Desigualdades lineales con dos variables

Dirección de Formación Básica.

Habilidades a desarrollar:Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de:1) Representar gráficamente una desigualdad

lineal con dos variables2) Resolver un sistemas de desigualdades

lineales con dos variables.

Desigualdades lineales con dos variables

Desigualdades lineales con dos variables

Problema motivador:

¿Es posible encontrar la solución del sistema de desigualdades lineales?

Desigualdades lineales con dos variables

Grafica de una desigualdad.

Un par ordenado de números reales es una solución de una desigualdad lineal

en y , si la sustitución y satisface la desigualdad.

Por ejemplo, el par ordenado es una solución de ya que

Sin embargo, el par ordenado no es solución de puesto que

Cuando hemos encontrado todas las soluciones hemos resuelto la desigualdad.

Desigualdades lineales con dos variables

La grafica de una desigualdad lineal en y consiste en todos los pares que son

soluciones de la desigualdad. Generalmente, la gráfica de una desigualdad que

incluye a dos variables es una región en el plano coordenado.

Por ejemplo, el punto está en la gráfica de la recta , pero no es una solución de . Un punto debajo de la recta está en la gráfica de ; los puntos situados por arriba de la recta no lo están. La gráfica de es el conjunto de todos los puntos debajo de la recta . La gráfica de la recta es la frontera de la región.

𝑥

𝑦

Solución de

Desigualdades lineales con dos variables

Pasos para dibujar la grafica de una desigualdad

1. Dibuje la gráfica de la ecuación obtenida reemplazando el

signo de desigualdad por un signo igual. Si la desigualdad

es o , utilice una recta discontinua (punteada). Utilice una

recta sólida si la desigualdad es o .

2. Compruebe un punto en cada una de las regiones del

plano determinado por la gráfica de la ecuación. Si el

punto satisface la desigualdad, entonces sombree la

región que contiene al punto.

Desigualdades lineales con dos variables

Ejemplo 1. Dibuje la gráfica de .

ResoluciónPaso 1. Debido al signo “”, la gráfica de la recta es parte de la gráfica de la desigualdad y debe dibujarse con una línea continua.

Paso 2. El punto está por arriba de la recta y satisface la desigualdad ya que . Por tanto, la gráfica de consiste en todos los puntos en o arriba de la recta .

𝑥

𝑦

𝑥

𝑦

Desigualdades lineales con dos variables

Nota. La gráfica de la desigualdad lineal , , o es un semiplano. La grafica de la

recta es la frontera de la región.

Ejemplo 2. Dibuje la gráfica de .

ResoluciónPaso 1. Al reemplazar “” por “”, obtenemos la ecuación , cuya gráfica es una recta vertical continua (ya que la desigualdad es “”).

Paso 2. La grafica de es el conjunto de todos los puntos en a la derecha de la recta vertical .

Desigualdades lineales con dos variables

Paso 1. Al reemplazar “” por “”, obtenemos la ecuación , cuya gráfica es una recta horizontal discontinua (ya que la desigualdad es “<”)

Paso 2. La grafica de es el conjunto de todos los puntos debajo de la recta horizontal discontinua .

Ejemplo 3. Dibuje la gráfica de .

Resolución

Desigualdades lineales con dos variablesEjemplo 4. ¿Es posible encontrar la solución del sistema de desigualdades lineales

?Resolución

Paso 1. Resolveremos

Paso 2. Resolveremos

Paso 3. Ubicamos ambas regiones en el mismo plano y procederemos a seleccionar la región común

Desigualdades lineales con dos variablesEjemplo 5. ¿Es posible encontrar la solución del sistema de desigualdades lineales

?Resolución

Paso 1. Resolveremos

Paso 2. Resolveremos

Paso 3. La desigualdades y implican que debemos ubicar la región común en el primer cuadrante.

Desigualdades lineales con dos variablesEjemplo 6. Determine algún sistema de inecuaciones cuyo conjunto solución pueda graficarse tal como se muestra

Resolución

• Para la recta vertical , la desigualdad buscada es

• Para la recta horizontal , la desigualdad buscada es

• Para la recta oblicua , tomamos el punto que pertenece a la región y se obtiene que , por tanto queda que

• Para la recta oblicua , tomamos el punto que pertenece a la región y se obtiene que , por tanto queda que

Por tanto, el sistema de desigualdades es

{ 𝑥≥3𝑦 ≤5

3 𝑥−4 𝑦 ≤182 𝑥+3 𝑦 ≥12

Desigualdades lineales con dos variablesConclusiones

Una desigualdad con dos variables, consiste en dibujar el semiplano que cumpla la desigualdad.

Desigualdades lineales con dos variablesBibliografía• [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración.

Ed 5. México, D.F. Pearson. • [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y

Economía. Ed 12. Pearson Educación.