.75, ∞) F

b) −5 ∈ −∞, −4 C

c) 2 ∈ (2, ∞) F

Ejemplo

Resuelve la desigualdad:

Solución:

1x El conjunto solución se puede describir:

[-1 ,∞)

4 + 7x ≥ 2x – 1

4 + 7x ≥ 2x – 1

4 – 4 + 7x ≥ 2x – 1 – 4

7x ≥ 2x – 5

7x – 2x ≥ 2x – 2x – 5

5x ≥ – 5