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PROFESORADO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA EN MATEMÁTICA
INGRESO 2019
COORDINADORA: PROF. NÉLIDA ARRIETA
Equipo:
Prof. Viviana Romero
Prof. Juan Crespo
Prof. Graciela Zarzavilla
INTRODUCCIÓN
El sentido de este curso introductorio es el de revisar y resignificar las nociones básicas de
Matemática estudiadas en la escuela secundaria para poder comenzar a transitar el Profesorado. Sobre
esta idea, las actividades planteadas tienden a que los futuros ingresantes detecten, hagan uso y
complejicen las capacidades desarrolladas, ante el planteo de diversas situaciones problemáticas de
contenido disciplinar.
El presente cuadernillo está organizado en tres partes:
1° Parte: en la que se trabajará el significado de estudiar en el Nivel Superior, los diferentes
estilos de aprendizaje y estrategias para lograr un estudio consciente y eficaz. Cómo prepararse para
los exámenes, reflexionando sobre la situación personal de cada estudiante, advirtiendo las
modificaciones que tendrían que realizar, si fuesen necesarias.
2º Parte: integrada por diversas y variadas situaciones problemáticas de aplicación e
integración, que le permitirán aplicar conceptos sobre conjuntos numéricos, expresiones algebraicas,
ecuaciones, geometría y trigonometría y de estadística.
3° Parte: encontrará los conceptos necesarios para desarrollar las actividades propuestas, con
ejemplos en cada uno de los temas.
Gracias a los profesores Graciela Zarzavilla, Viviana Romero y Juan Crespo, que colaboraron
con la selección de las situaciones problemáticas propuestas en el cuadernillo y sistematización de la
teoría que aparecen en este material de apoyo.
GRACIAS
Contenido
AMBIENTACIÓN INSTITUCIONAL ......................................................................................................................... 2
PRESENTACIÓN PERSONAL .............................................................................................................................. 3
INTENCIONALIDADES EDUCATIVAS ................................................................................................................. 4
Breve Referencia al Nivel Superior .................................................................................................................. 5
A-El proceso de elección vocacional. ............................................................................................................... 5
B- ¿Qué significa ser estudiante de nivel superior en el siglo XXI? ................................................................. 7
C- Definición de metas. ¿A dónde quiero llegar? ¿Qué quiero alcanzar? ....................................................... 7
D- Hábitos de estudio ...................................................................................................................................... 8
E- Estilos de Aprendizaje .................................................................................................................................. 8
F. CARACTERÍSTICAS DE LOS ESTILOS DE APENDIZAJE .................................................................................... 9
G- Organizarse antes de empezar. ................................................................................................................. 11
Plan de trabajo semanal…. ............................................................................................................................. 11
Plan de trabajo a largo plazo ......................................................................................................................... 12
H- Preparación de los exámenes. .................................................................................................................. 12
MÓDULO 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS .............................................................................................................. 14
MÓDULO 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS .......................................................................................................... 18
MÓDULO 3: ECUACIONES .................................................................................................................................. 21
MÓDULO 4: FUNCIONES .................................................................................................................................... 22
MÓDULO 5: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA ................................................................................................... 24
MÓDULO 6: ESTADÍSTICA .................................................................................................................................. 30
MÓDULO 1: CONJUNTOS NUMÉRICO ................................................................................................................ 33
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N) ........................................................................................ 34
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z) ............................................................................................. 39
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q) ....................................................................................... 45
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES (I) ..................................................................................... 54
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R) ................................................................................................ 55
LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL POSITIVO. ............................................................................................. 61
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS (C) ........................................................................................ 62
MÓDULO 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS .......................................................................................................... 66
MONOMIO ..................................................................................................................................................... 67
POLINOMIOS .................................................................................................................................................. 69
FACTORIZACION DE POLINOMIOS ................................................................................................................. 74
MODULO 3: ECUACIONES .................................................................................................................................. 77
ECUACIÓN POLINÓMICA DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ............................................................ 79
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO ............................................................................ 80
ECUACIÓN POLINÓMICA DE SEGUNDO GRADO ............................................................................................ 83
ECUACIONES EXPONENCIALES ....................................................................................................................... 85
ECUACIONES LOGARÍTMICAS......................................................................................................................... 87
MODULO 4: FUNCIONES .................................................................................................................................... 88
FUNCIONES POLINOMICAS ............................................................................................................................ 94
FUNCIÓN POLINOMICA DE 1°GRADO O FUNCIÓN AFIN ................................................................................ 95
FUNCIÓN POLINÓMICA DE 2°GRADO O FUNCIÓN CUADRATICA .................................................................. 96
FUNCION EXPONENCIAL ................................................................................................................................ 97
FUNCIÓN LOGARÍTMICA .............................................................................................................................. 100
MODULO 5: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA ................................................................................................. 102
PUNTO, RECTA, PLANO Y ESPACIO .............................................................................................................. 102
GEOMETRÍA DEL PLANO .............................................................................................................................. 103
RECTAS EN UN PLANO ................................................................................................................................. 103
ÁNGULO ....................................................................................................................................................... 104
MEDICIÓN DE ÁNGULOS .............................................................................................................................. 105
TIPOS DE ÁNGULOS ...................................................................................................................................... 106
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS SECANTES ................................................................................................... 107
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE ....................................................................... 108
TRIÁNGULOS ................................................................................................................................................ 109
TEOREMA DE PITÁGORAS ............................................................................................................................ 110
POLÍGONOS: ................................................................................................................................................. 111
CUADRILÁTEROS .......................................................................................................................................... 111
FIGURAS CIRCULARES: ................................................................................................................................. 112
CÍRCULO ....................................................................................................................................................... 113
PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS PLANAS .................................................................................................... 114
TRIGONOMETRÍA ......................................................................................................................................... 115
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ..................................................................................................................... 115
MODULO 6: ESTADÍSTICA ................................................................................................................................ 120
Variables discretas. Carácter cuantitativo discreto. .................................................................................... 122
Variables continuas. Carácter cuantitativo continuo. ................................................................................. 123
Ordenación de datos. ................................................................................................................................... 123
Tabulación para variable discreta. ............................................................................................................... 123
Tabulación para variables contínuas ........................................................................................................... 124
GRÁFICOS PARA VARIABLES ESTADÍSTICAS ................................................................................................. 126
Análisis y medición de datos ........................................................................................................................ 128
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COMENZAMOS…
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AMBIENTACIÓN INSTITUCIONAL
Estimado aspirante:
A través de la presente las autoridades del Instituto 9-002 Normal
Superior, la coordinadora del Profesorado de Educación Secundaria en Matemática y el equipo de profesores te
dan la BIENVENIDA. Hoy abrimos las puertas para ofrecerte la orientación que requieras en un espacio para
que te desempeñes como exitoso estudiante y te formes como futuro profesional de la educación.
Tus logros y sueños son aspectos que tendremos en cuenta para
considerarte miembro de esta gran institución, expresándote que nos sentimos orgullosos de que nos hayas
elegido. Son valores que compartimos el compromiso y la confianza, el respeto y el sostenido esfuerzo por la
formación de docentes que atiendan a las necesidades de estos tiempos.
Esperamos contar con tu permanente cooperación responsable en las actividades académicas y del
quehacer diario, necesarias para el fortalecimiento de la convivencia, del clima institucional, del sentido de
pertenencia de nuestros estudiantes y que se hará extensiva a tu vida profesional.
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PRESENTACIÓN PERSONAL
NOMBRE Y APELLIDO: --------------------------------------------------------------------------------------------------
EDAD:_______FECHA DE NACIMIENTO:__________
¿Por qué te interesa estudiar para ser Profesor/a de Matemática?
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TRAYECTORIA EDUCATIVA
- Escuela primaria: --------------------------------------------------------------------------------------------------
− Escuela secundaria: -----------------------------------------------------------------------------------------------------
− Año de finalización de Secundaria____ ¿Repetiste algún año? ¿Cuál? _____________________
- Menciona las materias o áreas en las que no presentabas dificultades ------------------------------------------------
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
− Menciona las materias o áreas que más te costaban o presentabas dificultad: --------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
− Iniciaste antes alguna otra carrera de nivel superior: Sí - No
− ¿Cuál?________________________________________________________________________
− ¿La completaste? Sí No
− Si tu respuesta fue No. ¿Qué motivó el cambio?:
_______________________________________________________________________________
− ¿Has realizado otros cursos?
Idiomas:________________________________________________________________________
Computación: ___________________________________________________________________
− ¿Y otras actividades en forma sistemática?
Deportes: _______________________________________________________________________
Actividades manuales:_____________________________________________________________
Actividades musicales:_____________________________________________________________
Otras:__________________________________________________________________________
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INTENCIONALIDADES EDUCATIVAS
• Identificar y utilizar en esta etapa las capacidades disciplinares y generales desarrolladas en
instancias formativas previas.
• Introducirse en el conocimiento de las normas académicas, administrativas y legales, presentes
en la educación de nivel superior.
• Aprender a priorizar metas y trazar un sistema estratégico de actividades que permitan al
estudiante realizar un exitoso ingreso al Profesorado de Educación Secundaria en Matemática.
I- SABERES
• El nivel superior hoy. Breve referencia al Nivel Superior.
• Estudiar en el nivel superior.
• El proceso de elección vocacional. Factores intervinientes.
• ¿Qué significa ser estudiante de nivel superior en el siglo XXI?
• Hábitos de Estudio. Estrategias de aprendizaje.
• Estilos de aprendizaje. Caracterización de diferentes estilos.
• Organización del tiempo. Plan de trabajo.
• Preparación de los exámenes.
II- ACTIVIDADES
• Reflexión personal y grupal.
• Dinámicas de presentación y autoconocimiento.
• Revisión de estilos y estrategias de aprendizaje.
III- INDICADORES MÍNIMOS DE LOGROS ESPERABLES PARA LA ELABORACIÓN
DE UN INFORME INTEGRADOR:
• Presentar un informe escrito y personal evidenciando reflexión y aotoevaluación de su situación
como estudiante.
• Desarrollar el informe integrador con una secuencia argumentativa breve.
• Incluir en el informe las estrategias de aprendizaje utilizadas habitualmente, organización del
tiempo y revisión de estos.
• Incluir en el informe los ajustes necesarios para optimizar hábitos de estudio y organización
del tiempo.
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Breve Referencia al Nivel Superior
La Ley de Educación Nacional Nº 26.206 define en su artículo 71 que:
"La formación docente tiene la finalidad de preparar profesionales capaces de enseñar, generar y
transmitir los conocimientos y valores necesarios para la formación integral de las personas, el desarrollo
nacional y la construcción de una sociedad más justa. Promoverá la construcción de una identidad docente
basada en la autonomía profesional, el vínculo con la cultura y la sociedad contemporánea, el trabajo en
equipo, el compromiso con la igualdad y la confianza en las posibilidades de aprendizaje de los/as
alumnos/as".
“La Educación y la Formación Docente son temas de debate permanente, más aún en la actualidad
frente a las profundas transformaciones que se producen en la sociedad y que se reflejan en la escuela.
Reformular la formación docente implica tener en cuenta las características de los niños y jóvenes de hoy, la
actualización de los contenidos, el fortalecimiento de vínculos positivos, la necesaria articulación con la realidad
educativa de los distintos niveles para los que se forman los docentes, el desarrollo de la responsabilidad frente
a los desafíos educativos, el cuidado de la salud, y el impacto de las nuevas tecnologías en la educación, entre
otros aspectos”
( DC- DGE- Mendoza).
¿Qué significa estudiar en el Nivel Superior?
A-El proceso de elección vocacional.
La elección vocacional es una expresión de la propia persona y el resultado de un proceso de búsqueda.
Elegir una carrera no es un tema fácil, implica tomar una decisión. ¿Qué estudiar, a qué me dedicaré
en el futuro o cómo me veo en unos años más?, son preguntas que los jóvenes se hacen hacia los 17 o 18 años.
Éstas tienen que ver con la “vocación” y muchas veces nos preguntamos ¿qué es y cómo se descubre la propia?
La vocación (del latín: vocāre; llamar) es el deseo de emprender una carrera, profesión o cualquier otra
actividad cuando todavía no se han adquirido todas las aptitudes o conocimientos necesarios.
En ese sentido, la elección vocacional es una expresión de la personalidad, es una decisión que se relaciona
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con la identidad de cada uno. Por lo tanto, a mayor conciencia de los propios intereses y habilidades, más
cerca se va a estar de acertar en una futura elección profesional.
La elección es a largo plazo, la carrera elegida va a constituir parte de un estilo de vida. Desde este punto de
vista los estudios son un medio y no un fin en sí mismos. Este concepto es muy importante al momento de
reflexionar sobre esta temática, no mirar sólo el corto plazo y disculparse si uno se equivoca en el proceso de
elección.
Ahora bien, en este taller cuando hablamos de vocación, nos estamos refiriendo a la “vocación docente”,
la docencia es una profesión noble y enriquecedora para quien la ama verdaderamente, a ella no se puede acceder
valorándola sólo por tener un título profesional o un sueldo más o menos seguro.
El educador con verdadera vocación, toma conciencia de que tiene en sus manos la formación de los futuros
ciudadanos de un país y su tarea será enseñarles a amar, respetar y mejorar su contexto, convirtiéndose en
ejemplo a seguir.
El mejor maestro no es el que lo sabe todo o el que tiene la mayor cantidad de títulos, sino aquel que
está pendiente de los demás, que ve sus necesidades, es una persona con ilusión por el saber, por aprender, que
le gusta estudiar, valora el conocimiento, sabe trabajar en grupo, escuchar a los demás, repensar lo que hace
para mejorarlo, entre otras cualidades. Fernandez (2005) afirma que, la vocación es una invitación a
comprometernos a ser fieles a nuestra propia vida y a la vida en comunidad, permitiendo y respetando el
desarrollo de la vida del otro.
Pero retomemos el tema de la decisión, ésta es responsabilidad de quien la toma y no de quien ayuda a
tomarla, bien sea un orientador vocacional, el maestro o profesor, o un familiar, como los padres. Al respecto,
se recomienda en primer lugar, escuchar la “voz interna”, dejar de atender presiones ajenas e intentar descubrir
qué es lo que realmente nos gusta, cuáles son nuestros sueños y en qué áreas nos vemos
desarrollando nuestros talentos.
En segundo lugar, tomar decisiones de cualquier tipo siempre se da bajo condiciones de incertidumbre, es decir,
supone ciertos riesgos porque la persona se puede equivocar y muchas veces no puede controlar todos los
factores involucrados.
En tercer lugar, para hacer una elección adecuada es necesario recolectar la mejor y mayor información
posible, evaluar la misma y analizarla, tomando una actitud activa de búsqueda.
Factores intervinientes en el proceso de elección.
Internos: ¿cómo soy?, ¿quién soy?, ¿cuáles son mis cualidades? cuáles son mis intereses? cuáles son
mis aptitudes?
Externos: relaciones con la familia, los amigos, organización del plan de estudios, factores económicos,
etc.
Reflexión personal sobre lo trabajado.
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B- ¿Qué significa ser estudiante de nivel superior en el siglo XXI?
El estudiante de nivel superior del siglo XXI, además de capacitarse en el desarrollo de competencias
relacionadas con la aplicación y profundización de diferentes estrategias de aprendizaje, es necesario que:
• Desarrolle el pensamiento crítico y la creatividad; el compromiso responsable en las decisiones
que toma; el sentido estético y afectivo; la capacidad de plantearse y resolver problemas; habilidades
comunicativas orales y escritas.
• Integre al proceso de estudio las tecnologías emergentes.
• Sea emprendedor independiente, perseverante y autocrítico.
• Manifieste actitudes de colaboración y negociación para trabajar con otros.
• Tenga capacidad de empatía.
• Se adapte a los cambios y a los contextos de incertidumbre.
• Pueda aprender a aprender
C- Definición de metas. ¿A dónde quiero llegar? ¿Qué quiero alcanzar?
Definir la propia meta, proponerse una meta, es darle sentido al trabajo y estímulo al esfuerzo.
¿Existe algún estudiante cuya meta no sea pasar satisfactoriamente sus exámenes?
La respuesta es obvia: no. Pero sabemos que existen muchos estudiantes que realizan esfuerzos enormes
sin llegar a tener éxito. Otros que obtienen notas excelentes pero que podrían haber llegado a los mismos
resultados sin tanto desgaste…. Gran parte depende de las estrategias para estudiar y aprender.
Ninguna actividad humana es concebible sin un propósito. Es la finalidad lo que da a la acción su propio
sentido y le imprime una dirección determinada.
La capacidad de estudio, así como la capacidad para resolver cualquier problema que se presenta en la
vida, mejora notablemente cuando se formulan con claridad las metas que se desean alcanzar.
Las metas son claras representaciones de lo que se quiere lograr. Nuestra “computadora interior”,
nuestro cerebro, responde a determinados controles: las representaciones mentales de lo que se desea lograr.
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D- Hábitos de estudio
Muchas veces nos preguntamos cuáles son las causas del fracaso en
los estudios. Nos pasamos horas y horas estudiando y no rendimos,
olvidamos lo que aprendemos, creemos que llevamos bien preparado un
examen y a la hora de hacerlo, comprobamos que no es así.
La mayoría de las veces ocurre esto porque no sabemos estudiar, no
tenemos adecuadas estrategias de aprendizaje.
Condiciones de estudio eficaz.
Estudiar supone condiciones personales o Internas y de Contexto o externas.
Condiciones Internas se refieren a los- aspectos psicológicos como la voluntad para estudiar, el
esfuerzo en la actividad, la madurez, las habilidades cognitivas: comprender, comparar, clasificar, analizar,
atender, etc. También están incluidas en las condiciones internas: la organización del tiempo y los hábitos y
técnicas de estudio.
Aspectos físicos como la salud, el adecuado descanso, las horas de sueño, mantener una adecuada
postura para estudiar y sostener una adecuada alimentación.
Condiciones Externas se refieren al -ambiente donde se estudia: orden, ventilación, iluminación,
silencio, elementos distractores, elementos de trabajo, mobiliario.
- entorno para estudiar: modos de estudio individual y/o grupal.
- contenido de estudio: claro, ordenado, completo.
E- Estilos de Aprendizaje
Cada persona tiene su manera preferida de aprender y aprendemos de modos diversos. Algunas
personas responden desde el punto de vista auditivo, ante los sonidos y palabras pronunciadas, mientras que
otros necesitan ver un diagrama visual o un dibujo para comprender una idea; y también hay quienes aprenden
a través de su cuerpo, es decir, de forma kinestésica, gracias a una sensación muscular. Para ellos, la idea “se
mueve”.
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Cada uno de nosotros puede pensar que nuestra fuente de aprendizaje primaria es la auditiva, la visual
o la kinestésica, pero en realidad lo que sucede es que estamos utilizando todos estos sistemas de forma
simultánea; sin embargo, es cierto que somos más conscientes de uno de estos sistemas que del resto.
Reconocer tus preferencias te ayudará a comprender las fuerzas en cualquier situación de aprendizaje.
F. CARACTERÍSTICAS DE LOS ESTILOS DE APENDIZAJE
El aprendizaje visual
A pesar de ciertas variaciones, cerca de 40 a 50% de la población en general, prefiere el canal visual
como su primera modalidad de aprendizaje. Un alumno visual aprende mejor viendo el material a ser aprendido.
Algunas características descriptivas del que aprende visualmente son:
• necesita ver el material mientras lo escucha;
• necesita tener un libro abierto mientras el profesor enseña;
• puede aprender mejor leyendo el material que escuchando una clase sobre el mismo;
• usa marcadores, colores en sus apuntes, para recordar visualmente,
• puede mejorar el aprendizaje resumiendo el material de forma visual (cuadros, gráficos,
diagramas o dibujos)
• aprenderá fácilmente de películas, fotografías, videos, programas de computadoras, etc. por
otros medios que presenten el material visualmente.
• recuerda rostros, escenas, palabras escritas, lugares vistos,
• se distrae cuando hay desorden visual, movimiento en el ambiente,
• puede tener dificultades tomando notas en clase;
• necesita más atención a indicaciones orales que a las escritas.
El aprendizaje auditivo
Cerca del 15 al 20% de la población en general aprende auditivamente. Como escuchar es la primera
manera de aprender, el estudiante debería adecuarse para una metodología de enseñanza con estilo de
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conferencia, de exposición, de explicación, que es la que más se utiliza en el ámbito académico. Algunas
maneras de describir a este alumno auditivo es:
• aprende mejor escuchando las clases y anotando todo,
• mejorará su aprendizaje escuchando grabaciones, charlas, debates, exposiciones,
• le puede parecer que las clases que se apoyan más en libros que en disertaciones, son más difíciles,
• puede querer tratar de grabar el material, para memorizarlo escuchándolo una serie de veces,
• puede precisar prestar más atención a las instrucciones escritas que orales,
• le gusta el diálogo y los juegos de palabras, ignora los gráficos,
• mueve los labios, tararea mientras trabaja,
• recuerda nombres, olvida rostros, recuerda por repetición auditiva,
• se distrae fácilmente con sonidos,
• le gusta escuchar pero no puede esperar para hablar, le gusta oírse a sí mismo.
El aprendizaje físico-kinestésico
El estudiante kinestésico aprende moviendo tanto los músculos finos como los gruesos del esqueleto
mientras aprende. En la población en general hay aproximadamente 30 o 40 % de alumnos físicos.
Algunas descripciones de estos estudiantes son:
• el alumno se mueve constantemente, golpea el pie y/o el lápiz o la mano; se mueve en la mesa, se
hamaca en la silla sobre las patas traseras, mastica chicle, la lapicera o el lápiz durante la clase,
• aprende haciendo, moviéndose,
• no es bueno tomando notas, apuntes, debido a su inquietud durante la clase,
• tiende a distraerse con muchas cosas que lo rodean,
• tiende a encarar los problemas involucrándose físicamente, pareciendo ser por eso, muy impulsivo y
descontrolado,
• necesita movimiento para aprender,
• precisa atender a la clase con un lápiz o lapicera siempre a mano. Escribir es una salida para el
movimiento físico.
• Responde bien a la enseñanza con computadora, especialmente programas que tengan formato de juego.
Para reflexionar: ¿Cuál es tu estilo de aprendizaje? - Descríbete a ti mismo/a usando los ítems
enunciados anteriormente.
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G- Organizarse antes de empezar.
Un plan de estudios es una manera de organizar el tiempo para que rinda mejor.
La organización es uno de los elementos fundamentales a la hora de empezar a estudiar o a la hora de
preparar un examen, una exposición, una prueba, etc.
Muchos estudiantes se quejan de que se les “vuela el tiempo”. Lo que están expresando con esto es que
sus esfuerzos son desorganizados. No tienen claro cuál es el paso siguiente y dejan caer en el olvido temas que
son importantes para el logro de sus metas. Hacen “lo que les gusta” y se olvidan de “lo necesario”.
Hace falta un plan. Una organización del tiempo, tan clara y precisa que siempre se sepa cuándo hay
que trabajar, cuándo es necesario descansar o dedicarse a otra actividad. “Plan” nos permite organizar nuestros
esfuerzos para rendir al máximo en períodos de tiempo establecidos para el estudio, dejando también tiempo
libre para descansar, pasear, hacer deportes, actividades sociales etc.
Recuerda que el plan de trabajo ha de ser personal, realista, flexible, que posibilite modificaciones y
ajustes.
Antes de realizar la planificación del tiempo de estudio, sería bueno que reflexiones sobre el tiempo
que dedicas a cada una de las otras actividades que llevas a cabo durante la semana…
Plan de trabajo semanal….
Sería conveniente que te respondieras las siguientes preguntas con total sinceridad:
1-¿Existe/n alguna/s actividad/es que ocupe/n en exceso tu tiempo?
_____________________________________________________________________________
2- ¿Crees que dedicarías al estudio personal el tiempo necesario para obtener buenos resultados?
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
3- ¿Tendrías que realizar algún tipo de ajuste? ¿Cuál? ____________________________________________
________________________________________________________________________________________
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Un buen plan de trabajo semanal te ayudará a organizarte mejor y, por lo tanto, a disponer de más tiempo
para todo.
Plan de trabajo a largo plazo
Es necesario disponer de una planificación del estudio a largo plazo, en la que estén comprendidos los
trabajos, exámenes, y/o contenidos de la/s materias, repartidos convenientemente, con arreglo a una distribución
bien pensada en función de los plazos dados.
Las finalidades del plan de trabajo a largo plazo son:
• tener una visión global de lo que se va a realizar durante el mes;
• distribuir los temas para preparar un examen parcial y/o final que ya sabemos la fecha;
• dedicar el tiempo necesario a cada actividad, unidad, tema… sin que se amontonen y puedan realizarse
con la dedicación oportuna.
H- Preparación de los exámenes.
Los exámenes constituyen una parte importante en la vida del alumno, condicionan su futuro. Están
relacionados con el rendimiento, en este caso deberá ser satisfactorio, es decir, desplegar al máximo los talentos
que cada uno posee. Muchas veces los estudiantes sienten temor ante la situación de examen y para evitarlo, la
solución es ir bien preparado, haber estudiado lo suficiente.
Se trata de aprovechar el esfuerzo hecho y los conocimientos adquiridos para conseguir el máximo
rendimiento en el momento de la evaluación.
Orientaciones para la preparación de un examen
1- Antes: utilizar las estrategias y técnicas de estudio mencionadas. Realizar un buen estudio y un buen
repaso. Asistir a horas de consulta con el docente que tomará el examen con preguntas concretas.
2- El día anterior al examen: no aprender cosas nuevas, repasar normalmente o relajarse por completo,
tomar los recaudos necesarios (ropa, libros, esquemas, material de trabajo etc), fundamentalmente: descansar
bien. Reducir la ansiedad. Procurar la estabilidad emocional. Ensayar.
3- Durante el examen: dominar la situación, no basta con haber estudiado si los nervios nos pueden,
escuchar atentamente lo que el profesor pregunta, no adelantarse a la respuesta, hablar con precisión y claridad,
evitar muletillas. Si el examen es escrito, leer muy bien las consignas.
4- Luego del examen: reflexionar, realizar una autoevaluación, analizar los resultados y encontrar las
causas para mejorar si resultaron negativos.
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A RESOLVER!!!...
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MÓDULO 1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
Situación 1: Consideren el siguiente rectángulo para analizar cómo varía su área cuando varían sus
dimensiones:
6 cm
5 c
m
a) ¿Cuántos cm 2 disminuye su área si:
• El ancho se reduce 2 cm?
• El alto se reduce 2 cm?
• El ancho y el alto se reducen 2 cm?
b) Expresen cómo varía, en general, el área de un rectángulo de ancho a y de alto t cuando se reduce los
siguiente:
• El ancho, en n unidades.
• El alto, en m unidades.
• El ancho, en n unidades y el alto en m unidades.
Situación 2: Resuelvan lo pedido en los siguientes ítems:
a) En un dibujo, muestren cómo se modifica el área de un rectángulo de ancho a y alto t cuando el ancho
aumenta b unidades y el alto se reduce r unidades.
b) ¿Es posible determinar el resultado de (a+b) . (t-r) si solo se conocen los siguientes productos: b. r= 18,
b.t = 48, a.r =30 y a.t= 80? ¿Por qué?
c) Utilizando los productos que se indican en el ítem b., ¿cómo se puede determinar el valor de (a-b) . (t-
r)? ¿Y el de (r-t) . (b-a)?
Situación 3: Lucio y Jazmín investigan curiosidades numéricas con números de dos cifras. Lucio dice que,
si se elige un número cualquiera de dos cifras, se las invierte y luego se hace la resta entre ambos números de
dos cifras, la diferencia siempre es divisible por 9. Jazmín dice que, para que eso sea posible, la cifra de las
decenas tiene que ser mayor que la cifra de las unidades. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
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Situación 4: ¿Es posible encontrar un número entero t, de modo que al multiplicar un número entero
cualquiera por -t se obtenga el mismo número? ¿Por qué?
Situación 5: Indiquen para qué valores de m se verifica lo siguiente:
a) 5 + 2
𝑚 < 5
b) 5 + 2
𝑚+1 < 5
Situación 6: Encuentren tres expresiones decimales finitas y tres expresiones decimales periódicas
comprendidas entre los siguientes números:
Expresiones decimales finitas Expresiones decimales periódicas
-1 y 1
-3,2 y -1,4
−5
3 𝑦 −
1
6
Situación 7: Completen la línea punteada utilizando los símbolos <, > o =.
a) Si 0 < < 1 y n es natural: mn …….. 1
b) Si 0 < m < 1 y n es entero negativo: mn …….. 1
c) Si m > 1 y n es natural, mn …….. 1
d) Si m > 1 y n es entero negativo: mn …….. 1
Situación 8: Para calcular 245 . 1011 + 0,15 . 1013, Pedro dice que es muy simple hacerlo del siguiente modo:
(2,45 + 0,15) . 1013. ¿Está bien lo que dice Pedro? ¿Por qué?
Situación 9: La densidad de un cuerpo se define como el cociente entre la medida de su masa, M, y la de su
volumen, V. Supongan que la Tierra es una esfera de radio 6,4 . 106 m y, su peso 6.1027 g. Calculen su densidad.
Situación 10: El cuerpo humano tiene, aproximadamente, 5 litros de sangre. Aproximadamente, cada mm3
de sangre contiene 5 millones de glóbulos rojos y 7000 glóbulos blancos.
a) ¿Cuántos glóbulos rojos tiene, aproximadamente, el cuerpo humano? ¿Y glóbulos blancos?
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b) La forma de un glóbulo rojo se asimila a la de un cilindro cuya altura mide, aproximadamente 3µm
(micrones). Imaginando que se hace una pila con todos los glóbulos rojos del cuerpo humano, ¿qué altura
tendría, aproximadamente?
Situación 11: En un estacionamiento, los autos pagan $20 la hora, con fraccionamiento cada 15 minutos.
a) Si otra persona pagó $55 por el estacionamiento de su auto, ¿cuánto tiempo pudo haber estado
estacionado?
b) En el mismo estacionamiento, las camionetas pagan $25 la hora. Un auto y una camioneta estacionaron
durante la mañana y pagaron lo mismo, ¿cuánto tiempo estuvieron estacionados?
Situación 12: Con un tanque que contiene lavandina, se pueden llenar 8 bidones del tipo A o 12 bidones del
tipo B o 24 del tipo C.
a) ¿Qué fracción del total del tanque representa cada bidón?
b) ¿Con cuántos bidones del tipo C se puede llenar un bidón tipo B?
Situación 13: Josefina ocupó la tercera parte de su placard para ordenar sus pulóveres, del resto del
espacio utilizó la quinta parte para zapatos y el resto para carteras. ¿Qué fracción del espacio reservó para
carteras?
Situación 14: De 240 obras de arte, el 20% son esculturas, el 30% son pinturas y el resto son jarrones.
a) ¿Cuántas obras de arte son esculturas?
b) ¿Cuántas obras de arte son esculturas y pinturas?
c) ¿Qué porcentaje de las obras de arte no son pinturas?
d) ¿Qué porcentaje de las obras de arte son jarrones?
Situación 15: La tercera parte de una herencia fue para la esposa del difunto, dos tercios del resto fueron
para el hijo, y los $ 20.000 restantes se donaron a un hospital.
a) ¿De cuánto dinero era la herencia?
b) ¿Cuánto dinero recibieron la esposa y el hijo respectivamente?
17
Situación 16: Del disco rígido de una computadora, la 3
40 parte lo ocupa el sistema operativo;
3
20 ,
programas de juegos; 3
10 , archivos para trabajar y le queda un espacio libre de 38 GB.
a) ¿Qué fracción representa la parte ocupada del disco rígido?
b) ¿Qué fracción representa la parte libre del disco rígido?
c) ¿Es cierto que entre los programas de juegos y el sistema operativo ocupan la mitad del disco rígido?
Situación 17: De la producción total de alfajores de una fábrica, se vende a un negocio x la mitad más
trescientos alfajores. A un segundo negocio, se vende un tercio de lo que queda menos doscientos
alfajores. Al tercero, un cuarto de lo que queda más cuatrocientos alfajores. Si sobraron dos mil
seiscientos alfajores, ¿cuántos habían producido?
Situación 18: Hallar b y c tales que (9 + bi) (c + 3i) = 3 + 29i.
18
MÓDULO 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Situación 1: Expresen en forma algebraica el perímetro de las siguientes figuras:
Situación 2: Para cada expresión algebraica obtenida en el ítem anterior, calculen el perímetro de
cada figura reemplazando el valor de cada letra por los siguientes valores:
Situación 3: A partir del siguiente cuadrado de lados a + b, escriban las superficies para cada una
de las 4 figuras que componen el cuadrado:
a) SI (Superficie del cuadrado I) =
b) SII (Superficie del rectángulo II) =
Situación 4: Relacionen cada expresión de la columna izquierda con la expresión de la columna
derecha, de manera que resulten expresiones equivalentes.
a) (x + 3)2
b) x2 - 25
c) (x + 5) - (x - 5 + x2)
d) 2x . (x2 - 4)
i) 10 - x2
ii) 2x3 - 8x
iii) X2 + 9 + 6x
iv) (x + 5) . (x - 5)
19
Situación 5: Escribe una expresión algebraica que dé:
a) El perímetro de un triángulo equilátero de lado x
b) El perímetro de un rectángulo de base x cuya altura mide 1 cm menos que su base.
c) El área de un rectángulo de base x cuya altura mide 6 cm menos que su base.
Situación 6: Si a un cuadrado cuya área mide x2 se le suma a un lado 5m y en el otro se le resta
5m
a) ¿cuál será el área de la figura que se originó?
b) Calcula el área de la figura sombreada:
Situación 7: Si el volumen de un paralelogramo viene dado por la fórmula:
.
¿Cuáles podrían ser las medidas de las aristas (largo, ancho y altura)?
Situación 8: Estudiar si P(x)=x2+x-2 es divisible por x+2 y/o por x-3, sin efectuar la división.
Comprobar el resultado.
Situación 9: ¿Para qué valor de n se cumple que:
Situación 10: ¿De cuántas maneras podemos factorizar el número 64?
Situación 11: El matemático griego Pitágoras conocía las dos siguientes posibles formas de construir
un triángulo rectángulo con sus tres lados de longitud entera, llamadas ternas pitagóricas, sin más que
dar valores a nIN:
20
Por su parte, Euclides conocía la siguiente fórmula general, que engloba a las dos anteriores:
Finalmente, he aquí otras dos ternas pitagóricas de autor desconocido:
Demostrar la veracidad de estas fórmulas. Generar algunos casos concretos.
21
MÓDULO 3: ECUACIONES
Situación 1: El padre de Antonio tiene 38 años y él, 6. ¿Dentro de cuántos años la edad de su padre será el
doble de la de Antonio?
Situación 2: Entre dos equipos de fútbol han sumado 102 puntos en la competición, pero uno ha sacado 16
puntos más que el otro. Halla la puntuación de cada equipo
Situación 3: Encuentra dos números pares consecutivos cuya suma sea 442.
Situación 4: ¿Cuál es el número que disminuido en 7 da lo mismo que 29 disminuido en el número que
queremos saber?
Situación 5: El patio de mi colegio mide 25 m más de largo que de ancho. Si su perímetro es 270 m, ¿cuál
es su longitud y su anchura?
Situación 6: El doble de un número más su quinta parte menos 1 es igual a 76. ¿Cuál es ese número?
Situación 7: Luisa tiene 225 pesos en monedas de un peso y de diez pesos. Si tiene 29 monedas en total,
¿Cuántas tiene de cada clase?
Situación 8: La suma de dos números es igual a 54. La quinta parte del mayor es igual a la cuarta parte del
menor. ¿Cuáles son esos números?
Situación 9: En una clase hay 45 alumnos entre chicos y chicas. Practican natación el 32% de los chicos y
el 60% de las chicas. Si el número total de alumnos que practican natación es de 20, ¿Cuántos chicos y
chicas hay en la clase?.
Situación 10: Encuentra los valores reales de “ k ” para que la ecuación tenga sólo una solución.
Situación 11: Si duplicamos el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147cm2¿Cuánto mide el lado del
cuadrado?
Situación 12: En un rectángulo, la base mide el doble que la altura. Si la base midiera 3cm menos y la altura
3cm más, el rectángulo se transformaría en un cuadrado de 81cm2 de área. Calcula las dimensiones del
rectángulo.
Situación 13: Prueba que ln(10). Log(e)=1
22
MÓDULO 4: FUNCIONES
Situación 1: Luego de su cumpleaños, Benjamín ha decidido donar la tercera parte del dinero que recibió
de regalo de sus familiares a una fundación. Considerando las variables cantidad de dinero recibido por
Benjamín y cantidad de dinero que donará Benjamín.
a) ¿Cuál es la variable dependiente en esta situación?
b) ¿Cuál es la variable independiente en esta situación?
c) Exprese como función, la relación entre ambas variables:
Situación 2: Un alumno faltó a una clase de matemática y decidió sacar fotocopias al cuaderno de su
compañero. Si cada fotocopia vale $ 1,20 y debe calcular cuánto dinero necesita para pagar las fotocopias,
responda
a) ¿Cuál es la variable dependiente en esta situación?
b) ¿Cuál es la variable independiente en esta situación?
c) Escriba el valor que el estudiante debe pagar por fotocopias como función.
Situación 3: Un recipiente vacío comienza a llenarse con agua a ritmo constante. Al cabo de un minuto la
altura del nivel del agua es de 3 cm. A los dos minutos, de 6 cm, y así, sucesivamente.
a) Escriba una función que represente la altura del nivel del agua, considerando el tiempo transcurrido.
b) ¿Es una función lineal o afín?
c) En esta situación ¿qué significa f (4)?
d) Al cabo de 6 minutos, ¿cuál es la altura del nivel del agua?
d) A los 6 minutos desde que el recipiente comienza a
llenarse, ¿cuál es la altura del nivel del agua?
Situación 4: Calcula una función cuadrática que pase por los puntos (0, 1) (1, 0) y (−2, 9).
Situación 5: Un jugador de fútbol se encuentra a 8 metros de la portería. El portero está a 4 metros y puede
cubrir saltando hasta 2,5 metros de altura. El jugador puede escoger para hacer el lanzamiento entre dos
trayectorias, las correspondientes a las funciones y = 0,4x – 0,05x2 y y = 1,6x – 0,2x2 . ¿Cuál es mejor? ¿Por
qué?
Situación 6: Si lanzamos una piedra al aire la altura de la piedra recorre la siguiente función f(t) = −5t2 +
50t siendo t es el tiempo en segundos, y f(t) la altura en metros. Calcula el segundo que alcanza la máxima
altura y cuál es la máxima altura. ¿En qué segundo cae a tierra?. Representa la función.
Situación 7: Para cada una de las funciones y= ax e y=loga(x), contesta:
A) ¿puede y ser negativa?
B) ¿podemos dar a x valores negativos?
23
Situación 8: ¿Para qué valores de a, la función y=ax es creciente? ¿para cuáles es decreciente?
Situación 9: Indica para qué valores de x se verifica 1< 3x < 81, siendo a>1
Situación 10: ¿Qué números tiene logaritmo negativo si la base es 5?
Situación 11: Cuando salgo a correr voy aumentando el ritmo gradualmente y luego mantengo un ritmo
constante durante un buen rato. Cuando estoy próximo al final voy disminuyendo el ritmo hasta que finalmente
me paro. Construye una gráfica que muestre cómo varía la distancia recorrida en función del tiempo durante el
entrenamiento.
Situación 12: El avión fue ganando altura de modo regular, a razón de 1500 metros por minuto, hasta alcanzar
la altitud de 7500 metros, que mantuvo el resto del vuelo. Construye una gráfica que muestre cómo varía la
altura del avión sobre el suelo durante los 10 primeros minutos de vuelo.
Situación 13: Después de hervir, la temperatura del agua bajó rápidamente. Conforme pasaba el tiempo el
descenso de temperatura era cada vez más lento hasta que finalmente alcanzó la temperatura ambiente, que era
de 25º, a los 5 minutos. Construye una gráfica que muestre cómo varía la temperatura del agua con el tiempo.
Situación 14: ¿Cómo varía la velocidad de una pelota de golf desde el momento en que es golpeada hasta
que toca el suelo? Exprésalo en palabras. A continuación, construye una gráfica que describa lo que has escrito.
24
MÓDULO 5: GEOMETRÍA Y
TRIGONOMETRÍA
Situación 1: Observe dos rectas paralelas y una transversal, complete:
a) el conjugado interno de
es …
b) el alterno externo de
es …
c) el correspondiente de
es …
d) el conjugado externo de
es …
e) el alterno interno de
es …
Situación 2: completa con C (congruentes) o S (suplementarios) en base al dibujo del punto (1)
Situación 3: Calcula el valor de los siete ángulos restantes y justifica la respuesta, si:
= 60º 25’
= 86º 47’
= 121º 52’
25
Situación 4: ¿Verdadero o falso?
En las siguientes figuras, se ve que el área de un triángulo es igual al área de un rectángulo con su misma altura
y la mitad de su base.
Situación 5: Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2 cada una.
¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, igual, del vecino?
Situación 6: Nuria y Jorge entrenan en bicicleta. Nuria observa el cuentakilómetros y comenta:
— Vamos a dieciocho kilómetros por hora. ¿Cuántas vueltas dará mi rueda en un minuto?
Jorge responde:
— No lo sé, habría que medir el radio de la rueda, pero así, a ojo, échale unas 200 vueltas
por minuto.
Nuria piensa que son demasiadas:
—No creo que lleguen ni a 150!!.
Sabiendo que el diámetro de la rueda es de 50 cm, ¿cuál de los dos ha hecho una estimación más acertada?
Situación 7: Con los datos que te ofrece el esquema, haz una estimación de la longitud del hilo enrollado en
el carrete. (Diámetro del hilo: 1/3 de mm).
Situación 8: Una comunidad de vecinos quiere pintar una de las fachadas de su edificio. Esta tiene forma de
trapecio rectángulo cuyos lados paralelos miden 110 m y 105 m. Sabiendo que tienen que pintar 4 300 m2
de pared, ¿cuánto miden los otros dos lados de la fachada?
Situación 9: En el Giro de Italia una etapa tiene 155 km, y las ruedas de una bicicleta tienen de radio 35 cm.
¿Cuántas vueltas da cada rueda?
Situación 10: Un campo de fútbol mide de largo 105 m y de ancho 65 m. Queremos reponer el césped, que
cuesta 25 €/m2. ¿Cuánto tenemos que pagar?
26
Situación 11: Sabiendo que 3
2=sen , halla el resto de las cinco razones trigonométricas.
Sol.:5
52,
3
5cos == tg
Situación 12: Halla la altura y el área de un triángulo equilátero de 2,5 m de lado. Sol: 2,2 m; 2,75 m2.
Situación 13: Un poste vertical de 3 m proyecta una sombra de 2 m; ¿qué altura tiene un árbol que a la misma
hora proyecta una sombra de 4,5 m? Sol: 6,75 m
Situación 14: Halla las medidas de los lados y la de los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce:
uno de sus ángulos 37ºy su hipotenusa5,2 m. Sol.: 53º; 3,129 m; 4,153 m.
Situación 15: De un rombo ABCD se conocen la diagonal AC = 4m. y el lado AB = 5m. Halla las medidas
de los ángulos del rombo y la de su otra diagonal. Sol.: 132º48’; 47º12’; 9,2m.
Situación 16: Desde un cierto punto del terreno se mira a lo alto de una montaña y la visual forma un ángulo
de 50º con el suelo. Al alejarse 200 m de la montaña, la visual forma 35º con el suelo. Halla la altura, h, de
la montaña. Sol.: 339,6 m.
Situación 17: Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un ángulo de 74º. Sabiendo que la
altura del acantilado es de 200 m, ¿a qué distancia se halla el barco del pie del acantilado?
Sol: 57,35 m
Situación 18: Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿qué ángulo forman los rayos del sol con el
horizonte? Sol: 63º 26’6”
Situación 19: En un triángulo isósceles el lado correspondiente al ángulo desigual mide 7,4 m y uno de los
ángulos iguales mide 63º. Halla la altura y el área. Sol: h = 7,26 m, S = 26,86 m2.
Situación 20: Se sabe que un faro tiene una altura, sobre el nivel del mar, de 196 m. Desde un barco situado
en el mar se ve el faro bajo un ángulo de 14º 16’ 32’’ (como se observa en la siguiente figura). ¿A qué
distancia se encuentra el barco de la costa? Sol.: mx 3,770=
27
Situación 21: Resolver los siguientes triángulos rectángulos:
a) A = 5 cm y B = 8 cm Sol.: ....39 LuegocmC =
b) C = 15 cm y 35ºa =
Sol.: ....5,10 LuegocmA =
c) B = 24 cm y '62º45'12'c =
Sol.: cmA 99,10= . ....34,21 LuegocmC =
Situación 22: La sombra de un árbol cuando los rayos del sol forman con la horizontal un ángulo de 36º, mide
11 m. ¿Cuál es la altura del árbol? Sol.: mx 0,8=
Situación 23: Determina el área de los siguientes triángulos:
Sol.: 272,27 cmA = Sol.:
295,37 cmA = Sol.: 232,148 cmA =
Situación 24: Determine el perímetro y el área de un pentágono regular
inscrito en una circunferencia de 16 cm de radio. Sugerencia: determine el
ángulo . Sol.: cmp 94=
218,608 cmA =
Situación 25: El lado de un hexágono regular mide 30 cm, calcula el área.
Sol.: 22339cmA =
Situación 26: La apotema de un octógono regular mide 30 cm, calcula el área del polígono.
Sol.: 22982cmA =
Situación 27: La apotema de un polígono regular de 9 lados mide 15 cm, calcula el área.
Sol.: 21,737 cmA =
16 cm
a
8 cm 8 cm
8 cm
12 cm 12 cm 32º
14 cm
24 cm
62º 60º
h h
x x
h
28
Situación 28: Calcula la altura del puente, sabiendo que tiene 24 m de largo.
Sol.: mx 3,11=
Situación 29: Desde un faro situado a 50 metros sobre el nivel del mar se observan dos barcos: uno se ve bajo
un ángulo de depresión de 30º (pero se marca su alterno interno entre paralelas) y el otro alineado con el
primero y con el faro en un plano vertical, bajo un ángulo de depresión de 10º (se marca alterno interno).
Calcula la distancia que hay entre los dos barcos. Sol.: mx 96,196=
Situación 30: Dos individuos a y b observan
un globo que está situado en un plano
vertical entre ellos. La distancia entre los
individuos es de 4 km. Los ángulos de
elevación del globo desde los dos
observadores son 48º y 32º,
respectivamente. Determinar la altura del
globo y la distancia del globo a cada
observador.
Sol.: kmh 60,1= , kmA 02,3= y kmB 15,2= .
50 m
10º 30º
a b
h
c
A
B
4 Km
48º 32º
24 m
h
x
29
Situación 31: Desde un cierto punto del suelo se ve un árbol bajo un ángulo de 42º. ¿Bajo qué ángulo se verá
si nos colocamos al doble de distancia? ¿Y si nos colocamos al triple de distancia?
Sol.: ''15'14º24= , ''23'42º16=
Situación 32: Para medir la altura de un edificio se miden los ángulos de elevación
desde dos puntos distantes100 m. ¿Cuál es la altura si los ángulos son 33º y 46º?
Sol.: mh 174=
Situación 33: Dos personas distantes entre sí 840 m, ven simultáneamente un avión con ángulos de elevación
respectivos de 60º y 47º, ¿a qué altura vuela el avión?
Sol.: mh 3,556=
Situación 34: Para medir la altura de una montaña se miden ángulos de elevación desde dos puntos distantes
480 m y situados a 1200 m sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la altura si los ángulos son de 45º y 76º?
Sol.: mx 1840=
x
2x
3x
42º
h
33º 46º
h
100
47º 60º
h
840
30
MÓDULO 6: ESTADÍSTICA
Situación 1: El número de hermanos de los alumnos de una clase es el siguiente:
0 1 0 0 3 2 1 4 0 0 1 1 2 0 1
1 2 0 1 1 2 1 3 0 0 2 1 2 3 5
a) Efectúa el recuento.
b) Elabora una tabla de frecuencias en las que se incluyan: frecuencia absoluta, absoluta acumulada,
relativa y relativa acumulada.
c) Dibuja un diagrama de barras con frecuencias absolutas acumuladas y un polígono de frecuencias
absolutas.
d) ¿Qué porcentaje de alumnos son hijos únicos?
e) ¿Cuántos alumnos tienen más de un hermano?
Situación 2: Estos son los datos sobre ocupación de la población por sectores económicos:
Agricultura 1.870.000
Industria 2.587.000
Construcción 789.000
a) ¿Cuántos trabajadores hay en total?
b) Calcula la frecuencia relativa en porcentaje de cada sector económico
c) Representa estos datos en un diagrama de barras
Situación 3: La siguiente tabla refleja las calificaciones de 30 alumnos en un examen de Matemáticas:
nota 2 4 5 6 7 8 9 10
Nº alumnos 2 5 8 7 2 3 2 1
a. ¿Cuántos alumnos aprobaron? ¿Cuántos alumnos sacaron como máximo un 7?¿Cuántos
sacaron como mínimo un 6?
b. Calcular la nota media, la moda y la mediana
Situación 4: Las temperaturas recogidas en una determinada ciudad durante el mes de Enero se
muestran en la siguiente tabla:
Temperatura en ºC 19 20 21 22 23 24
Número de días 7 9 6 4 3 2
a. ¿Cuántos días hizo por encima de 21ºC? ¿Cuántos por debajo de 23ºC?¿Cuántos días
hizo la temperatura máxima?
b. Calcula la media, la moda y la mediana.
31
Situación 5: A partir de la siguiente gráfica estadística de gustos deportivos:
1) Calcular la tabla de frecuencias.
2) ¿A qué porcentaje de las personas no le gusta el ciclismo?
Situación 6: El 20 % de los empleados de una empresa tiene menos de 30 años, el 35 % tiene entre 30 y 39
años, el 30% tiene entre 40 y 49 años y el resto tiene 50 años o más. Sabiendo que la empresa tiene 1260
empleados, elabora la tabla completa de frecuencias absolutas y relativas, y de frecuencias acumuladas absolutas
y relativas.
Situación 7: Las siguientes son las notas de alumnos que rindieron el examen de educación física:
7 7 5 5 4 9 10 8 7 4 8 7 10 9 4 5 7 8 9 10 5 7 8 4 10
a) ¿Cuál es el promedio de las notas?
b) ¿Cuál es el porcentaje de aprobados?
c) ¿Cuál es el porcentaje de los que obtuvieron 9 o más en el examen?
d) Si las tres cuartas partes de los alumnos no rindieron bien el examen, el profesor volverá
a tomarlo, ¿debe repetir el examen?
0
1
2
3
4
5
6
atletismo ciclismo baloncesto natación
32
PARA CONSULTAR…
33
MÓDULO 1: CONJUNTOS NUMÉRICO
Introducción
Un número es una idea que expresa una cantidad, ya sea por medio de una palabra o de un símbolo. El
símbolo de un número recibe el nombre de numeral.
Pensamos en números cuando contamos personas, vemos la hora, medimos la temperatura,
comparamos velocidades, pesamos cuerpos, etc.
Desde un marco conceptual, es importante diferenciar la noción de número como concepto abstracto
que surge de relaciones lógicas internas del pensamiento, de la noción de sistemas de numeración (oral o
escrito) como construcción social.
El sistema de numeración es un sistema elaborado por la interacción entre los seres humanos y los
problemas de la realidad, un producto cultural, socio-histórico. Cada pueblo tuvo un sistema de numeración que
le fue útil en su momento.
El sistema de numeración es convencional y, como tal, arbitrario; por lo tanto la posibilidad de que este
sistema pueda ser aprendido por las nuevas generaciones depende de la enseñanza.
Un sistema, en general, está constituido por objetos y reglas o leyes que rigen su funcionamiento (como
un sistema digestivo, por ejemplo). Cuando se trata de un sistema de numeración, los objetos son palabras o
símbolos, que llamamos base del sistema; las reglas indican cómo combinar o agrupar esos objetos para poder
nombrarlos, leerlos o escribirlos. Entonces, no es posible hablar de un sistema de numeración sino de los
sistemas de numeración. Como hemos dicho, a lo largo de la historia el hombre ha ido creando sistemas para
nombrar y escribir los números, según sus necesidades. La evolución se ha producido por la búsqueda de:
- La representación (oral o escrita) de números cada vez más grandes, usando una base cada vez más
chica.
- La reducción y simplificación de las reglas que lo conforman para que más personas accedan a su
utilización.
- La posibilidad de usar las escrituras para realizar cálculos.
Nuestro sistema es decimal y posicional, Sus principales características son:
a) Utiliza una base con 10 símbolos llamados cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
b) La cifra 0 permite señalar la ausencia de unidades de cualquier tipo.
c) Es de base diez porque los grupos que permiten pasar de una unidad a otra se hacen canjeando diez
unidades por una unidad del orden inmediato superior.
d) Cada cifra tiene un valor absoluto o intrínseco que es el cardinal de un número de cero a diez, es
decir el número de elementos o agrupamientos de un orden cualquiera; y un valor relativo o posicional que le
34
asigna el lugar que ocupa dentro del numeral y está dado por la potencia de la base que corresponde a cada
posición. En este sistema algunos de los valores relativos se ejemplifican en el siguiente cuadro:
Por lo tanto, cada cifra, ubicada a la izquierda de otra, indica que tiene el valor de una potencia de la
base inmediata superior.
Cada número puede quedar escrito a través de distintas formas, dado que, si bien el sistema, gracias a
sus características, favorece una escritura breve; el hecho de heredar principios aditivos y multiplicativos, hace
que podamos expresar cada uno en forma aditiva, mixta o bien expandida, entre otras. Por ejemplo el número
345 se puede escribir así:
- Forma aditiva: 300 + 40 + 5
- Forma mixta: 3 x 100 + 4 x 10 + 5
- Forma expandida: 3 x 102 + 4 x 101 + 5 x 100
Las unidades que integran un numeral pueden agruparse de diferentes formas, según convenga a cada
situación. Por ejemplo: 1759 puede pensarse, entre otras formas, como:
a) 1 u de mil y 759 u simples (1 camión con 1.000 cajas y 759 cajas sueltas)
b) 17 centenas y 59 u simples (17 billetes de $ 100 y 59 monedas de $ 1)
c) 175 decenas y 9 u simples (175 bolsas con 10 lápices cada una y 9 lápices sueltos)
d) 17 centenas, 5 decenas y 9 u simples (17 cajas con 100 pildoras, 5 tiras con 10 y 9 píldoras sueltas)
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (N)
Los primeros números que aprendemos de niños y que nos sirven para contar los objetos se denominan
“naturales” o enteros positivos.
Al conjunto de tales números se lo designa con la letra N.
N = {1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
Las características que tiene este conjunto son:
● Es un conjunto infinito.
● Tiene primer elemento, no tiene último elemento.
● Todo número natural tiene un sucesor, es decir cada número natural, tiene un consecutivo.
● Todo número natural, salvo uno, tiene antecesor.
● Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural, por eso se dice que
el conjunto es discreto.
35
Operaciones en N
La Adición en N.
La adición de números naturales, es una operación puesto que si opero dos números naturales, obtengo
como resultado (suma) otro número natural.
Es importante que analicemos las propiedades que caracterizan a una operación. En el caso de la
adición en N, sus propiedades fundamentales son:
a) Asociativa: Cualesquiera que sean a, b, c de N, a + (b + c) = (a + b) +c
b) Conmutativa: Cualesquiera que sean a, b de N, a + b = b + a
c) Existencia de elemento neutro: Es 0, porque a + = = 0 + a = a, para todo a.
d) Cancelativa: Cualesquiera que sean a, b, c de N, (a + b = a + c) ⇒b = c
Todas estas propiedades son demostrables, pero las aceptaremos, por ahora, sin demostración.
La Multiplicación en N.
La multiplicación entre dos números naturales es la expresión abreviada de la suma de sumandos
iguales. Por ejemplo:
2 + 2 + 2 + 2 = 4x 2 (se lee “cuatro por dos” o “cuatro multiplicado por dos” o “cuatro veces sumando
el dos”).
En general, el producto a x b, donde a y b son números naturales, y b≠ 0 es el resultado de la suma
a + a + ….. + a, con b sumandos.
Si b= 0, ax0 = 0xa = 0, es decir que si algunos de los números que se multiplican es cero, entonces el
resultado se hace 0.
La multiplicación en N es una operación cerrada en N, porque si multiplico dos números naturales,
obtengo como resultado otro número natural.
Los términos de la multiplicación se llaman factores y el resultado producto.
Las propiedades de la multiplicación en N son las siguientes:
a) Asociativa: (a x b) x c = a x (b x c), cualesquiera sean a, b, c de N. Es decir: el orden en que
agrupamos los factores no influye en el resultado del producto.
b) Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. a x b = b x a, cualesquiera que
sean a, b de N.
c) Elemento identidad: 1. En efecto, 1 x a = a x 1 = a, cualquiera sea a de N.
36
d) Distributiva de la multiplicación con respecto de la suma: a x (b + c) = (a x b) + (a x c),
siendo a, b, c números naturales cualesquiera.
Potencias en N.
Si queremos escribir 2 x 2 x 2 x 2 x 2, resulta un poco extenso, por convenio, podemos expresarlo de
una manera abreviada como 2 5, que se lee “dos elevado a la cinco”. Es decir que 2 5 es otra escritura del número
32, 32 está escrito en forma de potencia, 32 es una potencia de 2 con exponente 5. Es decir que:
El producto a x a x a x a x…...x a, n veces del número natural a, se puede escribir abreviadamente como
una potencia, de la siguiente manera: an , siendo a la base de la potencia y n el exponente de la misma.
En estas escrituras hay algunas convenciones:
- Cuando a es un natural distinto de cero: a0 = 1
- Cuando a es un número natural cualquiera: a1 = a
Recuerda que cuando un número se expresa como una potencia, se dice que está escrito con “notación
exponencial”.
Las propiedades de la potenciación en N son:
a) Multiplicación de potencias de igual base:
Observa el siguiente ejemplo: 23 . 23 . 23 . 23 = 23+3+3+3 = 2 3.4 = 212
Observa que el resultado de multiplicar dos o más potencias de igual base es otra potencia con la misma
base, y en donde el exponente es la suma de los exponentes iniciales.
b) Cociente de potencias de igual base:
Veamos cómo se haría un cociente de potencias de igual base: 58 : 54 = 58 - 4 = 54 = 625
Observa que el resultado de dividir dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base, y
en donde el exponente es la resta de los exponentes iniciales.
c) Potencia de una potencia:
El resultado de calcular la potencia de una potencia es una potencia con la misma base, y cuyo
exponente es la el producto de los dos exponentes.
Por ejemplo: (23)5 = 23.5 = 215
d) Distributiva respecto a la multiplicación y a la división:
Para hacer el producto de dos números elevado a una misma potencia tienes dos caminos posibles, cuyo
resultado es el mismo:
37
Podés primero multiplicar los dos números, y después calcular el resultado de la potencia:
(4·5)4 = 204= 160000
O bien podés elevar cada número por separado al exponente y después multiplicar los resultados.
(4·5)4 = 4 4 . 54 = 256·625 = 160000
De forma análoga podes proceder si se trata del cociente de dos números elevado a la misma potencia.
(3 : 2)4 = 1, 5 4 = 5, 0625
(3 : 2)4 = 34 : 24 = 81 : 16 = 5,0625
Observa que de las dos formas obtienes el mismo resultado. Ahora bien, no siempre será igual de
sencillo de las dos formas. Así que piensa de antemano qué método va a ser más conveniente para realizar el
cálculo.
Es importante que recuerdes que NO es distributiva respecto a la suma y a la resta.
Por ejemplo:
(6 + 3)2 ≠ 62 + 32 porque (6 + 3)2 = 92 = 81
62 + 32 = 36 + 9 = 45
81 ≠ 45
(10 - 6)2 ≠ 102 - 62 porque (10 - 6)2 = 42 = 16
102 - 62 = 100 - 36 = 64
16 ≠ 64
La radicación en N.
La radicación es la operación que “deshace” la potenciación.
Por ejemplo para averiguar √9, se busca qué número elevado al cuadrado da 9:
√9 = 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 32 = 9
En el ejemplo anterior, el 9 se llama radicando, el 2 índice y el resultado 3, raíz.
La definición formal de esta operación es la siguiente: Si n es un número natural, se dice que el número
entero a es la raíz enésima del número entero b, si b es la potencia enésima de a.
Es decir: √𝑏𝑛
= 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎𝑛 = 𝑏
38
Veamos otros ejemplos:
√273
= 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 33 = 27
√814
= 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 34 = 81
√121 = 11 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 112 = 121
La radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un
número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación
se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las
raíces sea positivo.
Raíz de una raíz:
Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando:
√ √𝑎𝑚𝑛
= √𝑎𝑛.𝑚
Ejemplo: √√539
= √527
La resta y la división como cálculos posibles en N.
Si resto dos números naturales, el resultado no siempre es posible. Sólo obtengo otro número natural
cuando el minuendo es mayor al sustraendo.
Por ejemplo: 8 - 3 = 5 y, 5 es un número natural, 6 - 9 = ? en N
Algo similar ocurre cuando divido dos números naturales. Solo obtengo un número natural de un
cociente cuando el dividendo es múltiplo del divisor. Por ejemplo:
8 : 4 = 2, 8 es múltiplo de 4. 6 : 4 = ? en N, pues 6 no es múltiplo de 4.
Los números se agrupan en conjuntos o estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es más
completa y con mayores posibilidades en sus operaciones.
39
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)
Completa la siguiente actividad, puedes ayudarte con el esquema de la mina.
● Estaba en el nivel +1 y subí un
nivel. Ahora estoy en el nivel ……
● Estaba en el nivel +2 y bajé cinco
niveles. Ahora estoy en el nivel ……
● Estaba en el nivel -3 y subí cuatro
niveles. Ahora estoy en el nivel ……
● Estaba en el nivel -1 y bajé dos
niveles. Ahora estoy en el nivel ……
Contesta:
● Juanjo estaba en el nivel -1 y ha subido. ¿En qué niveles puede estar Juanjo?
● Ana estaba en el nivel 0 y ha bajado. ¿En qué niveles puede estar Ana?
● Pedro esta en el nivel -1 y ha bajado más de un nivel. ¿En qué niveles puede estar Pedro?
Vemos que ciertas operaciones entre números naturales no siempre dan como resultado otro número
natural. Por ejemplo si restamos 5 – 8 el resultado no es un número natural. Es necesario entonces recurrir a
otro conjunto más amplio, el de los números negativos.
Los números –1, -2, -3, -4, ..., se llaman enteros negativos. Vamos a considerar que el número 0 no es
positivo ni negativo.
Es común estimar que la noción de número negativo nació de necesidades contables (ganancias y
pérdidas). Parece que los chinos utilizaron desde el primer siglo de nuestra era los "números negativos". En las
tablas de cálculo, a menudo son representados por varillas negras; las varillas rojas representan a los positivos.
Sin embargo, aparecen solamente como auxiliares de cálculo; no hay números negativos en los enunciados de
los problemas, tampoco los hay en las respuestas. Aparecen también en los matemáticos indios de los siglos VI
y VII; por ejemplo, los encontramos en los escritos de Bramagupta (siglo VII). Este matemático enseña la
manera de hacer sumas, restas, usando bienes, deudas, la nada.
Los números negativos aparecen en Occidente a finales del siglo XV, relacionados con la resolución de
ecuaciones, por ejemplo, en los escritos del matemático italiano Cardano (1501 – 1576).
Los enteros positivos, los enteros negativos y el cero forman el conjunto de los números enteros; a este
conjunto se lo designa con la letra Z (del alemán Zahl, que significa número).
40
Es decir, Z = { …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
Se representa a los números enteros en una recta graduada, donde se elige un punto arbitrario para
representar al 0 (al cual le llamaremos origen) y se adopta un segmento como unidad y la siguiente convención:
- a la derecha estarán los números enteros positivos (naturales) y,
- a la izquierda estarán los enteros negativos (opuestos de los naturales).
En la recta numérica, todo número que se encuentra a la izquierda de otro es menor que él.
Un número entero negativo es siempre menor que cero y que un número entero positivo cualquiera.
Entre dos números enteros negativos, el menor es el que se encuentra a mayor distancia del cero.
Matemáticamente para comparar dos o más números enteros se utilizan los símbolos > (mayor que) o
< (menor que). Por ejemplo: +5 > −3;
…, −7 < −6 < −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4 < +5 < +6 < +7, ...
Un concepto importante para tener en cuenta es el de valor absoluto:
El valor absoluto de un número entero es la distancia (en unidades) que lo separa del cero en la recta
numérica.
En la práctica se escribe entre dos barras ││
▪ Valor absoluto de −3 se escribe │−3│y es 3.
▪ Valor absoluto de +5 se escribe │+5│y es 5.
Si dos números enteros tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo, se llaman opuestos. El
opuesto de cero es cero.
Veamos un ejemplo:
│+5│=5 y │−5│= 5 Los números +5 y −5 están a la misma distancia del origen: 5 unidades.
El concepto de valor absoluto también nos permite comparar números enteros:
• Entre dos o más números enteros positivos es mayor el de mayor valor absoluto.
41
• Entre dos o más números enteros negativos es mayor el de menor valor absoluto (se encuentra a
menos distancia del origen O, valor cero).
Por ejemplo:
+7 > (+3) porque: │+7│ = 7 y │+3│ =3 es decir que 7 > 3
−4 > (−6) porque: │−4│ = 4 y │−6│= 6, 4 unidades están más cerca del cero que 6 unidades.
Operaciones en Z
La adición en Z.
Para sumar números enteros podemos considerar los siguientes casos:
1) Para sumar dos números enteros del mismo signo se suman sus valores absolutos y se pone el
signo de los sumandos, por ejemplo:
● Si tenemos la siguiente suma: (+3) + (+2) entonces │+3│= 3 y │+2│= 2
por lo tanto 3 + 2 = 5
Y como el signo de cada sumando es positivo entonces queda: (+3) + (+2) = 5
● Ahora miremos que pasa con esta otra suma: (−4) + (−1) entonces │-4│= 4 y │-1│= 1
por lo tanto 4 + 1 = 5
Y como el signo de cada sumando es negativo entonces queda: (-4) + (-1) = -5
2) Para sumar dos números enteros de distinto signo se restan sus valores absolutos y se pone el
signo del mayor sumando, por ejemplo:
● Si tenemos la siguiente suma: (+5) + (−1) entonces │+5│= 5 y │-1│ = 1
por lo tanto 5 - 1 = 4
Y como el signo de 5 es positivo por ser el número más grande, nos queda: (+5) + (−1) = +4
● Ahora miremos que sucede en esta: (−11) + (+5) entonces │-11│= 11 y │+5│= 5
por lo tanto 11 – 5 = 6.
Y como el signo de 11 es negativo por ser el número más grande, nos queda: (−11) + (+5) = -6
Es importante recordar que la suma en Z es una operación que cumple con la propiedad asociativa,
tiene elemento neutro (0), cada elemento tiene su opuesto y además es conmutativa.
42
La resta en Z.
Para restar dos números enteros, vamos a considerar el siguiente ejemplo:
La fecha de nacimiento de Cristo es considerada como el inicio de la era cristiana. Se utilizan números
enteros para indicar los años de los sucesos que ocurrieron antes y después de esa fecha.
Ubicamos en la línea del tiempo algunos hechos importantes de la historia:
La siguiente imagen nos muestra una recta numérica, en la cual están ubicadas algunas fechas históricas
importantes. Si recorremos la recta de izquierda a derecha vemos que la ubicación de la primera fecha es cuatro
mil años antes de Cristo luego tres mil antes de Cristo y así sucesivamente. Podemos notar aquí que estas fechas
son negativas, debido a que nuestra referencia es el nacimiento de Cristo, es decir el año cero. Luego las
ubicaciones de los siguientes años se suceden recorriendo la recta con saltos de mil años, llegando hasta el año
dos mil después de Cristo, siendo este un número positivo.
Algunas de las fechas históricas marcadas son:
● Año tres mil antes de Cristo: Primeras tablillas escritas
● Año mil cuatrocientos cuarenta: Invención de la imprenta
● Año mil cuatrocientos noventa y dos: Descubrimiento de América
● Año mil setecientos setenta y seis: Creación del virreinato del río de La Plata.
Para calcular cuántos años transcurrieron entre la invención de la imprenta y el descubrimiento de
América, debemos restar a la última fecha el año de la primera;
La operación es: (+1492) - (+1440) = +52
Esto es lo mismo que hacer: 1492 + (-1440) = 52
Es decir que, en lugar de restar 1440, sumamos su opuesto.
Veamos otra situación: Para calcular cuántos años transcurrieron entre la escritura de las primeras
plantillas y la creación del Virreinato del Río de la Plata, hacemos así:
(+1776) - (-3000) = 1776 + (+3000) = 4776
Es decir que, para restar dos números enteros, transformamos la resta en una suma, de forma tal que al
primer número le sumamos el opuesto del segundo.
43
La multiplicación en Z.
Al multiplicar dos números enteros se pueden presentar distintas situaciones:
- Que los factores sean ambos positivos.
- Que los factores sean ambos negativos.
- Que los factores tengan distinto signo.
- Que al menos uno de los dos factores sea cero.
Por ahora, diremos que hay ciertas reglas que nos permiten calcular productos de enteros y determinar
el signo de ese resultado:
- Si los dos factores son positivos, o si los dos son negativos, el producto es positivo.
- Si los dos factores tienen distinto signo, entonces el producto es negativo.
- Si alguno de los dos factores, o los dos son cero, entonces el producto se anula.
(+5) . (+3) = 15 (-5) . (-3) = 15 (+5) . (-3) = -15 (-5) . (+3) = -15
Debemos recordar que la multiplicación en Z verifica las siguientes propiedades: asociativa,
existencia de elemento neutro (1), conmutativa y distributiva con respecto a la adición.
Potenciación en Z.
En este conjunto, se define la potenciación de números enteros con exponente natural. Se pueden
presentar distintas situaciones:
- Si a es un número entero positivo, entonces a x a x a x …..x a, n veces, se escribe an.
La base es a, y el exponente n.
- Si a es un número entero negativo, entonces (-a) x (-a) x (-a) x …..x (-a), n veces, se escribe (-
a)n. La base es (-a), y el exponente n.
- Si a es 0 y n > 0, entonces: 0n = 0
- Si a es un entero no nulo, y n = 0, entonces a0 = 1, por convenio.
- Si a es un número entero cualquiera y n = 1, entonces a1 = a
Queda claro que cuando la base es positiva, procedemos de forma análoga a la trabajada en los números
naturales. Veamos qué pasa cuando la base es un número negativo:
a) (-3)2 = 9
b) (-3)3 =- 27
c) (-2)8 = 256
d) (-2)9 = -512
e) 28 = 256
¿Qué relación observas con el signo de la potencia y el exponente?
44
Como ves en los ejemplos anteriores todas las potencias que dan como resultado un número negativo,
sus exponentes son números impares, vuelve a mirar los ejemplos b) y d). En cambio, si los exponentes son
números pares, como el ejemplo a) y c) sus resultados son siempre números positivos.
Por lo tanto, se puede decir en general que:
Si la base es negativa y el exponente par o cero, el valor de la potencia será positivo.
Pero si la base es negativa y el exponente es impar, el valor de la potencia será negativo.
En el conjunto de los números enteros, la potenciación cumple con las propiedades ya enunciadas en el
conjunto de los números naturales.
La radicación en Z.
La radicación en este conjunto se define de manera análoga al conjunto N. Veamos qué sucede cuando
el radicando es un número negativo:
√−83
= −2 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 (−2)3 = −8
√−2435
= −3 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 (−3)5 = −243
√−814
=? 𝑒𝑛 𝑍
En el último ejemplo se debería buscar un número elevado "a la cuatro" que dé como resultado -81,
¿existirá algún número que cumpla esa condición?
Si recordaste lo estudiado cuando se trabajó con la operación de potenciación, tu respuesta debería ser
negativa, no existe ningún número entero que cumpla esa condición.
Podemos concluir diciendo que se pueden presentar los siguientes casos:
- Cuando radicando es positivo, el resultado es positivo.
- Cuando el radicando un número negativo y el índice es impar, el resultado es un número
negativo.
- Cuando el radicando un número negativo y el índice es par, el resultado no existe en el conjunto
de los números enteros.
La radicación en Z, cumple con las mismas propiedades que en el conjunto de los números naturales.
La división como cálculo posible en Z
Pudimos analizar, en el conjunto de los números naturales, que la división no es una operación en ese
conjunto. Algo similar ocurre en el conjunto de los números enteros. Podríamos preguntarnos, por ejemplo:
45
¿Existe el cociente entre 10 y (-2)? La respuesta es afirmativa. Existe un número entero (-5), que
multiplicado por (-2) da como resultado el número 10.
Ahora, ¿existe el cociente entre 10 y (-3)?. Nos damos cuenta, que no existe ningún número entero que
dé el número 10 al multiplicarlo por (-3), o sea, que el resultado de esta división no pertenece a este conjunto.
Entonces: Dados dos números enteros a y b, llamados respectivamente dividendo y divisor, se llama
cociente a : b, a un número entero c, si existe, tal que da como resultado el dividendo, si se lo multiplica por el
divisor, o sea, a = c . b, con b no nulo.
En símbolos: a : b = c ⇔ a = c . b
En los casos en que sea posible la división diremos, por ahora, que hay ciertas reglas que nos permiten
determinar el signo de ese resultado:
- Si a y b son ambos positivos, o si ambos son negativos, el cociente es positivo.
- Si a y b tienen distinto signo, entonces el cociente es negativo.
- Si a es cero, entonces el cociente se anula.
Por ejemplo:
(+20) : (+4) = +5 (-20) : (-4) = +5 (+20) : (-4) = -5 (-20) : (+4) = -5
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES (Q)
Seguramente más de una vez has visto en los medios de comunicación, en los negocios o hablando con
algún amigo expresiones de este tipo:
• Un cuarto kilogramo de pan.
• Compramos una gaseosa de un litro y medio.
• Siete de los 20 alumnos de un curso no aprobaron Matemática.
• Se quiere repartir 8 porciones de pizza entre 5 amigos.
Todas estas situaciones pueden ser representadas matemáticamente usando números racionales.
Este conjunto numérico surge ante la necesidad de dar solución a cocientes como 10 : 3, que no tenían
solución en el conjunto de los números enteros. Este cociente se expresa de la forma 10
3 (que se lee diez tercios
o diez sobre tres), a la que llamaremos fracción de numerador a y denominador b.
En general, todas las expresiones de la forma 𝑎
𝑎 donde a y b son enteros y b distinto de 0, se llaman
fracciones. El número b se llama denominador y el número a se denomina numerador.
Dependiendo de la relación entre los valores absolutos de a y de b, las fracciones se clasifican en:
i) fracción propia: a < b
46
ii) fracción impropia: a > b
iii) fracción aparente: b divide a; o sea “a es múltiplo de b”.
Nota: todo entero z puede escribirse como z/1.
Una fracción se llama irreducible si a y b son coprimos.
Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad; o sea si son equivalentes a una misma
fracción irreducible.
Un número racional es el conjunto formado por todas las fracciones equivalentes entre sí; de cada uno
de estos conjuntos se elige la fracción irreducible como representante del conjunto; dejando de lado el conjunto
para no tratar con teoría de conjuntos hablaremos simplemente de un número racional. Simbolizamos con Q el
conjunto de todos los números racionales.
Todo número racional sirve para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un
número de esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran cantidad de decimales
que se podrían obtener. Cuando se compara una cantidad con su unidad, se obtiene, por lo general, un resultado
fraccionario. Por ejemplo: Si divido una pizza en dos partes, tengo dos mitades. Cada porción será 1/2 de la
pizza (una parte de dos). En caso de tomar ambas porciones, volveré a tener la pizza entera (2/2 = 1)
El conjunto de los números racionales tiene las siguientes características:
● El conjunto es infinito
● No tiene primer ni último elemento
● Entre dos números racionales hay infinitos racionales (es denso)
● Ningún racional tiene sucesor ni antecesor
● El conjunto está totalmente ordenado. Para todo par de racionales p y q se verifica:
p < q ó p > q ó p=q (Ley de tricotomía)
Los números racionales pueden tener distintos significados dependiendo del contexto en que se utilice.
En esta instancia se analizarán situaciones problemáticas donde aparezcan los diferentes usos.
Comenzaremos viendo cómo la fracción se usa para describir “partes” de un todo o unidad.
Por ejemplo: Cuando vamos de viaje vemos que el tanque de un auto contiene 3/4 de nafta.
3 indica las partes que tenemos,
4 es el total de partes del tanque que consideramos (si dividimos el tanque en cuatro partes)
47
Las fracciones también se usan en repartos. Por ejemplo: Mariana y un amigo fueron al cine. Llevaron
3 chocolates para repartir en partes iguales entre los dos sin que sobre nada. ¿Cómo lo harías?
Le podemos entregar un chocolate entero a cada uno, luego queda un chocolate entero más por lo que
se puede partir a la mitad, y que cada uno se coma medio chocolate más.
Por lo tanto cada uno comerá 1 chocolate y medio. Esto matemáticamente se puede expresar como:
11
2=
3
2 =
También podemos trabajar con las fracciones como relación entre dos cantidades (razón).
Por ejemplo: En un diario salió una noticia que decía: “Uno de cada dos argentinos tiene Facebook”.
Matemáticamente esta expresión se representa como: 1
2 .
Esta interpretación de la fracción se conoce como razón entre dos números, en este caso es la razón
entre 1 y 2.
Veamos otro ejemplo: En una empresa 4 de cada 7 empleados tienen a lo sumo 10 años de antigüedad.
Matemáticamente esta expresión se representa como: 4
7
Las fracciones también nos permiten hacer el cálculo de la parte de una cantidad dada. Para
entenderlo mejor, veamos la siguiente situación: El tanque de nafta de un auto tiene una capacidad de 60 litros.
Al pasar por una estación de servicio el conductor observa que le quedan 1/4 del total del tanque. Si queremos
saber los litros de nafta que aún nos quedan en el tanque, entonces la información de la que disponemos no es
suficiente por lo que debemos hacer un cálculo. En este caso, la fracción funciona como operador.
La forma práctica de resolver estos tipos de ejercicios consiste en multiplicar la fracción por el valor o
cantidad que represente el "todo“:
de 60 = (1 x 60) : 4 = 15 litros de nafta.
Por lo tanto, en el tanque aún quedan 15 litros de nafta
Las fracciones también pueden utilizarse para interpretar porcentajes. En la vida diaria, es habitual en
nuestro lenguaje el uso de los términos: porcentaje, por ciento, como también el cálculo de ellos.
¿Qué es el porcentaje? Una cantidad de cada 100 unidades se llama porcentaje o tanto por ciento.
48
Por ejemplo: En una escuela, 60 de cada 100 alumnos participan en actividades deportivas. Esta
cantidad puede expresarse como: 60
100 = 60%
Distintas escrituras de los números racionales.
Los números racionales también pueden escribirse mediante escritura posicional, con el uso de una
coma decimal. usualmente se dice que esa escritura es una expresión o representación decimal.
Por ejemplo: 1
2 se escribe como 0,5 y
1
3 se anota 0,333… En este último caso se anota: 0, 3̂, y se
denominan periódicos.
Es posible que ese hecho, debido a las escrituras de ambos números racionales mediante una coma
decimal, produzca una confusión que lleva a decir que ambos son números decimales.
Un número es decimal si es el resultado de una división exacta (resto cero) entre dos números enteros.
Así, por ejemplo:
● 2,5 es un número decimal porque es el resultado de 5 : 2, con resto cero.
● 4 es un número decimal porque es el resultado de 8 . 2, con resto cero.
● 0,333...no es un número decimal, porque resulta de la división 1 : 3, y el resto no es cero.
Los tres números dados como ejemplo son elementos de Q, pero mientras que los dos primeros son
racionales decimales, el tercero es un racional no decimal.
Se han formulado ciertas reglas para encontrar la equivalencia de expresiones decimales en escrituras
fraccionarias:
Forma
decimal Regla Ejemplos
Exacta
En el numerador se colocan todos los dígitos juntos que
conforman el número decimal (o sea sin coma), y en el
denominador el número formado por un 1 seguido de tantos
ceros como dígitos decimales tenga la forma decimal.
a) 0,23 = 23
100
b) 1,005 = 1005
1000
Periódica
Se identifica la parte periódica de la expresión decimal.
En el numerador se colocan todos los dígitos juntos que
forman la expresión decimal (o sea sin coma) y se le resta el
número formado por los dígitos no periódicos.
En el denominador el número formado por tantos 9 como
cantidad de dígitos periódicos y tantos cero como cifras
decimales no periódicas (o sea dígitos entre la coma y el
arco de periodicidad).
a) 0,232323…= 23
99
b) 12, 7̂ = 127−12
9=
115
9
c) 0,658̂ = 658−65
900=
593
900 =
d) 1,02525… = 1025−10
990=
1015
990
49
El orden en Q.
Existen diversas maneras de establecer el orden de dos o más fracciones. A continuación, mostraremos
alguna de ellas:
● Orden con fracciones de igual denominador:
De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador.
Por ejemplo: 3
5<
4
5 , pues 3 < 4.
• Orden con fracciones de igual numerador
De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor la que tiene mayor denominador.
Por ejemplo: 3
7<
3
4 pues 7 >4.
● Orden con numeradores y denominadores distintos
De dos fracciones que tienen distinto denominador se debe buscar una fracción equivalente a cada una
de las fracciones dadas cuyos denominadores sean iguales, o se expresan con notación decimal.
Por ejemplo: ¿Cuál de estas fracciones es mayor 5
6 𝑦
7
9 ?
a) Como dijimos, una manera es buscar fracciones equivalentes a las dadas con igual denominador: 5
6=
15
18 y
7
9=
14
18, (como se observa ambas fracciones tienen equivalentes con denominador 18)
como 15 > 14 podemos decir que: 15
18>
14
18 y, en consecuencia
5
6>
7
9.
Otra manera es expresar las fracciones con notación decimal: 5
6= 0,8333333…𝑦
7
9= 0,7777…
Como 0,833333… .> 0,7777… . 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 5
6>
7
9
Surge entonces la necesidad de revisar cómo se comparan dos expresiones decimales. Necesitamos
comparar las cifras de cada número en el mismo valor posicional (décimos con décimos, centésimos con
centésimos, etc.), comenzando, comparando la parte entera y luego las cifras decimales.
Por ejemplo: Para comparar 0,04 y 0,016, comenzamos con la parte entera: 0,04 y 0,016 ambos tienen
cero unidades. Seguimos con los décimos: Ambos tienen cero décimos. Luego con centésimos: 0,04 tiene cuatro
centésimos y 0,016 tiene un centésimo. Por lo tanto, 0,04 es mayor que 0,016 (0,04 > 0,016).
Otra manera de comparar es agregar ceros para que ambos números tengan la misma cantidad de cifras
decimales Después, sólo miramos las partes decimales y comparamos.
50
Por ejemplo: ¿Cuál es mayor 6,007 ó 6,02? Hacemos que ambos números tengan la misma cantidad de
cifras decimales agregando un cero al final de 6,02, convirtiéndolo en 6,020.
Ahora podemos ver claramente, comparando 7 milésimas con 20 milésimas, que 6,007 < 6,020.
Operaciones en Q
La adición y la resta en Q
Para sumar o restar números racionales con escritura fraccionaria, existen distintos algoritmos.
Si las fracciones tienen igual denominador se suman (o restan) los numeradores y se coloca el mismo
denominador.
En el caso de que no tengan igual denominador, se buscan las fracciones equivalentes de las fracciones
que intervienen, y se eligen las que tienen el mismo denominador:
2
6+5
8=
8
24+
15
24=
23
24
2
6=
4
12=
6
18=
8
24
5
8=10
16=15
24
Otro algoritmo usado habitualmente es buscar el mcm entre los denominadores y proceder como
muestra el ejemplo:
2
6+5
8=
2.4
24+
5.3
24=
8+ 15
24=23
24
Para sumar o restar números racionales con notación decimal, se suman (o se restan) las unidades de
igual orden: unidades con unidades, décimas con décimas, centésimas con centésimas...
Se cumplen las mismas propiedades enunciadas en el conjunto de los números enteros.
La multiplicación en Q
El producto de dos números racionales con notación fraccionaria es otra fracción que tiene por
numerador el producto de los murmuradores y por denominador el producto de los denominadores.
2
3 .5
7=
2.5
3.7=
10
21
51
Si se quiere multiplicar dos números racionales con notación decimal, el algoritmo a seguir es el
siguiente: se multiplican como si fueran números enteros. El resultado final es un número que tiene una tantas
cifras decimales como la suma de cifras decimales de los dos factores.
La multiplicación en Q cumple con las propiedades anotadas para la multiplicación del conjunto de los
números enteros.
Es importante resaltar que todo racional no nulo tiene su inverso con respecto a la multiplicación. Por
ejemplo 2
3 tiene como inverso multiplicativo a
3
2; −
4
5 tiene como inverso multiplicativo −
5
4.
La potenciación en Q.
Del mismo modo que en el caso de los números enteros, es posible utilizar potencias de exponente
natural para expresar productos de factores racionales iguales entre sí. Por ejemplo:
(−3
2) . (−
3
2) . (−
3
2) = (−
3
2)3
Si trabajamos con racionales expresados en notación decimal, se aplica la definición de potenciación,
teniendo presente que el número de cifras decimales del resultado es igual al producto del exponente por el
número de cifras decimales de la base.
a) 0,6² = 0,06 × 0,06 = 0,0036
b) 0,02³ = 0,02 × 0,02 × 0,02 = 0,000008
Cuando trabajamos con números racionales, también es posible encontrar potencia de exponente
entero, es decir potencias cuyo exponente es un número negativo. Veamos algunos ejemplos resueltos:
a) (2
3)−2= (
3
2)2=
9
4
b) (−5
3)−1= (−
3
5)1= −
3
5
c) 4−3 = (1
4)3=
1
64
Como podemos observar al tener una potencia con el exponente negativo, se debe invertir la base de la
potencia, eliminando de esta manera el signo menos. Si la base está expresada en notación decimal, bastará
expresarla en escritura fraccionaria y resolver.
Se cumplen también todas las propiedades de la potenciación con números enteros.
La radicación en Q
Para resolver una raíz de un número racional (con notación fraccionaria o con notación decimal), se
utiliza la definición:
52
√-27
8
3
= -3
2 ya que (-
3
2)3
= -27
8
√1,44=1,2 ya que (1,2)2= 1,44
Se cumplen también todas las propiedades de la radicación con números enteros.
La división en Q
En el conjunto de los números racionales, desaparece el problema que teníamos para definir la división
como operación, siempre que dividendo y divisor sean no nulos.
Es decir que la división es una operación en Q, porque dados dos racionales no nulos, su cociente
siempre existe y no es nulo.
Es importante resaltar que todo racional no nulo tiene su inverso con respecto a la multiplicación
El algoritmo más usado para dividir dos fracciones es el que multiplica la primera fracción por la inversa
de la segunda.
2
3∶
5
7=
2
3 .7
5=
2 .7
3 .5=
14
15 Hay que recordar que la fracción inversa de
5
7 es
7
5
Para dividir dos números racionales con notación decimal, pueden darse distintos casos y los algoritmos
más usados para resolverlos son los siguientes
1. Si sólo el dividendo es decimal, se realiza la división como si los números involucrados fueran
números enteros. Al operar con la primera cifra decimal, se coloca una coma en el cociente y se continúa con
el algoritmo de la división.
2. Si sólo el divisor es decimal, se elimina la coma del divisor añadiendo al dividendo tantos ceros como
cifras decimales tenga el divisor. A continuación, se aplica el algoritmo de la división como si fueran números
enteros.
3. Si el dividendo y el divisor son decimales, se igualan el número de cifras decimales del dividendo y
el divisor, añadiendo tantos ceros al que lo necesite como cifras decimales de diferencia entre ambos. De esta
manera la coma desaparece. A continuación, se dividen como si fueran números enteros.
En algunos casos es importante tener en cuenta los siguientes conceptos:
53
Redondeo
Redondear un número decimal a un determinado orden consiste en desechar las cifras decimales
inferiores a dicho orden procediendo como sigue:
• Si la cifra siguiente es menor que 5 se desprecia el resto de cifras decimales de la expresión.
Ejemplo: 4,2346 redondeando a la centésima 4,23
• Si la cifra siguiente es igual o superior a 5 se desprecian los decimales posteriores y se aumenta en 1
la cifra de redondeo.
Ejemplo: redondear 25,33457 a la milésima 25,335
Truncamiento
Truncar consiste en despreciar todas las cifras decimales inferiores al orden de truncamiento.
Ejemplo: truncar a la centésima 68,025 da 68,02
Notación Científica
En los ámbitos científicos y económicos se usan números muy grandes o muy pequeños lo cual tiene
sus dificultades. Por un lado las operaciones con ellos son muy complicadas y por otro, al poseer tantas cifras,
no es posible tener una idea de cuán grande o pequeño es el número.
El uso de la notación científica resuelve estos inconvenientes, ya que resulta muy cómoda para la
escritura de números grandes o muy pequeños y reduce a una forma sencilla las operaciones a realizar con ellos.
● Para números muy grandes
Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente de la
misma.
Ejemplo: Calcular la distancia en km a la que se encuentra alfa-centauri de nuestro Sol sabiendo que la
luz tarda 4,3 años en llegar a ella (velocidad de la luz 300000 km/s).
4,3 años son 4,3⋅365⋅24⋅60⋅60=135.604.800 segundos
alfa-centauri se encuentra a 135.604.800⋅300.000=40.681.440.000.000 km
Esto normalmente se expresa de manera aproximada en notación científica como: 4,0681⋅1013 km
● Para números muy pequeños
Una potencia de base 10 y exponente negativo equivale a dividir por la unidad seguida de tantos ceros
como indica el exponente.
Ejemplo: La mayoría de los virus estudiados tienen un diámetro de entre 10 y 300 nanómetros (el
nanómetro es la unidad de longitud que equivale a una milmillonésima parte de un metro). Calcular en metros
el tamaño de un virus de 250 nanómetros de diámetro.
El nanómetro equivale a 10−9 metros, 250 nanómetros se pueden escribir como 2,5⋅102 El virus tendrá
un diámetro de 2,5⋅102×10−9=2,5⋅10−7 metros ó 0,00000025
54
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES (I)
Anteriormente dijimos que el conjunto de los números racionales es denso. Eso significa que entre dos
números racionales siempre hay otro número racional. Pero a pesar de ello, no cubren toda la recta numérica.
Esa es una señal de que todavía hay números que todavía no hemos mencionado. Estos son los números
irracionales que tienen una característica especial: cuando los escribimos con escritura posicional, parecen con
una coma y, con infinitas cifras no periódicas después de ella. El nombre de “irracional” proviene del hecho de
que no se puede expresar como razón de dos números enteros.
El conjunto de los números irracionales se denota con la letra I. De la definición es inmediato decir que
no existe ningún número que sea racional e irracional.
Veamos algunos ejemplos:
Una manera de obtener números irracionales es escribir un número cuyas cifras decimales sean infinitas
y no presentan periodicidad: 0.1234567891011121314151617181920....
-2.16716781678916711672....
Otros ejemplos de números irracionales son aquellas raíces cuadradas, cúbicas, etc que no sean exactas.
Por ejemplo: √5, √2, √34
, etc.
Existen números irracionales que son muy famosos:
● El número π
El número irracional más conocido es π, que se define como la relación entre la longitud de la
circunferencia y su diámetro.
π = 3,141592653589...
● El número e
El número e es un número irracional ya que tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Se lo suele
llamar el número de Euler por ser su inventor el matemático Leonhard Euler. Las primeras cifras de este número
son:
2,7182818284590452353602874713527…..
Muchas veces el número e aparece donde no se lo espera. Por ejemplo, da el valor del interés compuesto
continuo (que se usa en préstamos e inversiones).
● El número de oro
El número de oro o áureo se representa por la letra griega Phi (φ) es un número irracional:
φ= 1+ √5
2≈1,618033988749894848204586834365638117720309…..
Este número aparece en muchas de las cosas que nos rodean:
55
La Anatomía de los humanos se basa en una relación exacta, razones entre partes del cuerpo resultan
en una aproximación de este número, tales como:
- La razón entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.
- La razón entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
- La razón entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.
- La razón entre el diámetro de la boca y el de la nariz.
Prueba midiendo tu altura. Si no obtienes el número de oro (1.618), no te hagas problema…No somos
perfectos…
En la naturaleza, en las antiguas construcciones y representaciones artísticas, diariamente manejamos
objetos en los cuales se ha tenido en cuenta las proporciones que llevan a obtener este número. Por ejemplo, la
mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet. También lo podemos encontrar en las cajas de
cigarrillos, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.
Potencia de exponente fraccionario
Una potencia de exponente fraccionario se puede transformar en una raíz cuyo índice es el denominador
y el radicando es la base elevada al numerador.
Por lo tanto al resolver una potencia con exponente racional quedaría: am
n= √amn
Veamos algunos ejemplos:
512 = √5
3−23 = (
1
3)
23= √(
1
3)23
(4
5)
67= √(
4
5)
67
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (R)
Con el conjunto I la recta numérica se completa, y se le dice recta real pues en ella se representan a
todos los números racionales e irracionales.
Al conjunto de los números racionales unido el conjunto de los números irracionales, lo llamamos
conjunto de los números reales.
Las características que tiene este conjunto son:
- Es un conjunto infinito.
- Es un conjunto denso, es decir que entre dos números reales existen infinitos números reales.
56
El conjunto R entonces todas las propiedades de Q e I.
El siguiente esquema relaciona el conjunto de los números reales con los demás conjuntos numéricos
estudiados en este módulo:
Operaciones en R.
Como expresamos anteriormente, las operaciones definidas en el conjunto R gozan de las mismas
propiedades que en Q.
Sin embargo, sigue existiendo un obstáculo que aun no tiene solución: las raíces de radicando negativo.
Para poder operar en R, el gran inconveniente que se nos plantea viene de la mano de los números
irracionales, los cuales al tener infinitas cifras decimales no periódicas, deben ser representados por valores
aproximados:
Por ejemplo: √12 . √3 ≈ 3,46 .1,73 ≈ 5,9858
Existe otra opción en la resolución de la operación indicada: trabajar con los radicales valiéndonos de
las propiedades de la potenciación y de la radicación.
√12 . √3 = √36 = 6
Simplificación de raíces y potencias:
Veamos un ejemplo: √27443
Comenzamos por descomponer el radicando en sus factores primos: √27443
= √23 . 733
Aplicamos la propiedad distributiva de la radicación respecto de la multiplicación:
√27443
= √23 . 733
= √233
. √733
57
Simplificando índices y exponentes:
Extracción de factores de un radical:
Veamos un ejemplo: √𝑎53
Si queremos proceder como en los casos anteriores, a simple vista notamos que es imposible simplificar,
por lo menos, tal como está planteado el ejercicio.
Aplicamos propiedad del producto de potencias de igual base:
Introducción de factores a un radical:
Este procedimiento es el inverso del anterior. En consecuencia, si para extraer se divide, para introducir
se multiplica. Por ejemplo:
a3 . b2 √a .b3
= √a3.3 . b2.3.a.b3
= √a9. b6.a.b3
= √a10.b73
Adición y resta de radicales.
Se pueden presentar tres casos:
- Radicales semejantes:
1
2√5 + 2 √5−
5
3√5 =
Resolvemos:
(1
2+ 2 −
5
3) √5 =
5
6 √5
- Radicales no semejantes:
7 √3+ 1
2 √5− 2 √2
58
En estos casos la operación queda indicada ante la imposibilidad de representar la suma utilizando un
único radical. Otra alternativa, aunque no es la más conveniente, sería trabajar con valores aproximados.
- Algunos radicales semejantes:
8 √3− 4,1 √2+ 1
2 √2− 3 √3 =
Debemos agrupar los radicales semejantes:
8 √3− 3 √3 − 4,1 √2+ 1
2 √2 = (8− 3)√3+ (−4,1+
1
2)√2 = 5√3− 3,6 √2
Multiplicación y división de radicales.
Para multiplicar o dividir radicales se presentan dos casos:
- Radicales de igual índice:
En este caso se aplican las propiedades de la potenciación y radicación que correspondan y se resuelve.
Por ejemplo:
a) √16 5
. √25
= √16 .25
= √325
= 2
b) √√4 3
. √166
= √46 . √16
6= √64
6= 2
c) √𝑎74
∶ √𝑎34
= √𝑎7 ∶ 𝑎34
= √𝑎44
= 𝑎
d)
- Radicales de distinto índice:
Veamos un ejemplo:
√2 . √22.323
. √22.334
Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice:
m.c.m(2,3,4) = 12
Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus
exponentes correspondientes.
√(21)612
. √(22)4 . (32)
412
. √(22)3 . (33)
312
= √2612
. √28 .3812
. √26.3912
Hemos obtenido una multiplicación de radicales con igual índice. Se procede como en el caso anterior:
59
√2612
. √28 .3812
. √26.3912
= √26.28 . 38 . 26.3912
= √(26.28. 26) . (38 . 39)12
= √220. 31712
Seguimos trabajando la expresión: extraemos radicales y obtenemos la respuesta.
√220. 317 12
= 2.3 √28.3512
= 6 √28.3512
Racionalización de denominadores.
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes
pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de
radicales de los denominadores.
En otras palabras, llamaremos racionalización de una expresión fraccionaria al procedimiento mediante
el cual se logra que el denominador sea un número racional.
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es
diferente.
Se pueden dar varios casos:
1. Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este
caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.
Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción 3
√5, multiplicaremos numerador y
denominador por √5, de modo que:
2. Si el denominador de la fracción es un binomio con uno o los dos términos con raíces
cuadradas, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una
suma se multiplica por la resta, y viceversa.
Por ejemplo: 6
√7−√3 multiplicamos numerador y denominador por √7+ √3.
En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una
expresión del tipo: (𝑎 + 𝑏) . (𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2, por lo que nos queda:
6
√7−√3=
6
√7−√3 .√7+√3
√7+√3=
6.(√7+√3)
(√7−√3) .(√7+√3)=
6.(√7+√3)
(√7)2.(√3)
2 =6.(√7+√3)
7 .3=
2.(√7+√3)
7
60
3. Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica
numerador y denominador por otra raíz de índice n de modo tal que en el radical que se obtenga, todos
los exponentes de las potencias del radicando sean múltiplo del índice.
Por ejemplo: Racionalizar 1
√435 , multiplicamos numerador y denominador por √42
5, de modo que resulta:
1
√435
= 1
√435
.√425
√425
= √425
√435
. √425
=√425
√43. 425
=√425
√455
=√425
4
Veamos otro ejemplo: Racionalizar: 𝑝
√𝑎.𝑝6.𝑐83
Debemos multiplicar numerador y denominador por √𝑎2. 𝑐3
, el exponente de p, no se modifica pues es
múltiplo de 3.
𝑝
√𝑎.𝑝6.𝑐83 =
𝑝
√𝑎.𝑝6.𝑐83
.√𝑎2.𝑐3
√𝑎2.𝑐3 =
𝑝. √𝑎2.𝑐3
√𝑎.𝑝6.𝑐83
. √𝑎2.𝑐3
=𝑝. √𝑎2.𝑐3
√𝑎.𝑝6.𝑐8.𝑎2.𝑐3
= 𝑝. √𝑎2.𝑐3
√𝑝6.𝑐9.𝑎33
= 𝑝. √𝑎2.𝑐3
𝑝2.𝑐3.𝑎=
√𝑎2.𝑐3
𝑝.𝑐3.𝑎
El siguiente cuadro resume las propiedades de las operaciones en R:
Operación Propiedad En símbolos
Suma Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c para todo a; b; c de R
Conmutativa a + b = b + a para todo a; b de R
Elemento neutro Existe un elemento de R denotado por 0 tal que a+0 = a para todo a de R
Elemento opuesto o inverso aditivo Para cada a de R existe b de R tal que a + b = 0
Multiplicación
Asociativa a . (b . c) = (a . b) . c para todo a; b; c de R
Conmutativa a . b = b . a para todo a; b de R
Elemento neutro Existe un elemento de R, que denotamos con 1, tal que 1 ≠ 0 y a . 1 = a
para todo a de R
Elemento inverso Dado a de R con a ≠ 0, existe un b de R tal que
a.b= 1
Distributiva de la multiplicación
respecto de la suma
a . (b + c) = a . b + a . c para todo a; b; c de R
a . (b + c) = a . b + a . c para todo a; b; c de R
Potenciación
Potencia de exponente 0 a0 = 1 para todo a de R
Potencia de exponente 1 a1= a para todo a de R
Producto de potencias de igual
base
an.am=an+m para todo a de R, n, m de R
61
Cociente de potencias de igual base an:am=an-m para todo a de R, n, m de R
Potencia de Potencia (an)m= an.m para todo a de R, n, m de R
Distributiva respecto de la
multiplicación
(a.b)n= an.bn para todo a, b de R, n de R
Distributiva respecto de la división (a:b)n= an:bn para todo a, b de R, n de R
Potencia de exponente negativo 𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛 para todo a de R, a≠0, n de R
Potencia de exponente
fraccionario
𝑎𝑛
𝑚 = √𝑎𝑛𝑚
para todo a de R, n, m de R
Radicación Producto de radicales de igual
índice
√𝑎𝑛. √𝑏𝑛
= √𝑎. 𝑏𝑛
para todo a, b de R, n de R
Cociente de radicales de igual
índice
√𝑎𝑛
∶ √𝑏𝑛
= √𝑎 ∶ 𝑏𝑛
para todo a, b de R, n de R
Raíz de otra Raíz √ √𝑎𝑚𝑛
= √𝑎𝑛.𝑚
para todo a de R, n, m de R
Potencia de una Raíz (√𝑎𝑛)𝑚= √𝑎𝑚
𝑛 para todo a de R, n, m de R
La potenciación y la radicación NO son distributivas respecto de la suma y la resta de números reales.
LOGARITMO DE UN NÚMERO REAL POSITIVO.
Sea a > 0 y a ≠ 1 , e y > 0, llamaremos logaritmo en base a de y al único número x que
verifica ax = y . Es decir,
loga y = x ⇔ ax = y
Ejemplos:
log2 16= 4 pues 24=16
log2 32 =5 pues 25=32
Recordemos algunas propiedades de los logaritmos:
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
loga (x . y) = loga x + loga y
2. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base:
loga (xy) = y . loga x
62
A partir de estas dos propiedades se pueden deducir las siguientes:
3. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador:
loga (𝑥
𝑦) = loga x - loga y
4. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz:
𝑙𝑜𝑔𝑎 √𝑥𝑦
= 1
𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 =
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥
𝑦
5. El logaritmo de la base es siempre 1: loga a = 1
6. El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base: loga 1 = 0
Ejemplos: Calcular:
a) log2 (8 . 4)=log2 (8 . 4) = log2 8 + log2 4 = 3 + 2 = 5
b) log41
64=log4 1 - log4 64 = 0 - 3 = -3
Las calculadoras científicas permiten solamente obtener logaritmos decimales y neperianos. Los
logaritmos decimales son los logaritmos de base 10, y se acostumbra denotar log10 x = log x omitiendo la base.
El logaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base es el número e ≅ 2,7182 y se denota loge x,
o bien ln x .
Si queremos calcular logaritmos en otra base b, es conveniente realizar un cambio de base, como sigue:
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑎
Ejemplo: Calcular log2 3
𝑙𝑜𝑔23 = 𝑙𝑜𝑔103
𝑙𝑜𝑔102= 1,58496
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS (C)
Los números reales, a pesar de sus excelentes propiedades, presentan una gran deficiencia, no existe
ningún número real que verifique la relación x2 + 1 = 0.
63
Por esta razón, los matemáticos tuvieron la necesidad de “inventarse” un número, que llamaremos “i”,
y que tiene la propiedad de que i2 + 1 = 0. Se le ha dado también un significado numérico: 𝑖 = √−1, pero i no
pertenece al conjunto de los números reales.
Se crea entonces el conjunto de los números complejos. Se llama número complejo z, a todo par
ordenado de números reales (a, b), donde a la primera componente se la denomina real y a la segunda,
componente imaginaria.
z = (a, b)
Si el número complejo z = (a, b) tiene parte real cero se dice imaginario puro.
Si el número complejo z = (a, b) tiene parte imaginaria cero se dice real puro.
Por tratarse de pares ordenados, dos números complejos son iguales si y solo si tienen las mismas
componentes: z1 = (2, 3) ; z2 = (2, 3) luego z1 = z2.
Se define como opuesto de un número complejo (a, b), al complejo de la forma (-a, -b), y se lo designa
-z. Por ejemplo, si z = (3, 5) entonces su opuesto es -z = (-3, -5).
Se define como conjugado de un número complejo (a, b), al complejo de la forma (a, -b), y se lo
designa 𝑧. Por ejemplo: si z = (3, 5) entonces su conjugado es 𝑧. = (3, -5).
Para representar un número complejo utilizamos los ejes de coordenadas cartesianas. A continuación
se representan z, -z y 𝑧.
Existe otra forma de expresar los números complejos, es la llamada forma binómica:
z = a + bi , siendo a, b de R, i la unidad imaginaria, a se dice componente real y b se dice componente
imaginaria
De manera análoga a la escritura en pares ordenados, se definen complejos opuestos y conjugados.
64
Potencia de la unidad imaginaria
Los resultados de las potencias de la unidad imaginaria se repiten de cuatro en cuatro.
i0 = 1
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
Para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el
exponente de la potencia equivalente a la dada.
Por ejemplo: calculemos i22
Dividimos luego 22 = 4. 5 + 2
Es decir, i22 = (i4)5 · i2 = − 1 de donde resulta: i22 = −1
Suma en C
Sean z1= (a, b) y z2= (c, d), se llama suma al para ordenado (a+c; b+d), es decir:
z1 + z2 = (a, b) + (c, d) = (a+c; b+d) en forma de par ordenado,
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b+d)i, en forma binómica.
Para restar, se le suma al primero el opuesto del segundo:
z1 - z2 = (a, b) - (c, d) = (a, b) + (-c, -d) (a-c; b-d) en forma de par ordenado,
z1 + z2 = (a + bi) - (c + di) = (a + bi) + (-c - di) = (a - c) + (b-d)i, en forma binómica.
Por ejemplo:
a) ( 2, 3) + ( 1, -5) = ( 2 + 1 ) + ( 3 – 5 ) = (3, 2)
b) ( 2 + 3 i ) + ( 1 – 5 i ) = ( 2 + 1 ) + ( 3 – 5 ) i = 3 – 2 i
c) ( 2, 3) - ( 1, -5) = ( 2, 3) + ( -1, 5) = ( 2 - 1 ) + ( 3 + 5 ) = (1, 8)
d) ( 2 + 3 i ) - ( 1 – 5 i ) = ( 2 + 3 i ) + ( -1 + 5 i ) = ( 2 - 1 ) + ( 3 +5 ) i = 1 – 8 i
Multiplicación en C.
Se llama producto de z1= (a,b) con z2 = (c, d), al par ordenado (a.c – b.d , a.d + b.c). Es decir:
z1 . z2 = (a,b) . (c, d) = (a.c – b.d , a.d + b.c), en forma de par ordenado,
z1 . z2 = (a +bi) . (c + di) = (a.c – b.d ) + (a.d + b.c)i, en forma binómica.
Ejemplos:
a) (2, 3) . (4, 5) = ((2.4 – 3.5), (2.5 + 3.4)) = ((8 – 15), (10 + 12)) = (-7, 22)
65
b) (2 + 3i) . (4 + 5i) = (2.4 – 3.5) + (2.5 + 3.4)i = (8 – 15) + (10 + 12)i = -7 + 22i
División en C.
Para dividir números complejos en forma binómica se multiplica numerador y denominador por el
conjugado del denominador y se realizan las operaciones correspondientes.
a+bi
c+di =(a+bi). (c-di)
(c+di).(c-di) =(ac+bd)+(bc-ad)i)
c2+d2=ac+bd
c2+d2+bc-ad
c2+d2.i
Por ejemplo:
3+2i
1-2i=(3+2i).(1+2i)
(1-2i).(1+2i)=3+6i+2i+4i2
1-(2i)2=3+8i-4
1+4=1
5+8
5i
Potencias en C.
Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las propiedades que correspondan. Se
debe tener en cuenta la igualdad i2 = − 1:
(6 – 3i)2 = 62 – 2..3i + (3i)2 = 36 -36i -9 = 27 – 36i
El siguiente cuadro resume las propiedades que cumplen la suma y la multiplicación de números
complejos.
Operación Propiedad En símbolos
Suma Asociativa a + (b + c) = (a + b) + c para todo a; b; c de C
Conmutativa a + b = b + a para todo a; b de C
Elemento neutro Existe un elemento de C denotado por 0 tal que
a+0 = a para todo a de C
Elemento opuesto o inverso
aditivo
Para cada a de C existe b de C tal que a + b = 0
Multiplicación
Asociativa a . (b . c) = (a . b) . c para todo a; b; c de C
Conmutativa a . b = b . a para todo a; b de C
Elemento identidad Existe un elemento de C, que denotamos con 1, tal que 1
≠ 0 y a . 1 = a para todo a de C
Elemento inverso Dado a de C con a ≠ 0, existe un b de C tal que
a.b= 1
Distributiva de la multiplicación
respecto de la suma
a . (b + c) = a . b + a . c para todo a; b; c de C
a . (b + c) = a . b + a . c para todo a; b; c de C
66
MÓDULO 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Introducción:
Una empresa fabrica piletas de lona. En cada pileta el largo es igual doble del ancho y la altura tiene 50
cm. menos que el ancho.
Hagamos un esquema para representar la situación:
¿Cuál es la expresión que permite calcular el volumen de cada pileta en función del ancho?
Solución: El volumen de la pileta corresponde al volumen de un prisma:
vol prisma=ancho x alto x largo
Luego,
vol pileta=x . (x-50) . 2x
vol pileta= 2x3-50x2
Observando los resultados, se puede concluir que es posible operar con expresiones sin necesidad de
que todo sea numérico.
Este tipo de expresiones se conocen como Expresiones Algebraicas.
Expresiones algebraicas: es la combinación de números y variables letras, mediante operaciones de
suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las expresiones algebraicas se clasifican en:
● Expresiones algebraicas racionales: se llaman así a aquellas en que las variables están afectadas
únicamente por las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. En caso de haber potencias con letras,
estas van afectadas con exponentes enteros.
Expresión del
volumen de la pileta
67
(I). A su vez en este tipo distinguimos las Expresiones Enteras como por ejemplo a) y c), es decir,
aquellas en las que sus variables están relacionadas con las operaciones de suma, resta y multiplicación, y los
exponentes de las letras son enteros positivos.
(II). Expresión Algebraica Fraccionaria: En este caso alguna de las variables forman parte de un
divisor o están en un numerador con exponente negativo. Ej. b) y d)
(III). Expresión algebraica Irracional: se llama así a las que algunas de sus variables está afectada
por radicales o exponentes fraccionarios.
Valor numérico de una expresión algebraica:
Valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene cuando se sustituyen las
letras de la expresión por números.
Por Ejemplo:
x3 y – y2 +2x2 Para x= -1, y = 3 . Reemplazando obtenemos: (-1)3 .3 – 32 + 2.(-1)2 = -3 -9 +2 = -10
EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS
MONOMIO
Las expresiones algebraicas que están formadas sólo por la multiplicación de números, letras o números
y letras se llaman monomios.
Por ejemplo:
2zy; 4x3 son monomios.
No son monomios: 2
𝑥; 4√𝑥
En cada monomio hay una parte numérica que llamamos coeficiente, y una parte expresada con letras
que se llama parte literal. Cada una de las letras de un monomio se denomina variable. La suma de los
exponentes de las variables que forman la parte literal es el grado del monomio.
Los monomios que tienen la misma parte literal se llaman monomios semejantes.
Por ejemplo:
En el monomio: –7x2y3 se tiene:
68
— Coeficiente: –7
— Parte literal: x2y3
— Grado: 2 + 3 = 5
— –7x2y3 semejante a –2x2y3.
— –7x2y3no es semejante a 6x3y2.
OPERACIONES CON MONOMIOS
Suma y resta de monomios
Dos monomios sólo se pueden sumar o restar si tienen la misma parte literal, es decir, deben ser
semejantes. Para obtener el resultado se suman o restan los coeficientes y se mantiene igual la parte literal.
Ejemplos:
— 7x + 2x = 9x
— 10n + 3n – n = 12n
— 5a2 + 3a2 – 2a2 = 6a2.
— 7x + 2y: esta suma de monomios no se puede realizar porque no tienen la misma parte literal, no son
términos semejantes.
Puede darse el caso de que los coeficientes sean fracciones. La suma entre los coeficientes tendrá que
realizarse como una suma de fracciones.
Multiplicación y división de monomios
Para multiplicar o dividir monomios no es necesario que las partes literales sean iguales. El resultado
en estos casos siempre va a ser un monomio.
La multiplicación se realiza de la siguiente manera:
1. Se multiplican entre sí los coeficientes teniendo en cuenta los signos de los mismos.
2. Para obtener la parte literal, se multiplican las partes literales de los monomios.
Por Ejemplo
a) 2x2 · 4x 3 · x = (2 · 4) · x 2 + 3 + 1 = 8x 6
b) –2a · 5a3 · b = (–2 · 5) · a 1+3 · b = –10a4b
69
Para realizar la división, los pasos a seguir son:
1. Se dividen entre sí los coeficientes teniendo en cuenta su signo.
2. Para obtener la parte literal, se dividen las partes literales de los monomios, teniendo en cuenta
cómo se realizan las operaciones con potencias.
Por Ejemplo
a) 2a3 : 6a = 2
6 a3-1 =
1
3 a2
b) 10x 4y 3 : (–2)x 2y 3 = 10
−2 x 4-2 y 3 – 3 = –5x 2 · y 0 = –5 · x 2 · 1 = –5x 2
POLINOMIOS
Un polinomio es una expresión algebraica formada por sumas o restas de monomios no semejantes
llamados términos. El grado de un polinomio es el mayor grado de los monomios que lo forman.
Por ejemplo, el polinomio P(x)= 3x2 – 2x + 5, tiene tres términos y su grado es 2.
A los Polinomios los notaremos con: A(x), B(y) , P(x), P(y) , etc.
Coeficientes: son los números que acompañan a la indeterminada
Por Ejemplo: A(x) = 2 x4 – 5 + 7 x6 + 3 x2 + 0 x16 + 4x3
A (x) tiene por coeficientes: 2, -5 , 7 , 3 , 0 y 4 indeterminada: x
Entre ellos, a su vez diferenciamos dos coeficientes: el C. principal y el T. Independiente
● Coeficiente principal o director: es el coeficiente del mayor grado del polinomio. En los
ejemplos dados: 7 para A(x) y 4 para P(y)
● Término independiente: es el número real que no tiene indeterminada. Por ej. -5
● Grado del polinomio: es el mayor exponente de la indeterminada con coeficiente no nulo.
Según la cantidad de términos, un polinomio se denomina:
Monomio: si tiene un solo un término
Por Ej.: 5x2
Binomio: si tiene dos términos
Por Ej. : 8 + 2x
Trinomio: si tiene tres términos
Por Ej. : 4x5 + x - 3
Cuatrinomio: si tiene cuatro términos.
Y polinomio si tiene más de cuatro términos
70
Si P es un polinomio y n es el grado, lo notamos con G(P) = n
Por Ejemplo: A(x) = 2 x4 + 5 + 7 x6 + 3 x2 + 0 x16 + 4x3
G(A) = 6 Pues x6 es mayor exponente de las x (no es x16 pues el coeficiente es 0)
Polinomios completos y ordenados: Identificado el grado de un polinomio, si en los otros términos
están presentes todos los exponentes menores al grado, se dice que el polinomio está completo. Por ejemplo:
Q(x) = 6 + x3 + 3x – x2 está completo A(x) = 2 x4 – 5 + 7 x6 + 3 x2 + 4x3 está incompleto Pues el grado de A(x)
es 6 y faltan los términos de grado 5 y 1.
Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados de acuerdo a sus grados. Esto es, en forma
creciente, de menor a mayor grado o decreciente de mayor a menor.
Por Ejemplo: Q(x) = 6 + x3 + 3x – x2 esta desordenado y completo Q(x) = x3 – x2 + 3x + 6 está ordenado
en forma decreciente y completo.
Para completar, se agregan con sumas (o restas) los términos que faltan con coeficientes 0.
Por Ejemplo: A(x) = 2 x4 + 5 + 7 x6 + 3 x2 + 0 x16 + 4x3 (antes)
A(x) = 7x6 + 0x5 + 2 x4 + 4x3 + 3x2 + 0x + 5 (completo y ordenado en forma decreciente.)
Nota: El 0 es aunque no lo parezca un polinomio. Se llama polinomio nulo.
TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes cuando tiene la misma parte literal y
el mismo grado.
Por ejemplo: 3x4 , ½ x4 , -x4 , 0,45 x4 son semejantes En cambio : x2 , 2x , -x4 no son semejantes.
Valor numérico de un polinomio
Se llama valor numérico del polinomio Q(x) al número que se obtiene al sustituir la x por un valor
numérico dado y efectuar luego las operaciones indicadas.
Por Ejemplo: sea Q(x) = x2 + 3x – 4 hallar Q (2)
Reemplazamos x por 2 en Q y queda: Q(2) = 22 + 3.2 – 4 = 4 + 6 – 4 = 6
OPERACIONES CON POLINOMIOS
Adición y resta de Polinomios
La adición (resta) de dos polinomios P(x) y Q(x) es otro polinomio que cuyos términos se obtienen
sumando (restando) sus términos semejantes.
71
Por ejemplo: Sean los polinomios:
A(x) = 7 x6 + 0 x5 + 2 x4 + 4x3 + 3x2 + 0 x + 5 y Q(x) = – 6 x5 + 3x4 + 8x3 – 9x2 + 0 x - 2
Y se desea calcular: A(x)+ Q(x).
Una forma es colocar uno debajo del otro haciendo que coincidan los términos semejantes, de la
siguiente manera:
En el caso de realizar la resta: A(x) – Q(x) , se cambia de signo el sustraendo:
Multiplicación de Polinomios
● Multiplicación de un monomio por un polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la suma.
En el ejemplo, 3a · (a2 + 3a + 1) hay que multiplicar el monomio «3a» por cada uno de los términos del
polinomio. Se opera como una multiplicación normal entre monomios: se multiplican los coeficientes
respetando su signo y se multiplican las partes literales:
3a · (a2 + 3a + 1) = 3a · a2 + 3a · 3a + 3a · 1 = 3a3 + 9a2 + 3a
● Multiplicación de dos polinomios
Para obtener el resultado de la multiplicación
de dos polinomios habrá que multiplicar cada uno de
los monomios del primer polinomio por cada uno de
los monomios del segundo polinomio.
Posteriormente, nos fijamos si en el resultado se
pueden sumar monomios semejantes para reducir lo
más posible la expresión del polinomio resultante.
Por Ejemplo, Calculemos el producto entre:
P(x) = 5x – 11 y Q(x)= x2 + 2x + 4
Observaciones:
La multiplicación de polinomios cumple las propiedades:
Asociativa Conmutativa.
El polinomio neutro es el número 1, pues multiplicando 1
por cualquier polinomio no lo altera. Por tanto, es el
elemento neutro del producto.
Es distributiva respecto a la adición, cualesquiera que
sean los polinomios P(x), Q(x), R(x), se verifica que:
P(x)· [Q(x) + R(x)] = P(x) · Q(x) + P(x) · R(x)
72
Productos especiales
● Producto de la suma de dos términos por su diferencia:
(a + b).(a – b) = a2 – b2
Por Ejemplo: (x + 4 ) . (x – 4) = x2 – 16
● Producto de un binomio por sí mismo (cuadrado de un binomio):
(a + b).(a + b) = ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Por Ejemplo: (3x + 2) . (3x + 2) = 9x2 + 12x + 4
● Cubo de un binomio
(a+b)3=a3+3 a2b+3 a b2+b3
Por Ejemplo: (3x+1)2= 27x3+18x2+6x+1
División de Polinomios:
Recordemos que para números enteros podemos realizar el algoritmo de la división, así, si queremos
dividir 11 por 4 obtenemos
Se verifica que 11 = 4 . 2 + 3 , y el resto es siempre menor que el divisor.
Es posible realizar la división de polinomios en forma análoga a ésta.
Sean los polinomios P(x) y Q(x) llamados dividendo y divisor, existen dos únicos polinomios C(x) y
R(x) denominados cociente y resto, tales que: P(x) = Q(x) . C(x) + R(x) y el gr(R(x)) < gr(Q(x)) o R(x)=0
73
Por Ejemplo: Calculemos P(x) : Q(x) Con P(x) = 5 x4 +2 x3 -6x2 -2 x +6 y Q(x) = x2 +2
El cociente entre dos polinomios P(x) y Q(x) es posible siempre y cuando el grado del primero sea
mayor o igual al grado del segundo.
Raíz de un polinomio
Cuando el valor del resto es igual a ceo (R(x) = 0 ), significa que dicho polinomio es divisible por “x-
a” y este valor x = a se denomina raíz del polinomio. En ese caso se dice que P es múltiplo de Q o que Q es
divisor de P. Un número “a” es raíz de un polinomio P(x) si P(a) = 0.
Regla de Ruffini
En los casos particulares de división donde el divisor es de la forma “x - a”, se puede obtener el cociente
y el resto, mediante un método sintético siguiendo el algoritmo que a continuación se detalla con un ejemplo.
Ejemplo: Calculemos P(x) : Q(x) con P(x) = 2x4 - 4x3+ 3x2 - 5x+ 6 y Q(x) = x + 3
Observamos que el divisor tiene la forma “x - a” con a = -3, disponemos y operamos con los coeficientes
de la siguiente manera:
El cociente C(x) es un polinomio con coeficientes los cuatro primeros números y con indeterminada x,
de grado 3 (uno menos que P).
En general el polinomio cociente es otro polinomio de la misma indeterminada con el grado n-1 del
dividendo y los coeficientes son los números que se obtienen en el último renglón menos el último número, que
es el Resto.
El dividendo debe estar completo y
ordenado en forma decreciente
El divisor debe estar ordenado
74
Teorema del Resto
El resto de la división de un polinomio P(x) por el binomio x – a es igual al valor numérico de dicho
polinomio para x = a, es decir P(a).
Consideremos el ejemplo de la división anterior, donde aplicamos Ruffini.
P(x) = 2x4 - 4x3 + 3x2 - 5x+ 6
Q(x) = x +3
P(-3) = 2 (-3)4-4 (-3)3 + 3 (-3)2 -5 (-3) + 6 = 162 + 108 + 27 + 15 + 6 = 318
FACTORIZACION DE POLINOMIOS
Factorizar un polinomio es descomponerlo como producto de polinomios primos
Para factorizar polinomios existen varios casos:
I) Factor común:
Procedimiento:
1° Paso: Buscamos el factor común (que es el mcd de los coeficientes multiplicada por la
indeterminada elevada a su menor exponente)
2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio que
resulta de dividir el polinomio dado por el factor común
Por Ejemplo: 2x3y – xy2 + 3x2 y = x y (2x2 – y + 3x)
II) Factor común por grupos:
Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores
comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes, finalmente se extraen los factores comunes
diferentes por agrupación de términos.
Procedimiento
1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común, se sustrae dicho
factor común en cada uno de los grupos.
2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.
3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común
Por Ejemplo: 2ax –4bx + ay – 2by = 2x (a-2b) + y (a-2b) = (a-2b) (2x+y)
Observación: se puede comenzar a asociar de otra forma.
75
III) Trinomio cuadrado perfecto:
Se basa en los desarrollos del prodcto especial visto anteriormente: el cuadrado de un binomio
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Procedimiento:
1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.
Y calculo sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases.
2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que el doble
producto figura en el trinomio dado,
3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un Trinomio
Cuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.
Por Ejemplo: x2 + 6x + 9 = (x +3)2
OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES:
● Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las bases del
Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo.
● Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las bases del
Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos.
IV) Cuatrinomio cubo perfecto:
Se basa en la fórmula del cubo de un binomio:
(a+b)3 = a3 +3 a 2b + 3 a b 2+b3
Procedimiento:
1°Paso: Se reconocen los cubos perfectos
Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán las bases.
2° Paso:
Luego calculo:
● el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda
● el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda
Luego nos fijamos si estos cálculos figuran en el cuatrinomio dado,
3° Paso: Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un Cuatrinomio Cubo
Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.
Por Ejemplo: 8x3 – 60 x2 +150 x-125 = (2x-5)3
OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE:
Las bases que figuran en el Cubo del Binomio van a conservar su signo
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V) Diferencia de cuadrados:
Se basa en la siguiente fórmula:
a2 – b2 = (a + b) . (a - b)
Procedimiento:
1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.
2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)
3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por
dichas bases.
Por Ejemplo: 4x2 – 25 = (2x+5). (2x-5)
VI) Suma o diferencia de potencias de igual grado:
Estos polinomios se factorean usando la suma o diferencia de las bases según sean.
Todas las posibilidades se resumen en la siguiente tabla:
77
MODULO 3: ECUACIONES
Escuchemos a estas dos mujeres:
"La cuarta parte de mi vida la pasé en una casa de campo. La mitad en un pueblo, y los últimos 10
años, viviendo en esta ciudad. ¿Cuántos años crees que tengo?"
La otra mujer, tras pensar, responde: "Cuarenta años"
Veamos qué ha pasado aquí:
La primera mujer daba usaba un lenguaje ordinario la segunda, se estructuraba en su cabeza un
lenguaje matemático:
Como hemos visto, todo problema matemático puede expresarse en lenguaje ordinario o en lenguaje
matemático.
Daremos a continuación una serie de conceptos que nos permitirán revisar un concepto ya conocido;
ECUACIÓN
Igualdad: es una relación donde dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor.
Por Ejemplo: 5 = 3 + 2 ; a = b - c; 3x + 7 = 16.
Ecuación: es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada solamente para
valores particulares de las variables contenidas en ellas.
Por Ejemplo: a) 8x +9 = 25 b) x + y = 2y - 5.
Incógnitas: son las variables que aparecen en una ecuación algebraica, cuyo valor desconocemos y
generalmente se denotan por las últimas letras del alfabeto x, y, z,w, etc.
Los miembros de una ecuación son las expresiones que están a ambos lados del signo igual.
Así, se llama primer miembro a la de la izquierda y segundo miembro al de la derecha.
Ejemplo:
78
Un valor es solución si se verifica la ecuación. Esto es, si se sustituyen las soluciones en lugar de la/s
incógnitas, convierten a la ecuación en identidad.
Importante:
-Hay expresiones que parecen ecuaciones pero en realidad son identidades, pues al intentar resolverlas al
final queda una igualdad que es válida para infinitas soluciones reales y no únicamente x= 0 (como algunos
concluyen).
- No siempre una ecuación de primer grado tiene solución real, a pesar de resolverla bien.
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Se llama así al proceso de hallar la/s solución/es de una ecuación.
Para resolver una ecuación, se transforma dicha ecuación, aplicando propiedades, en una ecuación
equivalente de la forma x = k, cuya solución es inmediata.
La ecuación equivalente tiene las mismas soluciones que la ecuación original.
79
ECUACIÓN POLINÓMICA DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Si, en particular, P(x) es un polinomio de primer grado, entonces tenemos una ecuación polinómica de
primer grado en la variable x.
El ejemplo dado, se muestra las propiedades que se ponen en juego para resolverlo:
2x + 40 = 0
Teniendo en cuenta que xR, ahora la resolvemos, aplicando sucesivamente las propiedades de las
operaciones en R, agregando números en forma conveniente.
2x + 40 = 0
2x + 40+ (-40) = 0 + (-40) prop. . uniforme
2x + [40 +(-40)] = 0 + (-40) prop .asociativa de la +
2x + 0 = 0 + (-40) Prop. del opuesto de la +
2x = - 40 Elemento neutro de la +
1
2. (2x) =
1
2. (-40) prop. uniforme
(1
2.2).x =
1
2 (-40) prop. asociativa de la multiplicación
1. x = 1
2 (-40) prop. del inverso multiplicativo
x = 1
2 (-40) Neutro del producto
x = -20
En algunas ecuaciones sintetizaremos el procedimiento en forma práctica “despejando” x.
Si estamos frente a un polinomio P(x), al igualar la expresión a 0, estamos planteando una ecuación:
P(x) =0
Así en esos casos, resolver una ecuación polinómica es encontrar las raíces de P(x); es decir, los valores de
x, que anulan el polinomio.
Resolución de problemas mediante ecuaciones de primer grado
Existen situaciones problemáticas que se pueden resolver mediante una ecuación. El “problema” de
estas situaciones es la INTERPRETACION que cada persona realiza y no siempre son equivalentes. Para
minimizar estos inconvenientes, hay que identificar las operaciones presentes, las veces que se invoca a las
incógnitas y por supuesto la igualdad. Hay términos lingüísticos que dan pistas sobre qué operación está en
juego y si hay más de una, la conveniencia de usar paréntesis u otro símbolo para incluirlas o separarlas,
dichas convenciones se encuentran en la siguiente tabla:
“Plantear una ecuación significa expresar en símbolos matemáticos una condición formulada con palabras; es
una traducción de un lenguaje corriente al lenguaje de las fórmulas matemáticas. Las dificultades que podamos tener al
plantear ecuaciones son dificultades de traducción. En primer lugar, hemos de comprender totalmente la condición. En
segundo lugar, hemos de estar familiarizados con las formas de expresión matemática.” George Polya
80
Por Ejemplo
1) Si al doble de un número desconocido se le disminuye 3 se obtiene el mismo número aumentado en
6. ¿Cuál es el número?
Planteo: 2x – 3 = x + 6 con x: el número desconocido
2) Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces
mayor que la edad del hijo?
Planteo: P= x +35 H= 5 + x con P: edad del Padre y H: edad del hijo
x + 35 = 3.(x+5)
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO
Situación problemática:
La ecuación de demanda de cierto producto es p + 2x = 25 y la ecuación de oferta es p - 3x = 5, en
donde p es el precio y x la cantidad demandada o suministrada, según sea el caso. Calcular los valores de x y
de p en el punto de equilibrio de mercado.
Este tipo de problemas se lo plantea utilizando un sistema de dos ecuaciones lineales en las incógnitas
p y x : Es decir :
{𝑝 + 2𝑥 = 25𝑝 − 3𝑥 = 5
En general: Dados dos expresiones algebraicas enteras de indeterminadas x , y el conjunto de dos
ecuaciones de primer grado en las variables x,y se llama sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas y se expresa usando la siguiente notación::
81
Resolución de un sistema de ecuaciones lineales
Resolver un sistema de ecuaciones lineales significa encontrar, si existen, el o los puntos en común
que posean las rectas que intervienen en el sistema. Llamamos conjunto solución al conjunto de *pares
ordenados que verifican a todas las ecuaciones a la vez. Un sistema de Ecuaciones Lineales puede tener:
MÉTODOS ANALÍTICOS DE RESOLUCIÓN
Existen diversos métodos para resolver un sistema:
1. Método de Sustitución
Consiste en
1°) Despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones, encontrando una expresión
2°) Sustituir la expresión anterior en la otra ecuación, la cual se transformará en una ecuación con una
sola incógnita lo que nos permite resolverla.
3°) Reemplazar en la expresión del paso 1 el valor hallado en el paso 2
Ejemplo: Sea el sistema de ecuaciones
1°) Despejamos x de la primera ecuación:
x=3 - 2y EXPRESIÓN
2°) Sustituimos la expresión anterior en la otra ecuación:
2. (3 - 2y) - y = 1
82
Y la resolvemos:
6 - 4y – y = 1
-5y = 1- 6
y= (-5) : (-5)
y = 1
3°) Reemplazamos el valor de y en la expresión: x = 3 -2.1
x = 1
Luego, la solución del sistema dado es el punto (1,1)
2. Método de Igualación
El método de igualación consiste en:
1°) Despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones, obteniendo dos expresiones.
2°) Igualar las expresiones, obteniendo así una ecuación con una incógnita, que se puede resolver
3°) Reemplazar el valor obtenido en el paso anterior en cualquiera de las expresiones del paso 1.
Ejemplo: con el mismo sistema
1°) Despejamos x en ambas ecuaciones : x = 3 - 2y
x = 1
2 y
2°) Igualamos las expresiones
3 - 2y =1
2 y
y la resolvemos
2. (3 - 2y) = 1 + y
6 - 4y = 1 + y
- 4y - 1y = 1 - 6
- 5y = -5
y=1
3°) Reemplazamos el valor de y en cualquiera de las expresiones:
x = 3 - 2.1
x = 1
3. Método por Determinantes
Se trabaja solamente con los coeficientes de las incógnitas y se forman los siguientes determinantes:
83
Ejemplo: Con el sistema anterior:
Calculamos: ∆= |1 22 −1
| = 1. (−1) − 2.2 = −1− 4 = −5
x= |3 2 1 -1 |
∆=3.(-1)-1.2
-5=-3-2
-5=1
y= |1 3 2 1 |
∆=1.1-2.3
-5=1-6
-5=1
ECUACIÓN POLINÓMICA DE SEGUNDO GRADO
Resolver una ecuación de 2° grado consiste en determinar las raíces de polinomio de grado dos. Una
ecuación de segundo grado tiene por lo menos una solución.
Ecuación normalizada (Reducida o canónica):
84
Cuando el coeficiente principal es 1. Por ejemplo: x2 – 5x + 3
Método para determinar la solución
1°) Ecuación completa: la ecuación es completa si contiene los tres términos citados.
Para resolverla se utiliza la fórmula resolvente:
2°) Ecuación Incompleta: la ecuación es incompleta si b=0 o c=0
● Si b=0 la ecuación es de la forma ax2+c=0
De donde 𝑎 = ±√−𝑎
𝑎
Por Ejemplo: determinar las raíces de la ecuación: -2x2+8= 0
Luego 𝑎 = ±√8
2= ±√4 ∴ 𝑎1 = +2 𝑎 𝑎2 = −2 son las raíces de la ecuación dada.
● Si c=0 la ecuación es de la forma ax2+bx=0
De donde 𝑎 = 0 o 𝑎 = −𝑎
𝑎
Por Ejemplo: determinar las raíces de la ecuación 2x2+x=0
Luego 𝑎 = 0 o 𝑎 = −1
2
Carácter de las raíces
Se llama discriminante (lo notamos con ) al radicando de la fórmula resolvente.
= b2 – 4 a .c
Suponiendo que a, b, c sean números reales, las raíces de una ecuación de segundo grado pueden ser:
Propiedades de las raíces
85
Esto nos permite factorear el trinomio presente en el primer miembro de la ecuación, los que sean
cuadrados perfectos y los que no.
Esta propiedad se aplica para la resolución de las ecuaciones de manera mental, buscando dos
números que sumen –b y que multiplicados arrojen el resultado c.
Por Ejemplo. Determinar el valor de m en la ecuación: 6x2 − mx +15 = 0 , sabiendo que la suma de
sus raices es 1.
De la ecuación cuadrática podemos ver que:
a = 6
b = -m
c = 15
Luego x1 + x2 = - b
a ⇒ x1 + x2 = −
-m
6 ⇒ 1=−
-m
6 ⇒ m = 6
ECUACIONES EXPONENCIALES
Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece en un exponente. Para
resolverlas debemos tener presente que:
● Siempre que sea posible, es conveniente expresar ambos miembros de la igualdad como
potencias de una misma base y aplicar las propiedades de la potenciación.
● Para hallar las incógnitas también es posible usar logaritmos.
86
Observemos algunos ejemplos:
I. 2x = 32
2x = 25 → Es posible expresar el 32 como potencia de 2
x = 5 → Si las bases son iguales en ambos lados de la igualdad, para que ésta se cumpla, los
exponentes deben ser iguales; por lo tanto igualamos los exponentes y resulta una ecuación lineal.
II. 2x. 23. (1
2)4= 64 → Es posible aplicar las propiedades de la potenciación
2x+3- 4= 26
x + 3 – 4 = 6 → igualamos los exponentes, resulta una ecuación lineal.
x = 7
III. 2x+1- 2x-3 + 2x = 23 →Como esta ecuación tiene SUMAS Y RESTAS de potencias de igual
base no hay ninguna propiedad que permita agrupar los exponentes. Entonces, buscamos aislar 2x aplicando
propiedades y sacando factor común.
2x+1- 2x-3 + 2x = 23 → Existe una suma o resta de términos.
2x.21- 2x.2-3 + 2x = 23 → Es posible aplicar producto de potencias de igual base
2x.(2 – 2-3+ 1) = 23→Sacamos factor común 2x
2x.(2 –(1
2)3+ 1) = 23 → aplicamos potencia de exponente negativo
2x.(2 - (1
8) +1) = 23
2x. (23
8) = 23 →Resolvemos el paréntesis
2x = 23 . (8
23)
2x = 8
2x = 23 →Es posible expresar como potencias de igual base
x = 3 → Igualamos los exponentes
IV. 2x = 5 → En este caso NO podemos resolver con los procedimientos antes vistos, para ello
será necesario aplicar la definición de logaritmo.
2x = 5 entonces x = log2 (5) →Por definición de logaritmo
5 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑙𝑜𝑔 (5)
𝑙𝑜𝑔𝑙𝑜𝑔 (2) →Podemos usar cambio de base
x =̃ 2,32 →Usando la calculadora.
87
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita (x) aparece en el argumento de
algún logaritmo.
Para resolverlas tendremos que:
● Agrupar los logaritmos en uno solo, usando las propiedades, siempre que sea posible.
● Aplicar la definición de logaritmo, cuando la incógnita está en el argumento.
● Descartar los valores que no verifiquen la ecuación, pues solo existen logaritmos de números
positivos.
Observemos algunos ejemplos:
I. log2 (x + 1) = 3 →Como la x está en el argumento, se aplica la definición de
logaritmo. Entonces
23 = x + 1
8 = x +1
x = 8 – 1
x = 7
II. 6 . log2 x – 5 log2 x + log2 2 = 6 → propiedad de la potencia de logaritmos
log2 (x)6 – log2 (x)5 + 1 = 6 y resolvemos los que se puedan.
log2 𝑥6
𝑥5 = 6 − 1 →Propiedad del cociente de logaritmos.
log2 x = 5 → Podemos aplicar la definición.
25 = x
x = 32
III. log3 x – log9 x = 1 → Acá los logaritmos tienen distinta base. Aplicamos el cambio de
base y luego aplicamos las propiedades para agruparlos.
Es conveniente pasar log9 x = 1 a base 3; entonces
𝑥 ) = 𝑥 )
9 ) =
𝑥 )
2 reemplazando en la ecuación original:
log3 x – 1
2 log3 x = 1 → Resolvemos la suma algebraica
2.log3 x – log3 x = 1
2
2.log3 x – log3 x = 2
log3 (x2 : x) = 2 →Agrupamos aplicando propiedades.
log3 x = 2 → Podemos aplicar la definición
32 = x
9 = x
88
MODULO 4: FUNCIONES
Introducción
La noción actual de función comienza a gestarse cuando los filósofos medievales comenzaron a
preocuparse por medir y representar gráficamente las variaciones de ciertas magnitudes como la velocidad de
un cuerpo en movimiento, o la diferencia de temperatura en los distintos puntos de un objeto metálico.
El personaje más influyente fue “Nicole Oresme”, en París, que fue el primero en usar diagramas para
representar magnitudes variables en el plano, señalando los valores de la variable independiente a lo largo de
una recta y los de la dependiente a lo largo de una perpendicular a ella.
En el siglo XVII, (1694), G. Leibniz, uno de los inventores del Cálculo, introdujo el término función
en el lenguaje matemático que se originó por el interés en el cambio. Hay una variable natural que está
cambiando constantemente, que es el tiempo y a medida que pasa, las cosas cambian. Cuando el hombre fue
capaz de medirlo, fue natural e inevitable que se le ocurriera tratar de medir cómo y cuánto cambian las cosas
y es a partir de ese momento que surge la idea.
Cuarenta años más tarde, Leonhard Euler introdujo la notación y=f(x).
Este Módulo tiene un tema central: las correspondencias entre variables, que llamamos funciones. Pero
tiene un objetivo que va más allá del tema funciones: es mostrarle, a través de ellas, que la Matemática no es
solamente una materia importante en su plan de estudios, sino también una herramienta que le permitirá analizar
y entender mejor muchas situaciones que se presentan en su vida cotidiana, en su trabajo, en la lectura de un
diario o de una publicidad, por ejemplo para leer una factura de servicios de electricidad o gas, en el estudio de
otras materias, fundamentalmente Física y Química.
Ejemplo: Temperaturas a lo largo de un día
Hemos tomado nota de las temperaturas anunciadas por radio a lo largo de un día de invierno en el Gran
Buenos Aires, desde las 5 a las 22 y 30. Obtuvimos los siguientes datos:
La tabla presenta en poco espacio y con comodidad de lectura la información que recogimos. Por
ejemplo, podemos ver que temprano en la mañana hizo “bajo cero”, que hacia el mediodía la temperatura
había aumentado varios grados, que a las 7 la temperatura fue más baja que a las 6 y cuarto, etc.
Las tablas brindan una forma práctica de presentar muchos datos.
Teniendo en cuenta los datos de la tabla, responda las siguientes preguntas:
89
1. A las 21h hizo 7 grados. ¿Habrá hecho esa misma temperatura en algún otro momento del
día?
2. ¿Cuál habrá sido la temperatura aproximada a las 17h?
3. La mínima que registramos fue - 2.4. ¿Habrá sido la mínima del día?
Responder a estas preguntas habría resultado quizá más sencillo si previamente hubiésemos graficado
los datos de la tabla en ejes cartesianos:
La temperatura varía en forma continua, no a los saltos. En nuestra tabla no parece haber habido
cambios bruscos. Por estas dos razones hemos trazado una poligonal uniendo los puntos de los datos.
También podríamos unirlos con una curva “suave”. Esta gráfica es segura en los horarios en que registramos
la temperatura, y aproximada en los demás momentos del día.
Observe la gráfica y responda las siguientes preguntas:
1. ¿En qué momentos del día la temperatura aumentó y en cuáles disminuyó?
2. ¿Cuándo hizo 0º? ¿Y 5º?
3. Ni la tabla ni la gráfica nos indican qué pasó antes de las 5 ni después de las 22.30. Esos
horarios están fuera del dominio en el que registramos datos. ¿Podríamos realizar alguna suposición respecto
de la temperatura para esos horarios?
4. ¿Podría decir cuáles son las variables que se relacionan?
La Matemática estudia estas relaciones entre variables, y las llama funciones. Este será el tema
principal de este Módulo.
El estudio de funciones permite conocer variaciones, estimar qué sucede en valores intermedios, y a
veces predecir más allá de esos valores.
90
Una función es una relación entre dos conjuntos A y B que le hace corresponder a cada
elemento de A un y sólo un elemento de B.
El conjunto A se llama Dominio de la función y B Codominio de la función.
Es usual designar con “x” a cualquier elemento del conjunto de partida y con “y” a cualquier
elemento del conjunto de llegada. Se dice que “x” es la variable independiente y que “y” es la variable
dependiente
A las funciones se les llama f, g, h, etc. y se indica: f : A → B o f : y = f(x).
O también puede definirse una función como:
Esta última notación se lee “y es función de x” o “y es imagen de x por medio de f”
Si A y B son subconjuntos de números reales se dice que las funciones son FUNCIONES
ESCALARES o NUMERICAS
Representación Gráfica de funciones
La gráfica de una función f : A → B, se define como el conjunto de pares ordenados de la forma:
(x, f(x)), con x 𝑎
La representación gráfica de f se llama curva y se consigue marcando los puntos del conjunto en el
plano.
De lo anterior tenemos en el eje x los elementos del dominio y en el eje y los elementos del conjunto
de llegada.
Funciones dadas por gráficos cartesianos
Las dos condiciones dadas en la segunda definición pueden interpretarse gráficamente si toda recta
vertical corta a la gráfica de una relación en uno y solo un punto, entonces la relación es función.
Por Ejemplo:
a)
b)
Si es función pues las rectas verticales
corta a la curva en un punto.
91
Se dice que x es un cero de f, si y sólo si f(x) = 0. Geométricamente los ceros de una función son los
puntos en que la gráfica intersecan o corta al eje X.
Clasificación de funciones
● Función Inyectiva:
A una función en la que a cualquiera par de elementos diferentes del dominio les corresponde
imágenes diferentes se le llama función inyectiva (significa uno a uno)
Ejemplos:
a) f: 𝑎 𝑎 b) f: 𝑎 [0, )
● Función Suryectiva:
Si todo elemento del codominio de una función f es imagen de al menos un elemento de su dominio,
entonces f es una función suryectiva
Ejemplos:
a) f: 𝑎 𝑎 b) f: 𝑎 [0, )
No es función pues las rectas verticales
cortan a la curvan en más de un punto.
Es decir, hay un elemento en el dominio
al cual le corresponden dos imágenes
92
● Función Biyectiva
Si la función es inyectiva y suryectiva entonces es biyectiva
Ejemplo:
En distintas circunstancias se hace necesario conocer la intersección de la gráfica de f con los ejes
coordenados.
● Intersección con el eje de las abscisas: Ceros de la función
Son los puntos de la forma P(x; 0) de la gráfica. Pueden o no existir. A los valores de x que satisfacen
esta condición se les llama ceros de la función
Entonces surge la siguiente definición:
x = a es un cero de f si y solo si f(a) = 0
● Intersección con el eje de las ordenadas: f(0)
Es el punto Q (0 , y) de la gráfica. Puede o no existir. Al valor de y que satisface esta condición se le
llama f(0) (se lee f de cero.
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
● Se dice que la función y=f(x) es creciente en el intervalo (a, b) si se cumple que:
Si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2) para todo x1 y x2 que se encuentren entre a y b
● Se dice que una función y= f(x) es decreciente en el intervalo (a, b) si se cumple que:
93
Si x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2) para todo x1 y x2 que se encuentren entre a y b
Máximos y Mínimos relativos de una función
● Un número c es un máximo relativo de una función f, si f(x)< f (c) para toda x en algún
intervalo abierto que contenga a c.
● Un número m es un mínimo relativo de una función f, si f(x) >f (m) para toda x en algún
intervalo abierto que contenga a m.
Máximos y Mínimos absolutos de una función
● Se dice que la función f alcanza un máximo absoluto en el punto a del dominio si
para todo x perteneciente al mismo, x ≠ a, la imagen de x es menor que la de a.
● Se dice que la función f alcanza un mínimo absoluto en el punto a del dominio si
para todo x perteneciente al mismo, x ≠ a, la imagen de x es menor que la de a.
Por Ejemplo. Sea la función dada por la siguiente gráfica:
Dominio [-3,9]
Conjunto Imagen [-3,4]
Ceros x1= 3 y x2= 7
Ordenada al origen (0,2)
Intervalos de crecimiento (-1,1) y (5,9]
Intervalo de decrecimiento [-3, -1) y (1,5)
Máximos relativos -3, 1, 9
Mínimos relativos -1 y 5
94
Las funciones, en general se clasifican en: Algebraicas y Trascendentes (no algebraicas).
𝑭𝑼𝑵𝑪𝑰𝑶𝑵𝑬𝑺
{
𝑨𝑳𝑮𝑬𝑩𝑹𝑨𝑰𝑪𝑨𝑺 {
𝑬𝒏𝒕𝒆𝒓𝒂𝒔 𝒐 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏ó𝒎𝒊𝒄𝒂𝒔 𝑹𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍𝒆𝒔
𝑻𝑹𝑨𝑺𝑪𝑬𝑵𝑫𝑬𝑵𝑻𝑬𝑺{
𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍𝑳𝒐𝒈𝒂𝒓í𝒕𝒎𝒊𝒄𝒂
𝑻𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 𝑶𝒕𝒓𝒂𝒔
FUNCIONES POLINOMICAS
Una función f se llama polinómica si puede escribirse como f(x)= anxn+an-1xn-1+ …+a1x+a0, donde n
es un entero no negativo, y los coeficientes an,an-1,…,a1, a0 son números reales.
Si an≠ 0 entonces el grado de la función polinómica y an es el coeficiente principal.
El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales.
Hay funciones polinómicas especiales, algunas de las que veremos son:
● Función constante
● Función polinómica de 1° grado
● Función polinómica de 2° grado
● FUNCION CONSTANTE
Es aquella función de la forma f(x)= k, con k una constante. Su grafica es:
Su Dominio es 𝑎 y su rango {k}
Ejemplo: Sea f definida por f(x)=3. Su dominio es 𝑎 y el rango es {3}
Su gráfica es:
95
FUNCIÓN POLINOMICA DE 1°GRADO O FUNCIÓN AFIN
Una función afín es una función polinómica cuya expresión es un polinomio de grado 1, del tipo:
f(x) = ax + b con a,b 𝑎
La gráfica de una función afín es una recta.
Al número a se le denomina pendiente de la recta e informa de la inclinación de ésta y b es la
ordenada al origen que indica el punto donde la gráfica de la función corta al eje y.
Por ejemplo:
Puntos de corte con los ejes:
● con el eje X: (−𝑎
𝑎,0) llamado cero de la función
● con el eje Y: (0, b) llamado ordenada al origen
Crecimiento:
● la función es creciente si a >0
● la función es constante si a = 0
● la función es decreciente si a < 0
Un tipo especial de funciones afines son las funciones lineales: una función lineal es una función afín
cuya ordenada al origen es 0. Su representación es una recta que pasa por el origen.
Por ejemplo:
96
Rectas Paralelas y Perpendiculares
● Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
● Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversas y opuestas.
Ejemplos
Son rectas paralelas Son rectas perpendiculares
FUNCIÓN POLINÓMICA DE 2°GRADO O FUNCIÓN CUADRATICA
Una función cuadrática es una función cuya expresión es un polinomio de grado 2. Su forma
general es:
f(x)= ax2+bx+c con a, b,c 𝑎
Su representación gráfica es una parábola, cuyos elementos esenciales son:
Si una función cuadrática tiene por expresión f(x) = ax2 + bx + c,
● el eje de simetría es la recta x = –𝑎
2𝑎
● el vértice es el punto (–b
2a, f(
–b
2a) )
● las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba si a > 0, y hacia abajo si a < 0.
● Raíces de la parábola: se calculan con la fórmula x1,2=-b±√b2-4ac
2a
● Puntos de cortes con los ejes:
con el eje X: los puntos cuya x resuelve la ecuación ax2 + bx + c = 0. Pueden ser:
97
dos: si b2 – 4ac > 0. Raíces reales y distintas
uno: si b2 – 4ac = 0. Raíces reales y coincidentes
ninguno: si b2 – 4ac < 0. Raíces complejas conjugadas
con el eje Y: (0,y)
● Crecimiento:
si a > 0, decreciente en el intervalo (–∞,–𝑏
2𝑎), creciente en el intervalo (
–𝑏
2𝑎,+∞).
si a < 0, creciente en el intervalo (–∞,–𝑏
2𝑎), decreciente en el intervalo (
–𝑏
2𝑎,+∞).
En general,
FUNCION EXPONENCIAL
Una función exponencial tiene la forma:
donde “a” es la base de la potencia y la variable “x” es el exponente.
Esta función tiene un comportamiento asintótico, el cual depende del valor de la base; por esta razón
se examinará el comportamiento de la función exponencial a través de dos ejemplos, para luego generalizar y
entrar a la definición.
Ejemplo 1: Analizar numéricamente el comportamiento de la función:
El análisis consiste en observar que sucede con los valores de la función (valores para “y”) cuando la
variable “x” toma valores muy pequeños; así como cuando toma valores muy grandes.
98
CONCLUSIÓN: Cuando los valores de “x” son pequeños la curva de la función se acerca a la
asíntota horizontal y=0, mientras que cuando se hacen grandes la curva continúa con un comportamiento
creciente. Observe que cuando x=0 la función toma el valor y=1
Ejemplo 2: Analizar numéricamente el comportamiento de la función:
Realizando un análisis similar al de ejemplo anterior se tiene:
CONCLUSIÓN: Cuando los valores de “x” son pequeños, la curva de la función tiene imágenes muy
grandes, esto equivale a decir que al realizar el análisis de izquierda a derecha, la función tiene un
comportamiento decreciente. Cuando los valores de “x” son grandes, la función se acerca a la asíntota
horizontal y=0. Observe que cuando x=0, la función nuevamente toma el valor y=1
En el primer ejemplo la base de la función exponencial es un número mayor que uno y la función
exhibe un comportamiento creciente. En este ejemplo la base es un número entre cero y uno, de tal forma que
su comportamiento es decreciente
Con base en lo estudiado previamente, al generalizar se logra definir la función exponencial de la
forma que se presenta a continuación.
99
Una función exponencial de base “a” se define de los reales a los reales positivos, de tal forma que
esta base debe ser un número positivo diferente de uno y de cero, su grafica presenta una asíntota horizontal
en y=0. La función se define de la forma siguiente:
Las gráficas típicas de la función exponencial se muestran a continuación:
En resumen, las funciones exponenciales son de la forma y=ax, con a>0.
• Su dominio es IR.
• Es continua.
• Si a>1 es creciente y decreciente si 0<a<1.
• Corta al eje y en (0,1) y pasa por (1,a)
• El eje x es asíntota horizontal.
La función exponencial se presenta en multitud de fenómenos de crecimiento animal, vegetal,
económico, etc. En todos ellos la variable es el tiempo.
En el crecimiento exponencial, cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una
cantidad constante a.
Donde k es el valor inicial (para t=0), t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se
multiplica en cada unidad de tiempo.
Por Ejemplo: Las amebas son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos. Supongamos
que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamente cada hora, y que
inicialmente solo hay una ameba. Calcular el número de amebas que habrá según pasan las horas.
100
El número total al cabo de x horas será y = 2x Si al comienzo del proceso había k amebas, el número
total sería: y = k .2x
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Dada una función inyectiva, y=f(x), se llama función inversa de f a otra función, g, tal que g(y)=x.
En la figura adjunta se puede ver la inversa de la función exponencial.
Para cada x se obtiene ax. Al valor obtenido lo llamamos y o f(x). La función inversa de la
exponencial es la que cumple que g(y)=x.
Esta función se llama función logarítmica y, como puedes observar, es simétrica de la función
exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.
La función logarítmica se puede definir como la función inversa de la función exponencial y=ax, cuyo
dominio son todos los reales positivos y rango todos los reales, es decir:
La grafica de una función logaritmo presenta asíntota vertical en x=0.
Las gráficas típicas de una función logarítmica se presentan a continuación:
101
En resumen, las funciones logarítmicas son las que asocian a cada número x su logaritmo en
una cierta base, a, y=loga(x).
• Su dominio son los reales positivos y el recorrido es IR
• Es continua
• Si a>1 es creciente y decreciente si 0<a<1.
• Corta al eje OX en (1,0) y pasa por (a,1)
• El eje OY es asíntota vertical.
Por Ejemplo: En la figura se representa la gráfica de y=log2x de forma similar a como se hizo con la
exponencial.
102
MODULO 5: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
PUNTO, RECTA, PLANO Y ESPACIO
Los elementos punto, recta, plano y espacio son entes abstractos a los cuales en matemática no
puede darse una definición; sólo representaciones de ellos.
El punto, la recta, el plano y el espacio son conceptos primigenios, primitivos; son ideas
concebidas en un lugar no físico; aunque Euclides planteaba su existencia por “evidente”.
Nuestra Galaxia puede representar un punto comparándolo con el Universo. La tierra puede
representar un punto comparado con la Vía Láctea. Una persona puede representar un punto
comparado con la tierra, el dibujo de un círculo de 1mm de diámetro puede representar un punto
comparado con nosotros. Un átomo puede representar un punto comparado con el dibujo de un círculo
de 1mm de diámetro. Un electrón puede representar un punto comparado con un átomo.
Si dos personas están relativamente lejos entre ellos, uno puede representar al otro con un
punto. Pero no podemos decir lo que es un punto; porque ni siquiera dos electrones cerca uno del otro
pueden representar a un punto.
Estos elementos no están vinculados de ninguna manera por los conceptos de inclusión (…está
incluido en…) o pertenencia (…es elemento de…) en la geometría clásica. No podemos de decir que
la recta es un conjunto de puntos o que la intersección no vacía entre dos rectas es al menos un punto.
Lo correcto es decir que un punto está en una recta si es que la recta incide o “pasa” por ese
punto (estar no como sinónimo de pertenecer). Una recta está en un plano si el plano incide o “pasa”
por esa recta. Un plano está en un espacio si el espacio incide o “pasa” por ese plano.
103
Todos los puntos por los que incide una misma recta se dice que están alineados. Un punto en
una recta determina dos regiones en esa recta, región formada por el punto y “un lado” de la recta; a
cada región se le denomina semirrecta.
Todas las rectas por las que incide un mismo plano se dice que son coplanares. Una recta en
un plano determina dos regiones en este plano, región formada por la recta y “un lado” del plano; a
cada región se le denomina semiplano.
Todos los planos por los que incide un mismo espacio se dice que son coespaciales. Un plano
en un espacio determina dos regiones en ese espacio, región formada por el plano y “un lado” del
espacio; a cada región se le denomina semiespacio.
GEOMETRÍA DEL PLANO
Se llama geometría del plano a la rama de la matemática donde se estudian las relaciones y propiedades
referidas a todos los puntos y todas las rectas por las que incide un único plano.
Además de los puntos y las rectas, solamente veremos las figuras denominadas ángulo, las figuras
denominadas segmento y las figuras denominadas triángulo, todos en un mismo plano.
RECTAS EN UN PLANO
Si tenemos dos rectas en un plano, puede pasar que sean:
• Paralelas, o
• Secantes.
Si son paralelas significa que no inciden por ningún punto (paralelas disjuntas) o incidan por al menos dos
puntos distintos, es decir todos sus puntos coinciden (paralelas coincidentes).
104
Si son secantes, significa que inciden por un único punto.
Si las rectas secantes forman ángulos rectos al incidir, se llaman rectas perpendiculares.
ÁNGULO
Recordemos que una recta en el plano lo divide en dos regiones; y que dos semirrectas en el plano con el mismo
origen también lo dividen en dos regiones.
Llamaremos ángulo convexo a la figura que está formada por la intersección de dos semiplanos
de bordes no paralelos; incluidos todos en un mismo plano:
Si las semirrectas son coincidentes, el ángulo se llama nulo; si las semirrectas son opuestas, el
ángulo se llama llano; si las rectas que inciden por esas semirrectas son perpendiculares/ortogonales entonces
105
el ángulo se llama recto.
MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Todos los ángulos tienen área infinita, por lo que comparar en función del área no es posible;
para resolver este problema se considera como referencia el ángulo llano y dependiendo del sistema de medición
se le hace corresponder un valor, una medida, a este ángulo referencial.
Sistema sexagesimal
Se divide el ángulo llano en ciento ochenta (180) partes congruentes usando 179 rayos todos
con origen en el vértice. Cada una de estas partes también es un ángulo al que se la hace corresponder el valor
1 y su unidad de medida el “grado sexagesimal” simbolizado con: º
Puede entenderse que un 1º es la medida de la abertura entre los lados de uno de estos obtenidos
de dividir el ángulo llano en 180 partes congruentes. En este sistema al ángulo llano le hace corresponder 180º.
En este sistema, a cada “un grado sexagesimal” se lo divide en sesenta (60) partes congruentes
usando 59 rayos todos con origen en el vértice. Cada una de estas partes también es un ángulo al que se le hace
corresponder el valor 1 y su unidad de medida el “minuto sexagesimal” simbolizado con: ´. O sea que 60´=1º
En este sistema, a cada “un minuto sexagesimal” se lo divide en sesenta (60) partes congruentes
usando 59 rayos todos con origen en el vértice. Cada una de estas partes también es un ángulo al que se la hace
corresponder el valor 1 y su unidad de medida el “segundo sexagesimal” simbolizado con: ´´. O sea que 60´´=1´
Si tiene que operar entre medidas de ángulos en este sistema, debe usar el símbolo
para diferenciar entre cantidad de “grado sexagesimal”, “minuto sexagesimal” y “segundo
sexagesimal” con su calculadora en modo deg: D.
SISTEMA RADIAL
Con centro en el vértice del ángulo llano y con cualquier radio R, se traza media circunferencia
sobre el ángulo. Se define la medida del ángulo llano al cociente (división) entre la medida/longitud de esa
media circunferencia y el valor del radio R. Como es una división entre dos longitudes, el valor del ángulo llano
es adimensional, que no tiene unidad de medida.
La longitud de media circunferencia es R, siendo 3,1416. En este sistema al ángulo llano
le hace corresponder R/R = (valor independiente del valor del radio R).
Si tiene que operar entre medidas de ángulos en este sistema, debe ingresar los números
adimensionales, con su calculadora en modo rad: R.
El comentario final es que el ángulo nulo tiene medida cero (0), el ángulo recto tiene medida la mitad
del ángulo llano (90º = /2) y en base a esto se definen dos casos siguientes:
ENTONCES: 180° =
106
a) un ángulo se llama agudo si su medida es menor que la del ángulo recto.
b) un ángulo se llama obtuso si su medida está entre las medidas del ángulo recto y la del ángulo
llano.
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
SIMBOLOGÍA
Se las nombra con letras del alfabeto griego por lo general:
: alfa : beta : ji : delta : épsilon
: fi : gamma : eta : iota : kappa
: lambda : my : ny : ómicron : pi
: theta : rho : sigma : tau : ýpsilon
: omega : xi : psi : zeta
Colocándole el símbolo “^” encima. Las letras están en minúscula.
TIPOS DE ÁNGULOS
Ángulos complementarios: son dos ángulos que juntos forman el ángulo recto.
Ángulos suplementarios: son dos ángulos que juntos forman el ángulo llano.
107
Ángulos consecutivos: son dos ángulos que tienen un lado completo en común.
Ángulos adyacentes: son dos ángulos consecutivos y suplementarios a la vez.
NOTA:
y
son No consecutivos porque no tienen un lado en común, sino una
parte.
Ángulos opuestos por el vértice: son dos ángulos cuyos lados son semirrectas opuestas; siempre son
congruentes.
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS SECANTES
Si se da la medida de uno de los ángulos, encuentro los otros utilizando:
1) opuesto por el vértice (la misma medida)
2) ángulos adyacentes (a o a 180° le resto el valor dado)
108
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA SECANTE
Dadas dos rectas paralelas y una recta secante (en un plano), estas determinan ocho ángulos:
Vamos a definir (nombrar):
1) Ángulos internos: son los que están entre las paralelas:
,
,
y
(en este dibujo)
2) Ángulos externos: los que están fuera de las paralelas:
,
,
y
(en este dibujo)
3) Ángulos alternos: son de distinto lado de la secante:
,
,
,
con
,
,
,
(en este dibujo)
4) Ángulos correspondientes: del mismo lado de la secante, uno interno y otro externo y no adyacentes:
(
y
) (
y
) (
y
) (
y
) (en este dibujo)
5) Ángulos alternos: Internos: internos de distinto lado de la secante y no adyacentes:
(
y
) (
y
) (en este dibujo)
Externos: externos de distinto lado de la secante y no adyacentes:
(
y
) (
y
) (en este dibujo)
6) Áng. conjugados: Internos: internos del mismo lado de la secante:
(
y
) (
y
) (en este dibujo)
Externos: externos del mismo lado de la secante:
(
y
) (
y
) (en este dibujo)
Aclaración: se pone “en este dibujo” porque si nos cambian de letras no debemos confundirnos, no importa las
letras o símbolos, sino la forma o la relación de las cosas.
109
Propiedades:
1) Todos los ángulos correspondientes y todos los ángulos alternos son congruentes.
2) Todos los ángulos conjugados son suplementarios.
Entonces:
- Los ángulos marcados con “x” miden lo mismo.
- Los ángulos marcados con “” miden lo mismo.
- Cada ángulo marcado con “x” y cada ángulo marcado con “” son suplementarios.
TRIÁNGULOS
Dados tres puntos no alineados del plano, los tres segmentos que ellos determinan dividen al plano en
dos regiones.
Llamaremos triángulo a la figura que está formada por:
i) los tres puntos (que llamamos vértices),
ii) los tres segmentos (que llamamos lados) y por
iii) los puntos de una misma región que determinan segmentos que no cortan a ningún lado (que llamamos
interior).
Elementos básicos de un triángulo
Clasificación de triángulos
Un triángulo se clasifica de acuerdo a la medida de sus elementos básicos; medida relativa de lados y
medida de ángulos interiores.
Por medida de sus ángulos:
a) triángulo acutángulo: sus tres ángulos son agudos.
b) triángulo rectángulo: uno de sus ángulos es recto.
c) Triángulo obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso.
Por medida relativa de sus lados:
a) triángulo isósceles: al menos dos lados miden lo mismo.
b) triángulo escaleno: ningún lado mide lo mismo que otro.
110
Observe que un triángulo equilátero es un caso particular de triángulo escaleno, donde sus tres lados miden lo
mismo.
De aquí en adelante consideraremos en todo momento triángulos rectángulos para nuestros propósitos,
ya sea para el teorema de Pitágoras como para las razones trigonométricas.
TEOREMA DE PITÁGORAS
Dado un triángulo rectángulo, al lado opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa, a los otros
dos lados simplemente catetos.
El Teorema de Pitágoras dice: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la medida de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos”
hipotenusa
CUIDADO: No es aconsejable asociar con que
el lado de mayor medida es la hipotenusa porque
puede que el triángulo no sea rectángulo.
hipotenusa
CUIDADO: No es aconsejable aprender
relaciones de letras con la memoria; recuerde
que el Teorema de Pitágoras se aplica a sólo
triángulos rectángulos luego de identificar la
hipotenusa y los catetos.
111
POLÍGONOS:
Un POLÍGONO es una figura geométrica en el plano limitada por segmentos que se cortan dos a dos.
Elementos de un polígono:
Lados: los segmentos que limitan el polígono
Vértices: los puntos donde se cortan los lados
Diagonales: segmentos que unen dos vértices no consecutivos.
Ángulo interior: ángulo que forman dos lados consecutivos.
Ángulo central: ángulo formado por dos radios consecutivos.
Un polígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos de la misma medida, si no, se dice que es irregular.
Clasificación atendiendo al número de lados: triángulo (3), cuadrilátero (4), pentágono (5), hexágono (6),
heptágono (7), octógono (8), eneágono (9), decágono (10), endecágono (11), dodecágono (12), ….
CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros, como su propio nombre indica, son aquellos polígonos de cuatro lados y por lo tanto
cuatro ángulos . Se clasifican según el paralelismo de sus lados en :
1.Trapezoides: son los que no tienen ningún lado paralelo a otro .
2.Trapecios: son los cuadriláteros con dos lados paralelos
Los trapecios se pueden clasificar en :
112
3.Paralelogramos son aquellos cuadriláteros que tienen los lados paralelos dos a dos y por lo tanto los
ángulos opuestos (no adyacentes) son iguales y los lados opuestos también lo son.
Los paralelogramos se pueden clasificar en:
• Cuadrados: sus cuatro lados miden lo mismo y sus cuatro ángulos también.
• Rectángulos: sus lados opuestos miden lo mismo y sus cuatro ángulos son iguales.
• Rombos: sus cuatro lados miden lo mismo y sus ángulos opuestos miden lo mismo.
• Romboides: sus lados opuestos miden lo mismo y sus ángulos opuestos miden lo mismo.
FIGURAS CIRCULARES:
Una CIRCUNFERENCIA es una curva cerrada en el plano con todos sus puntos situados a la misma distancia
de un punto fijo llamado centro. La superficie que encierra una circunferencia es el círculo.
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA:
113
CÍRCULO
Es la superficie contenida dentro de la circunferencia. Un círculo queda determinado cuando conocemos la
posición de su centro y la magnitud del radio.
Elementos del círculo
Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos
de esta.
Radio: es el segmento que une el centro y un punto cualquiera de la circunferencia.
Diámetro: es el mayor segmento inscrito; pasa por el centro y divide al círculo en dos.
Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.
Arco: es una parte de la circunferencia de la figura.
Recta secante: Es la recta que corta al círculo en dos partes de diferente área.
Recta tangente: es la recta que toca al círculo en un solo punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el
punto de tangencia.
Las figuras circulares más importantes son:
a) Semicírculo: cada una de las partes que resultan de dividir a un círculo con un diámetro.
b) Sector circular: parte del círculo limitado por dos radios y su arco.
c) Segmento circular: parte del círculo limitada por una cuerda y su arco.
114
PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS PLANAS
Perímetro: suma de las longitudes delos lados de la figura
Área : la medida de la superficie de la figura
115
TRIGONOMETRÍA
Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ: trigōnos (triángulo) y μετρον: metron (medida). 1. f.
Mat. Estudio de las relaciones numéricas entre (las medidas de) los elementos que forman los triángulos planos
y esféricos. Aunque en este Curso Nivelatorio se dará trigonometría plana a nivel introductorio.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Dado un triángulo rectángulo; identificamos la hipotenusa, los dos catetos y los dos ángulos
interiores agudos utilizando una nomenclatura adecuada.
Para uno de esos ángulos un cateto será opuesto a él y el otro cateto se denomina su adyacente;
pero para el otro ángulo será en viceversa:
Con las medidas de los tres lados podemos determinar seis razones (divisiones) denominadas razones
trigonométricas, a saber:
𝑎
ℎ =
𝑏
ℎ =
𝑎
𝑏 =
ℎ
𝑎 =
ℎ
𝑏 =
𝑏
𝑎
Observe que hay tres fracciones que son inversas de la otra terna.
Para un mismo ángulo agudo𝜃 cualquiera se definen el “seno”, el “coseno”, la “tangente”, la
“cosecante”, la “secante” y la “cotangente”, todos para este mismo ángulo como sigue:
𝑠𝑒𝑛𝜃 =𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑡.𝑜𝑝.𝑎:�̂�
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑡.𝑎𝑑𝑦.𝑎:�̂�
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑡.𝑜𝑝.𝑎:�̂�
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑡.𝑎𝑑𝑦.𝑎:�̂�
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃 =𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑡.𝑜𝑝.𝑎:�̂� 𝑠𝑒𝑐𝜃 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑡.𝑎𝑑𝑦.𝑎:�̂� 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑚𝑒𝑑. 𝑐𝑎𝑡.𝑎𝑑𝑦.𝑎:�̂�
𝑚𝑒𝑑. 𝑐𝑎𝑡.𝑜𝑝.𝑎:�̂�
Entonces para cada ángulo agudo tenemos:
𝑠𝑒𝑛𝛼 =𝑎
ℎ 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑏
ℎ 𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑎
𝑏
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼 =ℎ
𝑎 𝑠𝑒𝑐𝛼 =
ℎ
𝑏 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑏
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝛽 =𝑏
ℎ 𝑐𝑜𝑠𝛽 =
𝑎
ℎ 𝑡𝑎𝑛𝛽 =
𝑏
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛽 =ℎ
𝑏 𝑠𝑒𝑐𝛽 =
ℎ
𝑎 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝛽 =
𝑎
𝑏
cateto opuesto al ángulo
cateto adyacente al
ángulo
cateto adyacente al ángulo
cateto opuesto al
ángulo
116
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS BÁSICAS
Dado un triángulo rectángulo, para cualquier ángulo agudo se cumple que:
a) 𝑡𝑎𝑛𝜃 =𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
b) 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 = 1 se desprende del teorema de Pitágoras.
c) 𝑡𝑎𝑛2𝜃 + 1 = 𝑠𝑒𝑐2𝜃 se desprende de (b) al dividir por 𝑐𝑜𝑠2𝜃
d) 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛2𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃 se desprende de (b) al dividir por 𝑠𝑒𝑛2𝜃
APLICACIONES
En la práctica se pide “resolver” un triángulo, que debe entenderse dar las medidas de los tres lados y
las medidas de sus tres ángulos interiores.
En el caso de triángulos rectángulos, donde ya se conoce que un ángulo es recto, con conocer dos
valores numéricos de dos elementos (excepto que sean el de los dos ángulos agudos) es suficiente para encontrar
los otros tres valores de medidas de los restantes elementos.
En triángulos rectángulos, puede suceder que nos den datos de dos lados y con ellos hallar el de los
restantes ó puede suceder que no den los datos de un lado y un ángulo agudo y con ellos hallar el de los restantes.
Caso 1: Se conocen la medida de un lado y la de un ángulo agudo.
a) para hallar la medida de los otros dos lados, usamos razones trigonométricas.
b) para hallar la medida del ángulo restante usamos el hecho que son complementarios.
Caso 2: Se conocen la medida de dos lados.
a) para hallar la medida del otro lado, usamos el teorema de Pitágoras.
b) para hallar la medida de los ángulos interiores usamos razones trigonométricas.
Caso 1
a) Si conocemos un ángulo agudo y la hipotenusa usamos seno y coseno. Si conocemos un ángulo
agudo y un cateto usamos tangente y seno (ó coseno).
b) para hallar la medida del otro ángulo, a la medida del ángulo recto le restamos el dato.
Caso 2
a) Si conocemos la medida de dos lados usamos Pitágoras para hallar la medida del otro.
b) Si conocemos la hipotenusa y un cateto usamos seno y coseno para hallar la medida de los ángulos.
Si conocemos los dos catetos usamos tangente y cotangente para hallar la medida delos ángulos.
117
Por teorema de
Pitágoras el otro cateto
tiene medida 4
EJEMPLOS RESUELTOS.
I) Exprese las medidas siguientes en el sistema sexagesimal o en el radial según corresponda.
a) 𝜋8= 𝜋
8∙ 180°
𝜋= 22,5° j) 10° =10° ∙ 𝜋
180°=
1
18𝜋
b) 𝜋4= 𝜋
4∙ 180°
𝜋= 45° k) 20° =20° ∙ 𝜋
180°=
1
9𝜋
c) 1 =1 ∙ 180°𝜋≅ 57°17´45´´ l) 30° =30° ∙ 𝜋
180°=
1
6𝜋
d) 𝜋3=
𝜋
3∙ 180°
𝜋= 60° m) 40° 40° ∙ 𝜋
180°=
2
9𝜋
e) 𝜋2=
𝜋
2∙ 180°
𝜋= 90° n) 50° =50° ∙ 𝜋
180°=
5
18𝜋
f) 2 = 2∙ 180°𝜋≅ 114°35´30´´ o) 70° = 70° ∙ 𝜋
180°=
7
18𝜋
g) 34𝜋 = 3
4𝜋 ∙ 180°
𝜋= 135° p) 80° =80° ∙ 𝜋
180°=
4
9𝜋
h) 3 = 3∙ 180°𝜋≅ 171°53´14´´ q) 100° =100° ∙ 𝜋
180°=
5
9𝜋
i) = ∙ 180°𝜋= 180° r) 110° =110° ∙ 𝜋
180°=
11
18𝜋
II) Hallar las restantes razones trigonométricas en cada caso.
1) Un ángulo agudo�̂� tiene 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 3
5. Halla las restantes razones trigonométricas de este ángulo.
1º método: Usando triángulos
Ahora aplicamos las definiciones de las razones
trigonométricas y encontramos:
5
3=sen
5
4cos =
4
3tan =
3
5cos =ec
4
5sec =
3
4cot =
2º método: Usando las identidades básicas
Por la identidad 1cos22 =+ sen tenemos que:
22 1cos sen−=
25
16
25
91
5
31cos
2
2 =−=
−= →
5
4cos =
Luego, usando estos dos valorescalculamos todas las
demás razones:
4
3
5
45
3
.cos
.tan ===
sen
así sucesivamente……
3
5
118
2) En el siguiente triángulo rectángulo, determina:
a) Las razones trigonométricas del ángulo�̂� (seno, coseno,
tangente y sus inversas).
Sol.: hallamos la longitud de la hipotenusa:
cmcba 15912 2222 =+=+=
5
3
15
9==sen
5
4
15
12cos ==
4
3
12
9tan ==
3
5=cosec
4
5sec =
3
4=cotan
b) Las medidas del ángulo�̂� y la del �̂�.
Calculadora en modo deg: D (sexagesimal)ó en modo rad: R (Radianes).
Sol.: 4
3=tg 6435,0''12'52º36º87,36
4
3== tgarc
Para hallar se procede: Shift , tan , ( ¾ ) = .
3
4cottan == an 9273,0''48'7º53º13,53
3
4== tgarc
III) Resolver los siguientes triángulos
a) c = 15 cm y = 35°
º55º35º90º90 =−=−=
cmcmcac
a5,10º35tan15tantan ====
cmcmc
bb
c3,18
º35cos
15
coscos ====
b) a = 5,0 cm y b = 8,2 cm
cmcmabc 5,624,420,52,8 22222 ==−=−=
''19'34º372,8
0,5
2,8
0,5==== senarc
b
asen
''41'25º522,8
0,5cos
2,8
0,5cos ==== arc
b
a
c = 9 cm
a
𝛼
𝛽
b = 12 cm
119
c) b = 24 cm y '62º45'12'=
''48'14º27''12'45º62º90º90 =−=−=
cmcmbab
a99,10)''12'45º62cos(.24cos.cos ====
cmsencmsenbab
asen 34,21)''12'45º62(.24. ====
120
MODULO 6: ESTADÍSTICA
INTRODUCIÓN
En sus orígenes históricos, la Estadística estuvo ligada a cuestiones de Estado (recuentos, censos, etc.)
y de ahí proviene su nombre. Hoy en día está presente en todos los ámbitos humanos, tanto individuales como
colectivos. La Estadística ha penetrado en múltiples aspectos de la vida cotidiana haciendo familiares
términos como población, muestra, media, mediana, moda...
Puede asegurarse que cualquier persona informada de hoy en día posee un vocabulario básico de
estadística, lo entiende, lo utiliza y valora.
Prácticamente todas las ciencias, tanto científico tecnológicas como sociales utilizan en aspectos
fundamentales de las mismas a la estadística.
La Estadística surge ante la necesidad de poder tratar y comprender conjuntos numerosos de datos.
Los estudios estadísticos, en la actualidad, impregnan numerosos ámbitos: sanidad, mundo empresarial,
medios de comunicación, etc.
La Estadística, como otras ciencias, utiliza un lenguaje propio, términos específicos que necesitamos
definir previamente:
Población, muestra, individuo y carácter.
Las primeras definiciones necesarias para el inicio de cualquier estudio estadístico son población,
individuo, muestra y carácter.
● Población: Conjunto de todos los elementos que verifican una característica que será objeto
de estudio.
● Individuo: Cada uno de los elementos de la población.
● Muestra: Cualquier subconjunto de la población. Este subconjunto es muy importante
que sea representativo de la población.
● Variable o caracteres: Cada una de las propiedades que poseen los individuos de la
población y que
pueden ser objeto de estudio.
La definición de carácter debe ir acompañada de la siguiente clasificación:
La Estadística es la ciencia que se ocupa de la recogida de datos, su organización y análisis;
así como de las predicciones que, a partir de estos datos, pueden hacerse.
121
Recordemos entonces que ante cualquier estudio estadístico debemos tener en cuenta la identificación
de los elementos, de esta forma evitaremos errores en las conclusiones.
Variable estadística.
Todos los individuos de la población que vamos a estudiar tienen una serie de propiedades o
cualidades que en estadística reciben el nombre de caracteres.
Los caracteres pueden ser de dos grandes tipos:
a) CUALITATIVOS
b) CUANTITATIVOS
Un carácter cualitativo se caracteriza porque sus diferentes modalidades no pueden expresarse con
números.
Ejemplo
Tu color preferido.
Preguntamos a una serie de personas sobre sus preferencias en cuanto a colores.
La muestra sobre la que actuamos será de 10 personas de una ciudad cualquiera.
122
Variables discretas. Carácter cuantitativo discreto.
Se denomina así al carácter cuyas modalidades se pueden representar con números.
Dentro de los caracteres cuantitativos se distinguen dos tipos: Discreto y continuo.
Es discreto si toma valores aislados, de manera que entre dos consecutivos no existe otro
intermedio.
Ejemplo
¿Cuánto suman las caras superiores de dos dados previamente lanzados?
Lanzamos dos dados perfectos anotando la suma de los resultados de las caras superiores.
La muestra que consideramos será la suma de 8 pares de lanzamientos.
123
Los datos obtenidos son: 7, 6, 9, 2, 8, 1, 8 y 7.
Las características de estos valores son:
• Los valores que toman son aislados; entre 2 y 12.
• Los valores se pueden ordenar y contar.
• Entre dos valores consecutivos no existen valores intermedios.
Variables continuas. Carácter cuantitativo continuo.
Cuando las modalidades de un carácter cuantitativo pueden tomar valores de un conjunto de números
reales o un intervalo, al menos teóricamente, se dice que estamos ante un carácter cuantitativo.
Ejemplo
Pesando recién nacidos.
Vamos a preguntar el peso de los recién nacidos en una determinada ciudad.
La muestra sobre la que actuamos es de 40 bebes.
Ordenación de datos.
El paso siguiente al trabajo de campo es la disposición de los datos de manera ordenada, concisa y
visualmente atractiva.
En estadística, este proceso recibe el nombre de tabulación
Tabulación para variable discreta.
124
Los valores obtenidos se ordenan, especifican y agrupan de tal forma que sea fácil la información y
búsqueda.
Las primeras columnas que deben aparecer serán:
● Valores de la variable, X i .
● Frecuencia absoluta ( ) de cada valor : es el número total de veces que aparece el dato .
● Frecuencia absoluta acumulada ( ) de cada valor : es la suma de todas las frecuencias absolutas
correspondientes a los valores anteriores a y a la suya propia. No tiene sentido para variables cualitativas.
● Frecuencia relativa ( ) de cada valor : se calcula dividiendo la frecuencia absoluta
correspondiente entre el número total de datos N.
● Frecuencia relativa acumulada ( ) de cada valor : es la suma de todas las frecuencias relativas
correspondientes a los valores anteriores a y a la suya propia. No tiene sentido para variables cualitativas.
En algunos casos se puede utilizar el porcentaje en lugar de las frecuencias relativas o además de las
frecuencias relativas.
Ejemplo: Preguntamos a 20 alumnos el número de miembros de su familia, y sus respuestas fueron:
3, 5, 4, 3, 5, 6, 8, 3, 3, 5, 7, 5, 6, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 3
Miembros por familia
Frecuencia absoluta
Frecuencia absoluta
acumulada
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa
acumulada
3 5 5 0,25 0,25
4 4 9 0,2 0,45
5 6 15 0,3 0,75
6 2 17 0,1 0,85
7 2 19 0,1 0,95
8 1 20 0,05 1
Tabulación para variables contínuas
Los valores de las variables estadísticas continuas se agrupan por intervalos o clases. Además, si la
variable es discreta y toma muchos valores, también se suele agrupar por intervalos o clases.
125
El valor medio de cada clase o intervalo se llama marca de clase y se calcula como la semisuma
de los extremos del intervalo.
Para construir los intervalos tenemos que tener en cuenta:
- Es conveniente que el número de intervalos que debemos considerar en cualquier estudio esté
entre 5 y 10.
- Usualmente tomamos los intervalos con igual amplitud o longitud.
- El recorrido de la variable es la diferencia entre el valor más grande y el más pequeño. La
amplitud de cada intervalo se calcula dividiendo el recorrido de la variable entre el número total de intervalos.
Ejemplo 2.- A los 100 empleados de una empresa de piezas de precisión, se les ha realizado
una prueba de habilidad manual. En una escala de 0 a 100 se han obtenido las siguientes puntuaciones:
27, 66, 32, 55, 46, 37, 75, 81, 18, 33, 47, 74, 37, 52, 47, 66, 80, 87, 37, 29,
46, 15, 29, 90, 76, 67, 23, 35, 94, 23, 25, 56, 73, 78, 17, 28, 76, 58, 45, 36,
55, 60, 17, 56, 23, 82, 64, 50, 51, 45, 37, 65, 62, 26, 69, 36, 54, 42, 40, 54,
27, 62, 28, 65, 46, 92, 36, 33, 23, 66, 18, 82, 47, 49, 59, 45, 73, 43, 47, 83,
78, 65, 39, 36, 53, 91, 38, 35, 68, 78, 91, 23, 34, 43, 55, 56, 74, 56, 62, 38.
Observamos que los valores extremos son 15 y 94. La amplitud total entre los datos es de 80
puntos, ya que ambas puntuaciones están incluidas.
Agruparemos los datos en 8 intervalos de amplitud 10: ( 24,14 , ( 34,24 , …, ( 94,84 .
Realizando el recuento con atención, se obtiene la tabla que sigue:
Habilidad manual Marca de clase
ix
Frecuencias
if
( 24,14 19 10
( 34,24 29 12
( 44,34 39 17
( 54,44 49 18
( 64,54 59 13
( 74,64 69 13
( 84,74 79 11
( 94,84 89 6
126
GRÁFICOS PARA VARIABLES ESTADÍSTICAS
Las tablas estadísticas muestran la información de forma esquemática y están preparadas para
cálculos posteriores. La misma información estadística puede mostrarse de forma global y más expresiva,
utilizando los gráficos estadísticos. Los gráficos poseen un fuerte poder de comunicación de los resultados de
un estudio estadístico.
Detallamos, a continuación, los principales gráficos que permiten describir variables
cualitativas:
a) Diagrama de barras
Consiste en dibujar un rectángulo por cada
uno de los valores de la variable (xi), de modo que las bases
sean todas iguales, y la altura de cada rectángulo puede ser
la frecuencia absoluta o la frecuencia relativa .
El gráfico de la derecha corresponde a las
contestaciones realizadas por 30 estudiantes sobre el deporte
que practicaban con mayor frecuencia en el instituto.
b) Diagrama de sectores
Consiste en dividir un círculo en sectores circulares, uno para cada xi. El ángulo de cada sector
será proporcional a la frecuencia y se calcula con una regla de tres simple.
127
El gráfico de la derecha corresponde a las respuestas
de nuestros estudiantes sobre el tipo de película que les gusta
ver. Otra forma de organizarlos de forma más fácil de ver es
el diagrama de sectores.
c) Pictograma
Consiste en realizar dibujos alusivos a la distribución que se desea representar. En muchas
ocasiones son gráficos poco precisos, aunque fáciles de interpretar a simple vista.
Hay dos clases de pictogramas:
• Se utiliza un dibujo que representa la variable
estadística y ésta se repite tantas veces como haga falta
(frecuencia absoluta).
• El dibujo utilizado varía de tamaño dependiendo de
su frecuencia; a mayor frecuencia mayor es el dibujo.
El siguiente pictograma representa la evolución del número de hectáreas sembradas de trigo en un país.
d) Histogramas
Son análogos a los diagramas de barras o columnas pero para variables cuantitativas continuas
Consisten en rectángulos cuyas bases son cada uno de los intervalos y la altura es la frecuencia absoluta
correspondiente a dicho intervalo.
El eje vertical marca las frecuencias, y el horizontal los valores posibles de las variables. He aquí un
ejemplo:
128
e) Diagrama de frecuencias (o polígono de frecuencias)
Se trata de un tipo de gráfico lineal que utilizamos para la representación de la incidencia de
respuesta de una variable cuantitativa. El polígono surge de unir los puntos medios de las bases superiores de
las barras de un diagrama de barras, e incluso también de un histograma.He aquí un ejemplo de este tipo de
gráficos estadísticos.
Análisis y medición de datos
Para describir un conjunto de datos, se calculan algunas medidas que resumen la información y que
permiten realizar comparaciones.
Media aritmética.
A los parámetros o medidas estadísticas que informan sobre la tendencia habitual o central de los
datos de una distribución se les denomina en estadística medidas de tendencia central. La más utilizada es la
media aritmética.
1. La media no tiene porqué ser un valor propio de la variable.
2. Es muy sensible a valores extremos en los datos.
3. Se comporta de forma natural en relación con las operaciones aritméticas.
OBSERVACIÓN: Para calcular la media aritmética de valores que están agrupados en intervalos de
amplitud constante o variable, es necesario antes calcular la marca de clase o punto medio de cada intervalo y
multiplicarla por la frecuencia respectiva. La fórmula para aplicar es la misma que uso en el cálculo anterior,
teniendo presente que Xi representa la marca de clase.
129
Mediana.
La mediana es aquel valor de la variable estadística que deja el 50% de observaciones inferiores
a él; así pues, la mediana divide en dos partes iguales a la distribución estadística.
Dentro de las propiedades de la mediana se pueden destacar:
1. Como medida descriptiva no se ve tan afectada como la media por la presencia de valores
extremos.
2. Es de cálculo rápido y de fácil interpretación.
3. Tiene propiedades matemáticas complicadas que hacen que se utilice poco en inferencia
estadística.
Caso de pocos datos y en número impar.
En este caso se procede a ordenar los datos de menor a mayor, se considera el valor de la
mediana el que corresponde al lugar central.
Caso de pocos datos y en número par.
En este caso se procede a ordenar los datos de menor a mayor, se considera el valor de la
mediana el correspondiente a la semisuma de los dos lugares centrales.
Moda
Se define la moda como el valor de la variable estadística que tiene la frecuencia absoluta más alta.
Si existen varios valores con esta característica, entonces se dice que la distribución tiene varias modas
(plurimodal). Esta medida de centralización es sin duda la de más fácil cálculo. Se suele utilizar como
complemento a la media aritmética y mediana ya que por sí sola no aporta una información determinante de la
distribución.
No es tan sensible como la media aritmética a valores extremos.
Ejemplo:
Número de llamadas.
En un grupo de 20 personas se recogen el número de llamadas que realizan durante un día.
130
Resultando los siguientes valores: 4 personas hacen 1 llamada, 3 personas hacen 2 llamadas, 2 personas
hacen 3 llamadas...
Observa que en este ejemplo tenemos que la distribución es bimodal, ya que x1 = 1 y x5 = 5
corresponden con f1 = 4 = f5. Siendo ambas el máximo número de llamadas.
Bibliografía
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