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CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR

“CUN”

GUÍA DE FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS

GUIA # 1 CONJUNTOS

SÍMBOLOS

= Llaves, que indican conjunto

= slach, que significa tal que, (tales que)

= pertenece, se utiliza para indicar que un elemento forma parte de un

Conjunto determinado.

= no pertenece, sirve para indicar que un elemento no esta en un conjunto

dado.

= contenencia sirve para indicar que un conjunto es subconjunto de propio

de otro.

= no contenencia, con el se indica que es un conjunto no es un subconjunto

propio de otro.

= fi, indica el conjunto vació.

U = nos indica el conjunto universal.

= nos da a entender la unión entre dos o mas conjuntos.

= nos indica la intersección entre dos o mas conjuntos.

= o, disyunción.


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= y, conjunción.

, = complemento de A.

= diferencia simétrica o triangular.

__ = diferencia.

= producto cartesiano.

n A = números de elementos de A.

n BA = números de elementos de la unión B.

~ = no negación.

= entonces implica condicional.

= si solo si, equivale ó bi condicional.

= existe un , cuantificador existencial.

= para todo , cuantificador universal.

= paréntesis internos.

= paréntesis externos.

F = indicativo de proposición falsa

V = indicativo de proposición verdadera

= su lectura depende de donde este ubicada la variable a leer

P = existe un que cumpla una condición dada.

P = existe toda que cumpla una condición.

= conjunto de números naturales

Z = conjunto de números enteros

Q = conjunto de números racionales

= conjunto de números irracionales

R = conjunto de números reales

C = conjunto de números complejos


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2.1 Definiciones

2.1.1 Conjunto: es la colección de objetos especificados en tal forma que se puede

firmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la colección. Es importante

hacer notar que cuando se listan los elementos de un conjunto no debe aparecer un

elemento más de una vez dentro de la lista.

Notación: se usan letras mayúsculas para darles un nombre. Igualando la letra a una

serie de objetos, estos son encerrados entre { } y la lista de objetos es separada por

comas. Por lo que se dice que un conjunto se describe ya sea listando todos sus

elementos entre llaves. O bien encerrando entre llaves una regla que determina los

elementos del conjunto. En este caso se emplea | que significa "tales que" o "tal que".

En forma simbólica:

A = {X | P(X)} = {X1, X2,…..}

Significa A es el conjunto de todas las X tales que P(X) es verdadera, como X1, X2, etc.

Ejemplos:

a) A = Conjunto de animales

A = {perro, gato, tigre}

Significa A es el conjunto de los animales, perro, gato y tigre.

b) S = {X | X es el nombre de un varón} = {Pedro, Omar, Jorge}

Significa A es el conjunto de nombres de varones, como Pedro, Omar, Jorge.

2.1.2 Miembro o Elemento del Conjunto: es cada uno de los objetos de un conjunto.

Ejemplos: a) En el conjunto A = {perro, gato, tigre}, el miembro 1 o elemento 1 es perro; el

miembro 2 o elemento 2 es gato; y el miembro 3 o elemento 3 es tigre.

b) S = {X | X es un dedo de la mano}

Significa que S es el conjunto de todas las X tales que X es un dedo de la mano.

2.1.3 Pertenencia: cuando un elemento es o pertenece a un conjunto dado.

Notación: Si "a" es un elemento del Conjunto A, y si "g" no es un elemento del

Conjunto A, en forma simbólica se expresa como:

a A

g A

Ejemplos: a) En el conjunto A = {perro, gato, tigre}, se encuentra el perro por lo que se dice que

"perro es un elemento del Conjunto A".

b) Y también puede decirse que "la flor no es un elemento del Conjunto A".


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2.2 Conjuntos con Nombres Específicos

2.2.1 Conjunto Vació o Nulo: es aquel conjunto que no tiene elementos.

Notación: Se representa por una .

Ejemplos: a) S = { }

b) S = {X | X es un dinosaurio haya sobrevivido hasta la era moderna}

c) S = {X | X2 = 3 y además x es un número entero}

2.2.2 Conjunto Finito: es el conjunto cuyos elementos pueden ser contados.

Ejemplos: a) S = {X | X es el número de un día del mes de agosto}.

b) S = {X | X2 = 4}

2.2.3 Conjunto Infinito: es el conjunto cuyos elementos no pueden ser contados, es

decir si se intenta contarlos nunca se terminaría.

Ejemplos: S = {1, 3, 5, 7,…..}

S = {X | X es un punto sobre la recta numérica}

2.3 Métodos para representar un conjunto

2.3.1 Método de la Regla: como su nombre los dice se encierra entre llaves una regla

que determina los elementos del conjunto. Donde regla son los principios que rigen al

conjunto.

2.3.2 Método del Listado: se listan todos los elementos del conjunto y se encierran

entre llaves.

Ejemplos:

Regla Listado

S = {X | X es un día de la semana} S = {Sábado, Domingo}

S = {X | X 2 = 9} S = {-3, 3}

S = {X | X es un número natural impar positivo } S = {1, 3, 5}

S = {X | X es un animal doméstico} S = {perro, gato}

S = {X | X es un dedo de la mano} S = {meñique, anular}

S = {X | X es el número de un día del mes de agosto} S = {1, 2, 3, 4, ….., 29, 30, 31}


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Problema: Sea G el conjunto de todos los números tales que x

2 = 16

a) Especifique G por el método de la regla

b) Especifique G por el método del listado

Indique si lo siguiente es verdadero (V) o falso (F)

c) 3 G

d) 9 G

e) -4 G

Solución:

Regla Listado

a) S = {X | X 2 = 16} b) S = {-4, 4}

c) 3 G Solo -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Falso = F

d) 9 G Solo -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Verdadero = V

e) -4 G Como -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Verdadero = V

f) -2 G Solo -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Verdadero = V

2.4 Subconjuntos

Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B, se dice que

A es un subconjunto de B.

Notación: A B significa "A es un subconjunto de B".

Si no todos los elementos de un conjunto A es elemento del conjunto B, se dice que A

no es un subconjunto de B.

Notación: A B significa "A no es un subconjunto de B".

Nota Importante: el conjunto vació es un subconjunto de todo conjunto. Por lo que si A

es cualquier conjunto, entonces A.

Ejemplos:

a) Si A es el Conjunto nombres de seres humanos y B es el Conjunto de nombres de

mujeres, entonces : B A

b) Si A es el Conjunto nombres de seres humanos y B es el Conjunto de nombres de

flores, entonces : B A

c) Si A es el conjunto de todas las mujeres estudiantes de un grupo y B es el conjunto de

todo el grupo, entonces : A B

d) Si A es el conjunto de todas las mujeres profesionistas y B es el conjunto de un grupo

de estudiantes, entonces : A B, ni B A.

Problema: Liste todos los subconjuntos del conjunto A = {a, b, c}

Solución: { a, b, c }, { a, b }, { a, c }, { b, c}, { a }, { b }, { c},


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2.5 Igualdad de los conjuntos

Si el conjunto A y el conjunto B tienen exactamente los mismos elementos se dice que

los dos conjuntos son iguales. Se emplea en forma común el símbolo ==> para indicar

"implica".

Notación: A = B significa "A es igual a B porque A y B tienen exactamente los mismos

elementos".

Ejemplos: a) A = {Paty, Jorge, Rafa}; B = {Paty, Jorge, Rafa} ==> A = B

b) A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {| X es un número del 1 al 5} ==> A = B

c) A = {X | X2 = 9}; B = {-3, 3} ==> A = B

2.6 Desigualdad de los conjuntos

Si el conjunto A y el conjunto B no tienen exactamente los mismos elementos se dice

que los dos conjuntos son diferentes.

Notación: A B significa "A es diferente a B porque A y B no tienen exactamente los

mismos elementos".

Ejemplos: a) A = {Patricia, Jorge, Rafa}; B = {Patricia, Jorge, Raquelito} ==> A B, porque

Rafa y Raquelito son diferentes personas.

b) A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {10, 20, 30, 40, 50} ==> A B

c) A = {X | X2 = 9}; B = {-2, 2} ==> A B

Problema: Se tiene el conjunto A de todas las mujeres estudiantes de un grupo y el conjunto B de

todo el grupo que es mixto, y que está formado por: Ana, Beto, Cecilia, Daniel,

Esperanza:

a) Especifique A por el método de la regla

b) Especifique A por el método del listado

c) Especifique B por el método de la regla

d) Especifique B por el método del listado

Indique si lo siguiente es verdadero (V) o falso (F)

e) Jimena A

f) Tito A

g) Beto B

h) manzana B

i) B A

j) A B

k) A B

l) B = A


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Solución:

Regla Listado

a) A = {X | X es mujer estudiante de

un grupo}

b) A = {Ana, Cecilia}

c) B = {X | X es un grupo mixto de

personas}

d) B = {Ana, Beto, Cecilia, Daniel,

Esperanza}

e) Jimena A. Dado que Jimena no se encuentra en lista b) ==> Jimena A ==> F.

f) Tito A. Dado que Tito no se encuentra en lista b) ==> Tito A ==> V.

g) Beto B. Dado que Beto se encuentra en lista d) ==> Tito B ==> V.

h) manzana B. Dado que manzana es fruta y no se encuentra en lista b) manzana

B ==> F.

i) B A. Dado que B contiene 5 personas y A solo dos ==> B A ==> F.

j) A B. Dado que A tiene dos personas que se encuentran en la lista del conjunto B

==> A B ==> F.

k) A B. Dado que A tiene dos personas y B tiene 5 personas ==> A B ==> V.

l) B = A. Dado que A tiene dos personas y B tiene 5 personas ==> A B ==> F.

2.7 Conjunto Universal

Es el conjunto de todos los elementos bajo consideración.

Notación: el conjunto universal se representa por "U".

Nota Importante: el resto de los conjuntos de la discusión deben ser subconjuntos de U.

Ejemplos: a) Si U = {X | X son los días de la semana}; A = {X | es semana inglesa}; B = {X | es

día impar (empezando con lunes)} y C = {X | X es el número de letras del día

correspondiente y X < 9}, entonces:

U = {X | X son los días de la semana} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,

sábado, domingo}

A = {X | es semana inglesa} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes};

B = {X | es día impar (empezando con lunes)} = {lunes, miércoles, viernes, domingo}

C = {X | X es el día de la semana, cuya palabra tiene un número de letras menor que 9}

= {lunes, martes, jueves, viernes, sábado, domingo}, y puede concluirse que:

A U, B U, C U


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2.8 Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son ayudas útiles para visualizar las relaciones entre conjuntos.

Notación: se dibuja un rectángulo que representa al conjunto universal. Un conjunto

específico A se representa por medio de un círculo. Donde A U y se grafica de la

siguiente manera:

2.9 Operaciones elementales de Conjuntos

2.9.1 Unión

La unión de los Conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos de A y todos los

elementos de B. La Unión puede ser entre dos o más conjuntos.

Notación: la forma simbólica de representar A unión B es:

= {X | X A o bien X B}

Aquí se emplea la partícula (letra) "o" en la forma en que siempre se ha utilizado en

matemáticas; es decir, x puede ser un elemento del conjunto A, o bien del conjunto B, o

bien de ambos.

En diagramas de Venn:

Nota Importante: cuando se resuelven problemas generalmente la unión está asociada a

la palabra "o".

Ejemplos: a) Si A = {2, 7, 8}, B = {3, 5, 9}, entonces:

= {2, 3, 5, 7, 8, 9} Son los elementos que estén en A o que estén en B.

En Diagramas de Venn:

b) Si A = {María, Jorge, Luga, Tere}, B = {Tere, Kelvin, Guillermo}, entonces:

= {Guillermo, Jorge, Kelvin, Luga, María, Tere}

En Diagramas de Venn:


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2.9.2 Intersección

La Intersección es entre dos o más conjuntos. Así la Intersección de los Conjuntos A y

B, es el conjunto de los elementos del conjunto A que también pertenecen al conjunto

B.

Notación: la forma simbólica de representar A Intersección B es:

= {X | X A y X B}

Aquí se emplea la partícula "y" en la forma en que siempre se ha utilizado en

matemáticas; es decir, x es un elemento que pertenece al conjunto A y también

pertenece al conjunto B, es decir pertenece a ambos conjuntos.


2.9.3 Conjuntos Ajenos o Disjuntos

Cuando dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, su intersección es vacía. En

este caso se dice que los conjuntos A y B son ajenos o disjuntos, es decir:

A B =

Nota Importante: cuando se resuelven problemas generalmente la intersección está

asociada a la palabra "y".

Ejemplos: a) Si A = {2, 7, 8}, B = {3, 5, 9}, entonces:

=


b) Si A = {María, Jorge, Luga, Tere}, B = {Tere, Kelvin, Guillermo}, entonces:

= {Tere}



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2.9.4 Complemento

El complemento de A (con relación a U), que se representa como A', es el conjunto de

los elementos de U que no son de A.

Notación: la forma simbólica de representar A' es:

A' = {X U | X A}

A' En diagramas de Venn:

Ejemplo: a) Si U = {2, 3, 5, 7, 8, 9}, y A = {2, 7, 8} entonces:

A' = {3, 5, 9}


EJEMPLO FINAL

Si A = {c, f, i}; B = {c, d, e, f, g}, y C = {d, e, g}, entonces:

a) = {c, d, e, f, g, i} y en diagrama de Venn:

b) = {c, f} y en diagrama de Venn:

c) = porque A y C son ajenos y en diagrama de Venn:

d) C' con relación a B es C' = {c, f} y en Diagrama de Venn:

e) = {d, e, g} y en diagramas de Venn: Puede notarse en la figura anterior que

= C.


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f) C B y en diagramas de Venn: Puede notarse en la figura anterior que (C B)

= = C

g) A B

h) ( ) B y en diagramas de Venn:

2.9.5 Diferencia A - B

La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos de

A que pertenecen a A, pero no pertenecen a B.

Notación: La forma simbólica de representar la diferencia de los conjuntos A y B es:

A - B = {X | X A y X B}

A - B y B-A en diagramas de Venn:

En la siguiente figura A - B se representa por el área oscura; B - A por el área clara

y por el área gris del centro.

Notas Importantes a cerca de A - B: Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes operaciones:

a) A - B = A B' = B' - A'

b) A - B = , si y solo si, A B

c) A - B = B - A, si y solo si, A = B

d) A - B = A, si y solo si, A B =

e) (A - B) A

f) Los conjuntos (A - B), A B y (B-A) son mutuamente disjuntos, es decir, la

intersección de dos conjuntos cualesquiera es vacía.

Ejemplo: a) Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S - T = {a, c}

b) Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}. Entonces A - B = {2, 4, 5} y

puede decirse que {2, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} ===> (A - B) A

c) Si A = {María, Jorge, Luga, Tere}, B = {Tere, Kelvin, Guillermo}, entonces:

A - B = {María, Jorge, Luga}



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2.10 Leyes de operaciones con conjuntos

Se listan a continuación las leyes más importantes que rigen las operaciones con

conjuntos:

Leyes de Complemento

1) (A')' = A


2) ' = U 2') U' =

3) A - A = ; A - = A; A - B = A B'

Leyes de Identidad

4) A = A

Leyes de Identidad

4') A U = A

Leyes de Identidad

5) A U = U

Leyes de Identidad

5') A =

Leyes de Idempotencia

6) A A = A

Leyes de Idempotencia

6') A A = A


7) A A' = U


7') A A' =

Leyes Asociativas

8) (A B) C = A (B C)

Leyes Asociativas

8') ) (A B) C = A (B C)

Leyes Conmutativas

9) A B = B A

Leyes Conmutativas

9') A B = B A

Leyes Distributivas

10) A ( B C) = (A B) (A C)

Leyes Distributivas

10') A ( B C) = (A B) (A C)

Leyes de Morgan

11) (A B)' = A' B'

Leyes de Morgan

11') (A B)' = A' B'

Leyes de Morgan

12) A - (B C) = (A - B) (A - C)

Leyes de Morgan

12') A - (B C) = (A - B) (A - C)


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2.11 Teoremas de operaciones con conjuntos

Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento tienen propiedades

sencillas, cuando los conjuntos de que se trata son comparables:

Teorema 1)

Sea A un subconjunto de B. Entonces la intersección de A y B es precisamente A, es

decir:

A B ==> A B = A

Teorema 2)

Sea A un subconjunto de B. Entonces la unión de A y B es precisamente B, es decir:

A B ==> A B = B

Teorema 3)

Sea A un subconjunto de B. Entonces B' es un subconjunto de A', es decir:

A B ==> B' A'

Teorema 4)

Sea A un subconjunto de B. Entonces la unión de A y (B-A) es precisamente B, es decir

A B ==> A ( B - A) = B

2.12 Problemas resueltos

Problema 1 Sean U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B = {b, d, e}. Hallar:

a) A B

b) B A

c) B'

d) B - A

e) A' B

f) A B'

g) A' B'

h) B' - A'

i) A B'

j) (A B)'

Solución:

a) La A B consta de los elementos de A y los elementos de B, es decir, A B = {a, b, d,

e}

b) La B A consta de los elementos que son comunes A y a B, es decir,

B A = A B = {b, d}

c) B' costa de las letras que están en U pero no en B; así que B' = {a, c}

d) El conjunto B - A está formado por los elementos de B que no están en A, es decir,

B - A = {e}

e) A' = {c, e} y B = {b, d, e}; así que A' B = {e}

f) A = {a, b, d} y B' = {a, c}; así que A B' = {a, b, c, d}


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g) A' = {c, e} y B' = {a, c}; entonces A' B' = {c}

h) B' - A' = {a}

i) Según (b), A B = {b, d}; luego (A B)' = {a, c, e}

j) Según (a), A B = {a, b, d, e}; luego (A B)' = {e}

Problema 2 En el diagrama de Venn que sigue, rayar:

a) A (B C)

b) (A B) (A C)

c) A (B C)

d) (A B) (A C)

Solución:

a) Primero rayar A con trazos inclinados a la derecha (color azul ) y rayar (B C) con

trazos inclinados a la izquierda (color rojo), entonces A (B C) es el área con doble

rayado.

b) Primero rayar (A B) con trazos inclinados a la derecha y (A C) con trazos

inclinados a la izquierda, entonces (A B) (A C) resulta ser ) es el área con doble

rayado como se muestra en seguida :

En esta gráfica puede notarse que : (A B) (A C) = A (B C)

c) Primero se raya A con trazos inclinados a la derecha y se raya (B C) con trazos

inclinados a la izquierda; así resulta ser A (B C) el área total rayada.

d) Primero se raya (A B) con trazos inclinados a la derecha y se raya (A C) con trazos

inclinados a la izquierda; (A B) (A C) es el área con doble rayado.

Nótese que (A B) (A C) = A (B C)


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Problema 3 Demostrar: B - A es un subconjunto de A'.

Solución:

Sea x perteneciente a B - A. Entonces x B y x A; por tanto, x es elemento de A'. Si

x (B - A) ==> x A', y por lo tanto B - A es subconjunto de A'.

Problema 4 Demostrar: B - A' = B A.

Solución: B - A' = {x | x B y x A'} = {x | x B y x A} = B A

Problema 5

Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A, B y C de modo que A, B y

C tengan las siguientes características :

a) A B, C B, A C =

b) A B, C B, A C

c) A C, A C, B C =

d) A (B C), B C, C B, A C

Solución:

a) A B, C B, A C =

b) A B, C B, A C

c) A C, A C, B C =

d) A (B C), B C, C B, A C


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Tareas de repaso:

1- Defina por extensión los siguientes conjuntos :

a) el conjunto de vocales.

b) el conjunto de los números irracionales.

c) el conjunto de países de América del sur con costas en el Océano

Pacifico.

d) El conjunto de pre-grados de esta universidad.

e) El conjunto de los números naturales mayores que 8 y menores o iguales

a 30.

f) El conjunto de los números impares primos menores a 300.

2- Definir por comprensión los siguientes conjuntos:

a) godosabadoviernesjuevesmiercolesmarteslunes min,,,,,,

b) B = {bandera, escudo, himno nacional}

c) 10,8,6,4,2C

d) D ={3,6,9,12,15,18}

e) E ={-3,-6,-9,-12,-15,-18...}

3- Escriba al frente si la afirmación es correcta en incorrecta:

iea ,,,5,3,2

5,3

eaC ,

iD ,2

a) 3 ___________________

b) C ___________________

c) Da ___________________

d) C ___________________

e) Di ____________________


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4. Dado: Dado:

U ={1,2,3,4,a, b,c, f} U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A ={1,2,3, a} A ={1,3,6,8,10}

B ={3,4,a, b,c } B ={2,4,5, 6,8 }

C ={3,4,a, c, f} C ={1,4,6, 10}

D ={a, b,c f} D ={ }

Determinar para cada uno de los datos anteriores y representar gráficamente.

a) A B b) A C c) B D d) B C D

e) C D f) (A C) g) (AC)B h) (A-B)C

INVESTIGACIÓN:

Mediante el uso de los diagramas de Venn, desarrollar los siguientes ejercicios y

responder las preguntas solicitadas.

1. En un lote de animales hay 100; 20 tienen aftosa,30 ranilla y 10 que tienen

ambos síntomas:

Se pregunta:

a) Cuantos animales tienen aftosa o ranilla?

b) Cuantos animales tienen ambos síntomas?

2. De los 110 estudiantes de un curso: 46 pierden matemáticas, 38 física, 26

química. De estos: 26 pierden matemáticas y física, 14 física y química, 18

matemáticas y química y 8 estudiantes pierden las materias.

a) Cuantos no pierden ninguna materia?

b) Cuantos solo física y matemáticas?

c) Cuantos solo química?

d) Cuantos pierden de a 2 materias?

e) Cuantos pierden de a 1 materia?

guia # 2 conjuntos -...

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