las desigualdades lineales · web viewii resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas o...

Tel.: 958-5804

República de PanamáMinisterio de Educación

DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA

Instituto Profesional y Técnico de VeraguasNombre del Alumno(a): ________________________________________ Grupo: 12º ______Sección: Bachiller Industrial Especialidad: __________________________________

4.0 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Resolver desigualdades cuadráticas (o inecuaciones de segundo grado) con una

incógnita, empleando los procedimientos algebraicos para determinar su conjunto solución.

Resolver desigualdades polinómicas o polinomiales (o inecuaciones de orden superior),

empleando los procedimientos algebraicos para determinar su conjunto solución.

4.1 INECUACIONES CUADRÁTICASUna inecuación cuadrática es una expresión de desigualdad que se soluciona como ecuación

cuadrática.

4.2 LAS DESIGUALDADES CUADRÁTICASSon desigualdades de segundo grado, son el ejemplo más simple de desigualdades no

lineales, porque la potencia máxima de la variable está elevada al cuadrado. Son desigualdades

o inecuaciones cuadráticas las que presentan, o se pueden reducir a, las formas siguientes:

En donde y son constantes con . Para resolver una desigualdad cuadrática,

debemos encontrar las equis1 ( ’ s) que la satisfagan, esto se logra escribiendo al lado izquierdo

1 A los valores que satisfacen una expresión cuadrática, se le denominan raíces de la ecuación, pero en las inecuaciones cuadráticas, se denominarán “puntos de separación, o puntos o números críticos” (valores críticos).

Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.

1

UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 4

Las Desigualdades Cuadráticas y las Desigualdades

el producto de dos expresiones lineales, esto es, factorizando y examinando el signo de los

factores en los intervalos definidos por las raíces de los factores.

Cuando se plantean desigualdades que implican valores elevados al cuadrado, generalmente se

resuelven factorizando y dividiendo el eje numérico real en los puntos hallados en la

factorización, para encontrar luego los intervalos en que se cumplen la desigualdad.

Sin embargo, no podemos encontrar ecuaciones que son tan fáciles de factorizar, por lo cual en

estos casos, lo que aplica es usar la fórmula cuadrática general2:

4.3 RESOLVER UNA DESIGUALDAD CUADRÁTICAResolver una desigualdad cuadrática, es hallar el conjunto de los valores reales de las

incógnitas que la verifican, o satisfagan, es decir, los valores que hacen que se cumpla la desigualdad3. Para esto se debe dejar en el lado derecho de la desigualdad, el valor de 0, si es

que no está; después de esto se debe factorizar la expresión del lado izquierdo (si no se puede

factorizar directamente, se puede utilizar la fórmula general). Una vez factorizada la expresión

del lado izquierdo, podemos tener las siguientes situaciones donde son los

factores.

a) Si la desigualdad es (o del tipo: ). Es decir, si la desigualdad

es del tipo "mayor que", ambos factores deben ser positivos o ambos negativos, para que al

multiplicarlos dé una cantidad positiva. Es decir: .

Si

b) Si la desigualdad es (o del tipo: ). Es decir, si la desigualdad

es del tipo "menor que", ambos factores deben ser de signo contrario, o sea uno negativo y

otro positivo. Es decir:

Si

4.4 LOS PUNTOS CRÍTICOS O VALORES CRÍTICOSUna vez factorizada la ecuación cuadrática, para encontrar el conjunto solución es conveniente

evaluar la función en diferentes intervalos numéricos limitados por puntos críticos.

2 Esta ecuación se obtiene después de haber completado el cuadrado de la ecuación general de segundo grado, es decir, en la ecuación: También se le conoce como “fórmula general de la ecuación cuadrática”.

3 Se requiere de la aplicación de los métodos de solución de ecuaciones cuadráticas, y de los casos de factorización.


2

Los puntos críticos o los valores críticos son los valores que hacen cero la desigualdad, es

decir, son las raíces, son los valores numéricos que se obtienen al igualar cada factor a cero. Por

ejemplo: sean los factores: Entonces: los puntos críticos serán:

Porque:

4.5 ALGUNAS RECOMENDACIONES PARA RESOLVER DESIGUALDADES CUADRÁTICASLas desigualdades cuadráticas son desigualdades en donde la variable tiene como mayor

exponente al número dos; y para resolverlas, podemos seguir las siguientes recomendaciones:

1. Se trasladan todos los términos, al miembro de la izquierda, y se deja cero en el miembro

de la derecha4. Esto significa que la desigualdad se debe escribir en su forma canónica:

ó ( ó )

2. Se debe factorizar el miembro izquierdo. Si resulta difícil factorizar se puede aplicar la

fórmula general de la ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado. En caso de que no

se pueda resolver, entonces la solución es trivial: R ó .

3. Halle los números o valores críticos, éstos números se encuentran igualando a cero, cada

factor. Luego coloque esos valores en la recta real.

4. Escriba los intervalos que se obtienen al ubicar los números críticos en la recta real.

5. Tomar valores de pruebas, y evaluar los factores con los valores de pruebas.

6. Luego escribir la solución, considerando sólo los intervalos donde se satisface la

desigualdad, tomando en cuenta el signo de la desigualdad.

Otro método que resulta más sencillo5, es el siguiente:

Después del cuarto paso, se procede así:

5. Confeccionar una tabla que contenga 5 columnas y cuatro filas. En la primera columna

debe ir los intervalos, en la segunda; los valores de pruebas, en la tercera: el signo del

primer factor, en la cuarta columna, el signo del segundo factor y por último debe ir el

signo de la multiplicación de los signos de ambos factores.

6. La respuesta se obtiene seleccionando el intervalo o la unión de intervalos que satisfacen

la desigualdad, considerando el signo que se obtiene en la última columna de la tabla. Si

la desigualdad es mayor que cero el signo que se selecciona es “+”, si es menor que cero, es el signo “-“.

4 En una desigualdad un término cualquiera puede pasar de un miembro al otro cambiándole el signo.5 Es tan fácil, porque se trata de un análisis de los signos, utilizando los valores de pruebas, en los intervalos

encontrados. Además, de que se trata de una tabulación, y aparece en la gran mayoría de los libros de Cálculo.Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.

3

4.6 PROBLEMAS RESUELTOS DE DESIGUALDADES CUADRÁTICAS

1) Resolver la desigualdad: Solución: Observe que el trinomio es de la forma:

Buscando, los puntos críticos:

Los puntos críticos son:

Intervalo Valor de prueba Signo de Signo de Signo de - - +- +

+ + +




Intervalo Valor de prueba Signo de Signo de Signo de - -

+ - -+ +


4

3) Resolver la desigualdad: Solución: Observe que el problema ya esta factorizado. Entonces, busquemos los puntos

críticos:



- + -+ +





+ - -+ +

5) Resolver la desigualdad: Solución: Observe que el trinomio es de la forma: ya que queda:

Aplicaremos el método de aspa simple:Los factores de son: y los factores de son: y Hay varias posibles combinaciones, pero se busca la que la satisface:


5

ó

Los factores se obtienen en cruz: Entonces: Por lo tanto:




+ - -

+ +

6) Resolver la desigualdad: Solución: Observe que el trinomio es de la forma: ya que es:

Luego, factorizando tendremos:



Intervalo Valor de prueba Signo de Signo de Signo de

- -


6

+ - -

+ +




Intervalo Valor de prueba Signo de Signo de Signo de - - +- +

+ + +





- - +


7

+ -

+ + +

9) Resolver la desigualdad: Solución: Observe que se trata de una diferencia de cuadrados:



Intervalo Valor de prueba Signo de Signo de Signo de - - ++ -

+ + +

10) Resolver la desigualdad: Solución: Observe que se trata de factor común monomio:




- + -


8

+ +

11) Resolver la desigualdad: Solución: Observe que se trata de una diferencia de cuadrados:

ya que:




- + -+ +

12) Resolver la desigualdad: Solución: Observe que el problema ya esta factorizado. Entonces, busquemos los puntos

críticos:



+ + +


9

13) Resolver la desigualdad: Solución: Observe que se trata de factor común monomio:




+ - -+ +

14) Resolver la desigualdad: Solución: Observe que el trinomio es de la forma: Podemos resolverlo por dos métodos distintos:1) Aplicando el método de aspa simple: Los factores de son: y los factores de son:

31 ó Luego, como hay varias posibles combinaciones, pero se busca la que la satisfaga el trinomio:

ó

Los factores se obtienen en cruz: Entonces: Por lo tanto:



10



+ + +

2) Aplicando la fórmula general de la ecuación cuadrática: En donde,

según el trinomio: los valores son: ; y

Entonces: y De tal forma que:

Como la desigualdad tiene signo “<” (menor que), entonces habrá dos posibilidades: Que el primer factor sea positivo y el segundo sea negativo,

Es decir que: y

De tal manera que: y , que en intervalos es: y , respectivamente, y gráficamente es:

Lo que significa que:

Que el primer factor sea negativo y el segundo sea positivo,Es decir que: y

De tal manera que: y , que en intervalos será: y , respectivamente, y gráficamente es:


11

Lo que significa que:

De las dos posibilidades sólo la segunda existe, por lo tanto la solución es:

Y la representación gráfica de la solución es:

PRÁCTICA Nº 1TEMA: LAS DESIGUALDADES CUADRÁTICAS O DESIGUALDADES DE SEGUNDO GRADOI Repasar la factorización o descomposición de trinomios de la forma:

1) 6) 11) 2) 7) 12) 3) 8) 13) 4) 9) 14) 5) 10) 15)

II Resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas o desigualdades de segundo grado y expresar los resultados en notación de intervalo, y hacer la gráfica:

1) 14) 27)

2) 15) 28)

3) 16) 29)

4) 17) 30)

5) 18) 31)

6) 19) 32)

7) 20) 33)

8) 21) 34)

9) 22) 35)

10) 23) 36)

11) 24) 37)

12) 25) 38)

13) 26) 39)

4.6.1 DESIGUALDADES NO CUADRÁTICAS, QUE SE RESUELVEN COMO SI FUESEN CUADRÁTICAS


12

1) Resolver la desigualdad:

Solución: Observe que está desigualdad no es cuadrática6, pero se resuelve como si lo

fuese, aplicando el siguiente procedimiento de factorización:



IntervaloValor de prueba

Signo de Signo de Signo de Signo de

- - - -- + -

+ + - -+ + +


Solución: Observe que está desigualdad no es cuadrática, pero se puede resolver como si lo

fuera. Mira el segundo factor es una diferencia de dos cantidades al cuadrado,

ahora lo podemos trabajar, porque toda la expresión ya ésta factorizada:





- + - + + + -

6 A estas desigualdades se les conoce como desigualdades de orden superior o polinomiales.Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.

13

+ + -

+ + + +

4.7 INECUACIONES POLINÓMICASUna inecuación polinómica es una inecuación de orden superior de la forma:

o cualquier expresión de la forma anterior que, en lugar del

símbolo < incluya cualquier otro símbolo de desigualdad: , o .

4.8 LAS DESIGUALDADES POLINÓMICASPara resolver las inecuaciones polinomiales o polinómicas podemos utilizar algún software de

aplicación que nos facilitan resolverlas gráficamente y analizarlas, pero no debemos olvidar que

usamos el hecho de que un polinomio puede cambiar de signo solo en los puntos donde es igual

a cero. (O sea los valores de que hacen que el polinomio sea igual a cero).

Entre dos ceros consecutivos, un polinomio es solo positivo o solo negativo. Esto significa que si

trazamos estos valores en la recta real, estos puntos dividirán la recta real en intervalos en los

cuales el polinomio no tiene cambios de signo. Estos valores son conocidos como números críticos de la inecuación, y los intervalos que se obtienen se llaman intervalos de prueba.

4.8.1 RESOLVER UNA INECUACIÓN POLINÓMICAResolver una desigualdad polinómica, es hallar el conjunto de los valores reales de las

incógnitas que la verifican, o satisfagan, es decir, los valores que hacen que se cumpla la desigualdad7.

4.8.2 MÉTODO PARA RESOLVER INECUACIONES POLINÓMICASPara resolver una desigualdad polinómica, seguiremos los siguientes pasos:

1. Escribir la inecuación en la forma general, es decir, realizar las operaciones necesarias

para que toda la expresión polinómica quede a un lado de la inecuación y cero en el

otro lado.

2. Factorizar el polinomio. Si no se puede factorizar, encontrar los puntos donde el

polinomio es igual a cero.

7 Se requiere de la aplicación de los métodos de solución de ecuaciones cuadráticas, y de los casos de factorización.


14

3. Hallar los intervalos de prueba. Esto se logra determinando los valores en que cada factor es cero, estos puntos determinarán los límites de los intervalos en la recta

numérica.

4. Seleccionar un punto o valor de prueba en cada intervalo para determinar el signo en

cada intervalo.

5. La solución la conforman todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea cierta. La

solución se puede expresar de distintas formas: como intervalo, como conjunto y

gráficamente.

4.9 PROBLEMAS RESUELTOS DE DESIGUALDADES DE ORDEN SUPERIOR


Solución: Escribimos la desigualdad en su forma general

Factorizamos el polinomio por y se nos forma un trinomio

Factorizamos el trinomio y buscamos los ceros del

polinomio.

Buscando los puntos o valores críticos del polinomio:

Luego los puntos o valores críticos del polinomio son:

Formamos una tabla, para analizar el polinomio, así:

IntervalosValor de prueba

Polinomio evaluado en el valor de prueba

Como la solución estará conformada por todos los intervalos que hacen que la desigualdad

sea cierta, tendremos que:

Otra manera es resolverla, de igual forma como si fuese una desigualdad cuadrática:


15

Solución: Observe que está desigualdad no es cuadrática, pero se resuelve como si lo fuese,

aplicando el siguiente procedimiento:





- - - -- + -

+ + - -+ + +


Solución: Factorizamos el polinomio por y se nos forma un trinomio

Factorizamos el trinomio y buscamos los ceros del

polinomio







16



y la gráfica es:

Otra manera es resolverla, de igual forma como si fuese una desigualdad cuadrática:

Solución: Observe que está desigualdad no es cuadrática, pero se resuelve como si lo fuese,

aplicando el siguiente procedimiento:





- - - -- + -

+ + - -+ + +


Solución: Escribimos la desigualdad en su forma general. Luego,

como el polinomio es de orden , utilizaremos la división sintética o la regla de Ruffini. Como los divisores de 16 son: , podemos aplicar la regla una vez y el

trinomio resultante se factoriza, de manera que el polinomio nos quedará:




17






y la gráfica es:


Solución: Escribimos la desigualdad en su forma general. Luego, como

el polinomio es de orden , utilizaremos la división sintética o la regla de Ruffini. Como los divisores de 5 son: , podemos aplicar la regla una vez:

y el trinomio resultante se factoriza, de manera que el polinomio

nos quedará:









18


Solución: Es una expresión que ya está factorizada, luego

buscando los puntos o valores críticos del polinomio:





Como la solución estará conformada por todos los intervalos que hacen que la desigualdad sea

cierta, por lo que: y la gráfica es:

Otra forma para resolver esta desigualdad, es tratarla como si fuese una desigualdad polinómica

de segundo grado, es decir, una desigualdad cuadrática.

Solución: observe que es una expresión que ya está factorizada:






19

- + - + + + -

+ + -

+ + + +


Solución: trabajamos la expresión, llevándola a su forma general y luego aplicamos

factorización así:

Entonces tendrá dos factores, luego buscando los puntos

o valores críticos del polinomio:





Como la solución estará conformada por el intervalo que hacen que la desigualdad sea cierta, es

decir: y la gráfica es:

Otra forma para resolver , es tratarla como si fuese una desigualdad polinómica de

segundo grado, es decir, una desigualdad cuadrática.

Solución:

Entonces, busquemos los puntos críticos:


20



- - ++ -

+ + +


Solución: Es una expresión que ya está factorizada, luego

buscando los puntos o valores críticos del polinomio:






cierta, es decir: y la gráfica es:


21


Solución: Es una expresión que ya está factorizada, luego buscando

los puntos o valores críticos del polinomio:






cierta, es decir: y la gráfica es:

PRÁCTICA N°2TEMA: LAS DESIGUALDADES POLINOMIALES O DESIGUALDADES POLINÓMICAS

I Resuelve las siguientes desigualdades polinómicas o desigualdades de orden superior y

expresar los resultados en notación de intervalo, y hacer la gráfica:

1) 7)

2) 8)

3) 9) Material de Álgebra. Preparado por la Profa. Xenia Batista para los estudiantes de 12° del I. P. T. V.

22

4) 10)

5) 11)

6) 12)


23

las desigualdades lineales · web viewii resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas o...

Documents