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CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR “CUN” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

LÓGICA Y PENSAMIENTO MATEMÁTICO - GUIA DIDÁCTICA

DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA

TEORÍA BÁSICA DE CONJUNTOS

COMPETENCIA:

Usa los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos, hacia la apropiación de sus relaciones lógicas en diferentes

contextos estableciendo asimilaciones con el lenguaje natural hacia la solución de algunas situaciones problemas.

Historia

El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito. Los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann ya contenían ideas relacionadas con una visión conjuntista de la matemática. Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.

La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a George Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.

Definición y generalidades

Los conjuntos están relacionados con el proceso de contar y por lo tanto permiten resolver problemas que involucran el

concepto de cantidad. Se define un conjunto como una colección de objetos, símbolos o entidades bien definidas, que

reciben el nombre de elementos del conjunto. Los conjuntos generalmente se representan con letras mayúsculas y sus

elementos con letras minúsculas.

Ejemplo:

El conjunto de vocales V = {a, e, i, o, u}

El conjunto de los primeros cinco números impares N = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

Una clasificación de los animales desde la biología A = {terrestres, acuáticos, voladores, anfibios}

Representación de conjuntos

Los conjuntos se pueden representar de básicamente de tres formas:

Por extensión: cuando nombramos cada uno de los elementos del conjunto.

H = {león, tigre, pantera, jaguar, linces, gatos, pumas}

R = {cecílidos , salamandras, sapos y ranas}

Por comprensión: cuando se nombra el conjunto de acuerdo a una característica común de sus elementos. Se puede escribir

de varias maneras:

V = {vocales}, V = {x/x es vocal}, V = {x: x es vocal} (donde / y : se leen como tales que)

N = {números naturales impares menores que e iguales a 11}, N = {x/ 0




Estas dos representaciones descritas anteriormente se les llama también formas de determinar un conjunto (por extensión y por comprensión).

Representación gráfica: Una forma sencilla de visualizar los conjuntos y las relaciones entre ellos, es mediante la

utilización de esquemas gráficos llamados círculos de Euler o diagramas de Venn. Estos esquemas están

compuestos por una región cerrada del plano (generalmente un rectángulo), la cual representa el conjunto universal, y por

uno o varios círculos que representan los conjuntos a graficar.

Para indicar que un elemento es un miembro de un conjunto, se utiliza el símbolo (se lee pertenece a) y para

indicar que no está en el conjunto se utiliza el símbolo (se lee no pertenece a).

Relaciones entre conjuntos

En conjuntos se hace uso de tres clases de relaciones básicamente:

La primera se da cuando se está interesado en relacionar un elemento con un conjunto dado, se habla de una relación de

pertenencia y se usa la notación la cual se lee pertenece a, cuando el elemento no es parte de ese conjunto se usa la

notación la cual se lee no pertenece a.

Ejemplo: de acuerdo a los tres conjuntos representados anteriormente podemos establecer algunas relaciones tales como:

a V se lee a pertenece al conjunto V, también se puede leer como: a es una vocal

9 N se lee 9 pertenece al conjunto N, también se puede leer como: 9 es un elemento del conjunto N

Jaguar H se lee el jaguar es un animal que es parte del conjunto de los felinos

m V se lee como: m no pertenece al conjunto V o también como m no es vocal.

4 N se lee como: 4 no es un numero del conjunto N o 4 no pertenece a N

Perro H Perro no pertenece al conjunto de Felinos o perro no pertenece al conjunto H

La segunda se da cuando queremos relacionar un conjunto con otro conjunto, se habla de una relación de contenencia y

para esta se usa la notación , cuando se desea decir que un conjunto no es parte de otro se usa la notación . Como

ejemplos de esta relación tenemos:

Dado los conjuntos: D = {x / x es letra del abecedario}, V = {x: x es vocal}, C = {consonantes}, Z = {x: x

es par, x N}, P = {2, 4, 6}, N = {x/ 0



DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA C D El conjunto de consonantes está contenido en el conjunto de letras del alfabeto.

p E El conjunto que tiene como elementos el 2, 4, 6 está contenido en el conjunto de números enteros.

Z p El conjunto de números naturales pares no está contenido en el conjunto que tiene como elementos 2, 4,6.

E N El conjunto de números enteros no está contenido en el conjunto de números impares entre cero y doce.

C V El conjunto de consonantes no está contenido en el conjunto de vocales.

Esta relación la podemos leer en el sentido contrario, por ejemplo en el último caso podemos decir que el conjunto de

vocales no contiene al conjunto de consonantes.

CLASES DE CONJUNTOS

De acuerdo a la cantidad de elementos que posea un conjunto, este se puede clasificar como:

CONJUNTOS INFINITOS: son aquellos que no se pueden expresar por extensión.

Ejemplo: S = {x/ 0 ≤ x < 9, x R} ó Z = {x: x es par, x N}

Así en el primer ejemplo vemos los números reales que pertenecen al conjunto S en el intervalo [0,9) y en el segundo

ejemplo el conjunto de los números naturales que pertenecen a Z.

CONJUNTOS FINITOS: son aquellos cuyos elementos son contables y tiene fin el conteo.

Ejemplo: V = {x / x es vocal}, D = {x / x letra del abecedario}

En estos dos conjuntos es posible hacer el conteo total de los elementos que posee cada uno.

Otros conjuntos

CONJUNTO VACÍO: Un conjunto que carece de elementos se denomina conjunto vacío y se simboliza así: ø, {}

El conjunto vacio forma parte de cualquier conjunto, por lo cual se puede afirmar que: El conjunto vacío es un

subconjunto de todo conjunto.

Ejemplo:

R = {}

P = {x/x es mujer presidente de Colombia}, Es un conjunto vacio porque no tenemos presidente

mujer en Colombia “aun”

D = {x: x < 0, x N), D es un conjunto que carece de elementos, puesto que no existe ningún número natural que

sea negativo.

CONJUNTO UNITARIO: Se denomina al conjunto formado por un único elemento.

Ejemplo: A = {7}, es un conjunto con 1 elemento.

F = {ø}, es el conjunto con el elemento vacio, ejemplo; una caja vacía con otra caja vacía dentro.

Es el conjunto que tiene como único elemento carita feliz.

L

U



DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA E = {x / x es un primo par}, El único número que cumple las dos condiciones (ser primo y a la vez par) es el número 2, por

lo tanto E = {2} se llama unitario.

CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel que contiene todos los subconjuntos propios. Un ejemplo de ello es el conjunto de los

números Complejos, viene a ser nuestro conjunto universal dado que contiene al conjunto de los números naturales, el

conjunto de los números enteros, el conjunto de los números racionales, el conjunto de los números irracionales y el

conjunto de los números reales. Mientras que el conjunto de los números racionales es un conjunto referencial respecto a

los enteros y a los naturales.

CONJUNTO REFERENCIAL: Es un conjunto que contiene otros subconjuntos. Cuando se habla o se piensa en los

conjuntos es conveniente establecer la naturaleza de sus elementos y observar si son parte de otros conjuntos.

Ejemplo:

Los elementos del conjunto A = {a, e, i} pertenecen al conjunto de las vocales, V = {a, e, i, o, u}, es decir, A V,

este conjunto V constituye el universo del conjunto A, por esta razón se dice que V es un conjunto Referencial.

A = {x ϵ N / x es primo} sus elementos son el conjunto de los números primos naturales y un conjunto referencial viene

a ser el conjunto de los números naturales.

CONJUNTO DE PARTES O CONJUNTOS DE CONJUNTOS: Si A es un conjunto, el conjunto de partes de A, escrito

como P(A) esta formado por todos los subconjuntos que se pueden formar del conjunto A.

Ejemplo:

Si A = {1, 3, 5}, entonces el conjunto de partes de A esta formado por los siguientes subconjuntos:

P (A) = {, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3, 5}, {1, 3, 5}}.

Teorema: Si un conjunto (A) tiene n elementos entonces el conjunto partes de A, P(A) tiene 2n subconjuntos.

El número de elementos del conjunto P(A) depende del número de elementos de A; en el ejemplo, si A tiene 4 elementos

P(A) tiene 16 = 24 elementos, si A tiene 2 elementos P(A) tiene 4 = 22 elementos en general, si A tiene n- elementos se

pueden formar 2n subconjuntos del conjunto A, que es lo que nos anuncia el teorema.

El conjunto vacío está en todo conjunto y este caso no es la excepción, por esta razón también está en P(A). Además, cabe

anotar que los elementos del conjunto A son a su vez conjuntos, por lo que se dice que el conjunto P(A) constituye una

familia de conjuntos.

A o, u

a, e, i

U = V




Ejemplo. Sea B = {2, {1, 3}, 4, {2, 5}}. B no es una familia de conjuntos porque algunos elementos de B son

conjuntos y otros no. Para que el conjunto B fuera un conjunto de partes o una familia de conjuntos debería estar

expresado de la siguiente forma:

SUBCONJUNTOS: Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B, si todo elemento del conjunto A

también es elemento del conjunto B. Simbólicamente esta relación se expresa así: A B (se lee A esta contenido en B)

si todo elemento x que está A también está en B, es decir; A B si todo x ϵ A, entonces x ϵ B

Si A = {x / x es dígito par} y B = {x / x es dígito}, claramente A B ya que todo dígito par es dígito. Por

extensión la situación se expresa así: A = {2, 4, 6, 8} y B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, Entonces A es un

subconjunto de B.

Un resultado muy útil e importante acerca de la contenencia entre conjuntos es el siguiente: Si A es un

subconjunto de B y B es un subconjunto de C, entonces, A es un subconjunto de C; simbólicamente este enunciado se

escribe así: Si A B y B C, entonces, A C

IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS: El conjunto A es igual al conjunto B si ambos conjuntos tienen los mismos

elementos, es decir, si todos los elementos de A pertenecen a B y si todos los elementos de B pertenecen al

conjunto A. La igualdad entre conjuntos se simboliza de la siguiente forma: A = B si y solo si A B y B A

Ejemplos:

1. Si M = {1, 1, 0, 2} y N = {2, 1, 0, 1}, claramente se observa que M N y que N M, por lo tanto M = N.

2. Si A = {x / x es abecedario} y B = {x / x es consonante}, se puede observar que B A pero A B, por lo

tanto el conjunto A no es igual al conjunto B, lo cual se escribe, A ≠ B.

B

U A

C

U B

A




CONJUNTOS COMPLETAMENTE DIFERENTES O DISYUNTOS: Es importante destacar que cuando dos

conjuntos son completamente diferentes (no tienen ningún elemento en común) reciben el nombre de conjuntos disyuntos.

Ejemplo: Los conjuntos A = {x / x es dígito par} y B = {x / x es dígito impar} no tienen ningún elemento en común,

es decir A y B son disyuntos.

SUBCONJUNTO PROPIO: Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, es decir, A A (con A un conjunto

cualquiera), si ese subconjunto se llama B, entonces se puede afirmar que B es un subconjunto propio de A, este hecho se

simboliza así:

B A (se lee B está contenido o es igual al conjunto A)

Ejemplos:

1. Al considerar los conjuntos A = {x / x es vocal} y B = {a, e, i, o, u}, se puede afirmar que A = B, en particular

se observa que A B y B A, lo cual permite afirmar que A es subconjunto propio de A y B es subconjunto

propio de A.

2. Los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 3}, C = {0, 2} y D = {1} son todos subconjuntos del conjunto M =

{0, 1, 2, 3}, pero ninguno es un subconjunto propio de M, ya que con ninguno se puede establecer alguna de

las relaciones siguientes: A M, B M, C M, D M

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Así como las operaciones suma, resta, multiplicación y división están definidas sobre los números reales, también existen

operaciones definidas entre los conjuntos como la unión, intersección, complemento, diferencia, diferencia simétrica y

producto cartesiano.

UNIÓN: Se puede entender como el conjunto que contiene los elementos comunes y los elementos no comunes de dos o

más conjuntos. Si A y B son dos conjuntos no vacíos, se define la unión entre A y B como el conjunto de todos los

elementos que pertenecen al conjunto A o que pertenecen al conjunto B.

Simbólicamente la unión se define así:

Matemáticamente se define la unión como: A B = {x / x ϵ A ó x ϵ B}

Para representar gráficamente la operación de unión entre conjuntos, se debe tener en cuenta la relación que exista entre

ellos, según los siguientes casos:

Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningún elemento en común. (conjuntos disyuntos). La parte subrayada representa

la unión entre los conjuntos A y B.

A B

U U A B

1, 2, 3, 4

5, 6, 7




En la figura de la izquierda la unión corresponde a la parte sombreada. Si A = {1,2,3,4} y B = {5,6,7} entonces

A B = {1,2,3,4,5,6,7}

Caso 2. Que los conjuntos tengan solo unos elementos en común.

En la figura de la izquierda la unión corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {7, 8, 9, 10} entonces

A B = {1, 3, 5, 7, 8, 9, 10}

Caso 3. Que un conjunto este contenido en el otro.

En la figura de la izquierda la unión corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 7, 8} y B = {7, 8} entonces

A B = {1, 3, 5, 7, 8}

INTERSECCIÓN: Se define la intersección entre dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los elementos

comunes entre dos o más conjuntos o sea, todos los elementos pertenecen simultáneamente al conjunto A y al conjunto B.

Matemáticamente la intersección se expresa como A B = {x / x ϵ A y x ϵ B}

Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningún elemento en común. (Conjuntos disyuntos)

En la figura de la izquierda la intersección corresponde a la parte no sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6} y B = {7, 8, 9, 10}

entonces A B = {}, dado que no hay elementos en común. Se puede observar que cuando dos conjuntos son

diferentes, su intersección es vacía y los conjuntos se llaman disyuntos, como ya se había mencionado.

U A B

U A B 1, 3, 5,

7 8, 10, 9

U A B 1, 3,

5, 7, 8 9

A B

U

U A B

1, 3, 5, 6

7, 8, 9, 10

A B U



DOCENTE: LIC. LEO RODRIGO GIL OSPINA Caso 2. Que los conjuntos tengan solo unos elementos en común.

En la figura de la izquierda la intersección corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6, 7, 10} y B = {7, 8, 9, 10}

entonces A B = {7, 10}, dado que el 7 y el 10 son elementos comunes.


En la figura de la izquierda la intersección corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y B = {7, 8, 9,

10} entonces A B = {7, 8, 9, 10} = B, dado que todo B son los elementos comunes.

DIFERENCIA: Se define como los elementos no comunes entre dos o más conjuntos. A menos B,

es el conjunto formado por los elementos que están en el conjunto A pero no en el B.

matemáticamente Si A y B son dos conjuntos no vacíos, entonces: A - B = {x / x ϵ A y x B}.

Caso 1. Que los conjuntos no tengan ningún elemento en común.

En la figura de la izquierda la diferencia corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6} y B = {7, 8, 9, 10} entonces

A - B = {1, 3, 5, 6} = A, dado que son los elementos del conjunto universal que está A y no están en B.


U A B

U A B

1, 3, 5, 6

7 8, 10, 9 9

U A B

U A B 1, 3 5, 6 7

8, 10,

U A B

1, 3, 5, 6

7, 8, 9, 10

U A B

1, 3, 5, 6

7 8, 10, 9 9

A B U

A B

U




En la figura de la izquierda la diferencia corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6, 7, 10} y B = {7, 8, 9, 10}

entonces A - B = {1, 3, 5, 6}, dado que son los elementos no comunes que solo están en A.


En la figura de la izquierda la diferencia corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y B = {7, 8, 9, 10}

entonces A - B = {1, 3, 5, 6}, dado que son los elementos que solo están en A.

DIFERENCIA SIMÉTRICA: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se define la diferencia simétrica A B, como el

conjunto formado por los elementos no comunes entre los dos conjuntos. Elementos que pertenecen al conjunto A o al

conjunto B, pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos. Matemáticamente A B = {x/ x ϵ [(A B) – (A

B)]}.


En la figura de la izquierda la diferencia simétrica corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6} y B = {7, 8, 9, 10}

entonces A B = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = A B, dado que los conjuntos no tienen elementos en común.


En la figura de la izquierda la diferencia simétrica corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6, 7, 10} y B = {7, 8,

9, 10} entonces A B = {1, 3, 5, 6, 8, 9}, dado que son los elementos no comunes que están en A y

en B.

A B

U A B

U A B 1, 3 5, 6 7

8, 10, B

U A B

1, 3, 5, 6

7, 8, 9, 10

U A B

1, 3, 5, 6

7 8, 10, 9 9

A B U

U





En la figura de la izquierda la diferencia simétrica corresponde a la parte sombreada. Si A = {1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10} y B ={7,

8, 9, 10} entonces A B = {1, 3, 5, 6} = A - B, dado que son los elementos no comunes en A y en B.

COMPLEMENTO: Si A es un conjunto no vacío, el complemento de A simbolizado por A’ está formado por todos los

elementos que no pertenecen al conjunto, es decir A’ = {x/ x A}


En la figura de la izquierda el complemento corresponde a la parte no sombreada. Si U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {1, 3, 5, 6} y B = {7, 8, 9, 10} entonces A’= {2, 4, 7, 8, 9, 10}, dado que corresponde a los elementos que no

están en el conjunto A.


En la figura de la izquierda el complemento corresponde a la parte no sombreada. Si U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 3, 5, 6, 7, 10} y B = {7, 8, 9, 10} entonces A’= {2, 4, 8, 9}, dado que corresponde a los elementos que no

están en el conjunto A.

U A B

U A B 1, 3 5, 6 7

8, 10, B

A B

A B U

U

U A B 2, 4 1, 3, 5,

6 7, 8, 9, 10

U A B 2, 4

1, 3, 5, 6

7 8, 10, 9 9





En la figura de la izquierda el complemento corresponde a la parte no sombreada que está entre a y el conjunto universal. Si

U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {1, 3, 5, 6, 7, 10} y B = {7, 8, 9, 10} entonces A’= {2, 4}, dado que corresponde a los elementos que no están en el conjunto A, pero están en el conjunto universal.

PRODUCTO CARTESIANO

PAR ORDENADO O PAREJA ORDENADA: La expresión (x, y) representa una pareja ordenada , que cumple la

Algebra de conjuntos

Propiedades de las operaciones entre conjuntos

Las siguientes cuatro propiedades, son validas para las operaciones de unión e intersección:

a. Leyes de idempotencia: A U A = A

A ∩ A = A

b. Leyes asociativas: (A U B) U C = A U (B U C)

(A ∩ ∩ ∩ ∩ B) C = A (B C)

c. Leyes conmutativas: A U B = B U A

A ∩ ∩ B = B A

d. Leyes distributivas: A U (B ∩ ∩ C) = (A U B) (A U C)

A ∩ ∩ ∩ (B U C) = (A B) U (A C)

Las siguientes propiedades están relacionadas con los conjuntos Universal U y vacío :

e. Leyes de identidad: A U U = U A ∩ U = A

A U = A A ∩ =

Propiedades con respecto al complemento.

f. Leyes del complemento: A U A' = U A ∩ A' =

(A' )' = A ' = U

g. Leyes de De Morgan: (A U B)' = A' ∩ B'

(A ∩ B)' = A' U B'

CARDINAL DE UN CONJUNTO. Es el número de elementos que tiene el conjunto.

Ejemplos:

a. Si el conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g}, el cardinal de A es 6

b. Si el conjunto B = {a, e, i, o, u}, el cardinal de B es 5

c. Si el conjunto C = {u, v, w} el cardinal de C es 3.

U A B

U A B 2 4

1, 3 5, 6 7

8, 10, B




d. Para los conjuntos A y B, el cardinal de A B es 9; y el cardinal de A B es 2.

e. Para los conjuntos A y C, el cardinal de A C es 9, mientras que el cardinal de A C es 0.

El cardinal de la unión y de la intersección de conjuntos se relaciona de acuerdo con la siguiente propiedad.

card (A B) = card (A) + card (B) − card (A B)

Esta propiedad se comprueba fácilmente con el siguiente ejemplo

Sea M un conjunto con 45 elementos, y sea N otro conjunto con 25 elementos. Si M Ç N contiene 15 elementos, ¿cuántos

contendrá M È N?

Los 15 elementos de la intersección pertenecen a M y a N, a la vez. Para determinar cuántos hay en la unión, esos 15

elementos sólo deben contarse una vez. Por tanto, en M È N habrá 30 + 15 + 10 = 55.

Y se cumple que card (A È B) = 45 + 25 - 15 = 55

Análisis de problemas:

Supongamos que en una determinada ciudad hay tres periódicos, que llamaremos A, B y C. Se ha preguntado a un grupo

de personas sobre su lectura o no de esos periódicos, obteniéndose las respuestas siguientes:

Lectores de A, 32. Lectores de B, 45. Lectores de C, 23. Lectores de A y B, 14. Lectores de A y C, 9. Lectores de B y C, 12.

Lectores de los tres periódicos, 5. Número de personas que no leen ninguno de esos tres periódicos, 54.

¿Podríamos saber cuántas personas había en el grupo?

U

El uso de los diagramas de Venn facilita notablemente la respuesta. Para ello dibujamos los conjuntos A, B y C,

superponiéndose en parte. Las partes comunes indican los lectores que leen ambos periódicos; además, se tendrá en

cuenta que los lectores que leen varios periódicos, leen cada uno de ellos. Esto es, las 5 personas que leen A, B y C (A B

C), leen A y B (A B), leen A y C (A C) y leen B y C (B C); y, por supuesto, cada uno de esos 5 leen A, leen B y leen

C. En definitiva, el número de lectores de periódicos es, 14 + 9 + 24 + 4 + 5 + 7 + 7 = 70. El número total de personas

en ese grupo es 70 + 54 = 124.

A B 14 9 24 5 4 7 7 54

U M N 30 15 10

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