NÚMERO ENTERO

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z: Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:

• si a > 0, |a| = a; por ejemplo, |5| = 5; • si a < 0, |a| = -a; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

Sistema Decimal (con decimales) a binario

Para transformar un número del sistema decimal en sistema binario:

1. Se inicia por el lado izquierdo, multiplicando cada número por 2 (si la parte entera es mayor que 0 en binario será 1, y en caso contrario es 0)

2. En caso de ser 1, en la siguiente división se utilizan sólo los decimales.

3. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención.

4. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0,1

Ejemplo

0,3125 (decimal) => 0,0101 (binario).

Proceso:

0,3125 x 2 = 0,625 => 00,625 x 2 = 1,25 => 10,25 x 2 = 0,5 => 0

0,5 x 2 = 1 => 1 En orden: 0101 -> 0,0101 (binario)

Ejemplo

0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario).

Proceso:

0,1 x 2 = 0,2 => 00,2 x 2 = 0,4 => 00,4 x 2 = 0,8 => 00,8 x 2 = 1,6 => 10,6 x 2 = 1,2 => 10,2 x 2 = 0,4 => 0 <- se repiten las cuatro cifras, periódicamente0,4 x 2 = 0,8 => 0 <-0,8 x 2 = 1,6 => 1 <-0,6 x 2 = 1,2 => 1 <- En orden: 0 0011 0011

SISTEMA BINARIO

El sistema binario o sistema de numeración en base 2 es también un sistema de numeración posicional igual que el decimal, pero sólo utiliza dos símbolos, el “0” y el “1”. Por lo tanto para poder representar mayor número de información al tener menos símbolos tendremos que utilizar más cifras:

Bit: 0 ó 1 Cuarteto: Número formado por 4 bits Byte: 8 bits Kilobyte: 1024 bytes Megabyte: 1024 kilobytes Gigabyte: 1025 megabytes

Un número es sistema binario es por lo tanto una secuencia de bits, así por ejemplo:

11101001 2 es un número en base 2 y representa el número:

1 * 27 + 1 * 26 + 1 * 25 + 0 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 21 = 128 + 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 233

[EL SISTEMA OCTAL]

Es un sistema de base 8, es decir, con sólo ocho símbolos distintos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

Por ejemplo:

40712 8 es un número en base 8 y representa el número:

\large 4 \times 8^4 + 0 \times 8^3 + 7 \times 8^2 + 1 \times 8^1 + 2 \times 8^0 = 4 \times 4094 + 0 \times 512 + 7 \times 64 + 1 \times 8 + 2 \times 1 = 16384 + 0 + 448 + 8 + 2 = 16842

Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal. Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que el número decimal 74 en octal es 112. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar del decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. Esto explicaría por qué en latín nueve se parece tanto a nuevo. Podría tener el significado de número nuevo.

Fracciones

La numeración octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones, puesto que el único factor primo para sus bases es 2.

Fracción Octal Resultado en octal

1/2 1/2 0,4

1/3 1/3 0,25252525 periódico

1/4 1/4 0,2

1/5 1/5 0,14631463 periódico

1/6 1/6 0,125252525 periódico

1/7 1/7 0,111111 periódico

1/8 1/10 0,1

1/9 1/11 0,07070707 periódico

1/10 1/12 0,063146314 periódico

Tabla de la suma en base 8:

+ 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 1 2 3 4 5 6 7

1 1 2 3 4 5 6 7 10

2 2 3 4 5 6 7 10 11

3 3 4 5 6 7 10 11 12

4 4 5 6 7 10 11 12 13

5 5 6 7 10 11 12 13 14

6 6 7 10 11 12 13 14 15

7 7 10 11 12 13 14 15 16

Tabla de la multiplicación en base 8:

* 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7

2 0 2 4 6 10 12 14 16

3 0 3 6 11 14 17 22 25

4 0 4 10 14 20 24 30 34

5 0 5 12 17 24 31 36 43

6 0 6 14 22 30 36 44 52

7 0 7 16 25 34 43 52 61

El sistema de numeración más utilizado actualmente en computación es el hexadecimal o base 16, el cual consta de 16 dígitos símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F . El sistema hexadecimal un sistema de numeración vinculado a la informática, ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programación en bytes, que están compuestos de ocho dígitos. A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento, funcionan con múltiplos de ocho, como 16 o 32. Por este motivo, el sistema hexadecimal, de 16 dígitos, es un estándar en la informática.

Como nuestro sistema de numeración sólo dispone de diez dígitos, debemos incluir seis letras para completar el sistema.

Estas letras y su valor en decimal son: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15.

El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numérico asociado a cada signo depende de su posición en el número, y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es 16.

Veamos un ejemplo numérico: 3E0,A (16) = ( 3×16

) + ( E×16¹ ) + ( 0×160 ) + ( A×16–1 ) = ( 3×256 ) + ( 14×16 ) + ( 0×1 ) + ( 10×0,0625 ) = 992,625

La utilización del sistema hexadecimal en los ordenadores, se debe a que un dígito hexadecimal representa a cuatro dígitos binarios (4 bits = 1 nibble), por tanto dos dígitos hexadecimales representaran a ocho dígitos binarios (8 bits = 1 byte) que como es sabido es la unidad básica de almacenamiento de información. Por ejemplo:

2A703 16 es un número en base 16 y representa el número: Tabla de la suma en base 16:

+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

2 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11

3 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12

4 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13

5 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14

6 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15

7 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16

8 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17

9 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18

A A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

B B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A

C C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B

D D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C

E E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D

F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E

Tabla de la multiplicación en base 16:

* 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

2 4 6 8 A C E 10 12 14 16 18 1A 1C 1E 20

3 6 9 C F 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 2D 30

4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C 40

5 A F 14 19 1E 23 28 2D 32 37 3C 41 46 4B 50

6 C 12 18 1E 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A 60

7 E 15 1C 23 2A 31 38 3F 46 4D 54 5B 62 69 70

8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78 80

9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87 90

A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96 A0

B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5 B0

C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 B4 C0

D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3 D0

E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2 E0

F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 E1 F0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 A0 B0 C0 D0 E0 F0 100

Tabla de los primeros 16 números

Decimal Binario Octal Hexadecimal

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

Representación

Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que a su vez pueden ser representados por cualquier mecanismo capaz de estar en dos estados mutuamente exclusivos. Las secuencias siguientes de símbolos podrían ser interpretadas todas como el mismo valor binario numérico:

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 | - | - - | | - | - x o x o o x x o x o y n y n n y y n y n

El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En un ordenador, los valores numéricos pueden ser representados por dos voltajes diferentes y también se pueden usar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un “positivo”, “sí”, o “sobre el estado” no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la arquitectura usada.

De acuerdo con la representación acostumbrada de cifras que usan números árabes, los números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Cuando son escritos, los números binarios son a menudo subindicados, prefijados o sufijados para indicar su base, o la raíz. Las notaciones siguientes son equivalentes:

• 100101 binario (declaración explícita de formato) • 100101b (un sufijo que indica formato binario)

• 100101B (un sufijo que indica formato binario)

• bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)

• 1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)

• %100101 (un prefijo que indica formato binario)

• 0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación)

SISTEMA OCTAL

Representar un número en sistema binario puede ser bastante difícil de leer, así que se creó el sistema octal. En el sistema Octal (base 8), sólo se utilizan 8 cifras (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

Este Sistema de numeración una vez que se llega a la cuenta 7 se pasa a 10, etc.

Cuenta hecha en octal: 0,1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13,14,15,16,17,20,21,….. Se puede observar que en este sistema numérico no existen los números: 8 y 9

El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.

Fracciones en Hexadecimal

Fracción Octal Resultado en octal

1/2 1/2 0,4

1/3 1/3 0,25252525 periódico

1/4 1/4 0,2

1/5 1/5 0,14631463 periódico

1/6 1/6 0,125252525 periódico

1/7 1/7 0,111111 periódico

1/8 1/10 0,1

1/9 1/11 0,07070707 periódico

1/10 1/12 0,063146314 periódico

SISTEMA HEXADECIMAL

El sistema hexadecimal, a veces abreviado como hex, es el sistema de numeración posicional de base 16 —empleando por tanto 16 símbolos—. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria

Tabla del Sistema Decimal, Binario, Octal y Hexadecimal

Decimal Binario Octal Hexadecimal

0 0 0 0

1 1 1 1

2 10 2 2

3 11 3 3

4 100 4 4

5 101 5 5

6 110 6 6

7 111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

Autor: Efren Montero Mero