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Como se vio anteriormente un binomio es una expresión algebraica de dos términos. Ejemplos: 1) a+b 2) 6x²-4xyz 3) -ab³-b³ 4) 1+4x⁴ 5) -1-a²b La factorización de binomios es un proceso muy importante en álgebra. Existen ciertas fórmulas que permiten multiplicar binomios de forma directa (sin realizar la multiplicación completa), tales como: •Diferencia de cubos •Suma de cubos •

Es un binomio que consta de dos términos, expresado de la forma:

a³-b³ En donde a y b son números reales. Ejemplos: 1) 27-x³ 2) a⁹-b⁶ 3) a¹²-1

binomio al cubo

restando otro

binomio al cubo

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La factorización de una diferencia de cubos a³-b³ es el producto de un binomio y un trinomio.

a ³ - b ³ = ( a - b ) ( a ² + a b + b ² ) De lo anterior podemos decir que : El binomio es la diferencia de las raíces cúbicas de cada término, que multiplica al trinomio, formado por el cuadrado de la raíz del primer término, más la multiplicación de la raíces cúbicas de los dos, más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo término. Ejemplo:

a ³ - b ³ = ( a - b ) ( a ² + a b + b ² )

a b NOTA: Para obtener la raíz cúbica de las letras, se dividirá para el caso de la SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS el exponente de la variable entre tres por ser éste el índice de la raíz cúbica.

Ejemplo:

• El numerador de un exponente fraccionario indica una elevación a potencia. • El denominador de un exponente fraccionario equivale al índice de la raíz.

Factorización de una diferencia de cubos.

Diferencia de cubos • Dos términos (binomio). •Deben tener raíz cubica exacta en cada término

Producto de un binomio

Trinomio

genera

Fórmula para FACTORIZAR una

DIFERENCIA DE CUBOS

raíz Binomio

(diferencia de las raíces cúbicas)

cuadrado de las raíces

Más la multiplicación de las raíces (a)(b)

exponente fraccionario

Índice de la raíz

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Factoriza la siguiente diferencia de cubos, (descompones en dos factores, un binomio y un trinomio). Procedimiento: Paso 1. Obtén las raíces cúbicas de cada término: Paso 2. Obtén el primer factor, un binomio formado mediante la diferencia de las raíces cúbicas de cada término: Paso 3. Forma el segundo factor, un trinomio formado por: el cuadrado del primer término más la multiplicación de las raíces cúbicas de los dos, más el cuadrado del segundo término. Paso 4. Multiplica el binomio por el trinomio en forma de paréntesis y ésta es la factorización.

Ejercicio de afirmación 6.

31 a

3 a

1

)(____ a

__)1(__ a

)11)(1( 22 aaa

4


633 xba


33271 ba


963 216yyx

Ejercicio de afirmación 1O.

639 1258 zyx

5

•

Una suma de cubos es un binomio que consta de dos términos de la forma:

a³+b³

En donde a y b son números reales. Ejemplos:

1) 27+x³ 2) a⁹+b⁶ 3) y¹²+1

La factorización de una suma de cubos a³+b³ al igual que en la suma de cubos, es el producto de un binomio y un trinomio.

a³ + b³ = (a + b) (a² - a b + b²) Para factorizar una suma de cubos se aplica la regla que la define: La suma de las raíces cúbicas de los dos sumandos, multiplicado por la suma de los tres sumandos; el cuadrado de la raíz cúbica del primer sumando, menos la multiplicación de las raíces cúbicas de los dos, más el cuadrado de la raíz cúbica del segundo sumando. Ejemplo:

a ³ + b ³ = ( a + b ) ( a ² - a b + b ² )

a b NOTA: Para obtener la raíz cúbica de las letras, se dividirá para el caso de la SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS el exponente de la variable entre tres por ser éste el índice de la raíz cúbica. Revisar nota anterior

binomio al cubo

Sumando otro

binomio al cubo

Factorización de una suma de cubos.

raíz Binomio (diferencia de las

raíces cúbicas)

cuadrado de las raíces

Más la multiplicación de las raíces (a)(b)

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Factoriza la siguiente suma de cubos, (descompones en dos factores, un binomio y un trinomio). Procedimiento: Paso 1. Obtén las raíces cúbicas de cada término: Paso 2. Obtén el primer factor, un binomio formado mediante la suma de las raíces cúbicas de cada término: Paso 3. Forma el segundo factor, un trinomio formado por: el cuadrado del primer término menos la multiplicación de las raíces cúbicas de los dos, más el cuadrado del segundo término. Realiza la multiplicación de (2x)²: Paso 4. Multiplica el binomio por el trinomio en forma de paréntesis y ésta es la factorización.


338 yx

3 3x

2

)(___ y

)2)2(( 22 yxyx

)24)(2( 22 yxyxyx

x2

Para 38x Para

3y

3 3y

)24( 22 yxyx

7


63 512343 yx


123 8ba


7298 6x


96 34327 nm

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• x ² + b x + c Ejemplos: Y deben cumplir con las condiciones siguientes:

1. El coeficiente del primer término es 1.

2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.

3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su

coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1er. y 2do. término y es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

x ² + b x + c . 1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x o sea,

la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

2. En el 1er. factor después de x se escribe el signo del 2do. término del trinomio y en el 2do. factor después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do. término del trinomio por el signo del 3er. término del trinomio.

3. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del 2do. término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del 3er. término del trinomio.

4. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos, se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del 2do. término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio.

El mayor de estos números es el 2do. término del 1er. binomio y el menor el 2do. término del 2do. binomio.

652 xx

1522 aa

1452 mm

1582 yy

x ² + b x ¹+ c 1

x ²

b x ¹

c

9

Ejemplo 1: Factorar •Descomponemos el trinomio en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada de x² o sea x.

•En el 1er. factor después de x se escribe el signo + (positivo) del 2do. término del

trinomio. • En el 2do.factor después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do. término del trinomio por el signo del 3er. término del trinomio.

(+) (+) = + •En los dos factores binomios tenemos en medio signos iguales, por lo que ahora se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del 2do. término (5) del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del 3er. término (6) del trinomio.

•Esos números son 2 y 3:

2+3=5 (2)(3)=6

652 xx

652 xx

xx2

raíz

x x

+

x+ x

652 xx

2do. término

3er. término

+

x x+ +

)3)(2(652 xxxx

x x+ + 2 3

+

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Ejemplo 2: Factorar •Descomponemos el trinomio en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada de x² o sea x.

•En el 1er. factor después de x se escribe el signo – (negativo) del 2do. término del


(–) (–) = + •En los dos factores binomios tenemos en medio signos distintos, por lo que ahora se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del 2do. término (5) del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del 3er. término (14) del trinomio.


7-2=5 (7)(2)=14 •El mayor 7, se escribe en el 1er. binomio y se tendrá:

1452 xx

xx2

raíz

x x

–

x x

1452 xx

2do. término

3er. término

x x

x x– + 7 2

1452 xx

–

–

– –

+

)2)(7(1452 xxxx

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• a x ² + b x + c Ejemplos: •En este caso se diferencia del trinomio anterior en que el 1er. término tiene un coeficiente distinto de 1.

Ejemplo 1: Factorar •Multipliquemos todo el trinomio por el coeficiente de x² que es (6) y dejando indicado el producto de (6) por (7x) de tal manera:

•Observa es lo mismo si escribimos : •Por lo tanto podemos escribir el trinomio así: •Descomponemos el trinomio en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada de 6x² o sea 6x.

•En el 1er. factor después de x se escribe el signo – (negativo) del 2do. término del

trinomio.

5112 2 xx

673 2 aa

210 2 nn

6237 2 mm

376 2 xx –

367666 2 xx

187636 2 xx

22 )6(36 xx

xx 6776

1867)6( 2 xx

xx 662 2

raíz

x6 x6

1867)6( 2 xx

x6 x6–

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• En el 2do.factor después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do. término del trinomio por el signo del 3er. término del trinomio.

(–) (–) = + •En los dos factores binomios tenemos en medio signos distintos, por lo que ahora se buscan dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto 18.


9-2=7 (9)(2)=18

•El mayor 9, se escribe en el 1er. binomio y se tendrá: •Al principio multiplicamos el trinomio por 6, ahora tenemos que dividir entre 6 para no alterar el trinomio, así tendremos: •Como ningún factor es divisible entre 6, descomponemos 6 en 2x3 y dividiendo entre 3 y entre 2, de la siguiente manera: •Por lo tanto:

2do. término

3er. término

x6 x6

1867)6( 2 xx – –

– +

)26)96 xx

6

)26)96 xx

)96x)26x

)26)96 xx

2 x 3

)13)32 xx

)13)32376 2 xxxx

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Ejemplo 2: Factorar •Multipliquemos todo el trinomio por el coeficiente de x² que es (20) y dejando indicado el producto de (7) por (20x) de tal manera:

•Observa es lo mismo si escribimos : •Por lo tanto podemos escribir el trinomio así: •Descomponemos el trinomio en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada de 20x² o sea 20x.

•En el 1er. factor después de x se escribe el signo + (negativo) del 2do. término del


(+) (–) = –

6720 2 xx +

xx 20202 2

raíz

x20 x20

x20 x20+

6207202020 2 xx

12072040 2 xx

22 2040 xx

xx 207720

120207202

xx

120207202

xx

2do. término

3er. término

120207202

xx + –

x20 x20+ –

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•En los dos factores binomios tenemos en medio signos distintos, por lo que ahora se buscan dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 120.


15-8=7 (15)(8)=120

•El mayor 15, se escribe en el 1er. binomio y se tendrá: •Al principio multiplicamos el trinomio por 20, ahora tenemos que dividir entre 6 para no alterar el trinomio, así tendremos: •Como ningún factor es divisible entre 20, descomponemos 20 en 5x4. Dividiendo entre 4 y entre 5, de la siguiente manera: •Por lo tanto:

)820)(1520 xx

20

)820)(1520 xx

)1520x

)820( x

)820)(1520 xx

5 x 4

)25)34 xx

)25)346720 2 xxxx

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