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Cátedra de Matemática Nº 2 “Enrich-Creus-Carnicero”

FAU – UNLP 1

Links del curso “Matemática Aplicada” de la Cátedra de Matemática ECC, FAU (UNLP).

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https://matematicaecc.wordpress.com/segundo-ano/

1. Introducción

Comencemos aclarando a qué acepción de la palabra superficie se refiere el tema que vamos a desarrollar en esta Unidad. Dice el Diccionario de la Real Academia Española cuando consultamos el término superficie, en sus acepciones 4 y 5: 4. f. Fís. Magnitud que expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones, largo y ancho. Su unidad en el Sistema Internacional es el metro cuadrado (m2).

5. f. Geom. Extensión en que solo se consideran dos dimensiones. Pero, precisamente (o tal vez, casualmente), entre las acepciones especiales aparece: Superficie cilíndrica:

1. f. Geom. Superficie en tres dimensiones generada por una recta que se mueve paralelamente a sí misma y recorre una curva dada. Esto nos muestra que cuando, en el lenguaje cotidiano, hablamos de superficie estamos refiriéndonos a una extensión en dos dimensiones que por lo tanto es plana, por ello si queremos referirnos a una extensión en tres dimensiones le agregamos “en 3D” y en ese caso nos referimos a un conjunto de puntos que no pertenecen a un plano, que pueden definirse matemáticamente por expresiones algebraicas (ya sean funciones o no). Algunas de ellas son:

CM2 ENRICH – CREUS – CARNICERO Nivel 2

Unidad 2 │ Apunte Superficies en 3D │ 2015


FAU – UNLP 2

Los tres primeros ejemplos forman parte del grupo de superficies en 3D que estudiaremos a continuación. Entonces: cuando decimos superficies en 3D nos referimos a una serie de superficies tridimensionales que quedan definidas matemáticamente por una ecuación, que determina la ubicación de cada uno de sus puntos. Todas ellas tienen amplia historia de aplicación en diseños arquitectónicos y por eso pretendemos que aprendas algunos de los conceptos geométricos y algebraicos asociados a ellas y que nos parecen más importantes para que puedas utilizarlas con mayor solvencia, como elementos de diseño. Estudiaremos, en especial, algunas de las superficies cuádricas, llamadas así por estar definidas por ecuaciones de segundo grado en tres variables1, aunque también analizaremos las superficies cilíndricas que se definen con otro tipo de ecuaciones, que no son necesariamente expresiones cuadráticas. Por tratarse de ecuaciones en 3 variables, su gráfica pertenece al espacio tridimensional que, en Matemática, denominamos R3 (te sugerimos recurrir al apunte de conocimientos previos de superficies 3D para repasar cómo se representan los puntos del espacio tridimensional). Definiremos las superficies a partir de su ecuación. De los posibles tipos de ecuación sólo nos dedicaremos a su forma canónica2. De todas las superficies 3D existentes, en este curso estudiaremos: elipsoide, hiperboloides, paraboloides, conos y cilindros. Con relación a la importancia de su estudio en esta carrera, queremos señalar que la arquitectura recurre al uso de superficies por motivos estéticos, funcionales o técnicos. Al estudiar cada una de las citadas más arriba, te daremos ejemplos gráficos de su aplicación específica. El desarrollo del tema se efectuará alrededor del estudio de cada superficie, que consta de los pasos que consignamos en el párrafo siguiente:

Estudio de una superficie en 3D

Llamamos estudio de una superficie al proceso por el cual, a partir de la ecuación de la

superficie dada (en coordenadas cartesianas), podemos deducir ciertas características

geométricas de la misma. Dicho de otro modo, podemos encontrar mayor información sobre la

superficie que queremos conocer al intersecarla o “cortarla” con ciertas rectas y/o planos

convenientes.

En este texto, analizaremos superficies centradas en el origen de coordenadas, o en algún otro

punto cercano al mismo. Se buscarán las intersecciones con los planos coordenados y con

planos paralelos a dichos planos.

Es decir, el análisis implica:

- Determinación de las intersecciones con los planos coordenados (trazas).

- Determinación de las intersecciones con planos paralelos a los planos coordenados.

- Determinación de los elementos de la superficie.

1 Stewart, J. (2006). “Cálculo, conceptos y contextos”. México. Thomson. Cap. 9.

2 Tal como se vio en Cónicas, la ecuación se llama canónica porque contienen constantes (cánones) que definen

el aspecto de su forma.


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Los dos primeros ítems, sirven de base para la resolución del último. Pero antes de comenzar con el estudio de las superficies, es necesario que recordemos lo siguiente, ya que lo utilizaremos en todos los análisis.

>> Algunas cuestiones importantes:

1. En toda la Unidad 2, trabajaremos con los puntos que se detallan abajo (Para (a) y (b), te recomendamos que mires el archivo de conocimientos previos de superficies 3D, así podrás ampliar este repaso).

(a) Ecuaciones de los planos coordenados Plano xy: z = 0 Plano xz: y = 0 Plano yz: x = 0

(b) Ecuaciones de planos paralelos a los planos coordenados

Planos paralelos al plano xy: z = k con k ∈ R

Planos paralelos al plano xz: y = k con k ∈ R

Planos paralelos al plano yz: x = k con k ∈ R

(c) ¿Qué significa hallar una intersección? En matemática, significa encontrar los puntos que tienen en común dos entidades. Estos pueden hallarse por medio del sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de esas dos entidades (que pueden ser curvas, superficies, rectas, etc.). La resolución del sistema puede ser analítica o gráfica. A modo de ejemplo, dadas la ecuación de una parábola de ecuación y = x2 y de una recta de ecuación y = 2x, la búsqueda de su intersección se expresa como sigue y, hallarla, implica resolver el sistema:

=

=

xy 2

xy 2

2. ¿Qué es una superficie de revolución? Es toda aquélla que puede generarse al rotar una curva o una recta, alrededor de un eje, llamado eje de rotación. En ese caso, las secciones perpendiculares al eje de rotación son circunferencias.

3. ¿Qué es una superficie reglada? Cuando la superficie puede generarse por el desplazamiento de una recta sobre los puntos de una curva. Recta y curva no son coplanares3. Dicho de otro modo: la superficie está formada por infinitas rectas (es decir, por cada uno de sus puntos pasa por lo menos una recta que está contenida enteramente en la superficie).

3 Coplanares son los elementos geométricos que pertenecen o están contenidos en un mismo plano.


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2. Elipsoide

En la figura siguiente se presentan obras construidas con diferentes tecnologías y materiales, donde un elipsoide completo o fragmentos de éste forman parte de su diseño.

Teatro Nacional. Beijing.

Paul Andreu / 2007 Géode de la Villette. París.

Adrien Fainsilber / 1985 Huevo de los Vientos. Tokio

Toyo Ito / 1991

Definición Un elipsoide es el conjunto de puntos del espacio R3 que satisface la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−

+−

+−

c

z

b

y

a

x γβα Ecuación canónica general del elipsoide

Dónde a, b y c son constantes reales positivas, y α, β y γ son las coordenadas del centro de la

superficie: C(α ; β ; γ).

Estudio del elipsoide Para descubrir su forma (que ya anticipamos con los ejemplos de las obras mostradas) efectuaremos cortes con algunos planos, que luego definiremos. Para simplificar el análisis, tomaremos un elipsoide cualquiera y un sistema de ejes cartesianos xyz, cuyo origen (0;0;0) coincida con el centro de la superficie. Esto último significa

que α = 0, β = 0 y γ = 0, por lo que su ecuación es de la forma:

12

2

2

2

2

2

=++c

z

b

y

a

x

Los cortes que permitirán encontrar las ecuaciones que definen el tipo de intersección, de modo de ir esbozando la forma de la superficie a realizar, son:

1) Con los planos del sistema de coordenadas (trazas) 2) Con planos paralelos a los planos coordenados


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A modo de ejemplo, consideremos el elipsoide definido por la siguiente ecuación:

19259

222

=++zyx

; donde a2 = 9 , b2 = 25 , c2 = 9

La intersección de la superficie con el plano xz (cuya ecuación es y = 0) se indica:

=

=++

0

19259

222

y

zyx

Dado que no conocemos la forma del elipsoide, sólo podemos hallar la intersección en forma analítica. Hallarla, implica resolver el sistema de ecuaciones como indicamos a continuación:

1925

0

9

222

=++zx

� 199

22

=+zx

� 922 =+ zx

Entonces:

=

=+

0

922

y

zx

La intersección obtenida es una circunferencia de radio 3 contenida en el plano xz, tal como se visualiza en la figura que sigue:

Plano xz y curva intersección en 3D Curva intersección en 2D

Si ahora cortamos la superficie con el plano yz, el correspondiente sistema de ecuaciones, es:

=

=++

0

19259

222

x

zyx


FAU – UNLP 6

Al resolverlo verás que se obtiene una elipse como intersección. Dicha elipse está contenida en el plano yz, siendo su ecuación:

=

=+

0

1925

22

x

zy

El resultado gráfico se muestra en la figura:

Plano yz y curva intersección en 3D Curva intersección en 2D

Por último, si cortamos al elipsoide con el plano xy, la ecuación de la elipse resultante es:

=

=+

0

1259

22

z

yx

El resultado gráfico es:

Plano xy y curva intersección en 3D Curva intersección en 2D


FAU – UNLP 7

Al cortar a la superficie con planos paralelos a los del sistema de coordenadas: x = k ó y = k ó z = k, se observa que:

cuando el valor absoluto de k es menor que a, b o c respectivamente, todas las intersecciones son elipses

cuando el valor absoluto de k es igual a las constantes a, b o c respectivamente, la intersección obtenida en cada caso es un par de puntos

Con todas las intersecciones halladas, hemos obtenido que la forma del elipsoide es:

Elementos del elipsoide De la ecuación canónica, es posible extraer información importante sobre la superficie:

(i) las coordenadas del centro

(ii) la longitud de los ejes

(iii) el eje principal

Busquemos, entonces, los elementos del elipsoide tomado como ejemplo:

19259

222

=++zyx

(i) Ya se ha mencionado que el centro es el punto C(0;0;0), dado que α = β = γ = 0. (ii) Veamos ahora las distintas vistas de la superficie:

De frente al plano xz De frente al plano yz De frente al plano xy


FAU – UNLP 8

Claramente, pueden determinarse tres ejes de simetría para el elipsoide. Cada uno de ellos, es un segmento paralelo a uno de los ejes coordenados. Entonces:

2a = eje paralelo al eje x → para el ejemplo tomado: 2a = 6

2b = eje paralelo al eje y → para el ejemplo tomado: 2b = 10

2c = eje paralelo al eje z → para el ejemplo tomado: 2c = 6 Si llamamos semiejes a las distancias a, b y c (la mitad del segmento al que hemos denominado eje) entonces tenemos: a = 3 ; b = 5 ; c = 3 Estos valores, elevados al cuadrado, son los que aparecen en los denominadores de la ecuación que estamos analizando. (iii) El eje de simetría principal o, simplemente, eje principal, está dado por la mayor de las constantes a, b y c. Para el ejemplo se tiene, por un lado, que b > a y b > c; y por otro lado, que la constante b acompaña a la variable y. Por lo tanto, el eje principal de la superficie es el eje de simetría que tiene la dirección del eje y. Es necesario aclarar que no siempre es posible determinar el eje principal del elipsoide, como veremos más adelante.

>> Observación:

El elipsoide tomado como ejemplo es una superficie de revolución, ya que al rotar la elipse

de ecuación 1259

22

=+yx alrededor del eje y, se genera el elipsoide. Por esta razón, al

cortarlo con planos perpendiculares a dicho eje, las secciones son circunferencias.

Aclaraciones para todas las superficies estudiadas en la Unidad 2

Los semiejes a, b y c serán llamados simplemente “constantes a, b y c”. Para la ecuación canónica tomaremos la siguiente convención: la constante

a acompaña siempre a la variable x, b acompaña a la variable y, c a la variable z.

Análisis de la variación de forma del elipsoide según el valor de sus constantes Analicemos los distintos elipsoides que se muestran a continuación.

Elipsoide 1

14925

222

=++zyx

Sus elementos son:

- C(0;0;0) - a = 5 ; b = 3 ; c = 2 - El eje principal es paralelo al eje x

Los diferentes cortes del mismo son:


FAU – UNLP 9

Vista de frente al plano xy

Vista de frente al plano xz

Vista de frente al plano yz

Elipsoide 2

( ) ( )1

36

3

9

4

4

222

=−

+−

+zyx

Sus elementos son:

- C(0;4;3) - a = 2 ; b = 3 ; c = 6 - El eje principal es paralelo al eje z

Las vistas de este elipsoide son:

Vista de frente al plano xy Vista de frente al plano xz Vista de frente al plano yz


FAU – UNLP 10

Elipsoide 3

( )1

4

7

49

222 =

−++

zyx

Sus elementos son:

- C(0;0;7) - a = 1 ; b = 7 ; c = 2 - El eje principal es paralelo al eje y

Las vistas son:



Vista de frente al plano yz

Como podrás ver, la forma del elipsoide puede ser muy variada y los cambios morfológicos dependen de los valores de a, b y c. Analicemos un caso más.

Elipsoide 4

199

)3(

9

)5( 222

=+−

+− zyx

Sus elementos son:

- C(-5;3;0) - a = b = c = 3 - No puede determinarse el eje principal

Dado que a = b = c se obtiene una esfera, que es un caso particular de elipsoide. Es decir: el hecho de que los valores de las tres constantes sean iguales significa que, si nos movemos a partir del centro de la superficie en todas las direcciones, siempre estaremos a una distancia constante que llamaremos radio r (r cumple que r = a = b = c).


FAU – UNLP 11

La ecuación de la esfera es, entonces:

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−

+−

+−

r

z

r

y

r

x γβα

Generalmente, esta expresión se escribe así:

( ) ( ) ( ) 2222rzyx =−+−+− γβα

Ecuación canónica general de la esfera

Siendo r el radio de la esfera, r > 0, y C(α ; β ; γ) el centro de la superficie. Si se corta a esta superficie con un plano cualquiera, en particular con planos paralelos a los planos coordenados, siempre se obtendrán circunferencias como intersección (o un punto, en el caso en que el plano sea tangente a la esfera).


FAU – UNLP 12

3. Hiperboloides

3.1. Hiperboloide de una hoja

Puente peatonal de Manchester. Inglaterra / Hodder / 1999

Asamblea de Chandigarh. India / Le Corbusier / 1952

En las fotografías anteriores, hemos presentado ejemplos del uso de esta superficie en Arquitectura. Analicemos las características de la misma.

Definición Un hiperboloide de una hoja es el conjunto de puntos del espacio R3 que satisface la siguiente ecuación:


FAU – UNLP 13

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−

−−

+−

c

z

b

y

a

x γβα

Ecuación canónica general del hiperboloide de una hoja, de eje paralelo al eje z

Donde a, b y c son constantes reales positivas, mientras que α, β y γ son las coordenadas del

centro de la superficie: C(α ; β ; γ).

Estudio del hiperboloide de una hoja Tal como vimos en Elipsoide, la determinación de la forma de la superficie puede obtenerse por medio de su estudio geométrico. Tomemos como ejemplo el siguiente hiperboloide de una hoja, centrado en el origen de coordenadas de un sistema cartesiano tridimensional:

Cortemos, entonces, la superficie con los tres planos coordenados y analicemos las intersecciones obtenidas. Comencemos con el plano xz:

=

=−+

0

1949

222

y

zyx

Al resolver:

194

0

9

222

=−+zx

� 199

22

=−zx

La intersección resulta ser la hipérbola

=

=−

0

199

22

y

zx, de eje real es paralelo al eje x:

Este resultado se muestra en las figuras siguientes:

1949

222

=−+zyx


FAU – UNLP 14


A continuación, se muestra la intersección con el plano yz:

=

=−+

0

1949

222

x

zyx

Nuevamente, la intersección resulta ser una hipérbola, ahora de eje real es paralelo al eje y, contenida en el plano yz.

La ecuación de esta curva es

=

=−

0

194

22

x

zy, y las gráficas se muestran a continuación:

Plano yz y curva intersección en 3D Curva intersección en 2D Por último, cortemos al hiperboloide con el plano xy:


FAU – UNLP 15

=

=−+

0

1949

222

z

zyx

En este caso, la intersección resulta ser una elipse de ecuación

=

=+

0

149

22

z

yx


Si además determinamos las intersecciones con los planos paralelos a los planos coordenados, estas son:

=

=−+

ky

zyx1

949

222

=

=−+

kx

zyx1

949

222

=

=−+

kz

zyx1

949

222

Se obtendrá: en los dos primeros casos, que las secciones son hipérbolas y en el último, elipses. Por lo tanto, en base a todo el análisis efectuado, podemos deducir que la superficie en estudio tiene la siguiente gráfica:


FAU – UNLP 16

Elementos del hiperboloide de una hoja De la ecuación canónica, es posible extraer los elementos la superficie:

(i) las coordenadas del centro (ii) los valores de las constantes (iii) el eje principal (iv) la elipse garganta

Busquemos, entonces, los elementos del hiperboloide tomado como ejemplo:

1949

222

=−+zyx

(i) α = 0 ; β = 0 ; γ = 0 ⇒ centro en C(0;0;0)

(ii) Los valores de las constantes son: a = 3 ; b = 2 ; c = 3 4

(iii) Su eje principal es paralelo al eje z (como puede verse en su gráfica).

Ahora bien, el eje principal del hiperboloide puede ser paralelo al eje x o al eje y. En estos

casos, las ecuaciones canónicas son:

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−

+−

+−

−c

z

b

y

a

x γβα

Ecuación canónica general del hiperboloide de una hoja de eje paralelo al eje x

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−

+−

−−

c

z

b

y

a

x γβα

Ecuación canónica general del hiperboloide de una hoja de eje paralelo al eje y

Fijate que en las tres ecuaciones canónicas posibles para esta superficie, la variable que

aparece en el término negativo es la que determina el eje del mismo.

(Para esta superficie siempre es posible determinar el eje principal, a diferencia de lo que

ocurre con el elipsoide). (iv) La elipse garganta es la elipse contenida en el plano P, perpendicular al eje principal, que tiene semiejes coincidentes con dos de las constantes de la ecuación canónica del hiperboloide de una hoja. Dicho de otro modo: cuando se corta al hiperboloide con un plano perpendicular al eje principal y la intersección obtenida es una elipse cuyos semiejes coinciden con dos de las constantes de la ecuación de la superficie, se trata entonces de la elipse garganta.

4 Recordá que llamaremos “a” a la constante que acompaña a x, “b” a la constante que acompaña a y; “c” a la

constante que acompaña a z.


FAU – UNLP 17

Recordemos que, cuando intersectamos al hiperboloide tomado como ejemplo con planos paralelos al plano xy (que son perpendiculares al eje principal), obtuvimos elipses como intersección.

La figura muestra al hiperboloide de una hoja cortado con tres planos perpendiculares al eje, y a las elipses obtenidas como intersección en cada caso.

Plano z = 0 Plano z = -4 Plano z = -7

Comparando la ecuación de la elipse contenida en el plano z = 0 con la del hiperboloide, se observa que coinciden en los valores de las constantes a y b:

=

=+

0

149

22

z

yx

Ecuación de la elipse garganta a = 3 ; b = 2

1949

222

=−+zyx

Ecuación del hiperboloide de una hoja a = 3 ; b = 2 ; c = 3

Por lo que dicha elipse, es la elipse garganta de la superficie. Fijate, además, que la elipse garganta cumple que es la menor de entre todas las elipses que pueden obtenerse al cortar al hiperboloide de una hoja con planos perpendiculares al eje principal.


FAU – UNLP 18

3.2. Hiperboloide de dos hojas

Por tratarse de la superficie que menos ha sido aplicada en Arquitectura, sólo te daremos

algunos detalles sobre la misma, sin entrar en su estudio. Las siguientes ecuaciones corresponden a hiperboloides de dos hojas, de constantes positivas

a, b y c y centro en el punto C(α;β;γ):

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−

−−

−−

c

z

b

y

a

x γβα

Ecuación canónica general del hiperboloide de dos hojas de eje

paralelo al eje x

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−

−−

+−

−c

z

b

y

a

x γβα


paralelo al eje y

( ) ( ) ( )1

2

2

2

2

2

2

=−

+−

−−

−c

z

b

y

a

x γβα


paralelo al eje z

Elementos del hiperboloide de dos hojas Ellos son:

(i) las coordenadas del centro (ii) los valores de las constantes (iii) el eje principal (iv) los dos vértices

Busquemos los elementos del siguiente hiperboloide de dos hojas, tomado como ejemplo:


FAU – UNLP 19

1416

22

2

=−−z

yx

La ecuación también puede indicarse como

sigue, de modo de poner de manifiesto las tres

constantes:

14116

222

=−−zyx

Entonces:

(i) Dado que α = 0 ; β = 0 ; γ = 0, el centro está ubicado en (0;0;0) (ii) Los valores de las constantes son: a = 4 ; b = 1 ; c = 2

(iii) El eje principal de la superficie es el eje x. La dirección del eje principal está dada, entonces, por la dirección de la variable contenida en el término positivo. (iv) Los vértices se encuentran sobre el eje principal, equidistantes del centro de la superficie. En este caso, se hallan a una distancia de 4 unidades del mismo porque a, que es la constante contenida en el término positivo de la ecuación, es la que indica la distancia entre el centro de la superficie y cada uno de sus vértices. La siguiente figura muestra esto último:

>> Observación:

De todas las superficies que se estudian en esta unidad, el elipsoide es la única acotada. Los hiperboloides de una y dos hojas, y todas las demás son superficies que veremos a continuación, son infinitos. Por lo tanto, generalmente se graficará la región cercana al centro.


FAU – UNLP 20

4. Paraboloides

Son paraboloides las superficies definidas por una ecuación cuadrática en tres variables en la que solo una de ellas no está elevada al cuadrado.

Pabellón Philips de la Expo Bruselas (Bélgica) / Le Corbusier / 1958

4.1. Paraboloide elíptico


FAU – UNLP 21

Palacio de Deportes de Roma (Italia) / Pier Luigi Nervi / 1958

Centro Cultural de Valparaíso (Chile) / Oscar Niemeyer / 2007

Definición Es el conjunto de puntos del espacio que satisface la siguiente ecuación:


FAU – UNLP 22

( ) ( )0

2

2

2

2

=−

−−

+−

c

z

b

y

a

x γβα

Ecuación canónica general del paraboloide elíptico, de eje paralelo al eje z

Que también suele expresarse así:

( ) ( )c

z

b

y

a

x γβα −=

−+

−2

2

2

2

Otra forma de expresar la ecuación canónica general del paraboloide elíptico, de eje paralelo al eje z

Siendo a y b constantes reales positivas; c es una constante real que puede ser positiva o

negativa; y α, β , γ son las coordenadas del centro C(α ; β ; γ).

>> Poné atención en lo siguiente:

1. Hay solamente un término de la ecuación que es lineal (en el caso de las ecuaciones anteriores es el término correspondiente a la variable z aunque podría ser cualquiera de las otras dos).

2. La constante que no está elevada al cuadrado, puede tener signo “+” o “–” (c en el caso de las ecuaciones anteriores, aunque podrían ser a y b)

Estudio del paraboloide elíptico No vamos a analizar aquí a la superficie, podrás encontrar el estudio del paraboloide elíptico en el Anexo 4 del apunte Anexos_Superficies_3D. Al igual que en las superficies anteriormente estudiadas, su forma puede deducirse por medio de la determinación de intersecciones con los planos coordenados y con planos paralelos a estos.

Elementos del paraboloide elíptico Los elementos de esta superficie son:

(i) el centro o vértice (ii) los valores de las constantes (iii) el eje principal (iv) el sentido en que se desarrolla la superficie

Como ejemplo, busquemos los elementos del siguiente paraboloide elíptico, que tomaremos como ejemplo:

zyx

=+259

22

; o bien,

1259

22 zyx=+

La gráfica correspondiente es la que muestra en la figura, y los elementos son, entonces:


FAU – UNLP 23

(i) El vértice es el punto V(0;0;0), porque α = 0 ;

β = 0 ; γ = 0. (ii) Los valores de las constantes son: a = 3 ; b = 5 ; c = 1 (c > 0 en este caso) (iii) El eje principal es el eje z, porque lo que determina el eje de la superficie es la variable lineal (es decir, la que no está elevada al cuadrado).

Si bien la ecuación que hemos tomado como ejemplo corresponde a un paraboloide elíptico de

eje principal paralelo al eje z, es posible que el eje de la superficie sea también paralelo al eje x

o al eje y. En estos casos, las ecuaciones canónicas son:

( ) ( )a

x

c

z

b

y αγβ −=

−+

−2

2

2

2

Ecuación canónica general del paraboloide elíptico, de eje paralelo al eje x

( ) ( )b

y

c

z

a

x βγα −=

−+

−2

2

2

2

Ecuación canónica general del paraboloide elíptico, de eje paralelo al eje y

(iv) La superficie se desarrolla en el sentido positivo del eje principal z porque el signo de la constante que no está elevada al cuadrado, c en este caso, es positivo. ¿Qué es lo que cambiaría en el paraboloide elíptico tomado como ejemplo si c fuera negativo, es decir, si c = -1? En este caso, la ecuación pasaría a ser la siguiente:

1259

22

−=+

zyx ; ó simplemente: z

yx−=+

259

22

Fijate que, como el miembro izquierdo de la igualdad es siempre positivo, debe ocurrir que el miembro derecho sea también un número positivo. Para que “z / –1” (ó “– z ”) sea positivo, entonces la variable z debe tomar valores negativos, y esto significa que la superficie se desarrollará hacia el sentido negativo de la dirección z, como se observa en la figura.


FAU – UNLP 24

En general podemos decir que si la constante del término lineal es negativa, entonces la gráfica se desarrolla hacia valores negativos de la variable que aparece en dicho término. Hemos esquematizado esto último en los siguientes cuadros. Todos los paraboloides graficados se han centrado en el origen de coordenadas para simplificar el análisis:

a

x

c

z

b

y=+

2

2

2

2

b

y

c

z

a

x=+

2

2

2

2

a > 0 a < 0 b > 0 b < 0

c

z

b

y

a

x=+

2

2

2

2

c > 0 c < 0


FAU – UNLP 25

4.2. Paraboloide hiperbólico

Museo Oceanográfico de Valencia (España) / Calatrava

Hockey Ring de Yale / Aeropuerto Kennedy / OIC (Org. de Conf. Islámicas)

Definición Es el conjunto de puntos del espacio que satisface la siguiente ecuación:

( ) ( )0

2

2

2

2

=−

−−

−−

c

z

b

y

a

x γβα

Ecuación canónica general del paraboloide hiperbólico, de eje paralelo al eje z

Esta expresión también suele expresarse como sigue:

( ) ( )c

z

b

y

a

x γβα −=

−−

−2

2

2

2

Otra forma de expresar la ecuación canónica general del paraboloide hiperbólico, de eje paralelo al eje z

Siendo a y b constantes reales positivas; c es una constante real que puede ser positiva o

negativa; α, β y γ son las coordenadas del centro C(α ; β ; γ) de la superficie.


FAU – UNLP 26

>> Nuevamente:

1. Hay todo un término de la ecuación que es lineal. 2. La constante que no está elevada al cuadrado, puede tener signo “+” o “–”.

Estudio del paraboloide hiperbólico A modo de ejemplo, consideremos el paraboloide hiperbólico de ecuación5:

1169

22

−=−

zyx

Al igual que en las superficies anteriormente estudiadas, su forma puede deducirse por medio de la determinación de intersecciones con los planos coordenados y con planos paralelos a los planos de coordenados. Como esta superficie es más compleja que las anteriores, efectuaremos aquí el estudio de la misma. Comencemos con las intersecciones que se obtienen al cortar al paraboloide hiperbólico con los planos coordenados. La intersección con el plano xz se obtiene resolviendo el siguiente sistema:

=

−=−

0

1169

22

y

zyx

Es decir:

=

−=−

0

116

0

9

22

y

zx �

=

−=

0

9

2

y

zx

�

=

−=

0

92

y

zx

El resultado de la intersección es una parábola con eje de simetría paralelo al eje z, cuya gráfica se muestra en la figura que sigue:


5 Esta ecuación también podría expresarse de la siguiente manera:

1169

22 zyx=+− (con todos los signos

cambiados).


FAU – UNLP 27

Cuando se corta la superficie con el plano yz se obtiene otra parábola, también de eje paralelo al eje z:

=−

=−

01169

22

x

zyx

En este caso, la ecuación de la curva es:

1169

0 22

−=−

zy � z

y−=−

16

2

� y 2 = 16 z

Plano yz y curva intersección en 3D Curva intersección en 2D La intersección entre el paraboloide hiperbólico y el plano xy es:

=

−=−

0

1169

22

z

zyx

1

0

169

22

−=−

yx �

169

22 yx= �

22

9

16yx = � yx =±

3

4

El par de rectas que representan la intersección se muestran a continuación:


FAU – UNLP 28


Al cortar a la superficie con planos paralelos a los planos coordenados, las intersecciones son:

=−

=−

kx

zyx

1169

22

=−

=−

ky

zyx

1169

22

=−

=−

kz

zyx

1169

22

Al resolver el sistema puede observarse que, en los dos primeros casos, las secciones son hipérbolas y, en el último, elipses.

Según el análisis realizado, la gráfica del paraboloide hiperbólico es, entonces:

Elementos del paraboloide hiperbólico

Los elementos de esta superficie son:


FAU – UNLP 29

(i) el centro o vértice (ii) los valores de las constantes (iii) el eje principal (iv) el sentido en que se desarrolla la superficie

Busquemos, entonces, los elementos del paraboloide hiperbólico tomado como ejemplo:

1169

22

−=−

zyx

(i) El vértice es el punto C(0;0;0)

(ii) Las constantes valen: a = 3 ; b = 4 ; c = -1

(iii) El eje principal de la superficie es el eje z. Es decir, la variable lineal (la que no está elevada

al cuadrado) determina el eje principal.

Hasta aquí, hemos analizado un paraboloide hiperbólico de eje principal paralelo al eje z

aunque el eje de la superficie puede ser también paralelo al eje x o al eje y. En estos casos, las

ecuaciones canónicas son:

( ) ( )a

x

c

z

b

y αγβ −=

−−

−2

2

2

2

Ecuación canónica general del paraboloide hiperbólico, de eje paralelo al eje x

( ) ( )b

y

c

z

a

x βγα −=

−−

−2

2

2

2

Ecuación canónica general del paraboloide hiperbólico, de eje paralelo al eje y

(iv) Para la superficie tomada como ejemplo, se tiene que c < 0 ¿Cuál es el cambio que se produce en la gráfica del paraboloide hiperbólico si se modifica el signo de c y se tiene, entonces, c = 1? La ecuación pasaría a ser la siguiente:

1169

22 zyx=− ; ó simplemente: z

yx=−

169

22

La gráfica se muestra a continuación. Se observa que la misma está invertida con respecto a la gráfica del paraboloide anterior, para el cuál c es negativo.


FAU – UNLP 30

Para esquematizar este resultado, se muestran los siguientes gráficos. Todos los paraboloides graficados se han centrado en el origen de coordenadas para simplificar el análisis:

a

x

c

z

b

y=−

2

2

2

2

b

y

c

z

a

x=−

2

2

2

2

a > 0

a < 0

b > 0

b < 0

c

z

b

y

a

x=−

2

2

2

2

c > 0

c < 0


FAU – UNLP 31

5. Cono Al igual que otras superficies ya analizadas, el cono tiene aplicaciones en Arquitectura, tanto por razones estéticas como funcionales. Debido a que se trata de una superficie infinita, su uso se reduce a un sector del mismo. A continuación te mostramos algunos ejemplos:

Museo del Vulcanismo en Auvernia (Francia) / Hans Hollien / 1997

Lucile Halsell Conservatory en Texas (E.E. U.U.) / Emilio Ambasz


FAU – UNLP 32

Definición Es el conjunto de todos los puntos del espacio que satisfacen la siguiente ecuación:

( ) ( ) ( )0

2

2

2

2

2

2

=−

−−

+−

c

z

b

y

a

x γβα

Ecuación canónica general del cono, de eje paralelo al eje z

Esta expresión, también puede escribirse como sigue:

( ) ( ) ( )2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x γβα −=

−+

−

Otra manera de expresar la ecuación canónica general del cono, de eje paralelo al eje z

Con a, b y c constantes reales positivas; α, β y γ reales que representan las coordenadas del

vértice (o centro) de la superficie.

Estudio del cono A modo de ejemplo, vamos a realizar el análisis del cono cuya ecuación es:

0449

222

=−+zyx

; ó bien: 449

222 zyx=+

Por tratarse de una superficie muy conocida, en la figura que sigue, te mostramos su gráfica:

Veamos cuáles son las intersecciones que se obtienen al cortar al cono con los planos coordenados. Intersección con el plano xz:


FAU – UNLP 33

=

=+

0

449

222

y

zyx

Sección del cono y plano xz Intersección resultante

La intersección es un par de rectas, contenido en el plano xz. Las ecuaciones de las mismas son:

=

±=

0

3

2

y

xz

La intersección entre la superficie y el plano yz se escribe:

=

=+

0

449

222

x

zyx

Nuevamente, se obtienen dos rectas, ahora contenidas en el plano yz tal como te mostramos en las figuras que siguen:

Sección del cono y plano yz Intersección resultante


FAU – UNLP 34

En este caso, las ecuaciones son:

=

±=

0x

yz

Finalmente, si efectuamos el corte con el plano xy, la intersección se escribe:

=

=+

0

449

222

z

zyx

Tal como se muestra en la figura de al lado, la intersección es un punto, más precisamente, el punto (0,0,0).

Si, por último, se corta al cono con planos paralelos a los coordenados, las intersecciones son las siguientes:

=

=+

kx

zyx

449

222

=

=+

ky

zyx

449

222

=

=+

kz

zyx

449

222

En el primer caso se obtienen hipérbolas de ejes reales paralelos al eje z, en el segundo caso son también hipérbolas de ejes reales paralelos al eje z, mientras que en el último caso, se obtienen elipses cuyos de ejes mayores son paralelos al eje x. En las siguientes gráficas se han graficado algunas de estas últimas intersecciones.

Una de las elipses intersección

Elementos del cono Los elementos de esta superficie son los siguientes:

(i) el centro o vértice (ii) los valores de las constantes


FAU – UNLP 35

(iii) el eje principal

Busquemos los elementos del cono tomado anteriormente como ejemplo:

449

222 zyx=+

(i) el vértice es el punto (0;0;0)

(ii) las constantes valen: a = 3 ; b = 2 ; c = 2

(iii) el eje principal es el eje z, pues dicho eje está dado por la variable que aparece sola en uno

de los miembros de la ecuación (o bien, cuando la ecuación está igualada a cero, el eje está

dado por la variable contenida en el término negativo).

Si bien hemos tomado un cono de eje paralelo al eje z, el eje puede ser también paralelo al eje

x o al eje y. En estos casos, las ecuaciones canónicas son:

( ) ( ) ( )0

2

2

2

2

2

2

=−

+−

+−

−c

z

b

y

a

x γβα

( ) ( ) ( )2

2

2

2

2

2

a

x

c

z

b

y αγβ −=

−+

−

Ecuación canónica general del cono, de eje paralelo al eje x

( ) ( ) ( )0

2

2

2

2

2

2

=−

+−

−−

c

z

b

y

a

x γβα

( ) ( ) ( )2

2

2

2

2

2

b

y

c

z

a

x βγα −=

−+

−

Ecuación canónica general del cono, de eje paralelo al eje y


FAU – UNLP 36

6. Cilindros o superficies cilíndricas

San Pedro Martir en Alcobendas (España) / Miguel Fisac / 1955

Pabellón Portugués en Expo Lisboa (Portugal) / Alvaro Siza / 1998

Complejo del Campus Judicial de Madrid (España) / Foster (En construcción)


FAU – UNLP 37

Bodegas Protos en Valladolid (España) / Richard Rogers / 2005

Un cilindro es una superficie infinita, que se desarrolla a lo largo de todo su eje. Por lo tanto su

uso en arquitectura está determinado por un fragmento de ellas. De ahí que sea necesario

indicar cuál es el tramo que forma parte de la obra, mediante cotas o rangos de valores, tal

como veremos más adelante.

Sobre la ecuación de los cilindros Habrán observado que todas las superficies anteriormente estudiadas quedaron definidas por una ecuación de determinado tipo. A diferencia de ellas, el cilindro no tiene una expresión matemática de características específicas que la determine ya que se basa en la expresión de determinadas curvas planas. El tipo de ecuación que la determina depende de que es una superficie que se genera a partir de una recta, llamada recta generatriz, que se mueve en el espacio paralelamente a sí misma, siguiendo una trayectoria determinada por una curva, llamada curva directriz. Trazar la gráfica de una superficie de este tipo es muy simple: la idea es arrastrar la recta paralelamente a sí misma, recorriendo la curva. El movimiento de la generatriz forma la superficie debido la traza que va dejando.

En la figura que se muestra como ejemplo, la curva directriz es una parábola (contenida en el

plano xz) y la generatriz es una recta paralela al eje y.

Directriz D (parábola)

Generatriz g (recta)


FAU – UNLP 38

Por ello, los cilindros pueden definirse como el lugar geométrico de los puntos que verifican la

siguiente propiedad, veamos:

Definición Sea D una curva sobre un plano a la que se llama curva directriz y sea g una recta no paralela al plano, a la que se denomina recta generatriz. Entonces, un cilindro es el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que pertenecen a las rectas paralelas a g que cortan a D. Cuando la recta y el plano de la curva son perpendiculares, se dice que el cilindro es recto. En este curso trabajaremos únicamente con cilindros rectos.

>> Prestá atención a lo siguiente:

No todas las rectas paralelas a g cortan a D.

En el gráfico de la derecha se muestran dos rectas paralelas,

pero solamente una de ellas pertenece al cilindro

(y lo genera).

Cuando se menciona al cilindro, generalmente se piensa en un

cilindro de sección circular, similar al cilindro que se muestra a

continuación. Para esta superficie, la generatriz es paralela al eje y

siendo su directriz la circunferencia de ecuación:

4)1()2( 22 =−+− zx

Sin embargo, no es cierto que todo cilindro tenga sección circular,

como ya vimos que ocurría con el primer cilindro graficado.

¿Sabías que …

… si en una ecuación de la forma f (x, y, z) = 0, alguna de las variables x, y o z “no aparece”, se obtiene

una ecuación en dos variables que en el espacio representa un cilindro? Lo que ocurre es que una de

las variables no está sujeta a ninguna condición. Esto significa que puede tomar cualquier valor real y

por esta razón no aparece en la ecuación.

Veamos un par de ejemplos de lo mencionado antes.

Si se pregunta: ¿Qué representa la ecuación 1

520

22

=−yx

?

Hay que tener en cuenta que la respuesta admite dos posibilidades: a) En el plano xy es una

hipérbola; b) En el espacio es un cilindro de sección hiperbólica.


FAU – UNLP 39

Hipérbola en el plano xy Cilindro de sección hiperbólica

en el espacio (z ∈ R)

Este último es un cilindro recto, que es abierto.

Si se pregunta: ¿Qué representa la ecuación y 2 + z 2 = 4?, las posibilidades son: a) En el

plano yz es una circunferencia; b) En el espacio es un cilindro recto de sección circular.

Circunferencia en el plano yz Cilindro de sección circular (z ∈ R)

Estudio de un cilindro

Como ejemplo, realicemos el estudio del siguiente cilindro:

1169

22

=+yx

(z ∈ R)

El mismo, es un cilindro de sección elíptica.

En perspectiva, visto desde arriba


FAU – UNLP 40

Al cortar la superficie con el plano xz, la intersección es:

=

=+

0

1169

22

y

yx

Al resolver el sistema, se obtiene un par de rectas:

116

0

9

22

=+x

� 1

9

2

=x

� 92 =x

� 3±=x

Abajo se muestran las gráficas de estas rectas, cuyas ecuaciones son:

∈

=

=

Rz

y

x

0

3

∈

=

−=

Rz

y

x

0

3

Sección del cilindro y plano xz Intersección resultante

La intersección con el plano yz es:

=

=+

0

1169

22

x

yx

Nuevamente, al resolver el sistema, se llega a un par de rectas de ecuaciones:

∈

=

=

Rz

x

y

0

4

∈

=

−=

Rz

x

y

0

4

Te proponemos que verifiques este resultado y que intentes realizar el gráfico correspondiente.

Con el plano xy, la intersección representa a una elipse contenida en el plano xy. Se escribe:


FAU – UNLP 41

=

=+

0

1169

22

z

yx

Cuando se corte al cilindro con planos paralelos al plano xy,

siempre se obtendrán elipses como curva intersección.

A la derecha se muestran algunas de las elipses intersección.

Eje del cilindro

Fijate que, en todos los cilindros tomados como ejemplos hasta ahora, la variable “que falta” en

la ecuación indica cuál es el eje del cilindro.

En el caso del cilindro anterior, el eje es coincidente con el eje z.

>> Para resolver:

Problema1

a) Traza la gráfica de la superficie cilíndrica cuya ecuación es z = 4 – x2

b) Efectúa su estudio.

Problema 2

a) Traza la gráfica de la superficie cilíndrica cuya ecuación está dada por y = –


Problema 3

a) Traza la gráfica de la superficie cilíndrica definida por


Problema 4

Un caso particular muy importante de superficie cilíndrica es el de algunos planos. Por

ejemplo, el plano y = 5, representa al conjunto de todos los puntos del espacio para los

cuales la coordenada y toma siempre el valor 5 y sus coordenadas x, z pueden tomar

cualquier valor real (es un plano paralelo al plano xz). Te proponemos, entonces, que

realices el estudio de este cilindro.

x

( ) ( )1

6

52

22

=+

−−y

x

cm2 enrich – creus – carnicero nivel 2€¦ · ser curvas, superficies, rectas, etc.). la...

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