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CONVOCATORIA 2017

GUÍA DE ESTUDIO PARA

PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS

CONVOCATORIA 2017 - Fundación Victoria – Instituto Tecnológico Victoria

2 “Un mejor futuro para los jóvenes”

CONTENIDO

PRESENTACIÓN .................................................................................................................. 4

I. ARITMÉTICA ................................................................................................................. 5

1. OPERACIONES CON FRACCIONES ............................................................................... 5

Regla 1. Suma y resta de fracciones con igual denominador.......................................................... 5

Regla 2. Suma y resta de fracciones con distinto denominador. ..................................................... 5

Regla 3. Multiplicación y división de fracciones ............................................................................. 6

2. RAZONES Y PROPORCIONES ...................................................................................... 8

Razón ....................................................................................................................................... 8

Proporción ................................................................................................................................. 9

Regla de Tres .......................................................................................................................... 12

3. NOTACIÓN CIENTÍFICA ............................................................................................. 17

II. ÁLGEBRA .................................................................................................................... 20

1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA ......................................................................................... 20

Clasificación de expresiones algebraicas ................................................................................... 20

Reducción de Términos Semejantes: Son semejantes cuando tienen el mismo literal .................... 20

Valor numérico de una expresión algebraica .............................................................................. 21

2. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS ........................ 24

Suma de términos algebraicos .................................................................................................. 24

Resta de términos algebraicos .................................................................................................. 25

Multiplicación de términos algebraicos ....................................................................................... 26

División de términos algebraicos ............................................................................................... 28

3. POTENCIACIÓN .................................................................................................... 32

4. PRODUCTOS NOTABLES .......................................................................................... 34

5. FACTORIZACIÓN ...................................................................................................... 39

Factor común monomio ............................................................................................................ 39

Factor común polinomio............................................................................................................ 39

Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión algebraica. ............. 39

Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c .................................................................. 40

Factorización de un trinomio de la forma ax2+ bx + c .................................................................. 41

Factorización de la diferencia de dos cuadrados: a2 - b2 .............................................................. 41

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto: x2 + bx + c ......................................................... 42



6.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS ...................................................... 43

Suma con fracciones algebraicas .............................................................................................. 43

Para sumar fracciones algebraicas se siguen los siguientes pasos.......................... 43

Resta con fracciones algebraicas .............................................................................................. 44

Multiplicación con fracciones algebraicas ................................................................................... 44

División con fracciones algebraicas ........................................................................................... 45

7. ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS CON UNA VARIABLE..................................... 47

Ecuación ................................................................................................................................. 47

Ecuaciones lineales.................................................................................................................. 47

Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado .............................................................................. 49

8. SISTEMAS DE ECUACIONES ...................................................................................... 50

Sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas. ............................ 50

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA ........................................................................................ 53



PRESENTACIÓN Jóvenes postulantes, en la presente guía encontrarás los contenidos que se evaluarán en la prueba de admisión de Matemáticas. Esta se ha elaborado para que puedan prepararse mejor y logren su meta de ingresar a Fundación Victoria y al Instituto Tecnológico Victoria, a estudiar una de las diferentes carreras que ofrecen. La guía de estudio contiene tres temas de aritmética y ocho de algebra, cada uno con los conceptos elementales, ejemplos y ejercicios para guiarte en el repaso de los principales contenidos estudiados en la secundaria. De igual manera, se presenta bibliografía para que logres ampliar el estudio de los temas propuestos en esta guía y alcances el éxito en la prueba. Recuerden que las matemáticas requieren de mucha práctica y repaso y esta herramienta les permitirá hacerlo.



I. ARITMÉTICA

1. OPERACIONES CON FRACCIONES

Número fraccionario o fracción es el que expresa una o varias partes iguales de la unidad principal. Consta de dos términos llamados numerador y denominador.

El denominador indica en cuántas partes iguales, se ha dividido la unidad principal, y el numerador, cuántas de esas partes se toman.

Así en la fracción dos tercios, 𝟐

𝟑 el denominador 3 indica que la unidad se ha dividido

en tres partes iguales, y el numerador 2 muestra que se han tomado dos de esas partes iguales.

Para efectuar operaciones con fracciones, o con números enteros y fracciones, no podemos actuar como cuando todos los números que intervienen son enteros. Para esto debemos tener en cuenta a los denominadores y seguir las siguientes reglas:

Regla 1. Suma y resta de fracciones con igual denominador

En este caso, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

Ejemplo Suma Resta 𝟑

𝟏𝟎 +

𝟓

𝟏𝟎 =

𝟑+𝟓

𝟏𝟎 =

𝟖

𝟏𝟎

𝟔

𝟖 -

𝟏

𝟖 =

𝟔 − 𝟏

𝟖 =

𝟓

𝟖

Regla 2. Suma y resta de fracciones con distinto denominador.

En este caso, primero hemos de reducir a común denominador, y después sumar o restar las fracciones.

TOME EN

CUENTA QUE Para reducir dos fracciones a común de nominador, el método más utilizado es el del mínimo común múltiplo.



Por el método del mínimo común múltiplo, seguimos estos dos pasos:

Primer paso

Se halla el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, que es el menor de sus múltiplos comunes; en nuestro caso:

5

7 y

2

3 7 - 3 7 7 x 3 = 21

1 - 3 3 1

Segundo Paso

Se divide ese mínimo común múltiplo entre cada denominador y el cociente se multiplica por cada numerador

21 ÷ 7 = 3 → 5 x 3 = 15 → 𝟓

𝟕 =

𝟏𝟓

𝟐𝟏 21: 3 = 7 → 2 x 7 = 14 →

𝟐

𝟑 =

𝟏𝟒

𝟐𝟏

Tercer Paso

Una vez que las dos fracciones tienen el mismo denominador, podemos sumarlas o restarlas:

𝟏𝟓

𝟐𝟏 +

𝟏𝟒

𝟐𝟏 =

𝟏𝟓+𝟏𝟒

𝟐𝟏 =

𝟐𝟗

𝟐𝟏 →

5

7 +

2

3 =

𝟐𝟗

𝟐𝟏

Regla 3. Multiplicación y división de fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción, que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores.

TOME EN

CUENTA QUE En este tipo de operación si se puede, debe simplificarse

en el planteamiento y el resultado final.



Ejemplo

a) 1

3𝑥

5

6=

1 x 5

3 𝑥 6=

5

18 b)

𝟒

𝟗 x

𝟐

𝟑 x

𝟏

𝟓 =

𝟒 𝒙 𝟐 𝒙 𝟏

𝟗 𝒙 𝟑 𝒙 𝟓=

𝟖

𝟏𝟑𝟓

El cociente de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando en cruz los términos de las dos fracciones.

Ejemplo

a) 𝟏

𝟐 ÷

𝟒

𝟕 =

𝟏 𝒙 𝟕

𝟐 𝒙 𝟒 =

𝟕

𝟖 b)

𝟕

𝟗 ÷

𝟑

𝟓 =

𝟕 𝒙 𝟓

𝟗 𝒙 𝟑 =

𝟑𝟓

𝟐𝟕

Resuelve las siguientes sumas y restas combinadas de fracciones

1) 𝟑

𝟒 -

𝟓

𝟖 +

𝟕

𝟏𝟐; 2)

𝟏𝟏

𝟏𝟓 -

𝟕

𝟑𝟎 +

𝟑

𝟏𝟎; 3)

𝟏

𝟔 -

𝟏

𝟕 +

𝟏

𝟏𝟐 -

𝟏

𝟏𝟒

4) 𝟏𝟑

𝟐 -

𝟏

𝟑𝟐 -

𝟏

𝟔𝟒 -

𝟏

𝟏𝟐𝟖 5)

𝟑

𝟖 -

𝟏

𝟔 +

𝟏

𝟏𝟐 6)

𝟐

𝟑 x

𝟑

𝟐

7) 𝟕

𝟖 x

𝟏𝟔

𝟐𝟏 8)

𝟑

𝟒 x

𝟒

𝟓 x

𝟓

𝟔 9)

𝟐

𝟑 x

𝟔

𝟓 x

𝟏𝟎

𝟗 x

𝟏

𝟖

10) 𝟕

𝟖 ÷

𝟏𝟒

𝟗 11)

𝟓

𝟏𝟐 ÷

𝟑

𝟒 12)

(𝟑

𝟒 +

𝟏

𝟓 +

𝟑

𝟔)(

𝟖

𝟏𝟎 −

𝟏

𝟑 −

𝟐

𝟏𝟐)

(𝟕

𝟖 ÷

𝟑

𝟐)(

𝟏

𝟐 +

𝟐

𝟑 +

𝟏

𝟒)

Ejercicios

Te hemos presentado tres reglas simples para resolver operaciones con fracciones.

RECUERDA



2. RAZONES Y PROPORCIONES

Razón Razón, es el resultado de comparar dos cantidades. Esta comparación puede ser:

a) Razón aritmética Si la comparación es cuantas veces excede una a la otra, o la diferencia indicada entre ambas, se pueden escribir de dos formas: separando las dos cantidades con el signo “-“, o con un punto (.)

a – b o a . b

Ejemplo

b) Razón geométrica De dos cantidades es el cociente de dichas cantidades es decir cuántas veces contiene una a la otra, se pueden escribir de dos modos en forma de fracción o separadas las dos cantidades por el signo de división.

𝒂

𝒃 a ÷ b

Ejemplo

La razón Geométrica de 30 y 6 se determina así 30 ÷ 6 = 5

La razón Aritmética de 30 y 6 se determina así 30 - 6 = 24



Determine la razón aritmética y geométrica de los siguientes números 1) 30 y 15 2) 66 y 22

3) 16 y 2 4) 40 y 5

Proporción Es la comparación entre dos razones y puede ser:

a) Proporción aritmética

Es la igualdad entre dos razones aritméticas y se escribe: a - b = c - d A los términos a y d se les llama extremos y a los términos b y c se les llama medios. En las proporciones aritméticas se cumplen las siguientes propiedades:

12 - 6 = 8 - 2 → 12 = 6 + 8 - 2 y 2 = 6 + 8 - 12

Ejemplo Encuentre el término desconocido: 10 - 4 = 9 - x x = 4 + 9 - 10

12 - 6 = 8 - 2 → 6 = 12 + 2 - 8 y 8 = 12 + 2 - 6

1. Un extremo es igual a la suma de los medios menos el otro extremo

2. Un medio es igual a la suma de los extremos menos el otro medio

Ejercicios

x = 3



Ejemplo Encuentre el término desconocido: 10 - x = 9 - 3 x = 10 + 3 - 9

Hallar el término desconocido en: 1) 50 - 42 = 25 - x 2) 20 - x = 36 - 24 3) 11 - 5 = x - 16 4) x - 75 = 81 - 34

b) Proporción Geométrica

Es la igualdad entre dos razones Geométricas y se escribe:

𝒂

𝒃=

𝒄

𝒅

Propiedad fundamental de las proporciones Geométricas: En las proporciones geométricas el producto de los extremos es igual al producto de los medios es decir:

En la proporción 𝟐

𝟑=

𝟖

𝟏𝟐 Tenemos que 2 x 12 = 3 x 8 o sea 24 = 24. De esto se deriva.

𝟐

𝟑=

𝟖

𝟏𝟐 Entonces 2 =

𝟑 𝒙 𝟖

𝟏𝟐=

𝟐𝟒

𝟏𝟐= 𝟐 → 12 =

𝟑 𝒙 𝟖

𝟐=

𝟐𝟒

𝟐=

a) En toda proporción geométrica un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo

x = 4

Ejercicios

12



Ejemplo Encuentre el término desconocido 𝒙

𝟓=

𝟖

𝟏𝟎 x =

𝟓 𝒙 𝟖

𝟏𝟎=

𝟒𝟎

𝟏𝟎=

𝟕

𝟑=

𝟐𝟖

𝒙 x =

𝟑 𝒙 𝟐𝟖

𝟕=

𝟖𝟒

𝟕=

𝟐

𝟑=

𝟖

𝟏𝟐 Entonces 3 =

𝟐 𝒙 𝟏𝟐

𝟖=

𝟐𝟒

𝟖= → 8 =

𝟐 𝒙 𝟏𝟐

𝟑=

𝟐𝟒

𝟑=

Hallar el término desconocido en:

1) 𝟓

𝟔=

𝟐𝟎

𝒙 2)

𝟗

𝟏𝟎=

𝒙

𝟐𝟎

3) 𝟏

𝒙=

𝟓

𝟏𝟓 4)

𝒙

𝟖=

𝟑𝟓

𝟒𝟎

b) En toda proporción geométrica un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio

8 3

12

4

Ejercicios

La proporción Geométrica se utiliza en la solución de problemas de la regla de

tres.

RECUERDA



Regla de Tres La regla de tres es un instrumento muy sencillo y útil al mismo tiempo. Consiste en una sencilla operación que nos va a permitir encontrar el cuarto término de una proporción, de la que sólo conocemos tres términos. Además, la regla de tres nos va a permitir operar al mismo tiempo con elementos tan distintos como horas, kilómetros, número de trabajadores o dinero invertido. Puede ser simple si está formada por dos magnitudes y compuesta si tiene más de dos magnitudes, a su vez la regla de tres simple puede ser directa o inversa.

Regla de tres Simple Directa Es cuando si una magnitud aumenta la otra también aumenta y si una disminuye la otra también disminuye.

Ejemplo

Si 4 artículos cuestan C$ 25 cuánto costarán 40 artículos. a b Supuesto → 4 artículos C$ 25 Pregunta → 40 artículos x . c d

Magnitud Los dos aumentan

Los dos disminuyen

Artículos Mayor cantidad Menor Cantidad

Córdobas Mas Córdobas Menos Córdobas

Es Directa porque las magnitudes artículos y Córdobas aumentan y disminuyen proporcionalmente y se resuelve multiplicando:

→ 𝒙 =𝒄 𝒙 𝒃

𝒂 = 𝒙 =

𝟒𝟎 𝒙 𝟐𝟓

𝟒=

Aplicamos lo aprendido en proporciones

geométricas

250



Resuelve los siguientes problemas:

1. Una torre de 8 mts de altura, proyecta una sombra de 2.5 mts de longitud.

2. Un vehículo recorre 180 Km. con 4 galones de combustible cuántos kilómetros recorrerá a la misma velocidad y en iguales circunstancias con 16 galones.

3. De un grifo de agua fluyen 75 galones en 80 minutos ¿Cuántos galones fluirán en 2 horas?

a) Regla de tres Simple Inversa

Son inversamente proporcionales si una de las magnitudes aumenta y la otra como consecuencia disminuye. Entonces se dice que es regla de tres simple Inversa.

Ejemplo

Doce personas hacen una obra en 10 días. ¿Cuántos hombres realizarán la misma obra en 22 días?

Magnitud Uno + y el otro -

Uno - y el otro +

Días Mas días Menos días

Personas Menos personas

Más personas

a b Supuesto 10 días 12 personas Pregunta 22 días x_____ c d Es Inversa porque cuando la magnitud personas aumenta la magnitud días disminuye y viceversa, en este caso se resuelve multiplicando.

𝒙 = 𝒂 𝒙 𝒃

𝒄 = 𝒙 =

𝟏𝟎 𝒙 𝟏𝟐

𝟐𝟐=

Ejercicios

5.5



Resuelve los siguientes problemas:

1. Diez personas tienen comida para 20 días, cuántos días le durará la comida si llegan diez personas de visita.

2. Cuatro personas realizan seis metros de una obra, cuántas personas realizarán

50 metros de la misma obra en el mismo tiempo.

3. Una familia tiene víveres para 60 días a 3 raciones diarias ¿Cuánto le durará la misma cantidad de comida a 2 raciones diarias?

b) Tanto por ciento Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número. El signo de tanto por ciento es %. Es decir que el 8% de 250 es 20 que indica que 200 se dividió en cien partes iguales y de ellas se tomó 8 partes.

Ejemplo

Para calcular el tanto por ciento aplicamos la regla de tres: Calcule el 45% de 700 100% 700

45% x . 𝑥 =𝟒𝟓 𝒙 𝟕𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎=

El tanto por ciento es importante por el valor

expresable que tienen sus datos

315

Ejercicios



Calcule

1. El 55% de 120

2. El 12% de 850

3. El 5% de 600

4. El 75% de 1,850

5. El 80% de 450

6. El 22% de 2,550

7. El 90% de 10,450

a. Cálculo de un número cuando se conoce un tanto por ciento de él.

Ejemplo

De qué número es 50 el 80% 80% 50

100% x . 𝑥 =𝟏𝟎𝟎 𝒙 𝟓𝟎

𝟖𝟎=

Calcule

1. De qué número es 45 el 70%

2. De qué número es 125 el 30%

3.- De que número es 500 el 15%

4.- De que número es 1,300 el 54%

Ejercicios

62.5

Ejercicios



b. Calculo de qué tanto por ciento es un número de otro:

Ejemplo

Qué tanto por ciento es 160 de 500. Establecemos 500 es el 100%, entonces Supuesto 500 100%

Pregunta 160 x . 𝑥 =𝟏𝟔𝟎 𝒙 𝟏𝟎𝟎

𝟓𝟎𝟎=

Qué tanto porciento

1. Es 15 de 400

2. Es 900 de 5,000

3. Es 75 de 800

4. Es 154 de 567

5. Es 1,322 de 8,751

Qué tanto porciento

1. De 200 es 45

2. De 80 es 50

3. De 1,500 es 300

4. De 3,824 es 126

5. De 11,850 es 1,930

32%

Ejercicios

La Magnitud es un parámetro de comparación.

RECUERDA



3. NOTACIÓN CIENTÍFICA En matemáticas y ciencias, a menudo se suelen manejar números muy grandes o muy pequeños. Una forma de evitar manejar demasiados dígitos (normalmente tendríamos problemas con las calculadoras para introducirlos) es utilizar la notación científica. Todo número en notación científica siempre viene expresado de la misma forma. Una parte entera que consta de un número distinto de cero, seguido de una coma y de cifras decimales, multiplicado todo ello por una potencia de diez, con exponente positivo o negativo. Las aplicaciones más comunes de la notación científica son las siguientes:

a) Pasar un número muy grande a notación científica

Ejemplo Poner en notación científica el número 3897000000000000

Primer paso

Se pone como parte entera el primer dígito de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos.

Segundo paso

Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras no decimales que tiene el número menos una (la primera). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la izquierda. Es un exponente positivo.

Primer paso Parte entera: 3,897

Segundo paso

Exponente de la potencia de diez: +15 (hay 16 dígitos no decimales, menos uno da quince) El número en notación científica sería = 3,897x1015



Convierta a notación científica los siguientes números:

1. 125320000000

2. 1400000000000

3. 125890000

b) Pasar un número muy pequeño a notación científica

Ejemplo

Poner en notación científica el número 0,000000000003897

Ejercicios

Primer paso

Se pone como parte entera el primer dígito distinto de cero de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos.

Segundo paso

Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras decimales que tiene el número hasta la primera que sea distinta de cero (incluida). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la derecha. Es un exponente negativo.

Primer paso Parte entera: 3,897

Segundo paso

Exponente de la potencia de diez: -12 (hay 12 dígitos decimales, incluyendo el 3) El número en notación científica sería = 3,897x10-12



Convierta a notación científica los siguientes números:

1. 0,00000011775

2. 0,0000000064

3. 0,000000000000102

Ejercicios

La notación científica agiliza los procedimientos matemáticos.

RECUERDA



II. ÁLGEBRA

1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. Ejemplo 2x, 4(x + y), 5a + 3b + 4. Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. Ejemplo: 3x, -8a, 9ab Elementos de un término algebraico:

Clasificación de expresiones algebraicas

Monomio Polinomios

Un solo termino Más de un término 2x3

4a + b - 3c

Reducción de Términos Semejantes: Son semejantes cuando tienen el mismo literal

a. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.

Ejemplo

8x + 5x = 13x



Reduzcan los siguientes términos 1) 5x + 12x + 17x + 9x 2) 15mn – 4mn - mn – 7mn - 2mn 3) 4a3b - 8 a3b - 25 a3b - 11a3b - 3 a3b 4) - 1/2 xy6 - 2 xy6 - 1/4 xy6

b. Reducción de dos términos semejantes de distintos signos Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor a continuación se escribe la parte literal

Ejemplo

2x2y2 – 7x2y2 + 8x2y2 - 5x2y2 = - 2x2y2

Reduzca los siguientes términos 1) 8b – 13b 2) 21z + 3z 3) 6a + 4a – 2a 4) 3x – 7x + 5x

Valor numérico de una expresión algebraica Es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas.

Ejercicios

Ejercicios



Valor numérico de expresiones simples

Ejemplo

Hallar el valor numérico de 3m2n2p3 con valores m = 3, n = 2, p = 3 2m3n2

3 m2 n2p3 = 3 x (3)2 x (2)2 x (3)3 = 3 x 9 x 4 x 9 = 2,916 = 2 m3 n2 2 x (3)3 x (2)2 2 x 9 x 4 216

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones para a = 2, b = 1, c = 4, x = 2, y = 3, z = ½ 1) 4 abc3 2) 2 x3y2 3) 5 x3y2z4 2 xyz2 4) x6 y4z x y3z2

Valor numérico de expresiones complejas

Ejemplo Hallar el valor numérico de 2ab + ab – 3abc con los valores a = 2, b = 4, c = 1 Valor numérico = 2(2)(4) + (2)(4) – 3(2)(4)(1) = 16 + 8 - 24 =

13.5

Ejercicios

0



Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones para m = 1, n = 3, p = 2, x = ½, y = 4, z = 2 1) mnp2 – m3n2p + m2np3 2) 2x3y2z – 3x2yz + 4xy2z3 + xyz 3) 2xy + 4y3z2 – 5x3z2 4) 3m2n3p4 + 2mn2p3 - 5m3n2p + mnp 5) ½ m2n2p + ¼ mnp – 2m3n2p + 3mnp – 4mn4p3

Ejercicios



2. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Suma de términos algebraicos Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).

Ejemplo a) Sumar: (5m4 - 4m2 + 7m + 8) + (- 5m3 + 6m2 - 8m) + (m4 - 8m3 - 9m2 - 3) + (2m3 - 5m) 5m4 - 4m2 + 7m + 8 - 5m3 + 6m2 - 8m m4 - 8m3 - 9m2 - 3 + 2m3 + 5m . 6m4 - 11m3 - 7m2 + 4m + 5 b) Sumar: (2a - 7b + 9d) +(- 4a - 3b - 10c + 5d) + (6a - 8c + 13d) - (- 5a + b + 3c + 4d) 2a - 7b + 9d - 4a - 3b -10c + 5d 6a - 8c + 13d - 5a + b + 3c + 4d - a - 9b -15c +31d

Sumar 1) (3a + a2) + (4a3 + 5a2 + 7a) + (5a - a2 + 3a3) 2) (4x2 - x + 2x3 + 5) + (- x4 + 3x3 +11x2 + 6x - 3) + (7x3 + 4x2 - 2x + 5) 3) (12 m3 + 2m4 - 5m) + (8m4 - 3m3 + 16m2 - 4m) + (19m4 - 5m)

Para sumar polinomios se colocan los polinomios uno debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columna; se hace la reducción de éstos, separándolos uno de otros con sus propios signos.

Ejercicios



4) (xy + x2) + (-7y2 + 4xy - y2) + (5y2 - x2 + 6xy) + (- 6x2 - 4xy + y2) 5) (-8a2m + 6am2 - m3) + (a3 - 5am2 + m3) + (4a3 + 4a2m - 3am2) + (7a2m - 4am2 - 6)

Resta de términos algebraicos Es una operación que tiene por objeto dada una suma de dos sumandos, uno de ellos llamado minuendo y el otro sustraendo hallar la el tercer término que sería la diferencia.

Ejemplo

a) De (3x + 4y – 5z) Restar (x – 2y + 4z) 3x + 4y – 5z → 3x + 4y - 5z - ( x – 2y + 4z) → - x + 2y - 4z 2x + 6y - 9z b) De (8a4b2 + a6 - 4a2b4 + 6ab5) Restar (- 4a5b - ab5 + 6a3b3 - a2b4 - 3b4) a6 + 8a4b2 - 4a2b4 + 6ab5 + 4a5b - 6a3b3 + a2b4 + ab5 + 3b4 a6 + 4a5b + 8a4b2 - 6a3b3 - 3a2b4 + 7ab5 + 3b4

1) De (5m3 -9n3 + 6m2n - 8mn2) Restar (14mn2 - 21m2n + 5m3 - 18) 2) De (4x2 - x + 2x3 + 5) Restar (7x3 + 4x2 - 2x + 5) 3) De (12 m3 + 2m4 - 5m) Restar (8m4 - 3m3 + 16m2 - 4m) 4) De (-7y2 + 4xy - y2) Restar (5y2 - x2 + 6xy) 5) De (-8a2m + 6am2 - m3) Restar (7a2m - 4am2 - 6)

Para restar polinomios hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo, escribiremos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos.

Ejercicios



Multiplicación de términos algebraicos Es una operación que tiene por objeto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva. Para realizar multiplicación de términos algebraicos se deben tomar en cuenta las siguientes leyes: Casos de la Multiplicación de polinomios a) Multiplicación de monomios

Ejemplo

4x2y por 2xy3 → (4 por 2 = 8) (x2 por x = x2+1 = x3) (y por y3 = y1+3 = y4) = 8x3y4

Multiplicar 1) a2b3c por a4b3c5 2) -4a2b por - a2b 3) m3n4 por m2n5p 4) x5y2z por x4y3z2

a) Ley de los signos: “Signos iguales dan más y signos diferentes dan menos”

b) Ley de los exponentes: “Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores”

Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente

igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.

Ejercicios



5) xyz por x3y2z8

b) Multiplicación de polinomios por monomios

Ejemplo Multiplicar 5m3 + m2 - 4m por - 3m

5m3 + m2 - 4m - 3m . - 15m4 - 3m3 + 12m2

Multiplicar 1) x2- 4x + 3 por - 2x 2) 3ab + 2a2b3 - b por 4ab 3) 5mn2 - 2mn + n3 por 3mn c) Multiplicación de dos polinomios:

Ejemplo Multiplicar: 4x - 3y por - 2y + 5x 4x - 3y 5x - 2y 20x2 - 15xy + 8xy + 6y2

20x2 - 7xy + 6y2

Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos.

Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos y se reducen los

términos semejantes.

Ejercicios



1) a2+ b2 + 2ab por a + b 2) x2 - 2x + 5 por x3 + 2x 3) 3m3 - m2 + 10mn por m2 - mn2

División de términos algebraicos

Es una operación que tiene por objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor) hallar el otro factor (Cociente). a) División de monomios

Ejemplo

Dividir 6x3y2 entre 3xy = 6x3y2= - 2x2y - 3xy

Dividir 1) 16a3b2 entre 4ab 2) 81m4n3 entre 9m2n 3) - 8x5y3 entre - 2x3y2

Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a las letras un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el

exponente que tiene en el divisor. El signo lo da la ley de los signos.

Ejercicios

Ejercicios



b) División de polinomios por monomios

Ejemplo Dividir 2x3 - 4x2y + 6xy2 entre 2x

2x3 - 4x2y + 6xy2 = 2x3 - 4x2y + 6xy2 = x2 - 2xy + 3xy2 2x 2x 2x 2x

Dividir 1) 3m2n3 - 5m2n4 entre 3m2 2) 16x9y2 - 20x7y4 - 40x5y6 + 24x3y8 entre 4x2 3) 4a8 - 10a6 - 5a4 entre a 4) 2m3 - 8x2 + 2x entre 2x 5) 12x8y8 - 6x6y6 - 2x2y3 entre 6x2y3 c) División de polinomios por polinomios Se ordena el dividendo y el divisor en relación a una sola letra. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan los operaciones anteriores y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.

Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos

Ejercicios



Ejemplo

a) Dividir 12x2 - 22xy + 10y2 entre x - y 12x2 - 22xy + 10y2x - y x - y -12x2 +12xy 12x - 10y - 10xy + 10y2 +10xy - 10y2 b) Dividir m3 - 3m2n + 3mn2 - n3 entre m - n m3 - 3m2n + 3mn2 - n3 m - n -m3 + m2n m2 - 2mn + n2

- 2m2n + 3mn2

+ 2m2n - 2mn2 + mn2 - n3

- mn2 + n3 c) Dividir 2a4 - a3 + 7a - 3 entre 2a + 3 2a4 - a3 + 7a - 3 2a + 3 - 2a4 - 3a3 a3 - 2a2 + 3a - 1 - 4a3 + 4a3 + 6a2 + 6a2 + 7a - 6a2 - 9a - 2a - 3 + 2a - 3

Prueba de la División: Se multiplica el divisor por el cociente debiendo darnos el dividendo.

Ejemplo

Tomando los datos del ejemplo anterior: a3 - 2a2 + 3a - 1 2a + 3 _____ . 2a4 - 4a3 + 6a2 - 2a + 3a3 - 6a2 + 9a - 3 2a4 - a3 + 7a – 3



Realice las siguientes divisiones y compruébelas 1) a5b - 5a4b2 + 22a2b4 - 40ab5 2) xy4 - xy - 2x entre xy + x 3) x

2 + x - 20 entre x + 5

Realice los siguientes ejercicios de operaciones algebraicas combinadas 1) (4x3 + 10x2 - 3x + 10) + (-2x + x3 + 5x2+ 15) Respuesta. 5x2 - 2x + 5 (x + 5)

Ejercicios



3. POTENCIACIÓN Se llama potencia a una expresión de la forma an, donde a es la base y n es el

exponente.

Ejemplo

(- 2x)2 = (- 2x) por (- 2x) = 4x2 (- 2x)3 = (- 2x) por (- 2x) por (- 2x) = - 8x3 (- 2x)4 = (- 2x) por (- 2x) por (- 2x) por (- 2x) = 16x4

Propiedades de los exponentes:

Ejemplo 40 = 1.

b) Propiedad del exponente negativo:

Ejemplo

a) Desarrolle x-2 = 1 . x2

b) Desarrolle la siguiente potencia: (4x2y3)2 = 42 por x2+2 por y3+2 = 16x4y5

a) Propiedad del exponente cero: “Todo número elevado a la potencia cero es igual 1”

“Toda cantidad elevada a un exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es 1, y su denominador la misma cantidad con el exponente

positivo. a-n

= 𝟏

𝒂𝒏”



Desarrolle

1) (3m4n3p2)5 2) (10x7y4z8)3

3) (5a12b16c8)6

4) (4x6y7z3)4

a) Cualquier potencia de una cantidad positiva es positiva. b) Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva.

c) Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa.

RECUERDA

Ejercicios



4. PRODUCTOS NOTABLES

Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación.

a) Cuadrado de la suma de dos cantidades: (a + b)2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Ejemplo

1. Desarrollar (m + 2)2 = Cuadrado del 1ro. (m)2 =

Duplo del 1ro. x el 2do. 2 * m * 2 =

Cuadrado del Segundo (2)2 =

Entonces (m + 2)2 = 2. Desarrollar (6x2 + 10y3)2 Cuadrado del 1ro. (6x2)2 =

Duplo del 1ro. x el 2do. 2 * 6x2 * 10y3 =

Cuadrado del Segundo (10y3)2 =

Entonces (6x2 + 10y3)2 =

“El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad”.

m2

4m

4

m2 + 4m + 4

36x4 + 120x2y3 + 100y5

100y5

120x2y3

364



Escribir por simple inspección 1) (2x + 3)2 2) (4a + b)2 3) (5m5 + n3)2 4) (2xy2 + (3ab2)2 5) (6x10 + 3y4)2

b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades: (a - b)2

(a + b)2 = a2 - 2ab + b2

Ejemplo Desarrollar (m + 2)2 = Cuadrado del 1ro. (m)

2 =

Duplo del 1ro. x el 2do. 2 * m * 2 = Cuadrado del Segundo (2)2 = Entonces (m + 2)2 =

“El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad” (a + b)2 = a2 - 2ab + b2”

Ejercicios

m2 - 4m +4

4

4m

m2



Escribir por simple inspección 1) (4m - 2n)2 2) (2x3 - y2)2 3) (7a2 - 3b5)2 4) (x2 - y2)2 5) (m3 - n3)2

c) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (a + b) (a - b)

(a + b) (a - b) = a2 - b2

Ejemplo

Desarrollar (2m + 3n) (2m - 3n) = (2m)2 - (3n)2 = 4m2 - 9n2

1) (2a + 1) (2a - 1) 2) (m2 + n2) (m2 - n2) 3) (x + 1) (x -1)

“La suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia, es igual al cuadrado

del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo”

Ejercicios

Ejercicios



d) Cubo de un binomio: (x + y)3 ó (x - y)3

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Ejemplo

Desarrollar (m + 2)3 Cubo del 1ro. (m)3 = Más el Triplo del 1ro. al cuadrado x el 2do. = 3 * m2 * 2 =

Más el Triplo del 1ro. x el 2do. al cuadrado = 3 * m * 22 =

Más el Cubo del 2do. (2)3 =

Entonces (m + 2)3 =

(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

Ejemplo

Desarrollar (m - 2)3 = Cubo del 1ro. (m)3 =

Menos el Triplo del 1ro. al cuadrado x el 2do. = 3 * m2 * - 2 =

MAS el Triplo del 1ro. x el 2do. al cuadrado = 3 * m * - 22 =

Menos el Cubo del 2d (2)3 = Entonces (m + 2)3 =

“El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda”.

m3 + 6m2 + 12m + 8

m3 - 6m2 + 12m - 8

m3

- 6m2

12m

- 8

m3

6m2

12m

8

“El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda”.



Desarrolle: 1) (a + 2b)3 2) (3x - 4y)3 3) (m + 2n)3

4) (a2 - 3b)3 5) (2x - 3y2)3

Ejercicios



5. FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.

Factor común monomio

Es el factor que está presente en cada término del polinomio.

Ejemplo

Factorice 12x + 18y - 24z

Utilizando la siguiente tabla resuelva los siguientes ejercicios encontrando el factor común de:

No. Expresión algebraica Factor común Producto

1 6x - 12

2 24a - 12ab

3 14m2n + 7mn

Factor común polinomio

Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión algebraica.

Expresión algebraica Factor común Producto

12x + 18y - 24z 6 6(2x + 3y - 4z)

Ejercicios



Ejemplo

Expresión algebraica Factor común Producto

x(a + b) + y( a + b) (a + b ) x(a + b ) + y( a + b ) = (a + b )( x + y )

Resuelva los siguientes ejercicios encontrando el factor común utilizando la siguiente tabla:

No. Expresión algebraica Factor común Producto

1 a(x + 1) + b ( x + 1 )

2 (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) 3 a( a + b ) - b ( a + b )

Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c

Ejemplo

Expresión algebraica ab a - b Producto

X2 - x - 6 (-3)(2)= -6 -3 + 2 = -1 (x - 3) (x + 2) X2 + 4xy - 12y2

(6y)(-2y) 6y - 2y (x + 6y) (x - 2y)

Ejercicios



Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios:

Expresión algebraica ab a - b Producto

x2 + 4x + 3 b2 + 8b + 15

r2 - 12r + 27

Factorización de un trinomio de la forma ax2+ bx + c

Ejemplo

Expresión algebraica

a(ax2+bx+c) 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛(𝐚𝐱) + 𝐚𝐜

𝐚

(ax )(ax ) (𝐚𝐱 )(𝐚𝐱 )

𝐚

Producto

2a2 + 3a - 2 2(2a2 + 3a - 2) 𝟒𝒂𝟐 + 𝟑(𝟐𝒂) − 𝟏𝟓

𝟐

(2a + 4) (2a - 1) (2𝑎 + 4)(2𝑎 − 1)

2

(a + 2) (2a - 1)

Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios: Expresión algebraica

a(ax2+bx+c) 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃(𝒂𝒙) + 𝒂𝒄

𝒂 (ax )(ax ) (𝒂𝒙 )(𝒂𝒙 )

𝒂

Producto

5x2 + 11x + 2

4x2 + 7x + 3

5 + 7b + 2b2

Factorización de la diferencia de dos cuadrados: a2 - b2

Ejemplo

Expresión algebraica: a2 - b2 a b Producto

9x2 - 16y2 9x2 = 3x * 3x

16y2= 4y * - 4y (3x + 4y) (3x - 4y)

Ejercicios



Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios:

Expresión algebraica: a2 - b2

a b Producto

9a2 - 25b2 4x2 - 1 36m2n2 - 25

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto: x2 + bx + c

Ejemplo

Expresión algebraica: x2 + bx + c

√x2 √c2 (x - c) (x - c) Producto

9x2 - 30x + 25 3x - 5 (x - 5) (x - 5) (3x - 5)2

Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos:

Expresión algebraica: x2 + bx + c

√x2 √c2 (x - c) (x - c) Producto

b2 - 12b + 36

m2 - 2m + 1

16m2 - 40mn + 25n2

Ejercicios

Ejercicios

“El resultado de la factorización es un producto y si efectuamos ese producto el resultado debe ser la expresión algebraica original.”

RECUERDA



6.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

Es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas 𝒂

𝒃

Suma con fracciones algebraicas

Para sumar fracciones algebraicas se siguen los siguientes pasos.

a) Se simplifican las fracciones dadas de ser posible

b) Se reducen las fracciones al mínimo común denominador, si son de distinto

denominador.

c) Se efectúan las multiplicaciones indicadas

d) Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por

el denominador común.

e) Se reducen términos semejantes en el numerador

f) Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo

a−2

4+

3a+2

6=

3(a−2)+2(3a+2)

12=

3a−6+6a+4

12=

9a−2

12

Sumar 1) a - 2b + b - a 15a 20b 2) a + 3b + a2b - 4ab2 3ab 5a2b 3) a - 1 + 2a + 3a + 4 3 6 12

Ejercicios



Resta con fracciones algebraicas Para restar fracciones algebraicas se siguen los mismos pasos que en la suma con la

diferencia que Se restan los numeradores de las fracciones que resulten y la diferencia

se parte por el denominador común.

Ejemplo

De 𝒂+ 𝟐𝒃

𝟑𝒂 Restar

𝟒𝒂𝒃𝟐− 𝟑

𝟔𝒂𝟐𝒃;

𝒂+ 𝟐𝒃

𝟑𝒂 -

𝟒𝒂𝒃𝟐− 𝟑

𝟔𝒂𝟐𝒃 =

𝟐𝒂𝒃(𝒂+𝟐𝒃)

𝟔𝒂𝟐𝒃 -

𝟒𝒂𝒃𝟐− 𝟑

𝟔𝒂𝟐𝒃

𝟐𝒂𝟐𝒃+𝟒𝒂𝒃𝟐

𝟔𝒂𝟐𝒃 -

𝟒𝒂𝒃𝟐− 𝟑

𝟔𝒂𝟐𝒃 =

𝟐𝒂𝟐𝒃+𝟒𝒂𝒃𝟐− (𝟒𝒂𝒃𝟐− 𝟑)

𝟔𝒂𝟐𝒃;

𝟐𝒂𝟐𝒃+𝟒𝒂𝒃𝟐− 𝟒𝒂𝒃𝟐− 𝟑

𝟔𝒂𝟐𝒃 =

𝟐𝒂𝟐𝒃+𝟑

𝟔𝒂𝟐𝒃

Restar

1) 𝑚 − 3

4 -

𝑚 + 2

8; 2)

2𝑥 + 3

4𝑥 -

𝑥 − 2

8𝑥 3)

− 2𝑥 + 𝑦

20𝑥 -

𝑥− 3𝑦

24𝑦

Multiplicación con fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas se siguen los siguientes pasos.

Ejercicios

Primer paso Se descomponen en factores

Segundo paso Se simplifica

Tercer paso Se multiplican entre si los numeradores y este producto se parte por el producto de las expresiones que queden en los denominadores.



Ejemplo

Multiplicar

𝟐𝒂

𝟑𝒃𝟑 x 𝟑𝒃𝟐

𝟒𝒙 x

𝒙𝟐

𝟐𝒂𝟐 = 𝟐 𝐗 𝟑 𝐗 𝐚 𝐗 𝒃𝟐𝐗 𝒙𝟐

𝟑 𝐗 𝟒 𝐗 𝟐 𝐗 𝒂𝟐𝐗 𝒃𝟑𝐗 𝒙 =

𝒙

𝟒𝒂𝒃

Multiplicar

1) 𝟐𝒎𝟐

𝟑𝒏x

𝟔𝒏𝟐

𝟒𝒎

2) 𝟓

𝒙 x

𝟐𝒙

𝒚𝟐 x 𝟑𝒚

𝟏𝟎

3) 𝟐𝒙𝟐+ 𝒙

𝟔 x

𝟖

𝟒𝒙+𝟐

4) 𝒂+𝒃

𝒂𝒃 − 𝒃𝟐 x 𝒃𝟐

𝒂𝟐− 𝒃𝟐

División con fracciones algebraicas

Para dividir fracciones algebraicas se multiplica el dividendo por el divisor invertido.

Ejemplo Dividir 𝒎𝟐

𝟑𝒏𝟐 ÷ 𝟐𝒎

𝒏𝟑 = 𝒎𝟐

𝟑𝒏𝟐 x 𝒏𝟑

𝟐𝒎 =

𝒎𝒏

𝟔

Ejercicios



Dividir

1) 𝟓𝒎𝟐

𝟕𝒏𝟑 ÷ 𝟏𝟎𝒎𝟒

𝟏𝟒𝒂𝒏𝟒

2) 𝟏𝟓𝒂𝟐

𝟏𝟗𝒙𝒂𝟑 ÷ 𝟐𝟎𝒃𝟐

𝟑𝟖𝒙𝟑𝒂𝟒

3) 𝒙−𝟏

𝟑 ÷

𝟐𝒙−𝟐

𝟔

Ejercicios



7. ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS CON UNA VARIABLE

Ecuación

Es la igualdad de dos expresiones algebraicas en la que hay una o varias variables, y

que es verdadera para algunos valores del conjunto de los números reales.

Son ejemplos de ecuaciones las siguientes:

Ecuaciones lineales Es una ecuación de la forma ax + b = 0, con a no es 0 donde a y b son números Reales, se llama Ecuación Lineal de Primer Grado en una Variable. Para resolver una ecuación de primer grado se procede del modo siguiente:

Ejemplo

a) Resolver la ecuación 5 + 4a = 3a + 7

3x – 1 = 2x -3; x + y + z = 2x – 5y +2z

Primer paso Trasponemos el termino 3a al primer miembro. 5 + 4a - 3a = 7

Trasponemos el término 5 al segundo miembro 4a - 3a = 7 - 5 Segundo paso

Tercer paso Reducimos los dos términos a = 2

Cuarto paso Comprobamos 5 + 4(2) = 3(2) + 7 entonces 13 = 13



b) Resolver la ecuación 2(m +1) + 3(m - 2) = m + 4

1) 3x - 5 = x + 3 2) 5m +6 = 10m + 5 3) 21 - 6a = 27 - 8a 4) y - 5 = 3y - 25 5) 7 + (2x + 1) = 2x + 9

Primer paso Suprimen los paréntesis 2m + 2 + 3m - 6 = m + 4

Agrupamos términos semejantes 5m - 4 = m + 4 Segundo paso

Tercer paso Trasponemos el término m al primer miembro. 5m - 4 - m = 4

Cuarto paso Trasponemos el término - 4 al segundo miembro. 5m - m = 4 + 4

Quinto paso Reducimos los dos términos 4m = 8 → m = 8/4 = 2

Sexto paso Comprobamos 2 (2 + 1) + 3(2 - 2) = 2 + 4 entonces 6 = 6

Ejercicios



Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado Es toda ecuación que una vez simplificada el mayor exponente de la incógnita es 2.

Ejemplo

Resolver la ecuación 3a2 - 7a + 2 = 0 → a = 3; b = - 7 y c = 2,

1) m2+ 15m + 56 = 0 2) x2 + 2x - 8 = 0 3) x2 + 11x + 24 = 0

La ecuación cuadrática se resuelve:

a) Mediante la aplicación de la formula general o cuadrática. 𝒙 =−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂

Primer paso

Segundo paso

Tercer paso

Cuarto paso

Sustituyendo los valores en la ecuación 𝒙 =−(−𝟕)±√𝟕𝟐−𝟒(𝟑)(𝟐)

𝟐(𝟑)

Realizamos las operaciones en la raíz 𝑋 =𝟕 ±√𝟒𝟗−𝟐𝟒

𝟔=

𝟕 ±√𝟐𝟓

𝟔

Despejamos la raíz 𝒙 =𝟕±𝟓

𝟔

Encontramos las raíces 𝒙𝟏 =𝟕+𝟓

𝟔= 𝟐; 𝒙𝟐 =

𝟕−𝟓

𝟔= 𝟏/𝟑

Ejercicios



8. SISTEMAS DE ECUACIONES

Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.

Sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas.

Ejemplo

Resuelva utilizando el método de eliminación. x − 3y + 2z = 6 x + y − z = −1 2x + 3y + z = 0 Para eliminar la x de la segunda ecuación se multiplica la primera ecuación por −1 y se suma a la segunda ecuación, lo que equivale a restar la primera ecuación de la segunda. −1 [ x − 3y + 2z = 6 ]→ x + 3y - 2z = - 6 + [ x + y − z = −1 ]→ x + y − z = −1 4y −3z = −7 Para eliminar 2x de la tercera ecuación se multiplica la primera ecuación por −2 y se suma con la tercera, lo que equivale a restar de la tercera dos veces la primera. −2 [ x − 3y + 2z = 6 ] → -2x +6y – 4z =-12 + [ 2x + 3y + z = 0 ] → 2x +3y + z = 0 9y − 3z = −12 Las dos ecuaciones resultantes forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y, z.

1er. Paso

“Aquí aplicamos lo estudiado en el tema 6 de esta guía, llamado

Operaciones con expresiones algebraicas”

RECUERDA



Ahora hay que eliminar una de las incógnitas, y o z, en la segunda de las ecuaciones anteriores. Observamos que es más sencillo eliminar la z, ya que para ello basta multiplicarla primera por −1 y sumar con la segunda, o lo que es lo mismo, hay que restar la primera de la segunda. 4y − 3z = −7 9y − 3z = −12 −1 [ 4y − 3z = −7 ]→ -4y + 3z = 7 + [ 9y − 3z = −12 ]→ 9y − 3z = −12 5y = − 5 y = - 5 y = -1 5 El valor y = −1 se sustituye en la primera de las ecuaciones en y y z obtenidas en el Paso 1 y se resuelve la ecuación resultante en z. 4 * (−1) − 3z = −7 −3z = −7 + 4 = −3 z = −3 z = 1 - 3 El valor y = −1 y el valor z = 1 se sustituyen en la primera de las ecuaciones del sistema y se resuelve la ecuación resultante en x. x − 3 * (−1) + 2 * 1 = 6 x = 6 − 3 − 2 = 1 Concluimos que la solución del sistema de ecuaciones es:

2do. Paso

3er. Paso

4to. Paso

x = 1, y = −1, z = 1



Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación

1) 2x + y - 3z = - 1 2) x + y + z = 6 3) 2a + b + 3c = 12 x - 3y - 2z = - 12 2x - y + 3z = 4 a + 2b + 5c = 10 3x - 2y - z = - 5 4x + 5y - 10z = 13 6a - 3b - 9c = 24

Ejercicios

Toda ecuación está formada por dos miembros. Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que queda a la izquierda del signo de la igualdad, y segundo miembro a la expresión que queda a la derecha del signo de igualdad.

RECUERDA



REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. A., Baldor. Álgebra. (2005). Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V. México.

2. Parajón Guevara, Antonio. (2009). El Álgebra y su Tratamiento Metodológico y sus Aplicaciones. Módulo III. Managua, Nicaragua.

3. Escobar Morales, Ramón Sebastián. Fundamentos de Matemática 8° Grado.

Librería y Ediciones San Miguel. Managua 2011

4. SWOKOWSKI, e., Cole, J.A. (1991). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Tercera Edición. México: Grupo editorial Iberoamérica.

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