conceptos básicos de dinámica estructural

Conceptos básicos de dinámica estructural

Fundamentos de dinámica

de estructuras

Septiembre de 2009

1

Fundamentos de dinámica de estructuras 2

Conceptos básicos de dinámica

1. Introducción

2. Estructura simple

3. Grados de libertad

4. Sistemas elásticos

5. Amortiguamiento

6. Ecuación de movimiento

7. Excitación sísmica

CONTENIDO


Introducción

• La Dinámica de Estructuras es un área del

análisis mecánico de las construcciones que

estudia el efecto de las acciones externas que

producen vibraciones. Su desarrollo comienza

en el siglo XIX con las investigaciones de Lord

Rayleigh sobre los efectos del sonido en

cuerpos elásticos las cuales aun tienen validez.

• Actualmente esta área de la Mecánica presenta

un estado avanzado de desarrollo pues se ha

logrado establecer métodos de cálculo para

estructuras lineales y no lineales sometidas a

acciones deterministas o aleatorias.


Introducción

• El análisis dinámico de estructuras consiste en

determinar la respuesta (desplazamientos,

velocidades y aceleraciones) de estructuras

sometidas a excitaciones (acciones dinámicas).

• Los parámetros más significativos de la

respuesta son los desplazamientos relativos

máximos y aceleraciones absolutas.


Introducción

• Este capítulo introductorio comienza con la

definición de algunos términos básicos en la

dinámica estructural.

• Se hace la deducción de las ecuaciones del

movimiento dinámico de un sistema sencillo es

decir de un grado de libertad.

• Luego se describen brevemente las principales

cargas dinámicas que actúan sobre las

estructuras y se discute la utilidad de los

sistemas sencillos para representar el

comportamiento de estructuras más complejas.


Introducción

• Las principales acciones dinámicas que actúan

sobre las estructuras son las siguientes:– Motores y equipos mecánicos.

– Terremotos.

– Vientos.

– Oleaje.

– Otras:

• Impacto.

• Paso de vehículos o personas.

• Explosiones.


Estructura simple

• Una estructura simple es aquella que se puede idealizar

como un sistema que está constituido por una masa

concentrada “en la parte superior” soportada por un

elemento estructural que proporciona rigidez en la

dirección considerada.


Estructura simple


Grados de libertad

• El grado de libertad es definido como el número de

desplazamientos independientes requerido para definir

las posiciones desplazadas de todas las masas relativas

a sus posiciones originales.


Grados de libertad

• Un grado de libertad corresponde a cualquier

movimiento posible de los nodos de los elementos en

una dirección no restringida.


Grados de libertad

• En el caso dinámico el modelo empleado aquí está

basado en la suposición de que la rigidez se concentra

en un resorte que carece de masa mientras que la masa

se ubica en un cuerpo rígido que no se deforma.


Grados de libertad


Grados de libertad

• Para un marco plano básico tenemos:

– Análisis estático: 3 DOF

– Análisis dinámico: 1 DOF


Grados de libertad

• Obviamente, cualquier estructura posee un número

infinito de grados de libertad debido a su continuidad

pero el proceso de discretización en elementos supone

un número finito aunque elevado de ellos.

• Discretización de una viga simple:

– Modelo continuo: ∞ DOF

– Modelo discreto: 3 DOF


Sistemas elásticos

• Un material es elástico cuando recupera su forma

original después de retirar la carga aplicada si además

existe una proporcionalidad entre fuerzas y

desplazamientos se dice que el material es lineal.

– Donde k es la rigidez lateral del sistema y su unidad es

[fuerza/longitud].


Amortiguamiento

• El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibración

libre disminuye en amplitud; en este proceso la energía

del sistema en vibración es disipada por varios

mecanismos los cuales pueden estar presentes

simultáneamente.

• En sistemas simples la mayor parte de la disipación de

la energía proviene de efectos térmicos causados por

repetidos esfuerzos elásticos del material y de la fricción

interna cuando el sólido es deformado.


Amortiguamiento

• En las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de

forma idealizada; para efectos prácticos el amortiguamiento actual

en estructuras SDF puede ser idealizado satisfactoriamente por un

amortiguamiento lineal viscoso.

– A diferencia de la rigidez, el coeficiente de amortiguamiento no puede

ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura y del tamaño

de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar

todos los mecanismos disipadores de energía vibracional en las

estructuras actuales.


Ecuación de movimiento

• Modelo matemático de un sistema SDF sujeto a la

acción de una fuerza dinámica p(t) aplicada en la

dirección del desplazamiento u las cuales varían con el

tiempo.


Excitación sísmica

• Si lo que se tiene es un movimiento inducido no por una

fuerza aplicada sino por un movimiento aplicado en la

base de la estructura.

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Vibraciones libres de sistemas con un grado de libertad


de estructuras

Septiembre de 2009

2


Vibraciones libres

1. Introducción

2. Teoría general de vibraciones

3. Definición de vibración libre

4. Vibración libre no amortiguada

5. Vibración libre amortiguada

CONTENIDO


Introducción

• En los problemas de ingeniería no es siempre

posible obtener soluciones matemáticas

rigurosas. En realidad solo en algunos casos

simples puede obtenerse soluciones analíticas

• Cuando los problemas implican propiedades de

materiales, distribución de cargas y condiciones

de contorno complejas es necesario introducir

simplificaciones, esto teniendo a la vista el

cumplimiento de los criterios de seguridad y

economía.


Introducción

• El nexo entre el sistema físico y la posible

solución matemática se obtiene con el modelo

matemático.

• El estudio de las vibraciones se refiere a los

movimientos de los cuerpos y a las fuerzas

asociadas con ellos.

• Todos los cuerpos que poseen masa y

elasticidad, son capaces de vibrar


Teoría general de vibraciones

• Una vibración mecánica es el movimiento de

una partícula o cuerpo que oscila alrededor de

una posición de equilibrio.

• El sistema tiende a retornar a dicha posición,

bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas

o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro

hasta alcanzar su posición de equilibrio.



Vibraciones

Libres

Amortiguadas

No amortiguadas

Forzadas

Amortiguadas

No amortiguadas

Tipos de

vibraciones



• Periodo de vibración: Es el intervalo de tiempo

necesario para que el sistema efectúe un ciclo

completo de movimiento.

• Frecuencia: Es el número de ciclos por unidad

de tiempo.

• Amplitud de vibración: Es el desplazamiento

máximo del sistema desde su posición de

equilibrio.

Conceptos

generales


Definición de vibración libre

• Una estructura está en vibración libre cuando es

perturbada de su posición estática de equilibrio y

comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa

alguna.


Vibración libre no amortiguada

• El sistema de marco mostrado es sacado de su posición

de equilibrio por la aplicación de una fuerza o un

desplazamiento, debido a las fuerzas de restitución el

sistema entra en vibración.

• Este sistema puede reducirse a un solo grado de

libertad para el análisis dinámico, si se desprecian las

deformaciones axiales y se supone una viga de gran

rigidez.



• La ecuación que representa el movimiento de un

sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está

sometido a la acción de una fuerza externa es:

• Donde por conveniencia ωn es la frecuencia natural o

frecuencia circular natural en vibración libre del sistema

y es igual a:

• De acuerdo a la teoría de ecuaciones diferenciales la

ecuación anterior es una EDH de segundo orden con

coeficientes constantes y su solución es:



• Donde A y B son constantes que se hallan a partir de

las condiciones iniciales de desplazamiento y

velocidad:

• Obteniéndose por lo tanto:



• El sistema presenta el siguiente comportamiento de

desplazamiento contra tiempo:



• A partir de estas figuras se observa que el tiempo

requerido de un sistema no amortiguado para completar

un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural

de vibración:

• La frecuencia cíclica natural de vibración, es definida

como el número de ciclos que se repiten en 1 segundo

de tiempo y su valor es:

• Las propiedades de vibración natural, dependen de la

masa y rigidez de la estructura.



• Si se hace una representación vectorial del movimiento,

puede obtenerse una ecuación alterna para la solución

de la EDH:



• Esta ecuación auxiliándose de un ángulo de fase o de

desfase es:

• Que tiene como soluciones de sus constantes uo y ø:


Vibración libre amortiguada

• Si en el sistema anterior consideramos la perdida de

energía en el tiempo, lo que tenemos será un sistema

con amortiguación viscosa:

• El cual puede representarse por el siguiente modelo:



• La ecuación de movimiento para un sistema lineal

amortiguado en vibración libre es:

• Dividiendo la ecuación por la masa se obtiene:

• Además se ha introducido la razón de amortiguamiento

crítico:

• Y el coeficiente de amortiguamiento crítico:



• Las soluciones de la ecuación diferencial anterior

dependerá de los valores que tome la razón de

amortiguamiento. Así tenemos:

– Sistema con amortiguamiento crítico ξ=1 (c=ccr): El

sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar.

– Sistema sobreamortiguado ξ >1 (c>ccr): El sistema no

oscila pero retorna a su posición de equilibrio lentamente.

– Sistema subamortiguado ξ <1 (c<ccr): El sistema oscila

alrededor de la posición de equilibrio con una amplitud que

decrece progresivamente.



• El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, es llamado

así debido a que es un valor pequeño de c que inhibe

completamente la oscilación y representa la línea de

división entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio.

• Las estructuras civiles poseen una relación de

amortiguamiento ξ <1 la cual las cataloga como sistemas

subamortiguados.

• En mediciones experimentales se han identificado valores

de ξ entre 0.02 y 0.05 para los materiales estructurales

típicos.



• Los tipos de movimiento resultante en vibración amortiguada

dependen de los parámetros de amortiguamiento:



• Para un sistema subamortiguado (con ξ <1) la solución

de la ecuación diferencial es la siguiente:

• Donde ωd es la frecuencia natural de la vibración

amortiguada y vale:

• El valor del periodo natural de vibración amortiguado es:

Sistema

subamortiguado



• La relación entre el periodo natural sin amortiguamiento y

con amortiguamiento viene dada por:

• La relación entre dos desplazamientos pico en un

intervalo de tiempo TD es constante, y el decremento

logarítmico está definido como el logaritmo natural de

esta cantidad y está dado por:

Sistema

subamortiguado



• Y la relación entre dos desplazamientos cuales quiera es:

• El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la

frecuencia natural de ωn a ωd y aumentar el periodo

natural de Tn a TD este efecto es despreciable para una

relación de amortiguamiento por debajo del 20%.

• Para la mayoría de las estructuras ingenieriles ωd y TD

son aproximadamente iguales a ωn y Tn.

Sistema

subamortiguado



• El efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres

puede apreciarse en el siguiente esquema:

Sistema

subamortiguado

Vibraciones forzadas armónicas de sistemas con un grado de

libertad


de estructuras

Octubre de 2009

3


Vibraciones libres

1. Introducción

2. Sistema no Amortiguado con Carga Armónica

• Ecuación de movimiento

• Resonancia

3. Sistema Amortiguado con Carga Armónica

• Ecuación de movimiento

• Resonancia

• Deformación Máxima

• Factores de Respuesta Dinámica

• Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante

CONTENIDO


Introducción

• En vibraciones libres, las oscilaciones se inician

por una perturbación que da lugar a un

desplazamiento inicial o una velocidad inicial o

ambas cosas. Sin necesidad de fuerzas

externas al sistema durante el movimiento.

• En vibración forzada, una fuente externa

sostenida es responsable de mantener la

vibración.


Introducción

• Las vibraciones más importantes desde

el punto de vista de la ingeniería son las

vibraciones forzadas.

• Las vibraciones forzadas ocurren

cuando un sistema es sujeto a una

fuerza que cambia con el tiempo o un

desplazamiento que cambia con el

tiempo.


Introducción

• El estudio de la respuesta del sistema de un

solo grado de libertad (SDF) a la acción de una

carga armónica establece bases para el

entendimiento de la respuesta de estructuras

más complejas a excitaciones externas.

• Se estudiará primero el caso de fuerzas que

tienen comportamiento periódico, es decir

vibraciones forzadas armónicas.


Teoría general

• Un sistema bastante general puede ser

representado de la siguiente manera.

• El sistema aunque posea amortiguamiento no

puede regresar a su posición de equilibrio por la

presencia de la fuerza externa que siempre esta

presente en el sistema.


Teoría general

Vibraciones

Libres

Amortiguadas

No amortiguadas

Forzadas

Amortiguadas

No amortiguadas

Tipos de

vibraciones


Sistema no Amortiguado Armónico

Ecuación de Movimiento

• Estableciendo p(t)=po·senωt en la ecuación diferencial

general de movimiento se obtiene la siguiente ecuación

por carga armónica para un sistema no amortiguado:

• Donde po es la amplitud o valor máximo de la fuerza y ω

es la frecuencia de excitación.



• La ecuación anterior es una ecuación diferencial de

segundo orden no homogénea y su solución esta

compuesta por dos términos:

• El primer termino es la solución particular que hace

referencia a la situación de estado permanente y el

segundo es la solución complementaria que toma en

cuenta el estado transitorio. Así tenemos:



• La solución total es la suma de ambas ecuaciones:

• Las constantes A y B son determinadas aplicando las

condiciones iniciales:

• Para condiciones iniciales en reposo y partiendo del

origen:



• Esta ecuación contiene dos componentes de vibración

distintas:

El término “senωt” para la oscilación en frecuencia de

excitación; representa el estado permanente de vibración

debido a que siempre está presente porque la fuerza aplicada

no depende de las condiciones iniciales.

Los términos “senωnt” y “cosωnt” para la oscilación en

frecuencia natural del sistema; representan el estado

transitorio de vibración que depende de u(0) ú(0) el cual existe

a pesar de que estos valores sean nulos. El término “estado

transitorio de vibración” se debe a que el amortiguamiento,

siempre presente en sistemas reales, hace que la vibración

libre decrezca en el tiempo.




desplazamiento contra tiempo:



Resonancia

• Ignorando el efecto dinámico de la aceleración se

obtiene como resultado la deformación estática en cada

instante de tiempo:

• Donde el máximo valor de esta deformación es:.

• Por lo que la respuesta dinámica del estado

permanente, puede ser expresada como:



• Graficando el factor entre corchetes de la ecuación

anterior contra la relación de frecuencias, se tiene:



• De esta grafica se puede observar que:

Para ω/ωn < 1 ó ω < ωn el factor es positivo indicando que

u(t) y p(t) tienen el mismo signo, lo que significa que el

desplazamiento está en fase con la fuerza aplicada (el

sistema está desplazado en la misma dirección de la

fuerza).

Para ω/ωn > 1 ó ω > ωn el factor es negativo indicando que

u(t) y p(t) tienen signos opuestos, lo que significa que el

sistema estará fuera de fase con la fuerza aplicada (el

sistema está desplazado en dirección opuesta a la fuerza).



• La ecuación anterior puede ser reescrita en términos de

la amplitud uo y el ángulo de fase ø :

• De donde:

• Donde el factor de deformación o amplificación Rd es la

relación de amplitud de deformación vibratoria uo y la

deformación estática (ust)o debido a la fuerza po.

• Por lo que se define la frecuencia resonante como

aquella frecuencia de excitación para la cual Rd es

máximo.



• Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante

es ωn siendo Rd infinito para esta frecuencia y la

deformación vibratoria crece indefinidamente,

volviéndose infinita sólo después de un tiempo infinito.

• Para esta condición (ωn= ω) la solución particular falla y

habrá que buscar otra solución para la ecuación de

movimiento que para el caso la siguiente solución cumple

su propósito:

• Siendo la solución total:



• Para condiciones iniciales de reposo y partiendo del

origen, se tiene:



• En cada ciclo el incremento de la amplitud está dado por:

• La interpretación de este resultado teórico para

estructuras reales es que a medida que la deformación

se incrementa, el sistema en algún punto en el tiempo

fallará si es frágil o cederá si es dúctil.



• Los dos tipos de comportamiento posibles a presentarse

dependerán del valor de la frecuencia natural:


Sistema Amortiguado Armónico

Ecuación de Movimiento

• Estableciendo p(t)=po·senωt en la ecuación diferencial

general de movimiento se obtiene la siguiente ecuación

por carga armónica para un sistema amortiguado:

• Donde po es la amplitud o valor máximo de la fuerza y ω

es la frecuencia de excitación.

• Esta es la forma más completa de la ecuación de

movimiento (en carga armónica).



• Tenemos siempre una ecuación diferencial de segundo

orden no homogénea y su solución nuevamente esta

compuesta por dos términos:

• Una solución particular que hace referencia a la

situación de estado permanente y una solución

complementaria que toma en cuenta el estado

transitorio. Así tenemos como soluciones:



• Siendo la solución total:

• Las constantes A y B son determinadas aplicando las

condiciones iniciales. De igual manera para C y D

tenemos:




desplazamiento contra tiempo.



Resonancia

• Para ω=ωn las constantes C y D son:

• Las constantes A y B se obtienen a partir de condiciones

iniciales en reposo uo=úo =0 y para ω=ωn :

• Luego la respuesta para un sistema amortiguado sujeto

a carga armónica para ω=ωn :



• Ecuación que para amortiguamientos pequeños toma la

forma de:

• El incremento en amplitud uj después de j ciclos de

vibración es determinado por la siguiente expresión:



• Para un sistema con factor de amortiguamiento del 5%

en resonancia se tiene:



• Los dos tipos de comportamiento posibles a presentarse

dependerán nuevamente del valor de la frecuencia

natural:



Deformación Máxima

• La deformación en el estado permanente del sistema

debida a una carga armónica puede ser reescrita como:

• Donde:

• Luego:



• Graficando valores de Rd en función de ω/ωn :

1 2



• El amortiguamiento reduce a Rd y que tanto lo reduce

depende de la frecuencia de excitación:

Si ω/ωn << 1. Rd es sólo levemente más grande que 1 y es

esencialmente independiente del amortiguamiento (la

fuerza está variando lentamente).

Si ω/ωn >> 1. Rd tiende a cero y no es afectada por el

amortiguamiento (la fuerza está variando rápidamente).

Si ω/ωn ≈ 1. Rd es sensible al amortiguamiento, implicando

que la deformación dinámica puede ser más grande que la

estática.



Factores de Respuesta Dinámica

• Los factores de respuesta dinámica hacen referencia a

las respuestas en deformación, velocidad y aceleración.

• Ya hicimos referencia a la respuesta en deformación:

• Si derivamos dos veces esta expresión obtenemos la

respuesta en velocidad y aceleración respectivamente:

• Donde:



• Graficando las respuestas dinámicas en función de ω/ωn:



Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante

• La frecuencia resonante está definida como la

frecuencia de excitación en la cual ocurre la amplitud

máxima de respuesta.

• La frecuencia resonante es determinada estableciendo

la primera derivada igual a cero en las respuestas

dinámicas respecto a la relación de frecuencias para un

ξ<1/√2.



• Así tenemos las siguientes frecuencias resonantes:

• Para desplazamiento:

• Para velocidad:

• Para aceleración:

• Para un sistema no amortiguado las tres frecuencias son

iguales a la frecuencia angular.

Respuesta a carga dinámica general


de estructuras

Noviembre de 2009

4


Vibraciones libres

1. Introducción

2. Integral de Duhamel

3. Solución numérica de la integral de Duhamel

4. Método de la aceleración lineal

5. Espectros de respuesta

CONTENIDO


Introducción

• La vibración armónica es un caso muy especial

de vibraciones forzadas, pero no es ni muy

cerca el tipo de vibración que encontramos con

frecuencia en la realidad de los sistemas

estructurales.

• En los sistemas reales la fuente de excitación

por lo general presenta un comportamiento

caótico (caso sísmico) u otra forma que no es

sinusoidal.


Introducción

• Se desarrollará un método de carácter

general para encontrar la respuesta de un

sistema dinámico ante una excitación

cualquiera.

• Para el desarrollo de este método es

necesario recordar el concepto de

impulso, que se relaciona con cargas

aplicadas en períodos de tiempo muy

cortos y que modifican la cantidad de

movimiento del sistema.


Integral de Duhamel

• En la figura se muestra la forma en como varia

una fuerza en el tiempo.

• Si consideramos un impulso aplicado al sistema

en el tiempo en un intervalo corto de tiempo d

el sistema altera su cantidad de movimiento

cambiando su velocidad.


Integral de Duhamel

• La cantidad de movimiento se relaciona con la

fuerza por medio de la siguiente ecuación:

• Nótese que en esta ecuación de movimiento no

aparece el termino ku, debido a que, como el

impulso se aplica en un infinitesimal de tiempo

la estructura no alcanza a reaccionar.

• El incremento de velocidad es entonces:


Integral de Duhamel

• El impulso aplicado genera una pequeña

vibración libre considerada solo para esta

excitación.


Integral de Duhamel

• En vista de que la carga desaparece en un

instante infinitesimal podemos considerar que

se producen vibraciones libres por la aplicación

de cada uno de los impulsos.

• Donde las condiciones iniciales pueden

obtenerse a partir del cambio de velocidad y

posición del sistema.

• Tomando condiciones iniciales:


Integral de Duhamel

• Tenemos la siguiente ecuación:

• En un sistema lineal podemos aplicar el concepto

de superposición y obtener la respuesta completa

sumando todos los impulsos:

• Esta solución se conoce con el nombre de

Integral de Duhamel.


Integral de Duhamel

• En un caso general donde:

• La respuesta total del sistema sería sumar a la

solución anterior (particular) la solución del

sistema homogéneo (complementaria):

• Que para un sistema amortiguado adquiere la

forma:


Solución numérica de la integral de Duhamel

• En la practica pocas situaciones presentan un

comportamiento que pueda permitir una

representación por medio de una expresión

analítica explícita que facilite el cálculo de la

integral de Duhamel.

• Por esto es necesario recurrir a métodos

numéricos para el cálculo indirecto de la integral

que representan el impulso de las fuerzas.

• Los métodos de cálculos aproximados de

integrales mas usados son el método de los

trapecios y el método de Simpson.



• El método del trapecio se basa en

interpolaciones lineales del comportamiento del

sistema.

• El método de Simpson en cambio hace una

aproximación cuadrática del comportamiento

para calcular las integrales.

• Ambos métodos necesitan de una definición de

pasos de tiempo muy cercanos para lograr

presición.



• Si consideramos la parte de la solución a la

ecuación de movimiento que contiene la integral

de Duhamel.

• Buscando desacoplar los términos en t y

tenemos:

• Con lo que podemos escribir:



• Escribiendo la ecuación anterior en forma

compacta, tenemos:

Donde:

• Con lo que la solución de u(t) está ahora

supeditada a resolver c(t) y s(t) por medio de la

obtención de las integrales planteadas, tarea

que la podemos realizar por integración

numérica.



Integración numérica

• Para obtener una integral cualquiera por

integración numérica:

• Se procede a discretizar el intervalo [0,t] en

subintervalos [0, 1], [ 1, 2], [ 2, 3], …, [ n-1, n],

espaciados y siendo n=t.

• Con esto podemos obtener la integral

dependiendo del método seleccionado:



Integración numérica

• Método de los trapecios:

Donde f( i ) es el valor del integrando f( ) en el

tiempo ti=i .

• Método de Simpson:

Donde n debe de ser par.



• Dado que en dinámica estructural se necesita

conocer la historia completa de la respuesta

para todo tiempo t en un rango determinado,

resulta conveniente plantear el cálculo de las

integrales c(t) y s(t) en forma recurrente, lo que

significa que la respuesta para ti se expresa en

función de la respuesta en ti-1.

• Esto es con la intención de evitar el recálculo de

sumas hechas en pasos anteriores.



• Si llamamos ci y si a el valor de las integrales c(t)

y s(t) en el instante ti ; fi y gi a el valor de los

integrandos p( )cos ωa y p( )sen ωa en t=i .

Para ambos métodos las ecuaciones recurrentes

se expresarían como:

• Método de los trapecios:



• Método de Simpson:

• Cabe mencionar que debido a la limitante de la regla de

Simpson de que el número de intervalos debe ser par, es

mas común hacer uso de la regla de los trapecios.



• Progama en Matlab para resolver la integral de

Duhamel por el método de los trapecios:

function [t,d]=dtrapez(p,m,w,xi,dt)

%-------------------------------------------

% [t,d]=dtrapez(p,m,w,xi,dt)

%-------------------------------------------

% Calcula la integral de Duhamel (como respuesta

% de un sistema sencillo lineal) por la regla de

% los trapecios.

% Entradas:

% p: vector de carga externa

% m: masa del sistema

% w: frecuencia natural del sistema

% xi: fraccion de amortiguamiento viscoso

% dt: paso de tiempo

% Salidas:

% t: vector de tiempo

% d: vector de desplazamientos de respuesta

%--------------------------------------------

n=length(p);

tmax=dt*n;

t=linspace(0,tmax,n)';



wa=w*sqrt(1-xi^2);

f=p.*cos(wa*t);

g=p.*sin(wa*t);

f1=[0, f(1:n-1)];

g1=[0, g(1:n-1)];

pc=f1*exp(-xi*w*dt)+f;

ps=g1*exp(-xi*w*dt)+g;

pc=pc*dt/m/wa/2;

ps=ps*dt/m/wa/2;

for i=1:n

if i==1

c(i,1)=pc(i,1);

s(i,1)=ps(i,1);

else

c(i,1)=c(i-1,1)*exp(-xi*w*dt)+pc(i,1);

s(i,1)=s(i-1,1)*exp(-xi*w*dt)+ps(i,1);

end

end

d=c.*sin(wa*t)-s.*cos(wa*t);

figure

plot(t,d)

xlabel('Tiempo')

ylabel('Desplazamiento')

%--------------------------------------------

% Fin



Método de la aceleración lineal

• Además del método de integración desarrollado

anteriormente, existen otras tecnicas para

evaluar la respuesta de sistemas dinámicos a

excitaciones generales de carga, una de ellas

es el método de la aceleración lineal, famoso or

su simplicidad y presición.

• La premisa de partida es que la aceleración

tiene un comportamiento lineal entre dos puntos

de análisis cualesquiera.



• Partiendo de la ecuación de aceleración por

integraciones sucesivas encontramos las

ecuaciones de velocidad y desplazamiento

respectivamente.

• En estas ecuaciones las constantes de

integración pueden determinarse gráficamente

como los interceptos en el eje de las ordenadas,

para expresar estas en su forma explícita.



• El siguiente esquema ilustra el método:



• Por último resolvemos estas ecuaciones por

métodos numéricos obteniendo las siguientes

expresiones.

• Sustituyendo estas expresiones en la ecuación

de movimiento se obtiene:



• Ecuación que puede expresarse en la forma:

Donde:



• El algoritmo en Matlab para su resolución es el

siguiente:function [t,d,v,a]=dmaclin(p,m,w,xi,dt)

%-------------------------------------------

% [t,d,v,a]=dmaclin(p,m,w,xi,dt)

%-------------------------------------------

% Calcula la respuesta de un sistema sencillo

% lineal por el metodo de la aceleracion lineal

% Entradas:

% p: vector de carga externa

% m: masa del sistema

% w: frecuencia natural del sistema

% xi: fraccion de amortiguamiento viscoso

% dt: paso de tiempo

% Salidas:

% t: vector de tiempo

% d: vector de desplazamientos de respuesta

% v: vector de velocidad de respuesta

% a: vector de aceleracion de respuesta

%--------------------------------------------

n=length(p);

tmax=dt*n;

t=linspace(0,tmax,n);



d0=0;

v0=0;

a0=0;

%

k=m*w^2;

c=2*m*w*xi;

kbar=k+3*c/dt+6*m/(dt^2);

ikbar=1/kbar;

%

for i=1:n

p1=p(i,:);

dp=m*(6*d0/dt^2+6*v0/dt+2*a0);

dp=dp+c*(3*d0/dt+2*v0+dt*a0/2);

pbar=p1+dp;

d1=ikbar*pbar;

v1=3*(d1-d0)/dt-2*v0-dt*a0;

a1=6*(d1-d0)/dt^2-6*v0/dt-2*a0;

d(i,1)=d1;

v(i,1)=v1;

a(i,1)=a1;

d0=d1;

v0=v1;

a0=a1;

end

%



figure

plot(t,d)

xlabel('Tiempo')

ylabel('Desplazamiento');

figure

plot(t,v)

xlabel('Tiempo')

ylabel('Velocidad');

figure

plot(t,a)

xlabel('Tiempo')

ylabel('Aceleracion');

%--------------------------------------------

% Fin


Espectros de Respuesta

• De forma similar que en el análisis estático de

estructuras, en dinámica estructural también

resulta de interés las respuestas máximas de los

sistemas, dado que estas gobiernan los diseño.

• Los espectros de respuesta son gráficos que

recogen las respuestas máximas de sistemas

sencillos de un grado de libertad para diferentes

períodos con igual fracción de amortiguamiento

ante una excitación dada.



• Aunque se deducen para sistemas sencillos la

aplicación de los espectros de respuesta

transciende a sistemas de varios grados de

libertad, pues en estos existen períodos

dominantes que pueden tomarse como base

para lectura de la respuesta.

• Las respuestas que se grafican contra el

período (o ya sea contra la frecuencia) puede

ser cualquier respuesta, aunque las mas

usuales son desplazamiento, velocidad y

aceleración.



• De acuerdo a lo expresado hasta aquí,

necesitamos varios SDOF con diferentes T a un

mismo ξ.



• Podemos definir los espectros de acuerdo a los

parámetros de los cuales dependen así:

• Así tenemos que el espectro en desplazamiento

por ejemplo es una función de ξ, T y p(t), y la

función se define como el máximo

desplazamiento calculado.



• Debe de tenerse el cuidado en el caso del

espectro de aceleración, que si calculamos el

efecto sísmico en base a la aceleración del

suelo, la aceleración utilizada debe ser la

absoluta:

• A manera de ejemplo se muestran los espectros

de desplazamiento, velocidad y aceleración para

un sismo en Japón en la región de Tokachi-oki,

con períodos comprendidos entre 0.05 y 3

segundos para varios ξ.



• Puede demostrarse que los espectros de

respuesta sísmico cumplen las siguientes

relaciones:

• Se muestra a continuación una función en Matlab

para construir espectros de respuesta en función

de la aceleración del terreno.



• Además de todo esto debe mencionarse que

existen espectros de respuesta suavizados

llamados seuodo espectros y espectros de

respuesta linealizados o paramétrizados

llamados espectros de diseño.

• La forma de crear estos espectros son temas

propios de la ingeniería sísmica, por lo que no se

abordan aquí. Aunque si se puedan utilizar o

aplicar como datos de entrada en análisis

sísmico en dinámica de estructuras.

Sistemas con varios grados de libertad


de estructuras

Noviembre de 2009

5


Vibraciones libres

1. Introducción

2. Ecuación de movimiento

3. Respuesta dinámica

4. Método matricial

5. Método numérico

6. Método iterativo

CONTENIDO


Introducción

• Un sistema de varios grados de libertad

es aquel en el cual su movimiento se

caracteriza por un numero finito de

puntos o nodos, con los cuales dicho

movimiento puede ser definido o

representado.


Introducción

• Se debe de diferenciar estos sistemas de

múltiples grados de libertad de los sistemas

continuos, que poseen infinitos grados de

libertad.


Introducción

• Se examinarán las propiedades estructurales

básicas, para sistemas de múltiples grados de

libertad.

• Se planteará la ecuación de movimiento que

nos obliga a un análisis de tipo matricial.

• Se obtendrán las matrices de masas y de rigidez

relacionadas a sistemas que pueden ser

modelados como vigas de cortante.



• Sea el siguiente sistema de 2 grados de

libertad:

• Haciendo DCL para cada carro tenemos:



• Esto nos conduce al siguiente sistema de

ecuaciones de movimiento:

• Ordenando estas ecuaciones tenemos:

• Sistema que puede expresarse matricialmente:



• Donde:

• Evidentemente no se ha incluido ningún tipo de

amortiguamiento en el sistema.



• Esta ecuación de movimiento puede escribirse

de forma completa, de acuerdo a varias

simbologías adecuadas:


Respuesta dinámica

Viga de Cortante

• El concepto de viga de cortante es muy

importante en dinámica de estructuras, dado

que permite simplificar los modelos de una

manera aceptable sin perdida sustancial de

exactitud en el cálculo de su respuesta.

• Imaginemos que el siguiente marco puede

representarse por el modelo de dos grados de

libertad que se muestra.


Respuesta dinámica

• Esta simplificación será posible siempre que

existan ciertas condiciones en el marco, como

por ejemplo, que posea diafragmas rígidos y

que puedan despreciarse las deformaciones

axiales en los elementos.


Respuesta dinámica

• Si para la matriz de rigidez k se define el

elemento kij como la fuerza aplicada en el grado

de libertad i cuando en j tiene lugar un

desplazamiento unitario, siendo todos los demás

desplazamientos iguales a cero.

k11

k21

k1

k2

1

2


Respuesta dinámica

• De acuerdo a lo anterior, para provocar un

desplazamiento unitario en el piso 1 se requiere

una fuerza en dicho piso igual a:

• Y en el piso 2:


Respuesta dinámica

• De forma similar, para provocar un

desplazamiento unitario en el piso 2 se requiere

una fuerza en dicho piso igual a:

• Y en el piso 1:


Respuesta dinámica

• Resumiendo tenemos:


Respuesta dinámica

• Este modelo se denomina de cortante, debido a

que si consideramos solo la condición estática,

tenemos:

• La fuerza cortante acumulada por nivel, sería:

• Y el desplazamiento relativo de un nivel respecto

al otro:


Respuesta dinámica

• Lo cual indica que la deriva de piso es igual a la

fuerza cortante dividida por la rigidez.

• Ecuación guarda estrecha relación con la

ecuación de esfuerzo cortante que da la

resistencia de materiales:


Respuesta dinámica

• Generalizando para un sistema de varios grados

de libertad tenemos:


Respuesta dinámica

Análisis modal

• Para determinar la respuesta dinámica de una

estructura de varios grados de libertad se puede

utilizar el procedimiento de análisis modal.


Respuesta dinámica

• El método consiste en obtener la respuesta máxima

por separado para cada modo, modelando cada

uno como un sistema de simple grado de libertad.

• Dado que los valores máximos no ocurren

simultáneamente, estos son combinados

estadísticamente para obtener la respuesta total

(SRSS, CQC, etc.)

• El análisis modal puede ser enfocado mediante

métodos matriciales, numéricos o métodos

iterativos.


Método matricial

• Como la respuesta dinámica de una estructura

depende de la frecuencia o periodo de vibración

y de la forma desplazada (forma modal), el

primer paso en un análisis de un sistema de

varios grados de libertad es encontrar las

frecuencias y las formas modales de vibración

libre.

• En este caso no existen fuerzas externas y no

hay amortiguamiento, es decir, tenemos un

sistema de varios grados de libertad en

vibración libre sin amortiguamiento.


Método matricial

• Cada grado de libertad dinámico provee una

ecuación de equilibrio dinámico, la vibración

resultante del sistema consiste de n ecuaciones,

por lo tanto tenemos:

• Esta ecuación se corresponde con la siguiente

historia de desplazamientos:


Método matricial

• La vibración libre descrita gráficamente por las

gráficos de u-t de un sistema no amortiguado en

uno de sus modos de vibración natural puede

describirse matemáticamente por:

• Donde n, es un vector con la configuración

deformada o amplitud relativa de movimiento,

que no varia con el tiempo; y la variación del

desplazamiento con el tiempo esta descrita por

una función armónica:


Método matricial

• Es decir que:

• En base a esto tenemos:

• O en forma alternativa:

• Esta expresión es una representación de la

ecuación de autovalores; la cual tiene una

solución no trivial sólo si el determinante de los

coeficientes es igual a cero.


Método matricial

• Es decir que las frecuencias naturales ωn

(escalar) y los modos n (vector) deben

satisfacer la siguiente ecuación:

• El desarrollo del determinante conduce a un

polinomio de grado n en (ωn)2, las raíces del

cual son los autovalores.


Método matricial

• Sustituyendo éstos autovalores en la ecuación

previa a la del determinante, se obtienen los

autovalores para cada modo. A partir de los

autovalores se obtienen los periodos naturales

correspondientes y se pueden obtener las

aceleraciones espectrales a partir de una curva

de respuesta apropiada.


Método matricial

Matriz modal y espectral

• Los n autovalores y los n modos pueden ser

acoplados en forma matricial.

• El modo natural o autovector n correspondiente

a la frecuencia natural ωn tiene elementos jn,

donde j indica el DOF.

• De este modo los n autovectores pueden

presentarse o disponerse en una matriz

cuadrada, de la cual cada columna es un modo.


Método matricial

• La siguiente es la llamada matriz modal [Φ] :

• Los n autovalores ωn2 pueden ser acoplados en

una matriz diagonal Ω2, la cual es conocida

como matriz espectral.


Método matricial

• Cada autovalor y autovector satisfacen la

ecuación de autovalores que puede ser

reescrita como:

• Utilizando la matriz modal y espectral es posible

reunir todas las ecuaciones (por cada autovalor)

en una sola ecuación matricial simple:


Método matricial

Ortogonalidad de los modos

• Los modos naturales correspondientes a

diferentes frecuencias naturales se muestran a

continuación para satisfacer la siguiente

condición de ortogonalidad. Cuando ωn≠ωr

• La demostración de esta propiedad es la

siguiente:

• Análogamente:


Método matricial

• Haciendo uso de la propiedad de simetría de la

matriz de masa y rigidez. La transpuesta de la

matriz en el lado izquierdo es igual a la

transpuesta de la matriz en el lado derecho de

la primera ecuación; de esta forma:

• Restando las dos ecuaciones anteriores,

tenemos:


Método matricial

• Se ha establecido la relación de ortogonalidad

entre modos con distintas frecuencias. La

ortogonalidad de los modos naturales implica

que las siguientes matrices cuadradas son

diagonales:

• Donde los elementos de la diagonal son:


Método matricial

Normalización de los modos

• Usualmente se aplica factores de escala a los

modos naturales para estandarizar sus

elementos asociándolos con sus amplitudes en

varios grados de libertad. Este proceso es

llamado normalización.

• Algunas veces es conveniente normalizar cada

modo de tal forma que el elemento mayor sea la

unidad. Otras ocasionas se aplica una regla de

normalización diferente.


Método matricial

• En teoría de dinámica estructural y programas

computacionales es común normalizar los

modos de tal manera que mn tenga valores

unitarios:

• Los componentes de la matriz modal

normalizada están dados por:


Método matricial

• Donde:

øjn= es el componente para el nudo j, de la forma modal

normalizada asociada al modo n.

mjj= masa concentrada en el nudo j.

ujn= el componente, para el nudo j, del autovector

asociado con el modo n.


Método matricial

Factor de participación

• Las ecuaciones de movimiento para cada grado

de libertad no dependen de los modos de

vibración y tienen forma similar a la ecuación de

movimiento de un sistema de un solo grado de

libertad.

• El factor de participación, para sistemas de

varios grados de libertad esta definido en forma

matricial por:


Método matricial

• Donde:

[P]= vector de coeficientes de participación para todos

los modos considerados

{1}= vector unitario.

• La matriz de máximos desplazamientos esta

definida por:


Método matricial

• Donde:

[D] = matriz diagonal de desplazamiento espectral.

[V] = matriz diagonal de velocidad espectral.

[A] = matriz diagonal de aceleración espectral.

• La matriz de fuerzas laterales en cada nudo del

sistema esta dada por:

• El vector de fuerzas cortantes en la base esta

dado por:


Método numérico

• Para facilitar el procedimiento del análisis modal

se puede utilizar métodos numéricos.

• Para un modo de vibración dado el factor de

participación está definido por:

• Donde:

Mi = masa correspondiente al nivel i.

øi = componente de la forma modal para el nudo i para

un modo dado.

M = masa modal = ΣMi·φi2


Método numérico

• La masa efectiva está definida por:

• De forma similar el peso efectivo es definido por:

• La aceleración pico en el nudo está definida por:

• El desplazamiento máximo en el nudo es:


Método numérico

• La fuerza lateral en el nudo está dada por la ley

de Newton:

• La cortante basal y la fuerza lateral en cada

nudo pueden determinarse de la manera

siguiente:

• Para autovectores normalizados:


Método iterativo

• Para edificios de pocos niveles, que no excedan

a cinco plantas, el análisis modal puede

limitarse al modo fundamental.

• El sistema estructural puede ser modelado

como un pórtico con losas de entre piso rígidas.

• Los desplazamientos laterales de los nudos son

entonces el resultado de la flexión de las

columnas sin incluir rotación en los nudos.


Método iterativo

• La rigidez de un nivel en particular esta dada

por:

• La masa en cada nivel se asume concentrada

en las losas de entre piso.


Método iterativo

• Se han desarrollado técnicas iterativas basadas

en métodos propuestos por Rayleigh, Stodola y

Holzer.

• A continuación se presenta una adaptación del

método de Holzer.

• Cuando un nudo alcanza su desplazamiento

lateral máximo ui, la velocidad es cero y la

fuerza de inercia en el nudo está dada por:


Método iterativo

• El incremento en la fuerza de corte en el nudo

es producido por la fuerza de inercia en ese

nivel.

• El incremento de la fuerza cortante esta dado

por:

Donde:

k· = fuerza cortante total en el nivel i.

• Igualando la fuerza de inercia y el incremento de

la fuerza cortante se tiene:


Método iterativo

• La solución de esta ecuación se puede obtener

de la siguiente manera:

1. Asumiendo una forma modal inicial con un desplazamiento unitario

en el nivel superior; a partir del cual se calcula la fuerza de inercia o

el incremento de fuerza cortante en términos de la frecuencia

natural, en cada nivel.

2. Sumando el incremento de fuerza cortante a partir del nivel superior

hacia abajo se tiene la fuerza cortante total en cada piso. Dividiendo

este valor por la rigidez apropiada de cada nivel se obtiene el

desplazamiento (deriva) de cada piso.

3. Dividiendo estos desplazamientos por el desplazamiento en la parte

superior de la estructura se obtiene la forma modal corregida.

4. Esta forma modal corregida puede ser usada como una nueva

forma modal inicial en el proceso de iteración hasta que coincidan la

forma modal corregida con la inicial.

conceptos básicos de dinámica estructural

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