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Cátedra de Matemática Nº 2 “Enrich-Creus-Carnicero”

FAU – UNLP 1

1. Introducción Se llaman secciones cónicas o simplemente cónicas a las distintas curvas que pueden obtenerse de la intersección entre un cono circular recto, o cono recto, y un plano.

Recordemos qué es un cono Para generar un cono es necesario disponer de una circunferencia1 (directriz) y una recta (generatriz), que no pertenezca al plano de la circunferencia. Si la recta generatriz rota sobre un punto fijo de modo que recorre todos los puntos de la curva directriz, se genera una superficie denominada cono. El eje del cono es la recta que pasa por el punto fijo de la recta generatriz y por el centro de la circunferencia directriz.

Eje del cono

Cuando la directriz es una circunferencia perpendicular al eje (como la de la figura de arriba), el cono se llama cono circular recto o cono recto. Éste es el tipo de cono que usaremos para definir las secciones cónicas.

Generación de las cónicas Para comprender cómo se generan las cónicas, consideremos como ejemplo un cono circular recto de eje vertical y cortémoslo con diferentes planos de modo de poder visualizar claramente las distintas intersecciones que se van obteniendo.

1 Podría ser una elipse, pero a los fines de esta sección, preferimos trabajar con una circunferencia.

CM2 ENRICH – CREUS – CARNICERO Nivel 2 Unidad 1 │ Apunte Cónicas │ 2015


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Intersección con un plano que corta al eje del cono y no es paralelo a una recta generatriz

La curva intersección2 que se obtiene es una elipse, como puede observarse en el dibujo de arriba. Cuando, además, el plano es perpendicular al eje, la intersección obtenida es una circunferencia (Ver figura siguiente). Pronto veremos que la circunferencia es un caso particular de la elipse.

Intersección con un plano paralelo a una recta generatriz del cono

2 Siempre que hablemos de curva intersección o intersección, nos referimos a la línea de contorno.


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Visto desde una perspectiva superior, podemos apreciar que la intersección nos da una parábola.

Intersección con un plano paralelo a un par de rectas generatrices.

La curva obtenida en este caso es una hipérbola.

Otras intersecciones posibles Si el plano de corte pasa por el vértice del cono, la intersección resultante puede ser: un punto, una recta o dos rectas. Las mismas suelen llamarse cónicas degeneradas.

Un punto


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Una recta

Dos rectas

Ahora que ya visualizaste las secciones cónicas, el paso siguiente es el de profundizar un poco más sobre ellas: ¿Cómo definirlas? ¿Qué características y/o propiedades tiene cada una de ellas? ¿Cuáles son sus elementos? ... y demás. Te proponemos, entonces, un estudio más profundo de cada una de ellas.

2. Elipse

Es una de las cónicas que más presencia tiene en obras arquitectónicas. Desde la más remota antigüedad hasta nuestros días podemos encontrarla en vistas, plantas y cortes de obras de las más diversas características. Aquí, sólo te presentamos algunos ejemplos.

Coliseo Romano Menara Mesiniaga. Ken Yeang. Buhardilla. Sagrada Familia. Gaudí

Hay un método muy sencillo que permite dibujar una elipse, con una exactitud aceptable (Método del jardinero). Grafiquémosla. Se necesita un hilo o algún elemento similar (que no se estire). Debemos clavar dos clavos sobre una superficie plana, teniendo cuidado de que la distancia entre ellos sea menor que la longitud del hilo que escogimos y, luego, hay que atar los extremos del hilo en cada uno de los clavos. Tomando un lápiz y, siempre con el hilo tensionado, debemos ir deslizándolo sobre la superficie, hasta donde el hilo lo permita. De este modo, habremos dejado una traza que es la elipse que queríamos graficar.


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Definición Se llama elipse al conjunto de todos los puntos del plano tales que, las sumas de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Esta es una definición de elipse, dada como lugar geométrico3.

Simetría de la elipse

Como puede observarse en la figura, la elipse es simétrica respecto de dos ejes (que son segmentos) y también respecto del punto central:

Eje mayor: pasa por ambos focos.

Eje menor: es perpendicular al eje mayor.

Centro: queda determinado por la intersección de ambos ejes.

Estudiaremos sólo aquellas elipses cuyos ejes sean paralelos a los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas (Sistema de ejes xy), por lo que son dos las opciones posibles:

La dirección de los ejes mayor y menor se modifica al cambiar la ubicación de los focos de la elipse. Longitudes de los ejes y de la distancia focal Démosle nombres a las distancias intervinientes en los gráficos anteriores:

3 Es un conjunto no vacío de puntos, que satisface determinadas condiciones.


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Entonces, haciendo uso de la simetría de la elipse:

Si el eje mayor es horizontal (a > b): la longitud del eje mayor es 2a la longitud del eje menor es 2b

Si el eje mayor es vertical (b > a): la longitud del eje mayor es 2b la longitud del eje menor es 2a

Para cualquier elipse: se define la distancia entre los focos como distancia focal, de longitud 2c

Deducción de la ecuación canónica de la elipse Para que la deducción de la expresión para la elipse resulte más sencilla, tomaremos:

- un sistema de coordenadas cuyo origen (0;0) coincida con el centro de la elipse - una elipse de eje mayor paralelo al eje x (a > b)

Consideraremos además:

- un punto genérico P de la elipse - D1 = distancia de P al foco F1 - D2 = distancia de P al foco F2

Dado que la suma de distancias estaba representada por el hilo inextensible, podemos afirmar que D1 + D2 = constante. En realidad, se tiene que4:

D1 + D2 = 2a Intentemos entonces dar una expresión para D1 y D2, que no son más que distancias entre dos puntos del plano5.

4 Recuerden que en la clase teórica “2a” era la “longitud de la cuerda”. 5 Recordá que, dados los puntos P1 (x1 ; y1) y P2 (x2 ; y2) del plano, la distancia entre ellos se calcula con la expresión: 212

21221; yyxxPPdist


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Las coordenadas de los puntos con los que trabajaremos son:

P(x;y) punto genérico

F1(-c;0) ; F2(c;0) focos

Entonces: 2222

11 0; ycxycxFPdistD

222222 0; ycxycxFPdistD

222221 2 ycxycxaDD

Realizando una serie de cálculos algebraicos, se llega a:

12

2

2

2

by

ax

Esta es la ecuación canónica de una elipse con centro en el origen de coordenadas (0;0) y de eje mayor horizontal. Para hallar una expresión más general, tomemos una elipse cuyo centro sea un punto cualquiera del plano C(;). Entonces:

1)()(2

2

2

2

by

ax

Ecuación canónica general de la elipse

Tené en cuenta que: si a > b es una elipse de eje mayor paralelo al eje x si b > a es una elipse de eje mayor paralelo al eje y el centro tiene coordenadas (;)

Puede demostrarse6 que, para la elipse, se cumple la siguiente relación entre sus semiejes (semieje es la mitad del segmento que llamamos eje):

Si la elipse tiene eje mayor horizontal (a > b): 222 cba

Si la elipse tiene eje mayor vertical (b > a): 222 cab

6 Recuerden que en clase dijimos que: (Semieje Mayor)2 = (semieje menor)2 + c)2.


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Elementos de la elipse Como venimos analizando, los elementos de la elipse pueden hallarse a partir de su ecuación canónica y es fundamental que aprendas a encontrarlos para poder graficar la curva. Ya hemos mencionado a varios de ellos, pero indicamos algunos más a continuación:

Elipse de eje mayor paralelo al eje x

Elipse de eje mayor paralelo al eje y

El centro: C( ; )

Los focos: F1(–c ; ) ; F2(+c ; )

Los ejes: eje mayor 2a eje menor 2b

Los semiejes: semieje mayor a semieje menor b

La distancia focal 2c

Los vértices (–a ; ) ; (+a ; ) en el eje mayor ( ; +b) ; ( ; –b) en el eje menor

El centro: C( ; )

Los focos: F1( ; –c) ; F2( ; +c)

Los ejes: eje mayor 2b eje menor 2a

Los semiejes: semieje mayor b semieje menor a


Los vértices ( ; –b) ; ( ; +b) en el eje mayor

(+a ; ) ; (–a ; ) en el eje menor

Un caso particular de elipse: la circunferencia Dada la ecuación canónica de la elipse, podríamos preguntarnos qué ocurre cuando a = b.

En ese caso, tendríamos la expresión 12

2

2

2

ay

ax , que también puede escribirse

como: 222 ayx . Seguramente, esta última ecuación te resulta conocida con a = r:

222 ryx Ecuación canónica de la circunferencia con centro C(;) y radio r


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Es decir, que la circunferencia es un caso particular de elipse, en el que la longitud de los semiejes mayor y menor es la misma.

Definición Se llama circunferencia centro C(;) y radio r, siendo r > 0, al conjunto de todos los puntos del plano que se encuentran a la misma distancia r del punto C.

>> Actividad: La ecuación canónica de este caso particular de elipse puede deducirse a partir de su definición como lugar geométrico (seguramente así lo has estudiado en el secundario). Te proponemos que intentes realizar dicha deducción.

Excentricidad de la elipse Es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. En el caso de la elipse, la excentricidad nos dice si la elipse es “más o menos alargada”. Dicho parámetro se calcula como la razón entre la distancia focal y el eje mayor, entonces:

Si la elipse tiene eje mayor paralelo al eje x: ace

22

ace

Si la elipse tiene eje mayor paralelo al eje y: bce

22

bce

Para la elipse se tiene que e < 1, dado que siempre ocurre que c < a. Además, e > 0; por lo tanto, la excentricidad de la elipse cumple:

0 < e < 1

¿Sabías que la elipse tiene una interesante propiedad de reflexión, muy importante en cuestiones prácticas? Si una fuente de luz o sonido se coloca en un foco de una

superficie con secciones transversales elípticas, entonces toda la luz o el sonido se refleja de esta superficie hacia el otro foco. Esta característica suele utilizarse en los

diseños de salas de música o teatros.


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¿Cuánto vale la excentricidad de la circunferencia? Ya sabemos que e =

ac ; pero: ¿Cuánto vale c en este caso?

Podemos despejarla de la expresión 222 cba (es lo mismo tomar 222 cab ), sabiendo que a = b para la circunferencia. Se obtiene, entonces:

022 aac Por lo tanto, e = 0 para una circunferencia. ¿Recordás que, según la definición, la excentricidad nos da una medida del alejamiento de la forma de una cónica con respecto a la de la circunferencia? El resultado, entonces, no podía ser otro.

>> Para resolver: Dada la elipse de ecuación 142

91 22

yx , indicá sus elementos, el

valor de su excentricidad y graficá la curva.


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3. Hipérbola

Al igual que las otras cónicas, también la hipérbola está presente en diversos diseños arquitectónicos. Tan sólo a modo de ejemplo, te contamos que en Ensenada, hay una petroquímica que utiliza una torre de enfriamiento cuyas cortes verticales son hipérbolas. A modo de introducción te presentamos tres obras. En las dos primeras las hipérbolas se obtienen al hacer un corte vertical. En la última, la planta contiene dos muros cuya sección es hiperbólica y la divide en dos sectores de diferente uso.

Catedral de Brasilia. Niemeyer. 1958

Faro de Kobe

Convento San Pedro Mártir, Madrid. Miguel Fisac. 1958

En el apartado anterior, vimos que cuando tenemos dos puntos fijos en un plano (a los que llamamos focos) y representamos todos aquellos puntos que cumplen con la condición de que la suma de sus distancias de cada uno de estos puntos fijos del plano es un valor constante, se obtiene una elipse.

D1 + D2 = constante = 2a 2a es el eje mayor de esta elipse

F1 y F2 son los puntos fijos

P es un punto genérico, que cumple con la condición dada.

¿Y si se nos ocurriera representar ahora los puntos del plano para los cuáles la resta o diferencia de las distancias entre los puntos dados se mantiene constante?


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En este caso, obtendríamos la gráfica de otra curva del plano: la hipérbola, que no es tan sencilla de construir como la elipse.

D1 = distancia entre P y F1

D2 = distancia entre P y F2 Siendo F1 y F2 los focos y P un punto cualquiera de la curva.

En realidad, no se trabaja con la resta de distancias sino con el valor absoluto7 de la misma, pues dicha diferencia es también una distancia y debe ser, por tanto, un número positivo. Los puntos que pertenecen a la hipérbola cumplen, entonces:

| D1 - D2 | = constante A continuación presentamos una definición para esta curva, en la cual, la hipérbola se define como el lugar geométrico de determinados puntos del plano:

Definición Se llama hipérbola al conjunto de todos los puntos del plano tales que, el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Simetría de la hipérbola Como puede observarse en la figura de abajo, la hipérbola es simétrica respecto de dos rectas:

Dado que en este curso analizaremos únicamente hipérbolas cuyos ejes sean paralelos a los ejes xy, hay dos posibilidades:

7 En la práctica, el valor absoluto de una cantidad es el número sin su signo.


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Sobre las rectas hemos definido dos segmentos, que llamaremos ejes:

Eje real (también llamado eje transversal): segmento contenido en la recta que pasa por ambos focos.

Eje conjugado: segmento perpendicular al eje real.

Centro: queda determinado por la intersección de ambos ejes. Como en el caso de la elipse, la dirección de los ejes real y conjugado se modifica al cambiar la ubicación de los focos de la hipérbola. Longitudes de los ejes y de la distancia focal Usaremos la siguiente nomenclatura para las distancias intervinientes:

Entonces:

Si la hipérbola tiene eje real horizontal: la longitud del eje real es 2a la longitud del eje conjugado es 2b


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Si la hipérbola tiene eje real vertical: la longitud del eje real es 2b la longitud del eje conjugado es 2a

Para cualquier hipérbola: se define la distancia entre los focos como distancia focal, de longitud 2c

Deducción de la ecuación canónica de la hipérbola Para que la deducción de la ecuación de la hipérbola resulte más sencilla, tomaremos:

- un sistema de coordenadas cuyo origen (0;0) coincida con el centro de la curva - una hipérbola de eje real horizontal

Consideraremos además:

- un punto genérico P de la hipérbola - las distancias definidas antes: D1 = distancia de P al foco F1

D2 = distancia de P al foco F2

De acuerdo a nuestro sistema de ejes, las coordenadas de los puntos que nos interesan son:

P (x;y) punto genérico

F1 (-c;0) ; F2 (c;0) focos

En primer lugar, puede demostrarse que: | D1 - D2 | = 2a Por otra parte, D1 y D2 son distancias entre dos puntos del plano8, por lo que pueden expresarse de la siguiente manera:



Llegamos, entonces, a la ecuación:

222221 2 ycxycxaDD

Con el fin de simplificar los cálculos supongamos que la diferencia D1 - D2 es positiva, de modo de poder dejar de lado el valor absoluto:

8 Para recordar la fórmula de distancia entre dos puntos del plano.


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aycxycx 22222 Y mediante unos cuántos cálculos, llegaremos a:

122

2

2

2

ac

yax

Llamando b2 a la diferencia c2 - a2, se obtiene la expresión:

12

2

2

2

by

ax

Que es la ecuación canónica de una hipérbola centrada en el origen de coordenadas y de eje real paralelo al eje x. Para una hipérbola cuyo centro se encuentra en un punto cualquiera del plano C(;), se tiene:

12

2

2

2

by

ax

Ecuación canónica general de la hipérbola de eje real paralelo al eje x

Análogamente, puede obtenerse la siguiente expresión:

12

2

2

2

b

ya

x

Ecuación canónica general de la hipérbola de eje real paralelo al eje y

Detengámonos en los siguientes puntos, fundamentales desde el punto de vista conceptual.

>> Dos cuestiones importantes: (1) ¿Cómo determinar, a partir de la ecuación, si el eje real de la hipérbola es vertical u

horizontal? (2) ¿Qué relación hay entre las constantes a, b y c en el caso de la hipérbola?

(1) Si analizamos los gráficos anteriores y las ecuaciones canónicas correspondientes, puede observarse que la dirección del eje real de la hipérbola está dada, en cada caso, por la variable que aparece en el término positivo de la ecuación. (2) En la deducción de la ecuación canónica de la hipérbola, al final de los cálculos, llegamos a una expresión donde aparece la constante c2 - a2, a la que llamamos b2. Es decir que, para esta curva se cumple:

c2 = a2 + b2 Como c2 - a2 es positiva (porque es igual al cuadrado de un número), entonces que c > a. No demostraremos analíticamente esta cuestión, pero es fácil ver en los gráficos que la distancia c (la mitad de la distancia focal) es mayor que el semieje a (la mitad del eje real).


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Elementos de la hipérbola Indaguemos ahora un poco más sobre los elementos de la hipérbola. Los mismos pueden hallarse a partir de la ecuación canónica de una cónica dada y son fundamentales para conocerla en profundidad y poder representarla gráficamente. Algunos de ellos ya han sido definidos antes.

Hipérbola de eje real paralelo al eje x

Hipérbola de eje real paralelo al eje y

El centro: C( ; )

Los focos: F1(–c ; ) ; F2(+c ; )

Los ejes: eje real 2a eje conjugado 2b

Los semiejes: semieje real a semieje conjugado b


Los vértices (–a ; ) ; (+a ; ) en el eje real ( ; +b) ; ( ; –b) en el eje conjugado

El centro: C( ; )

Los focos: F1( ; –c) ; F2( ; +c)

Los ejes: eje real 2b eje conjugado 2a

Los semiejes: semieje real b semieje conjugado a


Los vértices ( ; –b) ; ( ; +b) en el eje real

(+a ; ) ; (–a ; ) en el eje conjugado

Excentricidad de la hipérbola Recordemos: la excentricidad es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia. Se calcula como la razón entre la distancia focal y el eje real, es decir:

Si la hipérbola tiene eje real horizontal: ace

22

ace

Si la hipérbola tiene eje real horizontal: bce

22

bce

Para la hipérbola, se tiene que c > a e > 1.


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Asíntotas de la hipérbola Como la hipérbola es una curva no acotada, es decir, crece indefinidamente, debemos considerar un par de elementos más, fundamentales para conocer el comportamiento de la misma cuando las variables x e y toman valores arbitrariamente grandes (tanto positivos como negativos): las asíntotas. Estas son un par de rectas a las que la hipérbola “se va acercando” (para valores cada vez más grandes de las variables), sin llegar a tocarlas nunca. Por esta razón, las asíntotas son de gran ayuda en la construcción gráfica de la hipérbola. Veámoslas el siguiente gráfico:

Como verás, ambas asíntotas pasan por el centro de la curva. Para la hipérbola que estamos tomando como ejemplo (para la cuál y son las coordenadas del centro, a es el semieje real y b es el semieje conjugado), las ecuaciones de las rectas son:

xaby ; x

aby

Generalmente se escribe:

xaby

Gráfica de la hipérbola a partir de los ejes y las asíntotas Una manera sencilla de graficar las ramas de la hipérbola consiste en dibujar un rectángulo cuyos lados miden 2a y 2b (que son las longitudes de los ejes real y conjugado) y cuyo centro coincida con el de la hipérbola. Por los vértices del mismo, se dibujan las asíntotas, como puede observarse a continuación:


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>> Para resolver: Dada la hipérbola de ecuación 142

165 22

yx , hallá sus elementos,

su excentricidad y graficala.


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4. Parábola

Comencemos observando las siguientes obras arquitectónicas en las que se ha utilizado la parábola para el diseño de las mismas. Te mostramos una obra sencilla, se trata de una casa habitación para una familia en la Ciudad de Buenos Aires y otra con un diseño muy complejo, erigida como sede de la Organización de la Conferencia islámica (OIC). Ambas se caracterizan por tener secciones parabólicas.

Casa con techo de sección parabólica

Edificio para OIC. Willy Muller Architects

Si tuviéramos que diseñar un objeto de grandes dimensiones con forma parabólica (una sala, un jardín, etc.): ¿Es posible dibujar una parábola, sin utilizar la computadora, con una exactitud aceptable? No sólo es posible, sino que además es muy sencillo. Sólo se necesitan una recta y un punto fijo que no pertenezca a la recta. Lo que debemos hacer, es buscar todos los puntos del plano que estén a la misma distancia del punto fijo y de la recta. Es importante tener en cuenta que se define la distancia de un punto cualquiera a la recta como la distancia perpendicular a ella que, por otra parte, es la distancia mínima entre ambos. Comencemos dibujando el punto medio entre ambos:

En la figura, hemos llamado recta directriz a la recta que permitirá la construcción de la parábola, foco F al punto fijo, R al punto sobre la recta y V al punto equidistante entre el foco y la recta, esto es:

dist(V;F) = dist(V;R)


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Busquemos otros puntos que cumplan con dicha condición:

A la izquierda, se han dibujado seis puntos más y se han trazado las distancias entre el punto P3 y el punto R’ de la recta, y entre el P3 y el foco, que son iguales. Todos los puntos Pi del plano que cumplan con la condición mencionada pertenecen a la parábola.

Si dibujamos los infinitos puntos de la misma, obtenemos:

Si bien esta construcción de la parábola carece de rigor matemático, es posible dar una definición de la curva utilizando el razonamiento seguido. A continuación, se define a la parábola como el lugar geométrico:

Definición Dados en un plano, una recta (directriz) y un punto fijo no perteneciente a la recta (foco), se llama parábola al conjunto de todos los puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz.

Elementos de la parábola Enumeremos los elementos de la parábola, algunos de ellos ya mencionados:


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la recta directriz

el foco F

el vértice V

el parámetro p, cuyo valor absoluto p es igual a la distancia entre el foco y la directriz

el eje de simetría, que es la recta que pasa por el foco y el vértice, y que es perpendicular a la recta directriz

las ramas, que “se van abriendo” simétricamente respecto del eje de simetría

Hemos construido, por comodidad, una parábola cuyas ramas “se abren hacia arriba” (o cóncava hacia arriba) y cuyo eje de simetría es paralelo al eje y. Sin embargo, más adelante graficaremos parábolas cuyas ramas “se abran hacia abajo” y parábolas con eje de simetría horizontal.

>> Para analizar: Las distancias del vértice al foco y del vértice a la directriz son iguales a la mitad del valor absoluto de p, esto es: p/ 2 ¿Por qué?

Parámetro p Analicemos en detalle dos características importantes de este elemento: su signo y su valor absoluto (o módulo).

i. Signo de p

En una parábola con eje de simetría vertical, se tiene que si:

Si p > 0 las ramas de la parábola van hacia arriba Si p < 0 las ramas de la parábola van hacia abajo

Mientras que, si la parábola tiene eje de simetría horizontal, se cumple que:

Si p > 0 las ramas de la parábola van hacia la de derecha Si p < 0 las ramas de la parábola van hacia la izquierda

ii. Valor absoluto de p

Analicemos un ejemplo concreto para visualizar lo que ocurre en este caso. En la figura, se muestran las parábolas P1, P2 y P3, todas con vértice en el origen de coordenadas y con el signo de p positivo, de modo de poder compararlas mejor.


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Si los valores de los parámetros son:

p1 = 4 p2 = 2 p3 = 1/2

Puede observarse claramente que cuanto mayor es el valor absoluto de p, más abiertas son las ramas de la parábola.

Deducción de la ecuación canónica de la parábola Intentemos ahora hallar una expresión representativa de la parábola, partiendo del concepto de equidistancia mencionado. Para simplificar la deducción, consideremos un sistema de coordenadas cuyo origen coincida con el vértice V de la curva. De este modo, se tienen las siguientes coordenadas, de puntos que intervendrán en la deducción:

vértice de la parábola V(0;0)

foco F(0;p/2)

punto genérico de la curva Q(x;y)

punto de la recta directriz R(x;- p/2) (tal que la distancia del mismo a F es siempre perpendicular

a la directriz)

Ahora bien, el punto Q debe cumplir: dist(Q;F) = dist(Q;R)

Las expresiones para estas distancias son9:

2

22

2

220;

pyxpyxFQdist

22

0;2 pypyRQdist

Como las distancias son iguales, obtenemos la siguiente ecuación:

9 Volvé a la nota al pie 4 para recordar la fórmula de la distancia entre dos puntos del plano.


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22

22 pypyx

Trabajemos esta expresión para volverla más sencilla. En primer lugar, elevemos al cuadrado ambos miembros de la igualdad:

222

22

pypyx

Y desarrollemos los binomios:

44

22

222 ppyyppyyx

pypyx 2 pyx 22

Esta última es la ecuación canónica de la parábola con vértice en el origen de coordenadas, de ramas “que se abren hacia arriba” y de eje de simetría coincidente con el eje y.

Si consideramos ahora una parábola con vértice en un punto cualquiera del plano V(;), entonces:

ypx 22

Ecuación canónica general de la parábola de eje de simetría paralelo al eje y

Tené en cuenta que: si p > 0 las ramas se abren hacia arriba si p < 0 las ramas se abren hacia abajo Análogamente, se obtiene la siguiente ecuación para el caso en que el eje de simetría sea horizontal:

xpy 22

Ecuación canónica general de la parábola de eje de simetría paralelo al eje x

En este caso: si p > 0 las ramas se abren hacia la derecha si p < 0 las ramas se abren hacia la izquierda Prestá atención a lo siguiente: la dirección del eje de simetría de la parábola está dada por la variable lineal de la ecuación canónica.

A continuación, se muestran las cuatro posibilidades:


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Eje de simetría paralelo al eje y: ypx 22

p > 0 p < 0

Vértice V( ; ) Foco F( ; + p/2) La recta directriz tiene ecuación

y = - p/2 El eje de simetría tiene ecuación x =

Vértice V( ; ) Foco F( ; + p/2) La recta directriz tiene ecuación

y = - p/2 El eje de simetría tiene ecuación x =

Eje de simetría paralelo al eje x: xpy 22

p > 0 p < 0

Vértice V( ; ) Foco F( + p/2 ; ) La recta directriz tiene ecuación

x = - p/2 El eje de simetría tiene ecuación y =

Vértice V( ; ) Foco F( + p/2 ; ) La recta directriz tiene ecuación

x = - p/2 El eje de simetría tiene ecuación y =


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Para terminar, te proponemos que resuelvas el siguiente ejercicio.

>> Para resolver: Encontrá los elementos de la parábola 22)5(31

yx y luego

graficala. A MODO DE RESUMEN.

Un mapa conceptual es una forma gráfica de representar la relación que existe

entre diferentes conceptos de un determinado tema, es una verdadera “red” de conceptos sobre el tema.

A continuación te ofrecemos tres mapas conceptuales de las cónicas tratadas en este apunte para que los utilices como herramientas de apoyo para el estudio de las cónicas. Esperamos que te resulten de gran utilidad.


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