ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO

EXTENSIÓN - LATACUNGA

CUADERNILLO PARA LA ASIGNATURA DE ÁLGEBRA

UNIDAD UNO: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y ECUACIONES

ING. IVÁN COLLANTES VÁSCONEZ

COORDINADOR

DR. MARCELO ROMÁN VARGAS DIRECTOR DEL DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

Septiembre de 2011.

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ÍndiceÍndiceÍndiceÍndice

PRESENTACIÓN ………………………………………………………………………………… 3

GENERALIDADES ……………………………………………………………………………… 4

I. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1 Números Reales: Clasificación, definición y propiedades ……………… …………6

1.2 Exponentes y radicales ………………………………………………………………… 14

1.3 Polinomios, definición, grado, clases de polinomios y valor numérico ………… 19

1.4 Operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicación y división……………… 23

1.5 Teoremas del residuo y del factor ……………………………………………………… 25

1.6 Productos y cocientes notables ………………………………………………………… 27

1.7 Binomio de Newton ……………………………………………………………………… 35

1.8 Descomposición factorial, métodos directos y por evaluación ……………………41

1.9 Máximo Común Divisor y mínimo común múltiplo ………………………………… 48

1.10 Fracciones algebraicas: definición, propiedades y operaciones…………………… 50

1.11 Racionalización…………………………………………………………………………… 53

1.12 Ejercicios de repaso……………………………………………………………………… 58

II. ECUACIONES

2.1 Conceptos básicos, identidad, ecuación y clasificación ……………………………67

2.2 Ecuación de primer grado con una incógnita………………………………………… 69

2.3 Ecuación de segundo grado con una incógnita, análisis del discriminante y

propiedades de las raíces…………………………………………………………………71

2.4 Ecuaciones reducibles a segundo grado ……………………………………………… 73

2.5 Ecuaciones polinómicas, raíces reales de un polinomio …………………………… 74

2.6 Sistemas de ecuaciones lineales, métodos de resolución, reducción, igualación,

Sustitución ………………………………………………………………………………… 75

2.7 Sistemas de ecuaciones no lineales …………………………………………………… 83

2.8 Aplicaciones de las ecuaciones en problemas literales……………………………… 85

2.9 Ejercicios de repaso……………………………………………………………………… 87

BIBLIOGRAFÍA …………………………………………………………………………………… 94

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PresentaciónPresentaciónPresentaciónPresentación

El fortalecimiento de la Escuela Politécnica del Ejército, Extensión Latacunga, en el

área de Matemática, se ha ido dando de manera sustentada en diversas

concepciones teóricas y metodológicas, orientadas al pensamiento lógico, crítico y

creativo de los jóvenes que conforman nuestra comunidad politécnica.

Este proceso de enseñanza – aprendizaje en el área de matemática se basa en un

sistema de desarrollo que combina conocimientos destrezas y habilidades a través

de situaciones en contexto y de métodos participativos, que posibiliten la

construcción del conocimiento esperado en el perfil de la carrera que cada uno de

los estudiantes a escogido como su futura profesión.

El fundamento integrador para entender matemáticas es desarrollar el pensamiento

lógico y crítico, para poder interpretar y resolver los problemas de la vida, es decir,

el proceso enseñanza – aprendizaje promueve en los estudiantes politécnicos la

habilidad de plantear y resolver problemas con tal variedad de estrategias,

metodologías y recursos que constituyan un hábito o costumbre para hacer frente a

todo tipo de actividad cotidiana.

Lo más importante es evitar que la resolución de un problema se convierta en un

simple proceso mecánico que se debe seguir cual si fuera una receta, sin un análisis

que genere otros conocimientos y que permita aplicar los conocimientos adquiridos

en otros contextos de la vida.

Es en este ámbito que el presente cuadernillo de álgebra pretende poner al alcance

tanto de docentes como estudiantes, varias metodologías, estrategias y técnicas en

la solución de problemas, que se evidencian de manera práctica en el desarrollo de

los ejercicios paso a paso, y en las sugerencias para resolver ciertos problemas de

manera directa o simplificando algunos pasos que resultan demasiado evidentes.

Estas técnicas y estrategias de solución estimulan el razonamiento y demostración

para alcanzar interpretaciones más acertadas y trabajen juntos por una mejor

calidad y competitividad en su formación profesional continua.

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GENERALIDADES

La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal que sigue una serie de convenciones propias,

cuyos símbolos representan un concepto, una operación, una entidad matemática según ciertas reglas.

Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.

Uno de los usos más comunes de los símbolos matemáticos se encuentra en la Programación de Sistemas

de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de

toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana.

En álgebra se utilizan muchos símbolos y algoritmos que permiten un desarrollo lógico para resolver un

problema o un ejercicio. Algunos principios básicos que debemos considerar son:

• Los símbolos algebraicos de una constante o una variable se representan en letra cursiva:

a, b, i, k, x, y, n, etc.

• Los símbolos de una operación se representan en letra redonda:

cos x, ln y, sen a, log b, tan π , xcx→

lim , etc.

No debe escribirse lnx en lugar de ln x porque eso representaría el producto xnl ×× en lugar del

logaritmo neperiano.

Nótese que la función seno se representa con letras redondas mientras que la variable a se representa con letra cursiva.

• Según la norma ISO 31 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales (i, e),

también se escriben con letra redonda: aex, ba + i, etc.

• La nomenclatura universalmente utilizada en matemáticas es la siguiente:

Operación Simbología Se lee

Pertenencia Ax∈ x pertenece a A

Ax∉ x no pertenece a A

Inclusión BA ⊂ A está contenido en B

BA ⊆ A está contenido en B o es igual a B

BA ⊃ A contiene a B

BA ⊇ A contiene a B o es igual a B

BA ⊄ A no está contenido en B

Conjuntos BA∪ A unión B

BA∩ A intersección B

A \ B A menos B

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Ø Conjunto vacío

∞ Infinito

Igualdad yx = x es igual a y

yx ±= x es igual al valor positivo y negativo de y

yx = El valor absoluto de x es y

Congruencia yx ≡ x es congruente con y

Desigualdad yx > x es mayor que y (aunque también puede leerse y es menor que x)

yx < x es menor que y (pero también puede leerse y es mayor que x)

yx ≠ x no es igual a y

yx ≥ x es mayor o igual a y

yx ≤ x es menor o igual que y

yx ≈ x es aproximadamente igual a y

yx → x tiende a y

Cuantificadores x∀ Para todo x

x∃ Existe por lo menos un x

x!∃ Existe un único x

yx / x tal que y

∑ Sumatoria

∑

=

n

k 0

Sumatoria desde k = 0 hasta n

x ∴ y x por lo tanto y

yx⇒ x entonces y

yx ⇔ x si y sólo si y (condición sine qua non)

Negación p¬ Excepto p, no p

Conjunción qp ∧ p y q

Disyunción qp ∨ p o q

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I. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1 LOS NÚMEROS REALES: CLASIFICACIÓN DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

Los Números Naturales es el conjunto de números que sirven para designar la cantidad de elementos que

tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {1, 2, 3, 4,…}

El cero, por lo general, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los

elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo), 3º (tercero),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de

contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado

de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son

operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números

naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por

eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro,

cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no

ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el

conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el

cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un

cociente se obtiene un resto.

Números enteros Z, son cualesquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus

opuestos incluyendo el cero. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, 0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar

por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a

cero grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo, etc.).

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su

resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el

dividendo es múltiplo del divisor.