conceptos sísmicos de la interacción · pdf fileflexionantes y las fuerzas...
TRANSCRIPT
CONCEPTOS SÍSMICOS DE LA INTERACCIÓN SUELO – ESTRUCTURA DE COMENTACIONES MONOLÍTICAS
Por: Dr. Leonardo Zeevaert+
INTRODUCCIÓN La compatibilidad de los desplazamientos de la interfase, entre estructura de cimentación y suelo, es importante en ele diseño de la Ingeniería de las Cimentaciones conocidas las fuerzas que actúan sobre la estructura de cimentación inducidas por la superestructura y reacciones del suelo, el ingeniero de cimentaciones podrá estimar los momentos flexionantes y las fuerzas cortantes que actúan en los elementos que forman la cimentación para realizar un diseño justificado y económico.
En dinámica de suelos que presentan múltiples problemas relacionados con la interacción
suelo – estructura, como son: zapatas continuas de cimentaciones profundas con pilotes,
muros de retención y elementos subterráneos como pilas, ataguías, túneles, etc. En la
mayoría de los casos las estructuras de cimentaciones se construyen de concreto simple
o reforzado, por tanto, es importante conocer las propiedades dinámicas de esfuerzo-
deformación del concreto y del suelo. Además, es necesario conocer la estratigrafía y las
condiciones hidráulicas del lugar.
Una solución razonable de la interacción entre la estructura y el suelo es obtenerse
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + Profesor, División de Estudios de Posgrado, Facultad de Ingeniería, U.N.A.M.
UNIVERSIDAD DE MEDELLIN. 1er. Encuentro Nacional de Ingenieros de Estructuras y
Suelos, Medellín 6 al 9 de 1985.
solamente si se conocen las propiedades dinámicas reales de esfuerzo – deformación de
los dos materiales y si se establece la compatibilidad de deformación entre la estructura y
el suelo para las condiciones de movimiento óptimo.
CONSIDERACIONES SISMICAS
Durante la práctica profesional se ha podido comprobar que el buen comportamiento de
una estructura durante temblores de tierra fuerte, depende en alto grado de un diseño
adecuado de la cimentación tanto para cargas estáticas como para las sísmicas. Una
cimentación podrá haber sido diseñada y construida par trabajar satisfactoriamente con
cargas estáticas y, sin embargo, su comportamiento sísmico podría ser defectuoso,
afectándose la respuesta sísmica de la superestructura. La cimentación es el elemento que
transmite las fuerzas sísmicas a la superestructura, consecuentemente ésta será la
responsable en gran parte del comportamiento del edificio.
La respuesta sísmica de una cimentación es función de varios factores, a saber:
a. Características del sismo.
b. Características estratigráficas e hidráulicas y de resistencia del subsuelo
c. Propiedades y comportamiento dinámico del subsuelo
d. Posición del centro de masa del edificio
e. Flexibilidad del esqueleto estructural del edificio
f. Interacción entre el suelo y la estructura de cimentación
g. Magnitud de los esfuerzos de contacto
En la práctica profesional el subsuelo no se puede considerar homogéneo e isótopo,
generalmente está constituido por una serie de depósitos de sedimentos con propiedades
dinámicas variables que definen las propiedades de los diferentes estratos. Sin embargo,
desde un punto de vista práctico, se podrá considerar que cada estrato del subsuelo puede
ser representado por sus características geotécnicas medias, esto es: su geometría,
propiedades dinámicas, de resistencia y de esfuerzo – deformación. Las fórmulas de
cálculo basadas exclusivamente en propiedades del subsuelo considerado como un medio
homogéneo e isótopo no podrán proporcionar resultados cercanos a la realidad, más que
en casos muy particulares. La respuesta sísmica de la cimentación dependerá por tanto,
de las condiciones estratigráficas reales y de las propiedades dinámicas de los estratos
involucrados en el movimiento sísmico. Así también del nivel de esfuerzos a que será
sometido el subsuelo durante el fenómeno sísmico.
Conociendo las condiciones reales del subsuelo y procedimientos del cálculo afines a
las condiciones ambientales del lugar en cuestión, los resultados dependerán
fundamentalmente de la precisión con que se conozcan las propiedades estratigráficas y
dinámicas del subsuelo para un sismo de ciertas características predeterminadas. En estas
condiciones la respuesta sísmica de la cimentación podrá conocerse con precisión
práctica que permita analizar los esfuerzos y deformaciones de la cimentación y los
efectos que su comportamiento induce en la superestructura.
CARACTERISTICAS DE LOS SISMOS(1)
Los sismos deberán identificarse por su Magnitud e Intensidad y elegir las características del sismo que se utilizará como base para poder efectuar un diseño los más apegado a la realidad cuando quiera llevarse a cabo una mejor visualización de los fenómenos involucrados, y los cuales deberán cumplir como mínimo con los códigos legales de diseño establecidos. Los códigos para las diferentes regiones sísmicas han sido elaborados con la intención de cubrir por medio de factores las peores condiciones que podrían presentarse y que por experiencia local han sido observadas en la región considerada. No siempre los códigos así aplicados proporcionan diseños seguros. El principal defecto es que el ingeniero de cimentaciones pierde contacto con la física elemental del problema dinámico. El código siendo una legislación deberá, sin embargo, respetarse como una condición mínima. Por toro lado, el ingeniero diseñador no deberá perder de vista cualesquiera de los aspectos físicos y ambientales que puedan afectar el diseño sísmico de la cimentación y superestructura.
La magnitud de una sismo se mide indirectamente por la cantidad de energía potencial
liberada en la zona focal y por tanto es independiente de la distancia. Sin embargo, a
determinada distancia la intensidad sísmica se mide por la aceleración registrada en los
acelerógrafos. El profesor Richter estableció la escala de magnitud sísmica que lleva su
nombre(2). La escala de Richter sirve para estimar la posible energía liberada en los focos
sísmicos y su apreciación de los efectos producidos en el lugar de observación deberá de
interpretarse cuidadosamente. Un grado más en la escala de Richter significa diez veces
más energía liberada en la zona focal.
En efecto, si una MR = 6.0 produce determinado nivel de daño en una región lejos del
foco, podría pensarse que la liberación del doble de energía correspondiente a MR = 6.3
producirá el doble de daños.
Para precisar mejor los efectos de determinada magnitud sísmica en el lugar de
observación se utilizan las escalas de “Intensidad Sísmica”. La intensidad sísmica
representa los efectos medios producidos en el lugar de observación. Estos pueden ser
medidos en fuerza, aceleración o por los daños producidos. De tal manera que, en una
región podrá establecerse lugares donde sean observadas las mismas intensidades
sísmicas para un sismo de cierta magnitud obteniéndose así las cartas isosísmicas.
Sin embargo, hay que aclarar que un lugar en particular a cierta distancia del epicentro
puede presentarse intensidades variables que dependerán de las condiciones geológicas –
estratigráficas del sitio, debido principalmente a la reflexión que sufren las ondas sísmicas.
La intensidad se tabula por escalas de grados sísmicos, como bien conocida escala
Modificada de Mercalli usada en América y Europa. Las escalas de intensidad han sido
también estudiadas en términos de la aceleración máxima en la superficie del suelo por
Cancani – Sieberg(1,2), y correlacionadas con la escala modificada de Mercalli la cual
corresponde en términos de aceleración a una escala geométrica. Así pues, la intensidad
de grado VII es doble del grado VI y el grado VIII es cuatro veces mayor. En términos de
aceleración aproximadamente: VI =25 ce/seg2, VII = 50 cm/seg2, y VIII =100 cm/seg2.
Desde el punto de vista de ingeniería sísmica de diseño, sin embargo, el conocimiento de
la intensidad sísmica máxima para le lugar de interés no es suficiente información para
efectuar un diseño apropiado de la cimentación y estructura de un edificio, ya que la
respuesta sísmica es función de las características dinámicas del subsuelo y del esqueleto
del edificio.
Se puede demostrar que las ondas de cuerpo principales que se producen en la zona de
generación sísmica corresponden(3,4)a: Ondas compresionales conocidas como ondas de
dilatación u ondas P, que requieren para su transmisión que el suelo sufra cambios de
volumen. Las ondas compresionales se desplazan con una velocidad vd en el sentido de
la compresión y dilatación. Las otras ondas de cuerpo importantes se transmiten sin
cambio de volumen y se conocen como ondas S, ondas equivolumétricas o de esfuerzo
cortante y producen distorsión en el suelo perpendicular a la dirección de translación con
velocidad vs. Así también debido a reflexiones sobre macizos rígidos podrá generarse
ondas superficiales conocidas como ondas Rayleigh.
De las ecuaciones de movimiento de las ondas de cuerpo se deduce que:
1. la velocidad de las ondas P; ρµλ 2+
=dv (1)
2. la velocidad de las ondas S; ρµ
=sv (2)
La teoría de elasticidad el valor λ queda definido por:
)21)(1( υυ
υ−+
=E
λ (3)
Se observa que la velocidad de las ondas P es función de la relación de Poisson y tiene una
velocidad mayor que las ondas S, estas últimas que pueden investigarse directamente
conociendo únicamente el módulo de rigidez del suelo µ y la masa unitaria ρ. Para un
suelo saturado donde el cambio de volumen no puede verificarse en forma instantánea el
valor de vd tiende a ser varias veces mayor que vs. Por lo anterior se puede también deducir
que las deformaciones sísmicas ocasionadas por las ondas S son de mayor importancia.
Para calcular la respuesta sísmica en un determinado lugar se hace necesario conocer la
historia de aceleración del sismo, la cual se determina registrando el movimiento sísmico
por medio de acelerógrafos. En la Fig. 1 se muestra un acelerograma registrado en Mayo
11, 1962 para la parte central de la ciudad de México, en donde se observa que la
aceleración máxima am del suelo alcanza un orden de 38 cm/seg2.
Se puede demostrar que la respuesta sísmica máxima para el lugar en cuestión puede
determinarse por medio de la integral de Duhamel:
(4) [ ]max
t
dt
v dteaR ∫ −•= −−
0
)( )(sen)( 0 ττωτ τςω
El valor de RV representa la integración de los impulsos transmitidos por la aceleración a
(τ) en la base de una estructura equivalente de un grado de libertad con frecuencia circular
libre ω0 y amortiguada ωd = ω0 (1 - ς ), en donde ς20 0 representa la fracción de
amortiguamiento crítico de dicha estructura.
Para el diseño sísmico de la estructura al ingeniero le interesa fundamentalmente la fuerza
de inercia que se genera en el centro de la masa, esto es:
Vm = M · Ra (5)
El valor de Ra = ω0 Rv, se conoce como la respuesta de pseudo – aceleración y la relación
Ra vs. T el espectro de pseudo – aceleración. Por medio de acelerograma de la Fig. 1 y la
expresión (4) se obtuvieron los espectros de respuesta de aceleración que muestra la Fig.
2 para diferentes amortiguamientos críticos y para el centro de la Ciudad de México. Para
una estructura rígida donde T≈ 0 la aceleración será la de la superficie del suelo obtenida
como la máxima del acelerograma. Nótese que a medida que la estructura se hace más
flexible aumenta hasta llegar a un valor máximo después del cual declina hasta hacerse
pequeña.
El significado físico del espectro de respuesta se puede visualizar suponiendo Fig. 3, una
serie de edificios en la zona de estudio, representados por péndulos con períodos T
diferentes y representativos del modo fundamental de vibrar de los edificios. Supongamos
períodos que varían desde T = 0 hasta T = 4 seg. Ahora imaginemos que en la interfase
con el suelo firme se producen trenes de ondas de esfuerzo cortante con velocidad de
translación Vs pero con diferentes períodos y longitudes de onda de tal manera que
i
is T
LTL
TLv ==== .....
2
2
1
1 (6)
El suelo se puede considerar como un vibrador, por tanto tendrá una serie de períodos de vibración libre dependiendo de las condiciones estratigráficas y de sus propiedades dinámicas. Se encontrará que existirá un período máximo de vibración o fundamental el cual puede ser excitado por la perturbación sísmica más fácilmente que los armónicos más altos y el cual puede producir falla en el subsuelo cuando este es de baja resistencia.
Cuando el período fundamental del suelo Ts1 sea aproximadamente coincidente con alguno
de los períodos de los péndulos representativos de los edificios, dicho péndulo estará en
resonancia produciéndose en su centro de masa una amplificación de la aceleración con
respecto a la aceleración máxima de la superficie del suelo. La aceleración de la
superficie del suelo será tomada únicamente por el péndulo de alta rigidez: Tn = 0. Así
pues los picos en el espectro de respuesta de pseudo - aceleración serán representativos
de las amplificaciones producidas cuando las longitudes de las ondas sean compatibles con
la estratigrafía del subsuelo y, por tanto, se induzcan períodos cercanos a los períodos
fundamentales de las estructuras. El período fundamental Ts1 del subsuelo resulta el más
importante de considerar ya que origina la respuesta máxima y consecuentemente la
amplificación máxima para determinado amortiguamiento crítico, y por tanto, puede servir
como base para formular un espectro práctico de diseño(6).
Llamemos la amplificación de la aceleración por fa = Ra /am y dibujemos en escalas log –
logarítmicas el espectro de respuesta de aceleración en términos de fa vs. T0 /Ts1, en donde
T0 es el período equivalente de la estructura y su cimentación como si fuese de un grado
de libertad. El dibujo se efectuará de tal manera que represente la envolvente de todos los
picos en el rango, desde T0 /Ts1 pequeño, hasta T0 / Ts1 = 3. Por consiguiente el valor
T0 / Ts1 = 1 representará la coincidencia del período equivalente T0 con el subsuelo Ts1 y
por tanto se obtendrá la respuesta máxima fa, Fig. 4.
De la anterior discusión se ve la importancia de poder conocer el período fundamental del
subsuelo. También son importante otros modos de vibración de los sedimentos suaves
como es el caso de la Ciudad de México. El uso del espectro de respuesta sísmica que
muestra la Fig. 4 es como sigue; imaginemos que el subsuelo tiene un período dominante
de Ts1 = 1.0 seg., Una estructura tiene un período fundamental de T0 =2.0 seg., por
consiguiente T0 / Ts1 = 2.0 y de la Fig. 4 se obtiene fa = 2.0 para un amortiguamiento de
ς0 =5%. De donde la fuerza de inercia en el centro de masa de la estructura será :
Vm = 2 (Mam).
Si hm es la altura d equivalente del centro de masa desde la interfase del suelo con la
cimentación del péndulo equivalente, el momento de volteo será:
0T = 2hm (M · am) (7)
y la fuerza cortante en la base: VB = Vm (8)
PERIODO FUNDAMENTAL DEL SUELO
En párrafos anteriores se mencionó la importancia de conocer las propiedades dinámicas
del suelo, para lo cual es necesario investigar cada uno de los estratos que lo forman hasta
alcanzar la base firme.
De la experiencia se conoce que en sedimentos no consolidados y saturados los efectos
más importantes de movimiento sísmico son los producidos por las ondas de esfuerzo
cortante con velocidad
ρµ
=sv (9)
en donde µ es la rigidez del suelo σ módulo de elasticidad el cortante, y ρ la masa unitaria.
El valor de µ puede ser determinado en probetas de suelo inalterado representativas de
cada uno de los estratos del subsuelo. La determinación de µ se puede efectuar por medio
del “Péndulo de Torsión Libre” diseñado por el autor(5). La probeta inalterada
representativa de cada estrato del subsuelo se coloca en una cámara triaxial a un esfuerzo
de confinamiento σc equivalente al esfuerzo efectivo octaédrico al cual dicho material se
encontraba sujeto a la profundidad de donde la muestra inalterada fue extraída, Fig. 5.
Si el material se encuentra saturado se permite la consolidación total del suelo y luego se
hace vibrar la nuestra libremente, obteniéndose la respuesta elástica. Con los resultados
obtenidos se calcula la rigidez del suelo µ y la fracción del amortiguamiento crítico ςs son
representativos de cada estrato Fig. 6.
Con los valores de µ y la masa unitaria del suelo se calcula la velocidad Vs de la onda
cortante por la (9), de donde podrá calcularse aproximadamente el período fundamental
del suelo. Sea Vs1, ρi y di la velocidad de la onda, masa unitaria, y espesor respectivamente
del estrato i. El tiempo que la onda tardaría en atravesar dicho estrato es
si
ii vdt =∆ (10)
La onda recorre de la base firme a la superficie del suelo donde es reflejada hacia la base
firme en un tiempo de ¼ del período fundamental, así también la distorsión total del suelo
en la superficie representará la amplitud del movimiento, Fig. 7 por consiguiente:
Ts1 = 4 ∑ (11) n
si
i
vd
1
las distorsiones relativas y esfuerzos cortantes en el subsuelo producidas por cierta
aceleración sísmica en la superficie pueden calcularse por medio de expresiones
paramétricas del movimiento para el caso de ondas, tanto compresionales como de
esfuerzo cortante que viajan desde el estrato firme hacia la superficie, (3).
RESPUESTA SISMICA DE LA CIMENTACION
Supongamos una estructura y su cimentación representada esquemáticamente como
muestra la Fig. 8. La fuerza de inercia máxima durante el movimiento sísmico es:
Vm = (δx + δθ + δn) ω02 · M (12)
por otro lado la fuerza de restitución en el centro de masa es
V&m = kn δn (13)
En donde
++= 11
20 nn
x
nKM
δδ
δδ
ωθ (14)
las otras fuerzas de restitución serán: por la rotación de la cimentación (Kθ · θ) y Kx δx por
desplazamiento horizontal.
La amplitud del equilibrio dinámico requiere : Kθ · θ = Kn δn h m, además Kn δn = Kx δx esto
es
2m
N
n
hKK
θ
θ
δδ
= y x
n
n
x
KK
=δδ (15)
sustituyendo en (14)
xn
m
KM
KM
KMh
++=θω
2
20
1 (16)
por otro lado se encuentra que para δn = δx = 0 la frecuencia circular por rotación es:
= K2θω θ/ Mhm
2, para δθ = δx = 0 la frecuencia circular de la superestructura ω = K2n n /M y
para δθ = δn = 0; ω = K2x x /M substituyendo estos valores en (16):
22220
1111
xn ωωωω θ
++= (17)
o bien ya que Tπ2
=ω
2222
0 xn TTTT ++= θ (18)
en donde Tn es el período de la estructura. De donde se deduce que el período
equivalente acoplado de la estructura y su cimentación puede ser obtenido por la (18). El
período de rotación Tθ es función de la masa total del edificio y de las propiedades
dinámicas y estratigráficas del subsuelo. Esto es:
θθ π
KMhT m2= (19)
El problema consistiría en determinar el módulo de cimentación por rotación Kθ para
calcular Tθ y el de translación Kx para determinar Tx, y utilizando la (18) calcular T0.
Conociendo Ts1 del subsuelo y por tanto T0/ Ts1 y el amortiguamiento crítico equivalente
del sistema estructura cimentación ς0, se entra al espectro normalizado de respuesta de
seudo – aceleración y se determina fa, por consiguiente
a) la fuerza en ele centro de masa
Vm = fa Mam (20)
b) el momento de volteo
OT =fa (Mam) · hm (21)
La expresión (18) es también válida para los períodos amortiguados cuando ς0 < 20%, de
donde se puede escribir:
2222
0 xdnddd TTTT ++= θ (22)
Sea ς0 el amortiguamiento crítico equivalente del sistema estructura – cimentación, ςθ el
amortiguamiento crítico de la cimentación, ςx el de translación y ςn el de la superestructura,
por tanto
)1( 20
20
20 ς−= dTT
)1( 222θθθ ς−= dTT
)1( 222nndn TT ς−=
)1( 222xxdx TT ς−= (23)
sustituyendo en (22) y efectuando operaciones algebraicas se obtiene
222222222
22222220 )1)(1()1)(1()1)(1( θθθ
θθ
ςςςςςςςςς
ςTTT
TTT
xnnxxn
xxnn
−−+−−+−−++
= (24)
Por consiguiente, conociendo los valores Tθ, ςθ, Tn, ςn, Tx, ςx, se podrá calcular de (22) y
(24) los valores del período T0 y amortiguamiento crítico equivalente τ0, respectivamente.
Los amortiguamientos de las estructuras se encuentran en rangos de ςn = 2% a 5% y para
las cimentaciones aproximadamente:
En sedimentos ςθ , ςx
Muy suaves 20 % - 15%
Suaves 15% - 12%
Rígidos 12% - 8%
Muy rígidos 8% - 6%
Duros 5%
INTERACCION SISMICA
Para el cálculo de Kθ se procede como sigue: supongamos una cimentación como la que
se indica en la Fig. 9 de planta rectangular formada por un sistema de vigas cortas y dos
vigas longitudinales donde las cortas apoyan, y que en conjunto con la losa inferior de
reacción y la losa superior sobre las vigas forman en conjunto un cajón rígido capaz de
tomar el momento de volteo sísmico y trabajar en forma continua a la flexión, fuerzas
cortantes y torsión.
El momento OT de volteo incluido por la fuerza de inercia en el centro de masa se puede
dividir en dos: el momento que toman los muros de retención OTW y la fracción del
momento de volteo que toma la base de la cimentación OTB de tal manera que:
OT = OTW + OTB (25)
Así también por definición
OT = θKθ
OTW = θKθW
OTB = θKθB
En donde θ es la amplitud sísmica por rotación ó cabeceo de la caja rígida de la
cimentación, por consiguiente :
Kθ = KθW + KθB (26)
El problema consistirá en valuar los módulos de cimentaciones KθW y KθB. Para calcular el
valor de Kθ, consideremos a la caja de cimentación en el giro máximo θ, Fig. 10.
El muro de la caja de cimentación gira en un plano presionando sobre el suelo en sentido
horizontal. Lo anterior origina un empuje uniforme (p) en el suelo de contacto con el
muro. Suponiendo un módulo dinámico medio Me en sentido horizontal, se puede
demostrar que el desplazamiento horizontal δz a una altura (z) de la base es
aproximadamente como sigue:
δz =& (Meq) · Z (27)
de donde θ = (Mep), pero por definición KθW = OTW /θ, luego:
pMO
Ke
TWW ⋅=θ (28)
además, de Fig. 11 se obtiene que OTW = pd2 /2 y conociendo la rigidez del suelo:
µυ)1(21+
=eM (29)
Sustituyendo los valores dados en (28) se obtiene que:
KθW ≈ (1 + υ ) µd2 (30)
Se hace notar de la (30) que el valor de KθW es una función importante del empotramiento
del cajón de cimentación en el suelo.
Para el cálculo del módulo de cimentación de la base KθB se produce como sigue: se
divide la superficie de apoyo en fajas transversales de igual área a y tantas como se haga
necesario para obtener precisión práctica (4). Supongamos seis fajas para ilustrar el
procedimiento. Carguemos una faja, Fig. 11, con una carga unitaria ∆qi = +1 y calculemos
la influencia que dicha carga unitaria induce en ele subsuelo al centro de los estratos
considerados, en este caso, cuatro y debajo de cada una de las bandas. Las compresiones
dinámicas volumétricas se designan por α para cada estrato. Por consiguiente, se acuerdo
con la Fig. 11 se pueden encontrar los desplazamientos verticales
NjiI
Nd
jiδ al centro de las
bandas que dicha carga unitaria produce en los puntos 1 a 6 cuando esta se aplica
sucesivamente en cada una de las bandas consideradas. En forma matricial estos valores
se calculan como sigue:
1jδ = [ ⋅ ]TNjI 1
Ndα
2jδ = [ ⋅ ]TNjI 2
Ndα (31)
jiδ = [ ⋅ ]TNjiI
Ndα
en donde:
[ ]TNjiI , matriz transpuesta de la influencia de j debido a la carga unitaria
aplicada en la banda i. Ndα , matriz columna de las compresiones de los estratos de A a N en
condiciones dinámicas
jiδ , desplazamiento vertical en puntos j debido a una carga unitaria
vertical en la banda i.
Sin embargo para condiciones dinámicas los valores de las deformaciones volumétricas
de los estratos α se calculan con la rigidez dinámica µ del suelo, esto es Nd
µυ
α)1(2 +
=d
d (32)
Con los valores de (32) se forma la ecuación matricial sísmica de desplazamientos verticales. La que llamamos “EMAS”, esto es: ecuación matricial de desplazamientos sísmicos(4). Considerando que el fenómeno máximo se representa para la amplitud del giro θ, de la cimentación y con ayuda de la Fig. 12, se puede escribir la siguiente ecuación matricial:
[ ] iiji xq
⋅=
∆ −1δθ
(33)
Solucionando el sistema de ecuaciones simultáneas que representa la ecuación matricial
(33) se determinan los valores (∆qi/θ). El momento de volteo será:
∑ ⋅
∆⋅= i
iTB xa
qO
θθ (34)
El módulo de cimentación por rotación queda definido por Kθ = OTB /θ, de donde resulta:
ii
B xq
aK ⋅
∆⋅= ∑
6
1 θθ (35)
La determinación aproximada de Kx se evalúa considerando la compresión que sufre el
suelo contra el muro de la caja de cimentación al empuje sísmico de la masa del suelo,
Fig. 13. Esto es
(δx)z = M x (σx)z (36) La fuerza máxima que se genera contra el muro
∫=d
x
zxx dz
MF
0
)(δ (37)
Considerando que el desplazamiento diferencial sísmico es aproximadamente
(δx)z dx0δ
=& · z y si Mx se considera como un valor medio entre 0 y d, se obtiene
dM
Fx
xx 2
0δ= (38)
de donde
xx M
dK2
= (39)
La frecuencia circular y período del movimiento horizontal serán respectivamente
MK x
x =2ω y
xx K
MT π2= (40)
Conociendo los valores
Kn , τn , Tn del esqueleto estructural
Kθ , τθ , Tθ
del suelo
Kx , τx , Tx
Se calculan los valores de T0 por la (18) y el amortiguamiento crítico equivalente ς0 por la
(24), correspondientes al sistema acoplado de cimentación–estructura y se entra al espectro
de diseño sísmico, Fig. 4 con la relación T0/Ts y ς0, y se determina el factor de
amplificación de la aceleración en el centro de masa del edificio.
El momento de volteo será
0T =fa (Mam)hm – 21 pd2 –
32 Fxd (41)
y la fuerza cortante en la base
VB = fa (Mam) – pd - Fx (42)
La amplitud que gira la cimentación
θ
θKOT= (43)
En donde Kθ = KθW + KθB
El incremento de reacciones por la acción sísmica en la interfase de la estructura de la
cimentación con el suelo se calcula por
θθ
⋅
∆=∆ i
iq
q (44)
Las reacciones sísmicas así obtenidas se suman a las estáticas antes determinadas, Fig. 14.
Se examina si las reacciones máximas en las orillas d la cimentación no sobre pasan la
resistencia admisible del suelo, de lo contrario será necesario reducir la masa del edificio,
ampliar la base de cimentación, o llevar a cabo un ajuste en ambos para lograr la
estabilidad dinámica de la cimentación.
REFERENCIAS
(1) Zeevaert, L. (1964). Características de los Temblores en Ingeniería Sísmica. Sociedad
de Ingeniería Sísmica.
(2) Richter, Ch. F (1958) Elementary Seismology W.H Freeman Company
(3) Zeevaret, L. (1982) Fundations Engineering for Difficult Subsoil Conditions. Second
Editon. FEDISOC. Chapter XII. Van Nostrand Reinhold.
(4) Zeevaert, L. (1980) Interacción suelo – Estructura de Cimentaciones para Cargas
Estáticas y Sísmicas, Limusa, México, D. F.
(5) Zeevaert. L. (1982) Teoría y práctica del Péndulo de Torsión , (FTP) División de
Estudios de Posgrado , Facultad de Ingeniería, UNAM.
(6) Biot, M.A., (1943) Analytical and Experimental Methods in Engineering Seismilogy,
ASCE Vol. 108pp. 365 – 384.
FIG. 1. ACELEROGRAMA CIUDAD DE MEXICO, MAYO 11, 1962
2. ESPECTRO DE SEUDO – ACELERACIÓN, MAYO 11, 1962 CIUDAD DE
MEXICO.
3. PÉNDULOS DE DEFERENTES PERIODOS
4. ESPECTRO ENVOLVENTE DE DISEÑO SISMICO
5. PENDULO DE TORSION LIBRE
6. PERFIL DEL MODULO DINAMICO DE ELASTICIDAD AL CORTANTE
7. PERIODO DEL SUELO POR VELOCIDADES
8. DESPLAZAMIENTO Y GIRO DE LA ESTRUCTURA Y LA CIMENTACION
9. PLANTA DE CIMENTACION
10. EMPUJE SISMICO SOBRE LOS MUROS DE LA CAJA DE CIMENTACION
11. DESPLAZAMIENTOS VERTICALES
12. GIRO DE LA CIMENTACION
13. COMPRESION DEL SUELO CONTRA EL MURO DE LA CAJA DE
CIMENTACION
14. DISTRIBUCION DE REACCIONES ESTATICAS Y SISMICAS EN LA BASE DE
LA CIMENTACION