CONCEPTOS BÁSICOSDEL

CÁLCULO ESTRUCTURAL

Prof. Carlos Navarro

Departamento de Mecánica de Medios Continuosy Teoría de Estructuras

MODELO DEL MATERIAL

Mientras no digamos los contrario, supondremos que el

material del que está realizada la estructura muestra un

comportamiento elástico-lineal hasta rotura

MODELO DE DEFORMACIÓN

Mientras no digamos los contrario, supondremos que

consideramos la hipótesis de pequeñas deformaciones

PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

q q

P

P+

=

Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y, por tanto:

WU =

ENERGÍA INTERNA, ELÁSTICA O DE DEFORMACIÓN

Trabajo externo y energía de deformación

La mayoría de los métodos energéticos en el cálculo de estructuras se basan en elPrincipio de la conservación de la energía, que establece que el trabajo realizadopor las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema estructural, We, coincide con laenergía de deformación que almacena dicho sistema, Ui.

We = Ui

• Trabajo de una fuerza exterior

Ui

Energíainterna

L

F

δx

F

P

Cuando la fuerza F se incrementa desde cerohasta un valor final F = P, la elongación de laBarra resulta ser ∆:

δ

FdxdWe =

∫=x

e FdxW0

∫∆

δ=

0

)( dxxPWe

δ=δ

=∆

PxPUe 21)

2(

0

2

xPFδ

=

El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicación (en las dirección de las mismas, por supuesto).

Si entre las cargas aplicadas existiera algún momento, bastaría con tener en cuenta que:- donde se dijera fuerza se debería decir momento- donde se dijera desplazamiento se debería decir giro- donde se expresara trabajo (W=Fd, en el caso de fuerzas) se debería escribir W=Mθ.

∑=

⋅=n

1iii dF2

1W

Fi

di

i

i∆r

d

P

W=1/2 P.d

M

W=1/2 M.θθ

EJEMPLOS:

2

F1

F2 1

21

F1F2 ∆1d1∆2

d2

α

2211 21

21 dFdFUW

rr+==

¡Las reacciones en el empotramiento (fuerzas y momento) no producenTrabajo, pues la sección sobre la que actúan no sufre movimientos!

ds

z

x

y

NNG

ds

z

x

y

NN

dsds

z

x

y

NNG

ds duzds duz

dsEANds

Edsduz ===

σε

DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR ESFUERZO AXIL

¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a esfuerzo axil?

ds

z

x

y

NNG

ds

z

x

y

NN

dsds

z

x

y

NNG

ds duzds duz

dsAENds

Edsdu z ===

σε

dsEANduNdU z

2

21

21

=⋅=

LA HIPÓTESIS DE NAVIER (FLEXIÓN)

Una cara de cualquier rebanada, que era plana antes dedeformarse la pieza, sigue permaneciendo plana una vez que la pieza se ha deformado.

)(

)(

tracciónI

CGM

compresiónI

AGM

xx

C

xx

A

=

=

σ

σ

dsEI

AGMds

EdsAB

xxA

AA ===σ

ε '2

dsEI

CGMds

EdsCD

xxC

CC ===σ

ε '2

dsEI

MCGCD

AGABd

xxx

22===

θ

dsEIMd

x

xx =θ

DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR MOMENTO FLECTOR

x

y

G

h 2

h 1

σ1=Μx h1Ιx

σ2=Μx h2Ιx

Mx

SECCION ALZADO LATERAL

Cantox

y

G

h 2

h 1

σ1=Μx h1Ιx

σ2=Μx h2Ιx

Mxx

y

G x

y

G

h 2

h 1

σ1=Μx h1Ιx

σ1=Μx h1Ιx

σ2=Μx h2Ιx

σ2=Μx h2Ιx

Mx

SECCION ALZADO LATERAL

Canto

σC

σA

C

AHipótesis de Navier

¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a momento flector?

dsEIMd

x

xx =θ

dsEIMdMdU

xx

2

21

21

=⋅= θ

ds

z

x

y

Qy

G

dsds

z

x

y

Qy

G

ds

γ

duy

ds

γ

duy

( )ν

τγ

+=

==

12EG

dsG

dsdu my

c

ym

Q

Ωτ =

El área a cortante Ωc depende de la geometría de la sección y, en general, se puede escribir como: Ωc=Ω/k. Para el caso de una sección rectangular k=6/5(para el caso de una sección circular, por ejemplo, k=10/9)

dsGQ

dsduc

yy Ω

== γ

DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR ESFUERZO CORTANTE

¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a esfuerzo cortante?

ds

z

x

y

Qy

G

dsds

z

x

y

Qy

G

ds

γ

duy

ds

γ

duy

dsGQ

dsduc

yy Ω

== γ

dsGQ

duQdUc

yyy Ω=⋅=

2

21

21

ds

z

x

y

MzGMz

dsds

z

x

y

MzGMz

ds

ωdz

dsds

ωdz

dsGKM

dsd zz == ωθ

DEFORMACIÓN DE UNA REBANADA POR MOMENTO TORSOR

ds

z

x

y

MzGMz

dsds

z

x

y

MzGMz

ds

ωdz

dsds

ωdz

dsGKM

dsd zz == ωθ

¿Qué energía elástica almacena una rebanada sometida a momento torsor?

dsGKM

dMdU zzz2

21

21

=⋅= θ

dsGKM

dMdU zzz2

21

21

=⋅= θ

dsGQ

duQdUc

yyy Ω=⋅=

2

21

21

dsEIMdMdU

xx

2

21

21

=⋅= θ

dsEANduNdU z

2

21

21

=⋅=

En resumen:

Axil

Flector

Cortante

Torsor

¿Qué energía interna se almacena en una pieza cargadaen la que aparecen todos los tipos de esfuerzos en todas las secciones de la pieza?

A

B

s

ds

dsGK

)s(MG

)s(QEI

)s(MAE

)s(NUB

A

z

c

y

x∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

Ω++=

2222

21

La variable “s” del integrando indica que los esfuerzos puedenvariar a lo largo de la pieza en función del valor de dicha variables

¿Podríamos calcular ya los desplazamientos en algúnelemento estructural simple que se encuentre cargado?

Supongamos que nos piden los desplazamientos (horizontal yvertical) del extremo B de la ménsula de la figura sometida a lacarga inclinada que se indica:

F45º

L

A B

La carga anterior puede descomponerse en sus dos componentes:

A B 22

1 FF =

22

2 FF =

A B

22F

Ley de axiles Ley de cortantesA B

22F

A B

LF22

Ley de flectores

EA

LFdz

EA

Fw

L

B2

22

2

0=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= ∫

A B’WB

zVB

c

L

cB G

LFdz

G

Fv

Ω=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Ω= ∫ 2

22

2

0

z

y

dVB

( ) ( ) ( )

( )( )zLdz

EI

zLF

zLdzEI

zMzLddvB

−⋅−

=

=−⋅=−⋅=

22

θ

( )3

22

22 3

0

2 LEI

FdzzL

EI

Fv

L

B ⋅=−= ∫

A Bz

y

z

y

A Bz

y

L-zz

A

B

¿Qué cuantía tienen esos desplazamientos?

Supongamos una viga en ménsula de sección cuadrada de 20 cm2 de hormigón (E=20 GPa y ν=0,2) y de longitud 4 m. Supongamos F=20 kN.

A=0,04 m2 I=1,33.10-4 m4 Ωc=A/1,2=0,0333

mwB5

9 1007,704,01020

42220000

−⋅=⋅⋅

= mvB4

9 1004,20333,01033,8

42220000

−⋅=⋅⋅

= mvB 227,034

1033,110202

220000 349 =⋅⋅⋅⋅

= −

Desplazamiento según el ejede la viga

Flecha debida a cortante Flecha debida a flexión

¡Los desplazamientos debidos a flexión son mucho más grandes quelos debidos a los esfuerzos axil y cortante!

A B

22F

Ley de axiles Ley de cortantesA B

22F

A B

LF22

Ley de flectores

A B’WB

zVB

z

y

dVB

( )2

22 2

00

LEI

Fdz

EIzMdd

LL

B ⋅=== ∫∫ θθ

A Bz

y

z

y

A Bz

y

L-zz

A

B

¿Cómo podríamos calcular el giro de la sección B?

¡No gira! ¡No gira!

F45º

L

A B

EL TEOREMA DE CASTIGLIANO

ij

dFU

=∂∂

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE CASTIGLIANO A ESTRUCTURAS

RETICULADAS

Problema de la aplicación del Teorema de Castigliano:

Este teorema sólo proporciona desplazamientos y giros en aquellas secciones de la pieza en las que actúa una fuerzao un momento, respectivamente.

Es decir, si en una sección deseamos determinar el giro queexperimenta no podemos aplicar (como hemos hecho antes)este teorema.

Para solventar esta dificultad, podemos proceder cómo seindica a continuación:

Obtener el giro en la sección B aplicando el Teorema de Castigliano

P

P

M

Estado auxiliar (ficticio) de cargas que se propone (además del ya existente):

A B

P.L

A B

MP

Mz

[ ]∫=

=+−=

Lz

zx

dzM)zL(PEI

U0

2

21

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅+⋅

⋅+⋅= L

EIML

EIMPL

EIP

Uxxx

2232

22

321

LEIML

EIP

MU

xxB ⋅+⋅=∂

∂=

2

2

θ

Si M=02

2LEIP

xB ⋅=θ

(Los momentos flectores los consideraremos positivos si producenun giro en las rebanadas que induzcan un giro horario en B)

Cómo vamos a utilizar el teorema de Castigliano a lo largo de este curso

A

B

s

ds

dsGK

)s(MG

)s(QEI

)s(MAE

)s(NUB

AT

cx∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

Ω++=

2222

21

dsP

)s(MGK

)s(MP

)s(QG

)s(QP

)s(MEI

)s(MP

)s(NAE

)s(NPUv

B

ATT

cx∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

∂∂

Ω+

∂∂

+∂

∂=

∂∂

=

P de sentido y dirección la en carga de unidadpor torsor momento del Variación

P de sentido y dirección la en carga de unidadpor cortante esfuerzo del Variación

P de sentido y dirección la en carga de unidadpor flector momento del Variación

P de sentido y dirección la en carga de unidadpor axil esfuerzo del Variación

=∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

P)s(M

P)s(Q

P)s(M

P)s(N

T

Pv

Es práctica habitual, en el cálculo manual de vigas y estructuras reticuladas, despreciar los efectos en los movimientos de una pieza causados por los esfuerzos axil y cortante.

Por otra parte, si la estructura es plana, y las cargas a las que se ve sometida están contenidas en el plano de la estructura, no aparecen momentos torsores en la misma.

Por todo esto, la expresión del Teorema de Castigliano que utilizaremosserá la que se deriva del ejemplo siguiente:

P

M=1Estado 0 (estado real) Estado I (estado auxiliar)

Veamos cómo aplicar esto último al problema que acabamos de analizar

AB

P.L

AB

MP

1z

dz)z(MGK

)z(M)z(QG

)z(Q)z(MEI

)z(M)z(NAE

)z(NBA

IT

TI

c

I

x

IB ∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

Ω++=

0000

θ

En el sentido del momento auxiliar unidad

[ ][ ]x

Lzz

xB EI

PLdzzLPEI 2

112

0 =∫ −=θ=

= )(

FÓRMULAS DE NAVIER-BRESSE

Desplazamiento inducidopor los giros de las rebanadas

Desplazamiento inducidopor los propios de las rebanadas

Desplazamientosólido rígido

Suma de giros delas rebanadas

Giro sólido rígido

FÓRMULAS DE NAVIER-BRESSE

X

Y

Z

A

B

zx

y

P

X

Y

Z

A

B

zx

y

X

Y

Z

A

B

zx

y

P

∫ ∫∫

∧++∧+=

+=B

A

B

AABAAB

B

AAB

rdudruu

drrrrrvv

rrr

θθ

θθθ

PBr =r

PIEZA PLANA CON CARGAS EN SU PLANO

Qx = Mz = My = 0 Mx = M Qy = Qux = θy = θz = 0 uy = v uz = w θx = θ

Y

Z

AB

Esfuerzos y desplazamientos en ejes locales:

Giros y desplazamientos en ejes globales:

Criterios de signos:Giros Momentos

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

∫

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω

+−+=

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

+Ω

+−+=

−=

B

A BB

A cABAAB

B

A BB

A cABAAB

B

AAB

dsYYEIMdY

GQdZ

ENYYww

dsZZEIMdZ

GQdY

ENZZvv

dsEIM

θ

θ

θθ

∫−=B

AABds

EIMθθ

A

B

A

B

A

B

dsEIM

dsEIM

A

BAθ

Aθ

A

B

Z

Y

B

Z

Y

A

θAθA(YB- YA)

θA(ZB- ZA)

?( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω

+−+=

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

+Ω

+−+=

B

A BB

A cABAAB

B

A BB

A cABAAB

dsYYEIMdY

GQdZ

ENYYww

dsZZEIMdZ

GQdY

ENZZvv

θ

θ

A

B

Z

Y

VA

VAWA

WA

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω

+−+=

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

+Ω

+−+=

B

A BB

A cABAAB

B

A BB

A cABAAB

dsYYEIMdY

GQdZ

ENYYww

dsZZEIMdZ

GQdY

ENZZvv

θ

θ

A

Z

Y

N

N

α

ds

Bα

dsENΩ

dzENds

EN

Ω=⋅

Ωαcos

dyENds

EN

Ω=⋅

Ωαsen

Alargamientopor axil

A

Z

Y

QQ

α

ds

B

α

dsG

Q

cΩ

dyG

QdsG

Q

cc Ω−=⋅

Ω− αsen

dzG

QdsG

Q

cc Ω−=⋅

Ωαcos

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω

+−+=

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

+Ω

+−+=

B

A BB

A cABAAB

B

A BB

A cABAAB

dsYYEIMdY

GQdZ

ENYYww

dsZZEIMdZ

GQdY

ENZZvv

θ

θ

A

B

A

B

( ) ( )

( ) ( )∫∫

∫∫

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

−Ω

+−+=

−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

+Ω

+−+=

B

A BB

A cABAAB

B

A BB

A cABAAB

dsYYEIMdY

GQdZ

ENYYww

dsZZEIMdZ

GQdY

ENZZvv

θ

θ

A

BdsEIM

Z

Y

ZBZ

Y

YB ( )dsZZEIM

B −−

( )dsYYEIM

B −

PIEZA RECTA CON CARGAS EN SU PLANO

00 ==== BA yydydzds

( ) ( )

∫

∫∫

∫

Ω+=

−−Ω

+−θ+=

−θ=θ

B

AAB

B

A B

B

Ac

ABAAB

B

AAB

dzENww

dzzzEIMdz

GQzzvv

dzEIM

CortanteFlexión

Ejemplo: Determinar la flecha en B

BA ww =( )( )∫∫ −

−−

Ω−

=B

A

B

Ac

B dzzlEIzLPdz

GPv

( ) lz

0z

3

cB 3

zLEIP

GPLv

=

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−

Ω−=

EI3PL

GPLv

3

cB −Ω

−=

PA B

PLey de cortantes

A B

P.l Ley de flectores

c

h

x

y c

tetancorB G

PLvΩ

−=

EI3PLv

3flexiónB −=

( )

( )ν+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅ν+

=Ω

=Ω

= 1Lh6,0

L2,1

ch12E

ch121E3

LGEI3

EI3PL

GPL

vv 2

2

3

2c

3c

flexiónB

tetancorB

Si hacemos, por ejemplo, L/h = 50, ν=0,2, el cociente anterior resulta ser 0,000288.La flecha debida al cortante es despreciable (0,03%) frente a la de flexión.

Pero, ¿qué sucede en la práctica?

En Resistencia de Materiales y en Cálculo de Estructurasse suele despreciar la contribución a los desplazamientosy giros debidos a los esfuerzos axil y cortante.

Esto, de ninguna manera, quiere decir que dichos esfuerzossean nulos en la pieza.

Pieza recta con cargas en su plano despreciando las deformaciones inducidas por esfuerzo cortante y esfuerzo axil

( ) ( )

AB

B

A BABAAB

B

AAB

ww

dzzzEIMzzvv

dzEIM

=

−−−θ+=

−θ=θ

∫

∫

( ) ( )

∫

∫∫

∫

Ω+=

−−Ω

+−θ+=

−θ=θ

B

AAB

B

A B

B

Ac

ABAAB

B

AAB

dzENww

dzzzEIMdz

GQzzvv

dzEIM

A B

y

z

q

l

A B

ql2/2M=q.(l-z)2/2

( ) ( )EI8Lqdz

EI2zLqdz

EI2zLMv

4B

A

3B

AB

⋅=

−⋅=

−⋅=⇓ ∫∫

( )∫ ∫ =

−==θ

B

A

l

0

32

B EI6qldz

EI2zlqdz

EIM

EJEMPLO:

¿Flecha y giro en B?

Ley de momentosflectores:

Otras aplicaciones en problemas isostáticos:

Determinar giros en vigas apoyadas

l

MA B

l

MA B

θA

A B

θBθA

A BA B

θB

horariosentidoenEI

MlEI

MlEI

ll

M

l AA 623.

23

=⇒+−= θθ

L

MA B

M/l M/l

MA B

M/l M/lM/L M/L

( ) ( )∫ ∫ =

−+−−=−=

B

A

L

AAB dzEI

zLLMM

dzEI

zM0

θθθ

zSentidos positivos:

giros Momentosflectores( ) ( ) ( )

EIMLdzzL

EI

zLM

LdzzLEI

zMLvvB

A

L

AAAB 60

2

0−=−−⋅=−−⋅+== ∫ ∫θθ

EIML

A 6−=θ

)()()/()(

oantihorariMporproducidooantihorarilMporproducidooantihorarioantihorari

A

BBB

θθθθ

+++=

EIMloantihorari

EIMl

EIMl

EIMloantihorari BB 3

)(62

)( =⇒−+−= θθ

APLICACIÓN A PROBLEMAS HIPERESTÁTICOS

y

AB

z

l

M

A

B M

A+B

RA

B M

A+B

R

0=+=↑ IIestadoBIestado

BB vvv( )

EIlMdz

EIzlMv

BA

IestadoB 2

2

∫ −=−

−=↑EI

Rlv IIestadoB 3

3=↑

lMR

EIRl

EIlM

230

32

32

=⇒=+−

( ) ( )

AB

B

A BABAAB

B

AAB

ww

dzzzEIMzzvv

dzEIM

=

−−−θ+=

−θ=θ

∫

∫

ECUACIONES DE NAVIER-BRESSE PARA UNA PIEZA RECTA CON CARGAS EN SU PLANO DESPRECIANDOLA CONTRIBUCION A LOS MOVIMIENTOS DE LOS ESFUERZOS CORTANTES Y AXILES

TEOREMAS DE MOHR

PRIMER TEOREMA DE MOHR

( ) ( )

BB A A

B

B A A B A BA

B A

M dzEI

Mv v z z z z dzEI

w w

θ = θ +

⇑ =⇑ − θ − − −

=

∫

∫

∫=−B

AABdz

EIMθθ

A B

Ley de momentosflectores

A’

B’Directriz deformada

Directriz sindeformar

θB

θA

θB-θA

A B

Ley de momentosflectores

A’

B’Directriz deformada

Directriz sindeformar

θB

θA

θB-θA

“El ángulo girado por la directriz entre dos secciones A y B de una pieza prismática recta de sección constante es igual al área del diagrama de momentos flectores entre ambas secciones dividido por el producto EI”

EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL PRIMER TEOREMA DE MOHR

¿Giro en B?

A B

P.l

( )

EIPL

EI

PLL

AB 221

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=−θθ

0

P

(horario)

SEGUNDO TEOREMA DE MOHR

( ) ( )∫ −−−−=↑↑BA BABAAB

dzzzEIMzzvv θ

A’

B’

Directriz deformada

A B

Directriz sindeformar

z

y

dz zB-z

vB

vA

θA.(zB-zA)

B’’

B’’’

A’

B’

Directriz deformada

A B

Directriz sindeformar

z

y

dz zB-z

vB

vA

θA.(zB-zA)

B’’

B’’’ “La distancia, en dirección perpendicular a la directriz sin deformar, entre un punto B’ de la directriz deformada a la recta tangente a la directriz deformada en otro (A) es igual al momento estático del área de momentos flectores entre las secciones A y B respecto del eje perpendicular a la directriz sin deformar que pasa por el punto B, dividido por el producto EI”

A B

y

z

q

L

. G

3/4(L)

ql 2/2

EIql

EI

l/lq.lvB 8

432

31

42

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

=↓

EJEMPLO DE APLICACIÓN DEL SEGUNDO TEOREMA DE MOHR

¿Flecha en B?

EL DIBUJO DE LA DEFORMADA A ESTIMA

P=20 kN

2 m 1 m 1 m

A B C D

A B C D

15 kN·m

5 kN·m

DA CB

Ley de flectores

C AB

D

294,9 kN.m

237,3 kN.m

28,5 kN.m

71,5 kN.m 63,9 kN.m

3,84 m

7,68 m

C AB

D

294,9 kN.m

237,3 kN.m

28,5 kN.m

71,5 kN.m 63,9 kN.m

3,84 m

7,68 m

OTRO EJEMPLO:

Generalización al caso de puntos angulosos en la directriz. Primer teorema

Movimientos en barras prismáticas: Teoremas de Mohr (Cont.)

P’

E

C

A

B

PP’’

E

C

A

B

D

A1

A2

A3

A4Sentidos positivos (por ejemplo):

girosMomentosflectores

( ) ( ) ( ) ( )DECDBCABA EIA

EIA

EIA

EIA 4321 −++=θ

AB

C

h

L

EI

P PL

PLA

A1 +

A2 +

EI

hLPL

EIh)PL(

EI

L)PL(A

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+= 221

θ

Ejemplo de aplicación: determinar el giro experimentadopor la sección A (positivo si horario)

Generalización al caso de puntos angulosos en la directriz. Segundo teoremaMovimientos en barras prismáticas: Teoremas de Mohr (Cont.)

E

C

D

B

A

δ

hdδA

α

Caso a): el eje δ no corta a la directriz

∫∫∫ === dsMfEIdsEIM

ffd ff

A1

θδ

dsEIM

ffdd fA == θδ

C

dS

G

G’

B

A

f

fG’

dδA=(h dθ).cosαdδΑ

δ

α

hα

f =h.cos α

dδA=

PL

PLA

A1

A2

G2 G2’

G1

G1’u

v

AB

C

h

L

EI

P

( ) ( )[ ]EI

)hL(PLLhPLLPL

EIv,´G.distAv,´G.distA

EIvA

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅⋅+⋅=⋅+⋅= 3

32

2111

2

22211

( )EI

PLhhPLhEI

u,´G.distAEI

uA 2211 22

22 ==⋅=

Ejemplo de aplicación: determinar los desplazamientos en la sección A

Generalización al caso de puntos angulosos en la directriz. Segundo teoremaMovimientos en barras prismáticas: Teoremas de Mohr (Cont.)

Caso b): el eje δ corta a la directriz

C

D

B

A δ

E

C

D

B

Aδ

+-=-

++=+

-+=-

-+=-

++=+

++=+

E

Sentidos positivos (por ejemplo):

girosMomentosflectores

δA

E

C B

AP

L

2L

L

E

C B

A

PL

PLPL

PL+

+++ +

+

=

=

=

=+ +

+

- - +

δ

EIPLLLPLLLPLLLPLLLPL

EIA33

32

21

32

212

32

211

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=δ

Ejemplo de aplicación: determinar el desplazamiento según ladirección δ de la sección A

TEOREMA DE RECIPROCIDAD DE MAXWELL-BETTI

“En un sólido elástico el trabajo realizado por un sistema de cargas I al aplicar otro sistema de cargas II, es idéntico al trabajo realizado por el sistema de cargas II al aplicar el sistema de cargas I”

Sobre la ménsula que se observa en la figura pueden actuar, separadamente, los sistemas de cargas distintos 1 y 2 que se recogen en la figura. Suponiendo constante el producto EI, determinar el valor de la flecha en C correspondiente al sistema 2 de cargas.

Ejemplo

L/2 L/2

P

A CB

L/2 L/2

MA C B

SISTEMA 1 SISTEMA 2

L/2 L/2

P

A CB

L/2 L/2

MA C B

L/2 L/2

P

A CB

L/2 L/2

MA C B

SISTEMA 1 SISTEMA 2

EIMLv

EI

LPMvP

horarioMvP

sistemaC

sistemaC

sistemaB

sistemaC

822 22

2

2

12

↓=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅↓=⋅

⋅↓=⋅

−−

−− )(θ

ARCOS: PIEZAS DE DIRECTRIZ CURVA

x

y

PB

θ

R.cosθ

A

R

R.cosθ

P

P cosθP sen θPR cosθ

π/2 - θ

P

θ

R

M = PRcosθ

Momentos flectoresP

θ

R

Esfuerzos cortantes

Q = P sen θP

θ

R

Esfuerzos axiles

N = P cos θ

Leyes de esfuerzos

x

y

PB

θ

Rcosθ

A

R

Desplazamientos horizontal y vertical de la sección B (despreciando losmovimientos inducidos por esfuerzos axil y cortante):

x

y

PuBvB

B P

θ

R

M=PRcosθ

Ley de momentos flectores

Utilizando Navier-Bresse:

( ) ( ) ( )EIcosPRcosR

EIMcosRdv dB

θθθθθ

22

===

debido al giro dθ de una rebanada genérica:

( )∫ θθ∫ =θ↓=ππ2

0222

022 11 RdPR

EIdsPR

EIvB coscos

Utilizando Castigliano:

( )∫ θθ=∫=ππ2

0

22

0

2

21

2RdPR

EIds

EIMU cos

∫ θθ=∂∂

↓=π2

0221 RdPR

EIPUvB cos

Desplazamiento vertical vB

Desplazamiento horizontal uB

( )

EI)sen(cosPR

)sen(REIM)sen(Rdu dB

θθ

θθθθ

−=

=−=−=

1

11

2

∫ −= 202 11

π

θθ ds)sen(cosPREI

uBr

Utilizando Navier-Bresse:

debido al giro dθ de una rebanada genérica:

Utilizando Castigliano:

∫ θ−θ=

∫=

π

π

20

20

0

11

1

dssenRPREI

dsMMEI

u IB

)(cos

r

1

θ

R(1-senθ)

x

y

PuBvB

B P

θ

R

M=PRcosθ

R(1-senθ)

Ley de flectores Estado 0 Ley de flectores Estado I

Giro de la sección B (θB)

Utilizando Navier-Bresse: Utilizando Castigliano:

x

y

PuBvB

B P

θ

R

M=PRcosθ

Ley de flectores Estado 0 Ley de flectores Estado I

M=11

∫∫∫ === 20202011 πππ

θθθ dscosPREI

MdsEI

dB

( )∫ ⋅⋅θ=

=∫ ⋅=θ

π

π

20

20

0

11

1

dsPREI

dsMMEI

IB

cos

Deformación de una rebanada

Tratamiento de las cargas térmicas

B B´

F´FE

E´

A´ A

C D D´C´

∆T2

∆T1

ds

c

dθ/2dθ/2

)( 12 TTcdsd ∆−∆α=θ

B C

D

120ºC80ºC

100ºC

100ºC

c=canto45º

Barras de directriz recta

212 TTdsFFEE ∆+∆α=+ ´'

Alargamiento o acortamiento:

Giro:

Tratamiento de las cargas térmicas (Cont.)Barras de directriz curvilínea sometidas a una variación uniforme de temperatura

“El movimiento en una dirección definida por un vector, del extremo de una barra curvilínea en ménsula se obtiene multiplicando el coeficiente de dilatación por el incremento de temperatura y por la proyección de la directriz de la viga en la dirección u”.

LTdscosTcos)Tds(UA

B

A

BA⋅∆=∆=∆= ∫∫ αθαθα

)( T∆

AB

δA1

1´

1

1´ δδθ θ

U

)( T∆

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE CASTIGLIANO A ESTRUCTURAS

ARTICULADAS

PROBLEMA PROPUESTO

Determinar, para la estructura articulada de la figura, los desplazamientos horizontaly vertical que sufre el nudo 3.

NOTA: Considérese que E=200 GPa y A=1.200 mm2

1 3 4

2

1

2

3 4

5

84 kN

35 kN

1 3 4

2

1

2

3 4

5

84 kN

35 kN

ESTADO 0

Resolvemos la estructura, obteniéndose los siguientes esfuerzos axiles:

-66,0-79.19612,00300,0min

70,084.00012,00565,7max

Tracción17,521.00012,00300,0435

Compresión-29,2-35.00012,00500,0424

Tracción70,084.00012,00400,0323

Tracción17,521.00012,00400,0312

Compresión-66,0-79.19612,00565,7211

σ[N/mm2]

N0[N][cm2][cm]

Notas

Tensión axial

Esfuerzo axilÁreaLongitudNudo

finalNudo inicialNum

Información sobre los elementos

1 3 4

2

1

2

3 4

5

1 kN

Desplazamiento horizontal del nudo 3

ESTADO I

En este estado, sólo la barra 2 trabaja, haciéndolo a un exfuerzo axil de tracción de valor N 1I= 1 kN.Los axiles en el resto de barras es nulo.

mmmkNEA

LNNui ii

iIii 00035,04)(101200)/(10200

1212626

02 =⋅×⋅×

⋅== −∑

r

Desplazamiento vertical del nudo 3

ESTADO II

1 3 4

2

1

2

3 4

5

1 kN

-0,6-71412,00300,0min

0,81.00012,00565,7max

Tracción0,442912,00300,0435

Compresión-0,6-71412,00500,0424

Tracción0,81.00012,00400,0323

Tracción0,442912,00400,0312

Compresión-0,5-60612,00565,7211

σ[N/mm2]

NII[N][cm2][cm]

Notas

Tensión axial

Esfuerzo axilAreaLongitudNudo

finalNudo inicialNum

Información sobre los elementos

Resolvemos la estructura para el caso de carga II, obteniéndose los siguientes esfuerzos axiles:

mmmkNEA

LNNvi ii

iIIii

0033146,0)3429,0215)714,0()35(4184

4429,021657,5)606,0()196,79(()(101200)/(10200

12626

02

=⋅⋅+⋅−⋅−+⋅⋅+

+⋅⋅+⋅−⋅−×⋅×

=↓= −∑

Estructura deformada:

1− 0.357− 0.286 0.929 1.571 2.214 2.857 3.5 4.143 4.786 5.429 6.071 6.714 7.357 81−

0

1

2

3

4

5

Estructura deformadaBarras a compresiónBarras a tracción

Estructura sin deformar y deformada

[m]

[m]