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Conceptos bsicos de dinmica estructural

Fundamentos de dinmica

de estructuras

Septiembre de 2009

1

Fundamentos de dinmica de estructuras 2

Conceptos bsicos de dinmica

1. Introduccin

2. Estructura simple

3. Grados de libertad

4. Sistemas elsticos

5. Amortiguamiento

6. Ecuacin de movimiento

7. Excitacin ssmica

CONTENIDO


Introduccin

La Dinmica de Estructuras es un rea del anlisis mecnico de las construcciones que

estudia el efecto de las acciones externas que

producen vibraciones. Su desarrollo comienza

en el siglo XIX con las investigaciones de Lord

Rayleigh sobre los efectos del sonido en

cuerpos elsticos las cuales aun tienen validez.

Actualmente esta rea de la Mecnica presenta un estado avanzado de desarrollo pues se ha

logrado establecer mtodos de clculo para

estructuras lineales y no lineales sometidas a

acciones deterministas o aleatorias.


Introduccin

El anlisis dinmico de estructuras consiste en determinar la respuesta (desplazamientos,

velocidades y aceleraciones) de estructuras

sometidas a excitaciones (acciones dinmicas).

Los parmetros ms significativos de la respuesta son los desplazamientos relativos

mximos y aceleraciones absolutas.


Introduccin

Este captulo introductorio comienza con la definicin de algunos trminos bsicos en la

dinmica estructural.

Se hace la deduccin de las ecuaciones del movimiento dinmico de un sistema sencillo es

decir de un grado de libertad.

Luego se describen brevemente las principales cargas dinmicas que actan sobre las

estructuras y se discute la utilidad de los

sistemas sencillos para representar el

comportamiento de estructuras ms complejas.


Introduccin

Las principales acciones dinmicas que actan sobre las estructuras son las siguientes: Motores y equipos mecnicos.

Terremotos.

Vientos.

Oleaje.

Otras:

Impacto.

Paso de vehculos o personas.

Explosiones.


Estructura simple

Una estructura simple es aquella que se puede idealizar como un sistema que est constituido por una masa

concentrada en la parte superior soportada por un elemento estructural que proporciona rigidez en la

direccin considerada.


Estructura simple


Grados de libertad

El grado de libertad es definido como el nmero de desplazamientos independientes requerido para definir

las posiciones desplazadas de todas las masas relativas

a sus posiciones originales.


Grados de libertad

Un grado de libertad corresponde a cualquier movimiento posible de los nodos de los elementos en

una direccin no restringida.


Grados de libertad

En el caso dinmico el modelo empleado aqu est basado en la suposicin de que la rigidez se concentra

en un resorte que carece de masa mientras que la masa

se ubica en un cuerpo rgido que no se deforma.


Grados de libertad


Grados de libertad

Para un marco plano bsico tenemos:

Anlisis esttico: 3 DOF

Anlisis dinmico: 1 DOF


Grados de libertad

Obviamente, cualquier estructura posee un nmero infinito de grados de libertad debido a su continuidad

pero el proceso de discretizacin en elementos supone

un nmero finito aunque elevado de ellos.

Discretizacin de una viga simple:

Modelo continuo: DOF

Modelo discreto: 3 DOF


Sistemas elsticos

Un material es elstico cuando recupera su forma original despus de retirar la carga aplicada si adems

existe una proporcionalidad entre fuerzas y

desplazamientos se dice que el material es lineal.

Donde k es la rigidez lateral del sistema y su unidad es [fuerza/longitud].


Amortiguamiento

El amortiguamiento es el proceso por el cual la vibracin libre disminuye en amplitud; en este proceso la energa

del sistema en vibracin es disipada por varios

mecanismos los cuales pueden estar presentes

simultneamente.

En sistemas simples la mayor parte de la disipacin de la energa proviene de efectos trmicos causados por

repetidos esfuerzos elsticos del material y de la friccin

interna cuando el slido es deformado.


Amortiguamiento

En las estructuras actuales el amortiguamiento es representado de forma idealizada; para efectos prcticos el amortiguamiento actual

en estructuras SDF puede ser idealizado satisfactoriamente por un

amortiguamiento lineal viscoso.

A diferencia de la rigidez, el coeficiente de amortiguamiento no puede ser calculado a partir de las dimensiones de la estructura y del tamao

de los elementos estructurales, debido a que no es factible el identificar

todos los mecanismos disipadores de energa vibracional en las

estructuras actuales.


Ecuacin de movimiento

Modelo matemtico de un sistema SDF sujeto a la accin de una fuerza dinmica p(t) aplicada en la

direccin del desplazamiento u las cuales varan con el

tiempo.


Excitacin ssmica

Si lo que se tiene es un movimiento inducido no por una fuerza aplicada sino por un movimiento aplicado en la

base de la estructura.

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Vibraciones libres de sistemas con un grado de libertad


de estructuras

Septiembre de 2009

2


Vibraciones libres

1. Introduccin

2. Teora general de vibraciones

3. Definicin de vibracin libre

4. Vibracin libre no amortiguada

5. Vibracin libre amortiguada

CONTENIDO


Introduccin

En los problemas de ingeniera no es siempre posible obtener soluciones matemticas

rigurosas. En realidad solo en algunos casos

simples puede obtenerse soluciones analticas

Cuando los problemas implican propiedades de materiales, distribucin de cargas y condiciones

de contorno complejas es necesario introducir

simplificaciones, esto teniendo a la vista el

cumplimiento de los criterios de seguridad y

economa.


Introduccin

El nexo entre el sistema fsico y la posible solucin matemtica se obtiene con el modelo

matemtico.

El estudio de las vibraciones se refiere a los movimientos de los cuerpos y a las fuerzas

asociadas con ellos.

Todos los cuerpos que poseen masa y elasticidad, son capaces de vibrar


Teora general de vibraciones

Una vibracin mecnica es el movimiento de una partcula o cuerpo que oscila alrededor de

una posicin de equilibrio.

El sistema tiende a retornar a dicha posicin, bajo la accin de fuerzas de restitucin elsticas

o gravitacionales, movindose de un lado a otro

hasta alcanzar su posicin de equilibrio.



Vibraciones

Libres

Amortiguadas

No amortiguadas

Forzadas

Amortiguadas

No amortiguadas

Tipos de

vibraciones



Periodo de vibracin: Es el intervalo de tiempo necesario para que el sistema efecte un ciclo

completo de movimiento.

Frecuencia: Es el nmero de ciclos por unidad de tiempo.

Amplitud de vibracin: Es el desplazamiento mximo del sistema desde su posicin de

equilibrio.

Conceptos

generales


Definicin de vibracin libre

Una estructura est en vibracin libre cuando es perturbada de su posicin esttica de equilibrio y

comienza a vibrar sin la excitacin de fuerza externa

alguna.


Vibracin libre no amortiguada

El sistema de marco mostrado es sacado de su posicin de equilibrio por la aplicacin de una fuerza o un

desplazamiento, debido a las fuerzas de restitucin el

sistema entra en vibracin.

Este sistema puede reducirse a un solo grado de libertad para el anlisis dinmico, si se desprecian las

deformaciones axiales y se supone una viga de gran

rigidez.



La ecuacin que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no est

sometido a la accin de una fuerza externa es:

Donde por conveniencia n es la frecuencia natural o frecuencia circular natural en vibracin libre del sistema

y es igual a:

De acuerdo a la teora de ecuaciones diferenciales la ecuacin anterior es una EDH de segundo orden con

coeficientes constantes y su solucin es:



Donde A y B son constantes que se hallan a partir de las condiciones iniciales de desplazamiento y

velocidad:

Obtenindose por lo tanto:



El sistema presenta el siguiente comportamiento de desplazamiento contra tiempo:



A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar

un ciclo de vibracin libre es denominado periodo natural

de vibracin:

La frecuencia cclica natural de vibracin, es definida como el nmero de ciclos que se repiten en 1 segundo

de tiempo y su valor es:

Las propiedades de vibracin natural, dependen de la masa y rigidez de la estructura.



Si se hace una representacin vectorial del movimiento, puede obtenerse una ecuacin alterna para la solucin

de la EDH:



Esta ecuacin auxilindose de un ngulo de fase o de desfase es:

Que tiene como soluciones de sus constantes uo y :


Vibracin libre amortiguada

Si en el sistema anterior consideramos la perdida de energa en el tiempo, lo que tenemos ser un sistema

con amortiguacin viscosa:

El cual puede representarse por el siguiente modelo:



La ecuacin de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibracin libre es:

Dividiendo la ecuacin por la masa se obtiene:

Adems se ha introducido la razn de amortiguamiento crtico:

Y el coeficiente de amortiguamiento crtico:



Las soluciones de la ecuacin diferencial anterior depender de los valores que tome la razn de

amortiguamiento. As tenemos:

Sistema con amortiguamiento crtico =1 (c=ccr): El sistema retorna a su posicin inicial de equilibrio sin oscilar.

Sistema sobreamortiguado >1 (c>ccr): El sistema no oscila pero retorna a su posicin de equilibrio lentamente.

Sistema subamortiguado



El coeficiente de amortiguamiento crtico, ccr, es llamado as debido a que es un valor pequeo de c que inhibe

completamente la oscilacin y representa la lnea de

divisin entre el movimiento oscilatorio y mono oscilatorio.

Las estructuras civiles poseen una relacin de amortiguamiento



Los tipos de movimiento resultante en vibracin amortiguada dependen de los parmetros de amortiguamiento:



Para un sistema subamortiguado (con



La relacin entre el periodo natural sin amortiguamiento y con amortiguamiento viene dada por:

La relacin entre dos desplazamientos pico en un intervalo de tiempo TD es constante, y el decremento

logartmico est definido como el logaritmo natural de

esta cantidad y est dado por:

Sistema

subamortiguado



Y la relacin entre dos desplazamientos cuales quiera es:

El amortiguamiento tiene el efecto de reducir la frecuencia natural de n a d y aumentar el periodo natural de Tn a TD este efecto es despreciable para una

relacin de amortiguamiento por debajo del 20%.

Para la mayora de las estructuras ingenieriles d y TDson aproximadamente iguales a n y Tn.

Sistema

subamortiguado



El efecto del amortiguamiento en las vibraciones libres puede apreciarse en el siguiente esquema:

Sistema

subamortiguado

Vibraciones forzadas armnicas de sistemas con un grado de

libertad


de estructuras

Octubre de 2009

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Vibraciones libres

1. Introduccin

2. Sistema no Amortiguado con Carga Armnica


Resonancia

3. Sistema Amortiguado con Carga Armnica


Resonancia

Deformacin Mxima

Factores de Respuesta Dinmica

Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante

CONTENIDO


Introduccin

En vibraciones libres, las oscilaciones se inician por una perturbacin que da lugar a un

desplazamiento inicial o una velocidad inicial o

ambas cosas. Sin necesidad de fuerzas

externas al sistema durante el movimiento.

En vibracin forzada, una fuente externa sostenida es responsable de mantener la

vibracin.


Introduccin

Las vibraciones ms importantes desde el punto de vista de la ingeniera son las

vibraciones forzadas.

Las vibraciones forzadas ocurren cuando un sistema es sujeto a una

fuerza que cambia con el tiempo o un

desplazamiento que cambia con el

tiempo.


Introduccin

El estudio de la respuesta del sistema de un solo grado de libertad (SDF) a la accin de una

carga armnica establece bases para el

entendimiento de la respuesta de estructuras

ms complejas a excitaciones externas.

Se estudiar primero el caso de fuerzas que tienen comportamiento peridico, es decir

vibraciones forzadas armnicas.


Teora general

Un sistema bastante general puede ser representado de la siguiente manera.

El sistema aunque posea amortiguamiento no puede regresar a su posicin de equilibrio por la

presencia de la fuerza externa que siempre esta

presente en el sistema.


Teora general

Vibraciones

Libres

Amortiguadas

No amortiguadas

Forzadas

Amortiguadas

No amortiguadas

Tipos de

vibraciones


Sistema no Amortiguado Armnico

Ecuacin de Movimiento

Estableciendo p(t)=posent en la ecuacin diferencial general de movimiento se obtiene la siguiente ecuacin

por carga armnica para un sistema no amortiguado:

Donde po es la amplitud o valor mximo de la fuerza y es la frecuencia de excitacin.



La ecuacin anterior es una ecuacin diferencial de segundo orden no homognea y su solucin esta

compuesta por dos trminos:

El primer termino es la solucin particular que hace referencia a la situacin de estado permanente y el

segundo es la solucin complementaria que toma en

cuenta el estado transitorio. As tenemos:



La solucin total es la suma de ambas ecuaciones:

Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales:

Para condiciones iniciales en reposo y partiendo del origen:



Esta ecuacin contiene dos componentes de vibracin distintas:

El trmino sent para la oscilacin en frecuencia de excitacin; representa el estado permanente de vibracin

debido a que siempre est presente porque la fuerza aplicada

no depende de las condiciones iniciales.

Los trminos sennt y cosnt para la oscilacin en frecuencia natural del sistema; representan el estado

transitorio de vibracin que depende de u(0) (0) el cual existe

a pesar de que estos valores sean nulos. El trmino estado transitorio de vibracin se debe a que el amortiguamiento, siempre presente en sistemas reales, hace que la vibracin

libre decrezca en el tiempo.



El sistema presenta el siguiente comportamiento de desplazamiento contra tiempo:



Resonancia

Ignorando el efecto dinmico de la aceleracin se obtiene como resultado la deformacin esttica en cada

instante de tiempo:

Donde el mximo valor de esta deformacin es:.

Por lo que la respuesta dinmica del estado permanente, puede ser expresada como:



Graficando el factor entre corchetes de la ecuacin anterior contra la relacin de frecuencias, se tiene:



De esta grafica se puede observar que:

Para /n < 1 < n el factor es positivo indicando que u(t) y p(t) tienen el mismo signo, lo que significa que el

desplazamiento est en fase con la fuerza aplicada (el

sistema est desplazado en la misma direccin de la

fuerza).

Para /n > 1 > n el factor es negativo indicando que u(t) y p(t) tienen signos opuestos, lo que significa que el

sistema estar fuera de fase con la fuerza aplicada (el

sistema est desplazado en direccin opuesta a la fuerza).



La ecuacin anterior puede ser reescrita en trminos de la amplitud uo y el ngulo de fase :

De donde:

Donde el factor de deformacin o amplificacin Rd es la relacin de amplitud de deformacin vibratoria uo y la

deformacin esttica (ust)o debido a la fuerza po.

Por lo que se define la frecuencia resonante como aquella frecuencia de excitacin para la cual Rd es

mximo.



Para un sistema no amortiguado la frecuencia resonante es n siendo Rd infinito para esta frecuencia y la deformacin vibratoria crece indefinidamente,

volvindose infinita slo despus de un tiempo infinito.

Para esta condicin (n= ) la solucin particular falla y habr que buscar otra solucin para la ecuacin de

movimiento que para el caso la siguiente solucin cumple

su propsito:

Siendo la solucin total:



Para condiciones iniciales de reposo y partiendo del origen, se tiene:



En cada ciclo el incremento de la amplitud est dado por:

La interpretacin de este resultado terico para estructuras reales es que a medida que la deformacin

se incrementa, el sistema en algn punto en el tiempo

fallar si es frgil o ceder si es dctil.



Los dos tipos de comportamiento posibles a presentarse dependern del valor de la frecuencia natural:


Sistema Amortiguado Armnico

Ecuacin de Movimiento

Estableciendo p(t)=posent en la ecuacin diferencial general de movimiento se obtiene la siguiente ecuacin

por carga armnica para un sistema amortiguado:

Donde po es la amplitud o valor mximo de la fuerza y es la frecuencia de excitacin.

Esta es la forma ms completa de la ecuacin de movimiento (en carga armnica).



Tenemos siempre una ecuacin diferencial de segundo orden no homognea y su solucin nuevamente esta

compuesta por dos trminos:

Una solucin particular que hace referencia a la situacin de estado permanente y una solucin

complementaria que toma en cuenta el estado

transitorio. As tenemos como soluciones:



Siendo la solucin total:

Las constantes A y B son determinadas aplicando las condiciones iniciales. De igual manera para C y D

tenemos:



El sistema presenta el siguiente comportamiento de desplazamiento contra tiempo.



Resonancia

Para =n las constantes C y D son:

Las constantes A y B se obtienen a partir de condiciones iniciales en reposo uo=o =0 y para =n :

Luego la respuesta para un sistema amortiguado sujeto a carga armnica para =n :



Ecuacin que para amortiguamientos pequeos toma la forma de:

El incremento en amplitud uj despus de j ciclos de vibracin es determinado por la siguiente expresin:



Para un sistema con factor de amortiguamiento del 5% en resonancia se tiene:



Los dos tipos de comportamiento posibles a presentarse dependern nuevamente del valor de la frecuencia

natural:



Deformacin Mxima

La deformacin en el estado permanente del sistema debida a una carga armnica puede ser reescrita como:

Donde:

Luego:



Graficando valores de Rd en funcin de /n :

1 2



El amortiguamiento reduce a Rd y que tanto lo reduce depende de la frecuencia de excitacin:

Si /n > 1. Rd tiende a cero y no es afectada por el amortiguamiento (la fuerza est variando rpidamente).

Si /n 1. Rd es sensible al amortiguamiento, implicando que la deformacin dinmica puede ser ms grande que la

esttica.



Factores de Respuesta Dinmica

Los factores de respuesta dinmica hacen referencia a las respuestas en deformacin, velocidad y aceleracin.

Ya hicimos referencia a la respuesta en deformacin:

Si derivamos dos veces esta expresin obtenemos la respuesta en velocidad y aceleracin respectivamente:

Donde:



Graficando las respuestas dinmicas en funcin de /n:



Frecuencia Resonante y Respuesta Resonante

La frecuencia resonante est definida como la frecuencia de excitacin en la cual ocurre la amplitud

mxima de respuesta.

La frecuencia resonante es determinada estableciendo la primera derivada igual a cero en las respuestas

dinmicas respecto a la relacin de frecuencias para un



As tenemos las siguientes frecuencias resonantes:

Para desplazamiento:

Para velocidad:

Para aceleracin:

Para un sistema no amortiguado las tres frecuencias son iguales a la frecuencia angular.

Respuesta a carga dinmica general


de estructuras

Noviembre de 2009

4


Vibraciones libres

1. Introduccin

2. Integral de Duhamel

3. Solucin numrica de la integral de Duhamel

4. Mtodo de la aceleracin lineal

5. Espectros de respuesta

CONTENIDO


Introduccin

La vibracin armnica es un caso muy especial de vibraciones forzadas, pero no es ni muy

cerca el tipo de vibracin que encontramos con

frecuencia en la realidad de los sistemas

estructurales.

En los sistemas reales la fuente de excitacin por lo general presenta un comportamiento

catico (caso ssmico) u otra forma que no es

sinusoidal.


Introduccin

Se desarrollar un mtodo de carcter general para encontrar la respuesta de un

sistema dinmico ante una excitacin

cualquiera.

Para el desarrollo de este mtodo es necesario recordar el concepto de

impulso, que se relaciona con cargas

aplicadas en perodos de tiempo muy

cortos y que modifican la cantidad de

movimiento del sistema.


Integral de Duhamel

En la figura se muestra la forma en como varia una fuerza en el tiempo.

Si consideramos un impulso aplicado al sistema en el tiempo en un intervalo corto de tiempo d

el sistema altera su cantidad de movimiento

cambiando su velocidad.


Integral de Duhamel

La cantidad de movimiento se relaciona con la fuerza por medio de la siguiente ecuacin:

Ntese que en esta ecuacin de movimiento no aparece el termino ku, debido a que, como el

impulso se aplica en un infinitesimal de tiempo

la estructura no alcanza a reaccionar.

El incremento de velocidad es entonces:


Integral de Duhamel

El impulso aplicado genera una pequea vibracin libre considerada solo para esta

excitacin.


Integral de Duhamel

En vista de que la carga desaparece en un instante infinitesimal podemos considerar que

se producen vibraciones libres por la aplicacin

de cada uno de los impulsos.

Donde las condiciones iniciales pueden obtenerse a partir del cambio de velocidad y

posicin del sistema.

Tomando condiciones iniciales:


Integral de Duhamel

Tenemos la siguiente ecuacin:

En un sistema lineal podemos aplicar el concepto de superposicin y obtener la respuesta completa

sumando todos los impulsos:

Esta solucin se conoce con el nombre de Integral de Duhamel.


Integral de Duhamel

En un caso general donde:

La respuesta total del sistema sera sumar a la solucin anterior (particular) la solucin del

sistema homogneo (complementaria):

Que para un sistema amortiguado adquiere la forma:


Solucin numrica de la integral de Duhamel

En la practica pocas situaciones presentan un comportamiento que pueda permitir una

representacin por medio de una expresin

analtica explcita que facilite el clculo de la

integral de Duhamel.

Por esto es necesario recurrir a mtodos numricos para el clculo indirecto de la integral

que representan el impulso de las fuerzas.

Los mtodos de clculos aproximados de integrales mas usados son el mtodo de los

trapecios y el mtodo de Simpson.



El mtodo del trapecio se basa en interpolaciones lineales del comportamiento del

sistema.

El mtodo de Simpson en cambio hace una aproximacin cuadrtica del comportamiento

para calcular las integrales.

Ambos mtodos necesitan de una definicin de pasos de tiempo muy cercanos para lograr

presicin.



Si consideramos la parte de la solucin a la ecuacin de movimiento que contiene la integral

de Duhamel.

Buscando desacoplar los trminos en t y tenemos:

Con lo que podemos escribir:



Escribiendo la ecuacin anterior en forma compacta, tenemos:

Donde:

Con lo que la solucin de u(t) est ahora supeditada a resolver c(t) y s(t) por medio de la

obtencin de las integrales planteadas, tarea

que la podemos realizar por integracin

numrica.



Integracin numrica

Para obtener una integral cualquiera por integracin numrica:

Se procede a discretizar el intervalo [0,t] en subintervalos [0, 1], [ 1, 2], [ 2, 3], , [ n-1, n], espaciados y siendo n=t.

Con esto podemos obtener la integral dependiendo del mtodo seleccionado:



Integracin numrica

Mtodo de los trapecios:

Donde f( i ) es el valor del integrando f( ) en el

tiempo ti=i .

Mtodo de Simpson:

Donde n debe de ser par.



Dado que en dinmica estructural se necesita conocer la historia completa de la respuesta

para todo tiempo t en un rango determinado,

resulta conveniente plantear el clculo de las

integrales c(t) y s(t) en forma recurrente, lo que

significa que la respuesta para ti se expresa en

funcin de la respuesta en ti-1.

Esto es con la intencin de evitar el reclculo de sumas hechas en pasos anteriores.



Si llamamos ci y si a el valor de las integrales c(t)y s(t) en el instante ti ; fi y gi a el valor de los

integrandos p( )cos a y p( )sen a en t=i .

Para ambos mtodos las ecuaciones recurrentes

se expresaran como:

Mtodo de los trapecios:



Mtodo de Simpson:

Cabe mencionar que debido a la limitante de la regla de Simpson de que el nmero de intervalos debe ser par, es

mas comn hacer uso de la regla de los trapecios.



Progama en Matlab para resolver la integral de Duhamel por el mtodo de los trapecios:

function [t,d]=dtrapez(p,m,w,xi,dt)

%-------------------------------------------

% [t,d]=dtrapez(p,m,w,xi,dt)

%-------------------------------------------

% Calcula la integral de Duhamel (como respuesta

% de un sistema sencillo lineal) por la regla de

% los trapecios.

% Entradas:

% p: vector de carga externa

% m: masa del sistema

% w: frecuencia natural del sistema

% xi: fraccion de amortiguamiento viscoso

% dt: paso de tiempo

% Salidas:

% t: vector de tiempo

% d: vector de desplazamientos de respuesta

%--------------------------------------------

n=length(p);

tmax=dt*n;

t=linspace(0,tmax,n)';



wa=w*sqrt(1-xi^2);

f=p.*cos(wa*t);

g=p.*sin(wa*t);

f1=[0, f(1:n-1)];

g1=[0, g(1:n-1)];

pc=f1*exp(-xi*w*dt)+f;

ps=g1*exp(-xi*w*dt)+g;

pc=pc*dt/m/wa/2;

ps=ps*dt/m/wa/2;

for i=1:n

if i==1

c(i,1)=pc(i,1);

s(i,1)=ps(i,1);

else

c(i,1)=c(i-1,1)*exp(-xi*w*dt)+pc(i,1);

s(i,1)=s(i-1,1)*exp(-xi*w*dt)+ps(i,1);

end

end

d=c.*sin(wa*t)-s.*cos(wa*t);

figure

plot(t,d)

xlabel('Tiempo')

ylabel('Desplazamiento')

%--------------------------------------------

% Fin



Mtodo de la aceleracin lineal

Adems del mtodo de integracin desarrollado anteriormente, existen otras tecnicas para

evaluar la respuesta de sistemas dinmicos a

excitaciones generales de carga, una de ellas

es el mtodo de la aceleracin lineal, famoso or

su simplicidad y presicin.

La premisa de partida es que la aceleracin tiene un comportamiento lineal entre dos puntos

de anlisis cualesquiera.



Partiendo de la ecuacin de aceleracin por integraciones sucesivas encontramos las

ecuaciones de velocidad y desplazamiento

respectivamente.

En estas ecuaciones las constantes de integracin pueden determinarse grficamente

como los interceptos en el eje de las ordenadas,

para expresar estas en su forma explcita.



El siguiente esquema ilustra el mtodo:



Por ltimo resolvemos estas ecuaciones por mtodos numricos obteniendo las siguientes

expresiones.

Sustituyendo estas expresiones en la ecuacin de movimiento se obtiene:



Ecuacin que puede expresarse en la forma:

Donde:



El algoritmo en Matlab para su resolucin es el siguiente:

function [t,d,v,a]=dmaclin(p,m,w,xi,dt)

%-------------------------------------------

% [t,d,v,a]=dmaclin(p,m,w,xi,dt)

%-------------------------------------------

% Calcula la respuesta de un sistema sencillo

% lineal por el metodo de la aceleracion lineal

% Entradas:

% p: vector de carga externa

% m: masa del sistema

% w: frecuencia natural del sistema

% xi: fraccion de amortiguamiento viscoso

% dt: paso de tiempo

% Salidas:

% t: vector de tiempo

% d: vector de desplazamientos de respuesta

% v: vector de velocidad de respuesta

% a: vector de aceleracion de respuesta

%--------------------------------------------

n=length(p);

tmax=dt*n;

t=linspace(0,tmax,n);



d0=0;

v0=0;

a0=0;

%

k=m*w^2;

c=2*m*w*xi;

kbar=k+3*c/dt+6*m/(dt^2);

ikbar=1/kbar;

%

for i=1:n

p1=p(i,:);

dp=m*(6*d0/dt^2+6*v0/dt+2*a0);

dp=dp+c*(3*d0/dt+2*v0+dt*a0/2);

pbar=p1+dp;

d1=ikbar*pbar;

v1=3*(d1-d0)/dt-2*v0-dt*a0;

a1=6*(d1-d0)/dt^2-6*v0/dt-2*a0;

d(i,1)=d1;

v(i,1)=v1;

a(i,1)=a1;

d0=d1;

v0=v1;

a0=a1;

end

%



figure

plot(t,d)

xlabel('Tiempo')

ylabel('Desplazamiento');

figure

plot(t,v)

xlabel('Tiempo')

ylabel('Velocidad');

figure

plot(t,a)

xlabel('Tiempo')

ylabel('Aceleracion');

%--------------------------------------------

% Fin


Espectros de Respuesta

De forma similar que en el anlisis esttico de estructuras, en dinmica estructural tambin

resulta de inters las respuestas mximas de los

sistemas, dado que estas gobiernan los diseo.

Los espectros de respuesta son grficos que recogen las respuestas mximas de sistemas

sencillos de un grado de libertad para diferentes

perodos con igual fraccin de amortiguamiento

ante una excitacin dada.



Aunque se deducen para sistemas sencillos la aplicacin de los espectros de respuesta

transciende a sistemas de varios grados de

libertad, pues en estos existen perodos

dominantes que pueden tomarse como base

para lectura de la respuesta.

Las respuestas que se grafican contra el perodo (o ya sea contra la frecuencia) puede

ser cualquier respuesta, aunque las mas

usuales son desplazamiento, velocidad y

aceleracin.



De acuerdo a lo expresado hasta aqu, necesitamos varios SDOF con diferentes T a un

mismo .



Podemos definir los espectros de acuerdo a los parmetros de los cuales dependen as:

As tenemos que el espectro en desplazamiento por ejemplo es una funcin de , T y p(t), y la funcin se define como el mximo

desplazamiento calculado.



Debe de tenerse el cuidado en el caso del espectro de aceleracin, que si calculamos el

efecto ssmico en base a la aceleracin del

suelo, la aceleracin utilizada debe ser la

absoluta:

A manera de ejemplo se muestran los espectros de desplazamiento, velocidad y aceleracin para

un sismo en Japn en la regin de Tokachi-oki,

con perodos comprendidos entre 0.05 y 3

segundos para varios .



Puede demostrarse que los espectros de respuesta ssmico cumplen las siguientes

relaciones:

Se muestra a continuacin una funcin en Matlabpara construir espectros de respuesta en funcin

de la aceleracin del terreno.



Adems de todo esto debe mencionarse que existen espectros de respuesta suavizados

llamados seuodo espectros y espectros de

respuesta linealizados o paramtrizados

llamados espectros de diseo.

La forma de crear estos espectros son temas propios de la ingeniera ssmica, por lo que no se

abordan aqu. Aunque si se puedan utilizar o

aplicar como datos de entrada en anlisis

ssmico en dinmica de estructuras.

Sistemas con varios grados de libertad


de estructuras

Noviembre de 2009

5


Vibraciones libres

1. Introduccin

2. Ecuacin de movimiento

3. Respuesta dinmica

4. Mtodo matricial

5. Mtodo numrico

6. Mtodo iterativo

CONTENIDO


Introduccin

Un sistema de varios grados de libertad es aquel en el cual su movimiento se

caracteriza por un numero finito de

puntos o nodos, con los cuales dicho

movimiento puede ser definido o

representado.


Introduccin

Se debe de diferenciar estos sistemas de mltiples grados de libertad de los sistemas

continuos, que poseen infinitos grados de

libertad.


Introduccin

Se examinarn las propiedades estructurales bsicas, para sistemas de mltiples grados de

libertad.

Se plantear la ecuacin de movimiento que nos obliga a un anlisis de tipo matricial.

Se obtendrn las matrices de masas y de rigidez relacionadas a sistemas que pueden ser

modelados como vigas de cortante.



Sea el siguiente sistema de 2 grados de libertad:

Haciendo DCL para cada carro tenemos:



Esto nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones de movimiento:

Ordenando estas ecuaciones tenemos:

Sistema que puede expresarse matricialmente:



Donde:

Evidentemente no se ha incluido ningn tipo de amortiguamiento en el sistema.



Esta ecuacin de movimiento puede escribirse de forma completa, de acuerdo a varias

simbologas adecuadas:


Respuesta dinmica

Viga de Cortante

El concepto de viga de cortante es muy importante en dinmica de estructuras, dado

que permite simplificar los modelos de una

manera aceptable sin perdida sustancial de

exactitud en el clculo de su respuesta.

Imaginemos que el siguiente marco puede representarse por el modelo de dos grados de

libertad que se muestra.


Respuesta dinmica

Esta simplificacin ser posible siempre que existan ciertas condiciones en el marco, como

por ejemplo, que posea diafragmas rgidos y

que puedan despreciarse las deformaciones

axiales en los elementos.


Respuesta dinmica

Si para la matriz de rigidez k se define el elemento kij como la fuerza aplicada en el grado

de libertad i cuando en j tiene lugar un

desplazamiento unitario, siendo todos los dems

desplazamientos iguales a cero.

k11

k21

k1

k2

1

2


Respuesta dinmica

De acuerdo a lo anterior, para provocar un desplazamiento unitario en el piso 1 se requiere

una fuerza en dicho piso igual a:

Y en el piso 2:


Respuesta dinmica

De forma similar, para provocar un desplazamiento unitario en el piso 2 se requiere

una fuerza en dicho piso igual a:

Y en el piso 1:


Respuesta dinmica

Resumiendo tenemos:


Respuesta dinmica

Este modelo se denomina de cortante, debido a que si consideramos solo la condicin esttica,

tenemos:

La fuerza cortante acumulada por nivel, sera:

Y el desplazamiento relativo de un nivel respecto al otro:


Respuesta dinmica

Lo cual indica que la deriva de piso es igual a la fuerza cortante dividida por la rigidez.

Ecuacin guarda estrecha relacin con la ecuacin de esfuerzo cortante que da la

resistencia de materiales:


Respuesta dinmica

Generalizando para un sistema de varios grados de libertad tenemos:


Respuesta dinmica

Anlisis modal

Para determinar la respuesta dinmica de una estructura de varios grados de libertad se puede

utilizar el procedimiento de anlisis modal.


Respuesta dinmica

El mtodo consiste en obtener la respuesta mxima por separado para cada modo, modelando cada

uno como un sistema de simple grado de libertad.

Dado que los valores mximos no ocurren simultneamente, estos son combinados

estadsticamente para obtener la respuesta total

(SRSS, CQC, etc.)

El anlisis modal puede ser enfocado mediante mtodos matriciales, numricos o mtodos

iterativos.


Mtodo matricial

Como la respuesta dinmica de una estructura depende de la frecuencia o periodo de vibracin

y de la forma desplazada (forma modal), el

primer paso en un anlisis de un sistema de

varios grados de libertad es encontrar las

frecuencias y las formas modales de vibracin

libre.

En este caso no existen fuerzas externas y no hay amortiguamiento, es decir, tenemos un

sistema de varios grados de libertad en

vibracin libre sin amortiguamiento.


Mtodo matricial

Cada grado de libertad dinmico provee una ecuacin de equilibrio dinmico, la vibracin

resultante del sistema consiste de n ecuaciones,

por lo tanto tenemos:

Esta ecuacin se corresponde con la siguiente historia de desplazamientos:


Mtodo matricial

La vibracin libre descrita grficamente por las grficos de u-t de un sistema no amortiguado en

uno de sus modos de vibracin natural puede

describirse matemticamente por:

Donde n, es un vector con la configuracin deformada o amplitud relativa de movimiento,

que no varia con el tiempo; y la variacin del

desplazamiento con el tiempo esta descrita por

una funcin armnica:


Mtodo matricial

Es decir que:

En base a esto tenemos:

O en forma alternativa:

Esta expresin es una representacin de la ecuacin de autovalores; la cual tiene una

solucin no trivial slo si el determinante de los

coeficientes es igual a cero.


Mtodo matricial

Es decir que las frecuencias naturales n(escalar) y los modos n (vector) deben satisfacer la siguiente ecuacin:

El desarrollo del determinante conduce a un polinomio de grado n en (n)

2, las races del

cual son los autovalores.


Mtodo matricial

Sustituyendo stos autovalores en la ecuacin previa a la del determinante, se obtienen los

autovalores para cada modo. A partir de los

autovalores se obtienen los periodos naturales

correspondientes y se pueden obtener las

aceleraciones espectrales a partir de una curva

de respuesta apropiada.


Mtodo matricial

Matriz modal y espectral

Los n autovalores y los n modos pueden ser acoplados en forma matricial.

El modo natural o autovector n correspondiente a la frecuencia natural n tiene elementos jn, donde j indica el DOF.

De este modo los n autovectores pueden presentarse o disponerse en una matriz

cuadrada, de la cual cada columna es un modo.


Mtodo matricial

La siguiente es la llamada matriz modal [] :

Los n autovalores n2 pueden ser acoplados en

una matriz diagonal 2, la cual es conocida como matriz espectral.


Mtodo matricial

Cada autovalor y autovector satisfacen la ecuacin de autovalores que puede ser

reescrita como:

Utilizando la matriz modal y espectral es posible reunir todas las ecuaciones (por cada autovalor)

en una sola ecuacin matricial simple:


Mtodo matricial

Ortogonalidad de los modos

Los modos naturales correspondientes a diferentes frecuencias naturales se muestran a

continuacin para satisfacer la siguiente

condicin de ortogonalidad. Cuando nr

La demostracin de esta propiedad es la siguiente:

Anlogamente:


Mtodo matricial

Haciendo uso de la propiedad de simetra de la matriz de masa y rigidez. La transpuesta de la

matriz en el lado izquierdo es igual a la

transpuesta de la matriz en el lado derecho de

la primera ecuacin; de esta forma:

Restando las dos ecuaciones anteriores, tenemos:


Mtodo matricial

Se ha establecido la relacin de ortogonalidad entre modos con distintas frecuencias. La

ortogonalidad de los modos naturales implica

que las siguientes matrices cuadradas son

diagonales:

Donde los elementos de la diagonal son:


Mtodo matricial

Normalizacin de los modos

Usualmente se aplica factores de escala a los modos naturales para estandarizar sus

elementos asocindolos con sus amplitudes en

varios grados de libertad. Este proceso es

llamado normalizacin.

Algunas veces es conveniente normalizar cada modo de tal forma que el elemento mayor sea la

unidad. Otras ocasionas se aplica una regla de

normalizacin diferente.


Mtodo matricial

En teora de dinmica estructural y programas computacionales es comn normalizar los

modos de tal manera que mn tenga valores

unitarios:

Los componentes de la matriz modal normalizada estn dados por:


Mtodo matricial

Donde:

jn= es el componente para el nudo j, de la forma modal

normalizada asociada al modo n.

mjj= masa concentrada en el nudo j.

ujn= el componente, para el nudo j, del autovector

asociado con el modo n.


Mtodo matricial

Factor de participacin

Las ecuaciones de movimiento para cada grado de libertad no dependen de los modos de

vibracin y tienen forma similar a la ecuacin de

movimiento de un sistema de un solo grado de

libertad.

El factor de participacin, para sistemas de varios grados de libertad esta definido en forma

matricial por:


Mtodo matricial

Donde:

[P]= vector de coeficientes de participacin para todos

los modos considerados

{1}= vector unitario.

La matriz de mximos desplazamientos esta definida por:


Mtodo matricial

Donde:

[D] = matriz diagonal de desplazamiento espectral.

[V] = matriz diagonal de velocidad espectral.

[A] = matriz diagonal de aceleracin espectral.

La matriz de fuerzas laterales en cada nudo del sistema esta dada por:

El vector de fuerzas cortantes en la base esta dado por:


Mtodo numrico

Para facilitar el procedimiento del anlisis modal se puede utilizar mtodos numricos.

Para un modo de vibracin dado el factor de participacin est definido por:

Donde:

Mi = masa correspondiente al nivel i.

i = componente de la forma modal para el nudo i para

un modo dado.

M = masa modal = Mii2


Mtodo numrico

La masa efectiva est definida por:

De forma similar el peso efectivo es definido por:

La aceleracin pico en el nudo est definida por:

El desplazamiento mximo en el nudo es:


Mtodo numrico

La fuerza lateral en el nudo est dada por la ley de Newton:

La cortante basal y la fuerza lateral en cada nudo pueden determinarse de la manera

siguiente:

Para autovectores normalizados:


Mtodo iterativo

Para edificios de pocos niveles, que no excedan a cinco plantas, el anlisis modal puede

limitarse al modo fundamental.

El sistema estructural puede ser modelado como un prtico con losas de entre piso rgidas.

Los desplazamientos laterales de los nudos son entonces el resultado de la flexin de las

columnas sin incluir rotacin en los nudos.


Mtodo iterativo

La rigidez de un nivel en particular esta dada por:

La masa en cada nivel se asume concentrada en las losas de entre piso.


Mtodo iterativo

Se han desarrollado tcnicas iterativas basadas en mtodos propuestos por Rayleigh, Stodola y

Holzer.

A continuacin se presenta una adaptacin del mtodo de Holzer.

Cuando un nudo alcanza su desplazamiento lateral mximo ui, la velocidad es cero y la

fuerza de inercia en el nudo est dada por:


Mtodo iterativo

El incremento en la fuerza de corte en el nudo es producido por la fuerza de inercia en ese

nivel.

El incremento de la fuerza cortante esta dado por:

Donde:

k = fuerza cortante total en el nivel i.

Igualando la fuerza de inercia y el incremento de la fuerza cortante se tiene:


Mtodo iterativo

La solucin de esta ecuacin se puede obtener de la siguiente manera:

1. Asumiendo una forma modal inicial con un desplazamiento unitario

en el nivel superior; a partir del cual se calcula la fuerza de inercia o

el incremento de fuerza cortante en trminos de la frecuencia

natural, en cada nivel.

2. Sumando el incremento de fuerza cortante a partir del nivel superior

hacia abajo se tiene la fuerza cortante total en cada piso. Dividiendo

este valor por la rigidez apropiada de cada nivel se obtiene el

desplazamiento (deriva) de cada piso.

3. Dividiendo estos desplazamientos por el desplazamiento en la parte

superior de la estructura se obtiene la forma modal corregida.

4. Esta forma modal corregida puede ser usada como una nueva

forma modal inicial en el proceso de iteracin hasta que coincidan la

forma modal corregida con la inicial.

Dinamica01Dinamica02Dinamica03Dinamica04Dinamica05

conceptos básicos de dinámica estructural.pdf

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