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Derivadas sucesivas o derivadas de orden superior
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función polinomial entonces las derivadas sucesivas de la función 𝑓 se representan como:
Orden Notación
Primera 𝑓′ 𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑥!
Segunda 𝑓′′ 𝑥 𝑑!𝑦𝑑𝑥!
𝜕!𝑦𝜕𝑥!
Tercera 𝑓′′′ 𝑥 𝑑!𝑦𝑑𝑥!
𝜕!𝑦𝜕𝑥!
Cuarta 𝑓!! 𝑥 𝑑!𝑦𝑑𝑥!
𝜕!𝑦𝜕𝑥!
… … … …
n-‐ésima 𝑓(!) 𝑥 𝑑!𝑦𝑑𝑥!
𝜕!𝑦𝜕𝑥!
Ejemplo: Calcule la derivada sucesivas de la función a) 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 𝑥! Solución:
𝑓! 𝑥 = 4𝑥! + 3𝑥! 𝑓!! 𝑥 = 12𝑥! + 6𝑥 𝑓!!! 𝑥 = 24𝑥! + 6 𝑓!! 𝑥 = 48𝑥 𝑓! 𝑥 = 48 𝑓!! 𝑥 = 0
Como podemos darnos cuenta; una función polinomial f de grado n a lo mas tiene n + 1
derivadas y todas las demás derivadas son iguales a cero Ejemplo: Calcule la derivada sucesivas de la función b) 𝑓 𝑥 = 𝑒!! Solución:
𝑓! 𝑥 = 𝑒!! 5 = 5𝑒!!
𝑓!! 𝑥 = 5𝑑𝑑𝑥 𝑒!! = 5 5 𝑒!! = 5!𝑒!!
𝑓!!! 𝑥 = 5!𝑑𝑑𝑥 𝑒!! = 5! 5 𝑒!! = 5!𝑒!!
De esta manera; podemos notar que hay un patrón, entonces vemos que: 𝑓! 𝑥 = 5!𝑒!!
A este ultimo termino se le conoce como termino general de las derivadas sucesivas de f Ejemplo: Obtenga el termino general de las derivadas sucesivas de la función
c) 𝑓 𝑥 =6𝑥 + 34𝑥 + 5
Solución:
𝑓! 𝑥 =30− 124𝑥 + 5 ! =
184𝑥 + 5 !
𝑓!! 𝑥 =18 2 4𝑥 + 5 4
4𝑥 + 5 ! ! =18 2 44𝑥 + 5 !
𝑓!!! 𝑥 =18 2 3 4𝑥 + 5 ! 4 4
4𝑥 + 5 ! ! =18 2 3 4!
4𝑥 + 5 !
𝑓!! 𝑥 =18 2 3 4 4𝑥 + 5 ! 4! 4
4𝑥 + 5 ! ! =18 4! 4𝑥 + 5 ! 4!
4𝑥 + 5 ! =18 4! 4!
4𝑥 + 5 !
De esta manera; notamos que hay el patrón para determinar las derivadas es:
𝑓! 𝑥 =18 𝑛! 4!!!
4𝑥 + 5 !