Leccion 15: Derivadas parciales

de orden superior

Introduccion al Calculo Infinitesimal

I.T.I. Gestion

Derivadas parciales de segundo orden

f : R2 → R funcion de dos variables

Las derivadas parciales de f son tambien

funciones de dos variables:

∂f

∂x,∂f

∂y: R2 → R

Derivadas parciales de segundo orden

f : R2 → R funcion de dos variables

Las derivadas parciales de f son tambien

funciones de dos variables:

∂f

∂x,∂f

∂y: R2 → R

Podemos estudiar las derivadas parciales

(respecto de x y respecto de y) de∂f

∂x,∂f

∂y

Derivadas parciales de segundo orden

Derivadas parciales de segundo orden

f : R2 → R,∂f

∂x: R2 → R

Derivada parcial segunda de f respecto de x dos veces:

∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2

Derivadas parciales de segundo orden

f : R2 → R,∂f

∂x: R2 → R

Derivada parcial segunda de f respecto de x dos veces:

∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2

Derivada parcial segunda de f respecto de x y respecto de y:

∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x ∂y

Derivadas parciales de segundo orden

f : R2 → R,∂f

∂y: R2 → R

Derivada parcial segunda de f respecto de y dos veces:

∂

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2

Derivadas parciales de segundo orden

f : R2 → R,∂f

∂y: R2 → R

Derivada parcial segunda de f respecto de y dos veces:

∂

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2

Derivada parcial segunda de f respecto de y y respecto de x:

∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y ∂x

Calculo de las derivadas parciales de segundo orden

f : R2 → R

- Si∂f

∂x,∂f

∂ytienen expresiones diferenciables,

se puede derivar directamente respecto de x y respecto de y

Calculo de las derivadas parciales de segundo orden

f : R2 → R

- Si∂f

∂x,∂f

∂ytienen expresiones diferenciables,

se puede derivar directamente respecto de x y respecto de y

Ejemplo: f (x, y) = cos(x2 ey)

Calculo de las derivadas parciales de segundo orden

f : R2 → R

- Si∂f

∂x,∂f

∂yvienen dadas por funciones a trozos →

definicion de derivada parcial (puntos conflictivos)

Ejemplo: f (x, y) =

x4+y4

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

∂f

∂x(x, y) =

2x5+4x3y2−2xy4

(x2+y2)2, (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

Derivadas parciales de segundo orden

f : R2 → R

1. Hay en total cuatro derivadas parciales segundas de f

Derivadas parciales de segundo orden

f : R2 → R

1. Hay en total cuatro derivadas parciales segundas de f

2. El orden es importante:∂2f

∂x ∂y6= ∂2f

∂y ∂xen general

Derivadas parciales de segundo orden

f : R2 → R

1. Hay en total cuatro derivadas parciales segundas de f

2. El orden es importante:∂2f

∂x ∂y6= ∂2f

∂y ∂xen general

Ejemplo: f (x, y) =

x yx2−y2

x2+y2 , (x, y) 6= (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

∂2f

∂y ∂x(0, 0) = −1,

∂2f

∂x ∂y(0, 0) = 1

Derivadas parciales de orden superior

f : R2 → R, (a, b) ∈ R2

Conclusion: Las derivadas parciales cruzadas segundas

∂2f

∂x ∂y(a, b),

∂2f

∂y ∂x(a, b) no siempre van a coincidir.

Derivadas parciales de orden superior

f : R2 → R, (a, b) ∈ R2

Conclusion: Las derivadas parciales cruzadas segundas

∂2f

∂x ∂y(a, b),

∂2f

∂y ∂x(a, b) no siempre van a coincidir.

(pueden ser distintas incluso si f es diferenciable en (a, b))

Teorema de Schwarz (Igualdad de las derivadas cruzadas):

f : R2 → R, (a, b) ∈ R2

- Existen∂f

∂x,∂f

∂y,

∂2f

∂x ∂yen un entorno de (a, b)

-∂2f

∂x ∂yes continua en (a, b)

⇒

⇒ Existe∂2f

∂y ∂x(a, b) y

∂2f

∂x ∂y(a, b) =

∂2f

∂y ∂x(a, b)

Teorema de Schwarz (Igualdad de las derivadas cruzadas):

f : R2 → R, (a, b) ∈ R2

- Existen∂f

∂x,∂f

∂y,

∂2f

∂x ∂yen un entorno de (a, b)

-∂2f

∂x ∂yes continua en (a, b)

⇒

⇒ Existe∂2f

∂y ∂x(a, b) y

∂2f

∂x ∂y(a, b) =

∂2f

∂y ∂x(a, b)

Nota: No se cumple el recıproco.

Derivadas parciales de orden superior

f : R2 → R funcion de dos variables

Derivadas parciales de tercer orden, de cuarto orden,. . .

∂

∂x

(∂2f

∂x2

)=

∂3f

∂x3

Derivadas parciales de orden superior

f : R2 → R funcion de dos variables

Derivadas parciales de tercer orden, de cuarto orden,. . .

∂

∂x

(∂2f

∂x2

)=

∂3f

∂x3

∂

∂y

(∂2f

∂x2

)=

∂3f

∂x2 ∂y

Derivadas parciales de orden superior

f : R2 → R funcion de dos variables

Derivadas parciales de tercer orden, de cuarto orden,. . .

∂

∂x

(∂2f

∂x2

)=

∂3f

∂x3

∂

∂y

(∂2f

∂x2

)=

∂3f

∂x2 ∂y

∂

∂x

(∂2f

∂x ∂y

)=

∂3f

∂x ∂y ∂x

Derivadas parciales de orden superior

f : R2 → R funcion de dos variables

Derivadas parciales de tercer orden, de cuarto orden,. . .

∂

∂x

(∂2f

∂x2

)=

∂3f

∂x3

∂

∂y

(∂2f

∂x2

)=

∂3f

∂x2 ∂y

∂

∂x

(∂2f

∂x ∂y

)=

∂3f

∂x ∂y ∂x. . .

Ejercicios:

f (x, y) = ex (x + y). Calcular∂nf

∂xn(x, y).

f (x, y) = ex (x2 + y). Calcular∂nf

∂xn(x, y).

f (x, y) =−x

y. Calcular

∂nf

∂yn(x, y).

f (x, y) = ex ey. Calcular∂2nf

∂xn∂yn(x, y).

f (x, y) = ex e2 y. Calcular∂m+nf

∂xm∂yn(x, y).